Bộ 4 đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán - Trường THPT Tứ Kỳ

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S, gọi M là điểm thuộc đường thẳng CD sao cho BM vuông góc với [r]

Trang | TRƯỜNG THPT TỨ KỲ

ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA 2021 MƠN TỐN

Thời gian: 90 phút

1 ĐỀ SỐ

Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A1;1;3 , B 1; 2;3 Tọa độ trung điểm đoạn thẳng

AB

A. 0;3;  B. 2;1;0 C. 0; ;33

 

 

  D. 2; 1;0  Câu 2. Giá trị lớn hàm số yx43x22 đoạn  0;3

A. 57 B. 55 C. 56 D. 54

Câu 3. Đồ thị hình bên hàm số nào? A.

3

yx  x B. y  x3 2x C. yx33x D. y  x3 2x

Câu 4. Cho hàm số y f x  có đạo hàm f ' x x x 1 2 x2 Tìm khoảng nghịch biến đồ thị hàm số y f x 

A. ; 0  1; B  0;1 C  0; D. 2; Câu 5. Hàm số y  x4 x21 có điểm cực trị?

A. B. C. D.

Câu 6. Cho f x 3 2x x Khi đó, đạo hàm f ' x hàm số

A f ' x 3 ln 2.ln 3x x B f ' x 6 ln 6x

C f ' x 2 ln lnx  x x D f ' x 2 ln lnx  x x Câu 7. Cho hàm số y f x  xác định, liên tục có bảng biến thiên:

x  

'

y  + 

Trang |

 

Mệnh đề sau đúng?

A. Hàm số đạt cực đại x2 đạt cực tiểu x1

B. Hàm số có giá trị lớn giá trị nhỏ 1 C. Hàm số có cực trị

D. Hàm số có giá trị cực đại

Câu 8. Với a, b, c số thực dương tùy ý khác logacx, logbc y Khi giá trị

 

logc ab

A. 1

x y B.

xy

xy C.

1

xy D. xy

Câu 9. Trong không gian, cho khối hộp chữ nhật AB1 ,m AA'3m BC2cm Tính thể tích V khối hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' '?

A.V  5m3 B. V 6m3 C. V 3m3 D. V 3 5m3 Câu 10. Họ nguyên hàm hàm số f x 2x1

A.

x x B. C. C D.

x  x C Câu 11. Các khoảng nghịch biến hàm số

1

x y

x

 



A.  ;   \ B. ;1 C. ;1 1; D. 1; Câu 12. Tính diện tích mặt cầu có bán kính r2

A 32

3  B. 8 C. 32 D. 16

Câu 13. Xác định số thực x để dãy số log 2;log 7;logx theo thứ tự lập thành cấp số cộng A.

2

x B. 49

2

x C.

49

x D.

7

x

Câu 14. Hàm số f x C20190 C20191 x C 20192 x2  C20192019x2019 có điểm cực trị?

A. B. 2018 C. D. 2019

Câu 15. Cơng thức tính diện tích xung quanh Sxq hình nón có đường sinh l, bán kính đáy r A. Sxq 4rl B. Sxq 2rl C. Sxq rl D. Sxq 3rl Câu 16. Đồ thị sau đồ thị hàm số bốn hàm số cho

Trang | A.

1

x y

x

 

 B.

2

x y

x

 



C.

x x



 D.

2

x y

x

 



Câu 17. Cho hàm số

mx y

x

 

 (với m tham số thực) có bảng biến thiên

x  1 

'

y + 

y 

2 

 

Mệnh đề đúng?

A. Với m 2 hàm số đồng biến khoảng xác định B. Với m9 hàm số đồng biến khoảng xác định C. Với m3 hàm số đồng biến khoảng xác định D. Với m6 hàm số đồng biến khoảng xác định

Câu 18. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số

2

y  x  x 

A. y x B. y  x C. y x D. y  x

Câu 19. Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x 2x4 6x 3;6 Tổng Mm có giá trị

A. 12 B 6 C. 18 D 4 Câu 20. Số nghiệm thực phương trình log3xlog3x 6 log 73

A. B. C. D.

Câu 21. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, BSA 60 Tính thể tích V khối chóp S.ABCD?

A.

3 6

a

V  B. V a3 C.

3 2

a

V  D.

3

a

V 

Câu 22. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Tam giác SAB cân S có

SASB a nằm mặt phẳng vng góc với đáy ABCD Gọi  góc SD mặt phẳng đáy

ABCD Mệnh đề sau đúng? A. tan B. cot

6

 C. tan

3

Trang | Câu 23. Trong khơng gian, cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC đơi vng góc với

SAa, SBb, SCc Mặt cầu qua S, A, B, C có bán kính

A. 2 

a b c 

B. a2 b2 c2 C. a2 b2 c2 D. 2

2 a b c

Câu 24. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng cân B AC, a 2,SAmp ABC ,SAa Gọi G trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng   qua AG song song với BC cắt SB, SC M, N Tính thể tích V khối chóp S.AMN?

A.

3

9

a

V  B.

3

27

a

V  C.

2

9

a

V  D.

3

6

a V 

Câu 25. Một hình trụ có bán kính đáy 2cm có thiết diện qua trục hình vng Diện tích xung quanh hình trụ

A 8cm2 B 4cm2 C. 32cm2 D 16cm2 Câu 26. Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên 5;7 sau:

x  5 

'

y  +

y

2

Mệnh đề sau đúng? A.

 5;7  

min f x

  hàm số không đạt giá trị lớn 5;7

B.

5;7  

max f x

  min5;7 f x 2 C.

