Tài liệu Hướng dẫn tự học môn Đại số 10

Tài liệu Hướng dẫn tự học môn Đại số 10 hướng dẫn học sinh tự học và giảng dạy của giáo viên - Võ Thanh Hùng - GV THPT Trần Quốc Toản - Đồng Tháp nhằm giúp các em học tập môn Đại số lớp 10 hiệu quả hơn.

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn CHƯƠNG I MỆNH ĐỀ TẬP HỢP - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Tập hợp: • Tập hợp khái niệm toán học, thường đặt tên chữ in hoa Ví dụ tập hợp A tập hợp chữ a, b, c Để a phần tử A, ta kí hiệu: a ∈ A đọc a thuộc A Để e khơng chứa tập A, ta kí hiệu: e ∉ A đọc e không thuộc A hay e không phần tử A • Các phần tử tập hợp thường viết hai dấu ngoặc nhọn "{" "}", cách dấu ";" (nếu có phần tử số) dấu "," • Có hai cách viết tập hợp: Liệt kê phần tử tập hợp: Ví dụ: Tập hợp B tập hợp số tự nhiên nhỏ viết: B = {0, 1, 2, 3, 4} Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp Ví dụ: Tập hợp B tập hợp số tự nhiên nhỏ viết: B = {x ∈ N  x < 4}, N tập số tự nhiên • Tập hợp cịn minh họa vịng kín (gọi giản đồ Ven) • Một tập hợp có phần tử, có hiều phần tử, có vơ số phần tử, khơng có phần tử Ví dụ: C = {x} D = {1; 2; 3; ; 100} E = {2; 4; 6; 8; } Tập hơp khơng có phần tử gọi tập rỗng, kí hiệu ∅ Tập hợp con: Nếu phần tử tập hợp A thuộc tập hợp B tập A gọi tập hợp tập hợp B Ví dụ: Tập hợp A = {2; 4; 6; 8} tập hợp B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10} Các tập hợp số thường sử dụng: N = {0; 1; 2; 3; 4; } N* = {1; 2; 3; 4; } Z: tập hợp số nguyên Q: Tập hợp số hữu tỷ R: Tập hợp số thực  Ghi chú: - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn §1 MỆNH ĐỀ I- MỆNH ĐỀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN: Mệnh đề: • Mệnh đđề câu khẳng định câu khẳng định sai • Một câu khẳng định mệnh đề Một câu khẳng định sai mệnh đề sai • Một mệnh đề khơng thể vừa vừa sai Ví dụ: "Hà Nội thủ đô Việt Nam" mệnh đề " Số số chẵn" mệnh đề sai  Trong câu sau đậy, câu mệnh đề, câu mệnh đề: a) "Các em khỏe không ?" b) "2 + > 6" c) "Các em thật tuyệt vời !" d) "x + = 5" e) "Ngày mai trời nắng." * Chú ý: Người ta thường dùng chữ in hoa P, Q, để kí hiệu cho mệnh đề Ví dụ: Cho mệnh đề P:"4 số chẵn" Mệnh đề chứa biến: Xét câu: "n chia hết cho 3", chưa phải mệnh đề ta khơng khẳng định tính sai • Khi n = ta "4 chia hết cho 3" mệnh đề sai • Khi n = 15 ta "15 chia hết cho 3" mệnh đề Ta gọi P(n): "n chia hết cho 3" mệnh đề chứa biến Ví dụ: Tìm hai giá trị thực x để từ mệnh đề chứa biến Q(x): "x + x - = 0" ta mệnh đề mệnh đề sai Giải: II- PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ:  Hai mệnh đề sau khác điểm nào? "Dơi lồi chim" "Dơi khơng phải lồi chim" Cho mệnh đề P Mệnh đề "khơng phải P" gọi mệnh đề phủ định P kí hiệu P Ta có: P P sai, P sai P Ví dụ: Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau đây: P: "3 số nguyên tố", Q: "7 không chia hết cho 5", R: "Tổng ba góc tam giác 1800", S: "Tổng ba cạnh tam giác lớn cạnh thứ ba" Giải: III- MỆNH ĐỀ KÉO THEO: Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề " Nếu P Q" gọi mệnh đề kéo theo, kí hiệu P ⇒ Q Mệnh đề P ⇒ Q phát biểu " P kéo theo Q" hay "Từ P suy Q" hay " Vì P nên