Bài giảng giải tích 1 lê chí ngọc

Giải tích Mục lục MỤC LỤC Lê Chí Ngọc Khoa Toán-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang Giải tích Lời nói đầu LỜI NĨI ĐẦU Với mục đích ghi lại vài thu hoạch sau năm cơng tác vai trị giảng viên tập Khoa Toán-Tin ứng dụng, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội, tác giả biên soạn tài liệu Bài giảng giải tích I Tài liệu gồm nội dung lý thuyết tập phục vụ cho việc giảng dạy học phần Giải tích I trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Tác giả biên soạn tập tài liệu trước hết với mục đích sử dụng làm giáo án giảng dạy, đồng thời hy vọng giúp đỡ phần giảng viên trẻ việc chuẩn bị giảng lên lớp Tác giả xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp giúp đỡ nhiều thời gian tập Khoa Toán-Tin ứng dụng, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Đặc biệt tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới GS Lê Trọng Vinh, TS Phan Hữu Sắn, TS Trần Xuân Tiếp, Ths Lê Cường nhiều anh chị đồng nghiệp trẻ thuộc seminar Bồi dưỡng cán trẻ Khoa Toán-Tin ứng dụng, trường Đại học Bách Khoa Hà Nội có hướng dẫn đáng quý để tác giả có kinh nghiệm kiến thức chuyên môn kiến thức sư phạm Tác giả xin phép gửi lời cảm ơn tới GS Nguyễn Đình Trí, người giảng dạy mơn học giải tích cho tác giả ngồi ghế nhà trường Hà Nội, tháng năm 2006 Tác giả Lê Chí Ngọc Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang Giải tích Tổng quan học phần TỔNG QUAN HỌC PHẦN Tên học phần: Giải tích I Hệ đào tạo: Chính quy Chuyên ngành: Các chuyên ngành kỹ sư công nghệ, kỹ thuật Trình độ: Sinh viên năm thứ nhất, học kỳ I Phân bổ thời gian: Lý thuyết: 13 tuần x tiết = 39 tiết Bài tập: 12 tuần x tiết = 36 (03 tiết ôn tập, kiểm tra dự trữ) Điều kiện tiên quyết: Hoàn thành chương trình phổ thơng Nội dung vắn tắt: Các phép tính vi tích phân hàm biến, phép tính vi phân hàm nhiều biến Nhiệm vụ sinh viên: Lên lớp đầy đủ Làm tập theo yêu cầu giáo viên Tài liệu học tập: Đề cương tập khoa soạn Các tài liệu tham khảo (ở phần tài liệu tham khảo) 10 Hình thức đánh giá: Thi viết (có thể trắc nghiệm) cuối học phần 11 Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên kiến thức hàm số biến số nhiều biến số: Giới hạn, liên tục, đạo hàm, vi phân Các ứng dụng phép tính vi phân Các kiến thức tích phân bất định tích phân xác định hàm biến Các ứng dụng phép tính tích phân hàm biến Sơ lược lý thuyết trường vô hướng trường véc tơ Trên sở đó, học tiếp học phần sau Tốn mơn kỹ thuật khác, góp phần tạo nên tảng Tốn học cho kỹ sư ngành công nghệ 12 Nội dung chi tiết: Khối lượng môn học: đvht Khối lượng lý thuyết: 39 tiết Khối lượng tập: Lê Chí Ngọc 36 tiết Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang Giải tích Tổng quan học phần 13 Phương tiện giảng dạy: Phấn, bảng 14 Bố cục giảng: Các giảng chia theo tuần Mỗi giảng bao gồm ba phần: (1) Tổng quan giảng; (2) Nội dung lý thuyết (3 tiết); (3) Nội dung tập (3 