b Viết phương trình tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến tạo với hai ñường tiệm cận của C một tam giác có chu vi lớn nhất, và khi ñó tính chu vi, diện tích của tam giác nói trên.. Viết phươn[r]
(1)N V XÁ ỨNG DỤNG ðẠO HÀM ðỂ GIẢI TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG (2) TÀI LIỆU THAM KHẢO [01] Bộ Giáo dục và đào tạo, Sách Giáo khoa, Sách Giáo viên, Sách bài tập, Tài liệu hướng dẫn thực chuẩn kiến thức – kĩ Toán 10, 11, 12, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2011 [02] Phan ðức Chính (chủ biên), Các bài giảng luyện thi môn Toán, tập ba, Nhà xuất Giáo dục, 2001 [03] Nguyễn Thuỷ Thanh, Phương pháp giải các dạng toán THPT, tập hai: Giải tích, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2011 [04] Các ñề thi Tốt nghiệp THPT, thi tuyển sinh ðại học, Cao ñẳng, thi Học sinh giỏi các năm [05] Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam (3) MỤC LỤC Trang Tài liệu tham khảo Mục lục KHÁI NIỆM ðẠO HÀM 1.1 ðịnh nghĩa ñạo hàm 1.2 Các tính chất ñạo hàm MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ðẠO HÀM 2.1 Ứng dụng ñạo hàm ñể tính tổng và tìm hệ số ña thức 2.2 Ứng dụng ñạo hàm ñể tính giới hạn 2.3 Ứng dụng ñạo hàm ñể viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số 11 2.4 Ứng dụng ñạo hàm ñể xét tính ñơn ñiệu hàm số 15 2.5 Ứng dụng ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số 17 2.6 Ứng dụng ñạo hàm ñể chứng minh bất ñẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 20 2.7 Ứng dụng ñạo hàm ñể khảo sát hàm số 26 2.8 Ứng dụng ñạo hàm ñể giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình MỘT SỐ ðỀ TỰ LUYỆN 39 49 (4) KHÁI NIỆM ðẠO HÀM 1.1 ðịnh nghĩa ñạo hàm Cho hàm số y = f(x) xác ñịnh trên tập D và ñiểm x ∈ D Giả sử tồn khoảng (a; b) cho x ∈ (a; b) ⊂ D Nếu tồn giới hạn hữu hạn f (x) − f (x ) = A thì số A ñược gọi là ñạo hàm hàm số f(x) ñiểm x0 x − x0 x→x0 lim f (x) − f (x ) ðạo hàm x − x0 x→x0 và kí hiệu là f '(x ) y '(x ), ñó f '(x ) = lim hàm số ñiểm x0 (nếu có) là số Hàm số có ñạo hàm x0 thì liên tục x0 Khi giải toán cần lưu ý f(x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) = A ⇔ lim+ = lim− = A x − x0 x − x0 x − x0 x→x0 x→x0 x→x0 f '(x0 ) = A ⇔ lim Nếu hàm số y = f(x) có ñạo hàm ñiểm thuộc khoảng K thì ta nói f(x) có ñạo hàm trên K và hàm số f '(x), x ∈ K, ñược gọi là (hàm) ñạo hàm f(x) trên K ðạo hàm hàm số (nếu có) trên khảng (có thể mở rộng trên tập) là hàm số ðạo hàm cấp cao f (k) (x) = (f (k −1) (x)) ' VD1 Cho hàm số f(x) có ñạo hàm trên ℝ và thoả mãn f ( 2x ) = ( cosx ) f ( x ) – 2x,∀x ∈ ℝ Tính f '(0) ñịnh nghĩa f(x) − f(0) x→0 x − HD Từ ñề bài nhận thấy f ( 0) = 4.f ( 0) ⇒f(0) = Ta có f '(0) = lim ( cosx ) f ( x ) – 2x f (x) f (2x) = lim = lim 2cos x − 1 = 2f '(0) − Do ñó 2x x x →0 2x x →0 x →0 = lim f '(0) = Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (5) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT VD2 Cho hàm số f (x) = x(x − 1)(x + 2)(x − 3) (x + 2012)(x − 2013) Tính f '(0) f (x) − f (0) = lim (x −1)(x + 2) (x − 2013) = −(2013!) x→0 x − x→0 HD Ta có f '(0) = lim VD3 Tìm hàm số f(x) khả vi trên ℝ và f (x) − f (y) = f '(x + y).(x − y), ∀x, y ∈ ℝ HD Từ ñẳng thức ñề bài cho y = thu ñựợc f (x) − f (0) = f '(x).x, ∀x ∈ ℝ, hay f (x) − f (0) , ∀x ∈ ℝ \ {0} Vì f khả vi trên ℝ nên f liên tục trên ℝ , suy x f '(x) liên tục x ≠ Mặt khác, f(x) có ñạo hàm x = nên f (x) − f (0) lim f '(x) = lim = f '(0) tức là f '(x) liên tục x = Như f '(x) x →0 x →0 x liên tục trên ℝ Vì f có ñạo hàm và ñạo hàm liên tục trên ℝ nên f (y) − f (x) f '(x) = lim = lim f '(x + y) = f '(2x), ∀x ∈ ℝ Bằng qui nạp ta suy y→ x y→x y−x x f '(x) = f '(2n x), ∀x ∈ ℝ, ∀n ∈ ℕ * Hay f '( n ) = f '(x), ∀x ∈ ℝ, ∀n ∈ ℕ * Do f '(x) x x n liên tục trên ℝ và lim ( ) = nên f '(x) = lim f '( n ) = f '( lim n ) = n →+∞ n →+∞ n →+∞ 2 = f '(0) = a, ∀x ∈ ℝ Dẫn tới f (x) = ax + b, ∀x ∈ ℝ Thử lại thấy hàm số f (x) = ax + b, ∀x ∈ ℝ (a, b là các số tuỳ ý) là hàm số cần tìm f '(x) = 1.2 Các tính chất ñạo hàm (những công thức này ñược giả sử là hai vế ñều có nghĩa) 1) (c ) ' = 0; ( x ) ' = 1; ( x n ) ' = n x n − ; ( n x ) = n n x n −1 ) (sin x ) ' = c o s x ; (co s x ) ' = − sin x ; (tan x ) ' = + ta n x = (c o t x ) ' = − − c o t x = − sin x co s x ; x ln a ) ( u + v − w ) ' = u ' + v ' − w '; ( k u ) ' = k u '; ( u v ) ' = u ' v + u v '; u u ' v − uv ' ( )' = ; ( u ( v ( x ))) ' = u '( v ).v '( x ) v v2 3) (a x ) ' = a x ln a ; (lo g a | x |) ' = VD4 Tính ñạo hàm a)y = (ax + b) n b)y = sin x c)y = n ax + b d)y = ax + b cx + d Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (6) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT HD a) y ' = an(ax + b)n −1 b) y = − c) (sin x ) ' sin x (n u )' = d) y ' = =− u' n n u n −1 ad − bc (cx + d) cos x x sin x Do ñó y ' = a n (ax + b) n n −1 VD5 Tìm tập xác ñịnh và tính ñạo hàm hàm số x 1 a) f (x) = 1 + x b) g(x) = log x (2x − 1) HD a) Ta nhớ lại ñiều kiện ñể biểu thức a b có nghĩa: - Nếu b ∈ ℕ * thì a b a có nghĩa - Nếu b ∈ ℤ, b ≤ 0, thì a b có nghĩa a ≠ - Nếu b ∈ ℝ \ ℤ thì a b có nghĩa a > Do ñó ñể tìm tập xác ñịnh f(x) ta xét các trường hợp sau ñây: x ∈ ℕ * ⇔ x ∈ ℕ * *TH1: x ≠ x ∈ ℤ, x ≤ *TH2: ⇔ x ∈ ℤ, x ≤ −2 + ≠ x x ∈ ℝ \ ℤ x ∈ ℝ \ ℤ *TH3: ⇔ x > ∨ x < − 1 + > x x 1 Kết hợp lại ta thấy 1 + có nghĩa x > x < −1 Vậy tập xác ñịnh x hàm số f(x) là tập D1 = (−∞; −1) ∪ (0; +∞) Với x ∈ D1 thì + 1 > và ln f (x) = x ln 1 + Lấy ñạo hàm hai vế ñẳng x x Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (7) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT x 1 1 f '(x) 1 = ln 1+ − ⇒ f '(x) = ln 1+ − thức này, ta ñược .1+ f(x) x x +1 x x +1 x Chú ý: Ta không ñược áp dụng công thức (a x )' = a x ln a và (xα )' = α xα −1 ñể tính f '(x) vì muốn áp dụng hai công thức này thì a , α phải là số ðể tính ñạo hàm hàm số có dạng f (x) = ( u(x) ) v(x) ta thường lấy logarit hai vế, ñược ln f (x) = v(x) ln u(x) , ñến ñây lấy ñạo hàm hai vế ta có f '(x) u '(x) u '(x) = v '(x) ln u(x) + v(x) ⇒ f '(x) = f (x). v '(x) ln u(x) + v(x) f (x) u(x) u(x) b) ðiều kiện ñể log a b có nghĩa là a > 0,a ≠ 1, b > Do ñó g(x) = logx (2x − 1) x > 0, x ≠ x > ⇔ có nghĩa 2x − > x ≠ Ta có g(x) = log x (2x − 1) = Chú ý: 1 Tập xác ñịnh: D2 = ; +∞ \ {1} 2 ln(2x − 1) 2x ln x − (2x − 1) ln(2x − 1) nên g '(x) = ln x x(2x − 1) ln x ln u u 'v ln v − uv 'ln u ' = uv ln v ln v ( log v u ) ' = Bài tập Dùng ñịnh nghĩa tính ñạo hàm hàm số x = x sin neáu x ≠ b)g(x) = x 0 neáu x = 1 − cos x neáu x ≠ a)f(x) = x 0 neáu x = Tính ñạo hàm hàm số 1)y = x 1− x 2)y = (x + 1) + x + x 4)y = sin3 4x − cos5 2x 5)y = 7)y = 3sin2 x.cos2x 8)y = 10)y = x + 2x − x2 13)y = + x + x 3)y = x.sin(2 − x) + sin x − cos x − sin x + cos x 11)y = 1− x 1+ x 2x (1 + x2 )3 14)y = cot x 6)y = tan x − cot 4x 9)y = − s inx + cos x 1 12)y = ( − ) 2+x 4−x 15)y = (x + 1)2 (x − 2)3 (x + 3)4 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (8) MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ðẠO HÀM 2.1 Ứng dụng ñạo hàm ñể tính tổng và tìm hệ số ña thức Nhờ ñạo hàm ta có thể tính ñược số tổng (hoặc chứng minh ñẳng thức) mà các số hạng thường có dạng (k+1)xkak ðối với ña thức f (x) = a + a1x + + a n x n ta dễ thấy a k = f (k) (0) , ñó k! qui ước ñạo hàm cấp hàm số f(x) là chính hàm số f(x); và a + a1 + + a n = f (1), a − a1 + a − a + + (−1)n a n = f (−1) VD6 Cho ña thức f(x) = (1 + x – x12)2011+ (1 – x + x11)2012 Tìm hệ số số hạng chứa x ña thức Tính tổng tất các hệ số bậc lẻ ña thức Tính tổng các hệ số bậc lớn hay ña thức HD Ta có f '(x) = 2011(1+ x − x12 )2010.(1−12x11) + 2012(1 − x + x11)2011.(−1 +11x10 ) ðể cho tiện ta kí hiệu f (x) = a + a1x + + a n x n (với n = 12×2011 = 24132) Hệ số số hạng chứa x ña thức f(x) là a1 = f '(0) = 2011 − 2012 = −1 1! a + a1 + + a n = f (1) = 2, a − a1 + a − a + + (−1)n a n = f (−1) = nên f (1) − f (−1) = tổng các hệ số bậc lẻ f(x) là a1 + a + + a 24131 = Ta có a0 = f(0) = 2, a2 + a3 + + an = (a0 + a1 + + an ) − a0 − a1 = − − (−1) = Do VD7 Chứng minh C1n + 22 Cn2 + + n 2Cnn = n(n + 1)2n − , ∀n ∈ ℕ, n ≥ HD Ta có (1 + x)n = n n n k =1 k =1 ∑ Cnk xk ⇒ n(1+ x)n−1 = ∑ Cnkkxk−1 ⇒ nx(1+ x)n−1 = ∑ Cknkxk k =0 ⇒ n(1 + x)n −1 + n(n − 1)x(1 + x)n − = cùng này thu ñược n ∑ Cnk k x k −1, thay x = vào ñẳng thức cuối k =1 2 Cn + Cn + + n 2Cnn = n(n + 1)2n − , ∀n ∈ ℕ, n ≥ Nhận xét Ta có n 2C0n + (n − 1) C1n + + 22 Cnn − + 12 Cnn −1 = n(n + 1)2n − , ∀n ∈ ℕ, n ≥ Bài tập ( Cho f (x) = – x + x ) 2011 ( ) 2012 + + x3 = a + a1x + + a 6030 x 6030 Tính tổng A = a1 − 2a + 3a + + 6029a 6029 − 6030a 6030 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (9) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT Giả sử (1 + x)n = a + a1x + + a n x n , n ∈ ℕ * Biết tồn số nguyên a k −1 a k a k +1 = = 24 Tính tổng 2.1.a + 3.2.a + 4.3.a + + n.(n − 1).a n dương k (1 ≤ k ≤ n) cho a) Chứng minh C1n + 2Cn2 + 3C3n + + nCnn < (n!.n), ∀n ∈ ℕ, n > b) Chứng minh nC0n − (n − 1)C1n + + (−1)n − Cnn − + (−1)n −1 Cnn −1 = 0, ∀∈ ℕ * Cho y = a0x + a1x3 + a 2x5 + + a n x2n +1 + thoả mãn (1− x2)y'− xy =1, ∀x ∈(−1;1) Tìm các hệ số a , a1, , a n Cho số nguyên dương n ≥ thoả mãn ñẳng thức A3n + C3n = 35(n − 1)(n − 2) Tính các tổng sau ñây S1 = C1n + 2Cn2 + + nCnn ; S2 = 22Cn2 − 32 C3n + + (−1)n n2Cnn ; S3 = 1+ 2x + 3x2 + + nxn−1; S4 = sinx + sin2x + + sinnx; S5 = cosx + 2cos2x + + ncosnx; S6 = C0n + 2C1n + + (n +1)Cnn Chứng minh n2n C0n + (n − 1)2n −1C1n + + 2Cnn −1 = 2n.3n −1, ∀n ∈ ℕ * 2 2n 2n +1 Tìm n ∈ ℕ * biết C12n +1 − 2.2.C2n +1 + 3.2 C2n +1 − + (2n + 1)2 C2n +1 = 2005 10 Cho khai triển a a a a + + + n = 4096 2 2n (1 + 2x)n = a + a1x + + a n x n , n ∈ ℕ * Gọi ak là số lớn Biết các số n a , a1, , a n , (a k = max{a i ,i = 0, n}) Tính tổng S = a + (∑ i.a i ) − ka k i =1 (Tức là S = a + a1 + 2a + 3a + + (k − 1)a k −1 + (k + 1)a k +1 + + na n ) 11 Cho khai triển (1 − 2x)n = a0 + a1x + + a n x n , n ∈ℕ * Biết a0 + a1 + a2 = 71 Tính tổng S = 12 a1 + 22 a + 32 a + 42 a + (52 − 1)a + 62 a + + n 2a n 12 Cho C0n + C1n + Cn2 = 211 Tính tổng S = 12 C0n A11 + 22 C1n A12 + 32 C2n A13 + + (n + 1)2 Cnn 13 Tìm số nguyên dương n thoả mãn C1n + 3Cn2 + 32 C3n + + 3n −1Cnn = A1n +1 2200 − 14 Chứng minh 1 99 198 100 199 100.C100 ( )99 − 101.C1100 ( )100 + − 199.C100 ( ) + 200.C100 ( ) = 2 2 1 1 2011 15 Cho + + + + = , n ∈ ℕ, n ≥ Tính tổng tất các hệ số A A3 A A n 2012 bậc lớn ña thức f (x) = (1– 2x).(x2 + 1)n 16 Tính tổng S = C2n − 2C3n + 3C4n − 4C5n + + (−1)n (n − 1)Cnn −1 17 Tìm n ∈ ℕ * so cho C12n + 3C32n + 5C2n + + (2n − 1)C2n 2n = 2560 18 Tính tổng S = C2n + 2C3n + 3C4n + 4C5n + + (n − 1)Cnn Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (10) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 2.2 Ứng dụng ñạo hàm ñể tính giới hạn Dựa vào ñịnh nghĩa ñạo hàm hàm số ñiểm và các tính chất ñạo hàm ta có thể tính ñược số gới hạn dạng vô ñịnh f (x) có dạng lim , f (0) = 0, ta vận dụng trực tiếp ñịnh x→x0 x f (x) nghĩa ñạo hàm hàm số ñiểm, thu ñược lim = f '(0) x→x0 x ðể tính giới hạn Nếu các hàm f(x) và g(x) có ñạo hàm trên lân cận ñiểm x0 và f(x0) = f(x) − f(x0 ) f(x) − f(x0 ) lim x − x0 x − x0 f '(x0 ) f(x) x→x0 = g(x0) = 0, g '(x ) ≠ thì lim = lim = = , g(x) − g(x0 ) g'(x0 ) x→x0 g(x) x→x0 g(x) − g(x0 ) lim x − x0 x − x0 x→x0 ∞ (dạng vô ñịnh ) Các dạng vô ñịnh , 0.∞, ∞-∞, 1∞ , 00 ta biến ñổi dạng ∞ ñể áp dụng tính chất trên VD8 Tính giới hạn 1 − x + x − − x + x3 1)A = lim ; 2)B= lim ( + x + + x3 ); 3)C = lim(1 + sin x) x x→1 x→−∞ x→0 tan(x − 1) HD 1) Xét f (x) = − x + x − − x + x , g(x) = tan(x − 1) trên lân cận ñiểm x0 = Nhận thấy 2x − f '(x) = 3x − − , g '(x) = + tan (x − 1), f(1) = g(1) = 0, − x + x 33 (1 − x + x )2 f '(1) = − , g '(1) = ≠ 0, nên f (x) f (x) − f (x) − f (1) f (x) − f (1) lim f (x) f '(1) A = lim = lim x − = lim x −1 = lim x − = x→1 x − = =− g(x) g(x) − g(x) − g(1) g(x) − g(1) x→1 g(x) x→1 x→1 x→1 g'(1) lim x→1 x −1 x −1 x −1 x −1 1 2)B= lim ( + x + + x ) = lim x(− + ( )2 + + ( )3 ) ðặt t = thì x →−∞ x →−∞ x x x t → x → −∞ Ta có B= lim t →0 f '(t) = B= lim t →0 t2 − t 1+ t2 , + t3 − + t Xét f (t) = + t − + t , có t f(0) = 0, f '(0) = 0, (1 + t ) + t3 − + t f (t) f (t) − f (t) − f (0) = lim = lim = lim = f '(0) = t →0 t t →0 t − t →0 t t−0 nên Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (11) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 10 3) Ta luôn có thể chọn ñược lân cận ñiểm x0 = cho trên lân cận ñó + sinx > ðặt M = (1 + sin x) x , N = ln(M) = ln(1 + sin x) Xét hàm x co s x , f(0) = 0, f '(0) = Như + sin x ln(1 + sin x) f (x) f (x) − f (0) lim N = lim = lim = lim = f '(0) = Suy x →0 x →0 x →0 x x →0 x x−0 f (x) = ln(1 + sin x), C= lim (1 + sin x) x x →0 f '(x) = có = lim M = lim e = e N x →0 lim N x →0 x →0 = e = e Vậy C = 1 lim (1 + sin x) x x →0 = e Bài tập 19 Tính các giới hạn sau ñây ex + sin2x − cos3x 1− 1+ 2x2 3x + − x −2 x +3 −2x 1) lim ; 2) lim ; 3) lim ; 4) lim ; x→0 ln1 + 4x − tan5x x→0 − cosx x→0 1− 2x +1 x→1 sin(1− x) n 1+ ax.m1+ bx −1 x.2x −1 sin3x ; 6) lim (a,b ≠ 0;m,n ∈ℕ*); 7) lim ; π 1− 2cosx x x→1 x −1 x→0 x→ 5) lim π cos( cosx) ln(cosx) sinx x−a 8) lim ;9) lim ( ) (a ≠ kπ ); 10) lim ; 11) lim (sinx)tan x ; π x→0 x2 x→a sina x→0 sin(tanx) x→ (x +2005) − 5x - 2005 13) lim ; x x →0 1 12) lim (cos + sin ) x ; x x x →±∞ 1 ; 15) lim x + x + ; 14) lim − x → 3x(1 + + 4x ) 2x( (1 + 6x) + + 6x + 1) x →−1 sin(x + 1) x − x + 2x 16) lim x →+∞ x − x + 3x n n 19) lim x −a x →a x m − a m esin 2x − esin x x − sin 2011x ; 18) lim ; sin x x →0 x →0 x + sin 2012x ;17) lim sin ax 21) lim (b ≠ 0); x → sin bx 22) lim 1 24) lim − ; x → sin x x 25) lim 27) lim x2e− x ; x →+∞ 10 n + ax − (b ≠ 0); x → m + bx − (a ∈ ℝ; m, n ∈ ℕ*); 20) lim − 3x − + 2x tan x x →0 ln x ; x → cot x 28) lim x→0 sin x − x x3 ; 23) lim x − sin x x → x − tan x ; 26) lim (1 − cos x)cot x; x →0 29) lim+ x ln x; x →0 30) lim x sin x x →±∞ Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (12) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 2.3 11 Ứng dụng ñạo hàm ñể viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số Nếu hàm số y = f(x) (C) có ñạo hàm x = x0 thì tiếp tuyến (C) ñiểm M(x0; f(x0)) có phương trình là y = f '(x )(x − x ) + f (x ); f '(x ) là hệ số góc tiếp tuyến (C) ñiểm M(x0; f(x0)) Nếu tiếp tuyến (C) y = f(x) có hệ số góc k thì hoành ñộ tiếp ñiểm thoả mãn PT k = f '(x) ðường thẳng y = ax + b là tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = f(x) hệ ax + b = f (x) , và nghiệm x0 hệ này chính là a = f '(x) phương trình sau có nghiệm hoành ñộ tiếp ñiểm Cho d1 : y = ax + b, d : y = kx + m Khi ñó d1 / /d ⇔ a = k, b ≠ m; còn d1 ⊥ d ⇔ a.k = −1 VD9 Cho (C) : y = x3 − 3x + Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết a) Tiếp ñiểm có tung ñộ là nghiệm phương trình 3y − xy'+ 5x + 16 = b) Tiếp tuyến song song với ñường thẳng 9x − y − 15 = c) Tiếp tuyến ñi qua ñiểm A( ; −1) HD a) Ta có y' = 3x2 − Do ñó phương trình 3y − xy'+11x +16 = trở thành 3(x3 − 3x + 1) − x(3x2 − 3) + 5x + 16 = ⇔ x = 19 Nghĩa là tung ñộ tiếp ñiểm y = 19 Hoành ñộ x tiếp ñiểm thỏa mãn x30 − 3x + = 19 ⇔ x = Vậy tiếp ñiểm là ñiểm M (3;19) Hệ số góc tiếp tuyến k = y'(3) = 24 Tiếp tuyến (C) M có phương trình y = 24(x − 3) + 19 ⇔ y = 24x − 53 b) ðường thẳng 9x − y − 15 = viết lại thành y = 9x − 15 Gọi d : y = ax + b là tiếp tuyến cần tìm thì a = 9,b ≠ −15 Vì d tiếp xúc với (C) nên hệ phương trình x − 3x + = 9x + b phải có nghiệm Từ phương trình thứ hai hệ tìm x 3x − = lên phương trình ñầu hệ, ta thu ñược b = −15 b = 17 ðối chiếu với ñiều kiện b ta lấy b = 17 Vậy tiếp tuyến cần tìm là d : y = 9x + 17 c) ðường thẳng ñi qua A, có hệ số góc k, có phương trình ∆ : y = k(x − ) −1 là x − 3x + = k(x − ) − tiếp tuyến (C) hệ có nghiệm Tìm 3x − = k k = −3,k = Các tiếp tuyến cần tìm là ∆1 : y = −3x + và ∆ : y = −1 11 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (13) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 12 x + ax + b x ≤ VD10 Tìm a, b ñể hàm số y = có ñạo hàm x − x − 8x + 10 x > ñiểm x0 = và ñó hãy viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số ñiểm có hoành ñộ x0 = HD ðể hàm số có ñạo hàm ñiểm x0 = thì trước hết nó phải liên tục ñiểm này Ta phải có y(2) = lim + y(x) = lim − y(x) ⇔ y(2) = lim + (x − x − 8x + 10) = lim − (x + ax + b) x →2 x →2 x →2 x →2 ⇔ + 2a + b = −2 ⇔ b = −2a − x2 + ax − 2a − x ≤ Lúc này ta viết lại y = Hàm số này có ñạo hàm ñiểm x − x − 8x +10 x > y(x) − y(2) y(x) − y(2) (x − x − 8x + 10) − (−2) = lim − ⇔ lim + = x−2 x−2 x−2 x →2 x →2 x →2 x0 = thì lim + (x2 + ax − 2a − 6) − (−2) ⇔ = a + ⇔ a = −4 ⇒ b = Vậy với a = –4, b = thì x −2 x→2 hàm số ñã cho có ñạo hàm ñiểm x0 = và y '(2) = Khi ñó tiếp tuyến cần tìm là y = 0.