Tài liệu Hướng dẫn tự học Giải tích 12

Tài liệu Hướng dẫn tự học Giải tích 12 hướng dẫn học sinh tự học môn học Giải tích 12 của của giáo viên - Võ Thanh Hùng - GV THPT Trần Quốc Toản - Đồng Tháp. Chúc các em học tập tốt.

Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƠNG DỤNG Kí hiệu Tên gọi - Tài liệu lưu hành nội - Diễn giải Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ - oOo -  CHUẨN BỊ KIẾN THỨC: Dấu nhị thức bậc nhất: • Dạng f(x) = ax + b (a ≠ 0) Nghiệm nhị thức nghiệm phương trình ax + b = • Bảng xét dấu nhị thức bậc f(x) = ax + b (a ≠ 0): b -∞ +∞ x a ax + b trái dấu với a dấu với a Dấu tam thức bậc hai: • Dạng f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Nghiệm tam thức nghiệm phương trình ax2 + bx + c = • Tính ∆ = b2 - 4ac • Nếu ∆ < thì: phương trình f(x) = vô nghiệm -∞ +∞ x f(x) dấu với a b • Nếu ∆ = thì: phương trình f(x) = có nghiệm kép x = 2a b -∞ +∞ x 2a f(x) dấu với a dấu với a • Nếu ∆ > thì: phương trình f(x) = có nghiệm x1, x2 (x1 < x2) -∞ x1 x2 +∞ x f(x) dấu với a trái dấu với a dấu với a * Chú ý: Có thể xét dấu tam thức bậc hai theo ∆ ' hệ số b chẵn Xét dấu biểu thức giải bất phương trình chứa ẩn mẫu, bất phương trình bậc hai hệ bất phương trình ẩn: Yêu cầu sử dụng thành thạo bảng xét dấu nhị thức bậc tam thức bậc hai Giải bất phương trình chứa ẩn mẫu, bất phương trình bậc hai hệ bất phương trình ẩn Ví dụ1: Xét dấu biểu thức sau: − 2x −1 a) f(x) = (x - 1)(x2 - 2x - 3); b) f(x) = c) f(x) = d) f(x) = ; ; ( x + 1) ( x − 1) x + x+5 Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: x − 3x + ≤ a) x2 + 2x + < 0; b) (x - 1)(x + 1)2 ≥ 0; c) ; d) < x − 2x − x −1 1− x >  x + x − 15 >  Ví dụ 3: Giải hệ bất phương trình sau: a)  ; b)  − x − x + ≤  x − 6x + ≥ Dấu nghiệm phương trình bậc hai: Cho phương trình: ax2 + bx + c = (*) (∆ = b2 - 4ac) Phương trình (*) có hai Phương trình (*) có hai nghiệm Phương trình (*) có hai nghiệm nghiệm trái dấu (x1 < < x2) âm phân biệt (x1 < x2 < 0) dương phân biệt (0 < x1 < x2 ) c  a≠0  a≠0 khi: P = <   ∆>0 a  ∆ >c  c khi:  P = > khi:  P = > a a   S = − b < S = − b >   a a Điều kiện không đổi dấu tam thức bậc hai: Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 a > a < a) f(x) ≥ ∀x ∈ R ⇔  ; b) f(x) ≤ ∀x ∈ R ⇔  ∆ ≤ ∆ ≤ Chia đa thức: f ( x) r ( x) = k ( x) + Yêu cầu biễu diễn (với f(x) đa thức có bậc lớn bậc g(x)), k(x) g ( x) g ( x) f ( x) thương r(x) dư phép chia g ( x) f ( x) r ( x) Ví dụ 1: Biễu diễn phân thức dạng thành dạng k ( x) + : g ( x) g ( x) x−2 x3 − x + 2x − x − 3x + a) ; b) ; c) ; d) ; x +1 x −1 x −1 x−2 x + 3x + − x − 2x + x + 3x − x − 5x − x + e) ; f) ; g) ; h) x2 −1 1− x 2x − − 2x Ví dụ 2: Phân tích đa thức sau thành tích nhị thức bậc với đa thức có bậc nhỏ đa thức cho: a) -x3 + 3x2 - 3x + 1; b) x3 + x2 - 2x - 2; c) x3 + (m - 1)x2 - m Các khái niệm liên quan đến hàm số: Hàm số cho biểu thức kí hiệu