Bài giảng lý thuyết xác suất và thống kê toán bài 7 TS nguyễn mạnh thế

BÀI KIỂM Ể ĐỊNH GIẢ Ả THUYẾT Ế THỐNG Ố KÊ Ê TS N TS Nguyễn ễ M Mạnh h Thế v1.0012107210 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI Tình Kết luận Cơng ty Hồng sản kỳ xuất mỳ theo dâynhiên chuyền tiêu • Kiểm định Lâm so sánh vọng biến ngẫu có phânĐức phốiTheo chuẩn chuẩn((với trọng gói mỳ ộ g giálượng trịị cho trước kỳỳ vọng) ọ g) đóng máy tự động 453g Nghi hợp ngờ máy động làm việc khơng cịn đủ xác, cơng ty Trường tự biết: Hồng Lâm tiến hành kiểm tra ngẫu nhiên 81 gói ta thấy trọng lượng trung Bài tốn 1: bình 448g Với mức ý nghĩa 0.05 cho trọng lượng gói mỳ   0 H0 :đạt khơng tiêu chuẩn hay khơng? Biết trọng lượng gói mỳ    0có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn 36g biến ngẫu H1 :nhiên Tiê chuẩn Tiêu h ẩ kiểm kiể định: đị h hỏi gợi mở (X Câu  0) Hình Miền tiêu chuẩn U n ~ N(0,1) Câu 1: Trọng lượng trung bình 01 góiphân mỳ phối chuẩn chuẩn  theo điều tra a bao • Với mức ý nghĩa chonhiêu? trước, ta có miền bác bỏ: Câu 2: Để “dây chuyền hoạt với ; bác U / 2bỏ giả Uthuyết ;   P U  U      /2 /2   động ộ tốt, ố trọng lượng mỳỳ í ú tiêu ê chuẩn” ẩ tiêu chuẩn kiểm định phải không nằm x   Nếu giá trị Uqqs  n  W  kỳ vọng biến X thực  0 g nào? khoảng  Câu 3: Dây chuyền cịn hoạt động tốt khơng? v1.0012107210 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI (tiếp theo) Kết luận • Kiểm định so sánh kỳ vọng biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn ((với ộ g giá trịị cho trước kỳỳ vọng) ọ g) Trường hợp 2 biết: Bài toán 1: H0 :   0  H1 :   0 Tiê chuẩn Tiêu h ẩ kiểm kiể định: đị h (X  0 ) Hình Miền tiêu chuẩn U n ~ N(0,1) phân phối chuẩn chuẩn  • Với mức ý nghĩa a cho trước, ta có miền bác bỏ:  ;  U   U  /2  /2 ;    với P  U  U /    Nếu giá trị Uqqs  x  0 n  W  kỳ vọng biến X thực  0  v1.0012107210 MỤC TIÊU Khái niệm giả thuyết ế thống ố kê ê Kiểm định tham số Một ộ số tiêu chuẩn kiểm định phi tham số • Miền bác bỏ; • Các bước làm tốn kiểm định • Tham số kỳ vọng; • Tham Th số ố phương hươ sai; i • Tham số tỉ lệ • Kiểm định ị g giả thuyết y p phân phối; p ; • So sánh nhiều tỉ lệ; • Kiểm định tính độc lập v1.0012107210 KHÁI NIỆM GIẢ THUYẾT THỐNG KÊ Khái hái niệm: iệ Giả thuyết thống kê mệnh đề tham số tổng thể Ký hiệu H0 giả thuyết tham số tổng thể, thể kèm với giả thuyết mệnh đề đối lập gọi đối thuyết, ký hiệu H1 Bài toán kiểm định giả thuyết thống kê gồm cặp giả thuyết H0 đối thuyết H1 • Sai lầm loại I: Bác bỏ giả thuyết H0 thực tế H0 α xác suất mắc sai lầm loại 1 • Sai lầm loại II: Chấp p nhận ậ g giả thuyết y H0 g thực ự tế H0 sai β xác suất mắc sai lầm loại  gọi mức ý nghĩa, thường lấy nhỏ: 0,05; 0,02; 0,01 v1.0012107210 1.1 MIỀN BÁC BỎ Để giải toán kiểm định giả thuyết ta xây dựng thống kê G gọi tiêu chuẩn thống kê Định nghĩa 1: Thống kê T  G(X1  X   X n ) gọi tiêu chuẩn thống kê giá trị dùng để xem xét bác bỏ hay chấp nhận giả thuyết H0 Định