Tài liệu Hướng dẫn tự học Giải tích 12

 CHUẨN BỊ KIẾN THỨC:1. Dấu nhị thức bậc nhất: • Dạng f(x) = ax + b (a  0). Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. • Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b (a  0):x +ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a2. Dấu tam thức bậc hai: • Dạng f(x) = ax2 + bx + c (a  0). Nghiệm của tam thức là nghiệm phương trình ax2 + bx + c = 0. • Tính  = b2 4ac • Nếu  < 0 thì: phương trình f(x) = 0 vô nghiệm và x +f(x) cùng dấu với a • Nếu  = 0 thì: phương trình f(x) = 0 có nghiệm kép x = và

Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 MỘT SỐ KÍ HIỆU THÔNG DỤNG Kí hiệu Tên gọi Diễn giải Tài liệu lưu hành nội bộ 1 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 CHƯƠNG I. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ oOo  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: 1. Dấu nhị thức bậc nhất: • Dạng f(x) = ax + b (a ≠ 0). Nghiệm của nhị thức là nghiệm phương trình ax + b = 0. • Bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b (a ≠ 0): x -∞ - a b +∞ ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a 2. Dấu tam thức bậc hai: • Dạng f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0). Nghiệm của tam thức là nghiệm phương trình ax 2 + bx + c = 0. • Tính ∆ = b 2 - 4ac • Nếu ∆ < 0 thì: phương trình f(x) = 0 vô nghiệm và x -∞ +∞ f(x) cùng dấu với a • Nếu ∆ = 0 thì: phương trình f(x) = 0 có nghiệm kép x = - a b 2 và x -∞ - a b 2 +∞ f(x) cùng dấu với a 0 cùng dấu với a • Nếu ∆ > 0 thì: phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm x 1 , x 2 (x 1 < x 2 ) và x -∞ x 1 x 2 +∞ f(x) cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a * Chú ý: Có thể xét dấu tam thức bậc hai theo ∆ ' nếu hệ số b chẵn. 3. Xét dấu biểu thức và giải bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, bất phương trình bậc hai và hệ bất phương trình một ẩn: Yêu cầu sử dụng thành thạo bảng xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai. Giải được bất phương trình chứa ẩn ở mẫu, bất phương trình bậc hai và hệ bất phương trình một ẩn. Ví dụ1: Xét dấu các biểu thức sau: a) f(x) = (x - 1)(x 2 - 2x - 3); b) f(x) = 2 )1( 1 + − x ; c) f(x) = 2 )1( 2 −x ; d) f(x) = 5 21 2 ++ − xx x . Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau: a) x 2 + 2x + 3 < 0; b) (x - 1)(x + 1) 2 ≥ 0; c) 12 5 1 2 − ≤ − xx ; d) 1 1 13 2 < − +− x xx . Ví dụ 3: Giải các hệ bất phương trình sau: a)    ≤+−− >− 043 01 2 xx x ; b)    ≥+− >−+ 086 0152 2 2 xx xx . 4. Dấu các nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình: ax 2 + bx + c = 0 (*) (∆ = b 2 - 4ac) Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu (x 1 < 0 < x 2 ) khi và chỉ khi: P = a c < 0. Phương trình (*) có hai nghiệm âm phân biệt (x 1 < x 2 < 0) khi và chỉ khi:          <−= >= >∆ ≠ 0 0 0 0 a b S a c P a Phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt (0 < x 1 < x 2 ) khi và chỉ khi:          >−= >= >∆ ≠ 0 0 0 0 a b S a c P a 5. Điều kiện không đổi dấu của tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0). Tài liệu lưu hành nội bộ 2 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 a) f(x) ≥ 0 ∀x ∈ R ⇔    ≤∆ > 0 0a ; b) f(x) ≤ 0 ∀x ∈ R ⇔    ≤∆ < 0 0a . 6. Chia đa thức: Yêu cầu biễu diễn )( )( )( )( )( xg xr xk xg xf += (với f(x) là đa thức có bậc lớn hoặc bằng bậc của g(x)), trong đó k(x) là thương và r(x) là dư trong phép chia )( )( xg xf . Ví dụ 1: Biễu diễn các phân thức dạng )( )( xg xf thành dạng )( )( )( xg xr xk + : a) 1 2 + − x x ; b) 1 52 2 − −+ x xx ; c) 2 13 3 − +− x xx ; d) 1 1 2 3 − − x x ; e) 1 13 2 3 − ++ x xx ; f) x xx − +−− 1 12 2 ; g) 22 23 3 − −+ x xx ; h) x xxx 21 25 23 − +−− . Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau đây thành tích của nhị thức bậc nhất với một đa thức có bậc nhỏ hơn đa thức đã cho: a) -x 3 + 3x 2 - 3x + 1; b) x 3 + x 2 - 2x - 2; c) x 3 + (m - 1)x 2 - m. 7. Các khái niệm liên quan đến hàm số: Hàm số cho bởi biểu thức được kí hiệu y = f(x) với f(x) là một biểu thức chứa biến x. • Tập xác định của hàm số: D = {x ∈ R  f(x) có nghĩa}. • Giá trị của hàm số y = f(x) tại x 0 là y 0 = f(x 0 ). Ví dụ 1: Giá trị của hàm số y = x 2 + 1 tại x 0 = 2 là 5 Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = 7 23 + − x x (1) a) Tính f(2), f(-1); b) Tính giá trị của hàm số tại x = -2; c) Tìm tọa độ điểm M có hoành độ x = 0 trên đồ thị hàm số (1); d) Tìm trên đồ thị hàm số (1) những điểm có tung độ bằng 0. Ví dụ 3: Tìm tập xác định của các hàm số sau: a) y = 4 x – 2 2 x + 3; b) y = x x − + 1 13 ; c) y = 1 1 2 − +− x xx ; d) y = 22 )9( 2 −x x ; e) y = 20 2 −− xx ; f) y = 2 16 x x − . 8. Tính giới hạn: Yêu cầu tính được các giới hạn dạng: )(lim 0 xf xx + → , )(lim 0 xf xx − → , )(lim xf x ±∞→ . Ví dụ: Tính các giới hạn sau: a) x x x − + + → 1 13 lim 1 ; b) x x x − + − → 1 13 lim 1 ; c) x x x − + +∞→ 1 13 lim ; d) x x x − + −∞→ 1 13 lim ; e) )13(lim 23 +−+ +∞→ xxx x ; f) )13(lim 23 +−+ −∞→ xxx x ; g) 2 1 4 lim x x + +∞→ ; h) 2 1 4 lim x x + −∞→ ; i) 20 12 lim 2 −− − +∞→ xx x x ; j) 20 12 lim 2 −− − −∞→ xx x x ; k) x x x 4 lim 2 + ±∞→ ; l) 2 2 4 lim x x x − ±∞→ . 9. Đạo hàm: a) Các phép toán: Giả sử u = u(x), v = v(x), w = w(x) là các hàm số có đạo hàm, khi đó: Tài liệu lưu hành nội bộ 3 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 (u + u - w)' = u' + v' - w'; (uv)' = u'v + v'u; (k.u)' = k.u' ; 2 '' )'( v uvvu v u − = 2 ' )' 1 ( v v v −= . b) Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp cơ bản: Đạo hàm số sơ cấp cơ bản Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x)) (C)' = 0 (x α )' = αx α -1 (α ∈ R, x > 0) x x 2 1 )'( = (x > 0) 2 1 )' 1 ( x x −= (x ≠ 0) (u α )' = αu α -1 .u'(α ∈ R, u > 0) u u u 2 ' )'( = (u > 0) 2 ' )' 1 ( u u u −= (u ≠ 0) (sinx)' = cosx (cosx)' = -sinx (tanx)' = x 2 cos 1 (x ≠ π π k+ 2 , k ∈ Z) (cotx)' = - x 2 sin 1 (x ≠ kπ, k ∈ Z). (sinu)' = cosu.u' (cosu)' = -sinu.u' (tanu)' = u u 2 cos ' (u ≠ π π k+ 2 , k ∈ Z) (cotu)' = - u u 2 sin ' (u ≠ kπ, k ∈ Z). c) Một số công thức tính đạo hàm đặc biệt: • ( dcx bax + + )' = 2 )( dcx bcad + − • 2 22 )( 2 )'( edx dcbeaexadx edx cbxax + −++ = + ++ • 22 2 2 2 )( )(2)( )'( fexdx ecbfxdcafxbdae fexdx cbxax ++ −+−+− = ++ ++ Ví dụ: Tính đạo hàm các hàm số sau đây: a) y = x 3 + x 1 - 1 2 +x ; b) y = 2 3 + − x x ; c) y = 2 1 − − x x ; d) y = 1 1 +x . d) Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x 0 ; y 0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) là f'(x 0 ) và phương trình tiếp tuyến tại M(x 0 ; y 0 ) có dạng: y - y 0 = f'(x 0 )(x - x 0 ). Ví dụ: Cho hàm số y = x 2 . Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số đó, biết: a) Tiếp điểm là điểm (1; 1); b) Tung độ của tiếp điểm bằng 4; c) Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = -x + 2; d) Tiếp tuyến đó vng góc với đường thẳng y = 1 2 1 +x . 10. Lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số y = ax + b & y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0): • u cầu lập được bảng biến thiên và vẽ được đồ thị các hàm số bậc nhất và hàm số bậc hai. Ví dụ:Vẽ đồ thị các hàm số sau: a) y = 2x - 1; b) y = 1 - x; c) y = 2; d) x = -3; e) y = x. 11. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường: • u cầu tìm được tọa độ giao điểm của hai đường có phương trình cho trước. Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị hai hàm số: a) (C): y = x 2 - 2x + 2 và d: y = x; b) (C): y = x 3 + 4x 2 + 4x + 1 và d: y = x + 1; c) (C): y = x 3 + 3x 2 + 1 và d: y = 2x + 5; d) (C): y = x 3 - 3x và d: y = x 2 + x - 4. Ví dụ 2: Tìm tọa giao điểm của các đường sau đây với hai trục tọa độ: a) y = x + 1; b) y = x 2 + 1; c) y = x 2 - 5x + 6; d) y = x 4 - 4x 2 + 3.  