tiết) Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang Giải tích Tuần I Hàm số, dãy số Tuần I Hàm số, dãy số A Tổng quan Nội dung vắn tắt: Sơ lược kiến thức tập hợp Dãy số Hàm số Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên kiến thức sơ lược tập hợp, tập số N, Z, Q, R Dãy số: định nghĩa; khái niệm: đơn điệu, bị chặn, giới hạn phép toán; tiêu chuẩn tồn giới hạn: tiêu chuẩn kẹp, tiêu chuẩn đơn điệu, bị chặn, tiêu chuẩn Cauchy Hàm số: định nghĩa; khái niệm: tập xác định, tập giá trị, hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn, hàm hợp, hàm ngược; hàm số sơ cấp: khái niệm, hàm số sơ cấp Các kiến thức cần có trước: Các kiến thức tập hợp, dãy số hàm số học chương trình phổ thơng Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang Giải tích Tuần I Hàm số, dãy số B Lý thuyết I Tập hợp Khái niệm tập hợp Tập hợp khái niệm không định nghĩa Tốn học Trong chương trình phổ thơng, quen thuộc với tập hợp số tự nhiên N, tập hợp số nguyên Z, tập hợp số hữu tỉ Q tập hợp số thực R Trong phần này, không sâu vào tập hợp vấn đề liên quan mà nhắc lại số khái niệm tập con, tập rỗng, phép toán tập hợp tính chất, tích Decartes, ánh xạ Các phép toán tập hợp A  B := {x | x  A x  B} A  B := {x | x  A x  B} A\B := {x | x  A x  B} A Δ B := (A  B)\(A  B) Các tính chất với phép tốn tập hợp a) A  B = B  A b) A  B = B  A c) (A  B)  C = A  (B  C) d) (A  B)  C = A  (B  C) e) (A  B)  C = (A  C)  (B  C) f) (A  B)  C = (A  C)  (B  C) g) A\(B  C) = (A\B)  (A\C) h) A\(B  C) = (A\B)  (A\C) II Dãy số* Định nghĩa Định nghĩa 1.2.1: Một dãy số thực (nói ngắn gọn dãy số) ánh xạ từ N* vào R: n  N*  xn  R Người ta thường dùng ký hiệu: {xn}, n = 1, 2, …, x1, x2, …, xn, … để dãy số Số i = 1, 2, …, n, … gọi số * Khái niệm dãy số giới hạn dãy học chương trình phổ thơng, phần chủ yếu mang tính chất nhắc lại xác hóa khái niệm Lê Chí Ngọc Khoa Toán-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang Giải tích Tuần I Hàm số, dãy số Chú thích: Trong nhiều tài liệu, dãy số số 0, đó, tập N* định nghĩa nói thay N Ví dụ: a) {xn}; xn = 1 ; x1 = 1; x2 = ; …; xn = ; … n n b) {xn}; xn = 1; x1 = 1; x2 = 1; …; xn = 1; … c) {xn}; xn = (-1)n; x1 = -1; x2 = 1; …; xn = (-1)n; … d) {xn}; xn = n2; x1 = 1; x2 = 4; …; xn = n2; …   1 n n n e) {xn}; xn = 1   ; x1 = 2; x2 =  1 ; …; xn = 1   ; …  n Định nghĩa giới hạn dãy Định nghĩa 1.2.2: Dãy {xn} gọi hội tụ  a  ε > (  nε  n > nε => |xn - a| < ε) Ta nói dãy {xn} hội tụ đến a, hay a giới hạn dãy {xn} viết xn → a n → ∞ hay lim xn = a n  Nếu dãy {xn} không hội tụ, ta nói phân kỳ Ví dụ: Xét ví dụ mục trước, ta có: 1 a) Ta có  ε > 0, với nε =    n > nε => |xn - a| < ε, lim xn = n   b) |xn - 1| =  n, lim xn = n  c) {xn}; Xét với a bất kỳ, ta có: i) Nếu a ≥ ta có  n lẻ, xn = -1 => |xn - a| > ii) Nếu a < ta có  n chẵn, xn = => |xn - a| > Nghĩa {xn} phân kỳ Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang Giải tích Tuần I Hàm số, dãy số Các kết giới hạn