ung dung dao ham

Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm.b[r]

Các toán chọn lọc ứng dụng đạo hàm để xét

PT,BPT,hpt , hbpt

BT1: (ĐH -A -2007) Tìm m để phương trình 3 x m x x    21 có nghiệm thực

BT2: (Dự bị khối B 2007) : Tìm m để phương trình:

4 2x  1 x m có nghiệm.

BT3: (Dự bị khối A 2007) : Tìm m để bất phương trình :

2

m x  2x 1  x(2 x) 0 

 

BT4: (ĐH KÑ -2007) CMR với giá trị m, phương trình

2

x 2x 8  m(x 2) có nghiệm.

BT5 :

(ĐH KA -2007) Tìm m để phương trình

42x 2x x x    m ,m R 

có hai nghiệm thực phân biệt

BT6: (ĐH -2004): Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

2 2

m x  x 22 x  x  x

 

BT7 :

(ĐH KB-2006): Tìm m để pt: x2 mx 2 2x 1 có nghiệm thực

phân biệt

BT8 : / ( KD-2004)

x y

x x y y 3m

  

 

  

 

BT9 :

(ĐH KA-2002) Cho PT : log x32  log x 2m 023     .

a) Giải PT m = ;

b) Tìm m để PT có nghiệm 1;3 3

 

BT10 : Tìm m để phương trình:

2 0,5

4(log x)  log x m 0 có nghiệm

thuộc (0, 1).

BT11: Tìm m để phương trình: x2 x 1 x2 x 1 m

BT12: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: mx x 3m1.

BT13: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x 3 m x2 1

  

BT14: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

   

1 3

x   x x  x m.

BT15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x 9 x x2 9x m

     

.

BT16 : Xác định m để pt

   

3 3

log logx x  2x3  mlog x log x  2x3 2m0 có nghiệm phân

BT17: Xác định m để bpt: 92x2x 2m a.62x2x m 1 4 2x2x 0

     nghiệm

đúng với thỏa mãn x 1

BT18 : m.2x 2x m

    có nghiệm

BT19 :Tìm m để PT 2  1 

log x 4mx log 2x 2m1 0 cú nghiệm BT20 : tỡm m để bpt :(x1)(x3)(x24x6)m nghiệm x

BT21 : Tìm m để HPT CĨ NGHIỆM : x yx 11 y xy 1 31 x 1 y 1 m

       

 

BT:22:

: Cho phương trìnhsin3 sin2 cos cos3 cos

 



 x x m x m x

x (1)

1)Giải phương trình m=

2

2) Định m để phương trình (1) có nghiệm thuộc      

4 ; 

BT 23 : : Cho bất phương trình 2

    

 x m x x

x (1)

1)Giải bất phương trình (1) m=4

2)Tìm giá trị tham số m để bất phương trình nghiệm với x3

BT24 : Cho phương trình:

m x x

m x x

x         

 16 ( 4 )

4 2 2 (1)

1) Giải phương trình (1) m=0

2) Tìm giá trị tham số m để pt (1) có nghiệm

BT 25 : : Tìm m cho hệ bất phương trình sau có nghiệm:

  

    

  

0 )

1 (

0

2

m x m x

x x

1) Giải bất phương trình (1) m=5

2) Tìm giá trị tham số m để bất phương trình (1) nghiệm với x>0

BT27 :

Xác định m để phương trình sau có nghiệm:

2

4

2 1 2 2 1 1 1

1 x x x x x

m      

  



    

BT28 : Cho phương trình:  1  1

2

  



 x x  m (1) (m là

tham số)

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm

BT29 : Cho phương trình: 32 2tgx3 2tgxm

1) Giải phương trình m = 6.

2) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt nằm trong khoảng 

  



   

2 2;

BT30 : Cho bất phương trình: log5x24xm log5x2 11

Tìm m để bất phương trình nghiệm với x thuộc khoảng (2 ; 3)

BT31 : ) Tìm m để phương trình:  3

2

2xlog x  mlog x  log

có nghiệm thuộc khoảng [32; +)

BT32 : Cho phương trình:      m x

x x

x

x 

  

  

3

4

1) Giải phương trình với m = -3. 2) Tìm m để phương trình có nghiệm

BT34 : Tìm m để bất phương trình: 3m112x 2 m6x 3x 0 đúng

với x > 0

BT 35 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

 

3

3

2  tg xm tgxcotgx  

x

sin

BT 37 : Cho phương trình: x2 2xm2 x 1 m

1) Giải phương trình với m = 2.

