Tài liệu hướng dẫn tự học hình học 11

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11 CHƯƠNG I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG oOo  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Vectơ: a) Các định nghĩa: • Độ dài vectơ AB kí hiệu AB bằng độ dài đoạn thẳng AB. • Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. • Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài. • Hai vectơ được gọi là đối nhau nếu chúng ngược hướng và cùng độ dài. Vectơ đối của vectơ a  kí hiệu là - a  ; vectơ đối của MN là NM nên ta có NMMN =− . • Hai vectơ a  và b  cùng phương  ∃k ∈ R: a  = k b  . • 0. =⇔⊥ baba     • Quy tắc hình bình hành: Nếu ABCD là hình bình hành thì: ACADAB =+ • Quy tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tùy ý, ta có: ACBCAB =+ CBACAB =− • A, B, C thẳng hàng  ACkAB = , k ∈ R • I là trung điểm AB  0  =+ IBIA • G là trọng tâm ∆ABC  0  =++ GCGBGA b) Tọa độ vectơ và tọa độ điểm: Cho hai vectơ u  = (u 1 ; u 2 ), v  = (v 1 ; v 2 ), ta có: • vu  + = (u 1 + v 1 ; u 2 + v 2 ) • vu  − = (u 1 - v 1 ; u 2 - v 2 ) • k u  = (ku 1 ; ku 2 ) • vu  . = u 1 v 1 + u 2 v 2 • 2 2 2 1 uuu +=  •    = = ⇔= 22 11 vu vu vu  Cho hai điểm A(x A ; y A ), B(x B ;y B ), ta có: • AB = (x B - x A ; y B - y A ) • AB = AB • Tọa độ trung điểm của AB: I( 2 ; 2 BABA yyxx ++ ) • Tọa độ trọng tâm ∆ABC: G( 3 ; 3 CBACBA yyyxxx ++++ ) 2. Đường thẳng trong mặt phẳng: • Phương trình tham số của đường thẳng ∆:    = b)(a;VTCPcoù )y;M(xquañi 00 u là ∆:    += += btyy atxx 0 0 . • Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆:    = B)(A;VTPTcoù )y;M(xquañi 00 n là: A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) = 0. Phương trình Ax + By + C = 0 là phương trình đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến );( BAn =  . • Nếu đường thẳng d có vectơ chỉ phương );( bau =  thì d có một vectơ pháp tuyến );( abn −=  . Nếu đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến n  = (A; B) thì ∆ có một vectơ chỉ phương là );( ABu −=  . • Đường thẳng song song đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 có dạng: Ax + By + C 1 = 0 (C ≠ C 1 ). • Đường thẳng vuông góc đường thẳng ∆: Ax + By + C = 0 có dạng: -Bx + Ay + C 2 = 0. Tài liệu lưu hành nội bộ 1 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11 3. Đường tròn: • Đường tròn (C):    Rkínhbaùn baItaâm );( có phương trình: (x - a) 2 + (y - b) 2 = R 2 . • Phương trình x 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0 là phương trình của đường tròn (C) khi và chỉ khi a 2 + b 2 - c > 0. Khi đó (C) có tâm I(a; b) và bán kình là R = cba −+ 22 .  Ghi chú: Tài liệu lưu hành nội bộ 2 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11 §1. PHÉP BIẾN HÌNH  Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M. Dựng hình chiếu vuông góc M' của điểm M lên đường thẳng d. Dựng được bao nhiêu điểm M' như thế? ĐỊNH NGHĨA: Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm M của mặt phẳng với một điểm xác định duy nhất M' của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng. Nếu kí hiệu phép biến hình là F thì taviết F(M) = M' hay M' = F(M) và gọi điểm M' là ảnh của điểm M qua phép biến hình F. Nếu H là một hình nào đó trong mặt phẳng thì ta kí hiệu H' = F(H) là tập hợp các điểm M' = F(M), với mọi điểm M thuộc H. Khi đó ta nói F biến hình H thành hình H', hay hình H' là ảnh của hình H qua phép biến hình F. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là phép đồng nhất.  Cho trước số a dương, với mỗi điểm M trong mặt phẳng, gọi M' là điểm sao cho MM' = a. Quy tắc đặt tương ứng điểm M với điểm M' nêu trên có phải là một phép biến hình không? vì sao?  Ghi chú: CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI Tài liệu lưu hành nội bộ 3 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11 §2. PHÉP TỊNH TIẾN I- ĐỊNH NGHĨA: Trong mặt phẳng cho vectơ v  . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho 'MM = v  được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v  . • Phép tịnh tiến theo vectơ v  thường được kí hiệu là v T  , v  được gọi là vectơ tịnh tiến. • Vậy: vMMMMT v   =⇔= '')( • Phép tịnh tiến theo vectơ - khơng chính là phép đồng nhất.  