5;7  

max f x

  min5;7 f x 2 D.

5;7  

max f x

  min5;7 f x 6

Câu 27. Số nghiệm thực phương trình 4x12x3 4

A. B. C. D.

Câu 28. Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên sau:

Trang | '

y + 

y 



Đồ thị hàm số cho có tất đường tiệm cận?

A. B. C. D.

Câu 29. Số nghiệm bất phương trình 1 1

2

2 log x 1 log x1

A. B. Vô số C. D.

Câu 30. Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên sau:

x  1 

'

y +  +

y 5 

1 

Hàm số y f x  có điểm cực trị?

A. B. C. D.

Câu 31. Tính diện tích lớn hình chữ nhật ABCD nội tiếp nửa đường trịn có bán kính 10cm (hình vẽ)

A.160cm2 B.100cm2 C.

80cm

D.

200cm

Câu 32. Cho F x  nguyên hàm hàm số

  2 3 

4 x

f x e x  x Hàm số  

F x x có điểm cực trị?

A. B. C. D.

Câu 33. Cho tam giác ABC vuông A, cạnh AB6,AC8 M trung điểm cạnh AC Khi

Trang |

A. 86π B. 106π C. 96π D. 98π

Câu 34. Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m để phương trình 4xm.2x2m 1 có nghiệm Tập \S có giá trị nguyên?

A. B. C. D.

Câu 35. Cho hàm số 2

2

x y

x mx

 

  Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận?

A.

2

m m

m

         

B.

2

m

m

   



 C.   2 m D.

2

m m

    



Câu 36. Gọi S tập hợp số tự nhiên có ba chữ số (khơng thiết khác nhau) lập từ chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; Chọn ngẫu nhiên số abc từ S Tính xác suất để số chọn thỏa mãn a b c

A.

6 B.

11

60 C.

13

60 D.

9 11

Câu 37. Cho tam giác ABC có cạnh 3a Điểm H thuộc cạnh AC với HCa Dựng đoạn thẳng SH vng góc với mặt phẳng ABC với SH2a Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng

SAB A.

7

a

B. 21

7

a

C. 21

7

a

D. 3a

Câu 38. Một khối pha lê gồm hình cầu  H1 bán kính R hình nón  H2 có bán kính đáy đường sinh r, l thỏa mãn

1

r l

l R xếp chồng lên (hình vẽ) Biết tổng diện tích mặt cầu  H1 diện tích tồn phần hình nón  H2 91cm2 Tính diện tích khối cầu  H1

A. 104

5 cm B.

2

16cm

C. 64cm2 D. 26

5 cm

Câu 39. Cho hàm số f x 0 với x ,f  0 1 f x  x1 'f  x với x Mệnh đề đúng?

Trang | Câu 40. Tìm giá trị thực tham số m để hàm số    

3

f x x  x  m  m x đồng biến khoảng  0;

A. 1 m B. m1,m2 C. 1 m D. m1,m2

Câu 41. Số giá trị nguyên tham số m  10;10 để bất phương trình

2

3 x 6 x 18 3 xx m  m nghiệm   x  3;6

A. 28 B. 20 C. D. 19

Câu 42. Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a Gọi M, N trung điểm

SB, SC Biết AMN  SBC Thể tích khối chóp S.ABC A.

3 26 24

a

B.

3 24

a

C.

3

a

D.

3 13 18

a

Câu 43. Cho hàm số f x x22m1x2 2 m x 2 Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y f  x có cực trị

A.

4 m B.

5

2

4 m

   C.

4

m

   D.

4 m

Câu 44. Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C ' ' ' có đáy ABC tam giác vuông A

AB ACa Biết góc hai đường thẳng AC' BA' 60° Thể tích khối lăng trụ ' ' '

ABC A B C A.

a B

2a C

3

3

a

D.

3

2

a

Câu 45. Tập hợp tất số thực x không thỏa mãn bất phương trình 9x24x24 2019 x2 1 khoảng  a b; Tính b a

A. B. 1 C. 5 D.

Câu 46. Một người vay ngân hàng số tiền 50 triệu đồng, tháng trả ngân hàng số tiền triệu đồng phải trả lãi suất cho số tiền cịn nợ 1,1% tháng theo hình thức lãi kép Giả sử sau n tháng người trả hết nợ Khi n gần với số đây?

A. 13 B. 15 C. 16 D. 14

Câu 47. Cho khối nón có độ lớn góc đỉnh 

Một khối cầu  S1 nội tiếp khối nón Gọi S2 khối cầu tiếp xúc với tất đường sinh nón với S S1; 3 khối tiếp xúc với tất đường sinh nón với S2; ;Sn khối cầu tiếp xúc với tất đường sinh nón với Sn1 Gọi V1,

2

V , V3, ,Vn1,Vn thể tích khối cầu S S S1, 2, 3, ,Sn1,Sn V thể tích khối nón Tính giá trị biểu thức

lim n

n

V V V

T

V



Trang | A.

5 B.

6

13 C.

7

9 D.

1 Câu 48. Hình vẽ bên đồ thị hàm số y f x  Gọi S tập hợp

các giá trị nguyên không âm tham số m để hàm số

 2019

y f x  m có điểm cực trị Số phần tử S A. B.

