Ebook Phương pháp tọa độ trong không gian Oxyz Phần 2 - Nguyễn Quốc Thịnh

TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 82 PHẦN 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Phương trình tham số phương trình tắc đường thẳng  Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có vectơ phương a  (a1 ; a2 ; a3 ) với a  là:  x  xo  a1t  ( d ) :  y  yo  a2 t (t  ) z  z  a t o  x  x0 y  y0 z  z0    Nếu a1a2 a3  (d ) : gọi phương trình tắc d a1 a2 a3 Vị trí tương đối hai đường thẳng   Cho hai đường thẳng d, d qua hai điểm M0  x0 ; y0 ; z0  , M0 x0 ; y0 ; z0 có vectơ   phương a   a1 ; a2 ; a3  , a  a1 ; a2 ; a3 Khi đó, ta có:   a; a    d€d      M0  d    a; a    d  d     M0  d    a ; a      d cắt d      a; a M0 M0     d d  chéo  a; a M0 M0     d  d  a.a  Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng  x  x0  ta1  Cho mặt phẳng   : Ax  By  Cz  D  đường thẳng d :  y  y0  ta2  z  z  ta  Xét phương trình: A( x0  ta1 )  B( y0  ta2 )  C ( z0  ta3 )  D  (ẩn t)  d€   (*) vô nghiệm  d cắt    (*) có nghiệm  d     (*) có vơ số nghiệm SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM (*) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 83 Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu  x  x0  ta1  Cho đường thẳng d :  y  y0  ta2 (1) mặt cầu  S  : ( x  a)2  ( y  b)2  ( z  c)2  R (2)  z  z  ta  Để xét vị trí tương đối đường thẳng d mặt cầu  S  ta thay (1) vào (2), a phương trình:  x0  ta1  a    yx0  ta2  b    z0  ta3  c   (*) 2  d  S  khơng có điểm chung  (*) vô nghiệm  d tiếp xúc  S   (*) có nghiệm  d  I, d   R  d  I, d   R  d cắt  S  hai điểm phân biệt  (*) có hai nghiệm phân biệt  d  I , d   R Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (chương trình nâng cao) Cho đường thẳng d qua M0 có VTCP a điểm M d (M , d )   M M ; a  a Khoảng cách hai đường thẳng chéo (chương trình nâng cao) Cho hai đường thẳng chéo d1 d2 d1 qua điểm M1 có VTCP a1 , d2 qua điểm M2 có VTCP a2 d (d1 , d )   a1 , a2 .M1M  a1 , a2  Chú ý: Khoảng cách hai đường thẳng chéo d1 , d2 khoảng cách d1 với mặt phẳng   chứa d2 song song với d1 Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song Khoảng cách đường thẳng d với mặt phẳng   song song với khoảng cách từ điểm M d đến mặt phẳng   Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng d1 , d2 có VTCP a1 , a2 Khi góc d1 , d2 là: cos  d1; d2   cos  a1 , a2   a1.a2 a1 a2 Góc đường thẳng mặt phẳng Cho đường thẳng d có VTCP a  (a1 ; a2 ; a3 ) mặt phẳng   có VTPT n  ( A; B; C ) Góc đường thẳng d mặt phẳng   góc đường thẳng d với hình chiếu d    sin  d , ( )   Aa1  Ba2  Ca3 A2  B  C a12  a22  a32 SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang | 84 B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Dạng Phương trình đường thẳng qua điểm biết véctơ phương Phương pháp giải: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương a   a1 ; a2 ; a3  với a12  a22  a32  có phương trình tham số là:  x  x0  a1t   y  y0  a2 t z  z  a t  VD Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai mặt phẳng  P  : x  y  3z    Q  : 3x  y  5z   Giao tuyến  P   x   2t  A  y  1  7t  z  4t   Q  có phương trình tham số là:  x   2t  B  y  1  7t  z  4t   x   2t  C  y   7t   z  4t  x   2t  D  y   7t   z  4t Hướng dẫn giải  x  y  3z   () Cách 1: Xét hệ  3 x  y  z   Cho x  thay vào () tìm y  8, z  4 Đặt A(0; 8; 4) Cho z  thay vào () tìm x  2, y  1 Đặt B (2; 1; 0)  AB   2;7;  VTCP  P    Q   x   2t  Như vậy, phương trình tham số  P    Q   y  1  7t  z  4t  Chọn đáp án A  x  y  3z   () Cách 2: Xét hệ  3 x  y  z   Cho z  thay vào () tìm x  2, y  1 Đặt B (2; 1; 0)  P  : x  y  3z   có VTPT nP  (1; 2;3)  Q  : 3x  y  5z   có VTPT nQ  (3; 2; 5)  nP , nQ    4;14;8  chọn u  (2; 7; 4) VTCP giao tuyến  P    Q   x   2t  Như vậy, PTTS  P    Q   y  1  7t  z  4t  Chọn đáp án A Cách 3: (kỹ máy tính cầm tay) Xem phím A,B,C (trên máy) x, y, z (trong phương trình), nhập lúc biểu thức SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 85 A  2B  3C  4:3A  2B  5C  Rút toạ độ điểm ( x0 ; y0 ; z0 ) từ PTTS câu, dùng lệnh CALC nhập vào máy KQ ứng với câu cho đáp số nhận (ở tạm thời nhận A B) Tiếp tục cho t  (ngoài nháp) vào PTTS nhận để có số ( x; y; z ) lại thay vào biểu thức nhập hình Lại tìm số cho đáp số (ở câu A đảm bảo điều nên đáp án A) VD Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d qua điểm M 1; 2;0  có véctơ phương u  0;0;1 Đường thẳng d có phương trình tham số là: x   A  y  2 z  t  x  1 t  B  y  2  2t z  t  x  t  C  y  2t z    x   2t  D  y  2  t z   Hướng dẫn giải  x  x0  at  Học thuộc lịng cơng thức  y  y0  bt thay số vào  z  z  ct   x   0t x     y  2  0t   y  2  z   1t z  t   Chọn đáp án A VD Phương trình tham số đường thẳng d biết qua điểm M (1; 2;3) có véctơ a  1; 4;5  x  1 t  A  y   4t  z   5t  x  1 t  B  y  4  2t  z  5  3t  x  1 t  C  y   4t  z   5t  x  1 t  D  y  4  2t  z  5  3t  Hướng dẫn giải Đường thẳng d qua điểm M (1; 2;3) có vectơ phương a  1; 4;5  có phương x  1 t  trình tham số là:  y   4t  z   5t  Chọn đáp án A VD Phương trình tham số đường thẳng d biết qua điểm M (0; 2;5) có véctơ a  1; 1;3  x   0t  A  y  1  2t  z   5t  x  1 t  B  y  4  2t  z  5  3t   x   2t  C  y  2  2t  z   6t  Hướng dẫn giải SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM  x   2t  D  y   2t  z   6t  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 86 Đường thẳng d qua điểm M (0; 2;5) có vectơ phương a  1; 1;3 có phương trình  x   2t  tham số là:  y  2  2t  z   6t  Chọn đáp án C VD Phương trình tham số đường thẳng d biết qua điểm M (1; 2;3) có véctơ a   2;0;0  x  1 t  A  y   t z   t  x  1 t  B  y   2t  z   3t  x  1 t  C  y  z   x  1 t  D  y   t z   Hướng dẫn giải Đường thẳng d qua điểm M (1; 2;3) có véctơ phương a   2;0;0  có phương trình x  1 t  tham số là:  y  z   Chọn đáp án C VD Phương trình tham số đường thẳng d biết qua gốc tọa độ O có véctơ phương a   2; 3;1 x   t  A  y  3  t z  1 t   x   2t  B  y   3t z   t   x   2t  C  y   3t z   t  x  1 t  D  y   t z   Hướng dẫn giải Đường thẳng d qua điểm qua gốc tọa độ O có véctơ phương a   2; 3;1 có phương  x   2t  trình tham số là:  y   3t z   t  Chọn đáp án B Dạng Phương trình đường thẳng qua điểm M ; N Phương pháp giải:  Tìm tọa độ véctơ MN  Phương trình đường thẳng cần tìm qua M ( N ) có véctơ phương phương với véctơ MN VD Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, đoạn thẳng AB với hai đầu mút A  2;3; 1 B 1; 2;  có phương trình tham số là: SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 87 x  1 t  A  y   t 1  t    z   5t  x   t  B  y   t  1  t    z  1  5t  x  1 t  C  y   t   t  1  z   5t  x   t  D  y   t   t    z  1  5t  Hướng dẫn giải Phương pháp: Để tìm toạ độ điểm đầu mút đoạn thẳng có phương trình tham số có điều kiện kèm theo ta thay giá trị (đầu mút) tham số vào phương trình tìm x, y, z a) Với phương án A, thay t  vào PTTS ta toạ độ điểm  2;3; 1 t  ta lại điểm  3; 4; 6  khác toạ độ điểm A điểm B b) Với phương án B, thay t  1 ta toạ độ điểm B 1; 2;  t  ta toạ độ điểm A  2;3; 1 Chọn đáp án : B Lưu ý 1: - Để viết phương trình tham số đoạn thẳng AB ta viết phương trình tham số đường thẳng AB , tìm giá trị t A , t B để từ phương trình tham số ta tìm lại toạ độ điểm A, B - Kết phương trình tham số có kèm điều kiện t đoạn tạo t A , t B - Tuy nhiên phương pháp chậm khó để chọn phương án cách cho đề Lưu ý 2: - Nếu HS dùng phương pháp thay toạ độ điểm A B vào phương trình tham số phương án (A,B,C,D) để tìm giá trị t tìm t A , t B đầu mút đoạn điều kiện cho kèm theo phương trình tham số, phương án VD Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm A 1; 2; 3 B  3; 1;1 Phương trình sau phương trình tắc đường thẳng qua hai điểm A B ? x 1 y  z  x 1 y  z      A B 1 3 x  y 1 z 1 x 1 y  z      C D 2 3 3 Hướng dẫn giải: Phương pháp tự luận: Gọi d đường thẳng qua điểm A 1; 2; 3 B  3; 1;1 Đường thẳng d qua A(1; 2; 3) có vectơ phương ud  AB  (2; 3; 4) nên có phương trình tắc là: x 1 y  z    3 Chọn đáp án B Phương pháp trắc nghiệm: SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang | 88 Đường thẳng qua A 1; 2; 3 B  3; 1;1 có vectơ phương AB  (2; 3;4) nên loại phương án A C Xét thấy điểm A(1; 2; 3) thỏa mãn phương trình tắc phương án B nên chọn B đáp án VD Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , đường thẳng qua hai điểm A 1; 2;1 , B  2;1;3 có phương trình: x 1 y    A x 1 y    C z 1 z 1 x 1 y  z 1   1 2 x  y 1 z    D Hướng dẫn giải B Đường thẳng AB qua A 1; 2;1 nhận AB (1;3; 2) làm vectơ phương nên có phương trình: x 1 y  z 1   Chọn đáp án A VD 10 Phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm M (1; 2;3) N (3;0;0) x  1 t  A  y   4t  z   5t  x   t  B  y   2t  z   3t   x   2t  C  y   2t   z   3t  x   2t  D  y   2t  z   3t  Hướng dẫn giải Ta có véctơ MN   2; 2; 3 véctơ phương đường thẳng MN Chọn đáp án D VD 11 Phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A(1; 2; 3) B(3;0;1) x  1 t  A  y   4t  z   5t  x   t  B  y   t  z   2t   x   2t  C  y   2t   z   3t  x   2t  D  y   2t  z   3t  Hướng dẫn giải Ta có véctơ AB   2; 2;  nên véctơ phương đường thẳng AB u  1;1;  Chọn đáp án B VD 12 Phương trình tham số đường thẳng qua hai điểm A(1; 2; 3) B(3;0;1) x  1 t  A  y   4t  z   5t  x   t  B  y  1  t  z  1  2t   x   2t  C  y   2t   z   3t  x   2t  D  y   2t  z   3t  Hướng dẫn giải Ta có véctơ AB   2; 2;  nên véctơ phương đường thẳng AB u  1;1;  Mặt khác tọa độ trung điểm AB điểm I  2; 1; 1 Chọn đáp án B Dạng Phương trình đường thẳng qua điểm M song song với đường thẳng  cho trước SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 89 Phương pháp giải:  Véctơ phương đường thẳng  u  Phương trình đường thẳng cần tìm qua điểm M có véctơ phương phương với VD 13 véctơ u Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình đường thẳng qua điểm M  2;1;  song song với trục Ox là:  x   2t  x  2  x  2  t    A  y  t B  y   t C  y  z    z  2t  z   Hướng dẫn giải Trục hoành Ox nhận véctơ đơn vị i  (1;0;0) làm VTCP  x  2t  D  y   t  z  2t  Đường thẳng d song song với trục hoành phải nhận i  (1;0;0) làm VTCP ln Ngồi M  2;1;   d nên viết PTTS d ta chọn phương án C Chọn đáp án C VD 14 Phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm M (1; 2;3) song song với đường x  1 t  thẳng d có phương trình  y  3  4t  z   5t  x  1 t  A  y   4t  z   5t  x   t x  1 t   B  y   4t C  y  2  4t  z   5t  z  3  5t   Hướng dẫn giải x   t  D  y   4t  z   5t  Ta có véctơ u  1; 4; 5  véctơ phương đường thẳng d Vì €d nên véctơ u  1; 4; 5  véctơ phương đường thẳng  Chọn đáp án A VD 15 Phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm M (1;1;1) song song với đường x  1 t  thẳng d có phương trình  y  3  4t  z   5t  x  1 t  A  y   4t  z   5t  x  1 t  B  y   4t  z   5t  x  1 t  C  y   4t  z   5t  x   t  D  y   4t  z   5t  Hướng dẫn giải Ta có véctơ u  1; 4; 5  véctơ phương đường thẳng d Vì €d nên véctơ a   1; 4;5  véctơ phương đường thẳng  Chọn đáp án B SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA VD 16 Trang | 90 Phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm M (1;1;1) song song với đường x  1 t  thẳng d có phương trình  y  3  z   2t   x   2t  A  y  z  1 t  x  1 t  B  y   z   2t   x   2t  C  y   z   4t   x   3t  D  y   4t  z   5t  Hướng dẫn giải Ta có véctơ u  1;0; 2  véctơ phương đường thẳng d Vì €d nên véctơ a   2;0;  véctơ phương đường thẳng  Chọn đáp án C Dạng Phương trình đường thẳng qua điểm M vng góc với mặt phẳng ( P ) cho trước Phương pháp giải:  Véctơ pháp tuyến mặt phẳng ( P ) n  Phương trình đường thẳng cần tìm qua điểm M có véctơ phương phương VD 17 với véctơ n Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, gọi  đường thẳng qua điểm M  2;0; 3 vng góc với mặt phẳng   : x  y  z   Phương trình tắc  là: x y z 3   3 x2 y z 3   C 3 x y z 3   3 x2 y z 3   D Hướng dẫn giải   : x  y  5z   có VTPT n   2; 3;5 A B Do   ( ) nên  nhận n làm VTCP Ngoài ra, M  2;0; 3   nên phương trình tắc  : x2 y z 3   3 Chọn đáp án C VD 18 Phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm M (1; 2;3) vuông góc với mặt phẳng  P  có phương trình x  y  z   x  1 t  A  y   4t  z   5t  x  1 t x  1 t   B  y   4t C  y  2  4t  z  3  5t  z   5t   Hướng dẫn giải x  1 t  D  y   4t  z   5t  Ta có véctơ n  1; 4; 5  véctơ pháp tuyến mặt phẳng (P) Vì   ( P) nên véctơ n  1; 4; 5  véctơ phương đường thẳng  Chọn đáp án A SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA VD 19 Trang | 91 Phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm M (1; 2;3) vng góc với mặt phẳng  P  có phương trình x  5z   x  1 t  A  y   z   5t  x  1 t  B  y   z   5t  x  1 t  C  y  2  z  3  5t  x  1 t  D  y   z   5t  Hướng dẫn giải Ta có véctơ n  1;0; 5  véctơ pháp tuyến mặt phẳng  P  Vì   ( P) nên véctơ u   1;0;5  véctơ phương đường thẳng  Chọn đáp án A VD 20 Phương trình tham số đường thẳng  qua hai điểm M (1; 2;3) vng góc với mặt phẳng  Oxy  x  1 t  A  y  z   x   B  y   t z   x   C  y  z   t  x  1 t  D  y   4t  z   5t  Hướng dẫn giải Ta có véctơ k   0;0;1 véctơ pháp tuyến mặt phẳng Oxy Vì   (Oxy ) nên véctơ n   0;0; 1 véctơ phương đường thẳng  Chọn đáp án C Dạng Phương trình giao tuyến hai mặt phẳng VD 21 Phương pháp giải: Cách 1:  Đặt ẩn t giải hệ phương trình theo t Cách 2:  Véctơ phương đường thẳng tích có hướng véctơ pháp tuyến mặt phẳng  Chọn điểm thuộc mặt phẳng điểm thuộc đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng có phương trình ( ) : x  y  z   ( ') : x  y  z    x  5  5t  A  y   3t z  t   x  5  5t  B  y   3t z  t   x  5  5t  C  y   3t z  t  Hướng dẫn giải x  y  z 1  Ta có phương trình tổng qt đường thẳng    x  y  2z   Đặt z  t tìm x, y theo t Chọn đáp án A SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM x  1 t  D  y   4t  z   5t  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 207 Bài a)  vng góc với mặt phẳng  P  nên nhận nP 1; 2;  làm VTCP x  1 t  Phương trình tham số đường thẳng  :  y   2t  z  1  2t  Gọi M giao điểm   P   x  y  2z   x  1 t  Tọa độ điểm M thỏa hệ :   y   2t  z  1  2t Thay vào :  t    2t    1  2t     9t   t   M  2;0;1 b) Mặt phẳng   có dạng x  y  z  m   m   Ta có : d   P  ,     d  M ,     d  M ,      4m 2   m   m  2, m  10 Vậy phương trình mặt phẳng 1  : x  y  z   0,   : x  y  z  10  AM 3   c) Mặt cầu ( S ) có đường kính AM  I  ;1;0  , bán kính R  2 2  3  Phương trình mặt cầu :  S  :  x     y  1  z  2  Bài a) Mặt cầu  S  có tâm I  2,1; 3 ; R     12   P vng góc với d nên nhận ud   2; 1;1 làm VTPT  Phương trình mặt phẳng  P  có dạng : x  y  z  m  Do  P  tiếp xúc với  S  nên : d  I ,  P    R  m 8   m  4; m  20 Vậy phương trình mặt phẳng  P1  : x  y  z   0,  P2  : x  y  z  20  b) Gọi I  tâm mặt cầu  S    I  đối xứng với I qua đường thẳng d Gọi R  bán kính mặt cầu  S   R  R  Gọi H hình chiếu vng góc I lên đường thẳng d ' Mặt phẳng   qua I vng góc với đường  x     y  1   z  3   x  y  z   2 x  y  z    x  2t   6t    t   Ta có : H  d     H thỏa hệ :   y  1 t  z   t SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM thẳng d : TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 208 1   H  3, ,  2  Mà H trung điểm II   I '  4;4;4  Phương trình mặt cầu  S  :  x  4   y  4   z    24 2 Hướng dẫn giải đề số 1   Bài Ta có : R  d  I ;  P    R   1  14 a) Phương trình mặt cầu  S  :  x  1   y  1   z    2 32 Gọi nQ VTPT mặt phẳng  Q  Ta có: AB   2; 2;3 , nP  1; 2;3  nQ   AB; nP   12; 3; 6    4; 1; 2   Phương trình mặt phẳng  Q  : x  y  z   b) Gọi u VTCP đường thẳng   x   4t  Ta có : u   AB; nP   12; 3; 6    4; 1; 2   Phương trình đường thẳng  :  y  1  t  z  2t  1  c) Gọi K trung điểm AB  K  2;0;   2  Ta có : MA  MB  MK  MK   x  2t  Để MA  MB nhỏ  MK nhỏ  MK   P   Đường thẳng MK :  y  2t   z    3t   x  y  3z   x   t  9  65 13  M  MK   P   M thỏa hệ :  y  2t  14t   t   M  ; ;  28  28 14 28    z    3t  x y z Bài Mặt phẳng  ABC  có dạng :     bcx  acy  abz  abc  a b c Ta có:  d  O,  ABC     abc b c  a c  a 2b 2 a 2b  a c  b c 1 a  b  c  1    2 2     3 a 2b c c b a d  O;  ABC   a b c  d  O;  ABC     a  b  c    ABC  : x  y  z   SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 209 PHẦN 5: GIẢI HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Để giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ chọn độ dài cạnh hình Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Oxyz thích hợp (chú ý đến vị trí gốc O ) Bước 2: Xác định toạ độ điểm có liên quan (có thể xác định toạ độ tất điểm số điểm cần thiết) Khi xác định tọa độ điểm ta dựa vào: – Ý nghĩa hình học tọa độ điểm (khi điểm nằm trục tọa độ, mặt phẳng tọa độ) – Dựa vào quan hệ hình học nhau, vng góc, song song ,cùng phương , thẳng hàng, điểm chia đọan thẳng để tìm tọa độ – Xem điểm cần tìm giao điểm đường thẳng, mặt phẳng – Dựa vào quan hệ góc đường thẳng, mặt phẳng Bước 3: Sử dụng kiến thức toạ độ để giải toán Các dạng toán thường gặp:  Độ dài đọan thẳng  Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Khoảng cách hai đường thẳng  Góc hai đường thẳng  Góc đường thẳng mặt phẳng  Góc hai mặt phẳng  Thể tích khối đa diện  Diện tích thiết diện  Chứng minh quan hệ song song , vng góc  Bài tốn cực trị, quỹ tích B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TỐN Hình chóp tam giác Dạng Dạng tam diện vng Ví dụ Cho hình chóp O.ABC có OA  a , OB  b , OC  c vng góc đơi Gọi M điểm cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mp  OBC  , mp  OCA , mp  OAB  , , Giá trị a, b, c để thể tích khối chóp O.ABC nhỏ A a  3; b  6; c  B a  1; b  1; c  C a  b  c D a  1; b  2; c  Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: O  0;0;0  , A  a; 0;  , B  0; b;  , C  0; 0; c  SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang | 210 d  M ,  OAB    zM  Tương tự  M 1; 2; 3 x y z PT mp  ABC  :    Vì M  ( ABC ) a b c     (1) a b c VO ABC  abc (2) 1 3 (1)      3  abc  27 a b c a b c (2)  Vmin  27     a b c Vậy a  3; b  6; c  Dạng Dạng tứ diện có cạnh vng góc mặt góc nhọn tam giác vng Ví dụ Tứ diện S ABC có cạnh SA vng góc với đáy ABC vuông C Độ dài cạnh SA  , AC  , BC  Gọi M trung điểm cạnh AB , H điểm đối xứng C qua M Tính góc  góc phẳng nhị diện  H , SB, C  (tính đến độ, phút, giây) A   82o3557 B   97 o 242 C   63o30 D   15o1413 Hướng dẫn giải z S(0;0;4) I K A M x H(1;0;0) y C(0;3;0) B(1;3;0) Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz hình vẽ: O  A  0;0;0 ; B 1;3;  ; C  0;3;  ; S  0; 0;  H 1;0;0  Dựng mp  P  qua H vng góc SB I cắt đường thẳng SC K , dễ thấy  H , SB, C  =  IH , IK  (1) * Tìm toạ độ véc tơ  SB  1;3;   SC   0;3;   , SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang | 211 x  1 t x    * Phương trình tham số đường thẳng SB :  y   3t , SC :  y   3t , phương trình mp  z  4t  z  4t    P  : x  y  4z 1   51 18   17 51 18  * Tìm toạ độ giao điểm I  SB   P  K  SC   P   I  ; ;  , K  0; ;  Toạ độ véctơ  26 13   26 26 13  51 18    17  IH   ;  ;   , IK    ;0;0  26 26 13 26     153  IH IK 676  0.1427  cos   cos  H , SB, C   cos  IH , IK   = 442 17 IH IK 26 26    98o1213 Dạng Dạng hình chóp tam giác S ABC : Giả sử cạnh tam giác a đường cao h Gọi O tâm tam giác ABC Trong mp  ABC  , ta vẽ tia Oy vng góc với OA Đặt SO  h , chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta được: a   a   a a  O  0;0;0  , A  ;0;0  , S  0;0; h  Suy toạ độ  I   ;0;0  , B   ; ;0  , 6        a a  C   ;  ;0    z S I C O a x a a B y A Hình chóp tứ giác Dạng Hình chóp S.ABCD có cạnh SA   ABCD đáy ABCD hình vng (hoặc hình chữ nhật): Ta chọn hệ trục toạ độ dạng tam diện vuông SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 212 z S(0;0;h) y D(0;a;0) A(0;0;0) B(a;0;0) C(a;a;0) x Dạng Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng (hoặc hình thoi) tâm O có đường cao SO   ABCD  : Ta chọn hệ trục toạ độ: Tia OA , OB , OS Ox , Oy , Oz Giả sử số đo SO  h , OA  a , OB  b ta có toạ độ O  0;0;0  , A  a;0;0  , B  0; b;  , S  0; 0; h   C   a; 0;  , D  0;  b;0 z S(0;0;h) y C(-a;0;0) B(0;b;0) O D(0;-b;0) A(a;0;0) x Dạng Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh AB  b , tam giác SAD cạnh a mp  SAD    ABCD  : Ta gọi H trung điểm AD ,  ABCD  ta vẽ a  a  tia Hy  AD Ta chọn hệ trục toạ độ Hxyz : H  0;0;0 , A  ;0;0  , B  ; b;0  , 2  2   a   a  C   ; b;0  , D   ;0;0  ,      a 3 S  0;0;    SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 213 z  a 3 S  0; 0;     a  D   ;0;0    H (0;0;0) a  A  ;0;0  2  x a  B  ; b;0  2   a  C   ; b;0    y Hình lăng trụ đứng Dạng Hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a : Chọn hệ trục toạ độ cho: A(0;0;0) , B ( a; 0; 0) , C (a; a;0) , D(0;a;0) ; A(0;0; a ) , B(a;0; a ) , C (a; a; a ) , D(0;a;a) z A'(0;0;a) D' C' B' y A(0;0;0) C B(a;0;0) x D(0;a;0) Dạng Hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD cạnh AB  a , AD  b , AA  c : Chọn hệ trục toạ độ cho: A(0;0;0) , B (a; 0; 0) , C ( a; b; 0) , D(0;b;0) ; A(0;0; c) , B(a;0; c) , C (a; b; c) , D(0;b;c) z A'(0;0;c) D' c C' B' y b A(0;0;0) D(0;b;0) a x B(a;0;0) C SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 214 Dạng Hình hộp đứng đáy hình thoi ABCD.ABCD : Chọn hệ trục toạ độ cho: gốc trùng với giao điểm O hai đường chéo AC , BD ; hai trục Ox, Oy chứa hai đường chéo hình thoi, trục Oz qua tâm hai đáy z A' D' O' B' y C' A D O B C x B BÀI TẬP CÓ GIẢI Câu Cho tứ diện ABCD có cạnh AB, AC , AD vng góc đơi một, có độ dài AB  , AC  AD  Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng  BCD  A d  34 17 B d  12 C d  D d  34 17 Hướng dẫn giải z B C O A y D x Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau: O  A  0;0;0 ; D  4; 0;  ; C  0; 4;  ; B  0; 0;3 * Tìm phương trình mặt phẳng  BCD  : x y z     3x  y  z  12  4 SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TỐN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang | 215 * Tính khoảng cách d = d  A,  BCD  = 12 3 4 2  34 17 Câu Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng  ABC  AD  a , có tam giác ABC vng A AC  b , AB  c Tính diện tích S tam giác BCD theo a, b, c abc C S   ab  bc  ca  2 a b  b 2c  c a D S   a 2b  b 2c  c a  A S  B S  Hướng dẫn giải z D A y C x B Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau: O  A  0;0;0 ; B  c; 0;  ; C  0; b;  ; D  0; 0; a  * Tìm toạ độ véc tơ  Cạnh tam giác BCD : BC   c; b;0  , BD   c;0; a   Véctơ tích có hướng  BC; BD    ab; ac; bc  * Sử dụng cơng thức tính diện tích tam giác 1 2 a b  b 2c  c a  S BCD   BC , BD  = 2 Câu Cho tứ diện O.ABC có tam giác OAB , OBC , OCA tam giác vuông đỉnh O Gọi  ,  ,  góc hợp mặt phẳng  OBC  ,  OCA ,  OAB  với mặt phẳng  ABC  Tìm hệ thức lượng giác liên hệ  ,  ,  A sin   sin   sin   B       60o C cos2   cos   cos   D cos 2  cos   cos 2  Hướng dẫn giải SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 216 z C A' B' H y O B C' A x Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau: O (0; 0; 0) ; A(a; 0; 0) ; B(0; b;0) ; C (0;0; c ) AB   a; b;  , AC   a; 0; c  * Tìm vectơ pháp tuyến  Mặt phẳng  ABC  : n   AB, AC    bc; ca; ab   Mặt phẳng  OBC  : i  1; 0;  (vì: Ox  (OBC ) )  Mặt phẳng  OCA : j   0; 1;  (vì: Oy  (OCA) )  Mặt phẳng  OAB  : k   0; 0; 1 (vì: Oz  (OAB ) ) * Sử dụng cơng thức tính góc hai mặt phẳng bc  cos   cos  OBC  ,  ABC   cos   2 b c  c a  a 2b ac  cos   cos  OCA ,  ABC   cos   2 b c  c a  a 2b ab   cos   b c  c a  a 2b * Biến đổi kết luận cos   cos  OAB  ,  ABC  b2c b c  c a  a 2b c2a2  cos   2 2 b c  c a  a 2b a 2b  cos   2 2 b c  c a  a 2b Vậy cos   cos   cos  1  cos   Câu Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân với AB  AC  a , có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  SA  A   120o a Tính góc  hai mặt phẳng  SAC   SBC  B   30o C   45o Hướng dẫn giải SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM D   60o TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 217 z S y A C B x Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau: O  A  0;0;0 ; B  a; 0;  ; C  0; a;  ;  a 2 S  0;0;    * Tìm vectơ pháp tuyến  Mặt phẳng  SAC  : i  1; 0;  (vì Ox  ( SAC ) )   a 2 a 2  Mặt phẳng  SBC  : có cặp véc tơ phương SB   a;0;   , SC   0; a;   véc      a2 a2 2  tơ pháp tuyến  SB, SC    ; ; a  n  1;1;  2   * Tính góc hai mặt phẳng  SAC   SBC  cos   i n i.n     60o Câu Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân với AB  AC  a , có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  SA  a Tính khoảng cách d hai đường thẳng AI SC , với I trung điểm cạnh BC A d  a C d  B d  a Hướng dẫn giải SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM a D d  a TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 218 z S y A C I B x Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vng góc Oxyz sau: O  A  0;0;0 ; B  a; 0;  ; C  0; a;  ;  a 2 S  0;0;    AB   a; b;  , AC   0; a;0 * Tìm vectơ pháp tuyến  Mặt phẳng  SAC  : i  1; 0;  (vì Ox  ( SAC ) )   a 2 a 2  Mặt phẳng  SBC  : có cặp véc tơ phương SB   a;0;   ; SC   0; a;   véc      a2 a2 2  tơ pháp tuyến  SB, SC    ; ; a  n  1;1;  2   * Tính khoảng cách d hai đường thẳng AI SC  a 2 a a  a a   Vì I trung điểm BC  I  ; ;0  nên ta có: AI   ; ;0  , SC   0; a;  ,   2  2   a2 a2 a2   a3 a 2    AI , SC     ; ;  , AS   0;0; , mà    AI , SC  AS   4    a4 a4 a4 a2    8  Vậy khoảng cách hai đường thẳng AI SC  AI , SC  AS a3 2 a f  AI , SC     a  AI , SC   AI , SC   Câu Cho hình chóp O.ABC có OA  a , OB  b , OC  c vng góc đôi Gọi M điểm cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mp  OBC  , mp  OCA , mp  OAB  1, 2, Giá trị a, b, c để thể tích khối chóp O.ABC nhỏ A a  1; b  1; c  B a  3; b  6; c  C a  b  c Hướng dẫn giải SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM D a  1; b  2; c  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 219 Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: O  0;0;0  , A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c  d  M ,  OAB    zM  Tương tự  M 1; 2;3  PT mp  ABC  : x y z    M  ( ABC )     (1) a b c a b c abc (2) 1 3 (1)      3  abc  27 a b c a b c (2)  Vmin  27     a b c Vậy a  3; b  6; c  VO ABC  Câu Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M , N là trung điểm SB, SC Cho biết  AMN  vng góc với SBC ; Tính theo a diện tích AMN A S AMN  a2 B S AMN  a 10 a2 C S AMN  16 Hướng dẫn giải D S AMN  a 10 z S M N I C O a x a a B y A Gọi O hình chiếu S  ABC  , ta suy O trọng tâm ABC Gọi I trung điểm a a a BC  BC , ta có: AI   OA  , OI  2 SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 220 Trong mp  ABC  , ta vẽ tia Oy vng góc với OA Đặt SO  h , chọn hệ trục tọa độ hình a  vẽ ta được: O  0; 0;  , A  ;0;0  , S  0; 0; h      a   a a   a a   a a h Suy toa độ  I   , B , C  , M ;0;0 ; ;0 ;  ;0           12 ; ;  6          a a h N   ;  ;  12 2   ah 5a  * Véctơ pháp tuyến mp  AMN  : n  AMN    AM , AN  =  ;0;  , mp  SBC  :  24    a 3 n  SBC    SB, SC  =  ah;0;  Từ giả thiết ( AMN )  ( SBC )  n  AMN  n  SBC      5a  h  12 a 10 * Diện tích tam giác AMN : S AMN   AM , AN   16 Câu Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1B1C1 có đáy tam giác cạnh a , có AA1  2a vng góc với mặt phẳng  ABC  Gọi D trung điểm BB1 ; Lấy điểm M di động cạnh AA1 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ diện tích tam giác MC1D A S MC1D 3a  B S MC1D a 42 5a C S MC1D   4 Hướng dẫn giải D S MC1D a 15  z B1 A1 C1 D M A x B y C Chọn hệ trục tọa độ Oxyz cho O  A  0;0;0 ; B  Oy : B  0; a;  , A1  Oz : A1  0;0;2a  a a  ; ; 2a  D  0; a; a   C1   2  Do M di động AA1 có tọa độ M  0;0; t  với t 0; 2a Ta có: SDC1M   DC1 , DM  SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang | 221 a a  a  t  3a; 3(t  a); a  DC1   ;  ; a  , DM   0; a; t  a    DG, DM    2  a a (t  3a)  3(t  a)  3a  4t  12at  15a   DG, DM   2 a SDC1M  4t  12at  15a 2 3a Xét f  t   4t  12at  15a với t 0; 2a Ta có f   t   8t  12a ; f   t    t    Giá trị lớn hàm số đạt t  M  A , GTLN diện tích a 15 S MC1D  SẢN PHẨM HỢP TÁC CÙNG TOÁN HỌC BẮC TRUNG NAM ... điểm biết véctơ phương Phương pháp giải: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương a   a1 ; a2 ; a3  với a 12  a 22  a 32  có phương trình... đáp án A Phương pháp tự luận:  d1  có VTCP u1   0 ;2; 1 ,  d2  có VTCP u1   3; ? ?2; 0 Gọi M 1;10  2t1; t1    d1  , N  3t2 ;3  2t2 ; ? ?2    d  Suy MN   3t2  1; 2t2  2t1 ... m B m C m D m 2 Hướng dẫn giải Véctơ phương : u1 (1; 2; 1) Véctơ phương : u2 (1; 2; m) Ta có: cos 60o cos u1 , u2 m m2 3 m Chọn đáp án A VD 65 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , số đo góc