(x − 2) + (−2) ⇔ y = −2 = lim− VD11 Viết phương trình tiếp tuyến (C): y = x4 – 2x2 biết tiếp tuyến ñi qua tâm ñường tròn nội tiếp tam giác có ba ñỉnh là ba ñiểm cực trị (C) HD Dễ thấy (C) có ba ñiểm cực trị là A(–1;–1), B(1;–1), O(0;0) Gọi I là tâm ñường tròn nội tiếp tam giác OAB thì I(0; m) với –1 < m < Các ñường thẳng OA, OB, AB có phương trình x – y = 0, x + y = 0, y + = Ta có d(I, OA) = d(I, OB) = d(I, AB) ⇔ m = m + ⇔ m = − (do − < m < 0) Vậy I(0; − 2) ðường thẳng ñi qua I có hệ số góc a có phương trình y = ax + − (d) (tiếp tuyến ñồ thị hàm số là ñường thẳng có hệ số góc) ðường thẳng (d) là tiếp tuyến ñồ thị (C) hệ phương trình x − 2x = ax + − (1) (2) 4x − 4x = a có nghiệm Thế (2) vào (1) giá trị ta ñược 3x − 6x + − = ⇔x=± a=± 3±3 3+3 bài toán y = ± 12 Tương ứng ta tìm ñược a là 3± 3+3 Do ñó tìm ñược tiếp tiếp thoả mãn yêu cầu 3+3 3± 3+3 x + − Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (14) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 13 Bài tập x − 2x + 20 Viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số y = biết tiếp x − tuyến vuông góc với ñường thẳng x – 3y + = 21 Cho y = x+2 (C) a) Viết PTTT (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục toạ 2x + ñộ tam giác cân b) Viết PTTT (C) các ñiểm có toạ ñộ nguyên (C) c) Chứng minh không có tiếp tuyến nào (C) ñi qua ñiểm I(− ; −2) 17 Tìm m ñể tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ (C): y = x3 – 3mx2 + 4m3 là ñường thẳng tạo với hai trục toạ ñộ tam giác có diện tích 25 18 Viết PTTT ñồ thị (C): y = x − x a) Biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A(3; 0) b) Biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng 9x + 12y – = 19 Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñồ thị y = x3 – 3x2 + (C) và tiếp tuyến ñồ thị (C) ñiểm M(–1;1) 20 Gọi A, B là các giao ñiểm ñường thẳng y = x + m với ñồ thị y= −x + (C) và k1, k2 là hệ số góc tiếp tuyến (C) A, B Tìm 2x − m ñể tổng k1 + k2 ñạt giá trị lớn 21 a) Tìm trên trục Oy ñiểm mà từ ñó kẻ ñược tiếp tuyến tới ñồ thị hàm số y = x4 cho tiếp tuyến ñó vuông góc với b) Tìm trên ñường thẳng y = ñiểm có thể kẻ ñược tiếp tuyến tới ñồ thị hàm số y = 2x − 9x + 12x + cho số tiếp tuyến ñó vuông góc với 22 Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = 2x4 – 2(m + 4)x3 + (8m + 7)x2 – 2(3m+2)x+3 tiếp xúc với trục Ox 23 Viết PTTT ñồ thị (C) : y = 24 a) Viết PTTT y = tiếp tuyến là lớn b) Viết PTTT y = x −1 giao ñiểm (C) với trục tung x +1 x (C) biết khoảng cách từ tâm ñối xứng (C) tới x −1 4x − (C) biết tiếp tuyến ñi qua gốc tọa ñộ x −1 c) Chứng minh ñồ thị y = x − 3x + x2 +1 (C) cắt Ox hai ñiểm phân biệt A, B Tính cosin góc tạo hai tiếp tuyến (C) A và B d) Giả sử A, B, C là ba ñiểm thẳng hàng trên ñồ thị y = x − 3x + 2(T) Các tiếp tuyến (T) A, B, C cắt (T) các ñiểm A’, B’, C’ tương ứng khác A, B, C Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng 13 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (15) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 14 x x ≤ 25 Tìm a, b ñể hàm số f (x) = có ñạo hàm x0 = 1, ñó ax + b x > hãy viết PTTT ñồ thị hàm số ñiểm có hoành ñộ x0 = 26 Viết PTTT (P) : y = x − 2x + biết a) Tiếp ñiểm có hoành ñộ x = b) Tiếp tuyến song song với ñường thẳng 4x – 2y + =0 c) Tiếp tuyến vuông góc với ñường phân giác góc phần tư thứ 4x − 27 Cho (C)y = và ñiểm I(1;4) x −1 a) Chứng minh không có tiến tuyến nào (C) ñi qua I b) Chứng minh tiếp tuyến (C) ñiểm M bất kì luôn cắt hai ñường thẳng ∆ : x = và ∆ ' : y = A, B tạo thành tam giác vuông có diện tích không ñổi và M là trung ñiểm AB Viết phương trình tiếp tuyến trường hợp tam giác ñó có chu vi nhỏ c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) trường hợp khoảng cách từ I tới tiếp tuyến là lớn d) Viết phương trình tiếp tuyến (C) N cho tiếp tuyến ñó vuông góc với IN e) Chứng minh ñường thẳng d ñi qua I và cắt (C) ñiểm phân biệt P, Q thì các tiếp tuyến (C) P và Q song song với f) Viết PTTT (C) biết tiếp tuyến ñó tạo với trục hoành góc 450 28 Cho (C)y = − x − x a) Viết PTTT (C) biết tiếp ñiểm có tung ñộ y = b) Viết PTTT (C) biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng x + 2y = x3 29 Tìm các giá trị a cho có tiếp tuyến (C) y = − 2x + 3x + có hệ số góc a 30 Tìm m ñể tiếp tuyến (C)y = −x3 + mx2 − mx + m ñều có hệ số góc âm 31 Tìm m ñể tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ (C)y = x3 + 3mx2 + m là ñường thẳng ñi qua gốc tọa ñộ 32 Cho (C)y = x3 + x2 + x + a) CMR không có tiếp tuyến nào (C) song song với Ox b) Tìm trên (C) hai ñiểm mà tiếp tuyến (C) hai ñiểm ñó vuông góc với c) Tìm k ñể trên (C) có ít ñiểm mà tiếp tuyến (C) ñiểm ñó vuông góc với ñường thẳng y = kx d) Viết PTTT (C) biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng y = x + 14 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (16) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 2.4 15 Ứng dụng ñạo hàm ñể xét tính ñơn ñiệu hàm số Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên ñoạn [a; b] và ñồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (a; b) thì hàm số này ñồng biến (tương ứng nghịch biến) trên ñoạn [a; b] Nếu hàm số y = f(x) có ñạo hàm trên khoảng K và phương trình f '(x) = có hữu hạn nghiệm trên K thì: + f(x) ñồng biến trên K ⇔ f '(x) ≥ 0, ∀x ∈ K + f(x) nghịch biến trên K ⇔ f '(x) ≤ 0, ∀x ∈ K Lưu ý: thay khoảng K nửa khoảng ñoạn thì kết luận trên ñúng, thay K tập bất kì thì kết luận ñó không ñúng VD12 Tìm m ñể hàm số y = x − mx + x − 2m3 a ðồng biến trên ℝ b ðồng biến trên khoảng (0; +∞) c Khoảng nghịch biến hàm số có ñộ dài lớn HD a) Hàm số ñồng biến trên ℝ ⇔ y' = x2 − 2mx + ≥ (∀x ∈ ℝ) ⇔ ∆ ' = m2 −1 ≤ ⇔ −1 ≤ m ≤ b) Hàm số ñồng biến trên khoảng (0; +∞) ⇔ y ' = x − 2mx + ≥ (∀x > 0) x2 +1 x2 +1 2x − với x > 0, có f '(x) = , (∀x > 0) Xét hàm số f (x) = 2x 2x 4x f '(x) = ⇔ x = ±1, với x > thì f '(x) = ⇔ x = Trên khoảng (0; +∞) dấu f '(x) là dấu 2x – Từ ñó ta có bảng biến thiên f(x) sau ⇔m≤ x f '(x) – +∞ +∞ + +∞ f(x) Suy m ≤ x2 +1 (∀x > 0) ⇔ m ≤ Vậy m ≤ là các giá trị cần tìm 2x c) ðể hàm số có khoảng nghịch biến thì trước hết y’ phải có hai nghiệm phân biệt, tức là ∆ ' > Khi ñó gọi x1, x2 là nghiệm y’ (x1< x2) thì hàm số có khoảng nghịch biến là (x1 ; x2) ðộ dài khoảng này (khoảng cách nghiệm phương trình bậc hai) là x1 − x = 4∆ ' ∆ Vậy ñể khoảng nghịch = a a biến hàm số ñã cho có ñộ dài lớn ta cần ñiều kiện ñối với tam thức y ' = x − 2mx + là ∆ ' > m > m − > ⇔ ⇔ m2 − > ⇔ 4∆ ' m < −2 a >2 2 m − > 15 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (17) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 16 VD13 Chứng minh hàm số y = nghịch biến trên khoảng xác ñịnh x trên tập xác ñịnh thì nó không ñồng biến và không nghịch biến HD Hàm số có tập xác ñịnh D = ℝ \ {0} = (−∞; 0) ∪ (0; +∞) ðạo hàm y' = − x < 0, ∀x ∈ D Vì y ' = − khoảng (−∞; 0) , vì y ' = − x2 x2 < 0, ∀x ∈ (−∞; 0) nên hàm số nghịch biến trên < 0, ∀x ∈ (0; +∞) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (0; +∞) Ta chọn x1 = –1 thì y1 = – 1, x2 = thì y2 = 1, ta thấy x1 < x , y1 < y nên hàm số không nghịch biến trên D Tương tự chọn giá trị x1 = thì y1 = 1 , x2 = thì y2 = , x1 < x , y1 > y nên hàm số không ñồng biến trên D Vậy hàm số ñã cho nghịch biến trên khoảng xác ñịnh (−∞; 0), (0; +∞), nó không ñồng biến và không nghịch biến trên tập xác ñịnh D = ℝ \ {0} = (−∞; 0) ∪ (0; +∞) Bài tập 33 Xác ñịnh các khoảng ñơn ñiệu hàm số 3 x x + 3x + x − x ; 2)y = ; 3)y = − x + 2x ; 4)y = 2−x x +1 34 Tìm m ñể hàm số: a) y = x + mx + (m + 6)x − ñồng biến trên ℝ m b) y = x − (m − 1)x + 3(m − 2)x + ñồng biến trên nửa khoảng [ 2; +∞ ) 3 1)y = c) y = −3x − mx − x + nghịch biến trên ℝ d) y = 3x + m ñồng biến trên khoảng xác ñịnh x −1 e) y = x3 + (m − 1)x2 + (m + 3)x − ñồng biến trên 0;3 35 Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x3 + mx + cắt trục Ox ñúng ñiểm 36 Lập bảng biến thiên hàm số a)y = x − sin x; b)y = 4x + − 2x; c)y = 2x + 3x x +1 37 Cho y = 4x3 + (m + 3)x2 + mx a) Tùy theo m hay lập bảng biến thiên hàm số b) Tìm m ñể tồn khoảng có ñộ dài mà hàm số nghịch biến trên khoảng ñó x2 + mx − 3−x a) Nghịch biến trên khoảng xác ñịnh b) ðồng biến trên khoảng (−2;2) 38 Tìm m ñể hàm số y = 16 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (18) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 2.5 17 Ứng dụng ñạo hàm ñể tìm cực trị hàm số Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a; b), ñiểm x0 ∈ (a; b), và có ñạo hàm trên các khoảng (a; x0), (x0; b) Ta có: + Nếu f '(x) > 0, ∀x ∈ (a; x ); f '(x) < 0, ∀∈ (x ; b) thì f(x) ñạt cực ñại f(x0) ñiểm x = x0 + Nếu f '(x) < 0, ∀x ∈ (a; x );f '(x) > 0, ∀∈ (x ; b) thì f(x) ñạt cực tiểu f(x0) ñiểm x = x0 Chú ý: – Nếu hàm số ñạt cực trị x0 thì f '(x ) = f '(x ) không xác ñịnh – Nếu f '(x) không ñổi dấu trên (a; b) thì f(x) không có cực trị trên (a; b) – Nếu x0 là ñiểm cực trị hàm số y = f(x) (C) thì f(x0) ñược gọi là (giá trị) cực trị hàm số, và M(x0; f(x0)) ñược gọi là ñiểm cực trị ñồ thị (C) Giả sử hàm số f(x) có ñạo hàm ñến cấp trên khoảng (a; b) và ñiểm x0 ∈ (a; b) Ta có: + Nếu f '(x ) = 0; f "(x ) < thì f(x) ñạt cực ñại f(x0) ñiểm x = x0 + Nếu f '(x ) = 0; f "(x ) > thì f(x) ñạt cực tiểu f(x0) ñiểm x = x0 Chú ý: Nếu f '(x ) = f "(x ) = thì chưa thể kết luận ñược hàm số có ñạt cực trị x0 hay không (chẳng hạn với f(x) = x3 thì f '(x ) = f "(x ) = và hàm số không ñạt cực trị x = 0, với f(x) = x4 thì f '(x ) = f "(x ) = và hàm số ñạt cực tiểu x = 0, với f(x) = –x4 thì f '(x ) = f "(x ) = và hàm số ñạt cực ñại x = 0) VD14 Cho hàm số y = x3 – 2x2 + mx +1 a) Tìm m ñể hàm số ñại cực tiểu x = b) Tìm m ñể hàm số có hai ñiểm cực trị dương c) Tìm m ñể hàm số có hai cực trị có tích nhỏ 31 27 HD a) Ta có y ' = 3x − 4x + m, y" = 6x − 4, và y"(1) = > nên hàm số ñã cho ñạt cực tiểu x = y '(1) = ⇔ m = Vậy với m = thì hàm số có ñiểm cực tiểu x = b) Hàm số ñã cho có ñiểm cực trị dương phương trình 3x − 4x + m = có ∆ ' = − 3m > nghiệm dương phân biệt, tức là ⇔ < m < Vậy với m S = > 0; P = > < m < thì hàm số có hai ñiểm cực trị dương 31 c) Hàm số ñã cho có hai cực trị có tích nhỏ phương trình 27 31 3x − 4x + m = (1) có nghiệm phân biệt x1, x2 và y(x1).y(x2) < Trước 27 17 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (19) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 18 hết, phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ∆ ' > ⇔ m < Theo m x1 + x2 = , x1x = Lúc này ta có 3 2m 11 2m 11 y ( x1) = x13 – 2x12 + mx1 +1 = (3x12 − 4x1 + m)( x1 − ) + ( − )x1 + = ( − )x1 + 9 9 2m 11 31 (do 3x12 − 4x1 + m = 0) Tương tự y(x2) = ( − )x2 + Do ñó y ( x1 ) y ( x2 ) < ⇔ 9 27 2m 11 2m 11 31 2m 11 2m 121 31 (( − )x1 + )(( − )x2 + ) < ⇔ ( − )2 x1x2 + ( − )(x1 + x2 ) + < 9 9 27 9 81 27 2m m 11 2m 121 31 ⇔( − ) + ( − ) + < ⇔ 3m3 − 8m + 22m − 17 < 9 81 27 ⇔ m < (thoả mãn m < ) Vậy m < là các giá trị cần tìm ñịnh lí Viet thì Bài tập 39 Tìm m ñể hàm số ñạt cực tiểu x = 0: a) y = m.x + 2mx ; b)y = x3 − mx + (m + 1)x; c)y = x + mx3; d)y = −x3 − 3mx + 3(m2 − 1)x − m2 40 Tìm m ñể hàm số y = x3 – (m+2)x +m ñạt cực ñại x = 41 Tìm m ñể hai ñiểm cực trị ñồ thị hàm số y = –x3 + 3x2 + 3(m2 – 1)x – 3m2 – cách ñều ñiểm O 42 Tìm m ñể ñồ thị (C) y = x − (3m + 1)x + 2(m + 1) có ñiểm cực trị là ñỉnh tam giác ñều 43 Viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị ñồ thị m y = x − x + biết tiếp tuyến (C) ñiểm có hoành ñộ –1 là 3 ñường thẳng song song với d: 5x – y = 44 Tìm m ñể hàm số y = x + mx + a)Có hai ñiểm cực trị trái dấu b)Có hai x+m cực trị trái dấu 45 Tìm m ñể các ñiểm cực trị ñồ thị hàm số y = x3 – 3mx2 + 4m3 ñối xứng với qua ñường thẳng y = x 46 Tìm m ñể hàm số y = x3 – (2m – 1)x2 + (2 – m)x có hai ñiểm cực trị dương 47 Tìm m ñể ñường thẳng y = x + m2 – m ñi qua trung ñiểm ñoạn thẳng nối hai ñiểm cực trị ñồ thị hàm số y = x3 – 6x2 + 9x 48 Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x4 – 2(m+1)x2 + m có ñiểm cực trị A, B, C (A là ñiểm cực trị nằm trên Oy) cho OA = BC 49 Chứng minh ñồ thị hàm số sau luôn có hai ñiểm cực trị và viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị ñó: x − m(m + 1)x + m3 + a)y = x − mx − x + m; b)y = x−m 50 a) Tìm m ñể hàm số f (x) = x + ax + 2x − có ñiểm cực trị 18 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (20) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT b) Chứng minh hàm số y = ñó là ñiểm cực tiểu 19 x − 3x + x +1 (C) có ñiểm cực trị và 51 Tìm a, b, c, d ñể y = ax3 + bx2 + cx + d ñạt cực tiểu x = 0, ñạt cực ñại x = 52 Tìm a, b, c ñể hàm số y = x3 + ax2 + bx + c ñạt cực tiểu – x = 1, và ñồ thị nó cắt trục Oy ñiểm có tung ñộ 53 Cho hàm số y = 2x − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + (C) a) Chứng minh với m ñồ thị hàm số ñã cho luôn có hai ñiểm cực trị có khoảng cách không ñổi c) Tìm m ñể các ñiểm cực trị hàm số ñã cho thoả mãn 2xCð – xCT = – d) Tìm m ñể các ñiểm cực trị hàm số ñã cho thoả mãn 2yCT + yCð = 16 e) Chứng minh ñường thẳng nối hai ñiểm cực trị ñồ thị hàm số ñã cho có phương không ñổi 54 Lập bảng biến thiên và xác ñịnh các ñiểm cực trị hàm số x2 − x + a)y = 2x − x ; c)y = x + 3x + 6; b)y = ; x2 + x + 16 d)y = x3 − 3x − 2; e)y = x2 − ; f)y = x − x x x2 + mx − 55.Tìm m ñể hàm số y = có cực trị mx − 56 Tìm m ñể hàm số y = x3 − 2x2 − mx + có ñiểm cực ñại nhỏ 57 Tìm m ñể hàm số y = x3 − (m − 3)x + (4m − 1)x − m có hai ñiểm cực trị x1,x2 thỏa mãn x1 < −2 < x π 58 Tìm a ñể hàm số y = asin x + sin 3x ñạt cực trị x = 3 59 Tùy theo m tìm quỹ tích trung ñiểm ñoạn thẳng nối hai ñiểm cực trị ñồ thị hàm số y = x3 + 3mx2 + mx + m 60 Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x − 2(m + 1)x + m có ñiểm cực trị là ñỉnh tam giác vuông 61 Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x3 − 3mx + 3m có hai ñiểm cực trị A, B cho tam giác OAB có diện tích 48 62 Cho hai số thực a, b thỏa mãn a + b > Chứng minh hai số a, b có ít số không phải là ñiểm cực trị hàm số y = x − (m + 2m)x + (m + 4m3 + 5m + 2m)x + 2013 19 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (21) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 2.6 20 Ứng dụng ñạo hàm ñể chứng minh bất ñẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Bảng biến thiên hàm số có thể giúp ta tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số chứng minh bất ñẳng thức ðể tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số y = f(x) trên ñoạn [a; b] ta có thể làm theo sơ ñồ sau: – Tính f '(x) , tìm các giá trị x1, x , ∈ [a; b] mà ñó f '(x) = không xác ñịnh – Tính f (x1), f (x ), , f (a), f (b) và kết luận max f(x) = max{f(x1),f(x2), ,f(a),f(b)}, f(x) = min{f(x1),f(x2), ,f(a),f(b)} x∈[a;b] x∈[ a;b] VD15 Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số y = 6x + 10 − 4x 10 10 4x ; ,y' = ⇔ x = nên , y' = − 2 10 − 4x2 HD Vì y = 6x + 10 − 4x2 , ∀x ∈D = − 10 10 max y = max y( ), y(− ), y( ) = max 10, −3 10,10 = 10; y = −3 10 2 x∈D x∈D { } VD16 a) Cho a, b không ñồng thời 0, chứng minh y 2x b) Cho hai số dương x, y Chứng minh e + y < ab3 a + 3b + a 3b ≤ 3a + b 4 x+y x HD a) Xét hàm số f(x) = x4 – 4xb3 + 3b4 với x ∈ ℝ Có f '(x) = 4x − 4b3 , f '(x) = ⇔ x = b, f '(x) > ⇔ x > b, f '(x) < ⇔ x < b Bảng biến thiên f(x) : x −∞ f '(x) b – +∞ + +∞ +∞ f(x) Suy f ( x ) = x – 4xb3 + 3b4 ≥ 0, ∀x ∈ ℝ a – 4ab3 + 3b ≥ ⇔ ab3 a + 3b tương ứng, ta ñược 20 ab ≤ 3a + b a + 3b + ñó ta ñược (do a, b không ñồng thời nên a4 + a 3b 3b > 0) Tương tự ta có Từ ≤ Cộng hai bất ñẳng thức này, vế với vế a 3b ≤ Dấu “=” xảy a = b 3a + b 4 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (22) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT b) Với x, y dương ta có e 21 y 2x + y < y x+y 2x y (1) ⇔ < ( + 1) ln(1 + ) ðặt t = + x y x x x = Bất ñẳng thức cần chứng minh trở thành y t −1 (t + 1) ln t − 2t + > (2), với t > Ta xét hàm số f (t) = (t + 1) ln t − 2t + 2, t ln t − t + ðặt g(t) = t ln t − t + ⇒ g'(t) = ln t Và từ ∀t ∈ [1; +∞) Có f '(t) = t thì t > và t g '(t) +∞ + +∞ g(t) suy f '(t) > 0, ∀t > 1, f '(1) = Do ñó f(t) ñồng biến trên nửa khoảng [1; +∞ ) Dẫn tới f(t) > f(1) hay (t + 1) ln t − 2t + > với t > Tức là (2) ñược chứng minh Vậy (1) ñược chứng minh VD17 Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn x + y + z = và x + y2 + z2 = Tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức P = x + y5 + z5 HD Vì x + y + z = 0,x2 + y2 + z2 = nên y + z = −x, y2 + z2 = − x2 ,yz = x2 − 5 và P = x5 + y5 + z5 = x5 + (y + z) (y2 + z2 )2 − y2z2 − yz(y2 + z2 ) = x3 − x 6 ≤x≤ Ta xét hàm số Vì y2 + z2 ≥ 4yz nên − x2 ≥ 4(x2 − ) ⇔ − 3 6 5 15 f(x) = x3 − x, ∀x ∈ D = − ; , f '(x) = x2 − , f '(x) = ⇔ x = ± , 4 3 6 6 6 ) = f( ) = − ,f( ) = f(− ) = Vậy max P = max f(x) = 36 36 x∈D 6 6 = max − ; = , P = f(x) = ; − =− 36 36 36 36 36 36 x ∈ D và f(− Ta thấy P ñạt giá trị lớn ba số x, y, z có hai số − số và 6 , và P ñạt giá trị nhỏ ba số x, y, z có hai số 6 và số − Việc tính toán chi tiết xin dành cho bạn ñọc 21 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (23) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 22 VD18 Cho x, y, z ∈ 1;4 , x ≥ y,x ≥ z Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= x y z + + 2x + 3y y + z z + x HD Trước hết ta xét hàm số f(z) = f '(z) = x (z + x)2 − y (z + y)2 z = x y z với z ∈ 1;x Có + + 2x + 3y y + z z + x (x − y)(z2 − xy) (x + z)2 (y + z)2 Nếu ≤ y < x ≤ thì ta có xy f '(z) - f(z) x + f( xy ) hay f(z) ≥ f( xy ), ∀z ∈ 1;x Còn x = y thì f '(z) ≡ nên f(z) là hàm hằng, tức là luôn có f(z) = f( xy) Như thế, hai trường hợp, ta ñều có f(z) ≥ f( xy) = x 2y + ,∀z ∈1;x Vì 1≤ y ≤ x ≤ nên x = t2y với ≤ t ≤ 2x + 3y y + xy Do ñó P = f(z) ≥ f( xy) = t2 = g(t), ∀z ∈ 1;x , ∀t ∈ 1;2 Hàm g(t) 2t + t + + nghịch biến trên 1;2 vì g'(t) = Do ñó P ≥ g(t) ≥ g(2) = −2(t (4t − 3) + 3t(2t − 1) + 9) 2 (2t + 3) (t + 1) < 0, ∀t ∈ 1;2 34 34 , ∀t ∈ 1;2 Vậy P = , ñạt ñược 33 33 z = xy,t = hay x = 4, y = 1, z = VD19 Với ∆ ABC nhọn, chứng minh 9cos A + 6(cos B + cosC) ≤ 11 HD ðặt M = cos A + 6(cos B + cos C) , vai trò cosB và cosC nên ta biến ñổi M = 9cosA + 6(cosB + cosC) = 9cosA +13.cos B+ C B− C cos = 2 A A B−C A A B− C + 12.sin cos ≤ −18sin + 12sin + (do < cos ≤1, 2 2 2 A A sin > ) ðặt t = sin ⇒ t ∈ (0; ), ta xét hàm số f (t) = −18t + 12t + 2 2 trên khoảng (0; ), nhận thấy f '(t) = −36t + 12, f '(t) = ⇔ t = Bảng biến thiên f(t): = − 18sin 22 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (24) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT t 23 2 f '(t) + 11 - f(t) Từ ñó suy −18t +12t + ≤ 11(∀t ∈ (0; A A )) ⇒ −18sin2 +12sin + ≤ 11 ⇒ M ≤ 11 2 B−C A = 1, sin = 2 π 1 ⇔ A = arcsin , B = C = − arcsin (tức là ∆ ABC cân A và có sinA = ) 3 2 Vậy 9cos A + 6(cos B + cosC) ≤ 11 Dấu “=” xảy cos VD20 Với a, b là hai số thực dương thỏa mãn a < b và ab + e > e(a + b) , hãy so sánh hai số a b và ba ln x − ln x ,f '(x) = ⇔ x = e với x > Có f '(x) = x x2 Bảng biến thiên hàm f(x): HD Xét hàm số f (x) = x f '(x) f(x) −∞ + +∞ e e - −∞ Ta có ab + e > e(a + b) ⇔ (a − e)(b − e) > Như a, b cùng lớn số e cùng nhỏ số e Ta xét các trường hợp sau ñây: ln a ln b - Nếu < a < b < e thì f(a) < f(b) hay < ⇔ a b < ba a b ln a ln b - Nếu e < a < b thì f(a) > f(b) hay > ⇔ a b > ba a b VD21 Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn a + b + c2 = 3, tìm giá trị nhỏ 1 biểu thức P = + + + (a + b + c) a b c 3x x − HD Xét hàm số f (x) = + trên khoảng 0; Có x (x − 1) ( x(2 − x) + ) ( x(2 − x) + ) > 0, vì f '(x) = , với x ∈ 0; thì 2x 2x f '(x) cùng dấu với (x − 1) trên khoảng ñang xét Ta có bảng biến thiên hàm số f(x): ( ( 23 ) ) Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (25) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT x f '(x) +∞ 24 - + 22 − 12 f(x) 3x x + − ≥ , ∀x ∈ 0; Vì a, b, c > và x 4 a + b2 + c2 = nên a, b,c ∈ 0; Lần lượt thay x a, b, c từ bất ñẳng ( Từ ñó suy f (x) = ( ) ) thức trên, ta thu ñược 3a a + ≥ + a 4 3b b 1 27 15 + ≥ + ⇒ P = + + + (a + b + c) ≥ + (a + b + c ) = b 4 a b c 4 3c c (do a + b + c2 = 3) + ≥ + c 4 15 Kết luận: minP = , ñạt ñược a = b = c = Bài tập 63 Tìm giá trị nhỏ hàm số y = x4 + 6x3 + 11x2 + 6x 64 Chứng minh a) a4 + b4 ≥ ab3 + a3b với a, b b) x.ex + + ≥ với x; x2 d) cos x ≥ − , ∀x ∈ ℝ c) (a x + b x ) y < (a y + b y ) x , ∀a, b > 0, x > y > e)3 ≤ sin x +2 cos x 2+ ≤ 2 , ∀x ∈ ℝ g) cos x + cos y ≤ + cos(xy), ∀x, y ∈ ℝ, x + y ≤ π π h)esin x > + ln(1 + x), ∀x ∈ 0; i)a2 ln b − b2 ln a > ln a − ln b, ∀0 < a < b < π 2 f )a b < ba , ∀a > b ≥ e j) 1 3( − 1) + + ≤ với tam giác nhọn ABC có các + tanA + tan B + tan C π π A B C k) + tan + tan + tan > sin A + sin B + sin C, với ∆ABC 2 2 góc ñều lớn l) 2(sin A + sin B + sin C) + tan A.tan B.tan C > 3π , ∀∆ABC nhoïn 24 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (26) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 65 So sánh hai số 2012 25 2012 và 2013 2013 66 Cho a > 0, b > 0, 2(a + b2 ) + ab = (a + b)(ab + 2) Tìm giá trị nhỏ P = 4( a3 b3 a2 b2 + ) − 9( + ) b3 a3 b2 a 67 Cho a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức a −b b −c c −a − 6a + 6b + 6c2 68 Tìm giá trị lớn hàm số y = − x; x ∈ (−∞;0) 2x 69 Một hình nón có thiết diện ñi qua trục là tam giác cân có cạnh ñáy là 2a P=3 +3 +3 và góc ñỉnh là 300 Một hình trụ nội tiếp hình nón ñó, tức là trục hình trụ nằm trên trục hình nón, ñáy hình trụ nằm trên ñáy hình nón, ñường tròn ñáy còn lại hình trụ nằm trên mặt xung quanh hình nón Gọi h là chiều cao hình trụ Tính h theo a ñể thể tích hình trụ là lớn 70 Tìm m ñể phương trình 2x − 2mx + m − 3m − = có nghiệm Giả sử x1,x2 ,x3 ,x là nghiệm phương trình ñó Hãy tìm giá trị lớn và nhỏ biểu thức P = x1x2 x3x 71 Tìm m ñể phương trình x3 + 3mx − 3x − 3m + = có nghiệm Giả sử x1,x2 ,x3 là nghiệm phương trình ñó Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức S = x12 + x22 + x32 72 Tìm giá trị lớn và nhỏ hàm số a)y = a + x + b − x + (a + x)(b − x) với a + b > 0, a và b là số b)y = 4x + 1+ x c)y = x2 + x − + (3 + x)(2 − x) e) y = ln(6x) + ln(1 − x ) d) y = sin2x + cosx - cos2x f) y = 3cos2 x + 2sin 2x 73 Cho tứ diện ñều ABCD cạnh a, gọi I, J là trọng tâm các tam giác ABC và DBC Một mặt phẳng (α) thay ñổi luôn ñi qua IJ và cắt các ñoạn thẳng AB, AC, DB, DC Tìm giá trị lớn và nhỏ diện tích thiết diện tứ diện ABCD cắt (α) 25 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (27) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 2.7 26 Ứng dụng ñạo hàm ñể khảo sát hàm số Sơ ñồ khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 1) Tìm tập xác ñịnh 2) Xét biến thiên – Tính y’, giải phương trình y’ = 0, xét dấu y’ – Kết luận biến thiên và cực trị – Tìm giới hạn vô cực và giới hạn vô cực Tìm tiệm cận (nếu có) – Lập bảng biến thiên 3) Vẽ ñồ thị Một số lưu ý – Hàm số y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) có tập xác ñịnh D = R, ñồ thị b b ; f( − )) làm tâm ñối xứng 3a 3a Hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có tập xác ñịnh D = R, ñồ thị cắt Oy cắt Oy A(0; d), nhận ñiểm I( − – B(0; c), nhận Oy làm trục ñối xứng ax + b d (c ≠ 0, ad – bc ≠ 0) có tập xác ñịnh D = R\{– }, không – Hàm số y = cx + d c a d có cực trị, ñồ thị có tiệm cận ngang y = , tiệm cận ñứng x = – , và giao ñiểm c c d a I(– ; ) hai ñường tiệm cận chính là tâm ñối xứng ñồ thị c c VD22 Cho Cho hàm số y = x3 + (m + 2)x + m + 1) Tìm m ñể hàm số có ñiểm cực tiểu x = 2) Với m vừa tìm ñược, hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 3) Biện luận theo k số nghiệm phương trình x3 – 3x = 2k HD Cho 1) y’ = 3x2 + m + 2; y’’ = 6x Hàm số ñạt cực tiểu x = y '(1) = m + = ⇔ ⇔ m = – Vậy với m = – thì hàm số ñã cho có y ''(1) > 6>0 ñiểm cực tiểu x = 2) Khi m = – thì hàm số trở thành y = x3 – 3x +2 * TXð D = R * Sự biến thiên: y’ = 3x2 – 3; y’ = ⇔ x = ± +) y’ > ⇔ x∈(– ∞ ; – 1) ∪ (1; + ∞ ) nên hàm số ñồng biến trên các khoảng (– ∞ ; – 1), (1; + ∞ ) +) y’ < ⇔ x∈(– 1; 1) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (– 1; 1) Hàm số ñạt cực ñại x = –1, yCð = y( – 1) = Hàm số ñạt cực tiểu x = 1, yCT = y(1) = 26 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (28) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 27 Giới hạn lim y = lim x (1 − x →+∞ x →+∞ + ) = +∞, lim y = −∞ x →−∞ x x Bảng biến thiên x y’ y –∞ –1 + – –∞ +∞ + +∞ * ðồ thị – ðồ thị hàm số có ñiểm cực ñại (– 1; 4), ñiểm cực tiểu (1; 0), tâm ñối xứng (0; 2) – ðồ thị cắt Ox (1; 0), (– 2; 0), cắt Oy (0; 2), ñi qua ñiểm (2; 4) 3) x3 – 3x = 2k ⇔ x3 – 3x +2 = 2k +2 Số nghiệm phương trình ñã cho số ñiểm chung ñồ thị (C) y = x3 – 3x +2 và ñường thẳng (d) y = 2k + (nằm ngang) Từ ñồ thị ta thấy 2k + > k >1 – Với thì (C) và (d) có ñiểm chung nên phương trình ⇔ 2k + < k < −1 ñã cho có nghiệm 2k + = – Với ⇔ k = ±1 thì (C) và (d) có ñiểm chung nên phương trình ñã 2k + = cho có nghiệm – Với < 2k + < ⇔ −1 < k < thì (C) và (d) có ñiểm chung nên phương trình ñã cho có nghiệm VD23 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x − x2 − 2 2) Từ ñồ thị, giải bất phương trình x − x − ≤ 2 HD 1) Học sinh tự làm 2) Nghiệm BPT − ≤ x ≤ VD24 1) Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) hàm số y = 4x + 2x − 2) Viết PT tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng 14x + y – = HD 1)* TXð: D = R\{ } 27 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (29) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT *Sự biến thiên: y’= 28 −14 ∀x∈D (2x − 3) Hàm số nghịch biến trên các khoảng 3 xác ñịnh (– ∞ ; ), ( ; + ∞ ) Hàm số 2 không có cực trị Giới hạn: 4+ x = 2, x →±∞ 2− x lim y = lim x →±∞ 4x + 4x + = +∞, lim = −∞, 3 x→( )+ 2x − x→( )− 2x − lim 2 ñồ thị có tiệm cận ngang y = và tiệm cận ñứng x = Bảng biến thiên *ðồ thị: x –∞ y’ – +∞ +∞ – y –∞ – ðồ thị cắt Ox ñiểm (– ; 0), cắt Oy ñiểm (0; – ) ðồ thị ñi qua các 3 ñiểm (–1; ), (–2; 1), (1; 5), (2; 9) – ðồ thị có tâm ñối xứng là giao ñiểm I( ; 2) hai ñường tiệm cận 2) Vì tiếp tuyến song song với ñường thẳng 14x + y – = nên tiếp tuyến có hệ số góc k = – 14 Vậy tiếp ñiểm có tọa ñộ là nghiệm hệ phương trình 4x + (2x − 3)2 = y = 2x − x = x = ⇔ ⇔ ∨ 4x + 14 − y y = = − y = −14 = 2x − (2x − 3) +) Tiếp tuyến (C) ñiểm (2; 9) có phương trình y = –14(x – 2) + ⇔ y = – 14x + 37 +) Tiếp tuyến (C) ñiểm (1; –5) có phương trình y = –14(x – 1) – ⇔ y = – 14x + Nhưng ñường thẳng này lại trùng với ñường thẳng ñã cho 14x + y – = nên bị loại Vậy có tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu bài toán là y = – 14x + 37 Bài tập 74 Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số 2x − a)y = ; b)y = x − 3x ; c)y = − x − x + x −1 28 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (30) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 29 75 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x − x2 b) Viết PTTT (C) bíêt tiếp tuyến ñi qua A(3;0) 76 Cho (C) y = x3 − 3mx2 + 4m3 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số m = b) Tìm m ñể hai ñiểm cực trị ñồ thị hàm số ñối xứng với qua ñường thẳng y = x 77 Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = – x3 + 3x2 và biện luận theo m số nghiệm phương trình – x + 3x2 − m = 78 Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = 2x3 + 3x2 – và biện luận theo m số nghiệm phương trình 2x + 3x2 + log m = 79 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x − 6x2 + 9x − b) Gọi d là ñường thẳng ñi qua A(2;1) và có hệ số góc m Tìm m ñể d cắt (C) ñiểm phân biệt 80 Cho (C) y = x − mx2 + (2m − 1)x − m + a) Tìm ñiểm cố ñịnh mà (C) luôn ñi qua với m b) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số m = c) Tìm m ñể ñồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị có hoành ñộ dương 81 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = −x + 3x2 + b) Gọi d là ñường thẳng ñi qua A(–1;5) và có hệ số góc m Tìm m ñể d cắt (C) ñiểm phân biệt 82 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = −x + mx + m m = b) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (C) ñã cho tiếp xúc với trục hoành 83 Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x3 – 3x2 + và viết PTTT ñồ thị biết x + 84 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x – x2 − 4x + (C) và viết 3 PTTT ñồ thị biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng 4x + y = tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng y = − b) Tìm m ñể (d) y = mx + cắt (C) ñiểm phân biệt 85 Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x − 3x − và viết PTTT ñồ thị biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng y = 9x − 86 Cho (C) y = x − (2m + 1)x2 + (m − 1)x + m + a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số m = b) Tìm m ñể (C) cắt Ox ñiểm phân biệt có hoành ñộ cùng dấu 87 Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x − 3x2 + và viết PTTT (C) bíêt tiếp tuyến ñi qua A(2;–7) 88 Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x3 – 3x2 và biện luận theo m số nghiệm phương trình x - 3x2 + − 2m = 29 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (31) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 30 89 Cho (C) y = x − mx2 + x + a) Tìm m ñể hàm số có cực ñại, cực tiểu b) Tìm m ñể HS ñồng biến trên (1; 2) c) Khảo sát và vẽ ñồ thị HS m = – 90 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = – x3 + 3x2 – và biện luận theo m số nghiệm phương trình x - 3x2 + − m = b) Tìm M ∈ (C) cho tiếp tuyến (C) M có hệ số góc lớn Viết PPTT ñó 91 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x − 3x2 + b) Gọi d là ñường thẳng ñi qua A(1;2) và có hệ số góc m Tìm m ñể d cắt (C) ñiểm phân biệt A, M, N cho A là trung ñiểm MN 92 a) Khảo sát, vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x3 − (2m − 1)x2 + (2 − m)x + m = b) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (C) ñã cho có ñiểm cực trị có hoành ñộ dương 93 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x − 3x + b) Gọi d là ñường thẳng ñi qua A(3;10) và có hệ số góc m Tìm m ñể d cắt (C) ñiểm phân biệt c) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x − 3x = m3 − 3m 94 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x − 3mx2 + 9x + m = b) Tìm m ñể ñồ thị (C) ñã cho có ñiểm uốn thuộc ñường thẳng y = x + 95 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = m x − x + m = 3 b) Cho M ∈ (C), x M = −1 Tìm m ñể tiếp tuyến (C) M song song với ñường thẳng 5x – y = 96 Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = 4x3 − 6x2 + và viết PTTT (C) kẻ từ ñiểm A(–1;–9) 97 a) Khảo sát, vẽ ñồ thị HS (C) y = −x3 + 3x2 + 3(m2 − 1)x − 3m2 − m = b) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (C) có hai ñiểm cực trị cách ñều gốc toạ ñộ O 98 Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x − 2x2 + 3x và chứng minh tiếp tuyến (C) ñiểm uốn có hệ số góc nhỏ Viết PTTT ñó 99 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x − 3x2 + m m = b) Tìm m ñể trên ñồ thị hàm số (C) ñã cho tồn hai ñiểm phân biệt ñối xứng với qua toạ ñộ O 100 a) Khảo sát, vẽ ñồ thị hàm số (C) y = 2x3 − 9x2 + 12x − và viết PTTT ñồ thị (C) tâm ñối xứng (C) b) Tìm m ñể phương trình | x |3 −9x2 + 12 | x |= m có nghiệm phân biệt 101 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = − x + 3mx + 3(1 − m )x + m − m m = b) Tìm k ñể phương trình −x + 3x2 + k3 − 3k2 = có nghiệm phân biệt c) Tìm m ñể (C) có ñiểm cực ñại và cực tiểu, viết phương trình ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị ñó 30 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (32) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 31 102 Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = 3 x − x + và tìm m ñể PT x − 6x2 + m = có nghiệm phân biệt 103 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x3 − 2x2 + (1 − m)x + m m = b) Tìm k ñể phương trình sin3 x − sin2 x = k có nghiệm c) Tìm m ñể (C) cắt Ox ñiểm phân biệt có hoành ñộ x1, x2, x3 thoả mãn x12 + x22 + x23 < d) Tìm m ñể (C) cắt Ox ñiểm phân biệt có hoành ñộ x1, x2, x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng 104 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x + mx + m = – b) Tìm m ñể (C) cắt Ox ñúng ñiểm 105 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x3 − mx2 − x + m + m = b) Tìm m ñể (C) cắt Ox ñiểm phân biệt có hoành ñộ x1, x2, x3 thoả mãn x12 + x22 + x23 > 15 106 a) Tìm m ñể M(–1;2) là ñiểm uốn ñồ thị hàm số (C) y = mx + 3mx2 + Với m vừa tìm ñược hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho b) Tìm m ñể (C) cắt Ox ñiểm phân biệt 107 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x − 3mx2 + (m2 + 2m − 3)x + m = b) Tìm m ñể ñồ thị hàm số (C) có hai ñiểm cực trị nằm hai phía trục tung 108 a) Khảo sát, vẽ ñồ thị HS (C) y = x − mx2 + (2m + 1)x − m − m = b) Tìm ñiểm cố ñịnh mà (C) luôn ñi qua với m c) Tìm m ñể (C) cắt Ox ñiểm phân biệt có hoành ñộ dương 109 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x − 3(m + 1)x2 + 2(m2 + 7m + 2)x − 2m(m + 2) m = b) Tìm m ñể (C) có ñiểm cực ñại, cực tiểu; viết PT ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị ñó c) Tìm m ñể (C) cắt Ox ñiểm phân biệt có hoành ñộ x ≥ 110 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = − x + mx2 − m = b) Tìm m ñể (C) có ñiểm cực ñại, cực tiểu; tìm toạ ñộ hai ñiểm cực trị ñó và tìm quĩ tích trung ñiểm I ñoạn thẳng nối ñiểm cực ñại với ñiểm cực tiểu 111 Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x − 3x (C) và trên ñường thẳng y = ñiểm có thể kẻ ñược tiếp tuyến tới (C) 112 a) Khảo sát, vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x − 3x + và viết PTTT (C) kẻ từ ñiểm A(− ; 3) b) Tìm m ñể phương trình x − 3x + − 2−m = có nghiệm phân biệt 31 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (33) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 32 113 a) Chứng minh ñồ thị (C) y = (m + 1)x − (2m + 1)x − m + luôn ñi qua ba ñiểm cố ñịnh thẳng hàng bất chấp giá trị tham số m b) Tìm m ñể ñồ thị (C) có tiếp tuyến vuông góc với ñường thẳng ñi qua ba ñiểm cố ñịnh nói trên 114 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x − 3mx + 3m − m = b) Chứng minh tiếp tuyến (C) tâm ñối xứng (C) là ñường thẳng luôn ñi qua ñiểm cố ñịnh 115 a) Tìm m ñể hàm số (C) y = x − 3mx2 + 3(m2 − 1)x + m ñạt cực tiểu x = Với m vừa tìm ñược hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số b) Viết PTTT ñồ thị hàm số câu a biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A(0;6) 116 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x + 3x2 + mx + m = b) Chứng minh (C) luôn cắt (C ') y = x + 2x2 + hai ñiểm phân biệt A, B Tìm quĩ tích trung ñiểm I ñoạn AB c) Tìm m ñể (C) cắt ñường thẳng y = ñiểm phân biệt D, E, F(0;1) cho tiếp tuyến (C) D và E vuông góc với 117 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x + (m − 1)x2 − m m = b) Tìm m ñể (C) cắt Ox ñiểm phân biệt 118 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = − x + x2 + 3x − 11 b) Tìm trên ñồ thị (C) cặp hai ñiểm M, N ñối xứng với qua Oy 119 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x + (1 − 2m)x2 + (2 − m)x + m + m = b) Tìm m ñể (C) có ñiểm cực ñại, cực tiểu, và xCT > 120 Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = 3x − x và tìm m ñể PT sin x cos2 x + sin x − m = có nghiệm 121 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x − 3x b) Tìm m ñể ñường thẳng y = mx + m + cắt (C) ba ñiểm phân biệt A, B, I(–1;2) cho tiếp tuyến (C) A và B vuông góc với c) Biện luân theo k số nghiệm phương trình x − 3x = 2k 122 Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x − 6x2 + 9x và biện luận theo m số nghiệm phương trình | x |3 −6x2 + | x | −3 + m = 123 Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x − (2m + 1)x − (m − 3m − 1)x + 2m3 − 2m2 cắt ñường phân giác góc phần tư thứ ba ñiểm phân biệt có tung ñộ lập thành cấp số nhân 3 124 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) y = x − mx2 + m m = b) Tìm m ñể ñiểm cực ñại và cực tiểu (C) ñối xứng với qua ñường thẳng y = x 32 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (34) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 33 c) Tìm m ñể ñường thẳng y = x cắt (C) ñiểm phân biệt M, N, P theo thứ tự, và MN = NP 125 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) hàm số y = 2x − 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + ứng với m = Khi ñó hãy tìm trên ñường thẳng y = ñiểm có thể kẻ tới ñồ thị (C) tiếp tuyến ñó có tiếp tuyến vuông góc với b) Chứng minh với m ñồ thị HS ñã cho luôn có hai ñiểm cực trị và hình chiếu hai ñiểm cực trị ñó trên Ox là hai ñiểm có khoảng cách không ñổi c) Tìm m ñể các ñiểm cực trị hàm số ñã cho thoả mãn 2xCð – xCT = – d) Tìm m ñể các ñiểm cực trị hàm số ñã cho thoả mãn 2yCT + yCð = 16 e) Chứng minh ñường thẳng nối hai ñiểm cực trị ñồ thị hàm số ñã cho có phương không ñổi f) Tìm quĩ tích tâm ñối xứng ñồ thị hàm số ñã cho 126 Tìm m ñể hàm số y = (m + 1)x3 − (2m − 1)x + 3(2m − 1)x + a) Nghịch biến trên ℝ b) Nghịch trên khoảng (−∞; −1) c) ðồng biến trên khoảng (1; +∞) d) ðồng biến trên ñoạn [−1;1] a) Có cực trị trên khoảng (−∞;1) b) Có cực trị trên khoảng (1; +∞) c) Có hai cực trị x1, x thoả mãn x1 < < x 127 Tìm m ñể hàm số y = x − mx + (m − m + 1)x + d) Có hai cực trị x1, x thoả mãn < x1 < x e) Có hai cực trị x1, x thoả mãn x1 < x < 128 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x − x + (C) b) Tìm ñiểm thuộc trục Oy mà từ ñó có thể kẻ ñược ñúng tiếp tuyến tới ñồ thị (C) c) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x − x + 2m = d) Tính diện tích tam giác có ñỉnh là ñiểm cực trị ñồ thị (C) 129 Cho y = x − (m2 + 10)x2 + (C) a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số m = b) Chứng minh với m ≠ ñồ thị hàm số luôn cắt Ox ñiểm phân biệt, ñó có ñiểm có hoành ñộ thuộc khoảng (-3; 3), và có ñiểm có hoành ñộ nằm ngoài khoảng (-3;3) 130 Cho y = − x + 2mx (C) a) Khi m = 1, hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số, viết PTTT ñồ thị hàm số biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A( 2; 0) b) Tìm m ñể hàm số có ñiểm cực trị 131 Cho y = x − 4x +m (C) a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số m = b) Tìm m ñể (C) cắt Ox ñiểm phân biệt, ñó hình phẳng giới hạn (C) và Ox có diện tích phần bên trên Ox và phần bên Ox 132 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = − x + 5x − b) Tìm m ñể phương trình x − 5x − m2 + m = có nghiệm phân biệt 133 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x − 5x + 33 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (35) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 34 b) Tìm m ñể parabol y = x + m tiếp xúc với ñồ thị hàm số ñã cho Khi ñó hãy tìm toạ ñộ tiếp ñiểm c) Biện luận theo k số nghiệm phương trình x − 5x + = k 134 Cho y = x − 2x + - m (C) a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số m = b) Tìm m ñể (C) và Ox có ñúng ñiểm chung 135 Cho y = mx + (m − 1)x + - 2m (C) a) Khi m = , khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số, viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số biết tiếp tuyến ñi qua gốc toạ ñộ O b) Tìm m ñể hàm số có ñiểm cực trị 136 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x − 2x − b) Viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị HS giao ñiểm ñồ thị với Ox c) Biện luận theo m số nghiệm phương trình x − 8x − = 2m 137 Cho y = x + mx - (m + 1) (C) a) Khi m = 1, khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số b) Tìm các ñiểm cố ñịnh mà ñồ thị hàm số luôn ñi qua với m c) Gọi A là ñiểm cố ñịnh có hoành ñộ dương mà ñồ thị (C) luôn ñi qua Tìm m ñể tiếp tuyến (C) A là ñường thẳng song song với (d) : y = 2x 138 Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x − 2(m + 1)x + m có ñiểm cực trị A, B, C cho A ∈ Oy , OA = BC 139 Tìm m ñể ñồ thị hàm số y = x − (3m + 1)x + 2(m + 1) có ñiểm cực trị là ñỉnh tam giác ñều 140 Tìm m ñể hàm số y = x + mx ñạt cực tiểu ñiểm x = 141 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x+2 (C) , viết phương trình tiếp x−2 tuyến ñồ thị biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A(-6; 5) b) Tìm trên ñồ thị hàm số ñiểm cách ñều hai trục toạ ñộ c) Vẽ ñồ thị (C ') : y = x +2 x −2 142 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x (C) , viết phương trình tiếp 1+ x tuyến ñồ thị biết tiếp tuyến có hệ số góc b) Gọi I là giao ñiểm hai ñường tiệm cận (C) Chứng minh I là tâm ñối xứng (C) Chứng minh không có tiếp tuyến nào (C) ñi qua I a+b a+b c) Chứng minh ≤ , ∀a, b ∈ ℝ 1+ a + b 1+ a + b 143 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x+2 (C) , viết phương trình tiếp x −3 tuyến ñồ thị biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng 15x + 12y + = b) Tìm ñiểm trên (C) mà cách ñều hai ñường tiệm cận (C) 34 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (36) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT c) Vẽ ñồ thị (C ') : y = 35 x+2 x −3 d) Tìm ñiểm A, B thuộc nhánh khác (C) mà ñộ dài AB nhỏ −2x − (C) x +1 b) Biện luận theo m số giao ñiểm (C) và d : y = x + m Trong trường hợp 144 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = (C) cắt d hai ñiểm phân biệt A, B, hãy tìm quĩ tích trung ñiểm ñoạn AB c) Vẽ ñồ thị (C ') : y = −2 x − x +1 d) Tìm ñiểm M, N thuộc nhánh khác (C) mà ñộ dài MN nhỏ 145 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = 3(x + 1) (C) x−2 b) Tìm trên (C) ñiểm có toạ ñộ nguyên c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm O d) Vẽ ñồ thị (C ') : y = 3(x + 1) x−2 146 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = 3x + (C) x −3 b) Tìm hàm số mà ñồ thị (C’) nó ñối xứng với ñồ thị (C) qua ñường thẳng x + y – = c) Gọi M là ñiểm tuỳ ý trên (C) Tiếp tuyến (C) M cắt hai ñường tiệm cận (C) A, B Chứng minh M là trung ñiểm AB và tam giác tiếp tuyến nói trên với hai ñường tiệm cận (C) có diện tích không ñổi 147 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = x+2 (C) x −1 b) Cho A(0; a) Tìm a ñể từ A kẻ ñựơc tiếp tuyến tới (C) và tiếp ñiểm tương ứng nằm phía Ox c) Vẽ ñồ thị (C ') : y = x+2 x −1 mx − (C) a) Với m = hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số x − 2m + −1 b) Vẽ ñồ thị (C ') : y = c) Tìm quĩ tích tâm ñối xứng (C) x +1 x+2 149 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số y = (C) x 148 Cho y = b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục toạ ñộ tam giác cân Khi ñó hãy tính diện tích hình phẳng giới hạn tiếp tuyến ñó và hai ñường tiệm cận (C) c) Gọi I là giao ñiểm hai ñường tiệm cận (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết khoảng cách từ I tới tiếp tuyến ñó là lớn (2m − 1)x − m 150 Cho y = (C) a) Với m = - hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm x −1 số Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñồ thị hàm số với các trục toạ ñộ 35 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (37) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 36 b) Tìm m ñể (C) tiếp xúc với ñường thẳng y = x 151 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y = x x−2 b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến tạo với hai ñường tiệm cận (C) tam giác có chu vi lớn nhất, và ñó tính chu vi, diện tích tam giác nói trên 152 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y = 2x − x −1 b) Gọi I là tâm ñối xứng (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) M cho tiếp tuyến ñó vuông góc với IM 153 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y = x+3 x −1 b) Gọi I là tâm ñối xứng (C) Gọi M là ñiểm tuỳ ý trên (C) Tiếp tuyến (C) M cắt hai ñường tiệm cận (C) A, B Chứng minh M cách ñều x +3 x −1 x +3 154 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y = x+2 b) Chứng minh với m ñường thẳng d : y = x − m luôn cắt (C) ñiểm ñiểm I, A, B c) Vẽ ñồ thị (C ') : y = phân biệt A, B Tìm m ñể ñộ dài AB nhỏ c) Vẽ ñồ thị (C ') : y = + x+2 155 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y = x +1 x −1 b) Chứng minh ∆ : y = x là trục ñối xứng (C) c) Tìm m ñể d : y = 2x + m cắt (C) ñiểm A, B mà tiếp tuyến (C) A, B song song với d) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết khoảng cách từ I(1; 1) tới tiếp tuyến là lớn e) Tìm M ∈ (C) cho ñoạn IM nhỏ 156 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y = x −1 x +1 b) Lấy tuỳ ý M ∈ (C) Tìm giá trị nhỏ tổng khoảng cách từ M tới hai ñường tiệm cận (C) c) Tìm A, B thuộc hai nhánh khác (C) và ñộ dài AB nhỏ 157 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y = 2x − x +1 b) Viết PTTT (C) ñiểm có toạ ñộ nguyên thuộc (C) c) Gọi I là tâm ñối xứng (C) Tìm M ∈ (C) mà tiếp tuyến (C) M vuông góc với IM x x +1 b) Tìm M ∈ (C) ñể khoảng cách từ M tới ∆ : 3x + 4y = 158 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y = 36 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (38) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 37 159 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y = 2x x +1 b) Tìm M ∈ (C) biết tiếp tuyến (C) M tạo với hai trục toạ ñộ tam giác có diện tích 0,25 160 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y = x+2 2x + b) Viết PTTT (C) ñiểm có toạ ñộ nguyên thuộc (C) c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến cắt Ox, Oy A, B cho tam giác OAB có AB = OA 161 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y = 2x + x +1 b) Tìm m ñể ∆ : 2x + y = m cắt (C) A, B cho tam giác OAB có diện tích c) Vẽ ñồ thị (C ') : y = x +1 x +1 −x + 2x − b) Chứng minh với m ñường thẳng ∆ : y = x + m luôn cắt (C) A, B phân biệt Gọi k1, k là hệ số góc tiếp tuyến với (C) A, B Tìm m ñể 162 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y = tổng k1 + k lớn c) Vẽ ñồ thị (C ') : y = −x + x −1 163 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y = 2x + x +1 b) Tìm m ñể ∆ : y = mx + 2m + cắt (C) A, B cho khoảng cách từ A và B tới Ox 164 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y = x x −1 b) Tìm m ñể ∆ : y = − x + m cắt (C) hai ñiểm phân biệt A, B và tìm quĩ tích trung ñiểm ñoạn thẳng AB 165 Cho (C) : y = ax + b (a + b ≠ 0) a) Tìm a, b ñể (C) cắt Oy A(0; -1) và x −1 tiếp tuyến (C) A có hệ số góc – b) Với a, b vừa tìm ñược hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho 166 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y = 2x + Viết phương trình tiếp x−2 tuyến (C) biết tiếp tuyến ñó song song với ñường thẳng 5x + y = 22 b) Chứng minh không có tiếp tuyến nào (C) ñi qua ñiểm I(2; 2) c) Vẽ ñồ thị (C ') : y = x + x +1 x−2 167 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y = 2x − x −1 b) Tìm m ñể d : y = −2x + m − cắt (C) A, B cho AB = 37 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (39) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT c) Vẽ ñồ thị (C ') : y = 38 x + x −1 x −2 168 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y = 2x − x +1 b) Tìm M ∈ (C) ñể tiếp tuyến (C) M và ñường thẳng IM có tích hai hệ số góc – 9, với I là tâm ñối xứng (C) c) Vẽ ñồ thị (C ') : y = x −1 x +1 169 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y = 1− x 2x + b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến ñi qua ñiểm A (với A là giao ñiểm Ox với ñường tiệm cận nào ñó (C)) c) Tìm ñiểm nguyên ñồ thị (C) 170 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y = 2x + x −1 b) Chứng minh giao ñiểm I hai ñường tiệm cận là tâm ñối xứng (C) c) Tìm A ∈ (C) cho tiếp tuyến (C) A cắt tiệm cận ñứng (C) B và IA2 + IB2 + AB2 = 24 x+m (C) a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số m = x −1 b) Gọi I là tâm ñối xứng (C), A ∈ (C) và x A = 2, ñường thẳng qua A và 171 Cho y = vuông góc với IA cắt ñồ (C) thị ñiểm thứ hai B Tìm m ∈ ℤ ñể IB = 172 a) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số (C) : y = 2x + x −1 730 b) Chứng minh giao ñiểm I hai ñường tiệm cận là tâm ñối xứng (C) c) Tìm A, B thuộc hai nhánh khác (C) cho ∆IAB cân I và có diện tích 2x + x −1 (m + 1)x + m 173 Cho y = (C) a) Khi m = hãy khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số, x+m d) Vẽ ñồ thị (C ') : y = tìm trên ñồ thị ñiểm có tổng khoảng cách tới hai ñường tiệm cận là nhỏ b) Tìm m ñể tiếp tuyến (C) ñiểm có hoành ñộ x = m cắt hai ñường tiệm cận tạo thành tam giác có diện tích diện tích tam giác tạo tiếp tuyến ñó với hai trục toạ ñộ 174 a) Tìm m ñể hai ñường tiệm cận (H) : y = 2x + m cùng với hai trục tọa mx − ñộ tạo thành hình chữ nhật có diện tích b) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số với m < vừa tìm ñược trên 38 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (40) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 2.8 39 Ứng dụng ñạo hàm ñể giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Nếu f(x) là hàm số ñồng biến là hàm trên D, g(x) là hàm nghịch biến là hàm trên D thì phương trình f(x) = g(x) có không quá nghiệm trên D (f (x) ≡/ g(x)) Nếu f(x) là hàm ñơn ñiệu trên D thì f(a) = f(b) ⇔ a = b (a, b ∈ D) Nếu f(x) ñồng biến trên D thì f (a) > f (b) ⇔ a > b (a, b ∈ D) Nếu f(x) nghịch biến trên D thì f (a) > f (b) ⇔ a < b (a, b ∈ D) Nếu a = f (x), A = max f (x) thì bất phương trình m ≥ f (x) có nghiệm trên x∈D x∈D D m ≥ a, và bất phương trình này nghiệm ñúng với x ∈ D m ≥ A Rất nhiều bài toán ñược giải dựa vào bảng biến thiên hàm số VD25.Gải phương trình 3sin13 x − 3cos13 x + sin x + sin ( π 3π − x) + 3cos 2x + sin(x − ) = HD Ta biến ñổi phương trình thành 3sin13 x + sin x − 3sin x + 3sin x = 3cos13 x + cos3 x − 3cos x + 3cos x (1) Hàm f (t) = 3t13 + t − 3t + 3t có f '(t) = 39t12 + 3(t − 1)2 > 0, ∀t ∈ ℝ, nên ñồng biến trên ℝ Ta có (1) ⇔ f (sin x) = f (cos x) ⇔ sin x = cos x ⇔ x = π + kπ , k ∈ ℤ VD26 Tìm m ñể hệ sau ñây có nghiệm 4x + 3y + x + y + = 3x + 5xy + 2y + 3x + 2y (1) 37 x + y + x − y ≥ m3 − 3m + 3m + (2) 12 HD Ta ñặt u = 3x + 2y ≥ v = x + y ≥ thì hệ ñã cho ñược viết thành u + v2 + 2v + = 2uv + 2u u + v2 + 2v + = 2uv + 2u (do u, v ≥ 0) ⇔ 37 2 37 v + 2u − 5v2 ≥ m3 − 3m2 + 3m + v + 2u − 5v ≥ m − 3m + 3m + 12 12 u = v + ⇔ 37 Ta xét hàm số f (v) = −3v + 5v + 2 −3v + 5v + ≥ m − 3m + 3m + 12 với v ≥ 0, có f '(v) = −6v + 5, và có bảng biến thiên 39 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (41) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 40 v f '(v) + +∞ – 49 12 f(v) −∞ Từ bảng biến thiên và hệ cuối cùng ta thấy hệ ñã cho có nghiệm 37 49 m3 − 3m + 3m + ≤ ⇔ (m − 1)3 ≤ ⇔ m ≤ Vậy hệ ñã cho có nghiệm 12 12 m ≤ VD27 Biện luận theo m số nghiệm hệ phương trình 2x − (y + 2)x + xy = m x + x − y = − 2m 2x3 − (y + 2)x + xy = m m = −x + 2x − x HD ⇔ 2x − 2x + x + x − y = − 2m y = x + x + 2m − Xét f '(x) = f(x) = số hàm −x4 + 2x3 − x 2x − 2x +1 −4x + 10x − 12x − 8x − (2x − 2x + 1)2 = ñịnh xác trên ℝ, ñạo có hàm (2x − 1)(4x − 4x + − 3)(−8x + 8x − − 3) (2x − 2x + 1)2 , và có bảng biến thiên x 1− −1 −∞ f '(x) + 1+ −1 2 – 2− + +∞ – 2− f(x) − −∞ −∞ Nhận thấy số nghiệm hệ phương trình ban ñầu số nghiệm phương trình m = f(x) Căn vào bảng biến thiên trên ta có kết luận: 2− 2− m < − – Hệ phương trình ñã cho có nghiệm m = – Hệ phương trình ñã cho vô nghiệm m > 40 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (42) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 41 – Hệ phương trình ñã cho có nghiệm m = − – Hệ phương trình ñã cho có nghiệm − < m < 2− VD28 Giải bất phương trình a) x + 12 + log52 (3 + x) ≥ − x + 4; b)x5 + 4x 2x −1 > 2(2x2 + 1) 2x −1 − x HD a) x + 12 + log52 (3 + x) ≥ − x + ⇔ x + 12 + log52 (3 + x) − + x + ≥ (1) Xét hàm số f (x) = x + 12 + log52 (3 + x ) − + x + với tập xác ñịnh D = [ 0; +∞ ) Hàm số liên tục trên D và có ñạo hàm là log5 (3 + x ) 1 f '(x) = + + > 0, ∀x ∈ (0; +∞), nên f(x) x + 12 33 (x + 4)2 x (3 + x ) ln ñồng biến trên D Hơn f(4) = nên (1) ⇔ f (x) ≥ f (4) ⇔ x ≥ Vậy bất phương trình ñã cho có nghiệm x ≥ b) x5 + 4x 2x − > 2(2x + 1) 2x − − x ⇔ x5 + x > ( 2x − 1)5 + 2x − ⇔ ⇔ f (x) > f ( 2x − 1) (với hàm f(x) = x5 + x ñồng biến trên ℝ) x ≥ ⇔ x > 2x − ⇔ Vậy bất phương trình ñã cho có tập nghiệm x ≠ 1 S = ;1 ∪ (1; +∞ ) 2 VD29 Giải hệ phương trình 2 x − y = (y − x)(xy + 2) a) ; 2 x + y = x + y + + = 4(x + y)2 + 3(x + y) b) ; − = 2x y y x tan x − tan y = (1 + x + y ) − (1 + x + y ) c) ; 1− y − x 3 +5 = 2(1 + − 10x + y) x − 3x − 9x + 22 = y3 + 3y − 9y d) 2 x + y − x + y = 41 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (43) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 42 2x − y = (y − x)(xy + x + y2 ) 2 x + x = y + y3 (1) HD a) Hệ ⇔ ⇔ Xét hàm (2) x + y2 = x + y = f (x) = x + x có ñạo hàm f (x) = x ln + 3x > 0, ∀x ∈ ℝ, nên f(x) ñồng biến trên ℝ Như (1) ⇔ f (x) = f (y) ⇔ x = y, vào (2) ta ñược x2 = Do ñó x = y = ±1 Vậy hệ ñã cho có nghiệm (1; 1), (–1; –1) b) ðặt t = x + y thì phương trình ñầu tiên hệ phương trình ñã cho trở thành t + + = 4t + 3t ⇔ 4t + 3t − t + − = (3) Sau ñó ta xét hàm số f (t) = 4t + 3t − t + − 1, có f '(t) = 8t + 9t + − 3t 3t + 3t > 0, ∀t ∈ (0; +∞), nên 1 1 f(t) ñồng biến trên [0; +∞) Lại có f ( ) = nên (3) ⇔f(t) = f( ) ⇔t = ⇔x + y = 2 2 x = x + y = Suy hệ phương trình ñã cho tương ñương với Vậ y ⇔ 2x − y = y = − hệ phương trình ñã cho có nghiệm ( ; − ) từ phương trình thứ hai vào c h ệ, sau ñó xét hàm số Nhận xét Cũng có thể rút y = 2x − phương trình thứ f (x) = 72x − 72x + 16 + 4x − − 12x − π π x + y ≥ 0, x ≤ 1, y ≤ x ≠ + kπ, y ≠ + mπ; k,m ∈ ℤ ⇔ (*) c) ðiều kiện: 2 − + ≥ 10x y x + y ≥ 0, x ≤ 1, y ≤ 1,9 − 10x + y ≥ Từ ñiều kiện này, dễ thấy x < −1 thì x + y < (mâu thuẫn), ñó x ≥ −1, π π tương tự y ≥ −1 Vậy ta có x, y ∈[−1;1] ⊂ (− ; ) 2 Hàm số f (t) = tan t có f '(t) = + tan t > nên f(t) ñồng biến trên khoảng xác ñịnh Suy f(t) ñồng biến trên ñoạn [−1;1] Ta lưu ý thêm + x + y ≥ Như vậy: - Với −1 ≤ x < y ≤ và thoả mãn ñiều kiện (*) thì tan x − tan y < 0, còn (1 + x + y) y − (1 + x + y)x ≥ nên phương trình ñầu hệ ñã cho không nghiệm ñúng - Với −1 ≤ y < x ≤ và thoả mãn ñiều kiện (*) thì tan x − tan y > 0, còn (1 + x + y) y − (1 + x + y)x ≤ nên phương trình ñầu hệ ñã cho không nghiệm ñúng 42 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (44) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 43 - Với x = y ∈ [−1;1] và thoả mãn ñiều kiện (*) thì phương trình ñầu hệ ñã cho nghiệm ñúng Vậy phương trình ñầu hệ ñã cho tương ñương với x = y Hệ phương trình ñã cho tương ñương với x = y ∈ [0;1] x = y ∈ [0;1] Ta ñặt ⇔ 1− x 1− x 1− x 1− x 2(1 9x ) x (4) + = + − + = + − t = − x thì ≤ t ≤ và phương trình (4) trở thành 3t + 5t = 6t + (5) Bây xét hàm số g(t) = 3t + 5t − 6t − trên ño n [0; 1], ta có g '(t) = 3t ln + 5t ln − 6, g ''(t) = 3t ln + 5t ln > Suy hàm g '(t) ñồng biến trên [0;1] Lại có g '(0) = ln + ln − < 0, g '(1) = 3ln + ln − > 0, g '(t) liên tục, nên tồn t ∈ (0;1) cho g '(t ) = Hơn g '(t) < 0, ∀t ∈ (0; t ); g '(t) > 0, ∀t ∈ (t ;1) Lập bảng biến thiên ta suy ñược g(t) ≤ 0, ∀t ∈ [0;1], dấu “=” xảy t = t = Do ñó (5) có nghiệm t = 0, t = Tức là (4) có hai nghiệm x = 0, x = Thử lại ta thấy các cặp giá trị x = y = 0, x = y = thoả mãn hệ phương trình ñã cho Vậy hệ phương trình ñã cho có hai nghiệm: (0; 0), (1; 1) (x − 1)3 − 12(x − 1) = (y + 1)3 − 12(y + 1) (6) d) Biến ñổi ⇔ Từ phương trình 2 − + + = (x ) (y ) (7) 2 1 3 3 (7) suy −1 ≤ x − ≤ 1, −1 ≤ y + ≤ nên − ≤ x −1 ≤ < , − < − ≤ y + ≤ 2 2 2 2 3 Xét hàm số f(t) = t − 12t trên − ; , có f '(t) = 3(t − 4) < nên f(t) 2 nghịch biến Do ñó (1) ⇔ f(x − 1) = f(y + 1) ⇔ x − = y + ⇔ y = x − (8) 3 Thế (8) vào (7) thu ñược (x − )2 + (x − )2 = ⇔ x = x = Thay 2 2 3 vào (8) ta ñược nghiệm hệ ( ; − ), ( ; − ) 2 2 VD30 Giải hệ phương trình (17 − 3x) − x + (3y − 14) − y = (1) 2x + y + + 3x + 2y + 11 = x + 6x + 13 (2) HD x ≤ 5; y ≤ * ðiều kiện: (3) 2x + y + ≥ 3x + 2y + 11 ≥ 43 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (45) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 44 * Từ phương trình (1) hệ ta có [3(5 − x) + 2] − x = [3(4 − y) + 2] − y hay f (5 − x) = f (4 − y) với f (t) = (3t + 2) t Dễ thấy hàm f(t) liên tục trên nửa 3t + > 0, ∀t ∈ (0; +∞), nên f(t) ñồng biến trên khoảng [ 0;+∞ ) và f '(t) = t + t [ 0; +∞ ) Khi ñó (1) ⇔ f (5 − x) = f (4 − y) ⇔ − x = − y ⇔ y = x − (4) * Thế (4) vào (2) ta ñược 3x + + 5x + = x + 6x + 13 6x 15x ⇔ 2( 3x + − 2) + 3( 5x + − 3) = x2 + 6x ⇔ + = x2 + 6x 3x + + 5x + + 15 ⇔ + − x − = (5) x = 3x + + 5x + + * Với x = thì y = -1 (thoả mãn hệ ñiều kiện (3)) 15 + − x −6 * ðể giải phương trình (5) ta xét hàm số g(x) = 3x + + 5x + + liên tục trên ñoạn − ;5 và có −9 −75 g '(x) = + − < 0, ∀x ∈ ( − ;5), 3x + 4( 3x + + 2) 5x + 9( 5x + + 9) nên g(x) nghịch biến trên − ;5 Do ñó (5) có không quá nghiệm Lại có g(-1) = Nên (5) có nghiệm x = -1, suy y = - (thoả mãn (3)) * Vậy hệ phương trình ñã cho có hai nghiệm ( 0; −1) ; ( −1; −2 ) VD31 Giải hệ phương trình 5x + 2xy + 2y + 2x + 2xy + 5y = 3(x + y) (1) 2x + y + + 7x + 12y + = 2xy + y + (2) HD ðiều kiện: 2x + y + ≥ (*) Có 5x2 + 2xy + 2y2 = (4x2 + 4xy + y2 ) + (x2 − 2xy + y2 ) = (2x + y)2 + (x − y)2 ≥ (2x + y)2 Suy 5x + 2xy + 2y ≥ 2x + y ≥ 2x + y Tương tự chứng minh ñược 2x2 + 2xy + 5y2 ≥ x + 2y ≥ x + 2y Nên 5x2 + 2xy + 2y2 + 2x2 + 2xy +5y2 ≥ 3(x + y) x = y Dấu “=” bất ñẳng thức này xảy 2x + y ≥ ⇔ x = y ≥ Nghĩa là x + 2y ≥ (1) ⇔ x = y ≥ (thỏa mãn ñiều kiện (*)) Thế y = x vào (2) ta ñược 3x + + 19x + = 2x + x + (x ≥ 0) ⇔ 3x + − + 2( 19x + − 2) = 2x + x 44 (x ≥ 0) Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (46) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 45 38 (x ≥ 0) (3) ⇔x + − 2x − 1 = 3x + + (19x + 8) + 19x + + 38 + − 2x − với x ∈ [ 0; +∞ ) Xét f (x) = 3x + + (19x + 8)2 + 19x + + Vì f '(x) = −9 3x + 1( 3x + + 1)2 38 −38. + 19x + 33 (19x + 8)2 − < 0, ∀x ≥ 0, + (19x + 8)2 + 23 19x + + nên f(x) nghịch biến trên nửa khoảng [ 0; +∞ ) Lại có f(1) = Do ñó phương trình f(x) = có nghiêm không âm x = Dẫn tới với x ≥ thì x = (3) ⇔ Vậy hệ phương trình ñã cho có hai nghiệm (0;0), (1;1) x = ( ) x x VD32 Giải phương trình 33 + 3x = log3 x + x + x + 32 + x (1) HD ðiều kiện: x + x > ðặt 3x = u > 0, x + x = v > Ta có x = log u x x nên từ + x = v ta có = v − x = v − log3 u Phương trình (1) trở thành 3u + u = log3 v + v − log3 u + 3v ⇔ 3u + u + log3 u = 3v + v + log3 v (2) Xét hàm số f (t ) = 3t + t + log3 t với t ∈ ( 0; +∞ ) Dễ thấy hàm f(t) ñồng biến trên khoảng ( 0; +∞ ) nên từ (2) ta có 3x = 2x + x ⇔ 3x − 3x = 2x − 2x (3) f (u ) = f (v) ⇔ u = v G ọi x0 là x0 3x0 − 3x0 = x0 − x0 (4) Ta xét hàm g (t ) = t nghiệm và thu c (3) ñược thì − tx0 biến t Hàm này liên tục trên ñoạn [ 2;3] , khả vi trên khoảng ( 2;3) , và có g (2) = g (3) (do có (4)) Theo ( ) ñịnh lí Rôn, tồn α ∈ ( 2;3) cho g '(α ) = hay x0 α x0 −1 − = ⇔ x0 = x0 = Thử lại thấy x = 1, x = ñều thỏa mãn phương trình (1) Vậy (1) có hai nghiệm x = 1, x = Ghi chú: Lời giải các ví dụ 30, 31 , 32 là bạn Khổng Văn Thịnh, học sinh lớp 12A13, trường THPT Yên Phong số – huyện Yên Phong – tỉnh Bắc Ninh, năm học 2012 – 2013 VD33 Giải phương trình a) x − 3x + 2x − + 3x − 12x + = (1) b) (2x − 1).2x − 3x + = (2) 45 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (47) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 46 HD a) Ta biến ñổi (1) ⇔ ( x − 2)3 + 3x2 − 10 x + − 23 2( x − 2) − 3x2 + 10 x − = 3 ðặt v = −3x + 12 x − = 2( x − 2) − 3x + 10 x − = 2u − x + 10 x − và u3 + 3x2 −10x + − 2v = u = x − thu ñược Trừ vế cho vế hai phương trình v3 + 3x2 −10x + − 2u = v 2 3v2 3 + 2 = ⇔ u = v hệ trên, ta có u − v + 2(u − v) = ⇔ ( u − v) u + + Dẫn tới (1) ⇔ x − = −3 x + 12 x − ⇔ x3 − 3x = −1 (3) Xét hàm f ( x) = x3 − x , f '( x) = x − x = x( x − 2) Nếu x ≥ thì f '( x) > ⇒ f ( x) ≥ f (3) = > −1, ∀x ≥ Nếu x ≤ −1 thì f '( x) > ⇒ f ( x) ≤ f (−1) = −4 < −1, ∀x ≤ −1 Như các giá trị x ≥ , x ≤ −1 ñều không phải là nghiệm (1) Bây ta xét −1 < x < 3, ñặt x = + 2cos t , với t ∈ ( 0; π ) Thế vào (3) ta có 2π π ⇔t =± +k , k ∈ ℤ Nhưng π 5π 7π π 5π t ∈ ( 0; π ) nên ta lấy t = , , Và tìm ñược x = + 2cos , x = + 2cos , 9 9 (1 + 2cos t )3 − (1 + 2cos t )2 = −1 ⇔ cos 3t = π x = + 2cos ðây là nghiệm (1) 3x − b) ðiều kiện: x ≠ Biến ñổi (2) ⇔ 2x = (4) Xét các hàm f(x) = 2x , 2x − 1 3x − −1 g(x) = , có f '(x) = 2x.ln2 > 0,∀∈ ℝ, g'(x) = < 0,∀x ∈ D = ℝ \ , 2x − 2 (2x − 1)2 1 nên f(x) ñồng biến trên ℝ còn g(x) nghịch biến trên khoảng −∞; và 2 1 ; +∞ Vì trên khoảng nói trên, phương trình (4) có không quá 2 nghiệm, tức là (4) có không quá nghiệm trên toàn tập xác ñịnh Mặt khác ta kiểm tra thấy x = 0, x = là nghiệm (4) Chứng tỏ (4) có nghiệm là x = 0, x = Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 0, x = VD34 Chứng minh phương trình x − x − 2x − = (1) có nghiệm HD Từ phương trình ta có x = (x + 1) , vì (x + 1)2 ≥ nên x ≥ hay x ≥ Với x ≥ thì x + ≥ nên x = (x + 1)2 ≥ ⇒ x ≥ Do ñó tất giá trị x < ñều không là nghiệm phương trình (1) Bây ta cần xét (1) với 46 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (48) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT x ≥ ðặt 47 f (x) = x − x − 2x − 1, nhận và thấy f '(x) = 5x4 − 2x − = 2x(x3 −1) + 2(x4 −1) + x4 > 0, ∀x ≥ 1, nên hàm f(x) ñồng biến trên [1; +∞ ) Hơn f(x) liên tục trên tập ñó và có f (1) = −3 < 0, f (2) = 23 > nên (1) có nghiệm x trên nửa khoảng [1; +∞ ) Và < x < (Ta có thể tính ñược giá trị xấp xỉ nghiệm phương trình (1) sau, nhờ máy tính, x ≈ 1, 425 299 577 684 700 360 202 847 887 756 ) x + y − xy = VD35 Tìm m ñể hệ sau có nghiệm x y m + + + ≥ HD ðặt t = xy thì t ≥ và từ phương trình ñầu hệ ta có x + y = t + Vì x + y ≥ xy nên t + ≥ 2t hay t ≤ Do ñó t ∈ [ 0;3] Mặt khác, ta có ( x +1 + y +1 ) = x + y + + xy + x + y + = t + + t + t + = f (t) Xét hàm f(t) trên ñoạn [ 0;3] , có f '(t) = + suy 2t + t +t+4 f (t) ≤ f (3) = 16, ∀t ∈ [ 0;3] Dẫn tới ( > nên f(t) ñồng biến, x +1 + y +1 ) ≤ 16 hay x + + y + ≤ Dấu “=” xảy t = hay x = y = Vậy hệ ñã cho có nghiệm và m ≤ Chú ý: Do = f (0) ≤ f (t) ≤ f (3) = 16, ∀t ∈ [ 0;3] , nên ≤ x + + y + ≤ 4, x + y − xy = suy hệ phương trình có nghiệm ≤ m ≤ Còn hệ + + + = x y m x + y − xy = có nghiệm m > x + + y + < m Bài tập 1+ x + − y = m , 175 Tìm m ñể hai hệ phương trình 1+ y + − x = m cùng có nghiệm + x + − y = m + y + − x = m 176 Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình e x − e y = (log y − log x)(xy + 1) 2 1) ; x + y2 = 47 19 y ( 3x + − − x ).2 = 2( − 3x + 8) 2) ; x y + log x = Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (49) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 48 y2 −x2 x + 2010 = 2009 3) ; y2 + 2010 3log3(x + 2y + 6) =1+ 2log2(x + y + 2) 5) 2x2 − 2x + − 2 x + x +1 y−1 x + x − 2x + =1+ 4) ; x − y + y − 2y + =1+ − x + 3x − = 0; 6)log2012( x4 + x2 + 2x + ) = x2 + 2x − 3; x + 2x + 4x + 7)sin11 x − cos2011 x = cos11 x − sin2011 x; 8)log3(x +1) ≥ log2 x; 9)e x − x ≤ x + − e2 x ; 10)(5x − 6)2 − 1 ; 11)2x + 3x + 4x = 6x + 3; 12)ex − e−x = 2.ln(x + 1+ x2 ); = x2 − 5x − x −1 ex = y + y2 +1 (4x2 +1)x + (y − 3) − 2y = 13)tanx − tan 1− x =1− x 2; 14) ; 15) 2 y 4x + y + 3− 4x = e = x + x +1 177 Tìm m ñể phương trình, bất phương trình, hệ phương trình có nghiệm a)(x3 +3x2 +1) ≤ m( x − x −1)2013; b)log(x3 + x2 −2m) = log(1−2x); c) x3 −2x x −1 = m; d)2x+2 1+x −2 1+x+ 1−x+m = 1−x − 1+x +m−x; e)3 x −1+m x +1 = x2 −1; f) x2 +mx +2 = 2x +1; g)m(1+ 5)x +(m+2)( −1)x = (2m+1)2x; h)6sinx −4sin3 x +m= 0; 2 3x y−2y −m= i) ; 2 3y x −2x −m= x + y = 4, x ≥ x + y =3, x ≥ x + y− xy =3 j) ; k) ; l) ; 2 + + + ≤ + + + = x y m x y m + + + = x y m m) x2 + x −1− x2 −x +1 = m; n)sinx + 1−sin2x = m−cosx 178 Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình x 2n +1 + 2011x + 2012 = luôn có nghiệm 179 a) Tìm m ñể bất phương trình x(4x + m) ≤ nghiệm ñúng với x ∈ [0;1] b) Tìm m ñể bất phương trình 4log5 (5x) − 6log5 x ≤ m.3log5 (25x x > ) nghiệm ñúng với 180 a)Chứng minh với m ≠ phương trình x − (m + 10)x + = luôn có nghiệm phân biệt, ñó có nghiệm thuộc khoảng (-3; 3), nghiệm còn lại nằm ngoài ñoạn [-3; 3] b) Chứng minh phương trình x − x + = có nghiệm c) Chứng minh phương trình (x + 1) x = x x +1 có nghiệm dương d) Chứng minh với a > hệ phương trình sau có nghiệm e x − e y = ln(1 + x) − ln(1 + y) y − x = a 48 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (50) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 49 MỘT SỐ ðỀ TỰ LUYỆN ( ðỀ DỰ BỊ 2002-2009) ðỀ 01 Câu (2 i!m) x mx (1) (m là tham s') 1" x Kh(o sát và v) &* th# hàm s' (1) m ! Tìm m &% hàm s' (1) có c"c &+i và c"c ti%u V,i giá tr# nào c-a m thì kho(ng cách gi.a hai &i%m c"c tr# c-a &* th# hàm s' (1) b/ng 10 Cho hàm's y ! Câu (2 i!m) Gi(i ph01ng trình 16 log 27 x2 x " 3log x x ! sin x cos x ! a (2) (a là tham s') sin x " cos x a) Gi(i ph01ng trình a ! b) Tìm a &% ph01ng trình (2) có nghi2m Cho ph01ng trình Câu (3 i!m ) Trong m3t ph4ng v,i h2 t5a &6 Oxy cho &0$ng th4ng d : x " y ! và &0$ng tròn # C $ : x y 2 x " y ! Tìm t5a &6 &i%m M thu6c &0$ng th4ng d mà qua &ó ta k7 &08c hai &0$ng th4ng ti9p xúc v,i # C $ t+i A và B cho AMB ! 600 %2 x " y " z ! Trong không gian v,i h2 t5a &6 Oxyz cho &0$ng th4ng d : & và m3t c:u 'x y " 2z " ! # S $ : x y z x " y m ! Tìm m &% &0$ng th4ng d c;t # S $ t+i hai &i%m M , N cho kho(ng cách gi.a hai &i%m &ó b/ng Tính th% tích kh'i t< di2n ABCD , bi9t AB ! a, AC ! b, AD ! c BAC ! CAD ! DAB ! 600 Câu (2 i!m) ( Tính tích phân I ! ) " cos3 x sin x.cos5 xdx Tính gi,i h+n L ! lim x *0 3x " x2 " cos x Câu (1 i!m) Gi( s= a, b, c, d là b'n s' nguyên thay &>i th?a mãn + a , b , c , d + 50 Ch<ng minh b@t &4ng th<c 49 a b c b b 50 a và tìm giá tr# nh? nh@t c-a bi%u th<c S ! d 50b b c d Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh và (51) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 50 ðỀ 02 Câu (2 điểm) Cho hàm số y = ( x − m ) − x (m là tham số) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực tiểu điểm có hoành độ x = Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho m = Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm ⎧ x − − 3x − k < ⎪ ⎨1 ⎪ log x + log ( x − 1) ≤ ⎩2 Câu (2 điểm) Giải bất phương trình x + 12 ≥ x − + x + x⎞ ⎛ Giải phương trình tgx + cos x − cos x = sin x ⎜1 + tgxtg ⎟ 2⎠ ⎝ Câu (3 điểm) Cho tam giác vuông cân ABC có cạnh huyền BC = a Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) điểm A lấy điểm S cho góc hai mặt phẳng ( ABC ) và ( SBC ) 600 Tính độ dài đoạn thẳng SA theo a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng ⎧ x − az − a = ⎧ax + y − = và d : ⎨ d1 : ⎨ ⎩ y − z +1 = ⎩ x + 3z − = a) Tìm a để hai đường thẳng d1 và d chéo b) Với a = , viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa d và song song với d1 Tính khoảng cách d1 và d a = Câu (2 điểm) n Giả sử n là số nguyên dương và (1 + x ) = a0 + a1 x + + an x n Biết tồn số k nguyên dương (1 ≤ k ≤ n − 1) cho ( ak −1 ak ak +1 , hãy tính n = = 24 ) Tính tích phân I = ∫ x e x + x + dx −1 Câu (1 điểm) Gọi A, B, C là ba góc tam giác ABC Chứng minh để tam giác ABC thì điều kiện cần và đủ là A B C A− B B−C C−A cos + cos + cos − = cos cos cos 2 2 50 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (52) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 51 ðỀ 03 Câu (3 điểm) Cho hàm số y = x + mx − x − 2m − (1) (m là tham số) 3 1 Cho m = a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) hàm số (1) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) , biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d : y = x + ⎛ 5⎞ Tìm m thuộc khoảng ⎜ 0; ⎟ cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số (1) và các ⎝ 6⎠ đường thẳng x = 0, x = 2, y = có diện tích Câu (2 điểm) ⎧⎪ x − y + = Giải hệ phương trình ⎨ ⎪⎩ log x − log y = ( − sin 2 x ) sin 3x Giải phương trình tg x + = cos x Câu (2 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) và SA = a Gọi E là trung điểm cạnh CD Tính theo a khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng BE Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ⎧2 x + y + z + = ∆:⎨ và mặt phẳng ( P ) : x − y + z − = ⎩x + y + z + = Viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng ∆ trên mặt phẳng ( P ) Câu (2 điểm) x +1 + x −1 x →0 x Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn Tính giới hạn I = lim ( C1 ) : x + y − y − = và ( C2 ) : x + y − x + y + 16 = Viết phương trình các tiếp tuyến chung hai đường tròn ( C1 ) và ( C2 ) Câu (1 điểm) Giả sử x, y là hai số dương thay đổi thỏa mãn điều kiện x + y = Tìm giá trị nhỏ 4 biểu thức sau S = + x 4y 51 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (53) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 52 ðỀ 04 Câu (2,5 điểm) x2 − x + m Cho hàm số y = (1) (m là tham số) x−2 Xác định m để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng ( −1;0 ) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm a để phương trình sau có nghiệm 91+ 1− x − ( a + ) 31+ 1− x + 2a + = Câu (2 điểm) Tìm số n nguyên dương thỏa mãn bất phương trình An3 + 2Cnn − ≤ 9n ( Ank và Cnk là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k n phần tử) 1 Giải phương trình log ( x + 3) + log ( x − 1) = log ( x ) Câu (1,5 điểm) sin x + cos x 1 = cot g x − 5sin x 8sin x Tính diện tích tam giác ABC , biết b.sin C ( b.cos C + c.cos B ) = 20 Giải phương trình ( b, c là độ dài các cạnh AC , AB tam giác ABC ) Câu (3 điểm) Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB, OC đôi vuông góc với Gọi α, β, γ là các góc mặt phẳng ( ABC ) với các mặt phẳng ( OBC ) , ( OCA ) , ( OAB ) Chứng minh cos α + cos β + cos γ ≤ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = và hai điểm A ( −1; −3; −2 ) , B ( −5;7;12 ) a) Tìm tọa độ điểm C đối xứng với điểm A qua mặt phẳng ( P ) b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng ( P ) cho tổng MA + MB đạt giá trị nhỏ Câu (1 điểm) ln Tính tích phân I = ∫ 52 e x dx (e x + 1) Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (54) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 53 ðỀ 05 Câu (2 điểm) x − x + x (1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số (1) và trục hoành Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = Câu (2 điểm) = sin x 8cos x ⎧ ⎪log x ( x + x − 3x − y ) = Giải hệ phương trình ⎨ ⎪⎩log y ( y + y − y − x ) = Giải phương trình Câu (3 điểm) Cho hình tứ diện ABCD , cạnh a = Hãy xác định độ dài đoạn vuông góc chung hai đường thẳng AD và BC x2 y = và đường thẳng Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : + d m : mx − y − = a) Chứng minh với giá trị m , đường thẳng d m luôn cắt elip ( E ) hai điểm phân biệt b) Viết phương trình tiếp tuyến ( E ) , biết tiếp tuyến đó qua điểm N (1; −3) Câu (1 điểm) Gọi a1 , a2 , , a11 là các hệ số khai triển sau ( x + 1) ( x + ) = x11 + a1 x10 + a2 x9 + + a11 10 Hãy tính hệ số a5 Câu (2 điểm) Tính giới hạn L = lim x →1 x6 − x + ( x − 1) Gọi a, b, c là độ dài các cạnh BC , CA, AB và , hb , hc tương ứng là độ dài các đường cao kẻ từ các đỉnh A, B, C tam giác Chứng minh ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ⎜ + + ⎟ ⎜ + + ⎟ ≥ ⎝ a b c ⎠ ⎝ hb hc ⎠ Cho tam giác ABC có diện tích 53 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (55) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 54 ðỀ 06 Câu (2 điểm) Cho hàm số y = x − mx + m − (1) (m là tham số) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Xác định m cho đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành bốn điểm phân biệt Câu (2 điểm) Giải bất phương trình log ( x + ) ≥ log ( 22 x+1 − 3.2 x ) 2 Xác định m để phương trình sin x + cos x + cos x + 2sin x − m = ( ) ⎡ π⎤ có ít nghiệm thuộc đoạn ⎢ 0; ⎥ ⎣ 2⎦ Câu (2 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ( ABC ) Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng ( SBC ) theo a , biết SA = a 2 Tính tích phân I = ∫ x dx x2 + Câu (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường tròn ( C1 ) : x + y − 10 x = 0, ( C2 ) : x + y + x − y − 20 = Viết phương trình đường tròn qua các giao điểm ( C1 ) , ( C2 ) và có tâm nằm trên đường thẳng d : x + y − = Viết phương trình tiếp tuyến chung các đường tròn ( C1 ) , ( C2 ) Câu (2 điểm) Giải phương trình x + + x − = x − 12 + x − 16 Đội tuyển học sinh giỏi trường gồm 18 em, đó có học sinh khối 12, học sinh khối 11 và học sinh khối 10 Hỏi có bao nhiêu cách cử học sinh đội dự trại hè cho khối có ít em chọn 54 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (56) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 55 ðỀ 07 Câu (2 điểm) Cho hàm số y = x + ( 2m + 1) x + m2 + m + (1) ( m là tham số) ( x + m) 1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực trị và tính khoảng cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) 2) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Câu (2 điểm) 1) Giải phương trình: cos x + cos x 2tg x − = ( ) 2) Giải bất phương trình: 15.2 x +1 + ≥ x − + x +1 Câu (3 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB = AC = a, BC = b Hai mặt phẳng ( BCD ) và ( ABC ) vuông góc n = 900 Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với và góc BDC theo a và b Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng ⎧3 x − z + = x y +1 z = và d2 : ⎨ d1 : = ⎩2 y + y − = a) Chứng minh d1 , d2 chéo và vuông góc với b) Viết phương trình tổng quát đường thẳng d cắt hai đường thẳng d1 , d2 và song song x −4 y −7 z−3 với đường thẳng ∆ : = = −2 Câu (2 điểm) Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên mà số có chữ số khác và chữ số đứng cạnh chữ số ? Tính tích phân I = ∫ x − x dx Câu (1 điểm) Tính các góc tam giác ABC biết ⎧4 p ( p − a ) ≤ bc ⎪ ⎨ A B C −3 ⎪sin sin sin = 2 ⎩ a+b+c đó BC = a, CA = b, AB = c, p = 55 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (57) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 56 ðỀ 08 Câu I (2 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 2x2 − 4x − ( x − 1) Tìm m để phương trình x − x − + 2m x − = có hai nghiệm phân biệt Câu II (2 điểm) Giải phương trình − tgx ( tgx + 2sin x ) + cos x = ⎧⎪log y xy = log x y Giải hệ phương trình ⎨ x y ⎪⎩2 + = Câu III (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho parabol và điểm I ( 0; ) Tìm tọa độ hai điểm JJJG JJG M , N thuộc ( P ) cho IM = IN Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD với A ( 2;3; ) , B ( 6; −1; −2 ) , C ( −1; −4;3) , D (1; 6; −5 ) Tính góc hai đường thẳng AB và CD Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng CD cho tam giác ABM có chu vi nhỏ Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cân với AB = AC = a và góc n = 1200 , cạnh bên BB ' = a Gọi I là trung điểm CC ' Chứng minh rằng, tam giác BAC AB ' I vuông A Tính cosin góc hai mặt phẳng ( ABC ) và ( AB ' I ) Câu IV (2 điểm) Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho mà số có chữ số khác ? π x dx + cos x Tính tích phân I = ∫ Câu V (1 điểm) Tìm giá trị lớn hàm số y = sin x + cos x 56 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (58) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 57 ðỀ 09 Câu (2 điểm) Cho hàm số y = ( x − 1) x + mx + m ( ) (1) (m là tham số) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành ba điểm phân biệt Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Câu (2 điểm) Giải phương trình 3cos x − 8cos x + cos x + = Tìm m để phương trình ( log x ) − log x + m = có nghiệm thuộc khoảng ( 0;1) Câu (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng d : x − y + 10 = Viết phương trình đường tròn có tâm thuộc đường thẳng ∆ : x + y = và tiếp xúc với đường thẳng d điểm A ( 4; ) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' Tìm điểm M thuộc cạnh AA ' cho mặt phẳng ( BD ' M ) cắt hình lập phương theo thiết diện có diện tích nhỏ Trong ( không ) gian với ( hệ ) tọa độ Oxyz cho tứ diện OABC với A 0; 0; a , B ( a; 0; ) , C 0; a 3; Gọi M là trung điểm BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và OM Câu (2 điểm) ( Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y = x + − x ln Tính tích phân I = ∫ ln e x dx ex −1 ) trên đoạn [ −1;1] Câu (1 điểm) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên, số có chữ số và thỏa mãn điều kiện: Sáu chữ số số là khác và số đó tổng ba chữ số đầu nhỏ tổng ba chữ số cuối đơn vị ? 