Q" - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn Mệnh đề P ⇒ Q sai P Q sai Ví dụ: Xét tính sai mệnh đề sau: a) P: "-3 < -2 ⇒ (-3)2 < (-2)2", b) Q: " < ⇒ < 4" Giaûi: Caùc định lí toán học mệnh đề thường có dạng P ⇒ Q Khi ta nói: P giả thiết, Q kết luận định lí; P điều kiện đủ để có Q; Q điều kiện cần để có P Ví dụ 1: Định lí Pitago: ∆ABC vuông A ⇒ BC = AB + AC Ví dụ 2: Cho tam giác ABC Từ mệnh đề: P: "Tam giác ABC có hai góc 600" Q: "ABC tam giác đều" Hãy phát biểu định lí P ⇒ Q Nêu giả thiết, kết luận phát biểu lại định lí dạng điều kiện cần, điều kiện đủ Giải: IV- MỆNH ĐỀ ĐẢO - HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG: Mệnh đề Q ⇒ P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q Nếu hai mệnh đề P ⇒ Q Q ⇒ P ta nói P Q hai mệnh đề tương đương Khi ta kí hiệu P ⇔ Q (đọc P tương đương Q P điều kiện cần đủ để có Q P Q) Mệnh đề P ⇔ Q P Q sai sai trường hợp lại Ví dụ 1: Cho mệnh đề P: "ABC tam giác đều", Q: "ABC tam giác cân" Lập mệnh đề P ⇒ Q mệnh đề đảo của Xét tính sai mệnh đề Giải: - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn Ví dụ 2: Định lí Pitago: "Nếu ∆ABC vuông bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh lại" Mệnh đề đảo: "Nếu ∆ABC có bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh lại ∆ABC vuông" Mệnh đề đảo mệnh đúng, ta gọi mệnh đề định lí đảo Từ định lí Pitago phát biểu: "∆ABC vuông bình phương cạnh tổng bình phương hai cạnh lại" V- KÍ HIỆU ∀ VÀ ∃ :(được sử dụng mệnh đề chứa biến) Mệnh đề chứa kí hiệu ∀, ∃ : • Kí hiệu: ∀ (đọc "với mọi") • Kí hiệu: ∃ (đọc "có một" (tồn một) hay "có một" (tồn một)) • Mệnh đề:  "Với x thuộc X cho P(x)" kí hiệu " ∀x ∈ X : P( x) "(*) (*) với x0 ∈ X ta có P(x0) mệnh đề (*) sai có x0 ∈ X cho P(x0) mệnh đề sai Ví dụ: Viết lại mệnh đề "Bình phương số thực lớn không" kí hiệu xét tính sai mệnh đề đó, lí Giải: Ví dụ 2: Phát biểu thành lời mệnh sau "∀n∈Z: n + > n" Mệnh đề hay sai? sao? Giải:  "Tồn x thuộc X cho P(x)" kí hiệu " ∃x ∈ X : P ( x ) "(**) (**) có x0 ∈ X ta có P(x0) mệnh đề (**) sai với x0 ∈ X cho P(x0) mệnh đề sai Ví dụ: Viết lại mệnh đề "Có số nguyên nhỏ không" kí hiệu xét tính sai mệnh đề đó, lí Giải: Ví dụ 2: Phát biểu thành lời mệnh sau "∃ x∈Z: x2 = x" Mệnh đề hay sai? sao? Giải: - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn Phuû định mệnh đề chứa kí hiệu ∀, ∃ : • Phủ định mệnh đề" ∀x ∈ X : P( x) " mệnh đề " ∃x ∈ X : P ( x ) " • Phủ định mệnh đề" ∃x ∈ X : P ( x ) " mệnh đề " ∀x ∈ X : P( x) " Ví dụ: Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau xét tính sai nó? a) P: "∀x ∈ R : x2 ≠ 1"; b) Q: "∃ n ∈ N: 2n = 1"; c) R: "∀x ∈ R: x2 + < 1" Giải:  Ghi chuù: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Trong câu sau đây, câu mệnh đề, câu mệnh đề chứa biến, câu mệnh đề: a) "3 + = 7"; b) "4 + x = 3"; c) "10 số nguyên tố"; d) "x + y > 1"; e) "2 - < 0"; f) "Ngày mai trời nắng" Bài 2: Xét tính sai mệnh đề sau phát biểu mệnh đề phủ định a) "Số 11 số nguyên tố"; b) "Số 111 chia hết cho 3"; c) "π < 3,15"; d) "1794 chia hết cho 3"; e) "-125≤ 0; f) " số hữu tỉ" Bài 3: Cho mệnh đề kéo theo P: "Nếu a b chia hết cho c a + b chia