ung dung dao ham

Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.b[r]

Các toán chọn lọc ứng

dụng đạo hàm để xét

PT,BPT,hpt , hbpt

BT1: (ĐH -A -2007) Tìm m để phương trình

3 x m x x    21

có nghiệm thực

BT2: (Dự bị khối B 2007) : Tìm m để phương trình:

4 2x  1 x m

có nghiệm.

BT3: (Dự bị khối A 2007) : Tìm m để bất phương trình :

2

m x  2x 1  x(2 x) 0 

 

BT4: (ĐH KÑ -2007) CMR với giá trị m, phương trình

2

x 2x 8  m(x 2)

có nghiệm.

BT5 :

(ĐH KA -2007) Tìm m để phương trình

42x 2x x x    m

,



m R



có hai nghiệm thực phân biệt

BT6: (ĐH -2004): Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

2 2

m x  x 22 x  x  x

 

BT7 :

(ĐH KB-2006): Tìm m để pt:

x2 mx 2 2x 1

có nghiệm thực

phân biệt

BT8 : / ( K

D

-2004)

x y

x x y y 3m

  

 

  

 

BT9 :

(ĐH K

A

-2002) Cho PT :

log x32  log x 2m 023    

.

a) Giải PT m = ;

b) Tìm m để PT có nghiệm

1;3 3

 

BT10 : Tìm m để phương trình:

2 0,5

4(log x)  log x m 0

có nghiệm

thuộc (0, 1).

BT11: Tìm m để phương trình:

x2 x 1 x2 x 1 m

BT12: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:

mx x 3m1

.

BT13: Biện luận theo m số nghiệm phương trình:

x 3 m x2 1

  

BT14: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

   

1 3

x   x x  x m

.

BT15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

x 9 x x2 9x m

     

.

BT16 : Xác định m để pt









3 3

log logx x  2x3  mlog x log x  2x3 2m0

có nghiệm phân

BT17: Xác định m để bpt:

92x2x 2



m a



.62x2x



m 1 4



2x2x 0

    

nghiệm

đúng với thỏa mãn

x 1

BT18 :

m.2x 2x m

   

có nghiệm

BT19 :Tìm m để PT

2





1





log x 4mx log 2x 2m1 0

cú nghiệm

BT20 : tỡm m để bpt :

(x1)(x3)(x24x6)m

nghiệm



x

BT21 : Tìm m để HPT CĨ NGHIỆM :

x yx 11 y xy 1 31 x 1 y 1 m

       

 

BT:22:

: Cho phương trình

sin3 sin2 cos cos3 cos

 



 x x m x m x

x

(1)

1)Giải phương trình m=

2

2) Định m để phương trình (1) có nghiệm thuộc

     

4 ; 

BT 23 : : Cho bất phương trình

2

    

 x m x x

x

(1)

1)Giải bất phương trình (1) m=4

2)Tìm giá trị tham số m để bất phương trình

nghiệm với

x3

BT24 : Cho phương trình:

m x x

m x x

x         

 16 ( 4 )

4 2 2

(1)

1) Giải phương trình (1) m=0

2) Tìm giá trị tham số m để pt (1) có nghiệm

BT 25 : : Tìm m cho hệ bất phương trình sau có nghiệm:

  

    

  

0 )

1 (

0

2

m x m x

x x

1) Giải bất phương trình (1) m=5

2) Tìm giá trị tham số m để bất phương trình (1)

nghiệm với x>0

BT27 :

Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

2

4

2 1 2 2 1 1 1

1 x x x x x

m      

  



    

BT28 : Cho phương trình:



1





1



2

  



 x x  m

(1)

(m là

tham số)

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

BT29 : Cho phương trình:



32 2



tgx



3 2



tgxm

1) Giải phương trình m = 6.

2) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt nằm

trong khoảng



  



   

2 2;

BT30 : Cho bất phương trình:

log5



x24xm



 log5



x2 1



1

Tìm m để bất phương trình nghiệm với x thuộc khoảng (2 ;

3)

BT31 : ) Tìm m để phương trình:



3



2

2xlog x  mlog x  log

có nghiệm thuộc khoảng [32; +



)

BT32 : Cho phương trình:

     m x

x x

x

x 

  

  

3

4

1) Giải phương trình với m = -3.

2) Tìm m để phương trình có nghiệm

BT34 : Tìm m để bất phương trình:

3m112x 2 m6x 3x 0

đúng

với



x > 0

BT 35 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

 

3

3

2  tg xm tgxcotgx  

x

sin

BT 37 : Cho phương trình:

x2 2xm2 x 1 m

1) Giải phương trình với m = 2.

2) Giải biện luận phương trình theo m

BT38 : Tìm m để

m  m

x x

x sin x

cos

2

2 1

3

2

1

 

      

  





< với



x

Các mẫu :

Ví dụ 1: Cho phương trình

3x 6 x m 



3x

 

6 x



.

a Giải phương trình m=3.

b Tìm m để phương trình cho có nghiệm.

Giải

Đặt:

t 3 x 6 x t2 9 3



x

 

6 x

  

*

        

Áp dụng bất đẳng thức

Cauchy

2 3



x

 

6 x



9

nên từ (*) ta có

3 t 2

.

Phương trình cho trở thành t

2



2t



9=



2m (1).

a Với m=3 (1)



t

2



2t



3



t =3 Thay vào (*) ta x=



3, x=6.

b PT cho có nghiệm (1) có nghiệm

t3; 2

Xét hàm

số

f t

 

t2 2t 9

  

với

t3; 2

, ta thấy f(t) hàm đb nên:

 





6 f(3) f t f

     

với

t3;3 2

Do (1) có nghiệm

3;

t 

6 2 9 2 3

2

m  m

      

Ví dụ 2:

Tìm m để phương trình:

x2 x 1 x2 x 1 m

     

có nghiệm.

TXĐ: R

Xét hs:

y f x

 

x2 x 1 x2 x 1

      

, D

f

= R,

2 2

2

'

1

 

 

   

x x

y

x x x x











 



















' 2

2 2 2

2

0 1 1

2 1 1

   



          

      

 

x x

y x x x x x x

x x x x x x

(v.nghiệm)

Mặt khác: f’(0) = > suy y’ > nên hàm số đồng biến.

Giới hạn:

2

2

2

lim lim

1

2

lim lim

1

x x x x

x

x x x x

x

x x x x

     

   

 

    

 

BBT:

x









y’

+

y

1



1

Vậy phương trình có nghiệm



1 < m < 1.

Ví dụ 3:

Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm:

mx x 3m1

,

ĐK:

x3

1

1

x

bpt m

x

 

 



, xét hs





2

1

'

1 2 3 1

x x

y y

x x x

  

  

  

' 0 5

y   x

.

lim

x y

f(3) =

1 2

.

BBT:

x

3

5





y’

+

0



y

y(5)

1

0

Vậy bất phương trình có nghiệm

 

5

y m m 

   

Ví dụ 4:

Tìm m để phương trình:

x x x12 m



5 x 4 x



có

nghiệm.

Giải: ĐK:

0 x





( 12)

pt x x x  x  x m

xét

hs

 

( 12)





y f x  x x x  x   x

Miền xác định:

D



0; 4



Nhận xét:

Hàm số

h x

 

x x x12

đồng biến D.

Hàm số

g x

 

 5 x 4 x

đồng biến D.

Suy y = f(x) = h(x).g(x) hàm đồng biến D Vậy phương trình có

nghiệm

f

 

0 mf

 

4

Ví dụ 5:

Biện luận theo m số nghiệm phương trình:

x 3 m x2 1

  

Giải: Phương trình viết lại dạng:

1

x

m x

Số nghiệm phương trình số giao điểm (C):

1

x y

x

 



đường

thẳng: y = m.