nghĩa 2: Miền dùng với tiêu chuẩn thống kê T giá trị cụ thể tqs tiêu chuẩn để đưa kết luận giả thuyết H0 t qs  W bác bỏ giả thuyết H0 hấ nhận hậ giả iả thuyết th ết H0 t qs  W c chấp v1.0012107210 1.2 CÁC BƯỚC LÀM BÀI TOÁN KIỂM ĐỊNH Bước Xác định tham số kiểm định, đặt giả thuyết đối thuyết Bước Xác định tiêu chuẩn giá trị tiêu chuẩn với giá trị mẫu cho Bước Xác định miền bác bỏ W Bước So sánh giá trị tiêu chuẩn thống kê với miền bác bỏ, kết l ậ bác luận bá bỏ hay h chấp hấ nhận hậ giả iả th thuyết ết v1.0012107210 KIỂM ĐỊNH THAM SỐ Kiểm định miền tiêu chuẩn (miền bác bỏ) • • • Kiểm định xác suất ý nghĩa Kiểm định khoảng tin cậy Kiểm định Kiể đị h giả iả th thuyết ết kì vọng Kiểm định giả thuyết phương sai Kiểm định giả thuyết xác suất Kiểm định giả thuyết hai phía Kiểm định giả thuyết phía Ta coi tất biến ngẫu ẫ nhiên xét tới có phân phối chuẩn ẩ v1.0012107210 2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT KỲ VỌNG Trường hợp  biết Bài toán H0 :   0  H1 :   0 Nếu giả thuyết H0 thì: U (X   ) n ~ N(0,1)  Giả thuyết H0 bị bác bỏ P{ | U |  u }   /2 Ta có miền bác bỏ W  (; -u/2 )  (u ( /2 ;  ) Trong uα/2 thỏa mãn điều kiện:  (u )    /  /2 Với mẫu cụ thể giá trị tiêu chuẩn thống kê U là: uqs  x  0 n  v1.0012107210 2.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT KỲ VỌNG (tiếp theo) Ví dụ: Giải: Gọi X trọng lượng gói mì Th Theo tiê cần tiêu chuẩn h kiểm ẩể t H0lượng trọng lượ gói ói mìì hí h đượ đóng :   453 Giả thiết định máy tự động làH453g Kiểm tra ngẫu nhiên 81 gói ta : 453    448g thấy trọng lượng2 trung bình Ta có X ~ N(μ,σ N(μ σ ) σ=36, σ=36 với mức ý nghĩa α=0,05 α=0 05 Với mức ý nghĩa 0,05 cho trọng lượng gói mì Tra bảng phân phối chuẩn ta tính được: khơng đạt tiêu chuẩn hay không? , uα/2 = u0,025 025 = 1,96 Biết ằ trọng t lượ gói lượng ói mìì hí h biến biế ngẫu ẫ nhiên hiê có ó phân hâ Vậy miền bác bỏ là: W  ( ; -1,96)  (1,96;  ) phối chuẩn với độ lệch chuẩn 36g Ta có: 448  453 x  448  uqs  81  1,25 36 Kiểm tra ta thấy uqs  1,25 25  W Vậy ta chấp nhận giả thuyết H0, tức trọng lượng gói mì khơng đạt tiêu chuẩn 10 v1.0012107210 MỘT SỐ TIÊU CHUẨN KIỂM ĐỊNH PHI THAM SỐ Kiểm định giả thuyết phân phối biến ngẫu nhiên: So sánh nhiều tỷ lệ: Kiểm tra tính độc lập X độc lập với Y X không độc lập với Y 44 v1.0012107210 3.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT PHÂN PHỐI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối F(x) Ta có tốn kiểm định sau: H0 : X có phân phối F0 (x, 1 , 2 , , r ) H1 : X khơng có phân phối F0 (x, 1 , 2 , , r ) T Trong 1 , 2 , , r tham th số ố ủ phân hâ phối hối Xét mẫu ngẫu nhiên (X1, X2,…Xn) với giá trị mẫu (x1,x2,…xn) Chia miền giá trị X thành k miền không giao Si ; i  1 k k Ký hiệu ni số giá trị mẫu rơi vào khoảng (S1,S2…Sk), ni gọi tần số thực nghiệm Nếu giả thuyết H0 X có phân phối xác định F0 ta tính xác suất: pi  P X  Si  , i  1,2, ,k Đặ Ei  ni pi ,(i  1,2 k), Ei Đặt đ gọii tần ầ số ố lý thuyết h ế 45 v1.0012107210 3.