hết cho c (a, b, c số nguyên) Q: "Các số nguyên có tận chia hết cho 5" R: "Tam giác cân có hai đường trung tuyến nhau" S: "Hai tam giác có diện tích nhau" a) Hãy phát biểu mệnh đề đảo mệnh đề b) Phát biểu mệnh đề trên, cách sử dụng khái niệm "điều kiện đủ" - Tài liệu lưu hành nội Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn c) Phát biểu mệnh đề trên, cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần" Bài 4: Xét hai mệnh đề P:"π số vô tỉ" Q: "π không số nguyên" a) Hãy phát biểu mệnh đề P ⇒ Q b) Phát biểu mệnh đề đảo mệnh đề c) Xém xét tính đúng, sai mệnh đề Bài 5: Cho hai tam giác ABC A'B'C' Xét hai mệnh đề: P: "Tam giác ABC tam giác A'B'C' Q: "Tam giác ABC tam giác A'B'C' có diện tích nhau" a) Xét tính sai mệnh đề P ⇒ Q b) Xét tính sai mệnh đề Q ⇒ P c) Xét tính sai mệnh đề P ⇔ Q d) Lập mệnh đề phủ định mệnh đề đảo mệnh đề P ⇒ Q Bài 6: Xét hai mệnh đề P: "24 số chia hết cho 3", Q: "24 số chia hết cho 6" a) Xét tính sai mệnh đề P ⇒ Q b) Xét tính sai mệnh đề Q ⇒ P c) Mệnh đề P ⇔ Q có khơng? Bài 7: Phát biểu mệnh đề sau, cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần đủ" a) Một số có tổng chữ số chia hết cho chia hết cho ngược lại b) Một hình bình hành có đường chéo vng góc hình thoi ngược lại c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biêt biệt thức dương Bài 8: Dùng kí hiệu ∀, ∃ để viết mệnh sau: a) Mọi số nhân với nó; b) Có số cộng với 0; c) Mọi số cộng với số đối Bài 9: Phát biểu thành lời mệnh đề sau xét tính sai a) ∀x ∈ R : x2 > 0; b) ∃ n ∈ N : n2 = n; c) ∀n ∈ N : n ≤ 2n; Bài 10: Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau xét tính sai a) ∀n ∈ N : n  n; b) ∀x∈R : x < x + 1; c) ∃ x∈R : 3x = x2 + 1; - Tài liệu lưu hành nội - d) ∃ x ∈ R : x < x d) ∃ x∈Q : x2 = Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số 10 - Chương trình chuẩn §2 TẬP HỢP I- KHÁI NIỆM TẬP HỢP: Tập hợp phần tử: • Tập hợp (cịn gọi tập) khái niệm Tốn học • Để a phần tử tập A, ta viết a ∈ A (đọc a thuộc A) • Để b không phần tử tập A, ta viết b ∉ A (b không thuộc A) Cách xác định tập hợp: • Liệt kê phần tử (viết phần tử hai dấu móc{ }) Ví dụ 1: Liệt kê phần tử tập hợp A ước nguyên dương 30 Giải: • Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử Ví dụ 1: Viết lại tập hợp sau cách tính chất đặc trưng cho phần tử a) Tập hợp B nghiệm phương trình 2x2 - 5x + = b) Tập hợp C số nguyên dương lẻ nhỏ 11 Giải: Ví dụ 2: Viết lại sau dạng liệt kê phần tử a) D = {2k k ∈ N}; b) E = {2n + n ∈ N, ≤ n ≤ 4} Giaûi: • Người ta thường minh họa tập hợp hình phẳng bao quanh đường kín gọi biểu đồ Ven Tập hợp rỗng: • Tập hợp rỗng, kí hiệu ∅, tập hợp không chứa phần tử • Nếu A tập rỗng A chứa phần tử: A ≠ ∅ ⇔ ∃x : x ∈ A II- TẬP HP CON: Nếu phần tử tập A phần tử tập B ta nói A tập hợp B viết A ⊂ B (đọc A chứa B) A ⊂ B ta viết B ⊃ A (đọc B chứa A hay B bao hàm A) Như vậy: A ⊂ B ⇔ ( ∀x : x ∈ A ⇒ x ∈ B ) A tập B ta viết A ⊄ B Ta có: A ⊄ B ⇔ ∃x : x ∈ A x ∉ B A⊂ B A⊄ B Tính chất: - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn a) A ⊂ A với tập hợp A b) Nếu A ⊂ B B ⊂ C A ⊂ C c) ∅ ⊂ A với tập hợp A Ví dụ: Liệt kê tất tập tập hợp A = {a, b, c} Giải: * Chú ý: Số tập tập gồm n phần tử là: III- TẬP HỢP BẰNG NHAU:  Xét hai tập hợp A = {n ∈ N  n bội 6}, B = {n ∈ N  n bội 12} Chứng minh A ⊂ B B ⊂ A Khi A ⊂ B B ⊂ A ta nói tập hợp A tập hợp B viết A = B Như vậy: A = B ⇔ (∀x : x ∈ A ⇔ x ∈ B )  Ghi chú: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho biết x phần tử tập hợp A, xác định tính sai mệnh đề: a ∈ A, {x} ∈ A, x ⊂ A, {x} ⊂ A Bài 2: a) Viết tập hợp sau theo cách liệt kê phần tử: i) A = { x ∈ N x < 20 x chia hết cho 3}; ii) B = { x ∈ R  (x2 - 2x + 1)(x - 3) = 0}; iii) C = { x ∈ N  x ≤ 30, x bội 5} b) Cho tập hợp D = { 2, 6, 12, 20, 30} Hãy xác định D cách tính chất đặc trưng cho phần tử c) Hãy liệt kê phần tử tập hợp học sinh lớp em cao 1m60 Bài 3: Trong hai tập hợp A B đây, tập hợp tập tập hợp lại? Hai tập hợp A B có khơng? a) A tập hợp hình vng B tập hợp hình thoi b) A = { n ∈ N n ước chung 24 30} B = { n ∈ N  n ước 6} Bài 4: Tìm tất tập tập hợp sau: a) A = {a; b}; b) B = {0, 1, 2} - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn §3 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP I- GIAO CỦA HAI TẬP HỢP:  Cho A = {n ∈ N  n ước 12}, B = {n ∈ N  n ước 18} a) Liệt kê phần tử A B; b) Liệt kê phần tử tập hợp C ước chung 12 18 Tập C gồm phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B gọi giao A B Kí hiệu: C = A∩ B • A ∩ B = {x  x ∈ A vaø x ∈ B} x ∈ A • x∈ A∩ B ⇔  x ∈ B Ví dụ: Tìm tập hợp giao hai tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} vaø B = {3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} Giaûi: II- HỢP CỦA HAI TẬP HỢP:  Giả sử A, B tập hợp học sinh giỏi Toán, giỏi Văn lớp 10CB Biết A = {Minh, Nam, Lan, Hồng, Nguyệt}, B = {Cường, Lan, Dũng, Hồng, Tuyết, Lê} Gọi C tập hợp đội tuyển học sinh giỏi lớp gồm bạn giỏi Toán giỏi Văn Hãy xác định tập hợp C Tập C gồm phần tử thuộc A thuộc B gọi hợp A B Kí hiệu: C = A∪ B • A ∪ B = {x  x ∈ A x ∈ B} x ∈ A • x∈ A∪ B ⇔  x ∈ B Ví dụ: Tìm hợp hai tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3} Giải: III- HIỆU VÀ PHẦN BÙ CỦA HAI TẬP HỢP:  Giả sử A = {An, Minh, Bảo, Cường, Vinh, Hoa, Lan, Tuệ, Quý},là tập hợp học sinh giỏi lớp 10CB B = {An, Hùng, Tuấn, Vinh, Lê, Tâm, Tuệ, Quý} tập hợp học sinh tổ lớp 10CB Gọi C tập hợp học sinh giỏi lớp không thuộc tổ Hãy xác định tập hợp C Tập C gồm phần tử thuộc A không thuộc B gọi hiệu A B Kí hiệu: C = A\B • A\ B = {x  x ∈ A x ∉ B} x ∈ A • x∈ A\ B ⇔  x ∉ B Ví dụ: Tập hợp phần tử x thuộc R khác (tập R bỏ số 0) viết là: * Đặc biệt: Khi B ⊂ A A\B gọi phần bù B A, kí hiệu C AB Ví dụ: Phần bù tập hợp N tập hợp Z tập hợp số nguyên âm  Ghi chú: - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số 10 - Chương trình chuẩn BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Kí hiệu A tập hợp chữ (khơng dấu) câu "CĨ CHÍ THÌ NÊN", B tập hợp chữ (không dấu) câu "CĨ CƠNG MÀI SẮT CĨ NGÀY NÊN KIM" Hãy xác định A∩B, A∪B, A\B Bài 2: Vẽ lại gạch chéo tập A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A trường hợp: a) b) c) d) Bài 3: Cho A ∩ B = {2, 3, 4, 5, 6}(1), B \ A = {7, 8, 9}(2), A \ B = {0, 1}(3) Xác định A B Bài 4: Trong số 45 học sinh lớp 10A có 15 bạn xếp loại học lực giỏi, 20 bạn xếp loại hạnh kiểm tốt, có 10 bạn vừa học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt Hỏi a) Lớp 10A có bạn khen thưởng, biết muốn khen thưởng bạn phải học lực giỏi có hạnh kiểm tốt b) Lớp 10A có bạn chưa xếp loại học lực giỏi chưa có hạnh kiểm tốt Bài 5: Cho tập A, xác định A ∩ A, A ∪ A, A ∩ ∅, A ∪ ∅, CAA, CA∅ 10 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số 10 - Chương trình chuẩn π π ; b) 1,5 ; c) 370; d) ; e) 450 15 18 Bài 5: Trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung có số đo 5π 10π ; ; a) − b) 1350; c) d) -2250; e) 300; π 4π f) -1200; g) 6300; h) ; i) − Bài 6: Trêân đường tròn lượng giác gốc A, xác định điểm M khác nhau, biết cung AM có số đo tương ứng (trong k số nguyên tùy ý) π π a) kπ; b) k ; c) k π Bài 7: Trên đường tròn lượng giác cho điểm M xác định sđAM = α (0 < α < ) Gọi M1, M2, M3 điểm đối xứng M qua trục Ox, trục Oy gốc tọa độ Tìm số đo cung AM1, AM2, AM3 a) CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI 82 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn §2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG I- GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG α Định nghĩa: • Tung độ y = OK điểm M gọi sin  kí hiệu sin sin = OK • Hồnh độ x = OH điểm M gọi cơsin  kí hiệu cos sin = OH sinα • Nếu cos ≠ tỉ số gọi tang  kí cosα sinα hiệu tan (hoặc tg) Vậy: tan = cosα cosα • Nếu sin ≠ tỉ số gọi cơtang  kí sinα cosα hiệu cot (hoặc cotg) Vậy: cot = sinα Các giá trị sinα, cosα, tanα, cotα gọi giá trị lượng giác cung α Trục tung gọi trục sin, trục hồnh cịn gọi trục côsin * Chú ý: Các định nghĩa áp dụng cho góc lượng giác Nếu ≤ α ≤ 1800 giá trị lượng giác góc α giá trị lượng giác góc nêu SGK hình học 10  Tính sin 25π , cos(-240), tan(-4050) Hệ quả: • sinα cosα ln xác định ∀α ∈R, sin(α + k2π) = sinα cos(α + k2π) = cosα • Vì -1 ≤ OK ≤ 1, -1 ≤ OH ≤ nên ta có: - ≤ sinα ≤ (sinα≤ 1) - ≤ cosα ≤ (cosα ≤ 1) • Với m ∈ R mà -1 ≤ m ≤ tồn α β cho sinα = m cosβ = m π • tanα xác định α ≠ + kπ ; cotα xác định α ≠ kπ • Dấu giá trị lượng giác góc α phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung AM Phần tư Giá trị lượng giác sinα cosα tanα cotα I II III IV + + + + + - + + + - Giá trị lượng giác cung đặc biệt: π π α (00) (300) (450) π (600) - Tài liệu lưu hành nội - π (900) 83 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn sin cos tan cot kxđ 3 2 2 2 1 kxđ II- YÙ NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CÔTANG cotα = BS tanα = AT • cotα biểu diễn độ dài • tanα biểu diễn độ dài đại số vectơ BS trục s'As đại số vectơ AT trục t'At • Trục s'As gọi trục • Trục t'At gọi trục tang côtang * Chú ý: • tan(α + kπ) = tanα, k ∈ Ζ • cot(α + kπ) = cotα, k ∈ Ζ III- QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Công thức lượng giác bản: π • sin2α + cos2α = • 1+ tan2 α = (α ≠ + kπ , k ∈ Z) 2 cos α π • 1+ cot2 α = (α ≠ kπ, k ∈ Z) • tanα.cotα = ( α ≠ k , k ∈ Z) sin2 α π Ví dụ 1: Cho sinα = , với < α < π Tính giá trị lượng giác góc α Giải: Ví dụ 2: Cho tanα = − 3π , với < α < 2π Tính sinα cosα Giải: 84 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số 