Lập BBT :

x





1/3





y’

+

0



y

10

1



1

KL:

m 1 m 10

: phương trình vơ nghiệm.

m

  

hoặc

m 10

: phương trình có nghiệm nhất.

1m 10

: phương trình có nghiệm phân biệt.

Ví dụ 6:

Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

   

1 3

x   x x  x m

, (1)

Giải: ĐK:

1 x 3

Đặt

t x 1 3 x

, lập BBT t(x) với

1 x 3

ta có

2 t

Khi phương trình (1) trở thành:

2



t

2

+ t + = m, lập bảng biến thiên

của hàm số vế trái với

2 t 2

từ kết luận:

1m 2

.

Ví dụ 7: Giải biện luận theo m phương trình sau

2 2

4

log (x 3x 2) 2log ( x 3x 2)m0 (*)

Giải

Điều kiện: x2 3x 2 0 x (1; 2)

     

Đặt:

4

log ( 2)

t  x  x

Xem t hàm theo x (1;2)

( 3) ln ( )

3

x t x

x x

 

 

  

3 ( )

2

t x   x

Bảng biến thiên:

x 1

2

2

( )

t x +

-( )

t x

 

-1

 

Từ bảng biến thiên ta có:

+ t   1; x (1; 2)

+ Mỗi giá trị t < -1, ứng với giá trị x (*) trở thành: t22t m

Số nghiệm (1) số giao điểm đồ thị hàm số:

2

y t  tvà đường

thẳng (d):y =-m Xét y t2 2t

 



 ;1



2 0;

y  t   t

Bảng biến thiên:

t   -1

( )

y t

-( )

y t 

3 Dựa vào bảng biến thiên ta có:

+ m3 m 3, (1) vơ nghiệm nên (*) vô nghiệm

+ m 3 m3

(d) cắt (c) điểm



  ; 1



(1) có nghiệm



  ; 1



(1): t2 2t m 0

  

1 1

t m

    , t2  1 1 m

Xét t1   1 1 m1 m3

Do đó:

+ m = -3: (*) có nghiệm:

4

log (x 3x 2) 1 x1,5

+ m < -3, (*) có nghiệm phân biệt

4

log (x 3x 2) 1  1 m

2 1

2

3

3

2

m m

x x

x

 

 

    

 

 

Ví dụ 8: Giải biện luận theo m số nghiệm phương trình: (m+3)16x (2 1)4x

m m

     (1)

Đặt 4x

t  , t >

Mỗi giá trị t tương ứng x (1) trở thành: (m 3)t2 (2m 1)t m 1 0

      , t > (2)

2

( 1)

m t t t t

     

2

3

2

t t

m

t t

   

  , (

2

2

t  t  ,  t 0)

 Xét hàm số: y=f(t)=

2

3

2

t t

t t

  

2

( 1)( 1) (3 1)(2 2) ( )

( 1)

t t t t t t

f t

t

       

 



=

4

3 7( 1)( )

7 7

( 1) ( 1)

t t

t t

t t

  

  



 

=

3

3 7( )

7 ( 1)

t t

  

Bảng biến thiên:

t

7

 ( )

f t + 0

-( )

f t

-1

1 20



-3

Số nghiệm (2) số giao điểm đồ thị hàm số (C) y=f(x) đường thẳng: y=m

(*) m > 11

20



m < -3, (d) không cắt (C)  (2) vô nghiệm  (1) vô

nghiệm

(*) m= 11

20



, (d) cắt (C) mộy điểm



0,



 (2) có nghiệm



0,



2

49 21

0

20t  10t20 

3

log

7

t x

   

(*) 11

20 m



   , (d) cắt (C) hai điểm



0,



 (2) có hai nghiệm phân biệt



0,



(2) 20 11 20 11

2( 3) 2( 3)

x

m m m m

t

m m

       

   

 





4

1 20 11

log (

2

m m

x

m

   

 

 )

(*) -3 < m <-1, (d) cắt (C) điểm



0,



 (2) có nghiệm

(*)





1 20 11

2

m m

t

m

   



 > 0, ( 20m 11 2  m )





1 20 11

4

2

x m m

m

   

 







1 20 11

log (

2

m m

x

m

   

 

VD :lg



x2 2mx 3



lg 8



x 6m



    (*)

(*)





2

3

8 4

8

2

2 , (1)

m x

x m

x x

x mx x m

m x x

  

 

 

   

 

   

   

 



Nghiệm (1) số giao điểm đồ thị hàm số:

 

2 8 3

3

x x

f x

x

 



 (C)

đường thẳng g x

 

2m (d)

 





2

6 21

,

3

x x

f x x

x

 

   



2

3 32 16

4 16

m m m

f

m

 

     

  

- Nếu: 3 4

m

m

  

x   3m/4 3 

f’(x) + + +

f(x)



3 ( )

4

m f



 

(d) cắt (C) hai điểm  (1) có hai nghiệm

Nghiệm (1) nghiệm (*)

2 4

3 32 16

2 5

4 16

4

m

m m m

m f m

m

m

 

 

 

  

     

 

 

 

Trường hợp m < (loại)

 nghiệm (*) là:

4 13

x m   m  m

- Nếu: 3 4

m

m

  

x 3m/4 

( )

f x + +

( )

f x 

3 ( )

4

 f x

 

cắt g x

 

điểm 

 

1 có nghiệm

Nghiệm (1) nghiệm (*) 4

m

m f  m

    

 

 nghiệm (*) là: x m 4 m2 2m 13

    

Kết luận:

(+) \ 4,



4,



5

m     

 

 

 phương trình (*) vơ nghiệm

(+) 4, 5

m   

  phương trình (*) có hai nghiệm:

2

4 13

x m   m  m

(+) m



4,



phương trình (*) có nghiệm:

VD10 : Tìm giá trị tham số a để pt sau có nghiệm:

4x a2x a     (*)

Giải: Đặt t=2x , t >0

(*) trở thành: t2 at a 3 0

   





2

3

3

t a t

t

a t

   



 



( Vì t+1> 0)

Nghiệm (*) tương ứng với t>0 (1): Xét hàm số: y= f(t)=

2

3

t t







0;





 









2

2

2 3

( 1) 1

t t t t t

f t

t t

    

  

 

Bảng biến thiên:

t 0 1 

( )

f t - 0 +

( )

f t 3

2



Từ bảng biến thiên ta có:

(*) có nghiệm (1) có nghiệm t>0  m2

VD11 :

Với giá trị m, phương trình sau có nghiệm



1;8



:

2

2

log x log x  3 m (*)

ln

t x

   ;  x





1: 8





Bảng biến thiên:

x 1 8

( )

t x +

( )

t x

0

3

Từ bảng biến thiên ta có: t 



0;3



; x



1;8



(*) trở thành: t2 2t 3 m

   (1)

Nghiệm (*) ứng với nghiệm t 



0;3





1;8



(1)

Xét hàm số: y= f(t)= t2 2t 3

 

 f t( ) 2 t

t 0 1 3

( )

f t - 0 +

( )

f t

2

6

Nghiệm (1) hoành độ giao điểm đồ thị hàm số

 

2

yf t t  t đường thẳng y= m

Vậy (*) có nghiệm



1;8



(1)

 có nghiệm



0;3



m

  

VD12 : Với giá trị m, phương trình sau có nghiệm 



0;



: 9x 3m x m

   (*)

Giải: Đặt t=3x ; t>0

Mỗi giá trị t ứng với giá trị x (*) trở thành: t2 6 m t 5 m

  





2 5 6 1

t m t

   

2

5

t

m t



 

 ( Vì 6t+1> 0) (1)

Số nghiệm (1) số giao điểm đồ thị hàm số: y= f(t)=

2 5

6

t t



 đường thẳng y= m



0;



Xét f(t)=

6

t t

 

 













2

2 6

6

t t t

f t

t

  

 



t 0 61 1

 

( )

f t - 0 +

( )

f t

41 61 61

 



(*) có nghiệm



0;



 (1) có nghiệm



0;



5

m

 

VD13 :Tìm m để phương trình sau có nghiệm 1,3 3



 :

2

3

log x log x1 2m 10

Giải

Đặt:

3

log

t x

3

1;3

x  

 

 

2

3

0 log x 3 1 log x 1

(*) trở thành: t2 t 2 2m

   (1)

Số nghiệm cua (*) 1;3 3

  số nghiệm (1)



1; 2



Xét f t

 

t2 t 2

  



1;2



 

;



1;2



f t  t   t

Bảng biến thiên:

t

( )

f t +

( )

f t

0

(*) có nghiệm 1;3 3

 

 (1) có nghiệm 



1;2



2m m

     

VD14:Tìm giá trị a để phương trình sau có nghiệm phân biệt dương

2

1

1

9x  a.3x 2 0 (*)

2

1

2

3 x

t x



   ;  x



0;



Bảng biến thiên:

x 0 +

 

t x +

 

t x

0

Từ bảng biến thiên ta có:

t



0;3



;  x

Mỗi t



0;3



tương ứng giá trị x nhất

(*) trở thành:

2 2 0

t  at 





2

0

t

a t t



   (1)

(*) có nghiệm dương phân biệt

 (1) có nghiệm phân biệt



0;3



Xét hàm số: y = f(t)=

2

t t



 

2

2

t f t

t



 

Bảng biến thiên:

t 0 2 3

 

f t - +

 

f t 

2

11

Số nghiệm (1) (0;3) số giao điểm đồ thị hàm số y=

2

t t



và đường thẳng y= a

Vậy (*) có nghiệm dương phân biệt 2 11

a

  

VD15 :

Định m để phương trình:

2 2

os sin sin

3c x x m.3 x

  (*) có nghiệm





2 2

2

2

sin

os sin sin

sin sin

(*) 2.3

3

9

x

c x x x

x x

m m



  

 

   

 

Đặt t=

sin x ; t



0;1



(*) trở thành:

9

t t

m

   

 

   

    (1)

Xét hàm số

 

9

t t

f t      

   





0;1

 

3ln 1 ln 6

9 9

t t

f t        

   





0;1

t

 

Bảng biến thiên:

t 0 1

 

f t

- 

f t

1

Nghiệm (1) phần đồ thị hàm số y= f(t) nằm phía đường thẳng y= m



0;1



Từ bảng biến thiên ta có: (*) có nghiệm  (1) có nghiệm t



0;1



m

 

VD16 :: Định m để bất phưong trình:





.4x 2x

m m  m

     (*) thoả x Giải:

Đặt t 2x  

(*) trở thành: m.t2+ 4(m-1)t + m-1> 0



4 1



4 1

m t t t

     (1)

 

2

4

t

m f t

t t



  

 

 





2 2

4

0

t t

f t

t t

 

  

   t

( )

f t

-1

0

Nghiệm (1) hoành độ phần đồ thị hàm số y= f(t) nằm bên đường thẳng y m .

*) thoả x   (1) thoả  t

 m1

VD17 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2

2

1

1

x x

m m



 

  

   

(*) Giải:

Ta có: m2 m 1 0

   m nên (*)





2

1

2 log

x x m m

    

Đặt f x

 

x2 2x

 

Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) đường thẳng y= 1





3

log m m1

Ta có bảng sau:

x 2

( )

f x

2

x  x 2x x x2  2x

( )

f x 2x 2 2 x 2x

( )

f x - + - +

( )

f x

0

Từ bảng suy (*) có nghiệm:





1

0 log 1

1

1

1

m m

m m

m

    

    

   