C. D.

Câu 49. Trên mảnh đất hình vng có diện tích 81m2 người ta đào ao ni cá hình trụ (như hình vẽ) cho tâm hình trịn đáy

trùng với tâm mảnh đất Ở mép ao mép mảnh đất người ta để lại khoảng đất trống để lại, biết khoảng cách nhỏ mép ao mép mảnh

đất x m  Giả sử chiều sâu ao x m  Tính thể tích lớn V ao

A.V 13,5 m3 B. V 27 m3 C.  3

36

V   m D.  3

72

V   m

Câu 50. Cho hàm số y f x  có đạo hàm f ' x

Hình vẽ bên đồ thị hàm số y f ' x Hàm số g x  f x x2 nghịch biến khoảng khoảng đây?

A. 3;  

 

  B.

3 ;

2  

 

  C.

1 ;  

 

  D.

1 ;

2  

 

Trang | ĐÁP ÁN

Trang | 10 2 ĐỀ SỐ

Câu 1. Cho tứ diện ABCD, cạnh BC, BD, AC lấy điểm M, N, P cho

BC BM,

BD BN, AC2AP Mặt phẳng MNP chia khối tứ diện ABCD thành phần tích V V1, 2 Tính tỉ số

2 V V ? A. 26 19 V

V  B.

1

3 19

V

V  C.

1

15 19

V

V  D.

1

26 13

V

V 

Câu 2. Số nghiệm phương trình 3  1 

log x 4x log 2x 3 là:

A. B. C. D.

Câu 3. Có giá trị nguyên tham số m  10;10 để bất phương trình sau nghiệm

      

: 7

x x

x

x m m

         ?

A. 10 B. C. 12 D. 11

Câu 4. Cho lăng trụ đứng ABC A B C ' ' ' có diện tích tam giác ABC Gọi M, N, P thuộc cạnh AA BB CC', ', ', diện tích tam giác MNP Tính góc hai mặt phẳng ABC

MNP

A. 120° B. 45° C. 30° D. 90°

Câu 5. Cho hàm số f x   ,f x liên tục thỏa mãn     2

f x f x

x

  

 Tính

 

2

2

I f x dx 

 

A.

20

I   B.

10

I   C.

20

I    D.

10

I  

Câu 6. Cho  

1

2

f x dx

 Tính  

4

1

f x dx x

 bằng:

A. I 4 B. I 1 C.

I  D. I 2

Câu 7. Cho số thực dương a, b với a1 logab0 Khẳng định sau đúng?

A. ,

0 a b a b       

 B.

0 ,

1 , a b a b     

 C.

0 ,

0 a b b a       

 D.

0 1 , b a a b       

Trang | 11

A. B. C. D.

Câu 9. Cho hai tích phân  

2

8

f x dx 



  

2

5

3

g x dx





 Tính    

5

2

4

I f x g x dx



     ?

A. I 13 B. I 27 C. I  11 D I 3

Câu 10. Cho hàm số y f x x4ax3bx2 cx (C) Biết đồ thị hàm số  C cắt trục hồnh điểm Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2

20 20

T  a  b  c

A. 32 B. 64 C. 16 D.

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD tâm O cạnh 2a, cạnh bên SAa Khoảng cách BD SC là:

A. 15

a

B. 30

5

a

C. 15

6

a

D. 30

6

a

Câu 12. Cho hàm số y f x  liên tục có đồ thị hình vẽ Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình

cos 

f x m có nghiệm phân biệt thuộc 0;3



 

 

  là: A. 2; 2 B. 0;

C. 2; 2 D. 0; 

Câu 13. Cho hàm số y f x  bảng biến thiên sau:

x  2 

'

y +  + 

y

 

Phát biểu sau đúng?

A. Hàm số đạt cực đại x2 B. Hàm số đạt cực đại x4 C. Hàm số có cực tiểu D. Hàm số có giá trị cực tiểu

Câu 14. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A1; 0; , B 0; 2; , C 0; 0;3 Thể tích tứ diện OABC bằng:

A.

3 B.

1

6 C. D.

Trang | 12 A. B. 2 1  C. 2 D. 2 1 

Câu 16. Cho mặt phẳng  P qua điểm A2; 0; , B 0;3; , C 0; 0; 3  Mặt phẳng  P vng góc với mặt phẳng mặt phẳng sau:

A. 3x2y2z 6 0. B. 2x2y  z C. x   y z D. x2y  z Câu 17. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A1; 0; , B 2;1;3 , C 3; 2; 4,

6;9; 5

D  Tọa độ trọng tâm tứ diện ABCD là:

A. 2;3;1  B. 2;3; 1  C. 2;3;1 D. 2; 3;1  Câu 18. Tập xác định hàm số x23x2 là:

A. \ 1;   B.  1; C.  ;1 2; D.  ;1 2; Câu 19. Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu có phương trình x2y2z22x4y6z 9 Tọa độ tâm I bán kính R mặt cầu là:

A. I1; 2;3  R5 B. I1; 2;3  R C. I1; 2; 3  R5 D. I1; 2; 3  R Câu 20. Tích phân

2

0

x dx

x 

 bằng: A. 1log7

2 B.

7 ln

3 C.

1

ln

2 D.

1

ln

2

Câu 21. Tìm mệnh đề sai mệnh đề sau: A. 2e dxx 2exC B.

4

4

x C

x dx 



C. 1dx lnx C

x  

 D. sinxdx cosx C

Câu 22. Đầu tháng anh A gửi vào ngân hàng triệu đồng với lãi suất kép 0,6% tháng Hỏi sau tháng (khi ngân hàng tính lãi) anh A có số tiền lãi gốc nhiều 100 triệu biết lãi suất khơng đổi q trình gửi

A. 30 tháng B. 40 tháng C. 35 tháng D. 31 tháng Câu 23. Cho hàm số y f x  xác định, liên tục có bảng biến thiên sau:

x  1 

'

y  +  +

Trang | 13

 1

Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình f x  1 m có nghiệm

A.    2 m B. m0,m 1 C. m 2,m 1 D. m 2,m 1 Câu 24. Tìm họ nguyên hàm hàm số f x 52x?

A. 52xdx2.5 ln 52x C B.

2

2

5

ln x x

dx C



C. 52 25 ln

x x

dx C

 D.