10 - Chương trình chuẩn π cosa + sina = tan3 a + tan2 a + tana + Ví dụ 3: Cho a ≠ + kπ, k ∈ Z Chứng minh cos3 a Giải: Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt: a) Cung đối nhau: -α α: Ta có: M M' đối xứng qua trục x'Ox và: sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan(-α) = -tanα cot(-α) = -cotα Ví dụ: sin(-450) = b) Cung bù (π - α α ): Ta có: M M' đối xứng qua trục y'Oy, và: sin(π - α) = sinα cos(π - α) = -cosα tan(π - α) = -tanα cot(π - α) = -cotα Ví dụ: cos( 2π ) = c) Cung π (π + α α ): Ta có: M M' đối xứng qua gốc O, và: sin(π + α) = -sinα cos(π + α) = -cosα tan(π + α) = tanα cot(π + α) = cotα 4π ) = d) Cung phụ (900 - α α ): Ví dụ: cos( - Tài liệu lưu hành nội - 85 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn Ta có: M M' đối xứng qua đường phân giác y = x, và: π - α) = cosα π cos( - α) = sinα π tan( - α) = cotα π cot( - α) = tanα sin(  Ghi chú: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Có cung α mà sinα nhận giá trị tương ứng sau không? a) -0,7; b) ; c) - ; Bài 2: Các đẳng thức sau xảy đồng thời không? - Tài liệu lưu hành nội 86 d) Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số 10 - Chương trình chuẩn 3 cosα = ; b) sinα = − cosα = − ; c) sinα = 0,7 cosα = 0,3 5 3 π Bài 3: Cho < α < Xác định dấu giá trị lượng giác 3π π a) sin(α - π); b) cos( - α); c) tan(α + π); d) cot(α + ) 2 π − π Bài 4: Dùng định nghĩa, xác định giá trị lượng giác góc: 1800; ; Bài 5: Tìm giá trị tan4200, sin8700, cos(-2400) 3π Bài 6: a) Cho sina = − , π < a < Tính cosa, tana, cota π b) Cho tana = − , < a < π Tính sina, cosa 2 Bài 7: Tính giá trị lượng giác góc α, π 3π a) cosα = < α < ; b) sinα = -0,7 π < α < ; 13 2 15 π 3π c) tanα = − < α < π; d) cotα = -3 < α < 2π 2 Bài 8: Chứng minh (với x giá trị để biểu thức có nghĩa), ta có: a) (cotx + tanx)2 - (cotx - tanx)2 = 4; b) cos4x - sin4x = - 2sin2x Bài 9: Chứng minh tam giác ABC ta có: A+ C B a) sin(A + B) = sinC; b) tan = cot 2 Bài 10: Tính α, biết a) cosα = 1; b) cosα = -1; c) cosα = 0; d) sinα = 1; e) sinα = -1; f) sinα = a) sinα = CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI - Tài liệu lưu hành nội - 87 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn §3 CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC I- CÔNG THỨC CỘNG Với số thực a, b biểu thức có nghĩa, ta có: cos(a - b) = cosacosb + sinasinb cos(a + b) = cosacosb - sinasinb sin(a - b) = sinacosb - cosasinb sin(a + b) = sinacosb + cosasinb tana − tanb tan(a − b) = 1+ tanatanb tana + tanb tan(a + b) = 1− tanatanb π Ví dụ1: Tính tan 12 Giải: Ví dụ 2: Chứng minh sin(a + b) tana + tanb = sin(a − b) tana − tanb Giaûi: II- CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI Với số thực a, ta có: sin2a = 2sinacosa cos2a = cos2a - sin2a = cos2a - = - 2sin2a 2tana tan2a = 1− tan2a • Cơng thức hạ bậc: 1+ cos2a 1− cos2a sin2 a = 1− cos2a tan2 a = 1+ cos2a cos2 a = Ví dụ 1: Biết sina + cosa = Tính sin2a Giải: 88 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn π Ví dụ 2: Tính cos Giải: III- CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG, TỔNG THÀNH TÍCH Công thức biến đổi tích thành tổng: cosacosb = [cos(a + b) + cos(a - b)] sinasinb =- [cos(a + b) - cos(a - b)] sinacosb = [sin(a + b) + sin(a - b)] π 3π 13π 5π sin Ví dụ: Tính giá trị biểu thức A = sin cos , B = sin 8 24 24 Giải: Công thức biến đổi tổng thành tích: u+ v u− v cosu + cosv = 2cos cos 2 u+ v u− v cosu - cosv = -2sin sin 2 u+ v u− v sinu + sinv = 2sin cos 2 u+ v u− v sinu - sinu = 2cos sin 2 π 5π 7π Ví dụ 1: Tính A = cos + cos + cos 9 Giaûi: - Tài liệu lưu hành nội - 89 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn Ví dụ 2: Chứng minh tam giác ABc ta có: sinA + sinB + sinC = A B C cos cos cos 2 Giaûi:  Ghi chuù: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Tính a) cos2250, sin2400, cot(-150), tan750, cos1050, tan150 ; Bài 2: Tính b) sin 7π π 13π , cos( − ), tan 12 12 12 π π π π ), biết sinα = < α < ; b) tan(α - ), biết cosα = − < α < π; 3 c) cos(a + b), sin(a - b), biết sina = , 00 < a < 900 sinb = , 900 < b < 1800 Bài 3: Rút gọn biểu thức: π π π a) sin(a + b) + sin( - a)sin(-b); b) cos( + a)cos( - a) + sin2a; 4 a) cos(α + 90 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số 10 - Chương trình chuẩn π π - a)sin( - b) - sin(a - b) 2 Bài 4: Chứng minh đẳng thức: cos(a − b) cotacotb + = a) ; b) sin(a + b)sin(a - b) = sin2a - sin2b = cos2b - cos2a cos(a + b) cotacotb − c) cos(a + b)cos(a - b) = cos2a - sin2b = cos2b - sin2a Bài 5: Chứng minh rằng: a) sin4x + cos4x = - sin22x; b) cos4x - sin4x = cos2x Bài 6: Tính sin2a, cos2a, tan2a, biết 3π π a) sina = -0,6 π < a < ; b) cosa = < a < π; 13 3π c) sina + cosa = < a < π; d) sina - cosa = 5 π Bài 7: Cho sin2a = − < a < π Tính sina cosa Bài 8: Biến đổi thành tích biểu thức sau: a) - sinx; b) + sinx; c) + 2cosx; d) - 2sinx sinx + sin3x + sin5x Bài 9: Rút gọn biểu thức A = cosx + cos3x + cos5x c) cos( CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI * ÔN TẬP CHƯƠNG VI * - Tài liệu lưu hành nội - 91 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Tính π < α < π ; 3π < α < 2π ; c) tan α , sin α = − Bài 2: Rút gọn biểu thức: 2sin2α − sin4α a) ; 2sin2α + sin4α a) sin α , cos α = − b) cos α , tan α = 2 π < α < π  π  sin − α  + cos − α  4  4  c) ; π  π  sin − α  − cos − α  4  4  Bài 3: Khơng sử dụng máy tính, tính 22π 23π 25π 10π − tan a) cos ;b) sin ; c) sin 3 Bài 4: Không sử dụng máy tính, chứng minh a) sin750 + cos750 = ; c) sin650 + sin550 = cos50 ; 92 3π ; π d) cot α , cos α = − < α < π  1+ cos2 α  − sinα  ; b) tanα   sinα  d) ; sin5α − sin3α 2cos4α d) cos π π − sin2 8 b) tan2670 + tan930 = d) cos120 − cos480 = sin180 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn Bài 5: Chứng minh đồng thức 1− cosx + cos2x = cotx ; a) sin2x − sinx x = tan ; x 1+ cosx + cos sin(x − y) d) tanx − tany = cosx cosy b) 2cos2x − sin4x π  = tan2  − x ; 2cos2x + sin4x 4  Bài 6: Chứng biểu thức sau không phụ thuộc vào x π  π  a) A = sin + x − cos − x ; 4  4  π  π  c) C = sin x + cos − x cos + x ; 3  3  c) sinx + sin x π  π  b) B = cos − x − sin + x ; 6  3  1− cos2x + sin2x cotx d) D = 1+ cos2x + sin2x CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI * ÔN TẬP CUỐI NĂM * - Tài liệu lưu hành nội - 93 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số 10 - Chương trình chuẩn BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hàm số f ( x) = x + 3x + − − x + x − 15 a) Tìm tập xác định A hàm số f(x); b) Giả sử B = { x ∈ R | < x ≤ 5} Hãy xác định tập A \ B R \ (A \ B) Bài 2: Cho phương trình: mx2 – 2x – 4m – = a) Chứng minh với giá trị m ≠ 0, phương trình cho có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị m để -1 nghiệm phương trình Sau tìm nghiệm cón lại Bài 3: Cho phương trình: x2 – 4mx + 9(m - 1)2 = a) Xét xem với giá trị m, phương trình có nghiệm b) Giả sử x1, x2 hai nghiệm phương trình cho, tính tổng tích chúng Tìm hệ thức x1, x2 không phụ thuộc vào m c) Xác định m để hiệu nghiệm phương trình Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức sau a) 5(x - 1) < x5 – < 5x4(x - 1), x – > 0; b) x5 + y5 – x4y – xy4 ≥ 0, biết x + y ≥ ; c) 4a + + 4b + + 4c + < , biết a, b, c lớn − a + b + c =  x + 3y + 2z =  Bài 5: Giải hệ phương trình 3x + 5y − z = cách đưa hệ phương trình dạng tam giác 5x − 2y − 3z = −3  Bài 6: a) Xét dấu biểu thức: f(x) = 2x(x + 2) – (x + 2)(x + 1) b) Lập bảng biến thiên vẽ hệ trục tọa độ Oxy đồ thị hàm số sau: y = 2x(x + 2) (C1) y = (x + 2)(x + 1) (C2) Tính tọa độ giao điểm A B (C1) (C2) c) Tính hệ số a, b, c để hàm số y = ax + bx + c có giá trị lớn đồ thị qua A B Bài 7: Chứng minh hệ thức sau sina + sin3a + sin5a 1− 2sin2 a 1− tana = tan3a ; a) ; b) = cosa + cos3a + cos5a 1+ sin2a 1+ tana 94 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số 10 - Chương trình chuẩn sin4 a − cos4 a + cos2 a a tan2x tanx = cos2 ; = sin2x d) 2(1− cosa) tan2x − tanx Bài 8: Rút gọn biểu thức sau 1+ cosa a cos2x − sin4x − cos6x 1+ sin4a − cos4a tan − cos2 a a) ; b) c) 1+ cos4a + sin4a 1− cosa cos2x + sin4x − cos6x Bài 9: Tính π π π π π a) 4(cos240 + cos480 – cos840 – cos120); b) 96 3sin cos cos cos cos ; 48 48 24 12 0 0 c) tan9 − tan63 + tan81 − tan27 Bài 10: Rút gọn x 2x 4x 8x x 3x 5x a) cos cos cos cos ; b) sin + 2sin + sin 5 5 7 Bài 11: Chứng minh tam giác ABC ta có: π a) tanA + tanB + tanC = tanA tanB tanC (A, B, C khác ); b) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinB sinC sin400 − sin450 + sin500 + 3tan150 − Bài 12: Khơng sử dụng máy tính, tính cos400 − cos450 + cos500 − tan150 c) ( ) HƯỚNG DẪN ÔN TẬP HÈ - Tài liệu lưu hành nội - 95 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số 10 - Chương trình chuẩn 96 - Tài liệu lưu hành nội - ... nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Đại số 10 - Chương trình chuẩn §4 CÁC TẬP HỢP SỐ I- CÁC TẬP HỢP SỐ ĐÃ HỌC: Tập hợp số tự nhiên N: N = {0, 1, 2, 3, } N* = {1, 2, 3, } = N{0} Tập hợp số nguyên... trục số: a) (-2; 3)(1; 5); b) (-2; 3)∩[1; 5); c) R(2; +∞); d) R(-∞; 3] 12 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số 10 - Chương trình chuẩn §5 SỐ GẦN ĐÚNG SAI SỐ I- SỐ... - Tài liệu lưu hành nội - 15 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Đại số 10 - Chương trình chuẩn §1 HÀM SỐ I- ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ: Hàm số Tập xác định hàm số: Nếu với giá trị x thuộc