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT PHÂN PHỐI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN (tiếp theo) Trường hợp tham số 1 , 2 , , r biết: ( (n  E ) i Xét thống kê 2   i có phân phối bình phương với Ei i 1 k-1 bậc tự k Ta có T ó miền iề bác bá bỏ: bỏ W  (2 ,k-1 ;  ), ) Với mẫu cụ thể ta tính giá trị tiêu chuẩn thống kê 2qs so sánh với miền bác bỏ bỏ Ví dụ: Quan sát biến ngẫu nhiên X ta thu số liệu mẫu sau: Giá trị tị X Số lần 01 0-1 13 1-3 36 3-6 67 6-7 10 7-10 Với mức ý nghĩa 5% kiểm định xem biến ngẫu nhiên X có phân phối [0; 10] hay khơng? 46 v1.0012107210 3.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT PHÂN PHỐI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN (tiếp theo) 1 , 2 , , r ( (n  E ) i 2   i Ei i 1 k W  (2 ,k-1 ;  ), ) 2qs Giá trị tị X Số lần 01 0-1 13 1-3 36 3-6 67 6-7 10 7-10 47 v1.0012107210 3.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT PHÂN PHỐI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN (tiếp theo) Giải: Ta cần kiểm định X có 1 ,H02:, , r phân phối [0; 10], H1: X khơng có phân phối [0; 10] k ( (n  E ) Ta có khoảng 2   Si1 = i(0,1), n1 = 3; S2 = (1; 3), n2 = 4; S E= i (6; 7), n = 5; S = ( 7-10), n = S = (3; 6), n =i2; 3 4 5 Cỡ mẫu ẫ n = 18 18 W  (2 ,k-1 ;  ), ) Các xác suất tương ứng: 2qs p1  P 0  X  1  /10; p2  P 1  X  3  /10  / 5 p3  /10; p  /10; p5  /10 Tương g tự ự ta tính ợ Giá trị tị X 01 0-1 13 1-3 36 3-6 67 6-7 10 7-10 Các tần số lý thuyết: Số lần E1  18.1 /10  1, 8; E2  18.1 /  3,6; E3  18.3 /10  5, 4; E  18.1 /10  1, 8; E5  18.3 /10  5, Tra bảng phân phối bình phương ta được: 20,05,4  9, 488, miền bác bỏ W  (9,488; (9 488;  ) ) So sánh ta thấy 2qs  W, ta chưa bác bỏ giả thuyết H0 v1.0012107210 48 3.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT PHÂN PHỐI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN (tiếp theo) Trường hợp tham số 1 , 2 , , r chưa biết Ta tiến hành bước tương tự trước xác suất pi  P(X  Si ) phụ thuộc vào tham số ta thay tham số ước lượng điểm tương ứng Ta xét tiêu chuẩn thống kê trường hợp trước lưu ý tiêu chuẩn thơng kê có phân phối bình phương với k-r-1 bậc tự Phân phối chuẩn: Tham số 1  ; 2  2 , r  , ta thay  x , thay σ2 s’2 Phân phối Posson: Tham số λ (r = 1) thay x Phân phối nhị thức: Tham số p (r = 1) thay tần suất f = m/n Phân p phối ố mũ: ũ Tham a số ố λ ((r = 1), ), thay ay tham a số ố λ bằ g 1/x Phân phối [a; b]: (r = 2) Tham số a thay x  3s , Tham số b thay x  3s 49 v1.0012107210 3.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT PHÂN PHỐI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN (tiếp theo) Ví dụ: Quan sát biến ngẫu nhiên X ta thu giá trị mẫu sau: Giá trị X 1-3 3-5 ni -7 7-9 9-11 Với mức ý nghĩa 5% cho biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn hay khơng? 