dãy Định lý 1.2.1: Nếu dãy hội tụ giới hạn (+)Chứng minh:* Giả sử lim xn = a lim xn = b Khi đó,  ε >  n1 n2 cho: n  n  n > n1 => |xn - a| < ε/2 n > n2 => |xn - b| < ε/2 Đặt n0 = max(n1,n2) => với n > n0, ta có: |a - b| ≤ |a - xn| + |xn - b| < ε/2 + ε/2 = ε Để ý rằng, ta có bất đẳng thức  ε > 0, |a - b| = hay a = b ■ Định lý 1.2.2: Nếu dãy {xn} hội tụ giới nội ({xn}  (b,c), với (b,c) khoảng đó) (+)Chứng minh: Giả sử lim xn = a Khi  n0 cho n > n0 => |xn - a| < 1, gọi b, c n  số bé lớn tập hữu hạn {a - 1, x1, x2, , xn, a + 1}, thì: {xn}  (b,c) ■ Định lý 1.2.3: Cho dãy số hội tụ {xn}, giả sử m ≤ xn ≤ M  n, m ≤ lim xn ≤ M n  (+)Chứng minh: Đặt x = lim xn,  ε > 0,  n0 cho: n > n0 => |xn - x| < ε Khi n  đó: x - M ≤ x - xn ≤ |x - xn| < ε Để ý rằng, ta có bất đẳng thức  ε > 0, x - M ≤ m - x ≤ xn - x ≤ |xn - x| < ε Để ý rằng, ta có bất đẳng thức  ε > 0, m - x ≤ ■ Định lý 1.2.3: Cho hai dãy số hội tụ {xn}, {yn}, n → ∞ xn → y, yn → y Khi đó: i) lim (xn+yn) = x+y ii) lim (Cxn) = Cx iv) lim (xnyn) = xy v) lim ( n  n  n  n  iii) lim (C + xn) = C + x n  x x ) = (yn,y ≠ 0) vi) lim ( n ) = (yn,y ≠ 0) n  y y y yn n vii) xn → a, zn → a, xn ≤ yn ≤ zn  n => yn → a (+)Chứng minh: i)  ε >  n1 n2 cho: * Các phần có đánh dấu (+) giảng cho sinh viên điều kiện thời gian cho phép Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang Giải tích Tuần I Hàm số, dãy số n > n1 => |xn - x| < ε/2 n > n2 => |yn - y| < ε/2 Đặt n0 = max(n1,n2) => với n > n0, ta có: |x + y - a - b| ≤ |a - xn| + |xn - b| < ε/2 + ε/2 = ε hay lim (xn+yn) = x+y n  ii)  ε >  n0 cho: n > n0 => |xn - x| < ε/|C| => |Cxn - Cx| = |C||xn - x| < ε hay lim Cxn = Cx n  iii) Ta có lim C = C => lim (C + xn) = C + x n  n  iv) {xn} {yn} hội tụ => giới nội =>  M > để |xn|, |yn| < M  n Ta có  ε >  n0 cho: n > n0 => |xn - x| <   |yn - y| < 2M 2M => |xnyn - xy| = |(xn-x)yn + x(yn - y)| ≤ |xn - x||yn| + |x||yn - y| < hay:   M + M =ε 2M 2M lim (xnyn) = xy n  v)  ε >  n0 cho: n > n0 => |y| - |yn| ≤ |yn - y| < |yn - y| < y y => |yn| > 2 y 2 |y y| | yn  y | y 2 1 1 ≤ < = ε hay lim ( ) =  = n n  y yn y y2 y | y n || y | | y |2 n => vi) Hiển nhiên từ iv) v) Định lý 1.2.4: Cho hai dãu số {xn} {yn} hội tụ Nếu  n* cho: n > n* => xn ≥ yn lim xn ≥ lim yn n  n  (+)Chứng minh: Đặt lim xn = x lim yn = y,  ε >  n0 cho: n > n0 n  => n  y - x ≤ y - yn + xn - x ≤ |y - yn| + |xn - x| < ε/2 + ε/2 = ε Để ý bất đẳng thức  ε > => y - x ≤ 0, hay y ≤ x ■ Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang Giải tích Tuần I Hàm số, dãy số Định lý 1.2.5 (Tiêu chuẩn kẹp): Cho ba dãy {xn}, {yn}, {zn}, lim xn = a, lim zn = a Giả n  n  sử  n0 cho: n > n0 => xn ≤ yn ≤ zn lim yn = a n  (+)Chứng minh:  ε > 0,  n0 cho: n > n0 => a - ε ≤ xn ≤ yn ≤ zn ≤ a + ε hay lim yn = a ■ n  Ví dụ: Xét dãy {xn}, xn = cos n 1 cos n 1 , ta có: ≤ ≤  n mà lim = lim = n  n n  n n n n n => lim xn = n  Định nghĩa 1.2.3: i) Dãy {xn} gọi tăng xn < xn+1  n ii) Dãy {xn} gọi không giảm xn ≤ xn+1  n iii) Dãy {xn} gọi giảm xn > xn+1  n iv) Dãy {xn} gọi không tăng xn ≥ xn+1  n v) Dãy {xn} tăng, giảm, không giảm hay không tăng gọi đơn điệu vi) Dãy {xn} gọi bị chặn  c cho xn ≤ c  n vii) Dãy {xn} gọi bị chặn  d cho xn ≥ d  n Định lý 1.2.6: Dãy đơn điệu khơng giảm (tăng) bị chặn (dưới) hội tụ Định nghĩa 1.2.4: Dãy {xn} dãy Cauchy nếu:  ε >  nε (  m > n > nε => |xm - xn| < ε) Định lý 1.2.5: Dãy {xn} hội tụ dãy Cauchy Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng, Đại Học Bách Khoa Hà Nội Trang 10 Giải tích Tuần X Hàm nhiều biến c) Trong tiêu chuẩn tính liên tục hàm nhiều biến, nói chung, δ = δ(ε,M0) Nếu miền D, δ = δ(ε), ta có khái niệm liên tục Hàm số f(M) gọi liên tục miền D nếu: (  ε > 0) (  δ > 0) :  M1,M2  D | d(M1,M2) < δ => |f(M1) - f(M2)| < ε d) Hàm nhiều biến số liên tục có tính chất phép toán tương tự hàm liên tục biến số Lê Chí Ngọc Bộ mơn Tốn Tin, Khoa Tốn-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 123 Giải tích Tuần X Hàm nhiều biến C Bài tập Tìm miền xác định hàm số sau: a) z = b) z = (x  y  1)(4  x  y ) c) z = arcsin x  y 1 d) z = g) z = ln a) d) e) z = x sin y x2  y2 x y h) z = arcsin x + xy xy  x 2y2 i) z = sin (x  y ) Tìm giới hạn (nếu có) hàm số sau lim ( x , y )  ( ,0 ) x  y2 x y b) xy ( x , y )(  , ) x  xy  y lim sin xy g) lim ( x , y ) ( , ) x j) f) z = arctg x sin y y 1 x lim ( x , y )(  ,  ) e) h) ( x  y )e ( x  y) lim ( x , y )(  , ) sin x 2x  y x2  xy  1   ( x , y ) (  , a )  x lim lim ( x , y ) ( , ) y x y  xy (1  xy ) k) lim ( x , y ) ( , ) c) f) i) lim ( x , y )( ,0 ) lim (x  y ) x y2  cos( x  y ) ( x , y ) ( , ) x y (x  y ) y x y y 2x (1  xy )  | xy |  Khảo sát tính liên tục hàm số f(x,y) =  x  y   Lê Chí Ngọc xy ( x , y )  ( ,0 ) x  y lim : (x , y)  (0,0) : ( x, y)  (0,0) Bộ mơn Tốn Tin, Khoa Tốn-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 124 Giải tích Tuần XI Đạo hàm vi phân hàm nhiều biến Tuần XI Đạo hàm vi phân hàm nhiều biến A Tổng quan Nội dung vắn tắt: Tích phân suy rộng Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên khái niệm tích phân suy rộng: có cận vơ hạn hữu hạn, định nghĩa, ý nghĩa hình học; khái niệm: hội tụ, phân kỳ, giá trị tích phân, hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ, dấu hiệu so sánh Các kiến thức cần có trước: Các kiến thức hàm số, liên tục, đạo hàm hàm số, tích phân bất định tích phân xác định Lê Chí Ngọc Bộ mơn Tốn Tin, Khoa Tốn-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 125 Giải tích Tuần XI Đạo hàm vi phân hàm nhiều biến B Lý thuyết Đạo hàm riêng a) Cho hàm số u = f(x,y) xác định miền D; M0(x0,y0)  D, hàm số biến số x  f(x,y0) có đạo hàm x = x0 đạo hàm gọi đạo hàm riêng f x x0, ký hiệu f’x(x0,y0), hay f (x0,y0) Ta có: x f (x  x , y )  f ( x , y ) x 0 x f’x(x0,y0) = lim b) Tương tự, ta có khái niệm đạo hàm riêng f y f (x , y  y)  f (x , y ) y 0 y f’y(x0,y0) = lim Ví dụ: z = xy => z’x = yxy-1, z’y = xylnx Vi phân toàn phần a) Cho hàm số z = f(x,y) xác định miền D, M0(x0,y0)  D, biểu thức: Δf = f(x0 + Δx,y0 + Δy) - f(x0,y0) gọi số gia tồn phần f M0 Nếu biểu diễn dạng: Δf = A.Δx + B.Δy + α x  y α → x  y → 0, A,B số, ta nói f khả vi M0 biểu thức A.Δx + B.Δy gọi vi phân toàn phần z = f(x,y) M0, ký hiệu dz hay df b) Nếu hàm số z = f(x,y) có đạo hàm riêng lân cận điểm M0(x0,y0), đạo hàm riêng liên tục M0 f(x,y) khả vi M0, ta có dz = f’xΔx + f’yΔy c) Ta có cơng thức tính gần đúng: f(x0 + Δx,y0 + Δy) ≈ f(x0,y0) + df Đạo hàm hàm hợp Cho φ : D  R2 → φ(D)  R2 (x,y)  (u,v) = (u(x,y),v(x,y)) Lê Chí Ngọc Bộ mơn Tốn Tin, Khoa Tốn-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 126 Giải tích Tuần XI Đạo hàm vi phân hàm nhiều biến f : φ(D) → R, đặt F = foφ: F(x,y) = f(φ(x,y)) = f(u(x,y),v(x,y)) Khi đó, f có đạo hàm riêng riêng f f , liên tục D, u, v có đạo hàm u v u u v v F F , , , D D có đạo hàm riêng , , đồng thời x y x y x y F F f u f f f u f v = + = + x u x v x y u y v y Vi phân toàn phần hàm số z = f(u,v) có dạng cho dù u, v biến độc lập hàm số biến số độc lập khác Khái niệm hàm ẩn Cho phương trình F(x,y) = (*), F : U → R hàm số xác định tập D  R2 Phương trình xác định hay nhiều hàm số ẩn theo x khoảng I Hàm số f : I → R hàm số ẩn xác định (*)  x  I, (x,f(x))  D, đồng thời F(x,f(x)) = Tương tự thế, phương trình F(x,y,z) = xác định hay nhiều hàm số ẩn z biến số x,y F( x, y, z, u, v)  , F : U → R G : U → R, với U  G ( x, y, z, u , v)  Hệ hai phương trình  R5 xác định hay nhiều cặp hàm số ẩn u, v biến số x,y,z Định lý tồn hàm ẩn Cho phương trình F(x,y) = (*), F : U  R hàm số có đạo hàm riêng liên tục tập hợp mở U  R2 Giả sử (x0,y0)  U, F(x0,y0) = Nếu F’y(x0,y0) ≠ phương trình xác định hàm số ẩn y = f(x) lân cận x0, hàm có giá trị y0 x = x0, liên tục có đạo hàm liên tục lân cận Cho phương trình F(x,y,z) = (**), F : U → R hàm số có đạo hàm riêng liên tục tập mở U  R3, Giả sử (x0,y0,z0)  U, F(x0,y0,z0) = Nếu F’z(x0,y0,z0) ≠ phương trình (**) xác định lân cận điểm Lê Chí Ngọc Bộ mơn Tốn Tin, Khoa Tốn-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 127 Giải tích Tuần XI Đạo hàm vi phân hàm nhiều biến (x0,y0) hàm số ẩn z = f(x,y), hàm số có giá trị z0 x = x0, y = y0, liên tục có đạo hàm riêng liên tục lân cận nói F( x, y, z, u, v)  (***), F : U → R G : U → R G ( x, y, z, u , v)  Cho hệ hai phương trình  hai hàm số có đạo hàm riêng liên tục tập hợp mở U  R5 Giả sử (x0,y0,z0,u0,v0)  U, F(x0,y0,z0,u0,v0) = 0, G(x0,y0,z0,u0,v0) = 0, hệ (***) xác định cặp hàm số ẩn u = f(x,y,z), v = g(x,y,z), hàm số có giá trị theo thứ tự u0, v0 x = x0, y = y0, z = z0, chúng liên tục có đạo hàm riêng liên tục lân cận nói Đạo hàm hàm ẩn Giả sử phương trình (*) xác định hàm số ẩn y = y(x), F' dy = x dx F' y Giả sử phương trình (**) xác định hàm số ẩn z = z(x,y), z’x =   F' x , z’y = F' z F' y F' z Giả sử hệ phương trình (***) xác định cặp hàm số ẩn u = u(x,y,z), v = v(x,y,z), D(F, G ) D( x, v) ta có u’x = , v’x = D(F, G ) D( u , v) Lê Chí Ngọc D(F, G ) D(u , x ) , tương tự cho u’y, v’y, u’z, v’z D(F, G ) D( u , v) Bộ mơn Tốn Tin, Khoa Toán-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 128 Giải tích Tuần XI Đạo hàm vi phân hàm nhiều biến C Bài tập Tìm đạo hàm riêng hàm số sau a) z = (1 + xy) y b) z = e sin y x f) z = x y (x,y > i) u = x yz g) z = ln(x + (x,y,z > 0) j) u = e x  y z x y d) z = x  y2 ) xy xy h) z = arctg k) z = (sinx)xy x e) z = x  y2 x  y2 x  y2 l) z = e xy ( x  y2 ) y z m) u = x c) z = y2sin Khảo sát liên tục, tồn tại, liên tục đạo hàm riêng hàm số f(x,y) sau:  xarctg y  a) f(x,y) =  x   x0 x0  x sin y  y sin x  x2  y2  b) f(x,y) =   xy  c) f(x,y) =  x  y  (x , y)  (0,0) ( x, y)  (0,0) ( x, y)  (0,0) (x , y)  (0,0) ( x, y)  (0,0) (x , y)  (0,0) Giả sử z = yf(x2 - y2), f hàm số khả vi Chứng minh hàm số z, hệ thức sau thoả mãn:  y4  d) f(x,y) =  x  y   z' y z' x z + = x y y Tìm đạo hàm hàm số hợp sau a) z = e u 2 v , u = cosx, v = x  y2 c) z = eusinv, u = x2 + y2, v = xy e) z = ln uv , u = x, v = uv Lê Chí Ngọc x  y2 b) z = ln(u2 + v2), u = xy, v = x/y d) z = (1 + uv)v, u = x2 - y2, v = x + y f) z = arcsin(x - y), x = 3t, y = 4t3 Bộ mơn Tốn Tin, Khoa Tốn-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 129 Giải tích Tuần XI Đạo hàm vi phân hàm nhiều biến x y g) z = sin2(x + y2), x = cos3t, y = sin3t h) z = arctg , x = cost, y = sin2t i) z = ex-2y, x = sint, y = t3 j) z = arcsin(x - y), x= sint, y = t3 Tìm vi phân tồn phần hàm số a) z = lntg y x g) z = arcsin b) z = xy y x k) u = x y z x  y3 x2  y2 d) z = yx + xy e) z = e x sin2y xy xy h) z = sin(x2 + y2) i) z = arctg l) u = zxy m) u = (xy)z j) u = x  y2  z2 n) u = sinyzx (1,02)  (0,05) b) B = ln( 1,03 + 0,98 - 1) c) C = (0,97)2,02 Tìm đạo hàm y’ hàm số ẩn xác định phương trình sau xy y = a a a) x3y - y3x = a4 b) arctg e) xy = yx f) y + cos(x + y) = g) arctg(xy) + ex-y = Tính gần a) A = c) z = c) y + tg(x + y) = d) y = arctg(x + y) Tính đạo hàm z’x, z’y hàm số ẩn z = z(x,y) xác định a) z2 + = x b) x + y + z = ez c) x3 + y3 + z3 - 3xyz = d) x2 + z3 - 3xyz = a3 e) z3 - x3 - y3 = a3 f) x3 + y3 - z3 = sin(xyz) g) x + y + z = xyz h) z = arctg Lê Chí Ngọc y2  z2 y zx Bộ mơn Tốn Tin, Khoa Tốn-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 130 Giải tích Tuần XI Đạo hàm vi phân hàm nhiều biến Cho u = xz , tính u’x, u’y biết z hàm số ẩn x,y xác định phương yz trình zez = xex + yey x  y  z  10 Tìm đạo hàm hàm số ẩn y(x), z(x) xác định hệ  2 x  y  z  11 Phương trình z2 + x2z’x + z' y y Lê Chí Ngọc = = x y  z , xác định hàm ẩn z = z(x,y) Chứng minh z Bộ mơn Tốn Tin, Khoa Tốn-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 131 Giải tích Tuần XII Đạo hàm vi phân cấp cao, cực trị hàm nhiều biến Tuần XII Đạo hàm vi phân cấp cao, cực trị hàm nhiều biến A Tổng quan Nội dung vắn tắt: Tích phân suy rộng Mục tiêu: Cung cấp cho sinh viên khái niệm tích phân suy rộng: có cận vơ hạn hữu