1

2 25

5

1 x x

dx C

x 

 





Câu 25. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho a  i 2j3k Tọa độ vectơ a là: A. 3; 2; 1  B. 2; 1; 3   C. 1; 2; 3  D. 2; 3; 1   Câu 26. Cho hàm số f x  có f  2  f   2 có bảng xét dấu đạo hàm sau:

x  2 

 

'

f x +  + 

Hàm số yf 3x2 nghịch biến khoảng đây?

A.  2;5 B. 1; C.  2; 1 D.  1;

Câu 27. Tính khoảng cách tiếp tuyến đồ thị hàm f x x33x1 (C) cực trị  C

A. B. C. D.

Câu 28. Khối trụ trịn xoay có đường kính 2a, chiều cao h2a tích là: A

2

V  a B

2

V a C

2

V  a h D

V a Câu 29. Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên sau:

x  

'

y  + 

y  2

1

Trang | 14 Tổng số tiệm cận ngang tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho là:

A. B. C. D.

Câu 30. Gọi l, h, r độ dài đường sinh, chiều cao bán kính mặt đáy hình nón Diện tích xung quanh Sxq hình nón là:

A. xq

S  r h B. Sxq rh C. Sxq 2rl D. Sxq rl

Câu 31. Cho hàm số y f x  có f ' x liên tục  0;    

0

2 16;

f  f x dx Tính

 

1

0 '

I xf x dx

A. I 7 B. I 20 C. I 12 D. I 13

Câu 32. Cho khối hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' có ABa AD, b AC, c Thể tích khối hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' bao nhiêu?

A.

3abc B. 3abc C. abc D.

1

2abc

Câu 33. Hai đồ thị hàm số

3

y  x x  x

3

y x  x có tất điểm chung?

A. B. C. D.

Câu 34. Đặt alog 5,2 blog 53 Hãy biểu diễn log theo a b

A. log 56

a b



 B. log 56

ab a b



 C.

2

6

log 5a b D. log 56  a b

Câu 35. Cho hàm số y f x ,yg x  liên tục  a b; số thực k tùy ý Trong khẳng định sau, khẳng định sai?

A   a

a

kf x dx

 B.    

b b

a a

xf x dxx f x dx

 

C.        

b b b

a a a

f x g x dx f x dx g x dx

 

 

   D.    

b a

a b

f x dx  f x dx

 

Câu 36. Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên gồm chữ số khác có dạng a a a a a a a1 7 Tính xác suất để số chọn ln có mặt chữ số thỏa mãn a1a2 a3 a4 a5 a6 a7

A.

243 B.

1

486 C.

1

1215 D.

1

972

Câu 37. Cho f x  hàm số chẵn, liên tục đoạn 1;1  

1

4

f x dx 



 Kết  

Trang | 15 A. I 8 B. I 4 C. I 2 D.

4

I 

Câu 38. Trong khai triển nhị thức a2n6 có tất 17 số hạng Khi giá trị n bằng:

A. 12 B. 11 C. 10 D. 17

Câu 39. Cho khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' tích V Tính thể tích khối tứ diện ABCB C' ' A.

4

V

B.

2

V

C.

4

V

D.

3

V

Câu 40. Một khối gỗ hình lập phương tích V1 Một người thợ mộc muốn gọt giũa khối gỗ thành khối trụ tích V2 Tính tỉ số lớn

1

V k

V

 ?

A

k  B. k



 C.

2

k  D k

 

Câu 41. Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên sau:

x  1 

'

y +  + 

y 0

1 

 

Hàm số cho nghịch biến khoảng đây?

A.  ; 1 B. 1;1 C. 1; D.  0;1 Câu 42. Tính

2

4

lim

2

n n

n

  

 bằng:

A.  B. C. D.

2 Câu 43. Tìm tập nghiệm bất phương trình 2 

5

log x  4

A. 13;

 



  B.

13 ;

2  

 

  C. 4; D.

13 4;

2

 

 

 

Câu 44. Có số tự nhiên có bốn chữ số khác tạo thành từ chữ số tập

1;3;5;8;9

X 

Trang | 16 Câu 45. Cho cấp số nhân  un có tổng n số hạng Sn 6n 1 Tìm số hạng thứ năm cấp số cộng cho

A. 6480 B. 6840 C. 7775 D. 12005

Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A10;1 , B 3; 2;0 ,  C 1; 2; 2  Gọi  P mặt phẳng qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến  P lớn biết  P khơng cắt đoạn BC Khi vectơ pháp tuyến mặt phẳng  P là:

A. n2; 2; 1   B. n1;0; 2 C. n  1; 2; 1  D. n1;0; 2 

Câu 47. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A0; 2; ,   B  2; 4;3, C1;3; 1  Tìm điểm MOxy cho MA MB 3MC đạt giá trị nhỏ

A. 3; ;

5

 

 

  B.

1 ; ; 5

 

 

  C.

1

; ;

5

  

 

  D.

3 ; ;

 

 

 

Câu 48. Tìm tất giá trị thực m để hàm số  

1

3

y x  m x  mx đồng biến đoạn  1;

A m B

m C 1

2 m D m2

Câu 49. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho vectơ a2;m1;3, b1;3; 2 n Tìm m, n

để vectơ a b, hướng

A. 7,

m n B. m1,n0 C. 7,

3

m n D. m4,n 3

Câu 50. Trong hàm số sau, hàm số nghịch biến tập số thực ?