y = f(x) với f(x) biểu thức chứa biến x • Tập xác định hàm số: D = {x ∈ R  f(x) có nghĩa} • Giá trị hàm số y = f(x) x0 y0 = f(x0) Ví dụ 1: Giá trị hàm số y = x2 + x0 = − 2x Ví dụ 2: Cho hàm số y = f(x) = (1) x+7 a) Tính f(2), f(-1); b) Tính giá trị hàm số x = -2; c) Tìm tọa độ điểm M có hồnh độ x = đồ thị hàm số (1); d) Tìm đồ thị hàm số (1) điểm có tung độ Ví dụ 3: Tìm tập xác định hàm số sau: 3x + a) y = x – x + 3; b) y = ; 1− x 2x x2 − x +1 c) y = ; d) y = ; ( x − 9) x −1 x e) y = x − x − 20 ; f) y = 16 − x Tính giới hạn: Yêu cầu tính giới hạn dạng: lim+ f ( x) , lim− f ( x) , lim f ( x) x → x0 Ví dụ: Tính giới hạn sau: 3x + a) lim+ ; x→1 − x ( x + 3x − x + 1) ; e) xlim →+∞ i) xlim →+∞ 2x − x − x − 20 ; b) lim− x→1 x → x0 x→± ∞ 3x + ; 1− x ( x + 3x − x + 1) ; f) xlim →−∞ j) xlim →−∞ 2x − x − x − 20 3x + ; x→+∞ − x g) lim ; x→+∞ + x x2 + k) lim ; x→± ∞ x c) lim ; 3x + ; x→−∞ − x h) lim ; x→−∞ + x x2 − l) lim x→± ∞ x2 d) lim Đạo hàm: a) Các phép toán: Giả sử u = u(x), v = v(x), w = w(x) hàm số có đạo hàm, đó: - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 (u + u - w)' = u' + v' - w'; (uv)' = u'v + v'u; (k.u)' = k.u' ; u u ' v − v' u v' ( )' = ( )' = − v v v2 v b) Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp bản: Đạo hàm số sơ cấp Đạo hàm hàm số hợp (u = u(x)) (C)' = (xα)' = αxα-1(α ∈ R, x > 0) (uα)' = αuα-1.u'(α ∈ R, u > 0) u' ( x )' = ( u )' = (x > 0) (u > 0) x u 1 u' ( )' = − (x ≠ 0) ( )' = − (u ≠ 0) x u x u (sinx)' = cosx (sinu)' = cosu.u' (cosx)' = -sinx (cosu)' = -sinu.u' π u' π + kπ , k ∈ Z) + kπ , k ∈ Z) (tanx)' = (x ≠ (tanu)' = (u ≠ 2 cos x 2 cos u u' (cotx)' = - (x ≠ kπ, k ∈ Z) (cotu)' = - (u ≠ kπ, k ∈ Z) sin x sin u c) Moät số công thức tính đạo hàm đặc biệt: ad − bc ax + bx + c adx + 2aex + be − dc ax + b ( )' = •( )' = • (cx + d ) dx + e (dx + e) cx + d ax + bx + c (ae − bd ) x + 2(af − dc) x + bf − ec )' = dx + ex + f (dx + ex + f ) Ví dụ: Tính đạo hàm hàm số sau đây: x−3 1− x a) y = x3 + - x + ; b) y = ; c) y = ; d) y = x x+2 x−2 x +1 d) Ý nghĩa hình học đạo hàm: Hệ số góc tiếp tuyến điểm M(x0; y0) thuộc đồ thị hàm số y = f(x) f'(x0) phương trình tiếp tuyến M(x0; y0) có dạng: y - y0 = f'(x0)(x - x0) Ví dụ: Cho hàm số y = x2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số đó, biết: a) Tiếp điểm điểm (1; 1); b) Tung độ tiếp điểm 4; c) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -x + 2; d) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = x + 10 Lập bảng biến thiên, vẽ đồ thị hàm số y = ax + b & y = ax2 + bx + c (a ≠ 0): • Yêu cầu lập bảng biến thiên vẽ đồ thị hàm số bậc hàm số bậc hai Ví dụ:Vẽ đồ thị hàm số sau: a) y = 2x - 1; b) y = - x; c) y = 2; d) x = -3; e) y = x 11 Tìm tọa độ giao điểm hai đường: • u cầu tìm tọa độ giao điểm hai đường có phương trình cho trước Ví dụ 1: Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hai hàm số: a) (C): y = x2 - 2x + d: y = x; b) (C): y = x3 + 4x2 + 4x + d: y = x + 1; c) (C): y = x3 + 3x2 + d: y = 2x + 5; d) (C): y = x3 - 3x d: y = x2 + x - Ví dụ 2: Tìm tọa giao điểm đường sau với hai trục tọa độ: a) y = x + 1; b) y = x2 + 1; c) y = x2 - 5x + 6; d) y = x4 - 4x2 + •(  Ghi chú: - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 §1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ I - TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: 1) Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác định K (K = (a; b) K = [a; b) K = (a; b] K = [a; b]) Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) K Hàm số y = f(x) nghịch biến (giảm) K với cặp x1, x2 thuộc K cho: với cặp x1, x2 thuộc K cho: x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) Bảng biến thiên: x Bảng biến thiên: a b x lim a b lim x →b − x →a + y y lim lim x →a + x→b − Đồ thị hàm số đồng biến đường lên từ trái sang phải Đồ thị hàm số nghịch biến đường xuống từ trái sang phải 2) Tính đơn điệu dấu đạo hàm:  Tính đạo hàm y', xét dấu y', quan sát đồ thị hàm số y = f(x) để hoàn thiện bảng biến thiên rút nhận xét: a) y = x2 y TXÑ: D = R y' = 2x y' = ⇔ 2x = ⇔ x = ⇒ y = Bảng biến thiên: Đồ thị: x -∞ +∞ y' + +∞ x +∞ y O b) y = x TXĐ: D = y y' = Bảng biến thiên: x -∞ y' Đồ thị: +∞ y x O Nhận xét: Nếu y' < K hàm số K Nếu y' > K hàm số K Định lí: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm K a) Nếu f'(x) > ∀ x ∈ K hàm số f(x) đồng biến K b) Nếu f'(x) < ∀ x ∈ K hàm số f(x) nghịch biến K - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 * Hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) K gọi chung đơn điệu K, K gọi chung khoảng đơn điệu hàm số y = f(x) Ví dụ: Tìm khoảng đơn điệu hàm số a) y = 2x4 + 1; b) y = sinx khoảng (0; 2π) Giải: * Chú ý: Quan sát đồ thị hàm số y = x3 trả lời câu hỏi: Khẳng định sau hay sai? sao? "Nếu hàm số y = f(x) tăng R f'(x) > với x ∈ R" Trả lời: Định lí mở rộng: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm K Nếu f'(x) ≥ (f'(x) ≤ 0), ∀ x ∈ K f'(x) = số hữu hạn điểm x0 hàm số đồng biến (nghịch biến) K • Nếu f'(x) = ∀x ∈ K f(x) khơng đổi K (hay hàm số y = f(x) hàm y = c K) II QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y = f(x):  Trình bày giải: • Tìm tập xác định D hàm số (D = {x ∈ R | f(x) có nghĩa}) • Tính đạo hàm f'(x) Cho f'(x) = 0, tìm điểm x i (i = 1, 2, , n) mà đạo hàm khơng xác định • Lập bảng biến thiên (lưu ý xếp điểm xi theo thứ tự tăng dần bảng biến thiên) • Kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số Ví dụ 1: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số y = f(x) = x − x − x + - Tài liệu lưu hành nội Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 Giải: Ví dụ 2: Tìm khoảng đơn điệu hàm số sau: a) y = 2x + 6x + 6x - 7; d) y = Giải: b) y = x - 2x - 3; x −1 x +1 x4 c) y = - - x2 + ; 2 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 