Ghi chú: Tài liệu lưu hành nội bộ 4 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 Tài liệu lưu hành nội bộ 5 O y x O y x Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 §1. SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ I - TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 1) Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định trên K (K = (a; b) hoặc K = [a; b) hoặc K = (a; b] hoặc K = [a; b]) Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x 1 , x 2 thuộc K sao cho: x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) < f(x 2 ) Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi cặp x 1 , x 2 thuộc K sao cho: x 1 < x 2 ⇒ f(x 1 ) > f(x 2 ) Bảng biến thiên: x a b − → bx lim y + → ax lim Bảng biến thiên: x a b + → ax lim y − → bx lim Đồ thị hàm số đồng biến là đường đi lên từ trái sang phải Đồ thị hàm số nghịch biến là đường đi xuống từ trái sang phải 2) Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm:  Tính đạo hàm y', xét dấu y', quan sát đồ thò hàm số y = f(x) để hoàn thiện bảng biến thiên và rút ra nhận xét: a) y = x 2 . TXĐ: D = R y' = 2x y' = 0 ⇔ 2x = 0 ⇔ x = 0 ⇒ y = 0 Bảng biến thiên: Đồ thò: x -∞ 0 +∞ y' - 0 + y +∞ +∞ 0 b) y = x 1 . TXĐ: D = y' = Bảng biến thiên: Đồ thị: x -∞ 0 +∞ y' y Nhận xét: Nếu y' < 0 trên K thì hàm số trên K. Nếu y' > 0 trên K thì hàm số trên K. Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. a) Nếu f'(x) > 0 ∀ x ∈ K thì hàm số f(x) đồng biến trên K. b) Nếu f'(x) < 0 ∀ x ∈ K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K. Tài liệu lưu hành nội bộ 6 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 * Hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên K gọi chung là đơn điệu trên K, K gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x). Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số a) y = 2x 4 + 1; b) y = sinx trên khoảng (0; 2π). Giải: * Chú ý: Quan sát đồ thò hàm số y = x 3 và trả lời câu hỏi: Khẳng đònh sau đúng hay sai? vì sao? "Nếu hàm số y = f(x) tăng trên R thì f'(x) > 0 với mọi x ∈ R". Trả lời: Định lí mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x) ≥ 0 (f'(x) ≤ 0), ∀ x ∈ K và f'(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm x 0 thì hàm số đồng biến (nghịch biến) trên K. • Nếu f'(x) = 0 ∀ x ∈ K thì f(x) khơng đổi trên K (hay hàm số y = f(x) là hàm hằng y = c trên K) II. QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 1. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x):  Trình bày bài giải: • Tìm tập xác định D của hàm số. (D = {x ∈ R | f(x) có nghĩa}) • Tính đạo hàm f'(x). Cho f'(x) = 0, tìm các điểm x i (i = 1, 2, , n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc khơng xác định. • Lập bảng biến thiên (lưu ý sắp xếp các điểm x i theo thứ tự tăng dần trên bảng biến thiên). • Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số. Ví dụ 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y = f(x) = 22 2 1 3 1 23 +−− xxx Giải: Tài liệu lưu hành nội bộ 7 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau: a) y = 2x 3 + 6x 2 + 6x - 7; b) y = x 4 - 2x 2 - 3; c) y = - 2 4 x - x 2 + 2 3 ; d) y = 1 1 + − x x . Giải: 2. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ: Chứng minh rằng x > sinx trên khoảng (0; 2 π ). Giải: Tài liệu lưu hành nội bộ 8 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12  Ghi chuù: BÀI TẬP RÈN LUYỆN 1. Bài tập cơ bản: Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: a) y = 3 1 x 3 + 3x 2 - 7x - 2; b) y = -x 3 + x 2 - 5; c) y = 3x 3 - 8x 2 ; d) y = x 3 - 6x 2 + 9x; e) y = x 3 - 3x 2 - x + 3; f) y = 2x 3 - 6x + 2. Bài 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: a) y = x 4 - 2x 2 + 3; b) y = x 4 + 8x 2 + 5; c) y = 16x + 2x 2 - 3 16 x 3 - x 4 ; d) y = 4 x – 2 2 x + 3. Bài 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: a) y = x x − + 1 13 ; b) y = 7 23 + − x x ; c) y = 1 1 − + x x . Bài 4: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: a) y = 1 1 2 − +− x xx ; b) y = x xx − − 1 2 2 ; c) y = 1 32 2 + +− x xx . 2. Bài tập nâng cao: Bài 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số: a) y = 9 2 2 −x x ; b) y = 20 2 −− xx . Tài liệu lưu hành nội bộ 9 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 Bài 2: Chứng minh rằng hàm số y = 1 2 +x x đồng biến trên khoảng (-1; 1) và nghịch biến trên các khoảng (-∞; -1) và (1; +∞). (HD: Chứng minh y' ≥ 0 ∀ x ∈ (-1;1) và y' ≤ 0 ∀ x ∈ (- ∞ ;-1) ∪ (1; + ∞ )) Bài 3: Chứng minh hàm số y = 2 2 xx − đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (1; 2). Bài 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) tanx > x (0 < x < 2 π ); b) tanx > x + 3 3 x (0 < x < 2 π ). CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI §2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I. KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU: Lập bảng biến thiên của hàm số sau: y = xxx 2 5 2 3 6 1 23 ++ Đồ thị hàm số y = xxx 2 5 2 3 6 1 23 ++ Tài liệu lưu hành nội bộ 10 [...]... - Tài liệu lưu hành nội bộ - 13 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 14 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 §3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ I ĐỊNH NGHĨA: Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D a)... Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 * ƠN TẬP CHƯƠNG I * I TĨM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG I: - Tài liệu lưu hành nội bộ - 29 Tài liệu hướng dẫn tự. .. dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x3 - 3x2 - 12x + 10 trên [-3; 1] Giải: 16 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 Ví dụ 2:... nhôm lại như hình vẽ để được một cái hộp không nắp Tính cạnh của các hình vuông bò cắt sao cho thể tích của khối hộp là lớn nhất Giải: - Tài liệu lưu hành nội bộ - 17 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 ... xác định: D = R • y' = f'(x) y' = 0: giải phương trình f'(x) = 0 • Tính các giới hạn lim y = , x → −∞ lim y = (chỉ cần kết quả, khơng cần giải thích) x → +∞ • Vẽ bảng biến thiên + Kết luận các khoảng đơn điệu + Kết luận các điểm cực trị của đồ thị hàm số • Điểm đặc biệt: Điểm cực trị; - Tài liệu lưu hành nội bộ - 23 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm... x→+∞ c c x → −∞ 24 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 lim y = , lim− y = ⇒ Tiệm cận đứng x = x0 (chỉ cần kết quả, khơng cần giải thích) x→ x0 + x → x0 • Vẽ bảng biến thiên Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số Hàm số khơng có cực trị • Điểm đặc biệt: Giao điểm với trục tung: x = 0 tìm y Giao điểm với trục hồnh: y = 0 giải phương trình f(x) =... trên khoảng (0; +∞) x Giải: Ví dụ 2: Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của các hàm số sau: 1 1 a) f(x) = - 2 ; b) f(x) = trên (0; 1) x x +1 Giải: - Tài liệu lưu hành nội bộ - 15 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 ... = x3 2 - x + x + 1 3 Giải: 22 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 ... SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ 1/ Tọa độ giao điểm của hai đồ thò: Ví dụ: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường: (C) y = x2 + 2x - 3 và d: y = 2x + 1 Giải: - Tài liệu lưu hành nội bộ - 25 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 ... 12 - Tài liệu lưu hành nội bộ - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 . phương trình tiếp tuyến của đồ thị của hàm số đó, biết: a) Tiếp điểm là điểm (1; 1); b) Tung độ của tiếp điểm bằng 4; c) Tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = -x + 2; d) Tiếp tuyến đó vng góc. f) )13(lim 23 +−+ −∞→ xxx x ; g) 2 1 4 lim x x + +∞→ ; h) 2 1 4 lim x x + −∞→ ; i) 20 12 lim 2 −− − +∞→ xx x x ; j) 20 12 lim 2 −− − −∞→ xx x x ; k) x x x 4 lim 2 + ±∞→ ; l) 2 2 4 lim x x x − ±∞→ . 9 nghĩa hình học của đạo hàm: Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm M(x 0 ; y 0 ) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) là f'(x 0 ) và phương trình tiếp tuyến tại M(x 0 ; y 0 ) có dạng: y - y 0 = f'(x 0 )(x