A. x

y e

 

    B.

3 x

y   

  C.  

2

4

log

y  x  D. 1

2 log

y x ĐÁP ÁN

Trang | 17 3 ĐỀ SỐ

Câu1 Điểm cực tiểu đồ thị hàm số yx33x 5 điểm:

A. M (1;3) B. N (-1;7)

C. Q (3;1) D P (7;-1)

Câu Họ nguyên hàm hàm số f x 3x21 là: A.

x C B.

3 x

x C

3   C. 6x C D

3

x  x C

Câu3 Tìm số thực m để hàm số ym x  33x2mx 5 có cực trị A. m

3 m   

  

 B   3 m C.

m

m     

 D  2 m 1

Câu4 Khối bát diện khối đa diện loại nào?

A. {3;4} B. {3;5} C. {5;3} D {4;3}

Câu Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vng B, AB = 1, AC = 2, cạnh AA' Hình chiếu vng góc A’ mặt đáy (ABC) trùng với chân đường cao hạ từ B tam giác ABC Thể tích V khối lăng trụ cho

A. V 21 12

 B. V

4

 C .V 21

4

 D V 21

4



Câu Cho hình bát diện cạnh Gọi S tổng diện tích tất mặt hình bát diện Khi đó, S

A S = 32 B. S8 C. S4 D S 16 3

Câu Phép vị tự tâm O(0;0) tỉ số k = biến đường tròn   C : x 1  2 y 1 2 1 thành đường trịn có phương trình:

A. x 1  2 y 1 2 9 B. x 3  2 y 3 2 1 C.x 3  2 y 3 2 9 D. x 3  2 y 3 2 9 Câu Cho hàm số yf x  xác định, liên tục có bảng biến thiên hình sau:

x  -1 

y’ + - + -

y 3

Trang | 18 Đồ thị hàm số yf x  cắt đường thẳng y = -2018 điểm ?

A. B 0 C D 1

Câu Cho tứ diện ABCD có ABCD, ACBD Góc hai vecto AD vàBC A.

30 B.

45 C.

60 D

90

Câu 10 Gọi V thể tích hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, V thể tích tứ diện A’ABD Hệ thức 1 sau đúng?

A. V3V1 B. V4V1 C.V6V1 D V2V1

Câu 11 Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y 2 x

x mx

 

  có đường tiệm cận

A.   2 m B.

m

m

5 m

2  

        

C. m

m

    

 D

m

5 m

2

m

          

Câu 12. Tìm tập xác định D hàm số y sin x

2 

   

 

 

A. D \ 2k   , k  B. D \ k , k 

 

   

 

C. D \ 1 2k , k 

 

    

  D. D \ k , k   

Câu 13 Cho hình chóp S.ABC có chiều cao 9, diện tích đáy Gọi M trung điểm cạnh SB N thuộc cạnh SC cho NS = 2NC Thể tích V khối chóp A.BMNC

A. V = 10 B. V = 30 C. V = D V = 15 Câu 14 Trong hàm số sau, hàm số có đồ thị hình bên?

A. yx33x 1 B. yx33x23x 1 C. y 1x3 3x

   D. yx33x23x 1

Câu 15 Hình hộp chữ nhật có ba kích thước 3, 3, Số mặt phẳng đối xứng hình chữ nhật

Trang | 19 Câu 16 Cho tứ diện ABCD Gọi G1 G trọng tâm tam giác BCD ACD Trong 2

khẳng định sau, khẳng định sai? A. G G1 2 2AB

3

 B. G G / / ABD 1 2  

C. G G / / ABC 1 2   D BG , AG1 2 CD đồng qui Câu 17 Thể tích khối nón có chiều cao h = bán kính đáy R =

A. V 32 B. V 96 C. V 16  D V 48

Câu 18 Rút gọn biểu thức

3

3

4

1 4

a

a a a B log

a a

 , ( giả sử tất điều kiện thỏa mãn ) ta kết

A. 60

91 B

91 60

 C.

5 D.

5 

Câu 19 Đồ thị hàm số y 2017x 2018 x

 

 có đường tiệm cận đứng

A. x = 2017 B. x = -1 C. y = -1 D y = 2017 Câu 20 Tiếp tuyến đồ thị hàm số yx33x21 điểm A (3;1) đường thẳng

A. y  9x 26 B y  9x C. y9x2 D y9x26 Câu 21 Trong hàm số sau, hàm số không xác định ?

A. y3x B.  2

ylog x C. yln x 1 D y0,3x

Câu 22 Trong mặt phẳng Oxy, khoảng cách từ điểm M (3;-4) đến đường thẳng : 3x4y 0  A.

5 B

24

5 C.

12

5 D

24 

Câu 23 Tích giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số f x  x x

  đoạn [1;3]

A. 65

3 B 6 C. 20 D

52

3

Câu 24 Số nghiệm phương trình 9x2.3x 1  7

A. B 2 C. D 1

Câu 25 Cho phương trình

mcos x4sin x cos x  m Có giá trị nguyên m để

phương trình có nghiệm thuộc 0;        ?

A. B 3 C. D 0

Trang | 20 A. S10  511 B S101023 C.S101025 D S10 1025

Câu 27 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AD = 2a; SAABCD SA = a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)

A. 2a

3 B

3a

2 C.

2a

5 D

3a

7

Câu 28 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a mặt bên SAB tam giác đều, mặt bên SCD tam giác vuông cân S, gọi M điểm thuộc đường thẳng CD cho BM vng góc với SA Tính thể tích V khối chóp S.BDM

A.