hạn, định nghĩa, ý nghĩa hình học; khái niệm: hội tụ, phân kỳ, giá trị tích phân, hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ, dấu hiệu so sánh Các kiến thức cần có trước: Các kiến thức hàm số, liên tục, đạo hàm hàm số, tích phân bất định tích phân xác định Lê Chí Ngọc Bộ mơn Tốn Tin, Khoa Tốn-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 132 Giải tích Tuần XII Đạo hàm vi phân cấp cao, cực trị hàm nhiều biến B Lý thuyết Định lý Schwartz Nếu lân cận U điểm M0(x0,y0), hàm số z = f(x,y) có đạo hàm riêng f’’xy, f’’yx đạo hàm liên tục M0 f’’xy = f’’yx M0 Chú ý tính bất biến vi phân cấp cao (lớn hay 2) hàm số nhiều biến khơng cịn Cơng thức Taylor Giả sử hàm số f(x,y) có đạo hàm riêng đến cấp (n + 1) liên tục lân cận điểm M0(x0,y0), điểm M(x0 + Δx,y0 + Δy) nằm lân cận đó, ta có: f(x0 + Δx,y0 + Δy) - f(x0,y0) = df(x0,y0) + 1 d f(x0,y0) + … + dnf(x0,y0) + f(x0 2! n! (n  1)! + θΔx,y0 + θΔy) (0 < θ < 1) Cực trị hàm nhiều biến Cho hàm số z = f(x,y) xác định miền D đó, M0(x0,y0) điểm D Ta nói f(x,y) đạt cực trị M0 với điểm M lân cận M0, khác M0, hiệu số f(M) - f(M0) có dấu khơng đổi Nếu f(M) - f(M0) > 0, ta có cực tiểu, f(M) - f(M0) < 0, ta có cực đại Quy tắc tìm cực trị Đặt p = f’x(M), q = f’y(M), r = f’’xx(M), s = f’’xy(M), t = f’’yy(M) Nếu hàm số f(x,y) đạt cực trị M0 đạo hàm riêng p = f’x(M), q = f’y(M) tồn tại, đạo hàm riêng khơng: p = q = M0 Giả sử hàm số z = f(x,y) có đạo hàm riêng đến cấp hai liên tục lân cận M0(x0,y0) Giả sử M0 ta có p = q = Khi đó, M0, ta có: a) Nếu s2 - rt < f(x,y) đạt cực trị M0, cực tiểu r > cực đại r < b) Nếu s2 - rt > f(x,y) không đạt cực trị M0 c) Nếu s2 - rt = 0, f(x,y) khơng đạt cực trị M0 (trường hợp nghi ngờ) Lê Chí Ngọc Bộ mơn Tốn Tin, Khoa Tốn-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 133 Giải tích Lê Chí Ngọc Tuần XII Đạo hàm vi phân cấp cao, cực trị hàm nhiều biến Bộ mơn Tốn Tin, Khoa Tốn-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 134 Giải tích Tuần XII Đạo hàm vi phân cấp cao, cực trị hàm nhiều biến C Bài tập Tính đạo hàm riêng cấp hai hàm số sau a) z = (x  y )3 b) z = x2ln(x+y) f) z = e x  y e) z = sinxcosy 2 c) z = arctg y x d) z = 2x2y3 g) z = xsinxy + ycosxy Tìm đạo hàm hàm ẩn sau a) sin(x + y) - y = 0, tính y’, y’’ b) x + y2 = 1, tính y’, y’’, y’’’ y x c) ln x  y = arctg , tính y’’ Lấy vi phân cấp hai hàm số sau 2( x  y ) a) z = xy2 - x2y b) z = e) z = ln(x - y) g) z = (x + y)ex+y c) z = exsiny d) z = xy h) z = arctg(xy) i) z = sinxsiny b) z = x + y - xey c) z = x3 + y3 - 3xy j) z = cos(x + y) Tìm cực trị hàm số sau a) z = x2 + xy + y2 + x - y + d) z = x2 + y2 - e  ( x  y2 ) g) z = xy  x  y k) z = x3 + y3 - 3x - 6y e) z = 2x4 + y4 - x2 - 2y2 f) z = x3 + y3 - 9xy + 27 i) z = xy2(1 - x - y) j) z = (x - 1)2 + 2y2 l) z = + 6x - x2 - xy - y2 m) z = x2 + xy + y2 - 2x - y Lê Chí Ngọc Bộ mơn Tốn Tin, Khoa Tốn-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 135 Giải tích Tuần XII