Ứng dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức: π Ví dụ: Chứng minh x > sinx khoảng (0; ) Giải:  Ghi chuù: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số: a) y = x3 + 3x2 - 7x - 2; b) y = -x3 + x2 - 5; c) y = 3x3 - 8x2; d) y = x3 - 6x2 + 9x; e) y = x3 - 3x2 - x + 3; f) y = 2x3 - 6x + Bài 2: Tìm khoảng đơn điệu hàm số: a) y = x4 - 2x2 + 3; b) y = x4 + 8x2 + 5; 16 c) y = 16x + 2x2 x -x; d) y = x – x + 3 Bài 3: Tìm khoảng đơn điệu hàm số: - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 x +1 3x + − 2x ; b) y = ; c) y = 1− x x+7 x −1 Bài 4: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số: x2 − x +1 x − 2x x2 − 2x + a) y = ; b) y = ; c) y = 1− x x +1 x −1 Bài tập nâng cao: Bài 1: Xét đồng biến, nghịch biến hàm số: 2x a) y = ; b) y = x − x − 20 x −9 x Bài 2: Chứng minh hàm số y = đồng biến khoảng (-1; 1) nghịch biến khoảng (-∞; x +1 -1) (1; +∞) (HD: Chứng minh y' ≥ 0∀x∈ (-1;1) y' ≤ 0∀x∈ (-∞ ;-1)∪ (1; +∞ )) Bài 3: Chứng minh hàm số y = x − x đồng biến (0; 1) nghịch biến (1; 2) Bài 4: Chứng minh bất đẳng thức sau: π π x3 a) tanx > x (0 < x < ); b) tanx > x + (0 < x < ) 2 a) y = CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI §2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I KHÁI NIỆM CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU: Lập bảng biến thiên hàm số sau: 3 y= x + x + x 2 Đồ thị hàm số y = 10 - Tài liệu lưu hành nội - 3 x + x + x 2 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 Hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) quay xung quanh trục Ox tạo thành khối trịn xoay Thể tích khối trịn xoay là: y = b V = π ∫ [ f (x)]2 dx f ( x x = 0, x = π Tính Ví dụ 1: Cho hình phẳng giới hạn đường cong y = cosx, trục hoành hai đường thẳng ) thể tích khối trịn xoay thu quay hình xung quanh trục Ox Giải: a y = cos(x) π y x O y O Ví dụ 2: Tính thể tích khối tròn xoay hình phẳng giới hạn đường y = -x2 - 2x + 3, y = quay quanh trục Ox Giải: x  Ghi chuù: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol y = - x2, y = đường thẳng y = -x Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) x = -1, x = 3, y = 0, y = x4 + 2x2 + 3; b) y = x2 - 2, y = -3x + 2; c) y = x2 - 12x + 36, y = 6x - x2 - Tài liệu lưu hành nội - 77 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: a) y = x2, y = x + 2; b) y = | lnx| , y = 1; c) y = (x - 6)2, y = 6x - x2 Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x + 1, tiếp tuyến với đường điểm M(2; 5) trục Oy Bài 5: Tính thể tích vật thể trịn xoay hình phẳng giới hạn trục hoành parabol y = x(4 - x) quay quanh trục hồnh Bài 6: Tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: x π a) y = -x2 + 1, y = 0; b) y = sin , y = 0, x = 0, x = ; c) y = lnx, y = 0, x = e Bài 7: Tính thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường sau quay quanh trục Ox: π π a) y = - x2, y = 0; b) y = cosx, y = 0, x = 0, x = ; c) y = tanx, y = 0, x = 0, x = 4 Bài tập nâng cao: x2 Bài 1: Parapol y = chia hình trịn có tâm gốc tọa độ, bán kính 2 thành hai phần Tìm tỉ số diện tích chúng Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y = x2, x - y + = 0, y = Bài 3: Tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng xác định y = 2x - x2, y = x, quanh trục Ox CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI 78 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 * ƠÂN TẬP CHƯƠNG III * BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) f(x) = (x - 1)(1 - 2x)(1 - 3x); b) f(x) = sin4xcos22x; - Tài liệu lưu hành nội - 79 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 c) f(x) = Bài 2: Tính ; 1− x2 d) f(x) = (ex - 1)3 a) ∫ (2 − x) sinxdx; b) ∫ dx; (sinx + cosx)2 Bài 3: Tính: x dx; a) ∫ + x Bài 4: Tính: e) ∫ d) ∫ π x dx; d) ∫ x − 2x − dx; b) ∫ x π 64 1+ x e3x + dx; ex + 1 dx f) ∫ (1+ x)(2 − x) c) ∫ dx; 1+ x + x 3x c) ∫ x e dx; dx; d) ∫ 1+ sin2xdx a) cos2xsin xdx; ∫ (x + 1)2 (x + 1)(x + 2)(x + 3) dx; x2 b) ∫ − dx; x c) ∫ −x −1 π π e) (sinx + cosx) dx; ∫ 2 f) ∫ (x + sinx) dx Bài tập nâng cao: Bài 1: Xét hình phẳng D giới hạn y = 1− x2 y = 2(1 - x) a) Tính diện tích hình D; b) Quay hình D xung quanh trục Ox Tính thể tích khối trịn xoay thành Bài 2: Tính thể tích hình trịn xoay tạo nên hình phẳng giới hạn đường (C): y = x + 1, trục tung tiếp tuyến (C) điểm (1; 2) quay quanh trục Ox CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI 80 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 CHƯƠNG IV SỐ PHỨC - oOo - §1 SỐ PHỨC Số i: Phương trình x2 + = có nghiệm số kí hiệu "i" với i2 = -1 Định nghĩa số phức: • Mỗi biểu thức dạng a + bi, a, b ∈ R, i = -1 gọi số phức • Đối với số phức z = a + bi, ta nói a phần thực, b phần ảo z • Tập hợp số phức kí hiệu C (Complex) * Chú ý: • Số thực a = a + 0i Mỗi số thực a số phức R ⊂ C • Số ảo: bi = + bi • i = + 1i (số i gọi đơn vị ảo) • Số phức + (-3)i viết - 3i, số phức + i cịn viết + i Số phức nhau: Hai số phức phần thực phần ảo chúng tương ứng a + bi = c + di ⇔ a = c b = d Ví dụ: Tìm x, y để hai số phức z = (2x+1) + (3y-2)i, z’ = (x – 2) +(4y -3)i Giải: z = a + bi Biểu diễn hình học số phức: Điểm M(a; b) hệ tọa độ vuông góc mặt phẳng gọi điểm biểu diễn số phức z = a + bi Ví dụ 1: Biểu diễn hình học số phức: + 2i, - i, -2 - 3i, 3i, Giaûi: y -5 -4 -3 -2 -1 O x -1 -2 -3 -4 -5 -6 Ví dụ 2: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện phần ảo -5 phần thực thuộc khoảng (-4; 4) Giaûi: - Tài liệu lưu hành nội - 81 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 Môđun số phức: Giả sử số phức z = a + bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng tọa độ Độ dài vectơ OM gọi môđun số phức z kí hiệu z Vậy: z = a + bi = OM = y M b a2 + b2 x O Số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi Ta gọi a - bi số phức liên hợp z kí hiệu z = a - bi Ví dụ: Số phức liên hợp z = -3 + 2i là: Số phức liên hợp z = - 3i là: * Chú ý: Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn z z đối xứng qua trục Ox, z = z, z = z a y z = a + bi M b x O -b a M' z = a - bi  Ghi chú: 82 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Tìm phần thực phần ảo số phức z, biết: a) z = - πi; b) z = - i; c) z = 2 ; d) z = -7i Bài 2: Tìm số thực x y, biết: a) (3x - 2) + (2y + 1)i = (x + 1) - (y - 5)i; b) (1 - 2x) - i = + (1 - 3y)i; c) (2x + y) + (2y - x)i = (x - 2y + 3) + (y + 2x + 1)i Bài 3: Tính | z| với: a) z = -2 + i ; b) z = - 3i; c) z = -5; d) z = i z Bài 4: Tìm , biết: a) z = - i ; b) z = - + i ; c) z = 5; d) z = 7i Bài 5: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: a) Phần thực z -2; b) Phần ảo z 3; c) Phần thực z thuộc khoảng (-1; 2); d) Phần ảo z thuộc đoạn [1; 3]; e) Phần thực phần ảo z thuộc đoạn [-2; 2] Bài tập nâng cao: Bài 1: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: a) | z| = 1; b) | z| ≤ 1; c) < | z| ≤ 2; d) | z| = phần ảo z Bài 2: Trên mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn đẳng thức z = Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa z + i = CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI - Tài liệu lưu hành nội - 83 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 §2 CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC Phép cộng phép trừ hai số phức: Phép cộng phép trừ số phức thực theo quy tắc cộng, trừ đa thức (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i Ví dụ: Cho số phức z1 = + 5i; z2 = -2i Tính z1 + z2, z1- z2 Giải: Phép nhân hai số phức: Phép nhân hai số phức thực theo quy tắc nhân đa thức thay i2 = -1 kết nhận (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad +bc)i * Chuù ý: Phép cộng phép nhân số phức có tất tính chất phép cộng phép nhân số thực Ví dụ: Cho số phức z = - 2i, z1 = -2 + 3i Thực phép tính: a) z.z1; b) z2; c) z3 - 3z1 Giải:  Ghi chú: 84 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Thực phép tính sau: a) (2 - 3i) + (-4 + i); b) 4i - (-7 + 3i); c) (2 - 3i)(5 + 7i); d) (3 - 5i) + (2 + 4i); e) (-2 - 3i) + (-1 - 7i); f) (4 + 3i) - (5 - 7i) Bài 2: Tính α + β, α - β với: a) α = 3, β = 2i; b) α = 5i, β = -7i; c) α = 1- 2i, β = 6i; d) α = 15, β = - 2i Bài 3: Thực phép tính sau: a) (3 - 2i)(2 - 3i); b) (-1 + i)(3 + 7i); c) 5(4 + 3i); d) (-2 - 5i).4i Bài 4: Tính: a) (2 + 3i)2; b) (2 + 3i)3; c) (1 - 3i)3 Bài 5: Tính i3, i4, i5 Nêu cách tính in với n số tự nhiên tùy ý Bài tập nâng cao: Bài 1: Tính giá trị biểu thức Q = (2 + i)2 + (2 - i)2 Bài 2: Tìm phần thực phần ảo số phức sau: a) z = i + (2 – 4i) – (3 – 2i); b) z = i(2 – i)(3 + i); c) z = (5 + 2i) + (3 – i) + (1 + 2i); 2 12 13 d) z = (1 + i) – (1 – i) ; e) z = 2i + i ; f) z = (2 + i)3 – (3 – i)3 CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI - Tài liệu lưu hành nội - 85 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 §3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC Tổng tích hai số phức liên hợp: Cho số phức z = a + bi z + z = 2a z.z = a + b = z • Tổng số phức với số phức liên hợp hai lần phần thực số phức • Tích số phức với số phức liên hợp bình phương mơđun số phức Phép chia hai số phức: a + bi ac+ bd ad− bc = + i Cho số phức c + di a + bi Ta có z = c + di c2 + d2 c2 + d2 c + di * Chú ý: Để tính , ta nhân tử mẫu với số phức liên hợp mẫu (a + bi) a + bi Ví dụ 1: Thực phép chia sau: 1+ i 6+ 3i a) ; b) − 3i 5i Giải: Ví dụ 2: Giải phương trình (1 + 3i)z - (2 + 5i) = (2 + i)z Giải:  Ghi chú: BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Thực phép chia: 2+ i a) ; 3− 2i 86 b) 1+ i ; 2+ i c) 5i ; − 3i - Tài liệu lưu hành nội - d) 5− 2i i Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 số phức z, biết: z a) z = + 2i; b) z = - 3i; Bài 3: Thực phép tính sau: Bài 2: Tìm nghịch đảo c) z = i; (1+ i )2 (2i )3 ; − 2+ i 5+ 4i d) - 3i + 3+ 6i a) 2i(3 + i)(2 + 4i); b) c) + 2i + (6 + i)(5 + i); Bài 4: Giải phương trình sau: a) (3 - 2i)z + (4 + 5i) = + 3i; b) z + (2 − 3i ) = 5− 2i − 3i Bài tập nâng cao: Bài 1: Tìm phần thực phần ảo số phức sau : + 2i a) z = − i − ; b) z = - 2i - (3 - 2i)2; i + 3i − 1+ 5i 3− i 2−i − d) z = ; e) ; − 1+ i − 2i 1+ i i Bài 2: Cho z = + 3i Tìm phần thực, phần ảo modun số phức Bài 3: Giải phương trình d) z = + i 2+ i − 1+ 3i z= 1− i 2+ i c) z = 7− i + - 4i; 2− i z + 7i z+ CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI - Tài liệu lưu hành nội - 87 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 §4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Căn bậc hai số thực âm: Số thực a (a < 0) có hai bậc hai ± i a Ví dụ: số -2 có hai bậc hai ± i 2 Phương trình bậc hai với hệ số thực: Giải phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = (*) (a, b, c ∈ R, a ≠ 0) Tính: ∆ = b2 - 4ac (∆' = b'2 - ac) −b± ∆ 2a b Nếu ∆ = (*) có nghiệm thực x = − 2a −b±i ∆ Nếu ∆ < (*) có nghiệm phức x1,2 = 2a * Chú ý: Mọi phương trình bậc n (n ≥ 1) có n nghiệm phức (khơng thiết phân biệt) Ví dụ 1: Giải phương trình x2 - x + = tập số phức Giải: Nếu ∆ > (*) có nghiệm thực x1,2 = Ví dụ 2: Giải phương trình z + z - = tập số phức Giải: Định lí Viète đối phương trình bậc hai nghiệm phức: a) Cho z1, z2 hai nghiệm phức phương trình az + bz + c = (a, b, c ∈ R, a ≠ 0) Hãy tính z1 + z2 z1.z2 theo a, b, c b) Cho z = a + bi laø số phức Hãy tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z z làm nghiệm c) Cho hai số phức z1, z2 Biết z1 + z2 z1.z2 hai số thực Chứng tỏ z1, z2 hai nghiệm phương trình bậc hai với hệ số thực Giải:  Ghi chuù: 88 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài tập bản: Bài 1: Tìm bậc hai phức số sau: -7; -8; -12; -20; -121 Bài 2: Giải phương trình sau tập số phức: a) -3z2 + 2z - = 0; b) 7z2 + 3z + = 0; c) 5z2 - 7z + 11 = Bài 3: Giải phương trình sau tập số phức: a) x2 + x + = 0; b) 3x2 - x + = 0; c) x 2 − x + = Bài 4: Giải phương trình sau tập số phức: a) z4 + z2 - = 0; b) z4 + 7z2 + 10 = Bài 5: Cho phương trình: x - 3x + = Gọi z z' nghiệm phương trình cho Hãy tính giá trị biểu thức sau: a) z + z'; b) z2z' + zz'2 Bài tập nâng cao: Bài 1: Giải phương trình sau C: a) x − 3.x + = ; b) x − 3.x + = ; c) x 2 − x + = Bài 2: Giải phương trình sau tập số phức: a) z − = ; b) x + = ; c) z3 – = 0; d) z + z + 10 z = CÂU HỎI CHUẨN BỊ BÀI - Tài liệu lưu hành nội - 89 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 * ƠÂN TẬP CHƯƠNG IV * TÓM TẮT NỘI DUNG CHƯƠNG IV: 90 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 Bài tập bản: Bài 1: Số phức thỏa mãn điều kiện có điểm biểu diễn phần gạch chéo hình sau đây? y y y x x -2 -1 x -1 a) b) c) Bài 2: Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: a) Phần thực z 1; b) Phần ảo z -2; c) Phần thực z thuộc [-1; 2], phần ảo thuộc [0; 1]; d) | z| ≤ Bài 3: Tìm số thực x, y cho: a) 3x + yi = 2y + + (2 - x)i; b) 2x + y - = (x + 2y - 5)i Bài 4: Thực phép tính sau: 1+ i a) (3 + 2i)[(2 - i) + (3 - 2i)]; b) (4 - 3i) + ; 2+ i + i − 3i − c) (1 + i)2 - (1 - i)2; d) 2+ i 2− i Bài 5: Giải phương trình sau tập số phức: a) (3 + 4i)z + (1 - 3i) = + 5i; b) (4 + 7i)z - (5 - 2i) = 6iz Bài 6: Giải phương trình sau tập số phức: a) 3z2 + 7z + = 0; b) z4 - = 0; c) z4 - = Bài 7: Tìm hai số phức, biết tổng chúng tích chúng Bài tập nâng cao: Bài 1: Tìm số thực a, b để z = + 3i nghiệm phương trình z4 + bz2 + c = Bài 2: Tìm số phức z cho tích z(2 - 3i)(2 + i)(3 - 2i) số thực Bài 3: Tìm phần thực phần ảo số phức z = (1 - i)2009 Bài 4: Cho f(z) = z3 - 2z2 - 7z - Tính f(1 - 3i) Bài 5: Cho f(z) = z3 - 2z2 - 7z - Chứng minh f(1 + i) + f(1 - i) ∈ R Bài 6: Tính z6 biết 3z - z = -4 + 8i Bài 7: Chứng minh z = − + i nghiệm phương trình z3 = 2 Bài 8: Tìm nghiệm phức phương trình 9z4 - 24z3 - 2z2 - 24z + = Bài 9: a) Tìm số thực a, b để có phân tích 2z - 9z2 + 14z - = (2z - 1)(z + az + b) giải phương trình 2z - 9z2 + 14z - = C b) Tìm số thực a, b để có phân tích z - 4z2 - 16z - 16 = (z2 - 2z - 4)(z2 + az + b) giải phương trình z - 4z2 - 16z - 16 = C Bài 10: Giải hệ phương trình sau:  z1 + z2 = + i  z1z2 = −5 − 5i 2 z1 − ( − i ) z = − 6i a)  2 ; b)  2 ; c)  z1 + z2 = − 2i z1 + z2 = −5 + 2i  z1 − 2iz = 16 − 4i - Tài liệu lưu hành nội - 91 ... - Tài liệu lưu hành nội - 33 Tài liệu hướng dẫn tự học môn Giải tích 12 34 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 CHƯƠNG... hộp không nắp Tính cạnh hình vuông bị cắt cho thể tích khối hộp lớn Giải: - Tài liệu lưu hành nội - 17 Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12 ... - 12x + 10 [-3; 1] Giải: 16 - Tài liệu lưu hành nội - Tài liệu hướng dẫn tự học mơn Giải tích 12