57 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (59) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 58 ðỀ 10 Câu (2 điểm) 2x −1 (1) x −1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) hàm số (1) Cho hàm số y = Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận ( C ) Tìm điểm M thuộc ( C ) cho tiếp tuyến ( C ) M vuông góc với đường thẳng IM Câu (2 điểm) Giải phương trình ( − ) cos x − 2sin ⎛ x π⎞ ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ = cos x − Giải bất phương trình log x + log ( x − 1) + log ≤ Câu (3 điểm) x2 y = và các điểm Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : + M ( −2;3) , N ( 5; n ) Viết phương trình các đường thẳng d1 , d qua M và tiếp xúc với ( E ) Tìm n để số các tiếp tuyến ( E ) qua N có tiếp tuyến song song với d1 d2 Cho hình chóp S ABC , cạnh đáy a , mặt bên tạo với đáy góc ϕ (0 < ϕ < 900 ) Tính thể tích khối chóp S ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng ( SBC ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm I ( 0;0;1) , K ( 3;0;0 ) Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm I , K và tạo với mặt phẳng Oxy góc 300 Câu (2 điểm) Từ tổ gồm học sinh nữ và học sinh nam cần chọn em đó số học sinh nữ phải nhỏ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? a Cho hàm số f ( x ) = + bxe x Tìm a, b biết ( x + 1) f ' ( ) = −22 và ∫ f ( x ) dx = Câu (1 điểm) x2 Chứng minh e + cos x ≥ + x − , ∀x ∈ \ x 58 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (60) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 59 ðỀ 11 Câu (2 điểm) x + x + m2 + (1) (m là tham số) x+3 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng (1; +∞ ) Cho hàm số y = Câu (2 điểm) Cho hàm số cos x ( cos x − 1) = (1 + sin x ) sin x + cos x f ( x ) = x log x ( x > 0, x ≠ 1) Tính Giải phương trình f ' ( x ) và giải bất phương trình f ' ( x ) ≤ Câu (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A (1;0 ) và hai đường thẳng chứa các đường cao vẽ từ B và C có phương trình tương ứng là x − y + = và 3x + y − = Tính diện tích tam giác ABC Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ) : x + y + z − m − 3m = ( m là tham số) và mặt cầu ( S ) : ( x − 1) + ( y + 1) + ( z − 1) = Tìm m để mặt phẳng ( P ) tiếp 2 xúc với mặt cầu ( S ) Với m vừa tìm hãy xác định tọa độ tiếp điểm ( P ) và ( S ) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông B và AB = a, BC = 2a , cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M là trung điểm SC Chứng minh rằng, tam giác AMB cân M và tính diện tích tam giác AMB theo a Câu (2 điểm) Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà số gồm chữ số khác Tính tích phân I = ∫ x3e x dx Câu (1 điểm) Tìm các góc A, B, C tam giác ABC để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ Q = sin A + sin B − sin C 59 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (61) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 60 ðỀ 12 Câu (2 điểm) Khảo sát và vẽ đồ thị ( C ) hàm số y = x3 − 3x − Gọi dk là đường thẳng qua điểm M ( 0; −1) và có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng dk cắt ( C ) ba điểm phân biệt Câu (2 điểm) cos x sin x Giải phương trình log 5x − = − x Giải phương trình cot gx = tgx + ( ) Câu (3 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 2;1;1) , B ( 0; −1;3) và đường thẳng ⎧3x − y − 11 = d :⎨ ⎩ y + z − = a) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua trung điểm I đoạn AB và vuông góc với AB Gọi K là giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng ( P ) Chứng minh d vuông góc với IK b) Viết phương trình tổng quát hình chiếu vuông góc đường thẳng d trên mặt phẳng có phương trình x + y − z + = Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) và tam giác ABC vuông A , AD = a, AC = b, AB = c Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c và chứng minh 2S ≥ abc ( a + b + c ) Câu (2 điểm) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn: Cn2Cnn − 2Cn2Cn3 + Cn3Cnn −3 = 100 ( Cnk là số tổ hợp chập k n phần tử) e Tính tích phân I = ∫ x2 + ln xdx x Câu (1 điểm) Xác định dạng tam giác ABC , biết ( p − a ) sin A + ( p − b ) sin B = c sin A sin B đó BC = a, CA = b, AB = c, p = 60 a+b+c Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (62) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 61 ðỀ 13 Câu (2 điểm) Cho hàm số y = x − 2m2 x +1 (1) ( m là tham số) Khảo sát hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh tam giác vuông cân Câu (2 điểm) ( ) Giải phương trình sin x + cos3 x = cos x + 3sin x ( ) Giải bất phương trình log π ⎡log x + x − x ⎤ < ⎥⎦ ⎣⎢ Câu (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường thẳng d : x − y + − = và điểm A ( −1;1) Viết phương trình đường tròn qua A , qua gốc toạ độ O và tiếp xúc với đường thẳng d Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình hộp chữ nhật ABCD A1 B1C1C1 có A trùng ( ) với gốc toạ độ O , B (1; 0; ) , D ( 0;1; ) , A1 0; 0; a) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua ba điểm A1 , B, C và viết phương trình hình chiếu vuông góc đường thẳng B1 D1 trên mặt phẳng ( P ) b) Gọi ( Q ) là mặt phẳng qua A và vuông góc với A1C Tính diện tích thiết diện hình chóp A1 ABCD với mặt phẳng ( Q ) Câu (2 điểm) Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh phép quay xung quanh trục Ox hình phẳng giới hạn trục Ox và đường y = x sin x ( ≤ x ≤ π ) Cho tập A gồm n phần tử, n ≥ Tìm n , biết số tập gồm phần tử tập A hai lần số tập gồm phần tử tập A Câu (1 điểm) ⎧ x − my = − 4m Gọi ( x; y ) là nghiệm hệ phương trình ⎨ ( m là tham số) Tìm giá trị lớn ⎩mx + y = 3m + biểu thức A = x + y − x, m thay đổi 61 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (63) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 62 ðỀ 14 Câu (2 điểm) (1) có đồ thị ( C ) x Khảo sát hàm số (1) Cho hàm số y = x + Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) qua điểm M ( −1;7 ) Câu (2 điểm) − sin x + − cos x = 1 Giải phương trình Giải bất phương trình 2.x log x ≥2 log x Câu (3 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxy cho điểm A ( 0; ) và đường thẳng d : x − y + = Tìm trên d hai điểm B, C cho tam giác ABC vuông B và AB = BC Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ ( ) ( nhật, AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A − 2; −1; , B ) 2; −1; , S ( 0; 0;3) a) Viết phương trình mặt phẳng qua trung điểm M cạnh AB , song song với hai đường thẳng AD, SC b) Gọi ( P ) là mặt phẳng qua điểm B và vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện hình chóp S ABCD với mặt phẳng ( P ) Câu (2 điểm) Tính tích phân I = ∫ x4 − x + dx x2 + Cho tập A gồm n phần tử, n > Tìm n , biết số các tập A có đúng 16n tập có số phần tử là số lẻ Câu (1 điểm) Chứng minh phương trình x x +1 = ( x + 1) có nghiệm dương x 62 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (64) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 63 ðỀ 15 Câu (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − 2mx + m2 x − (1) (m là tham số) Khảo sát hàm số (1) m = Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu x = Câu (2 điểm) π⎞ 1 ⎛ Giải phương trình 2 cos ⎜ x + ⎟ + = ⎠ sin x cos x ⎝ x −1 + x − 11 Giải bất phương trình > x−2 Câu (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm I ( −2;0 ) và hai đường thẳng d1 : x − y + = 0, d : x + y − = Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I và cắt hai đường thẳng d1 , d JJG JJG A, B cho IA = 2.IB Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho A ( 4; 2; ) , B ( 0;0;7 ) và đường thẳng x − y − z −1 = = −2 Chứng minh hai đường thẳng d và AB thuộc cùng mặt phẳng Tìm điểm C trên đường thẳng d cho tam giác ABC cân đỉnh A Cho hình chóp S ABC có SA = 3a và vuông góc với đáy ABC , tam giác ABC có AB = BC = 2a, góc B 1200 Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng ( SBC ) d: Câu (2 điểm) Tính tích phân I = dx ∫ x+x Biết ( + x ) 100 = a0 + a1 x + + a100 x100 Chứng minh rằng, a2 < a3 Với giá trị nào k thì ak < ak +1 ( ≤ k ≤ 99 ) ? Câu (1 điểm) x2 Cho hàm số f ( x) = ex − sin x + Tìm giá trị nhỏ hàm số f ( x) và chứng minh phương trình f ( x) = có đúng hai nghiệm 63 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (65) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 64 ðỀ 16 Câu (2 điểm) x − 2mx + (1) (m là tham số) x −1 Khảo sát hàm số (1) m = Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B Chứng minh đó đường thẳng AB song song với đường thẳng d : x − y − 10 = Cho hàm số y = Câu II (2 điểm) Giải phương trình sin x sin x = cos x cos x Giải bất phương trình log3 x > log x Câu (3 điểm) x2 y = Viết phương trình các tiếp Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho elip ( E ) : + tuyến ( E ) song song với đường thẳng d : x + y − = Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm A ( 2;0;0 ) và M (1;1;1) a) Tìm tọa độ điểm O ' đối xứng với O qua đường thẳng AM b) Gọi ( P ) là mặt phẳng thay đổi luôn qua đường thẳng AM , cắt các trục Oy, Oz các điểm B, C Giả sử B ( 0; b;0 ) , C ( 0;0; c ) , b > 0, c > Chứng minh b + c = bc Xác định b, c cho diện tích tam giác ABC nhỏ Câu (2 điểm) π Tính tích phân I = ∫ ecos x sin xdx Giả sử (1 + x ) = a0 + a1 x + + an x n Biết a0 + a1 + a2 + + an = 729 Tìm n và số lớn n các số a0 , a1 , a2 , , an Câu (1 điểm) Cho tam giác ABC thỏa mãn A ≤ 900 và sin A = 2sin B sin Ctg thức S = 64 − sin sin B A Tìm giá trị nhỏ biểu A Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (66) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 65 ðỀ 17 Câu (2 điểm) x2 + x + (1) có đồ thị ( C ) x +1 Khảo sát hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) , biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng Cho hàm số y = d : x − y + = Câu (2 điểm) Giải phương trình: sin x cos x + sin x cos x = sin x cos x 2 ⎪⎧ x + y = y + x Giải hệ phương trình ⎨ x + y x −1 ⎪⎩2 − = x − y Câu (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông A Biết A ( −1; ) , ⎛7 ⎞ B (1; −4 ) , đường thẳng BC qua điểm K ⎜ ; ⎟ Tìm tọa độ đỉnh C ⎝3 ⎠ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( 2;0;0 ) , B ( 2; 2;0 ) , C ( 0;0; ) a) Tìm tọa độ điểm O ' đối xứng với gốc tọa độ O qua mặt phẳng ( ABC ) b) Cho điểm S di chuyển trên trục Oz , gọi H là hình chiếu vuông góc O trên đường thẳng SA Chứng minh diện tích tam giác OBH nhỏ Câu (2 điểm) π2 Tính tích phân I = ∫ x sin xdx n 1⎞ ⎛ Biết khai triển nhị thức Niutơn ⎜ x + ⎟ tổng các hệ số hai số hạng đầu x⎠ ⎝ tiên 24, tính tổng các hệ số các số hạng chứa x k với k > và chứng minh tổng này là số chính phương Câu (1 điểm) ⎛ ⎝ 5⎞ 3⎠ Chứng minh với m ≥ , phương trình luôn có nghiệm Cho phương trình x + ⎜ m − ⎟ x + + − m3 = 65 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (67) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 66 ðỀ 18 Câu (2 điểm) x (1) có đồ thị ( C ) x +1 Khảo sát hàm số (1) Tìm trên ( C ) điểm M cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d : 3x + y = Cho hàm số y = Câu (2 điểm) Giải phương trình sin x + sin x = ( cos x + cos x ) Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ hàm số y = ( x + 1) − x Câu (3 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A ( 2;3) và hai đường thẳng: d1 : x + y + = d : x + y − = Tìm tọa độ các điểm B trên d1 và C trên d2 cho tam giác ABC có trọng tâm là G ( 2; ) Cho hình vuông ABCD có cạnh AB = a Trên các nửa đường thẳng Ax, By vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) và nằm cùng phía mặt phẳng ( ABCD ) , lấy các điểm M , N cho tam giác MNC vuông M Đặt AM = m, BN = n Chứng minh rằng, m ( n − m ) = a và tìm giá trị nhỏ diện tích hình thang ABNM Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A ( 0;1;1) và đường thẳng ⎧x + y = d :⎨ ⎩2 x − z − = Viết phương trình mặt phẳng ( P ) qua A và vuông góc với đường thẳng d Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc B ' điểm B (1;1; ) trên mặt phẳng ( P ) Câu (2 điểm) ln Tính tích phân I = ∫e 2x e x + 1dx ln Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau: gồm đúng chữ số đôi khác nhau; là số chẵn; nhở 2158 ? Câu (1 điểm) ⎧⎪ x − x + ≤ Xác định m để hệ sau có nghiệm: ⎨ ⎪⎩3x − mx x + 16 = 66 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (68) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 67 ðỀ 19 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 ñiểm) Câu I (2,0 ñiểm) Cho hàm số y = − x3 − 3x2 + mx + 4, ñó m là tham số thực Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số ñã cho, với m = Tìm tất các giá trị tham số m ñể hàm số ñã cho nghịch biến trên khoảng (0 ; + ∞) Câu II (2,0 ñiểm) Giải phương trình: (2cos2x + cosx – 2) + (3 – 2cosx)sinx = Giải phương trình: log (x + 2) + log (x − 5)2 + log = Câu III (1,0 ñiểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñồ thị hàm số y = e x + , trục hoành và hai ñường thẳng x = ln3, x = ln8 Câu VI (1,0 ñiểm) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Câu V (1,0 ñiểm) Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn ñiều kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = I x (y + z) y (z + x) z (x + y) + + yz zx xz PHẦN RIÊNG (3,0 ñiểm) Thí sinh ñược chọn làm hai phần (phần phần 2) Theo chương trình Chuẩn: Câu VIa (2,0 ñiểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho ñường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 – 6x + = Tìm ñiểm M thuộc trục tung cho qua M kẻ ñược hai tiếp tuyến với (C) mà góc hai tiếp tuyến ñó 600 x = + 2t Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñiểm M(2 ; ; 0) và ñường thẳng d có phương trình: y = −1 + t z = − t Viết phương trình tham số ñường thẳng ñi qua ñiểm M, cắt và vuông góc với ñường thẳng d Câu VIIa (1,0 ñiểm) Tìm hệ số x2 khai triển thành ña thức biểu thức P = (x2 + x – 1) Theo chương trình Nâng cao Câu VIb (2,0 ñiểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho ñường tròn (C) có phương trình: x2 + y2 – 6x + = Tìm ñiểm M thuộc trục tung cho qua M kẻ ñược hai tiếp tuyến với (C) mà góc hai tiếp tuyến ñó 600 Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho ñiểm M(2 ; ; 0) và ñường thẳng d có phương trình: x −1 y +1 z = = −1 Viết phương trình chính tắc ñường thẳng ñi qua ñiểm M, cắt và vuông góc với ñường thẳng d Câu VIIb (1,0 ñiểm) Tìm hệ số x3 khai triển thành ña thức biểu thức P = (x2 + x – 1)5 67 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (69) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 68 ðỀ 20 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 ñiểm) Câu I (2.0 ñiểm) Cho hàm số y = 3x + (1) x +1 Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) Viết phương trình tiếp tuyến ñồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến song song với ñường thẳng d : x + y − 21 = Câu II (2.0 ñiểm) sin x c osx+ 3sin2x.cosx-sin4x = Giải phương trình sin x + Giải phương trình log2 ( x + 5) + log2 | x −1|= + log16 ( x2 − 3x + 2)4 Câu III (1.0 ñiểm) e3 x − + x I = lim x →0 cos x − 2 Tính giới hạn Câu IV (1.0 ñiểm) Cho lăng trụ ñứng ABC A1 B1C1 , có ñáy A1B1C1 là tam giác vuông B1 Gọi K là hình chiếu vuông góc A1 lên AC1 Biết góc ñường thẳng A1K với mặt phẳng (C1 AB1 ) 300 và A1B1 = a, A1C1 = 5a Tính thể tích lăng trụ ABC A1B1C1 theo a CâuV (1.0 ñiểm) Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= + ( x + y )( y + z ) ( x + z )( y + z ) PHẦN RIÊNG (3.0 ñiểm) Thí sinh ñược chọn hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2.0 ñiểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G (3; 2) và ñường cao CH : x − y − = Tìm tọa ñộ ñiểm C Biết các ñiểm A, B nằm trên trục Ox và Oy Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho ñường tròn (C ) : x + y + x − y − = và ñiểm M (1; −2) Hãy viết phương trình ñường thẳng ñi qua M và cắt (C ) hai ñiểm P , Q cho tiếp tuyến ñường tròn (C ) P và Q vuông góc với Câu VII.a (1.0 ñiểm) n Tìm hệ số x khai triển thành ña thức (1+ x − 3x ) Biết An1 + A 2n +A 3n = 156 B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2.0 ñiểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho hình vuông ABCD , có ñỉnh A(1; 4) và các ñỉnh B, D thuộc ñường thẳng d : x − y + = Tìm tọa ñộ ñỉnh B Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho Elip(E) có tiêu ñiểm F1 (−3; 0), F2 (3;0) Đường thẳng (d) ñi qua F1 cắt (E) hai ñiểm M và N Tính chu vi tam giác F2 MN Biết diện tích tứ giác A1B1 A2 B2 40 (trong ñó A1 A2 , B1 B2 là trục lớn và trục nhỏ Elip(E)) Câu VII.b (1.0 ñiểm) x2 − x + Cho hàm số y = Tìm các giá trị tham số m ñể hàm số nghịch biến trên khoảng (3;5) x+m 68 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (70) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 69 ðỀ 21 x (C ) x −1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số C©u 01: Cho hµm sè: y = LËp ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn d cña (C) cho d vµ hai tiÖm cËn cña (C) c¾t t¹o thµnh mét tam gi¸c c©n C©u 02: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: (1 − tgx )(1 + sin 2x ) = + tgx ⎧2 x − y − m = cã nghiÖm nhÊt Tìm m để hệ ph−ơng trình: ⎨ x + xy = ⎩ C©u 03: Cho mÆt ph¼ng (P ) : x − y + 2z − = vµ c¸c ®−êng th¼ng: d1 : x −1 y − z x −5 y z+5 = & d2 : = = = 2 −5 −3 ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) chøa d1 vµ vu«ng gãc víi (P) T×m c¸c ®iÓm M thuéc d1, N thuéc d2 cho MN song song víi (P) vµ c¸ch (P) mét kho¶ng b»ng C©u 04: π TÝnh: ∫ x cos xdx Gi¶i ph−¬ng tr×nh: log 2x −1 = + x − 2x x C©u 05a: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT kh«ng ph©n ban) Tõ c¸c ch÷ sè 0, 1, 2, 3, 4, 5, cã thÓ lËp ®−îc bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n mµ mçi sè gåm ch÷ sè kh¸c Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(2;1), B(2; − 1) và các đ−ờng thẳng: d : (m − 1)x + (m − )y + − m = & d : (2 − m )x + (m − 1)y + 3m − = Chøng minh d1 vµ d2 lu«n c¾t Gäi P lµ giao ®iÓm cña hai ®−êng th¼ng, t×m m cho PA + PB lín nhÊt C©u 05b: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT ph©n ban) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: x +1 − 7.2 x + 7.2 x − = Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất các cạnh a M là trung điểm đoạn AA1 Chøng minh BM ⊥ B1C vµ tÝnh d (BM, B1C ) 69 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (71) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 70 ðỀ 22 − x +1 C©u 01: Cho hµm sè: y = (C ) 2x + 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Lập ph−ơng trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đó qua giao điểm tiệm cận đứng và trôc Ox C©u 02: π⎞ ⎛ Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2 sin ⎜ x − ⎟ cos x = 12 ⎠ ⎝ Tìm m để ph−ơng trình: x − − x − + x − x − + = m có đúng nghiệm x − y + z +1 vµ mÆt ph¼ng (P ) : x + y + z + = = = −1 T×m giao ®iÓm cña d vµ (P) C©u 03: Cho ®−êng th¼ng: d : ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng Δ thuéc (P) cho Δ ⊥ d vµ d (M, Δ ) = 42 C©u 04: x (x − 1) ∫0 x − dx 1 TÝnh: Cho a, b lµ c¸c sè d−¬ng tho¶ m·n ab + a + b = Chøng minh: 3a 3b ab + + ≤ a + b2 + b +1 a +1 a + b C©u 05a: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT kh«ng ph©n ban) Chøng minh r»ng víi mäi n nguyªn d−¬ng ch½n lu«n cã: nC 0n − (n − 1)C1n + (n − 2)C 2n − + 2C nn −2 − C nn −1 = Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(2;1) Lấy điểm B thuộc trục Ox có hoành độ không âm và điểm C thuộc trục Oy có tung độ không âm cho tam giác ABC vuông A T×m B, C cho diÖn tÝch tam gi¸c ABC lín nhÊt C©u 05b: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT ph©n ban) 1 Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: log x − 3x + + log (x − 1) ≥ 2 2 Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông, AB = AC = a , AA1 = a Gäi M, N lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña ®o¹n AA1 vµ BC1 Chøng minh MN lµ ®−êng vu«ng gãc chung cña c¸c ®−êng th¼ng AA1 vµ BC1 TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp MA1BC1 70 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (72) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 71 ðỀ 23 m (C m ) 2−x Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = Tìm m để đồ thị (C m ) có cực đại điểm A cho tiếp tuyến với (C m ) A cắt trục Oy C©u 01: Cho hµm sè: y = − x + + t¹i B mµ tam gi¸c OAB vu«ng c©n C©u 02: sin x cos x Gi¶i ph−¬ng tr×nh: + = tgx − cot gx cos x sin x Tìm m để ph−ơng trình: C©u 03: x − 13x + m + x − = có đúng nghiệm Trong kh«ng gian Oxyz cho c¸c ®iÓm A(2; 0; ), M (0; − 3; ) Chøng minh r»ng mÆt ph¼ng (P ) : x + y − = tiÕp xóc víi mÆt cÇu t©m M b¸n kÝnh MO Tìm toạ độ tiếp điểm? ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng (Q) chøa A, M vµ c¾t c¸c trôc Oy, Oz t¹i c¸c ®iÓm t−¬ng øng B, C cho VOABC = C©u 04: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: y = x ; y = − x xy ⎧ x + = x2 + y ⎪ x − 2x + ⎪ Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: ⎨ xy ⎪y + = y2 + x ⎪⎩ y − 2y + C©u 05a: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT kh«ng ph©n ban) T×m hÖ sè cña x khai triÓn (x + ) biÕt A 3n − 8C 2n + C1n = 49 n Cho ®−êng trßn (C ) : x + y − 2x + y + = ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn (C′) t©m M (5;1) biÕt (C′) c¾t ®−êng trßn (C ) t¹i c¸c ®iÓm A, B cho AB = C©u 05b: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT ph©n ban) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: (2 − log x )log x − = 1 − log x Trong mÆt ph¼ng (P) cho nöa ®−êng trßn ®−êng kÝnh AB = 2R vµ ®iÓm C thuéc nöa ®−êng tròn đó cho AC = R Trên đ−ờng thẳng vuông góc với (P) A lấy điểm S cho ∠(SAB, SBC) = 60 o Gäi H, K lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu cña A trªn SB, SC Chøng minh r»ng tam gi¸c AHK vu«ng vµ tÝnh thÓ tÝch h×nh chãp S.ABC 71 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (73) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 72 ðỀ 24 C©u 01: Cho hµm sè: y = −2 x + x − Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Lập ph−ơng trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đó qua điểm A(− 1; − 13) C©u 02: 3x ⎛ x π⎞ ⎛ 5x π ⎞ Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin ⎜ − ⎟ − cos⎜ − ⎟ = cos ⎝2 4⎠ ⎝ 4⎠ Tìm m để ph−ơng trình: C©u 03: x + − x = m cã nghiÖm Trong kh«ng gian Oxyz cho c¸c ®iÓm A(− 3; 5; − 5), B(5; − 3; ) vµ mÆt ph¼ng (P ) : x + y + z = T×m giao ®iÓm I cña ®−êng th¼ng AB vµ mÆt ph¼ng (P) T×m ®iÓm M thuéc (P) cho MA + MB nhá nhÊt C©u 04: TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: y = 0; y = x (1 − x ) x2 +1 y ⎧ x ⎪e = 2007 − y2 −1 ⎪ Chøng minh r»ng hÖ: ⎨ có đúng hai nghiệm thoả mãn x > 0, y > x ⎪e y = 2007 − ⎪⎩ x −1 C©u 05a: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT kh«ng ph©n ban) ⎧⎪A 2x + C 3y = 22 T×m x , y ∈ N tho¶ m·n hÖ: ⎨ ⎪⎩A y + C x = 66 Cho đ−ờng tròn (C ) : x + y − 8x + y + 21 = và đ−ờng thẳng d : x + y − = Xác định toạ độ các đỉnh hình vuông ABCD ngoại tiếp (C ) biết A thuộc d C©u 05b: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT ph©n ban) Gi¶i ph−¬ng tr×nh: log (x − 1) + log (2x − 1) = 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy hình chãp Cho AB = a , SA = a Gäi H, K lÇn l−ît lµ h×nh chiÕu cña A trªn SB, SD Chøng minh SC ⊥ (AHK) vµ tÝnh thÓ tÝch h×nh chãp OAHK 72 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (74) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 73 ðỀ 25 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 ñiểm) x + 2x + x +1 Dựa vào ñồ thị ( C ) , tìm m ñể phương trình sau có hai nghiệm dương phân biệt: Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị ( C ) hàm số y = x + 2x + = (m + 2m + 5)(x + 1) Câu II (2 ñiểm) Giải phương trình: cos 3x cos3 x − sin 3x sin x = 2+3 x + + y(y + x) = 4y Giải hệ phương trình: ( x, y ∈ R ) (x + 1)(y + x − 2) = y Câu III (2 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz , cho hình lăng trụ ñứng ABC.A ' B 'C ' có A ( 0; 0; ) , B ( 2; 0; ) , C ( 0; 2; ) , A ' ( 0; 0; ) Chứng minh A 'C vuông góc với BC ' Viết phương trình mặt phẳng ( ABC ') Viết phương trình hình chiếu vuông góc ñường thẳng B 'C ' trên mặt phẳng ( ABC ') Câu IV (2 ñiểm) Tính tích phân: I = ∫ dx 2x + + 4x + 2 Cho x, y là các số thực thỏa mãn ñiều kiện: x + xy + y ≤ Chứng minh rằng: − − ≤ x − xy − 3y ≤ − PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a câu V.b Câu V.a (2 ñiểm) x y2 + = Viết phương trình hypebol Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho elip ( E ) : 12 ( H ) có hai ñường tiệm cận là y = ± 2x và có hai tiêu ñiểm là hai tiêu ñiểm elip ( E ) ( Áp dụng khai triển nhị thức Niutơn x + x 1 100C100 99 100 1 − 101C100 ) 100 , chứng minh rằng: 198 99 + ⋅⋅⋅ − 199C100 2 2 k ( Cn là số tổ hợp chập k n phần tử) 2 199 100 + 200C100 2 = Câu V.b (2 ñiểm) Giải bất phương trình: log x +1 ( − 2x ) > a và = 60o Gọi M và N là trung ñiểm các cạnh A ' D ' và A ' B' góc BAD Chứng minh AC ' vuông góc với mặt phẳng ( BDMN ) Tính thể tích khối chóp A.BDMN Cho hình hộp ñứng ABCD.A ' B 'C ' D ' có các cạnh AB = AD = a, AA ' = 73 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (75) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 74 ðỀ 26 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 ñiểm) ( ) x4 − x2 −1 Viết phương trình các ñường thẳng ñi qua ñiểm A ( 0; ) và tiếp xúc với ( C ) Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị ( C ) hàm số y = Câu II (2 ñiểm) π Giải phương trình: sin 2x − + sin x + = 6 x − 8x = y3 + 2y Giải hệ phương trình: ( x, y ∈ R ) 2 x − = 3(y + 1) Câu III (2 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho mặt phẳng ( α ) : 3x + 2y − z + = và hai ñiểm A ( 4; 0; ) , B ( 0; 4; ) Gọi I là trung ñiểm ñoạn thẳng AB Tìm tọa ñộ giao ñiểm ñường thẳng AB với mặt phẳng ( α ) Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm K cho KI vuông góc với mặt phẳng ( α ) , ñồng thời K cách ñều gốc tọa ñộ O và mặt phẳng ( α ) Câu IV (2 ñiểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol d : y = 2x + (P) : y = x2 − x + và ñường thẳng Cho các số thực x, y, z thỏa mãn ñiều kiện: 3− x + 3− y + 3− z = Chứng minh rằng: 9x 9y 9z 3x + 3y + 3z + + ≥ 3x + 3y + z 3y + 3z + x 3z + 3x + y PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a câu V.b Câu V.a (2 ñiểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có ñỉnh A thuộc ñường thẳng d : x − 4y − = , cạnh BC song song với d , phương trình ñường cao BH : x + y + = và trung ñiểm cạnh AC là M (1; 1) Tìm tọa ñộ các ñỉnh A, B, C Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác nhau? Tính tổng tất các số tự nhiên ñó Câu V.b (2 ñiểm) Giải phương trình: log x + log 2x = log 2x Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vuông góc với ñáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng ñáy góc 60o Trên cạnh SA lấy ñiểm a M cho AM = Mặt phẳng ( BCM ) cắt cạnh SD ñiểm N Tính thể tích khối chóp S.BCNM 74 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (76) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 75 ðỀ 27 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 ñiểm) x2 − x −1 Cho hàm số y = x +1 Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị (C) hàm số ñã cho Viết phương trình các tiếp tuyến ñồ thị (C) ñi qua ñiểm A(0; − 5) Câu II (2 ñiểm) ( ) ( ) Giải phương trình: sin x − tg 2x + cos x − = 3x − + x − = 4x − + 3x − 5x + 2 Giải phương trình: ( x ∈ ℝ) Câu III (2 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho hai ñường thẳng: x = + t x − y −1 z ∆1 : y = −1 − t , ∆ : = = −1 z = Viết phương trình mặt phẳng chứa ñường thẳng ∆1 và song song với ñường thẳng ∆ Xác ñịnh ñiểm A trên ∆1 và ñiểm B trên ∆ cho ñoạn AB có ñộ dài nhỏ Câu IV (2 ñiểm) Tính tích phân: I = 10 dx x −1 ∫ x−2 Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = x + 11 + 2x + , vớ i x > x PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a câu V.b Câu V.a Theo chương trình THPT không phân ban (2 ñiểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC cân B, với A(1; − 1), C(3; 5) ðỉnh B nằm trên ñường thẳng d : 2x − y = Viết phương trình các ñường thẳng AB, BC Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập ñược bao nhiêu số chẵn, số có chữ số khác ñó có chữ số lẻ và chữ số lẻ ñó ñứng cạnh nhau? Câu V.b Theo chương trình THPT phân ban thí ñiểm (2 ñiểm) Giải phương trình: log x + − log ( − x ) − log8 ( x − 1) = 2 = 60o , SA vuông góc Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD với mặt phẳng ( ABCD ) , SA = a Gọi C ' là trung ñiểm SC Mặt phẳng ( P ) ñi qua AC ' và song song với BD, cắt các cạnh SB, SD hình chóp B ', D ' Tính thể tích khối chóp S.AB 'C ' D ' 75 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (77) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 76 ðỀ 28 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 ñiểm) Cho hàm số y = x + (1 − 2m ) x + ( − m ) x + m + ( m là tham số) (1) Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) m = 2 Tìm các giá trị m ñể ñồ thị hàm số (1) có ñiểm cực ñại, ñiểm cực tiểu, ñồng thời hoành ñộ ñiểm cực tiểu nhỏ Câu II (2 ñiểm) Giải phương trình: cos 2x + (1 + cos x)(sin x − cos x) = ( ( ) ) ( x − y ) x + y = 13 Giải hệ phương trình: ( x, y ∈ ℝ ) 2 ( x + y ) x − y = 25 Câu III (2 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho mặt phẳng ( P ) : 2x − y + 2z + = và các ñiểm A ( 0; 0; ) , B ( 2; 0; ) Viết phương trình hình chiếu vuông góc ñường thẳng AB trên mặt phẳng ( P ) Viết phương trình mặt cầu ñi qua O, A, B và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) Câu IV (2 ñiểm) e − ln x dx + x ln x Cho hai số dương x, y thay ñổi thỏa mãn ñiều kiện x + y ≥ Tìm giá trị nhỏ Tính tích phân: I = ∫ 3x + + y3 biểu thức A = + 4x y2 PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a câu V.b Câu V.a Theo chương trình THPT không phân ban (2 ñiểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC có ñỉnh A ( 2; 1) , ñường cao qua ñỉnh B có phương trình là x − 3y − = và ñường trung tuyến qua ñỉnh C có phương trình là x + y + = Xác ñịnh tọa ñộ các ñỉnh B và C tam giác Cho hai ñường thẳng song song d1 và d2 Trên ñường thẳng d1 có 10 ñiểm phân biệt, trên ñường thẳng d2 có n ñiểm phân biệt ( n ≥ ) Biết có 2800 tam giác có ñỉnh là các ñiểm ñã cho Tìm n Câu V.b Theo chương trình THPT phân ban thí ñiểm (2 ñiểm) 2 Giải phương trình: x + x −1 − 10.3x + x −2 + = Cho lăng trụ ABC.A ' B 'C ' có A '.ABC là hình chóp tam giác ñều, cạnh ñáy AB = a, cạnh bên A ' A = b Gọi α là góc hai mặt phẳng ( ABC ) và ( A 'BC ) Tính tgα và thể tích khối chóp A '.BB'C 'C 76 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (78) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 77 ðỀ 29 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 ñiểm) x3 11 + x + 3x − Cho hàm số: y = − 3 Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị (C) hàm số ñã cho Tìm trên ñồ thị (C) hai ñiểm phân biệt M, N ñối xứng qua trục tung Câu II (2 ñiểm) Giải phương trình: cos3 x + sin x + 2sin x = x − xy + y = ( x − y ) (x, y ∈ ℝ ) Giải hệ phương trình: 2 x + xy + y = ( x − y ) Câu III (2 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x − 3y + 11z − 26 = và hai x y − z +1 x −4 y z −3 = = = = ñường thẳng d1 : , d2 : −1 1 Chứng minh d1 và d2 chéo Viết phương trình ñường thẳng ∆ nằm trên (P), ñồng thời ∆ cắt d1 và d2 Câu IV (2 ñiểm) π Tính tích phân: I = ∫ (x + 1)sin2xdx x ( ) ( ) Giải phương trình: − x +1 + 2 x − sin x + y − + = PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a câu V.b Câu V.a Theo chương trình THPT không phân ban (2 ñiểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, cho ñường thẳng d : x − y + − = và ñiểm A(−1; 1) Viết phương trình ñường tròn (C) ñi qua A, gốc tọa ñộ O và tiếp xúc với ñường thẳng d Một lớp học có 33 học sinh, ñó có nữ Cần chia lớp học thành tổ, tổ có 10 học sinh, tổ có 11 học sinh, tổ có 12 học sinh cho tổ có ít học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chia vậy? Câu V.b Theo chương trình THPT phân ban thí ñiểm (2 ñiểm) Giải phương trình: log 3x − log 3x +1 − = ( ) ( ) Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có cạnh ñáy a, gọi SH là ñường cao hình chóp Khoảng cách từ trung ñiểm I SH ñến mặt bên (SBC) b Tính thể tích khối chóp S.ABCD 77 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (79) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 78 ðỀ 30 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 ñiểm) x +3 Cho hàm số y = x −1 Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị (C) hàm số ñã cho Cho ñiểm M o (x o ; yo ) thuộc ñồ thị (C) Tiếp tuyến (C) Mo cắt các tiệm cận (C) các ñiểm A và B Chứng minh Mo là trung ñiểm ñoạn thẳng AB Câu II (2 ñiểm) Giải phương trình: 4sin x + 4sin x + 3sin2x + 6cosx = Giải phương trình: x + − x = x − + − x + 8x − + ( x ∈ ℝ) Câu III (2 ñiểm) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz, cho A(1; 2; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 3) Viết phương trình ñường thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) chứa OA, cho khoảng cách từ B ñến ( P ) khoảng cách từ C ñến ( P ) Câu IV (2 ñiểm) Tính tích phân: I = ∫ (x − 2)lnx dx ln(1 + x) − ln(1 + y) = x − y Giải hệ phương trình: 2 x − 12xy + 20y = PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a câu V.b Câu V.a Theo chương trình THPT không phân ban (2 ñiểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy, lập phương trình chính tắc elip (E) có ñộ dài trục lớn 2, các ñỉnh trên trục nhỏ và các tiêu ñiểm (E) cùng nằm trên ñường tròn Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên chẵn có chữ số khác mà số lập ñược ñều nhỏ 25000? Câu V.b Theo chương trình THPT phân ban thí ñiểm (2 ñiểm) 1 Giải phương trình: ( log x + 1) log x + log = Cho hình lập phương ABCD.A ' B 'C ' D ' có cạnh a và ñiểm K thuộc cạnh CC ' cho CK = a Mặt phẳng (α ) ñi qua A, K và song song với BD chia khối lập phương thành hai khối ña diện Tính thể tích hai khối ña diện ñó 78 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (80) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 79 ðỀ 31 − x + 4x − C©u 01: Cho hµm sè: y = x−2 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Chứng minh tích các khoảng cách từ điểm trên đồ thị hàm số đến các ®−êng tiÖm cËn cña nã lµ h»ng sè C©u 02: 1 Gi¶i ph−¬ng tr×nh: sin x + sin x − − = cot g x sin x sin x ( ) [ ] Tìm m để bất ph−ơng trình: m x − x + + + x (2 − x ) ≤ có nghiệm x ∈ 0;1 + C©u 03: Trong kh«ng gian Oxyz cho ®iÓm A(− 1; 3; − ), B(− 3; 7; − 18) vµ mÆt ph¼ng (P ) : 2x − y + z + = ViÕt ph−¬ng tr×nh mÆt ph¼ng chøa AB vµ vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (P) Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) cho MA + MB nhỏ C©u 04: TÝnh: ∫ 1+ 2x + dx 2x + ⎧⎪x + x − x + = y −1 + Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : ⎨ ⎪⎩ y + y − y + = x −1 + C©u 05a: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT kh«ng ph©n ban) Trong mÆt ph¼ng Oxy, cho ®−êng trßn (C) : x + y = §−êng trßn (C′) t©m I(2; 2) c¾t (C) t¹i hai ®iÓm AB cho AB = ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng AB Cã bao nhiªu sè tù nhiªn ch½n lín h¬n 2007 mµ mçi sè gåm ch÷ sè kh¸c nhau? C©u 05b: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT ph©n ban) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh : (log x + log x )log 2 x ≥ Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB = a; AC = 2a; AA1 = 2a và ∠BAC = 120o Gọi M lµ trung ®iÓm cña c¹nh CC1 Chøng minh MB ⊥ MA1 vµ tÝnh kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm A tíi mÆt ph¼ng (A1BM) 79 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (81) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 80 ðỀ 32 m (C m ) x−2 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = Tìm m để đồ thị (C m ) có các cực trị các điểm A, B cho đ−ờng thẳng AB qua gốc C©u 01: Cho hµm sè: y = x + m + tọa độ C©u 02: ( Gi¶i ph−¬ng tr×nh: cos x + sin x cos x + = sin x + cos x ) ⎧x − x y + x y = Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: ⎨ ⎩x y − x + xy = −1 C©u 03: Trong kh«ng gian Oxyz cho c¸c ®iÓm A(2; 0; ), B(0; 4; ), C(2; 4; ) vµ ®−êng th¼ng ⎧6 x − 3y + 2z = d:⎨ ⎩6 x + 3x + 2z − 24 = Chøng minh c¸c ®−êng th¼ng AB vµ OC chÐo ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng Δ song song víi d vµ c¾t c¸c ®−êng th¼ng AB vµ OC C©u 04: Trong mÆt ph¼ng Oxy cho h×nh ph¼ng (H) giíi h¹n bëi c¸c ®−êng y = x ; y = x TÝnh thÓ tÝch vËt trßn xoay quay (H) quanh trôc Ox mét vßng Cho x, y, z lµ c¸c biÕn sè d−¬ng T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: ⎛ x y z ⎞ P = 4(x + y ) + 4(y + z ) + 4(z + x ) + 2⎜⎜ + + ⎟⎟ z x ⎠ ⎝y C©u 05a: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT kh«ng ph©n ban) Trong mÆt ph¼ng Oxy, cho tam gi¸c ABC cã träng t©m G (− 2; ) BiÕt ph−¬ng tr×nh c¸c cạnh AB và AC lần l−ợt là 4x + y + 14 = 0; 2x + 5y − = Tìm toạ độ A, B, C? Trªn c¸c c¹nh AB, BC, CD, DA cña h×nh vu«ng ABCD lÇn l−ît cho 1, 2, vµ n ®iÓm ph©n biệt khác A, B, C, D Tìm n biết số tam giác có đỉnh lấy từ n + điểm đã cho là 439 C©u 05b: (Cho ch−¬ng tr×nh THPT ph©n ban) 1 Gi¶i ph−¬ng tr×nh : log (x − 1) + = + log x + log x +1 2 Cho hình chóp S.ABC có ∠(SBC; ABC) = 60 o , ABC và SBC là các tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAC) 80 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (82) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 81 ðỀ 33 Câu I: (2 ñiểm) x + 2mx + − 3m (*) (m là tham số) x−m Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (*) ứng với m = Tìm m ñể hàm số (*) có hai ñiểm cực trị nằm hai phía trục tung Gọi (Cm) là ñồ thị hàm số : y = Câu II: ( ñiểm) x2 + y + x + y = Giải hệ phương trình : x( x + y + 1) + y ( y + 1) = 2 Tìm nghiệm trên khoảng (0; π ) phương trình : x 3π 4sin − cos x = + cos ( x − ) Câu III: (3 ñiểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho tam giác ABC cân ñỉnh A có trọng tâm G ( ; ) , phương trình ñường thẳng BC là x − y − = và phương trình ñường thẳng BG 3 là x − y − = Tìm tọa ñộ các ñỉnh A, B, C Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho ñiểm A(1;1;0), B(0; 2; 0), PC(0; 0; 2) a) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua gốc tọa ñộ O và vuông góc với BC.Tìm tọa ñộ giao ñiểm AC với mặt phẳng (P) b) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông Viết phương trình mặt cầu ngọai tiếp tứ diện OABC Câu IV: ( ñiểm) π Tính tích phân: I = ∫ sin x.tan x dx Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên, số gồm chữ số khác và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn ? Câu V: (1 ñiểm) Cho x, y, z là ba số thỏa mãn x + y + z = Chứng minh : k 81 k k n + a x + n + a y + n + a z ≥ 3k n + (k, n ∈ ℕ*, k ≥ 2,a > 0) Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (83) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 82 ðỀ 34 Câu I: (2 ñiểm) x2 + x +1 x +1 Viết phương trình ñường thẳng ñi qua ñiểm M (- 1; 0) và tiếp xúc với ñồ thị ( C ) Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị ( C ) hàm số y = Câu II:( ñiểm) Giải hệ phương trình : x + y + − x + y = 3x + y = Giải phương trình : 2 cos3 ( x − ) − 3cos x − sin x = π Câu III: (3 ñiểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho ñường tròn (C): x2 + y2 −12 x − y + 36 = Viết phương trình ñường tròn (C1) tiếp xúc với hai trục tọa ñộ Ox, Oy ñồng thời tiếp xúc ngoài với ñường tròn (C) Trong không gian với hệ tọa ựộ đêcac vuông góc Oxyz cho ựiểm A(2;0;0), C(0; 4; 0), S(0; 0; 4) a) Tìm tọa ñộ ñiểm B thuộc mặt phẳng Oxy cho tứ giác OABC là hình chữ nhật Viết phương trình mặt cầu qua ñiểm O, B, C, S b) Tìm tọa ñộ ñiểm A1 ñối xứng với ñiểm A qua ñường thẳng SC Câu IV: ( ñiểm) I =∫ Tính tích phân: x+2 dx x +1 Tìm hệ số x khai triển ña thức (2 − 3x) n , ñó n là số nguyên dương thỏa mãn: C21n +1 + C23n +1 + C25n +1 + + C22nn++11 = 1024 ( Cnk là số tổ hợp chập k n phần tử) Câu V: (1 ñiểm) Chứng minh với x, y > ta có : y (1 + x)(1 + )(1 + ) ≥ 256 x y ðẳng thức xảy nào? 82 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (84) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 83 ðỀ 35 Câu I: (2 ñiểm) Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị ( C ) hàm số y = x − x + Tìm m ñể phương trình sau có nghiệm phân biệt : x − x − log m = Câu II: (2 ñiểm) x + y + − x + y = 3x + y = Giải hệ phương trình : π 2 cos3 ( x − ) − 3cos x − sin x = Giải phương trình : Câu III: (3 ñiểm) x2 y + = Viết phương trình tiếp 64 tuyến d (E) biết d cắt hai hai trục tọa ñộ Ox, Oy A, B cho AO = 2BO Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho elip (E) : Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho hai ñường thẳng d1 : x y z = = và 1 x = −1 − 2t ( t là tham số ) d2 : y = t z = 1+ t a) Xét vị trí tương ñối d1 và d2 b) Tìm tọa ñộ các ñiểm M thuộc d1 và N thuộc d2 cho ñường thẳng MN song song với mặt phẳng (P) : x − y + z = và ñộ dài ñọan MN Câu IV: ( ñiểm) e Tính tích phân: I= ∫x ln x d x Một ñộ văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập nhóm ñồng ca gồm người biết nhóm ñó phải có ít nữ Câu V: (1 ñiểm) Chứng minh : a + 3b + b + 3c + c + 3a ≤ Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn : a + b + c = Khi nào ñẳng thức xảy ? 83 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (85) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 84 ðỀ 36 Câu I: (2 ñiểm) x2 + x + (*) x +1 Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị ( C ) hàm số (*) Gọi I là giao ñiểm hai tiệm cận ( C ).Chứng minh không có tiếp tuyến nào (C ) ñi qua ñiểm I Cho hàm số : y = Câu II:( ñiểm) 8x2 − x + − x + ≤ cos x − π Giải phương trình : tan( + x) − tan x = cos x Giải bất phương trình : Câu III: (3 ñiểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho hai ñường tròn : (C1 ): x2 + y2 = và (C2 ): x2 + y2 −2 x − y − 23 = Viết phương trình trục ñẳng phương d hai ñường tròn (C1) và (C2) Chứng minh K thuộc d thì khỏang cách từ K ñến tâm (C1) nhỏ khỏang cách từ K ñến tâm ( C2 ) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho ñiểm M(5;2; - 3) và mặt phẳng (P) có phương trình x + y − z + = a) Gọi M1 là hình chiếu M lên mặt phẳng ( P ) Xác ñịnh tọa ñộ ñiểm M1 và tính ñộ dài ñọan MM1 x-1 y-1 z-5 = = b) Viết phương trình mặt phẳng ( Q ) ñi qua M và chứa ñường thẳng : -6 Câu IV: ( ñiểm) π Tính tích phân: I = ∫ (tan x + esin x cos x) dx Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập ñược bao nhiêu số tự nhiên, số gồm chữ số khác và thiết phải có chữ 1, ? Câu V: (1 ñiểm) Chứng minh ≤ y ≤ x ≤ thì: x y − y x≤ ðẳng thức xảy nào? 84 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (86) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 85 ðỀ 37 Câu I: (2 ñiểm) Gọi (Cm) là ñồ thị hàm số y= – x3+ ( 2m + 1) x2 – m – (1) (m là tham số) 1) Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số (1) m = 2) Tìm m ñể ñồ thị (Cm) tiếp xúc với ñường thẳng y = 2mx – m – Câu II:( ñiểm) Giải bất phương trình : Giải phương trình : x + − − x ≥ 3x − 3π sin x tan( − x) + =2 + cos x Câu III: (3 ñiểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho ñường tròn (C): x2 + y2 −4 x − y − 12 = Tìm tọa ñộ ñiểm M thuộc ñường thẳng d : x − y + = cho MI = 2R , ñó I là tâm và R là bán kính ñường tròn (C) Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho lăng trụ ñứng OAB.O1A1B1 với A(2;0;0), B(0; 4; 0), O1(0; 0; 4) a) Tìm tọa ñộ các ñiểm A1, B1 Viết phương trình mặt cầu qua ñiểm O, A, B, O1 b) Gọi M là trung ñiểm AB.Mặt phẳng ( P ) qua M vuông góc với O1A và cắt OA, OA1 N, K Tính ñộ dài ñoạn KN Câu IV: ( ñiểm) e3 1.Tính tích phân I =∫ ln x dx x ln x + Tìm k ∈ {0;1; 2; ; 2005} cho n phần tử) k C2005 ñạt giá trị lớn ( Cnk là số tổ hợp chập k Câu V: (1 ñiểm) Tìm m ñể hệ phương trình sau có nghiệm: 7 x + x +1 − 2+ x +1 + 2005 x ≤ 2005 x − (m + 2) x + 2m + ≥ 85 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (87) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 86 ðỀ 38 Câu I: (2 ñiểm) Khảo sát biến thiên và vẽ ñồ thị hàm số y = Tìm m ñể phương trình x + 3x + x +1 x + 3x + = m có nghiệm phân biệt x +1 Câu II:( ñiểm) x − x2 1 Giải bất phương trình : − 2 ≤3 3 Giải phương trình : sin x + cos x + 3sin x − cos x − = x2 − x Câu III: (3 ñiểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa ñộ Oxy cho ñiểm A(0;5), B(2; 3) Viết phương trình ñường tròn ñi qua hai ñiểm A, B và có bán kính R = 10 Trong không gian với hệ tọa ñộ Oxyz cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 với A(0;0;0), B(2; 0; 0), D1(0; 2; 2) a) Xác ñịnh tọa ñộ các ñiểm còn lại hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 Gọi M là trung ñiểm BC Chứng minh hai mặt phẳng ( AB1D1) và ( AMB1) vuông góc với b) Chứng minh tỉ số khỏang cách từ ñiểm N thuộc ñường thẳng AC1 ( N ≠ A ) tới mặt phẳng ( AB1D1) và ( AMB1) không phụ thuộc vào vị trí ñiểm N Câu IV: ( ñiểm) π Tính tích phân: I = ∫ ( x − 1) cos x dx Tìm số nguyên n lớn thỏa mãn ñẳng thức : Pn + An2 − Pn An2 = 12 ( Pn là số hoán vị n phần tử và Ank là số chỉnh hợp chập k n phần tử) Câu V: (1 ñiểm) Cho x, y, z là ba số dương và xyz = Chứng minh rằng: x2 y2 z2 + + ≥ 1+ y 1+ z 1+ x 86 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (88) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 87 ðỀ 39 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 + 3mx2 + (m + 1)x + (1), m là tham số thực Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = −1 Tìm các giá trị m để tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) điểm có hoành độ x = −1 qua điểm A(1; 2) Câu II (2 điểm) Giải phương trình tan x = cot x + cos2 2x Giải phương trình √ √ (2x − 1)2 2x + + − 2x = Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng ½ x−3 y−3 z−3 5x − 6y − 6z + 13 = d1 : = = ; d2 : x − 6y + 6z − = 2 1 Chứng minh d1 và d2 cắt Gọi I là giao điểm d1 và d2√ Tìm tọa độ các diểm A, B thuộc d1 , d2 cho tam giác IAB 41 cân I và có diện tích 42 Câu IV (2 điểm) Tính tích phân I= R3 2 Giải phương trình √ xdx 2x + π esin(x− ) = tan x PHẦN RIÊNG — THÍ SINH CHỈ ĐƯỢC LÀM TRONG CÂU : V.a HOẶC V.b Câu V.a Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm) Cho tập hợp E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7} Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm chữ số khác thành lập từ các chữ số E Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với đường cao kẻ từ đỉnh B và đường phân giác góc A có phương trình là 3x + 4y √ + 10 = và x − y + = 0; điểm M (0; 2) thuộc đường thẳng AB đồng thời cách C khoảng Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC Câu V.b Theo chương trình phân ban (2 điểm) µ ¶ 2x + 1 Giải phương trình log log2 ≥ x+1 Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân đỉnh B, BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm AB và SE = 2a Gọi I, J là \ = α(α < 90o ) và trung điểm EC, SC; M là điểm di động trên tia đối tia BA cho ECM H là hình chiếu vuông góc S trên M C Tính thể tích khối tứ diện EHIJ theo a, α và tìm α để thể tích đó lớn 87 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (89) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 88 ðỀ 40 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x4 − 8x2 + (1), Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) Tìm các giá trị thực tham số m để đường thẳng y = mx − tiếp xúc với đồ thị hàm số (1) Câu II (2 điểm) √ ³ ³ π´ π´ = sin x − + Giải phương trình sin 2x − 4 3x Giải bất phương trình +1> √ 1−x − x2 Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x + 3y − 3z + = 0, đường thẳng d1 : z+5 y = và điểm A(4; 0; 3), B(−1; −1; 3), C(3; 2; 6) x−3 = Viết phương trình mặt cầu (S) qua điểm A, B, C và có tâm thuộc mp(P ) Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) thưo đường tròn có bán kính lớn Câu IV (2 điểm) π Tính tích phân I= R2 sin 2xdx + sin x − cos 2x Chứng minh phương trình 4x (4x2 + 1) = có đúng nghiệm thực phân biệt PHẦN RIÊNG — THÍ SINH CHỈ ĐƯỢC LÀM TRONG CÂU : V.a HOẶC V.b Câu V.a Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm) Tìm hệ số số hạng chứa x5 khai triển nhị thức Newton (1+3x)2n , biết A3n +2A2n = 100 (n là số nguyên dương) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : x2 + y = Tìm các giá trị thực m để trên đường thẳng y = m tồn đúng điểm mà từ điểm có thể kẻ hai tiếp tuyến với (C) cho góc hai tiếp tuyến đó 60o Câu V.b Theo chương trình phân ban (2 điểm) Giải phương trình 3+ ¡ ¢ = logx 9x − x6 log3 x Cho hình chóp S.ABC mà mặt bên là tam giác vuông, SA = SB = SC = a Gọi M, N, E là trung điểm các cạnh AB, AC, BC; D là điểm đối xứng S qua E; I là giao điểm đường thẳng AD với mặt phẳng (SM N ) Chứng minh AD ⊥ SI và tính theo a thể tích khối tứ diện M BSI 88 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (90) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 89 ðỀ 41 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x3 − 3x2 − 3m(m + 2)x − (1), m là tham số thực Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm các giá trị m để hàm số (1) có hai cực trị cùng dấu Câu II (2 điểm) Giải phương trình Giải phương trình ³ ³ π´ π´ sin x + − sin 2x − = √ √ √ √ 10x + + 3x − = 9x + + 2x − Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng d1 : x−3 y z+5 = = và điểm A(5; 4; 3), B(6; 7; 2) 1 Viết phương trình đường thẳng d2 qua điểm A, B Chứng minh hai đường thẳng d1 và d2 chéo Tìm điểm C thuộc d1 cho tam giác ABC có diện tích nhỏ Tính giá trị nhỏ đó Câu IV (2 điểm) Tính tích phân I= R2 x + √ dx 4x + Cho số dương x, y, z thỏa mãn hệ thức x + y + z = yz Chứng minh 3x √ 3−3 x≤ (y + z) PHẦN RIÊNG — THÍ SINH CHỈ ĐƯỢC LÀM TRONG CÂU : V.a HOẶC V.b Câu V.a Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm) Cho số nguyên n thỏa mãn đẳng thức A3n + Cn3 = 35 (n ≥ 3) Tính tổng (n − 1)(n − 2) S = 22 Cn2 − 32 Cn3 + · · · + (−1)n n2 Cnn √ Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với AB = 5, C(−1; −1), đường thẳng AB có phương trình x + 2y − = và trọng tâm tam giác ABC thuộc đường thẳng x + y − = Hãy tìm tọa độ các đỉnh A và B Câu V.b Theo chương trình phân ban (2 điểm) Giải phương trình log2 2x + + log 12 9x − = √ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD và tính cosin góc hai đường thẳng SB, AC 89 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (91) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 90 ðỀ 42 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) x2 + (3m − 2)x + − 2m (1), m là tham số thực Cho hàm số y = x+2 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = Tìm các giá trị m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng xác định nó Câu II (2 điểm) Giải phương trình sin x + cos 2x + sin 2x = sin x cos2 ½ √ √ x − − y = − x3 (x − 1) = y Giải hệ phương trình x Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1; 0; −1), B(2; 3; −1), C(1; 3; 1) và đường thẳng d : ½ x−y+1=0 x+y+z =4 Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng d cho thể tích khối tứ diện ABCD Viết phương trình tham số đường thẳng qua trực tâm H tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Câu IV (2 điểm) Tính tích phân I= R1 x3 dx √ − x2 Cho số nguyên n(n ≥ 2) và số thực không âm x, y Chứng minh p √ n xn + y n ≥ n+1 xn+1 + y n+1 PHẦN RIÊNG — THÍ SINH CHỈ ĐƯỢC LÀM TRONG CÂU : V.a HOẶC V.b Câu V.a Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm) Chứng minh với n là số nguyên dương 2n Cn0 2n−1 Cn1 20 Cnn 3n+1 − + + + = n+1 n (n + 1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(3; 0), B(0; 4) Chứng minh đường tròn nội tiếp tam giác OAB tiếp xúc với đường tròn qua trung điểm các cạnh tam giác OAB Câu V.b Theo chương trình phân ban (2 điểm) Giải bất phương trình 32x+1 − 22x+1 − 5.6x ≤ Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và ABD là các tam giác cạnh a, các mặt ACD và BCD vuông góc với hãy tính theo a thể tích khối tứ diện ABCD và tính số đo góc hai đường thẳng AD, BC 90 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (92) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 91 ðỀ 43 PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH Câu I (2 điểm) 3x + (1) Cho hàm số y = x+1 Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) Tính diện tích tam giác tạo các trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) điểm M (−2; 5) Câu II (2 điểm) 4(sin4 x + cos4 x) + cos 4x + sin 2x = √ Giải bất phương trình (x + 1)(x − 3) −x2 + 2x + < − (x − 1)2 Giải phương trình Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng (α) : 2x − y + 2z + = và đường thẳng d: x−1 y−1 z = = −2 Tìm tọa độ giao điểm d với (α); tính sin góc d và (α) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc d tiếp xúc với hai mặt phẳng (α) và Oxy Câu IV (2 điểm) µ ¶ x xe2x − √ dx − x2 π Cho các số thực x, y thỏa mãn ≤ x, y ≤ Chứng minh cos x + cos y ≤ + cos(xy) Tính tích phân I= R1 PHẦN RIÊNG — THÍ SINH CHỈ ĐƯỢC LÀM TRONG CÂU : V.a HOẶC V.b Câu V.a Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm) Chứng minh với n là số nguyên dương n.2n Cnn + (n − 1)2n−1 c1n + + 2Cnn−1 = 2n.3n−1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : (x − 4)2 + y = và điểm E(4; 1) Tìm tọa độ điểm M trên trục tung cho từ M kẻ hai tiếp tuyến M A, M B đến đường tròn (C) với A, B là các tiếp điểm cho đường thẳng AB qua E Câu V.b Theo chương trình phân ban (2 điểm) Giải bất phương trình 22x −4x−2 − 16.22x−x −1 − ≤ Cho tứ diện ABCD và các điểm M, N, P thuộc các cạnh BC, BD, AC cho BC = AQ 4BM, AC = 3AP, BD = 2BN Mặt phẳng (M N P ) cắt AD Q Tính tỉ số và tỉ số thể AD tích hai phần khối tứ diện ABCD phân chia mặt phẳng (M N P ) 91 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (93) Ứng dụng ñạo hàm ñể giải toán THPT 92 ðỀ 44 I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I Cho hàm số y = − x + 3x − (C) Khảo sát và vẽ ñồ thị hàm số Tìm m ñể ñường thẳng y = m(x + 1) cắt (C) ba ñiểm phân biệt M(-1;0), A, B cho MA = MB Câu II Giải phương trình a 3(cos x − 2)sin x + 4(cos x − 1) cos x = (2 + cos 2x) cos x b (13 − 4x) 2x − + (4x − 3) − 2x = + 16x − 4x − 15 π Câu III Tính tích phân ∫ sin x + cos x dx = 600, Câu IV Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD (SAC) ⊥ (ABCD), ASC = 900 , khoảng cách từ A tới (SBD) a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a − x y + 2xy − y + = 2(3 − − x)y Câu V Giải hệ phương trình x + x − y = II PHẦN TỰ CHỌN Chương trình Chuẩn Câu VIa Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC có ñỉnh A(0;3), trực tâm H(0;1), trung ñiểm M(1;0) BC Tìm tọa ñỉnh ñỉnh B biết B có hoành ñộ âm Trong không gian Oxyz, cho (P): x – 2y + 2z + = 0, A(1;-2;1) Gọi M, N là hình chiếu vuông góc A lên (Oxy) và (P) Tìm tọa ñộ các ñiểm M, N và tính ñộ dài MN Câu VIIa Tìm số phức z biết z(1 − 2i) = (3 + 4i)(2 − i) Chương trình Nâng cao Câu VIb Trong mặt phẳng Oxy, cho ∆ABC cân B có tung ñộ B khác - 3, ñỉnh A(-3;-3) và ñường tròn nội tiếp ∆ABC có phương trình (x − 1)2 + y = Viết phương trình ñường thẳng BC Trong không gian Oxyz, cho A(-1;-2;0), B(3;1;2), C()1;0;1) và mặt phẳng (P): x – 2y + z + = Tìm ñiểm D trên (P) cho bốn ñiểm A, B, C, D ñồng phẳng và là bốn ñỉnh hình thang Câu VIIa Tìm số phức z có z = Chứng minh z + ≤ 92 Nguyễn Văn Xá – Tổ Toán – Trường THPT Yên Phong số – Bắc Ninh (94)