50 v1.0012107210 3.1 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT PHÂN PHỐI CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN (tiếp theo) Giải: Ta cần kiểm định toán sau: H0: X có phân phối chuẩn N(μ,σ2) H1: X khơng khơ có ó phân hâ phối hố chuẩn h ẩ N(μ,σ ( 2) Ta có miền giá trị X R ta phải gộp khoảng lại Giá trị X 1-3 3-5 -7 7-9 9-11 S1  (; 3), 3) n1  3; S2  (3; 5), 5) n2  6; S3  (5; 7), 7) n3  4; S4ni (7; 9), n4 37; S5 6 (9; 4 ), n5 72 Với mẫu cho ta tính được: ợ x  5,9 5,91;; s '2  6,25 6, Vậy   x  5,91; 2  s '2  6,25 Từ ta có giá trị kì vọng sau: E1  3, 982; E  6, 05; , ; E  6,578; E  3,, 894;; E  1, 496 (3  3,982)2 (6  6,05)2 (4  6,578)2     3,982 6,05 6,578 qs (7  3,894) 894)2 (2  1,496) 496)2    3,9 3,894 1,496 Mức ý nghĩa 5% số tham số r = 2, tra bảng ta được: 20,052  5,99, 99 Vậy miền bác bỏ W=(5,99; +∞) So sánh ta thấy chưa bác bỏ giả thuyết H0 v1.0012107210 51 3.2 SO SÁNH NHIỀU TỶ LỆ Giả sử k biến ngẫu nhiên (X1,X2…Xk) độc lập phân phối 0-1 xác suất ấ tương ứng ứ (p1,p2…pk) Ta kiểm định toán sau: H0 : p1  p2   pk  H1 : pi  p j , i  j Xét mẫu n quan sát biến ngẫu nhiên, ta có bảng số liệu mẫu: k Trong đó: v i   nsi ; us   nsi s 1 X1 i 1 (v1  v   v k  n) ; vi cỡ mẫu biến ngẫu nhiên Xi Đặt E  us v i ; s  1,2, i  1,2, ,k ~ 2 (k  1) si n Ta viết giá trị Esi cạnh giá trị nsi bảng số liệu liệu 2 k (n  E ) si si Thống kê:     E si s 1 i 1 … n11 … E11 … E21 … … n1i E1i n21 v1 Xi Xk n1k … n2i E1k n2k E2i … E1k vi … Vk Với mức ý nghĩa  tra bảng phân phối bình phương ta tìm giá trị phân vị 2 ,k 1 , tính miền bác bỏ W  (2 ,k-1 ;  ) v1.0012107210 u1 u2 n 52 3.2 SO SÁNH NHIỀU TỶ LỆ (tiếp theo) Ví dụ: Giải: CóGọi ba pnhà máy sản xuất loại sản phẩm, người ta tiến 1,p2,p3 tỷ lệ phế phẩm ba nhà máy A, B, C hành kiểm ể tra sản ả phẩm ẩ ủ ba nhà máy thu số ố liệu ệ sau: Ta cần kiểm định: H0 : p1  p2  p3  H1 :máy i  máy piA p j ,Nhà j B Nhà máy C  Chất lượng Nhà máy Nhà VớiPhế số liệu cho 12 tính tốn ta được17,09 ghi 13,14 16 15,77Esi 18 46bảng phẩm TaChính có: phẩm 88 86,86 104 104,23 112 112,91 304 C 2qs 2 2 100 120 130 350 12  13,14 13 14 88  86, 86 86 16  15, 15 77 104  104, 104 23          13,14 86, 86 15, 77 104, 23 2ỷ lệ Với mức ý 18 nghĩa g 17, 5% 2có thể cho g tỷ ệp phế p phẩm ba nhà 17 09  112  112, 112 91    hay không?   0,174 máy 17, 09 112, 91 Mức ý nghĩa 5% , k = 3, tra bảng ta thu được: 20,05,2 , 99,, 05  5, tính miền bác bỏ W=(5,99; +∞) So sánh ta thấy 2qs  W, chấp nhận giả thuyết H0 53 v1.0012107210 3.3 KIỂM TRA TÍNH ĐỘC LẬP Cho hai biến ngẫu nhiên X Y với giả thiết: yj H0: X độc lập với Y Xét mẫu ngẫu nhiên hai chiều x1 (X1 , Y1 ),(X , Y2 ), ,(X n , Yn ) rút từ véc tơ ngẫu nhiên (X, Y), giá trị mẫu (x1 , y1 ), (x , y ), , (x n , y n ) xi (xi,yj) xuất giá trị mẫu, r s  n11 … n1j … n1s b1 i 1 j 1 , ta viết giá trị (E1j) (E1s) … ni1 … nij … (Eij) nis xr … nr11 … (Er1)  bi (Eis) … b j   nij , j  1,2, , 12 s;   nij ,ii  1,2, ,r 12 ô (i;j) v1.0012107210 ys (Ei1) Trong nij số lần cặp giá trị n … … biểu diễn sau: Eij vào ngoặc bên cạnh yj (E11) Thu gọn giá trị mẫu ẫ ta có bảng b j … xi H1: X khơng độc lập với Y Đặt Eij  y1 a1 nrjj … (Erj) … aj nrs br (Ers) … as n 54 3.3 KIỂM TRA TÍNH ĐỘC LẬP (tiếp theo) r s (n  E )2 ij Thống kê x    ij ~ x ((r  1).