3

a

V 48

 B

3

a

V 24

 C.

3

a

V 32

 D

3

a

V 16 

Câu 29 Tìm giá trị thực tham số m để hàm số  

3

x x 2x

, x

f x x

3x m, x

           

liên tục x =

A. m = B m = C. m = D m =

Câu 30 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A có AB = a, BCa 3, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) Thể tích V khối chóp S.ABC A 2a V 12  B a V  C. a V 12  D a V 

Câu 31 Cho hàm số f x  x22x Tập nghiệm S bất phương trình f ' x   f x có giá trị nguyên ?

A. B 2 C. D 3

Câu 32 Cho hàm số ymx3x22x 8m có đồ thị  Cm Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị  Cm cắt trục hoành ba điểm phân biệt

A.m 1;

 

  

  B

1

m ;

6

 

  

  C.  

1

m ; \

6

 

  

  D  

1

m ; \

2

 

  

 

Câu 33 Với giá trị x biểu thức Blog22x 1  xác định? A.x ;1

2

 

  

  B. x   1;  C.

1

x \

2     

  D

1 x ;      

Câu 34 Tập xác định D hàm số   y x 1

A. D   ; 1 B. D C. D \ 1 D  1; 

Trang | 21 Mệnh đề sau đúng?

A. Hàm số đồng biến khoảng  ; 3 B. Hàm số nghịch biến khoảng 1; C. Hàm số đồng biến khoảng  1;  D Hàm số nghịch biến khoảng ;1 Câu 36 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, chiều cao chóp a

2 Góc mặt bên mặt đáy

A.600 B, 750 C.300 D 450

Câu 37 Trên đồ thị hàm số y 2x 3x  

 có điểm có tọa độ số nguyên?

A. vô số B 4 C. D 2

Câu 38 Cho hàm số y = f(x) có đồ thị hình vẽ Trên khoảng 1;3đồ thị hàm số y = f(x) có điểm cực trị?

A. B. C. D 1

Câu 39 Giải bất phương trình log 3x 22  log26 5x được tập nghiệm (a;b) Hãy tính tổng S a b

A.S

 B. S 28

15

 C.S 11

5

 D S 31

6  Câu 40 Hình đa diện hình bên có mặt ?

A 8 B. 12 C. 10 D. 11

Trang | 22 góc  Tính cos để VABC.A'B'C'lớn

A.cos

  B cos

3

  C cos

3

  D cos

3  

Câu 42 Từ hộp có 1000 thẻ đánh số từ đến 1000 Chọn ngẫu nhiên hai thẻ Tính xác suất để chọn hai thẻ cho tổng số ghi hai thẻ nhỏ 700

A 2 1000 243250

C B 10002

121801

C C 10002

243253

C D 10002

121975 C

Câu 43 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có AB = a, AC = 2a, 1 1 1 AA12a BAC 120 Gọi K, I trung điểm cạnh CC , BB Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng 1 1 (A BK) 1

A a 15 B a

6 C

a 15

3 D

a

Câu 44 Có tất giá trị nguyên tham số thực m thuộc đoạn 2018; 2018để hàm số

3

yx 6x mx 1 đồng biến khoảng 1;

A 2007 B 2030 C 2005 D 2018

Câu 45 Do thời tiết ngày khắc nghiệt nhà cách xa trường học, nên thầy giáo muốn năm có 500 triệu đồng để mua tơ làm Để đạt nguyện vọng, thầy có ý định tháng dành số tiền cố định gửi vào ngân hàng (hình thức lãi kép) với lãi suất 0,5%/tháng Hỏi số tiền cần dành tháng để gửi tiết kiệm (chọn đáp án gần với số tiền thực)

A. 7.632.000 B. 6.820.000 C. 7.540.000 D 7.131.000 Câu 46 Cho hàm số  2

yx 2 m x  m Tìm tất giá trị tham số m để hàm số cực đại,

cực tiểu điểm cực trị đồ thị lập thành tam giác có diện tích lớn A. m

2

 B m0 C.m1 D m

2  

Câu 47 Cho hàm số  

x 2019 yf x 2019 ln e  e

  Tính giá trị biểu thức

     

Af ' f '   f ' 2018

A. 2018 B 1009 C. 2017

2 D

2019

2

Câu 48 Một công ty cần xây dựng kho chứa hàng dạng hình hộp chữ nhật (có nắp) vật liệu gạch xi măng tích 2000 m , đáy hình chữ nhật có chiều dài hai lần chiều rộng Người ta cần tính tốn cho chi phí xây dựng thấp nhất, biết giá xây dựng 500.000 đồng/m2 Khi chi phí thấp gần với số đây?

A. 495969987 B. 495279087 C. 495288088 D 495289087

Trang | 23 phương trình 2f x f '' x    f ' x 2 có nhiều nghiệm?

A. nghiệm B 4 nghiệm C. nghiệm D 2 nghiệm Câu 50 Tìm m để hàm số y x x m có giá trị lớn

A m2 B. m C. m  D. m

2  ĐÁP ÁN

1 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 A D B A C B C C D C D C A A C A A D B D B 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

B C D A B C A A C B C D D A A D B C C B C 43 44 45 46 47 48 49 50

Trang | 24 4 ĐỀ SỐ

Câu 1: Số giao điểm đồ thị hàm số yx45x24 với trục hoành A B. C. D. Câu 2: Hàm số sau khơng có điểm cực trị?

