chuyen de phuong phap toa do trong khong gian nguyen chin em

MỤC LỤC HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Hệ tọa độ không gian 1 Tọa độ điểm Tọa độ véc-tơ 1 Biểu thức toạ độ phép toán véc-tơ Biểu thức toạ độ tích vơ hướng số ứng dụng Tích có hướng hai véc-tơ ứng dụng 6.1 Tích có hướng 6.2 Ứng dụng Các bất đẳng thức vectơ Phương trình mặt cầu B CÁC DẠNG TỐN Tìm tọa độ vectơ điểm Chứng minh ba vectơ đồng phẳng khơng đồng phẳng Tích vơ hướng ứng dụng Chứng minh tính chất hình học Chứng minh bất đẳng thức 11 Mặt cầu 12 C BÀI TẬP RÈN LUYỆN 13 D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 17 Nhận biết 17 1.1 ĐÁP ÁN Thông hiểu 41 42 2.1 ĐÁP ÁN Vận dụng tháp 58 58 3.1 ĐÁP ÁN Vận dụng tháp 72 73 4.1 ĐÁP ÁN 80 PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG 82 A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 82 Véc-tơ pháp tuyến 82 Phương trình tổng quát mặt phẳng 82 2.1 Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vng góc 82 2.2 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng 83 2.3 Góc hai mặt phẳng 83 B CÁC DẠNG TOÁN 83 Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB cho trước 83 1.1 Bài tập áp dụng 84 Viết phương trình mặt phẳng qua điểm có cặp véc-tơ phương cho trước 84 2.1 Bài tập rèn luyện 85 Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 3.1 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M vng góc với đường thẳng d qua hai điểm A B 88 Bài tập rèn luyện 88 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A , B vng góc với mặt phẳng (Q) 90 4.1 Bài tập rèn luyện 90 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M chứa đường thẳng ∆ 92 5.1 Bài tập rèn luyện 92 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng song song ∆1 ∆2 93 6.1 Bài tập rèn luyện 93 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt ∆1 ∆2 94 7.1 Bài tập rèn luyện 95 8.1 9.1 10 11 Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆1 song song với đường thẳng ∆2 với ∆1 ∆2 chéo 95 Bài tập rèn luyện 96 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M , đồng thời vng góc với hai mặt phẳng (α) (β) 98 Bài tập rèn luyện 99 Viết phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M giao tuyến hai mặt phẳng (α), (β) 101 Viết phương trình mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) cho trước góc α 105 11.1 Bài tập rèn luyện 106 12 108 Viết phương trình mặt phẳng (P) liên quan đến khoảng cách 12.1 Bài tập rèn luyện 109 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 111 Nhận biết 111 1.1 ĐÁP ÁN Thông hiểu 130 131 2.1 ĐÁP ÁN Vận dụng tháp 169 171 3.1 ĐÁP ÁN Vận dụng tháp 191 192 4.1 ĐÁP ÁN 203 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 204 A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 204 Phương trình tham số đường thẳng 204 Điều kiện để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt chéo 204 Điều kiện để đường thẳng song song, cắt vng góc với mặt phẳng 204 Khoảng cách 205 4.1 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng 205 4.2 Khoảng cách hai đường thẳng chéo 205 B CÁC DẠNG TOÁN 205 Đường thẳng qua điểm véc-tơ phương cho trước 205 1.1 Bài tập rèn luyện 206 Viết phương trình đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng 209 2.1 Bài tập rèn luyện 209 Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ 3.1 4.1 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M , cắt vng góc với đường thẳng cho trước 212 Bài tập rèn luyện 213 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M , vng góc với (d1 ) cắt (d2 ) 214 5.1 Bài tập rèn luyện 214 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M cắt hai đường thẳng (d1 ) (d2 ) 215 6.1 Bài tập rèn luyện 216 Viết phương trình đường thẳng qua điểm M vng góc với hai đường thẳng cho trước 211 Bài tập áp rèn luyện 211 Viết phương trình đường thẳng (d) nằm mặt phẳng (P) cắt hai đường thẳng (d ), (d ) 218 7.1 Bài tập rèn luyện 219 Viết phương trình đường thẳng (d) song song với (∆) cắt hai đường thẳng (a) (b)221 8.1 Bài tập rèn luyện 9.1 Viết phương trình đường thẳng vng góc chung hai đường thẳng chéo (a) (b) 222 Bài tập rèn luyện 223 10 Viết phương trình đường thẳng (d) hình chiếu vng góc (a) lên mặt phẳng (P)225 221 10.1 Bài tập rèn luyện 225 11 226 Viết phương trình đường thẳng (d) đối xứng với (a) qua mặt phẳng (P) 11.1 Bài tập rèn luyện 227 12 228 Tìm hình chiếu vng góc điểm đường thẳng 12.1 Bài tập rèn luyện 229 13 232 Tìm hình chiếu vng góc điểm mặt phẳng 13.1 Bài tập rèn luyện 233 14 236 Vị trí tương đối hai mặt cầu 14.1 Bài tập rèn luyện 237 15 240 Xét vị trí tương đối hai mặt phẳng 15.1 Bài tập rèn luyện 241 16 245 Xét vị trí tương đối mặt phẳng mặt cầu 16.1 Bài tập rèn luyện 246 C DẠNG TOÁN TỔNG HỢP 253 D CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 286 Nhận biết 286 1.1 ĐÁP ÁN Thông hiểu 304 305 2.1 ĐÁP ÁN Vận dụng tháp 344 345 3.1 ĐÁP ÁN Vận dụng tháp 389 390 4.1 ĐÁP ÁN 410 MẶT CẦU 411 A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 411 Phương trình mặt cầu 411 Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra B CÁC DẠNG TỐN 411 Viết phương trình mặt cầu 411 1.1 Bài tập rèn luyện 414 Dạng toán tổng hợp 419 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 422 ĐÁP ÁN 426 D CÂU HỎI TỔNG HỢP 427 ĐÁP ÁN 438 Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ BÀI HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Hệ trục toạ độ Đề - vng góc khơng gian gồm ba trục x Ox, y O y, z Oz vng góc với #» #» #» đơi Gọi i ; j ; k véc-tơ đơn vị trục x Ox, y O y, z Oz Điểm O gọi gốc toạ độ Các mặt phẳng (Ox y), (O yz), (Oxz) gọi mặt phẳng toạ độ Không gian gắn với hệ toạ độ Ox yz gọi không gian Ox yz z x #» k y #» O #» j y i x z TỌA ĐỘ MỘT ĐIỂM Trong không gian Ox yz, cho điểm tuỳ ý z M Khi tồn số ( x; y; z) thoả mãn # » #» #» #» OM = x i + y j + z k M Ta nói điểm M có toạ độ ( x; y; z) viết M = ( x; y; z) M ( x; y; z) #» ! Nếu điểm A thuộc trục Ox toạ độ A có dạng A (a; 0; 0) Nếu điểm B thuộc trục O y toạ độ B có dạng B(0; b; 0) Nếu điểm C thuộc trục Oz toạ độ C có dạng C (0; 0; c) #» i #» k j O y x TỌA ĐỘ CỦA MỘT VÉC-TƠ Trong không gian Oxyz cho véc-tơ #» a Khi tồn số ( x; y; z) thoả #» #» #» #» mãn a = x i + y j + z k Ta nói véc-tơ #» a có toạ độ ( x; y; z) viết #» a = ( x ; y; z ) #» a ( x; y; z) BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TỐN VÉC-TƠ #» Trong khơng gian Ox yz, cho hai véc-tơ #» a = ( x; y; z), b = ( x ; y ; z ) số thực k Khi ta có: #» #» #» #» a + b = (x + x ; y + y ; z + z ) a − b = (x − x ; y − y ; z − z ) #» #» k a = ( kx; k y; kz) #» x=x a = b ⇔ y= y z=z #» #» Cho véc-tơ #» a = Khi véc-tơ b phương với véc-tơ #» a tồn Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ x = kx #» số thực k cho b = k #» a , điều tương đương với y = k y z = kz # » Nếu A ( x A ; yA ; z A ), B( xB ; yB ; zB ) AB = ( xB − x A ; yB − yA ; zB − z A ) # » # » Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng hai véc-tơ AB, AC phương, # » # » nghĩa tồn số thực k cho AB = k AC BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG #» Trong không gian Ox yz, cho hai véc-tơ #» a = ( x; y; z), b = ( x ; y ; z ) Ta có: #» #» Biểu thức toạ độ tích vơ hướng hai véc-tơ a , b #» #» a b = x.x + y.y + z.z #» Đặc biệt #» a ⊥ b ⇔ x.x + y.y + z.z = Độ dài véc-tơ: #» a = #» a #» a= #» #» #» Gọi ϕ góc hai véc-tơ #» a , b , với #» a b khác Khi x2 + y2 + z2 #» #» a.b = cos ϕ = #» #» | a | b x + y2 + z x 2+y2+z Khoảng cách hai điểm A ( x A ; yA ; z A ), B( xB ; yB ; zB ) là: # » AB = AB = xx + yy + zz ( xB − x A )2 + ( yB − yA )2 + ( zB − z A )2 Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k =  x A − k.xB    xM =   1−k  # » # »  yA − k.yB M A = k MB ⇔ yM =  1−k       z M = z A − k.zB 1−k Nếu M trung điểm AB toạ độ M xác định công thức: M Nếu G trọng tâm tam giác ABC toạ độ G xác định công thức: M 6.1 x A + xB yA + yB z A + zB ; ; 2 x A + xB + xC yA + yB + yC z A + zB + zC ; ; 3 TÍCH CĨ HƯỚNG CỦA HAI VÉC-TƠ VÀ ỨNG DỤNG TÍCH CĨ HƯỚNG Cho hai véc-tơ #» u = ( x1 ; y1 ; z1 ), #» v = ( x2 ; y2 ; z2 ) Khi tích có hướng hai véc-tơ #» u , #» v kí #» #» hiệu u , v xác định bởi: Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ #» u , #» v = yy12 zz12 ; zz12 xx12 ; xx12 yy12 Tính chất #» #» #» #» #» #» u, v ⊥ u, u, v ⊥ v #» u , #» v #» u , #» v = #» u #» v sin #» u , #» v #» #» u , #» v phương ⇔ #» u , #» v =0 #» v #» #» #» #» #» #» u , v , w đồng phẳng ⇔ u , v w = #» u ỨNG DỤNG 6.2 S ABCD = # » # » D A Diện tích tam giác ABC : # » # » AB, AC AB, AD · A A Thể tích khối tứ diện S.ABC : V = C B Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành ABCD cạnh bên A A : # » # » # » V= C AB, AD S ABC = · B Diện tích hình bình hành ABCD : # » # » A D # » AB, AC · S A CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VECTƠ #» Trong không gian Ox yz, cho #» a = (a ; a ; a ); b = ( b ; b ; b ) #» #» #» #» a+b ≤ a + b #» Dấu "=" xảy #» a b phương ⇔ (a + b )2 + (a + b )2 + (a + b )2 ≤ » a21 + a22 + a23 + » b21 + b22 + b23 #» #» #» a b ≤ #» a b #» Dấu "=" xảy #» a b phương ⇔ (a b + a b + a b ) ≤ a21 + a22 + a23 b21 + b22 + b23 PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ Trong khơng gian Ox yz, phương trình tắc mặt cầu (S ) có tâm I (a; b; c), bán kính R ( x − a)2 + ( y − b)2 + ( z − c)2 = R r M Phương trình tổng quát mặt cầu (S ) có dạng: x2 + y2 + z2 − 2ax − b y − cz + d = I với điều kiện a2 + b2 + c2 − d > Khi (S ) có tâm I (a; b; c) có bán kính R = a2 + b2 + c2 − d B CÁC DẠNG TỐN TÌM TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIỂM Phương pháp: Muốn tìm tọa độ vectơ #» x hệ trục Ox yz, ta tìm cách biến đổi đưa dạng: #» #» #» #» x = x1 i + x2 j + x3 k Bô ba số thực ( x1 ; x2 ; x3 ) tọa độ vectơ #» x # » Tọa độ điểm M tọa độ vectơ OM hệ trục Ox yz, nghĩa ta biểu # » thị vectơ OM dạng: # » #» #» #» OM = x i + y j + z k Trong trình biến đổi ta cần ý sử dụng tính chất phép toán nêu phần lý thuyết Ví dụ Trong khơng gian Ox yz cho ba điểm: A (1; 0; −2), B(2; 1; −1), C (1; −2 − 2) # » Tìm tọa độ BC tình độ dài đoạn thẳng BC Tìm trọng tâm G tam giác ABC ✍Lời giải # » BC = (1 − 2; −2 − 1; −2 + 1) = (−1; −3; −1) # » 2 |BC | = (−1) + (−3) + (−1) = 11 # » # » # » #» Gọi G trọng tâm tam giác ABC : ⇔ G A + GB + GC = x A + xB + xC + + = = 3 yA + yB + yC + − yG = = =− 3 z A + zB + zC −2 − − zG = = =− 3 xG = Vậy G ;− ;− 3 #» Ví dụ Cho ba vectơ #» a = (2; −5; 3), b = (0; 2; −1), #» c = (1; 7; 2) 1 #» #» Tìm tọa độ vectơ d = #» a − b + #» c #» Tìm tọa độ vectơ #» e = #» a − b − #» c ✍Lời giải Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ #» a = (8; −20; 12); − #» 1 #» b = 0; − ; ; #» c = (3; 21; 6) ⇒ d = 11; ; 18 3 3 #» #» a = (2; −5; 3); −4 b = (0; −8; 4); −2 #» c = (−2; −4; 4) ⇒ #» e = (0; −27; 3) Ví dụ Tìm tọa độ #» x , biết rẳng: #» #» #» #» a + x = với a = (1; −2; 1) #» #» #» #» b + x = b với b = (0; −2; 1) #» #» #» #» #» m + x = n với m = (5; 4; −1), n = (2; −5; 3) ✍Lời giải #» #» #» x = − a , x = (−1; 2; −1) #» #» #» x = b , x = (0; −6; 3) #» #» #» n − m Ta có #» #» = (−3; −9; 4) Vậy #» #») = − ; − ; n −m x = ( #» n −m x = 2 2 CHỨNG MINH BA VECTƠ ĐỒNG PHẲNG HOẶC KHÔNG ĐỒNG PHẲNG Phương pháp: #» #» Muốn chứng minh ba vectơ #» a , b , #» c đồng phẳng ta chứng minh có hệ thức: #» a =mb + #» n #» c b #» c khơng phương #» #» #» Muốn chứng minh ba vectơ a , b , c đồng phẳng ta dùng phương pháp phản chứng, #» #» giả sử chúng đồng phẳng nghĩa có hệ thức #» a = m b + n #» c b #» c khơng phương Sau chứng tỏ khơng tồn đẳng thức (tồn vô lý) #» Ví dụ Trong khơng gian Ox yz cho ba vectơ: #» a = (2; 3; 1), b = (5; 7; 0), #» c = (3; −2; 4) #» #» #» Hãy chứng tỏ ba vectơ a , b , c không đồng phẳng #» #» Cho vectơ d = (4; 12; −3) Hãy phân tích vectơ d theo ba vectơ khơng đồng phẳng #» #» a , b , #» c cho ✍Lời giải #» Ta dùng phương pháp phản chứng Theo giả thiết b #» c không đồng phẳng = = −2 #» #» Giả sử #» a , b , #» c đồng phẳng, nghĩa #» a = m b + n #» c #» #» #» Thay tọa độ vectơ a , b , c vào ta hệ phương trình với ẩn m, n: = m + n (1) = m − n (2) = 4n (3)    n = Thay giá trị m, n vào (1) ta có: = + Vậy hệ phương Từ (2) (3) ⇒  m = −  #» #» trình vơ nghiệm, nghĩa khơng tồn hệ thức #» a = m b + n #» c Do đó, ba vectơ: #» a , b , #» c khơng đồng phẳng Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra Chương - Học học 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ #» #» Ta tìm số p, q, r cho d = p #» a + q b + r #» c Ta có: = p + q + 3r p=1 #» #» 12 = p + q + r ⇔ q = ⇒ d = #» a + b − #» c − = p + + 4r r = −1 #» Ví dụ Trong không gian Ox yz cho ba vectơ: #» a = (1; 2; 3), b = (4; 5; 6), #» c = (2; 1; 0) Chứng #» #» #» tỏ ba vectơ a , b , c đồng phẳng ✍Lời giải #» Ta nhận thấy hai vectơ #» a b khơng phương = = #» #» #» #» Để chứng minh a , b , c đồng phẳng ta cần tìm hai số m, n cho #» c = m #» a +nb = m + 4n Theo giả thiết ta có: = m + 5n ⇔ m = −2 n=1 = 3m + 6n #» #» Do #» c = #» a + b , nghĩa ba vectơ #» a , b , #» c đồng phẳng Ví dụ Trong không gian Ox yz cho bốn điểm A (1; 1; 02), B(4; 0; −1), C (−1; 7; 0), D (0; −2; −4) Chứng tỏ bốn điểm A, B, C, D nằm mặt phẳn ✍Lời giải 1 # » # » # » # » Ta có AB = (3; −1; 1), AC = (−2; 6) ⇒ AB AC khơng phương = − = # » Ta có AD = (−1; −3; −2) Muốn chứng minh A, B, C, D nằm phẳng, ta chứng minh # » # » # » # » # » # » ba vectơ AB, AC, AD đồng  phẳng nghĩa tồn hai số m, n cho AD = m AB + n AC −5   n = − = 3m − 2n 6# » 5# » # » # » # » # » Do AD Ta có − = −m + 6n ⇒ = − AB − AC ⇒ vectơ AD, AB, AC đồng phẳng  8  − = m + 2n m = − Ta suy điểm A, B, C, D nằm mặt phẳng TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ CÁC ỨNG DỤNG Phương pháp: #» #» u , #» v phương ⇔ #» u , #» v =0 #» #» đồng phẳng ⇔ #» #» = u , #» v,w u , #» v w Diện tích hình bình hành ABCD : S ABCD = Diện tích tam giác ABC : S ABC = · # » # » AB, AD # » # » AB, AC Thể tích khối hộp có đáy hình bình hành ABCD cạnh bên A A : V= # » # » # » AB, AD · A A Ví dụ Trong khơng gian Ox yz cho A (1; 2; −1), B(2; −1; 3), C (−4; 7; 5) Th.s Nguyễn Chín Em https://emncischool.wixsite.com/geogebra