Cho hai tam giác đều ABE và BCD bằng nhau. Tìm phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, E theo thứ tự thành ba điểm B, C, D. Phép tịnh tiến theo vectơ v  biến hình H thành hình H' Ví dụ: Dựng ảnh của các hình sau đây qua phép tònh theo vectơ v  II- TÍNH CHẤT: Tính chất 1: Nếu ')( MMT v =  , ')( NNT v =  thì MNNM = '' và từ đó suy ra M'N' = MN. Hay phép tònh tiến bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Tính chất 2: Phép tònh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. III- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v  = (a; b), với mỗi điểm M(x; y). Gọi M'(x'; y') là ảnh của M qua phép tònh tiến theo vectơ v  , khi đóù:    += += byy axx ' ' (biểu thức tọa độ của phép tònh tiến v T  )  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v  = (1; 2). Tìm tọa độ của điểm M' là ảnh của điểm M(3; -1) qua phép tịnh tiến v T  . Ví dụ1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v  = (-2; 3) và đường thẳng d có phương trình 3x - 5y + 3 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến v T  . Giải: Tài liệu lưu hành nội bộ 4 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11 Ví dụ2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 - 2x + 4y - 4 = 0. Tìm ảnh của (C) qua phép tònh tiến theo vectơ v  = (-2; 3). Giải:  Ghi chú: BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AD . Bài 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác điïnh ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AG . Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ AG biến D thành A. Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v  = (2; -1), điểm M(3; 2). Tìm tọa độ của các điểm A sao cho: a) A = )(MT v  ; b) M = )(AT v  . Tài liệu lưu hành nội bộ 5 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11 Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ v  = (-1; 2), hai điểm A(3; 5), B(-1; 1) và đường thẳng d có phương trình x - 2y + 3 = 0. a) Tìm tọa độ của các điểm A', B' theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo vectơ v  . b) Tìm tọa độ của điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo v  . c) Tìm phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo v  . Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình (x - 1) 2 + (y + 2) 2 = 9. Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v  = (-2; 5). Bài 6: Chứng minh rằng: M' = )'()( MTMMT vv  − =⇔ . Bài 7: Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Hãy chỉ ra một phép tịnh tiến biến a thành b. Có bao nhiêu phép tịnh tiến như thế. 2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho v  = (-2; 1), đường thẳng d có phương trình 2x - 3y + 3 = 0, đường thẳng d 1 có phương trình 2x - 3y - 5 = 0. a) Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua v T  . b) Tìm tọa độ của w  có giá vuông góc với đường thẳng d để d 1 là ảnh của d qua w T  . Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y - 9 = 0. Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d' đi qua gốc tọa độ và viết phương trình đường thẳng d'. Bài 3: Cho hai điểm phân biệt B và C cố định trên đường tròn (O) tâm O, điểm A di động trên đường tròn (O). Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn. CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI Tài liệu lưu hành nội bộ 6 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11 §3. PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC I- ĐỊNH NGHĨA: Cho đường thẳng d. Phép biến hình biến mỗi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mỗi điểm M khơng thuộc d thành M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM' được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục. Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối xứng trục hoặc đơn giản là trục đối xứng. Phép đối xứng trục d thường được kí hiệu là Đ d . Nếu hình H' là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta còn nói H đối xứng với H' qua d, hay H và H' đối xứng với nhau qua d. * Nhận xét: • Cho đường thẳng d. Với mỗi điểm M, gọi M 0 là hình chiếu vng góc của M trên đường thẳng d. Khi đó: M' = Đ d (M) ⇔ MMMM 00 ' −= . • M' = Đ d (M) ⇔ M = Đ d (M'). Ví dụ 1: Cho hình thoi ABCD. Tìm ảnh của các điểm A, B, C, D qua phép đối xứng trục AC. Giải: Ví dụ 2: Dựng ảnh của các hình sau đây qua phép đối xứng trục Đ d : II- BIỂU THỨC TỌA ĐỘ Tài liệu lưu hành nội bộ 7 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11 1) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với đường thẳng d. Với mỗi điểm M(x; y), gọi M' = Đ d (M) = (x'; y') thì:    −= = yy xx ' ' Biểu thức tọa độ của phép Đ Oy 2) Chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Oy trùng với đường thẳng d. Với mỗi điểm M(x; y), gọi M' = Đ d (M) = (x'; y') thì:    = −= yy xx ' ' Biểu thức tọa độ của phép Đ Oy  Tìm ảnh của các điểm A(1; 2), B(5; 0) qua phép đối xứng trục Ox và Oy. Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 5), đường thẳng d có phương trình x - 2y + 4 = 0 và đường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 - 2x + 4y - 4 = 0. Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Ox. Giải: III- TÍNH CHẤT: Tính chất 1: Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Tính chất 2: Phép đối xứng trục biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. IV- TRỤC ĐỐI XỨNG CỦA MỘT HÌNH: Đònh nghóa: Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến H thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng. Ví dụ: Dựng trục đối xứng (nếu có) của các hình sau đây:  Ghi chú: Tài liệu lưu hành nội bộ 8 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11 BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm A(1; -2) và B(3; 1). Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox. Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x - y + 2 = 0. Viết phương trình của đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng trục Oy. Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau tại E. Xác định ảnh của tam giác ABE qua phép đối xứng qua đường thẳng CD. Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(3; -5), đường thẳng d có phương trình 3x + 2y - 6 = 0 và đường tròn (C) có phương trình x 2 + y 2 - 2x + 4y - 4 = 0. Tìm ảnh của M, d và (C) qua phép đối xứng trục Oy. Bài 5: Trong các chữ cái sau đây, chữ nào có trục đối xứng? V I E T N A M W T O 2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M(1; 5), đường thẳng d có phương trình x - 2y + 4 = 0. Tìm ảnh của M qua Đ d . Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x - 5y + 7 = 0 và đường thẳng d' có phương trình 5x - y - 13 = 0. Tìm phép đối xứng qua trục biến d thành d'. Bài 3: Chứng minh rằng đồ thị hàm số chẵn luôn có trục đối xứng. Bài 4: Cho hai đường tròn (C) và (C') có bán kính khác nhau và đường thẳng d. Hãy dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A, C lần lượt nằm trên (C) và (C') còn hai đỉnh kia nằm trên d. CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI Tài liệu lưu hành nội bộ 9 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11 §4. PHÉP QUAY I- ĐỊNH NGHĨA: Cho điểm O và góc lượng giác α. Phép biến hình biến điểm O thành chính nó, biến mỗi điểm M khác O thành M' sao cho OM' = OM và góc lượng giác (OM; OM') bằng α được gọi là phép quay tâm O góc α. Điểm O được gọi là tâm quay còn được gọi là góc quay của phép quay đó. Phép quay tâm O góc thường được kí hiệu là Q (O, ) . * Nhận xét: 1) Chiều dương của phép quay là chiều dương của đường tròn lượng giác nghĩa là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ. Chiều quay dương Chiều quay âm 2) Với k là số nguyên ta luôn có: • Phép quay Q (O; 2k π ) là phép đồng nhất. • Phép quay Q (O; (2k + 1) π ) là phép đối xứng tâm O.  Cho hai điểm A, B bất kì và điểm O không nằm trên đường thẳng AB. Tìm ảnh của A, B qua phép quay tâm O, góc quay -90 0 . Chứng minh AB = A'B'. II- TÍNH CHẤT: Tính chất 1: Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì. Tính chất 2: Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính. * Nhận xét: Phép quay góc với 0 < <   π, biến đường thẳng d thành đường thẳng d' sao cho góc giữa d và d' bằng (nếu 0 <   ≤ 2 π ), hoặc bằng π -  (nếu 2 π ≤ π Ví dụ1: Cho tam giác ABC và điểm O nằm khác phía với điểm C so với đường thẳng AB. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm O góc quay 60 0 . Giải: Tài liệu lưu hành nội bộ 10 [...]... 