Đạo hàm vi phân cấp cao, cực trị hàm nhiều biến Tuần XIII Giá trị lớn nhỏ nhất, cực trị có điều kiện A Lý thuyết Giá trị lớn nhỏ Để tìm giá trị lớn (nhỏ nhất) hàm số miền D, phải tìm điểm tới hạn, (điểm cực đại (cực tiểu)), hàm số sau so sánh giá trị hàm điểm với với điểm cực đại (cực tiểu) biên D, từ rút kết luận giá trị lớn (nhỏ nhất) vị trí điểm đạt giá trị Cực trị có điều kiện, phương pháp nhân tử Lagrange Người ta gọi cực trị hàm số z = f(x,y) (*), biến số x y bị ràng buộc hệ thức g(x,y) = (**) cực trị có điều kiện Giả sử M0(x0,y0) điểm cực trị có điều kiện hàm số (*) với điều kiện (**), đồng thời: a) Ở lân cận M0, hàm số f(x,y), g(x,y) có đạo hàm riêng cấp liên tục b) Các đạo hàm riêng g’x, g’y không đồng thời khơng M0 Khi đó, ta có, M0: f 'x f 'y g' x g' y = (***) Điều kiện (***) tương ứng với việc tồn số λ cho M0, ta có: f ' x ( x , y)  g ' x ( x , y)  (****)  f ' ( x , y )   g ' ( x , y )  y y  Hệ (****) với (**) cho ta tìm λ, x0, y0, nghĩa tìm điểm mà hàm (*) có cực trị với điều kiện (**) Số λ gọi nhân tử Lagrange, phương pháp gọi phương pháp nhân tử Lagrange F' x   Có thể tóm lược sau: đặt F(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y), giải hệ F' y  để tìm  F'   điểm cực trị (*) thoả điều kiện (**) Lê Chí Ngọc Bộ mơn Tốn Tin, Khoa Tốn-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 136 Giải tích Tuần XII Đạo hàm vi phân cấp cao, cực trị hàm nhiều biến B Bài tập Tìm cực trị có điều kiện a) z = 1 1 + với + = x y a x y b) z = xy với x + y = c) z = x2 + y2 với ax + by + c = d) z =  x  y với x + y - = e) z = - 4x - 3y với x2 + y2 = f) z = x + 2y với x2 + y2 = Tính giá trị lớn bé hàm số a) z = x2y(4 - x -y) hình tam giác giới hạn x = 0, y = 6, x + y = b) z = sinx + siny + sin(x + y) hình chữ nhật giới hạn x = 0, x = π/2, y = 0, y = π/2 c) z = 8x2 + 3y2 + - (2x2 + y2 + 1)2 miền x2 + y2 ≤ d) z = x2 + y2 -xy + x + y miền x,y ≤ 0, x + y ≥ -3 e) z = 2x2 + 2y2 + (x - 1)2 + (y - 1)2 tam giác O(0;0), A(1;0), B(0;1) f) z = x2 + y2 - xy - 4x miền x,y ≥ 0, 2x + 3y ≤ 12 g) z = xy miền x2 + y2 ≤ h) z = x2 - y2 miền x2 + y2 ≤ i) z = x2y(2 - x - y) miền x,y ≥ 0, x + y ≤ j) z = x + y miền x2 + y2 ≤ k) z = x3 - y3 - 3xy miền ≤ x ≤ 2, -1 ≤ y ≤ l) z = x2 + y2 - 12x + 16y miền x2 + y2 ≤ 25 Lê Chí Ngọc Bộ mơn Tốn Tin, Khoa Tốn-Tin ứng dụng, ĐH BKHN Trang 137 ... = 1 ; x1 = 1; x2 = ; …; xn = ; … n n b) {xn}; xn = 1; x1 = 1; x2 = 1; …; xn = 1; … c) {xn}; xn = ( -1) n; x1 = -1; x2 = 1; …; xn = ( -1) n; … d) {xn}; xn = n2; x1 = 1; x2 = 4; …; xn = n2; …   1? ??... phân tích thành thừa số x 10 0  2x  x 10 0  x  (x  1) ( x  1) (x ( x 98  x 97    1)  1) = lim = lim x ? ?1 x 50  x  x ? ?1 x 50  x  ( x  1) x ? ?1 ( x  1) ( x ( x 48  x 47  ? ?1)  1) Ví... (n k) (x)g(k) (x)  f (n ? ?1? ??k) (x)g(k ? ?1) (x)  k 0 = f(n)(x)g(x) + n ? ?1   Ckn 1f (n k) (x)g(k) (x)  Ckn ? ?11 f (n ? ?1? ??(k ? ?1) ) (x)g((k ? ?1) ? ?1) (x)  + k ? ?1 Lê Chí Ngọc Khoa Tốn-Tin ứng dụng,