(s  1)) n i1 j1 Eij Miền bác bỏ là: W  (x 2 ,(r-1)(s-1) ;  ) Ví dụ: Nghiên cứu tình trạng nhân trước ngày cưới 542 cặp vợ chồng ta có bảng số liệu Với mức ứ ý nghĩa hĩ 5% có ó thể hể cho h tình trạng nhân ợ chồng g độc ộ lập ập với vợ hay khơng? Tình trạng Chưa kết nhân vợ chồng lần Chưa kết hôn lần Ly Gố  Ly  Gố 180 34 36 (129,61) (66,42) (53,97) 58 76 54 (97,47) (49,95) (40,58) 43 34 27 (53,92) (27,63) (22,45) 281 144 117 250 188 104 542 55 v1.0012107210 3.3 KIỂM TRA TÍNH ĐỘC LẬP (tiếp theo) r s (n  E )2 ij ij 2 Thống kê  x ~ x  1).(s  1))   Giải: H0: Tình trạng nhân chồng((rđộc lập với vợ; n i1 j1 Eij H1: Tình trạng nhân chồng khơng độc lập với vợ Miền bác bỏ là: W  (x 2 ,(r-1)(s-1) ;  ) T tính Ta tí h tốn t Eij viết iết vào Víbảng dụ: số liệu Tình trạng Chưa kết nhân vợ chồng lần Ly Gố Tiếp p đó, , ta tính trịị tiêu Nghiên cứu tìnhggiá trạng hônchuẩn nhânthốngg kê sau: Chưa kết hôn 180 34 36 trước (180 ngày 129.61) cưới 542 cặp vợ (58  97.47)2 lần (129,61) (66,42) (53,97)  qs  ta có bảng số  liệu chồng 129.61 97.47 Ly hôn 58 76 54 2 Với(43 mức ứ ý nghĩa hĩ (345% có ó thể hể cho h  53.92)  66.42)   (97,47) (49,95) (40,58) 53.92 66.42nhân tình trạng Ta có s = r = miền bác bỏ: 2 43 34 27 49.95) (34 27.63) (36  53.97) Goá ợ (76 chồng g là độc ộ  lập ập với nhau vợ W (9,48; (9 48; (53,92) + ) 49.95 27.63 53.97 (27,63) (22,45) hay không? 2 (54  40.58) (27  22.45) So sánh, ta thấy   W 117    80 281 qs 144 40.58 22.45  250 188 104 542 Do ta bác bỏ giả thuyết H0 56 v1.0012107210 TĨM TẮT CUỐI BÀI Các nội dung chính: • • • Khái niệm kiểm định giả thuyết thống kê phương pháp kiểm định giả thuyết thống kê Kiểm định tham số toán kiểm định tham số Kiể định Kiểm đị h phi hi tham th số ố toán t kiểm kiể định đị h phi hi tham th số ố Lưu ý: • • Đây kỹ thuật dùng phổ biến thống kê nghiên cứu xã hội học khác Có thể kết hợp toán Ước lượng toán kiểm định giả thuyết thống kê Đây hai quan trọng 57 v1.0012107210 PROPERTIES Allow user to leave interaction: Show ‘Next Slide’ Button: Completion Button Label: Anytime Don't show Next Slide ... 0,01 v1.00121 072 10 1.1 MIỀN BÁC BỎ Để giải toán kiểm định giả thuyết ta xây dựng thống kê G gọi tiêu chuẩn thống kê Định nghĩa 1: Thống kê T  G(X1  X   X n ) gọi tiêu chuẩn thống kê giá trị... chuẩn thống kê: 92,255  92 ,73 3   0,353 t t qs  W, qs 998  8 .7, 77 8.4,998 77  882 8.8 Vậy chấp nhận H0, tức công nhân hai nhà máy có thu nhập nhau 37 v1.00121 072 10 2.5 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT... f(1  f)    n m Thống kê U có phân phối N(0,1) Bài tốn , miền bác bỏ Bài toán , miền bác bỏ Bài toán , miền bác bỏ 39 v1.00121 072 10 2.5 KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO XÁC SUẤT (tiếp theo) Giải: