Tài liệu Hướng dẫn tự học Hình học 12 hướng dẫn học sinh tự học và giảng dạy của giáo viên - Võ Thanh Hùng - GV THPT Trần Quốc Toản - Đồng Tháp, nhằm giúp các em có thêm kiến thức và bài tập để học tập môn học Hình học 12 ở phổ thông hiệu quả hơn.
Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƠNG DỤNG Kí hiệu Tên gọi - Tài liệu lưu hành nội - Diễn giải Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN - oOo - CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: I- MỘT SỐ CƠNG THỨC HÌNH HỌC PHẲNG THƯỜNG SỬ DỤNG: Trọng tâm G tam giác giao điểm ba đường trung Trực tâm H tam giác ABC giao điểm ba Tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác giao điểm đường cao ba đường trung trực tuyến, AG = AM Tam giác vng ABC vng A: • Hệ thức lượng: AC AB cos = BC BC AC AB tan = cot = AB AC • Định lí Pitago: BC2 = AB2 + AC2 • Diện tích: S = AB.AC 2 Các công thức đặc biệt: sin = • Nghịch đảo đường cao bình phương: • Độ dài đường trung tuyến AM = • Cơng thức khác: AB.AC = AH.BC Tâm I đường tròn nội tiếp tam giác giao điểm ba đường phân giác 1 = + 2 AH AB AC BC BA2 = BH.BC CA2 = CH.CB 3 • Chiều cao tam giác đều: h = cnh ì ã di ng chộo hình vng: l = cạnh × Hệ thức lượng tam giác: • Định lí Cơsin: a2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 = a2 + c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC a b c = = = 2R • Định lí sin: sin A sin B sin C Các công thức tính diện tích tam giác ABC: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh tương ứng a, b, c; chiều cao tương ứng với góc A, B, C h a, hb, hc; r, R bán kính đường trịn nội tiếp, ngoại tiếp ∆ABC; Gọi S diện tích ∆ABC: 1 1 1 • S = aha = bhb = chc • S = bc sin A = ac sin B = ab sin C 2 2 2 abc a+b+c •S= • S = pr • S = p ( p − a)( p − b)( p − c) (với p = ) 4R Diện tích hình đặc biệt khác: • Hình vng: S = cnh ì cnh ã Hỡnh thoi: S = (chộp di ì chộo ngn) ã Hỡnh ch nht: S = di ì rng ã Hỡnh thang: S = (ỏy ln + ỏy bộ) ì chiu cao ã Hình trịn: S = πR2 • Hình bình hành: S = đáy × chiều cao Hai tam giác đồng dạng định lí Talet: • Diện tích tam giác đều: S = (cạnh)2 × - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 • ∆ABC ∽∆MNP chúng có hai góc tương ứng AB MN = • Nếu ∆ABC ∽∆MNP AC MP AM AN MN = = AB AC BC II- MỘT SỐ HÌNH HÌNH HỌC KHƠNG GIAN THƯỜNG SỬ DỤNG: Hình chóp tứ giác Hình chóp có mp(SAB) ⊥ (ABC) Hình chóp tam giác Hình chóp S.ABC có cạnh bên vng góc mặt đáy Hình chóp S.ABC có ba cạnh bên tạo với đáy góc Lăng trụ thường Lăng trụ đứng Hình hộp thường Hình hộp chữ nhật * Chú ý: Hình lập phương hình hộp có mặt hình vng * Chú ý: Lăng trụ hình lăng trụ đứng có đáy đa giác III- MỘT SỐ KIẾN THỨC THƯỜNG SỬ DỤNG: Một số phương pháp chứng minh hình học không gian: • Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 Phương pháp: Trình bày giải: Để chứng minh đường thẳng ∆ vuông góc mp(P) ta chứng minh ∆ vuông góc với hai đường ∆ ⊥ a ⊂ (P ) Ta có: thẳng a, b cắt nằm mp(P) ∆ ⊥ b ⊂ (P ) ⇒ ∆ ⊥ (P) • Chứng minh hai đường thẳng vng góc: Phương pháp: Trình bày giải: Để chứng minh đường thẳng ∆ vng góc với đường thẳng d ta Ta có: ∆ (P) ⊃ d chứng minh ∆ vng góc với mp(P) chứa d ⇒∆ d • Chứng minh hai mặt phẳng vng góc: Phương pháp: Trình bày giải: Để chứng minh mp(Q) mp(P) ta chứng minh mp(Q) chứa đường thẳng ∆ vng góc mp(P) ∆ ⊥ ( P) Ta có: ∆ ⊂ (Q) ⇒ (Q) (P) Hai định lí quan hệ vng góc: • Định lí 1: Nếu mp(P) mp(Q) vng góc • Định lí 2: Cho mp(P) vng góc mp(Q) Một với mp() giao tuyến (nếu có) chúng vng đường thẳng d nằm mp(P) vng góc với góc mp() giao tuyến ∆ (P) (Q) d vng góc mp(Q) Góc: Góc đường thẳng mặt phẳng: Góc hai mặt phẳng: Góc đường thẳng ∆ mp() góc Góc hai mặt phẳng () (β) góc hai ∆ hình chiếu ∆' mp() đường thẳng nằm hai mặt phẳng (), - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 (β) vng góc với giao tuyến Trình bày giải: • Ta có ∆' hình chiếu ∆ mp() • Suy ra: (∆,()) = (∆,∆') = ϕ Trình bày giải: ( P ) ∩ (Q) = ∆ • Ta có ( P ) ⊃ d ⊥ ∆ (Q) ⊃ d ' ⊥ ∆ • Suy ra: ((P),(Q)) = (d,d') = ϕ Khoảng cách: Khoảng cách đường thẳng mặt Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: phẳng song song: Khoảng cách hai đường thẳng ∆ ∆' chéo Khoảng cách đường thẳng ∆ độ dài đoạn vng góc chung ∆ ∆' với mp() song song với khoảng cách khoảng cách ∆ mp() chứa ∆' song song với ∆ từ điểm M ∆ đến mp() Trình bày giải: Trình bày giải: d(∆,()) = d(M,()) = MH d(∆,∆') = d(∆,()) = d(A,()) = AH Định lí ba đường vng góc, cơng thức diện tích hình chiếu: Gọi d' hình chiếu d () Ta có: ∆ ⊥ d' ∆ d Ghi chú: S' = Scos - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 §1 KHÁI NIỆM VỀ KHỐI ĐA DIỆN I - KHỐI LĂNG TRỤ VÀ KHỐI CHĨP: • Khối lăng trụ (chóp) phần khơng gian giới hạn hình lăng trụ (chóp) kể hình lăng trụ (chóp) Khối chóp cụt phần khơng gian giới hạn hình chóp cụt kể hình chóp cụt • Điểm khơng thuộc khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) gọi điểm ngồi khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) Điểm thuộc khối lăng trụ khơng thuộc hình lăng trụ ứng với khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt) gọi điểm khối lăng trụ (khối chóp, khối chóp cụt)ï hai điểm M, N khơng phải điểm khối chóp hình phần vỏ bọc bên ngồi Khối gồm phần vỏ bên phần ruột đặc bên II- KHÁI NIỆM VỀ HÌNH ĐA DIỆN VÀ KHỐI ĐA DIỆN: Khái niệm hình đa diện: • Hình đa diện (gọi tắt đa diện) hình tạo số hữu hạn đa giác thỏa mãn hai tính chất: a) Hai đa giác phân biệt khơng có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung b) Mỗi cạnh đa giác cạnh chung hai đa giác • Mỗi đa giác gọi mặt hình đa diện Các đỉnh, cạnh đa giác theo thứ tự gọi đỉnh, cạnh hình đa diện Đỉnh Cạnh Mặt Khái niệm khối đa diện: • Khối đa diện phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện • Những điểm không thuộc khối đa diện gọi điểm khối đa diện Những điểm thuộc khối đa diện khơng thuộc hình đa diện gọi điểm khối đa diện Tập hợp điểm gọi miền trong, tập hợp điểm gọi miền khối đa diện • Mỗi hình đa diện chia điểm cịn lại khơng gian thành hai miền khơng giao miền miền ngồi hình đa diện, có miền ngồi chứa hoàn toàn đường thẳng - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 III- HAI ĐA DIỆN BẰNG NHAU: Phép dời hình không gian: Trong không gian, quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M' xác định gọi phép biến hình khơng gian Phép biến hình khơng gian gọi phép dời hình bảo tồn khoảng cách hai điểm tùy ý * Một số phép dời hình không gian: a) Phép tịnh tiến theo vectơ v : Là phép biến hình biến điểm M thành M' cho MM ' = v b) Phép đối xứng qua mặt phẳng (P): Là phép biến hình biến điểm thuộc (P) thành nó, biến điểm M không thuộc (P) thành điểm M' cho (P) mặt phẳng trung trực MM' Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P) biến hình (H) thành (P) gọi mặt phẳng đối xứng (H) c) Phép đối xứng qua tâm O: Là phép biến hình biến điểm O thành nó, biến điểm M khác O thành điểm M' cho O trung điểm MM' Nếu phép đối xứng tâm O biến hình (H) thành O gọi tâm đối xứng (H) d) Phép đối xứng qua đường thẳng ∆ (phép đối xứng trục ∆): Là phép biến hình biến điểm thuộc đường thẳng ∆ thành nó, biến điểm M không thuộc ∆ thành điểm M' cho ∆ đường trung trực MM' Nếu phép đối xứng trục ∆ biến hình (H) thành ∆ gọi trục đối xứng (H) * Nhận xét: • Thực liên tiếp phép dời hình phép dời hình - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 • Phép dời hình biến đa diện (H) thành đa diện (H'), biến đỉnh, cạnh, mặt (H) thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng (H') Hai hình nhau: Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình Ví dụ: Thực liên tiếp hai phép dời hình: phép tịnh tiến theo vectơ v phép đối xứng tâm O hình (H) biến thành hình (H'') Ta có: hình (H) hình (H'') IV- PHÂN CHIA VÀ LẮP GHÉP CÁC KHỐI ĐA DIỆN: Nếu khối đa diện (H) hợp hai khối đa diện (H1), (H2) cho (H1) (H2) khơng có chung điểm ta nói chia khối đa diện (H) thành hai khối đa diện (H1) (H2), hay lắp ghép hai khối đa diện (H1) (H2) với để khối đa diện (H) Ví dụ: Ta chia khối hộp chữ nhật thành hai khối lăng trục đứng Ghi chú: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Phân chia khối chóp tứ giác thành hai khối chóp tam giác Bài 2: Phân chia khối lập phương thành năm khối tứ diện Bài 3: Phân chia khối lập phương thành sáu khối tứ diện CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 §2 KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU I- KHỐI ĐA DIỆN LỒI: Khối đa diện (H) gọi khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm (H) ln thuộc (H) Khi đa diện xác định (H) gọi đa diện lồi * Chú ý: Một khối đa diện khối đa diện lồi miền ln nằm phía mặt phẳng chứa mặt II- KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU: Định nghĩa: Khối đa diện khối đa diện lồi có tính chất sau đây: a) Mỗi mặt đa giác p cạnh b) Mỗi đỉnh đỉnh chung q mặt Khối đa diện gọi khối đa diện loại {p; q} Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện Đó là: Loại Tên gọi Số đỉnh Số cạnh Số mặt {3; 3} Tứ diện {4; 3} Lập phương 12 {3; 4} Bát diện 12 {5; 3} Mười hai mặt 20 30 12 {3; 5} Hai mươi mặt 12 30 20 Ghi chú: - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Chứng minh tâm mặt hình tứ diện đỉnh hình tứ diện Bài 2: Cho hình bát diện ABCDEF Chứng minh rằng: a) Các đoạn thẳng AF, BD CE đơi vng góc với cắt trung điểm đường b) ABFD, AEFC BCDE hình vng CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI 10 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 12 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng: a) Đi qua M(1; -2; 4) nhận n = (2;3;5) làm vectơ pháp tuyến b) Đi qua điểm A(0; -1; 2) song song với giá hai vectơ u = (3; 2; 1), v = (-3; 0; 1) c) Đi qua ba điểm A(-3; 0; 0), B(0; -2; 0), C(0; 0; -1) d) Đi qua ba điểm M(-1; 2; 3), N(2; -4; 3), C(4; 5; 6) Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn thẳng AB với A(2; 3; 7), B(4; 1; 3) Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng qua điểm M(2; 6; -3) song song với mặt phẳng tọa độ Bài 4: Lập phương trình mặt phẳng: a) Chứa trục Ox điểm P(4; -1; 2); b) Chứa trục Oy điểm Q(1; 4; -3); c) Chứa trục Oz điểm R(3; -4; 7); Bài 5: Cho tứ diện có đỉnh A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6) a) Hãy viết phương trình mặt phẳng (ACD) (BCD); b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (α) qua cạnh AB song song với cạnh CD Bài 6: Lập phương trình mặt phẳng (α) qua hai điểm A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) vng góc với mặt phẳng (β): 2x - y + z - = Bài 7: Xác định giá trị m n để cặp mặt phẳng sau cặp mặt phẳng song song: a) 2x + my + 3z - = nx - 8y - 6z + = 0; b) 3x - 5y + mz - = 2x + ny - 3z + = Bài 8: Tính khoảng cách từ điểm A(2; 4; -3) đến mặt phẳng sau: a) 2x - y + 2z - = 0; b) 12x - 5z + = 0; c) x = Bài 9: Giải toán sau phương pháp tọa độ: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a) Chứng minh hai mặt phẳng (AB'D') (BC'D) song song với b) Tính khoảng cách hai mặt phẳng nói Bài tập nâng cao: Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho A(-1; -2; 4), B(-4; -2; 0), C(3; -2; 1), D(1; 1; 1) a) Lập phương trình mặt phẳng (ABC) b) Chứng tỏ ABCD tứ diện tính độ dài đường cao hạ từ D Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2; 3; 4) Hãy viết phương trình mặt phẳng (γ ) qua hình chiếu điểm A trục tọa độ Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (β) qua điểm M(2; -1; 2) song song với trục Oy vng góc với mặt phẳng (α): 2x - y + 3z + = Bài 4: Cho A(2; 3; 0) Viết phương trình mp(P) qua A song song với Oy đồng thời vng góc với mp(Q): 3x - 4y - = Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho A(5; 1; 3), B(1; 6; 2), C(5; 0; 4) a) Lập phương trình mặt phẳng (ABC) Tính khoảng cách từ O đến (ABC) b) Viết phương trình mặt phẳng qua A, C vng góc với mp (α): x - 2y + 3z - = c) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến hai mp(α) (ABC) đồng thời qua điểm I(-1; 2; 3) Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α): x + y - z + = điểm M(1; 0; 5) Lập phương trình mp(P) đối xứng với (α) qua M - Tài liệu lưu hành nội 45 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 Bài 7: Tìm tập hợp điểm cách hai mặt phẳng (α): 3x - y + 4z + = 0, (β): 3x - y + 4z + = Bài 8: Lập phương trình mặt phẳng (α) qua điểm M(1; 2; 3) cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, C cho thể tích tứ diện OABC nhỏ CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI 46 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 §3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN I- PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG: Định lí: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng ∆ qua điểm M0 (x0;y0;z0) nhận a = (a1;a2;a3) làm vectơ phương Điều kiện cần đủ để điểm M(x;y;z) nằm ∆ có số thực t cho: x = x0 + ta1 y = y0 + ta2 z = z + ta Định nghĩa: Phương trình tham số đường thẳng ∆ qua điểm M0(x0;y0;z0) có vectơ phương a = x = x0 + ta1 (a1;a2;a3) phương trình có dạng: y = y0 + ta2 (t ∈ R) z = z + ta * Chú ý: Nếu a1, a2, a3 khác phương trình ∆ viết dạng tắc: x − x0 y − y0 z − z = = a1 a2 a3 Ví dụ 1: Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ qua điểm M0(1; 0; -2) có vectơ phương a = (1;−3;0) Giải: Ví dụ 2: Viết phương trình tham số đường thẳng ∆ qua hai điểm A, B với A(1; -2; 2), B(3; 4; 2) Giải: Ví dụ 3: Hãy tìm tọa độ vectơ phương điểm M, N, P nằm x = −1+ 2t đường thẳng ∆ có phương trình tham soá ∆: y = − 3t (t ∈ R) z = + 4t Giải: II– ĐIỀU KIỆN ĐỂ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG, CẮT NHAU, CHÉO NHAU: x = x0' + t ' a1 x = x0 + ta1 ' Cho hai đường thẳng d: y = y0 + ta2 d': y = y0 + t ' a2 y = z + ta y = z' + t' a 3 - Tài liệu lưu hành nội - 47 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 Điều kiện để hai đường thẳng song song: Đường thẳng d qua M có vectơ phương a , đường thẳng d' có vectơ phương a' a = ka ' • d song song d' M ∉ d ' a = ka ' * Đặc biệt: d trùng d' M ∈ d ' Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau: x0 + ta1 = x'0 +t ' a '1 Hai đường thẳng d d' cắt hệ phương trình ẩn t, t': y0 + ta2 = y '0 +t ' a'2 có z + ta = z ' +t ' a ' 3 nghiệm Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau: Hai đường thẳng d d' chéo a a ' không phương hệ phương trình x0 + ta1 = x'0 +t ' a '1 ẩn t, t' : y0 + ta2 = y '0 +t ' a '2 vô nghiệm z + ta = z ' +t ' a ' 3 Ví dụ: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng sau đây: x = 1+ t x = + 2t' x = 3− t x = − 3t' a) d: y = 2t d': y = 3+ 4t' ; b) d: y = + t d': y = + 3t' ; z = 3− t z = 5− 2t' z = − 2t z = − 6t' x = 1+ t x = − 2t' c) d: y = + 3t d': y = −2 + t' ; z = 3− t z = 1+ 3t' 48 x = 1+ 2t x = 1+ 3t' d) d: y = −1+ 3t d': y = −2 + 2t' z = 5+ t z = −1+ 2t' - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 Giải: * Đặc biệt: d ⊥ d' ⇔ a ⊥ a ' Ví dụ: Chứng minh hai đường thẳng sau vng góc: x = 5− t x = + 2t' d: y = −3 + 2t d': y = 13+ 3t' z = 4t z = 1− t' Giải: * Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng: - Tài liệu lưu hành nội - 49 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 x = x0 + ta Cho đường thẳng d: y = y0 + ta mp(α): Ax + By + Cz + D = y = z + ta Xét: A(x0 + ta) + B(y0 + ta) + C(z0 + ta) + D = (1) • d cắt (α) ⇔ (1) có nghiệm • d // (α) ⇔ (1) vơ nghiệm • d ⊂ (α) ⇔ (1) có vơ số nghiệm Ví dụ: Tìm số giao điểm mp(α): x + y + z - = với đường thẳng d trường hợp sau: x = + t x = 1+ 2t x = 1+ 5t a) d: y = − t ; b) d: y = 1− t ; c) d: y = 1− 4t z=1 z = 1− t z = 1+ 3t Giải: * Đặc biệt: d ⊥ (α) vectơ phương ud đường thẳng d phương với vectơ pháp tuyến n(α ) mp(α) x = 1+ t Ví dụ: Chứng minh đường thẳng d: y = + 2t vng góc với mặt z = 3+ 3t phẳng (α): 2x + 4y + 6z + = ud n (α ) α d Giải: * Moät số toán khác: 50 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 ª Hình chiếu điểm M mp(α): * Bước 1: Viết phương trình đường thẳng ∆ qua M vuông góc mp(α) * Bước 2: Xác định giao điểm M' ∆ với mp(α) M' hình chiếu cần tìm Ví dụ: Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M(1; -1; 2) mặt phẳng (α) có phương trình: 2x - y + 2z + 11 = Giải: ª Giao tuyến mặt phẳng (P) mặt cầu (S): * Bước 1: Tìm hình chiếu O mp(P) * Bước 2: Tính OH khoảng cách từ O đến mp(P) * Bước 3: Giao tuyến cần tìm đường tròn (C) tâm H bán kính r' = r − OH Ví dụ: Cho mặt cầu (S) có phương trình: (x - 3)2 + (y + 2)2 + (z - 1)2 = 100 mặt phẳng (α) có phương trình: 2x - 2y - z + = Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn (C) Hãy xác định tọa độ tâm tính bán kính đường tròn (C) Giải: ª Tìm điểm M' đối xứng với điểm M qua mp(α): - Tài liệu lưu hành nội - 51 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 * Bước 1: Tìm hình chiếu I điểm M mp(α) * Bước 2: Tìm điểm M' cho I trung điểm M M' Đó điểm đối xứng cần tìm Ví dụ: Cho điểm M(2; 1; 0) mặt phẳng (α): x + 3y - z - 27 = Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mp(α) Giải: ª Tìm điểm M' đối xứng với điểm M qua đường thẳng ∆: * Bước 1: Viết phương trình mp(α) qua M vuông góc với đường thẳng ∆ * Bước 2: Xác định giao điểm I (α) ∆ (I hình chiếu M ∆ ) * Bước 3: Tìm điểm M' cho I trung điểm M M' Đó điểm đối xứng cần tìm x = + 2t Ví dụ: Cho điểm A(1; -2; -5) đường thẳng ∆: y = −1 − t z = 2t a) Tìm hình chiếu A ∆ b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua ∆ c) Tính khoảng cách từ A đến ∆ Giải: 52 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 ª Khoảng cách hai đường thẳng chéo ∆ ∆': * Bước 1: Viết phương trình mp(α) chứa ∆' song song đường thẳng ∆ * Bước 2: Tìm điểm A ∆ * Bước 3: Tính khoảng cách từ A đến (α) x = 1+ t' x −1 y − z = = ∆': y = − 2t ' Tính khoảng cách hai đường Ví dụ: Cho hai đường thẳng ∆: −1 z =1 thẳng ∆ ∆' Giải: - Tài liệu lưu hành nội - 53 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 ª Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng x −3 z+2 = y −1 = Ví dụ: Cho mp(α): 3x - 2y - z + = đường thẳng ∆: a) Hãy chứng tỏ ∆ song song mp(α) b) Tính khoảng cách ∆ (α) Giải: ª Khoảng cách hai mặt phẳng song song: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Ví dụ: Tính khoảng cách hai mặt phẳng song song (α): x + 2y + 2z + 11 = (β) cho phương trình: x + 2y + 2z + = Giải: ª Phương trình đường cao tam giác không gian: Đường cao AH ∆ABC qua A vuông góc với giá hai vectơ n = [ AB, AC ] CB Ví dụ: Viết phương trình đường cao AH tam giác ABC biết A(1; 0; 6), B(0; 2; -1), C(1; 4; 0) Giaûi: 54 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 Ghi chuù: - Tài liệu lưu hành nội - 55 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Viết phương trình tham số đường thẳng d trong trường hợp sau: a) d qua điểm M(5; 4; 1) có vectơ phương a = (2;−3;1) b) d qua điểm A(2; -1; 3) vng góc với mặt phẳng (α) có phương trình x + y - z + = x = + 2t c) d qua điểm B(2; 0; -3) song song với đường thẳng ∆: y = −3 + 3t z = 4t d) d qua hai điểm P(1; 2; 3) Q(5; 4; 4) e) Viết phương trình đường thẳng qua điểm A(3; 2; -1) song song đường thẳng x −1 y +1 z = = −3 Bài 2: Xét vị trí tương đối cặp đường thẳng d d' cho phương trình sau: x = −3 + 2t x = + t' x = 1+ t x = + 2t ' a) d: y = −2 + 3t d': y = −1 − 4t ' b) d: y = + t d': y = −1 + 2t ' z = + 4t z = 20 + t ' z = 3−t z = − 2t ' x = 1− t x = 1+ t' c) d: y = + 2t d': y = − 2t ' z = 3t z =1 x = 7t x + y +1 z − = = d) d: d': y = − 4t z = + 5t Bài 3: Tìm số giao điểm đường thẳng d với mp(α) trường hợp sau: x = 12 + 4t x = 1+ t a) d: y = + 3t (α): 3x + 5y - z - = 0; b) d: y = − t (α): x + 3y + z + = 0; z = 1+ t z = + 2t x = 1+ t b) d: y = + 2t (α): x + y + z - = z = − 3t x = −3 + 2t Bài 4: Tính khoảng cách đường thẳng ∆: y = −1 + 3t mp(α): 2x - 2y + z + = z = −1 + 2t x = + at x = 1− t' Bài 5: Tìm a để hai đường thẳng sau cắt d: y = t d': y = + 2t ' z = −1 + 2t z = − t' x = 2+t Bài 6: Cho đường thẳng d: y = −3 + 2t Viết phương trình tham số đường thẳng hình z = + 3t chiếu vng góc d mặt phẳng tọa độ x = 2+t Bài 7: Cho điểm A(1; 0; 0) đường thẳng ∆: y = + 2t z=t a) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng ∆ b) Tìm tọa độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng ∆ 56 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 Bài 8: Cho điểm M(1; 4; 2) mặt phẳng (α): x + y + z - = a) Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M mp(α) b) Tìm tọa độ điểm M' đối xứng với M qua mp(α) c) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(α) Bài tập nâng cao: Bài 1: Giải toán sau phương pháp tọa độ: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mp(A'BD) mp(B'D'C) Bài 2: Cho hai mp(P): 2x - y - 11 = mp(Q): x - y - z + = a) Chứng minh mp(P) cắt mp(Q); b) Tìm phương trình đường thẳng giao tuyến hai mp(P) mp(Q) x−2 y −3 z +4 x +1 y − z − = = , d2 : = = Bài 3: Cho hai đường thẳng d1 : −5 −2 −1 a) Chứng tỏ hai đường thẳng chéo b) Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng c) Tính khoảng cách hai đường thẳng CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI - Tài liệu lưu hành nội - 57 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 * ÔÂN TẬP CHƯƠNG III * BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1) a) Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện 58 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 b) Tìm góc hai đường thẳng AB CD c) Tính độ dài đường cao hình chóp A.BCD Bài 2: Cho mặt cầu (S) có đường kính AB biết A(6; 2; -5), B(-4; 0; 7) a) Tìm tọa độ tâm I tính bán kính r mặt cầu (S) b) Lập phương trình mặt cầu (S) c) Lập phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm A Bài 3: Cho bốn điểm A(-2; 6; 3), B(1; 0; 6), C(0; 2; -1), D(1; 4; 0) a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Suy ABCD tứ diện b) Tính chiều cao AH tứ diện ABCD c) Viết phương trình mp(α) chứa AB song song với CD Bài 4: Lập phương trình tham số đường thẳng: a) Đi qua hai điểm A(1; 0; -3), B(3; -1; 0) x = −2 + 2t b) Đi qua điểm M(2; 3; -5) song song với đường thẳng ∆: y = − 4t z = −5t x = 12 + 4t Bài 5: Cho mặt phẳng (α) có phương trình 3x + 5y - z - = đường thẳng d: y = + 3t z = 1+ t a) Tìm giao điểm M đường thẳng d mp(α) b) Viết phương trình mp(β) chứa điểm M vng góc với đường thẳng d x = + 3t Bài 6: Cho điểm A(-1; 2; -3), vectơ a = (6;−2;−3) đường thẳng d có phương trình y = −1 + 2t z = − 5t a) Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa điểm A vng góc với giá a b) Tìm giao điểm d (α) c) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A, vng góc với giá a cắt đường thẳng d Bài tập nâng cao: Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S): x + y2 + z2 - 10x + 2y + 26z + 170 = x = −5 + 2t x = −7 + 3t ' song song với hai đường thẳng d: y = − 3t ; d': y = −1 − 2t ' z = −13 + 2t z =8 x=t x = − 2t ' Bài 2: Cho hai đường thẳng d: y = −4 + t d': y = −3 + t ' Viết phương trình đường thẳng ∆ vng góc với z = 3−t z = − 5t ' mặt phẳng tọa độ (Oxz) cắt hai đường thẳng d, d' - Tài liệu lưu hành nội - 59 ... tắt hình trụ - Tài liệu lưu hành nội 21 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 • Khi quay quanh AB, hai cạnh AD BC vạch hai hình tròn gọi hai đáy hình trụ, bán kính chúng gọi bán kính hình. .. r Một hình nón đỉnh O' có đáy hình trịn (O; r) - Tài liệu lưu hành nội - 23 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 a) Gọi S diện tích xung quanh hình trụ S diện tích xung quanh hình nón,... mặt xung quanh hình nón 20 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 12 b) Khối nón trịn xoay hay khối nón phần khơng gian giới hạn hình nón trịn xoay kể hình nón Những