A.yx33x1 B yx22x C yx44x21 D yx33x1

Câu 3: Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có AB CD thuộc hai đáy hình trụ, AB = 4a, AC = 5a Thể tích khối trụ

A.V 16 a3 B V 4 a3 C V 12 a3 D V 8 a3

Câu 4: Cho hinh chóp S.ABC có SA vng góc với đáy Tam giác ABC vng cân B , biết SA = AC = 2a Thể tích khối chóp S.ABC

A. . 3

S ABC

V  a B

3

3

S ABC

a

V  C VS ABC. 2a3 D

3

4

S ABC

a

V 

Câu 5: Cho k n k,  n số nguyên dương Mệnh đề sau SAI? A.CnkCnn k B !

!.( )!

k n

n C

k n k 

 C Ankk C! nk D Ankn C! nk

Câu 6: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ' tích V Gọi M trung điểm cạnh BB', điểm N thuộc cạnh CC' cho CN2 ' C N Tính thể tích khối chóp A,BCNM theo V,

A. . 12

A BCNM V

V  B .

18

A BCNM V

V  C .

3

A BCNM V

V  D .

18

A BCNM V

V 

Câu 7: Cho hàm số yx33x1 Mệnh đề sau đúng? A Hàm số cho nghịch biến khoảng (-1;3)

B Hàm số cho đồng biến khoảng (-1;1)

C. Hàm số cho đồng biến khoảng  ; 1 khoảng 1; D. Hàm số cho nghịch biến khoảng (-2;1)

Câu 8: Cho tứ diện ABCD, gọi G G1, 2 trọng tâm tam giác BCD ACD Mệnh đề sau

đây SAI?

A.G G1 / /ABD B. G G1 2/ /ABC

C. 1 2

G G  AB D. Ba đường thẳng BG1, AG2 CD đồng quy

Trang | 25 A. f x dx  ex31 C B.   x3

f x dx e  C



C.   3

x

f x dx e  C

 D.  

3

x

x

f x dx e  C



Câu 10: Phương trình 72x2 6x 49 có tổng tất nghiệm

A.1 B.

2 C. -1 D.

5 

Câu 11: Đường cong hình vẽ đồ thị hàm số nào?

A.

3

y  x x  B.

2

y x  x  C.

3

yx  x  D.

3

yx  x

Câu 12: Cho hình chóp S ABCD có cạnh AB = a, góc đường thẳng SA mặt phẳng ABC

45 Thể tích khối chóp S.ABCD

A. 3 a B. a C. a D. 3 a Câu 13: Mệnh đề sau đúng?

A.x e dx x exxexC B. x e dx x xex ex C C.

2

2

x x x

x e dx e C

 D.

2

2

x x x x

x e dx e  e C



Câu 14: Khối đa diện có số đỉnh nhiều nhất?

A Khối nhị thập diện (20 mặt đều) B. Khối bát diện (8 mặt đều) C. Khối thập nhị diện (12 mặt đều) D. Khối tứ diện

Câu 15: Họ nguyên hàm hàm số  

5

f x x





A. ln

ln x C B. ln 5x 4 C C.

ln

5 x C D.  

1

ln

5 x C

Câu 16: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, SA vng góc với mặt phẳng ABC AB = 2, AC = 4, SA Mặt cầu qua đỉnh hình chóp S.ABC có bán kính

A.

R B. R = C. 10

3

R D. 25

2

Trang | 26 Câu 17: Số đường tiệm cận đồ thị hàm số

2

1

x x y

x x

  

 

A. B. C. D.

Câu 18: Cho khối nón có bán kính đáy r chiều cao h = Tính thể tích V khối nón cho A.V 12 B.V 4 C. V = D. V = 12

Câu 19: Tìm tập xác định D hàm số  

3

y x  x 

A.D \ ( 1; 4) B D = R

C. D    ; 1 4; D. D    ; 1 4; Câu 20: Cho a số thực dương khác Tính

3

5 log

125 a

a I   

 

A.

I   B. I = -3 C.

I  D. I =

Câu 21: Cho a > 0, b > 0, giá trị biểu thức    

1

1

2

2

4

a b

T a b ab

b a

    

       

   

 

A.1 B

3 C.

2

3 D.

1

Câu 22: Cho a, b, c dương khác Các hàm số ylogax y, logbx y, logcx có đồ thị hình vẽ Khẳng định đúng?

A.b c a B. a b c C. a c b D. c b a Câu 23: Tập xác định hàm số y2sinx

A. [0;2] B. [-2;2] C. R D. [-1;1] Câu 24: Cho a0,b0 thỏa mãn a24b2 5ab Khẳng định sau đúng?

Trang | 27 C. log log log

3

a b a b

D. 5loga2blogalogb Câu 25: Cho tập A có 26 phần tử Hỏi A có tập gồm phần tử?

A. 26

A B. C. P6 D.

26

C

Câu 26: Gieo súc sắc cân đối đồng chất, xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất

A. B.

3 C

2

3 D.

1 Câu 27: Tập nghiệm bất phương trình 1  3 

3

log x 1 log 11 2 x 0

A. 3;11

S   

  B S   ; 4 C S1; 4 D S 1;

Câu 28: Cho hàm số f x  liên tục R có đồ thị hình vẽ Mệnh đề sau SAI?