26 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11 - Tài liệu lưu hành nội bộ - 27 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11 §2 HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG I- VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG... - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11  Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E, F, H, I theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, EF Hãy tìm một phép dời hình biến tam giác AEI thành tam giác FCH III- KHÁI NIỆM HAI HÌNH BẰNG NHAU: Định nghĩa: Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia  Cho hình. .. Phép vị tâm O, tỉ số k thường được kí hiệu là V(O,k) Ví dụ: - Tài liệu lưu hành nội bộ - 13 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11 Phép vị tự tâm O tỉ số Phép vị tự tâm O tỉ số * Nhận xét: 1) Phép vị tự biến tâm vị tự thành chính nó 2) Khi k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất 3) Khi k = -1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự V (M ' ) 4) M' = V(O,k)(M) ⇔ M = (O , 1 ) k  Cho tam giác... - Tài liệu lưu hành nội bộ - 11 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11 §5 KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU I- KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH: Định nghĩa: Phép dời hình là phép biến hình bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất kì Nếu phép dời hình F biến các điểm M, N lần lượt thành các điểm M', N' thì MN = M'N' *... mặt bên, cạnh bên, cạnh đáy của hình chóp S.ABCD (hình vẽ trên)? Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành ABCD Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD, SC Tìm giao điểm của mặt phẳng (MNP) với các cạnh của hình chóp và giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của hình chóp Giải: - Tài liệu lưu hành nội bộ 24 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11 ... + Hai đáy của hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau • Hình lăng trụ được gọi tên dựa vào tên của đa giác đáy: "lăng trụ" ghép với "tên đa giác đáy" 34 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11 V- HÌNH CHĨP CỤT: Định nghĩa: Cho hình chóp S A1 , A2 , , An ; một mặt phẳng (P) khơng qua đỉnh, song song với mặt phẳng đáy của hình chóp cắt các... 20 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11 §1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG I- KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU: 1 Mặt phẳng: Mặt phẳng là một đối tượng của tốn học Mặt phẳng khơng có bề dày và khơng có giới hạn • Để biểu diễn tả mặt phẳng ta thường dùng hình bình hành hay một miền góc và ghi tên của mặt phẳng vào một góc của hình biểu diễn • Để kí hiệu... BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1 Bài tập cơ bản: Bài 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF khơng cùng nằm trong một mặt phẳng a) Gọi O và O’ lần lượt là tâm của các hình bình hành ABCD và ABEF Chứng minh rằng đường thẳng OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE) - Tài liệu lưu hành nội bộ - 31 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11 b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD và... hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD Xác định giao tuyến của các mặt phẳng (SAD) và (SBC) Giải: 28 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11 ... phẳng (β) cắt các cạnh SB, SC, SD lần lượt tại B2, C2, D2 Chứng minh: - Tài liệu lưu hành nội bộ - 35 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11 a) B1, C1, D1 lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC, SD b) B1B2 = B2B, C1C2 = C2C, D1D2 = D2D c) Chỉ ra các hình chóp cụt có một đáy là tứ giác ABCD Bài 4: Trong mặt phẳng (α) cho hình bình hành ABCD Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, . Tài liệu lưu hành nội bộ 11 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11 §5. KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU I- KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH: Định nghĩa: Phép dời hình là. vị tự tâm O, tỉ số k. Phép vị tâm O, tỉ số k thường được kí hiệu là V (O,k) . Ví dụ: Tài liệu lưu hành nội bộ 13 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Hình học 11 Phép vị tự tâm O tỉ số Phép vị tự. Tài liệu lưu hành nội bộ 2 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Hình học 11 §1. PHÉP BIẾN HÌNH  Trong mặt phẳng cho đường thẳng d và điểm M. Dựng hình chiếu vuông góc M'