2) Giải biện luận phương trình theo m BT38 : Tìm m để

m  m

x x

x sin x

cos

2

2 1

3

2

1

 

      

  



 < với x

Các mẫu :

Ví dụ 1: Cho phương trình 3x 6 x m  3x 6 x .

a Giải phương trình m=3.

b Tìm m để phương trình cho có nghiệm. Giải

Đặt: t 3 x 6 x t2 9 3 x 6 x  *

         Áp dụng bất đẳng thức

Cauchy 2 3 x 6 x 9 nên từ (*) ta có 3 t 2.

Phương trình cho trở thành t2

2t9=2m (1).

a Với m=3 (1)  t22t3  t =3 Thay vào (*) ta x=3, x=6.

b PT cho có nghiệm (1) có nghiệm t3; 2 Xét hàm

số f t  t2 2t 9

   với t3; 2, ta thấy f(t) hàm đb nên:

   

6 f(3) f t f

      với t3;3 2 Do (1) có nghiệm

3;

t  6 2 9 2 3

2

m  m

      

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình: x2 x 1 x2 x 1 m

      có nghiệm.

TXĐ: R

Xét hs: y f x  x2 x 1 x2 x 1

       , Df = R, 2 2

2

'

1

 

 

   

x x

y

x x x x

       

       

' 2

2 2 2

2

0 1 1

2 1 1

   



          

      

 

x x

y x x x x x x

x x x x x x

(v.nghiệm)

Mặt khác: f’(0) = > suy y’ > nên hàm số đồng biến. Giới hạn: 2

2

2

lim lim

1

2

lim lim

1

x x x x

x

x x x x

x

x x x x

     

   

 

    

 

BBT: x   

y’ +

y 1

1

Vậy phương trình có nghiệm 1 < m < 1.

Ví dụ 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: mx x 3m1,

ĐK: x3

1

1

x

bpt m

x

 

 

 , xét hs  2

1

'

1 2 3 1

x x

y y

x x x

  

  

  

' 0 5

y   x .

lim

x y f(3) =

1 2.

BBT:

x 3 5 

y’ + 0 

y y(5)

1

0

Vậy bất phương trình có nghiệm  5

y m m 

   

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình: x x x12 m 5 x 4 x có

nghiệm.

Giải: ĐK: 0 x

 

( 12)

pt x x x  x  x m xét hs

  ( 12) 

y f x  x x x  x   x Miền xác định: D0; 4

Nhận xét: Hàm số h x  x x x12 đồng biến D.

Hàm số g x   5 x 4 x đồng biến D.

Suy y = f(x) = h(x).g(x) hàm đồng biến D Vậy phương trình có nghiệm f 0 mf 4

Ví dụ 5: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x 3 m x2 1

  

Giải: Phương trình viết lại dạng:

1

x

m x

Số nghiệm phương trình số giao điểm (C):

1

x y

x

 

 đường

thẳng: y = m. Lập BBT :

x   1/3 

y’ + 0 

y 10

1

1

KL: m 1 m 10: phương trình vơ nghiệm. m

   hoặc m 10: phương trình có nghiệm nhất.

1m 10: phương trình có nghiệm phân biệt.

Ví dụ 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

   

1 3

x   x x  x m, (1)

Giải: ĐK: 1 x 3 Đặt t x 1 3 x, lập BBT t(x) với 1 x 3 ta có

2 t

Khi phương trình (1) trở thành:

2

 t2 + t + = m, lập bảng biến thiên

của hàm số vế trái với 2 t 2 từ kết luận: 1m 2. Ví dụ 7: Giải biện luận theo m phương trình sau

2 2

4

log (x 3x 2) 2log ( x 3x 2)m0 (*)

Giải

Điều kiện: x2 3x 2 0 x (1; 2)

     

Đặt:

4

log ( 2)

t  x  x

Xem t hàm theo x (1;2)

( 3) ln ( )

3

x t x

x x

 

 

  

3 ( )

2

t x   x

Bảng biến thiên:

x 1

2

2

( )

t x +

-( )

t x

 

-1

 

Từ bảng biến thiên ta có:

+ t   1; x (1; 2)

+ Mỗi giá trị t < -1, ứng với giá trị x (*) trở thành: t22t m

Số nghiệm (1) số giao điểm đồ thị hàm số:

2

y t  tvà đường

thẳng (d):y =-m Xét y t2 2t

   ;1

2 0;

y  t   t

Bảng biến thiên:

t   -1

( )

y t

-( )

y t 

3 Dựa vào bảng biến thiên ta có:

+ m3 m 3, (1) vơ nghiệm nên (*) vô nghiệm

+ m 3 m3

(d) cắt (c) điểm   ; 1

(1) có nghiệm   ; 1

(1): t2 2t m 0

  

1 1

t m

    , t2  1 1 m

Xét t1   1 1 m1 m3

Do đó:

+ m = -3: (*) có nghiệm:

4

log (x 3x 2) 1 x1,5

+ m < -3, (*) có nghiệm phân biệt

4

log (x 3x 2) 1  1 m

2 1

2

3

3

2

m m

x x

x

 

 

    

 

 

Ví dụ 8: Giải biện luận theo m số nghiệm phương trình: (m+3)16x (2 1)4x

m m

     (1)

Đặt 4x

t  , t >

Mỗi giá trị t tương ứng x (1) trở thành: (m 3)t2 (2m 1)t m 1 0

      , t > (2)

2

( 1)

m t t t t

     

2

3

2

t t

m

t t

   

  , (

2

2

t  t  ,  t 0)

 Xét hàm số: y=f(t)=

2

3

2

t t

t t

  

2

( 1)( 1) (3 1)(2 2) ( )

( 1)

t t t t t t

f t

t

       

 



=

4

3 7( 1)( )

7 7

( 1) ( 1)

t t

t t

t t

  

  



 

=

3

3 7( )

7 ( 1)

t t

  

Bảng biến thiên:

t

7

 ( )

f t + 0

-( )

f t

-1

1 20



-3

Số nghiệm (2) số giao điểm đồ thị hàm số (C) y=f(x) đường thẳng: y=m

(*) m > 11

20



m < -3, (d) không cắt (C)  (2) vô nghiệm  (1) vô

nghiệm

(*) m= 11

20



, (d) cắt (C) mộy điểm 0,  (2) có nghiệm 0,

2

49 21

0

20t  10t20 

3

log

7

t x

   

(*) 11

20 m



   , (d) cắt (C) hai điểm 0,  (2) có hai nghiệm phân biệt 0,

(2) 20 11 20 11

2( 3) 2( 3)

x

m m m m

t

m m

       

   

 

 

4

1 20 11

log (

2

m m

x

m

   

 

 )

(*) -3 < m <-1, (d) cắt (C) điểm 0,  (2) có nghiệm

(*)

 

1 20 11

2

m m

t

m

   



 > 0, ( 20m 11 2  m )

 

1 20 11

4

2

x m m

m

   

 

  

1 20 11

log (

2

m m

x

m

   

 

VD :lgx2 2mx 3 lg 8 x 6m

    (*)

(*)

 

2

3

8 4

8

2

2 , (1)

m x

x m

x x

x mx x m

m x x

  

 

 

   

 

   

   

 



Nghiệm (1) số giao điểm đồ thị hàm số:  

2 8 3

3

x x

f x

x

 



 (C)

đường thẳng g x  2m (d)

 

 

2

6 21

,

3

x x

f x x

x

 

   



2

3 32 16

4 16

m m m

f

m

 

     

  

- Nếu: 3 4

m

m

  

x   3m/4 3 

f’(x) + + +

f(x)



3 ( )

4

m f



 

(d) cắt (C) hai điểm  (1) có hai nghiệm

Nghiệm (1) nghiệm (*)

2 4

3 32 16

2 5

4 16

4

m

m m m

m f m

m

m

 

 

 

  

     

 

 

 

Trường hợp m < (loại)

 nghiệm (*) là:

4 13

x m   m  m

- Nếu: 3 4

m

m

  

x 3m/4 

( )

f x + +

( )

f x 

3 ( )

4

 f x  cắt g x  điểm   1 có nghiệm

Nghiệm (1) nghiệm (*) 4

m

m f  m

    

 

 nghiệm (*) là: x m 4 m2 2m 13

    

Kết luận:

(+) \ 4, 4, 

5

m     

 

 

 phương trình (*) vơ nghiệm

(+) 4, 5

m   

  phương trình (*) có hai nghiệm:

2

4 13

x m   m  m

(+) m4, phương trình (*) có nghiệm:

VD10 : Tìm giá trị tham số a để pt sau có nghiệm:

4x a2x a     (*)

Giải: Đặt t=2x , t >0

(*) trở thành: t2 at a 3 0

     

2

3

3

t a t

t

a t

   



 



( Vì t+1> 0)

Nghiệm (*) tương ứng với t>0 (1): Xét hàm số: y= f(t)=

2

3

t t



 0;  

   

 

2

2

2 3

( 1) 1

t t t t t

f t

t t

    

  

 

Bảng biến thiên:

t 0 1 

( )

f t - 0 +

( )

f t 3

2



Từ bảng biến thiên ta có:

(*) có nghiệm (1) có nghiệm t>0  m2

VD11 :

Với giá trị m, phương trình sau có nghiệm 1;8 :

2

2

log x log x  3 m (*)

ln

t x

   ;  x 1: 8

Bảng biến thiên:

x 1 8

( )

t x +

( )

t x

0

3

Từ bảng biến thiên ta có: t 0;3 ; x1;8

(*) trở thành: t2 2t 3 m

   (1)

Nghiệm (*) ứng với nghiệm t 0;3 1;8 (1)

Xét hàm số: y= f(t)= t2 2t 3

 

 f t( ) 2 t

t 0 1 3

( )

f t - 0 +

( )

f t

2

6

Nghiệm (1) hoành độ giao điểm đồ thị hàm số

  2

yf t t  t đường thẳng y= m

Vậy (*) có nghiệm 1;8

(1)

 có nghiệm 0;3 m

  

VD12 : Với giá trị m, phương trình sau có nghiệm 0;: 9x 3m x m

   (*)

Giải: Đặt t=3x ; t>0

Mỗi giá trị t ứng với giá trị x (*) trở thành: t2 6 m t 5 m

  

 

2 5 6 1

t m t

   

2

5

t

m t



 

 ( Vì 6t+1> 0) (1)

Số nghiệm (1) số giao điểm đồ thị hàm số: y= f(t)=

2 5

6

t t



 đường thẳng y= m 0;

Xét f(t)=

6

t t

 

     

 

2

2 6

6

t t t

f t

t

  

 



t 0 61 1

 

( )

f t - 0 +

( )

f t

41 61 61

 



(*) có nghiệm 0;  (1) có nghiệm 0;

5

m

 

VD13 :Tìm m để phương trình sau có nghiệm 1,3 3



 :

2

3

log x log x1 2m 10

Giải

Đặt:

3

log

t x

3

1;3

x  

 

 

2

3

0 log x 3 1 log x 1

(*) trở thành: t2 t 2 2m

   (1)

Số nghiệm cua (*) 1;3 3

  số nghiệm (1) 1; 2

Xét f t  t2 t 2

   1;2   ; 1;2

f t  t   t

Bảng biến thiên:

t

( )

f t +

( )

f t

0

(*) có nghiệm 1;3 3

 

 (1) có nghiệm 1;2 2m m

     

VD14:Tìm giá trị a để phương trình sau có nghiệm phân biệt dương

2

1

1

9x  a.3x 2 0 (*)

2

1

2

3 x

t x



   ;  x 0;

Bảng biến thiên:

x 0 +  

t x +

 

t x

0

Từ bảng biến thiên ta có:

t0;3 ;  x

Mỗi t0;3 tương ứng giá trị x nhất

(*) trở thành:

2 2 0

t  at 

  2

0

t

a t t



   (1)

(*) có nghiệm dương phân biệt

 (1) có nghiệm phân biệt 0;3

Xét hàm số: y = f(t)=

2

t t



 

2

2

t f t

t



 

Bảng biến thiên:

t 0 2 3

 

f t - +

 

f t 

2

11

Số nghiệm (1) (0;3) số giao điểm đồ thị hàm số y=

2

t t



và đường thẳng y= a

Vậy (*) có nghiệm dương phân biệt 2 11

a

  

VD15 :

Định m để phương trình:

2 2

os sin sin

3c x x m.3 x

  (*) có nghiệm

 

2 2

2

2

sin

os sin sin

sin sin

(*) 2.3

3

9

x

c x x x

x x

m m



  

 

   

 

Đặt t=

sin x ; t0;1

(*) trở thành:

9

t t

m

   

 

   

    (1)

Xét hàm số  

9

t t

f t      

      0;1   3ln 1 ln 6

9 9

t t

f t        

     

0;1

t

 

Bảng biến thiên:

t 0 1

 

f t

- 

f t

1

Nghiệm (1) phần đồ thị hàm số y= f(t) nằm phía đường thẳng y= m 0;1

Từ bảng biến thiên ta có: (*) có nghiệm  (1) có nghiệm t0;1

m

 

VD16 :: Định m để bất phưong trình:

 

.4x 2x

m m  m

     (*) thoả x Giải:

Đặt t 2x  

(*) trở thành: m.t2+ 4(m-1)t + m-1> 0  4 1 4 1

m t t t

     (1)  

2

4

t

m f t

t t



  

   

 

2 2

4

0

t t

f t

t t

 

  

   t

( )

f t

-1

0

Nghiệm (1) hoành độ phần đồ thị hàm số y= f(t) nằm bên đường thẳng y m .

*) thoả x   (1) thoả  t

 m1

VD17 : Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2

2

1

1

x x

m m



 

  

   

(*) Giải:

Ta có: m2 m 1 0

   m nên (*)  

2

1

2 log

x x m m

    

Đặt f x  x2 2x

 

Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) đường thẳng y= 1 

3

log m m1

Ta có bảng sau:

x 2

( )

f x

2

x  x 2x x x2  2x

( )

f x 2x 2 2 x 2x

( )

f x - + - +

( )

f x

0

Từ bảng suy (*) có nghiệm:

 

1

0 log 1

1

1

1

m m

m m

m

    

    

   