A Hàm số y f x  có hai điểm cực trị

B Nếu m 2 phương trình f x m có nghiệm C Hàm số y f x  có cực tiểu -1

D Giá trị lớn hàm số y f x  đoạn [-2;2]

Câu 29: Cho hàm số f x 2x e x Tìm nguyên hàm F x  hàm số f x  thỏa mãn

 0 2019

F 

A.F x  ex 2019 B F x x2 ex 2018 C F x x2 ex 2017 D F x x2 ex 2018

Câu 30: Tập tất giá trị tham số m để hàm số yx33mx23x1 đồng biến R A. [-1;1] B. m     ; 1 1; 

Trang | 28 Câu 31: Cho a, b số dương thỏa mãn log9 log16 log125

2

b a

a b  Tính giá trị a

b

A

a b



 B. a

b   C.

a

b   D.

3

4

a b





Câu 32: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a ABC60 Hình chiếu vng góc điểm S lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác ABC Gọi  goc đường thẳng SB mặt phẳng (SCD), tính sin biết SB = a

A.sin

  B. sin

2

 C. sin

2

 D. sin

2



Câu 33: Cho hàm số y f x  liên tục R có đạo hàm f ' x x2x2x26xm với

x Có số nguyên m thuộc đoạn [-2019;2019] để hàm số g x  f 1x nghịch biến khoảng  ; ?

A. 2010 B. 2012 C. 2011 D. 2009

Câu 34: Cho hình chóp S.ABC có

4, 2, 3, 30

ABAC BC SA SABSAC Tính thể tích khối chóp S.ABC

A.VS.ABC 8 B.VS.ABC6 C. VS.ABC4 D. VS.ABC 12 Câu 35: Cho hàm số y f x  có bảng biến thiên sau

x  + '

y - + -

y

+ 15

13

Giá trị lớn m để phương trình      

3 13

2

2

f x f x f x

e    m có nghiệm đoạn [0;2] A.e4 B. e3 C.

15 13

e D. e5

Câu 36: Cho phương trình 2sinx1 tanx 2sinx  3 4cos2x Tổng tất nghiệm thuộc đoạn 0; 20 phương trình

A.1150

3  B.

570

3  C.

880

3  D.

875

3 

Trang | 29 A.6a2 B. 3a2 C. 4a2 D. 24a2

Câu 38: Cho hàm số f x  liên tục R thỏa mãn điều kiện: f  0 2 3, f x   0, x R

      2 

' 1 ,

f x f x  x  f x  x R Khi giá trị f  1

A. 15 B. 23 C. 24 D. 26

Câu 39: Cho hình chóp S.BCD có SA vng góc với mặt phẳng (ABCD); tứ giác ABCD hình thang vng với cạnh đáy AD, BC; AD3BC3 ;a ABa SA, a Điểm I thỏa mãn AD3AI;M trung điểm SD, H giao điểm AM SI Gọi E , F hình chiếu A lên SB , SC Tính thể tích V khối nón có đáy đường trịn ngoại tiếp tam giác EFH đỉnh thuộc mặt phẳng (ABCD)

A.

3

2

a

V   B

3

5

a

V  C.

3

10

a

V   D.

3

5

a V 

Câu 40: Cho phương trình mln2x   1 x m ln x   1 x 0(1) Tập tất giá trị tham số m để phương trình có nghiệm, có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn 0   x1 x2 khoảng a; Khi đó, a thuộc khoảng

A. (3,8;3,9) B. (3,7;3,8) C. (3,6;3,7) D. (3,5;3,6)

Câu 41: Cho hàm số yx42x2 m 2có đồ thị C Gọi S tập giá trị m cho đồ thị C có tiếp tuyến song song với trục Ox Tổng tất phần tử S

A. B. C. D.

Câu 42: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x2 y24x6y 4 y26y10  4 xx2 Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức T  x2y2 a Có giá trị nguyên thuộc đoạn [-10;10] tham số a để M2 ?m

A. 17 B. 16 C. 15 D. 18

Câu 43: Cho hình chóp S.ABC có ba cạnh OA, OB, OC đơi vng góc OA = OB = OC = a Gọi M trung điểm cạnh AB Góc hợp hai véc tơ BC OM

A.

120 B 1500 C 1350 D. 600

Câu 44: Cho số nguyên dương n thỏa mãn điều kiện 720 77 87 7 101 4032

n n

C C  C  A Hệ số x7

trong khai triển 12  0 n

x x

x

   

 

 

A.-550 B 120 C 560 D -120 Câu 45: Có giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số

2

x m y

x m

 



 đoạn [0;4] -1

Trang | 30 Câu 46: Cho hàm số

 

3 2

3

3

x y

x mx m x m

 

    Có giá trị nguyên thuộc đoạn [-6;6] tham số m để đồ thị hàm số có bốn đường tiệm cận?

A.12 B 9 C 8 D 11

Câu 47: Tập nghiệm bất phương trình log2x x2  2 x22x x2 2  a; b Khi ab

A.12

5 B

5

12 C

15

16 D

16

15

Câu 48: Cho tứ diện SABC G trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG cắt cạnh SB, SC tương ứng M, N Giá trị nhỏ tỉ số ,

S AMN S ABC

V

V

A.1

2 B

1

3 C.

3

8 D.

4

Câu 49: Thiết diện hình trụ mặt phẳng chứa trục hình trụ hình chữ nhật có chu vi 12cm Giátrị lớn thể tích khối trụ

A.

32cm B 64

cm

 C.

cm

 D. 16

cm



Câu 50: Cho hàm số f x  liên tục R có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình 3sin cos  4

2 cosx sinx

x x

f     f m  m

 

  có nghiệm?

Trang | 31 ĐÁP ÁN

1-C 2-A 3-C 4-A 5-D 6-B 7-C 8-C 9-C 10-D

Trang | 32 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia