Dưới đây là tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 tỉnh Đồng Tháp từ năm 2011 - 2009 này giúp các em học sinh ôn tập kiến thức, ôn tập kiểm tra, thi cuối kỳ, rèn luyện kỹ năng để các em nắm được toàn bộ kiến thức chương trình toán 12.
TUYỂN TẬP Đ THI H C SINH GI I THPT C P T NH MƠN TỐN ĐỒNG THÁP T N M H C 2000-2001 Đ N N M H C 2008-2009 http://kinhhoa.violet.vn Nguy n Đ c Tu n ( NDTuanMAT ) Tháng Năm 2009 © Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT ĐỀ THI NĂM HỌC 2000 - 2001 Ngày thi: 25 tháng 11 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Cho dãy số xác định sau: n un = ∑ ; ∀n ∈ Ν n ≥ i =1 i ( i + 1)( i + )( i + ) Tìm lim un x →+∞ Bài 2: Cho phương trình: y − y + 11 y − = (1) 2 a Chứng minh tan 10 ; tan 50 ; tan 700 nghiệm phân biệt phương trình (1) b Tính P = tan 100 + tan 500 + tan 700 Bài 3: Tìm tất đa thức P ( x) có hệ số nguyên cho ta có: x.P ( x − 20) = ( x − 2000).P ( x) ; ∀x ∈ Ζ Bài 4: Cho hình chóp S ABC đỉnh S ; SA = x ; SB = y ; SC = z a Chứng minh VS ABC = x y.z.VS A ' B 'C ' ; với SA ' = SB ' = SC ' = đơn vị dài A '; B '; C ' nằm tương ứng tia SA; SB; SC b Xác định x, y, z để diện tích xung quanh hình chóp S ABC 3k ( k số thực cho trước) thể tích lớn Bài 5: Cho a, b, c số thực dương ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: a + 2b b + 2c c + 2a + + ≥ ab bc ca © Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT ĐỀ THI NĂM HỌC 2001 - 2002 Ngày thi: 24 tháng 11 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Cho số thực dương a, b, c thỏa điều kiện abc = Chứng minh rằng: + ab + bc + ca 18 + + ≥ 3 3 3 c a b a +b +c Bài 2: Cho x, y số thỏa mãn điều kiện: x − y −1 ≤ x + 3y − ≤ 2 x + y − ≥ a Chứng minh: x + y ≤ 10 b Tìm tất giá trị x, y để: x + y = 10 Bài 3: Cho phương trình: x n + x n −1 + x n − + + x + x − = (1), n nguyên dương a Chứng minh với n phương trình (1) có nghiệm dương xn b Tìm lim xn x →+∞ Bài 4: Cho tam giác ABC có BC > CA > AB Gọi D điểm nằm đoạn BC Trên phần nối dài BA phía A chọn điểm E Biết BD = BE = CA Gọi P giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác EBD với cạnh AC Gọi Q giao điểm thứ hai BP với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng: a Tam giác AQC tam giác EPD hai tam giác đồng dạng b Ta có: BP = AQ + CQ Bài 5: Cho tia Ox, Oy, Oz vng góc với đơi tạo thành góc tam diện Oxyz Điểm M cố định nằm góc tam diện Một mặt phẳng (α ) qua M cắt Ox, Oy, Oz A, B, C Gọi khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( OBC ) , ( OCA) , ( OAB ) a, b, c a Chứng minh tam giác ABC tam giác nhọn b Tính OA, OB, OC theo a, b, c để thể tích tứ diện OABC nhỏ © Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT ĐỀ THI NĂM HỌC 2002 - 2003 Ngày thi: 24 tháng 11 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: a Cho số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng: a4 b4 c4 d4 a+b+c+d + + + ≥ 2 2 2 2 ( a + b ) ( a + b ) (b + c ) (b + c ) ( c + d ) (c + d ) ( d + a ) ( d + a ) b Cho số thực dương a, b, c, d , e, f Chứng minh rằng: (a + b + c) + (d + e + f ) 2 ≤ a + d + b + e2 + c + f Bài 2: Kí hiệu Ν * tập số nguyên dương Tìm tất hàm f : Ν* → Ν * thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: ( i ) : f ( n + 1) > f ( n ) ( ii ) : f ( f ( n ) ) = n + 2002, ∀n ∈ Ν * Bài 3: Cho dãy {an } , n ∈ Ν * xác định bởi: a1 = a2 = 1; a3 = an + 2.an +1 + p với p ∈ Ν * a = n + an Định p để số hạng dãy {an } số nguyên Bài 4: Cho đa thức f ( x ) = x n + a1 x n −1 + a2 x n − + + an đa thức bậc n ≥ có nghiệm thực b1 , b2 , , bn Cho x > bi , ∀i = n Chứng minh: 1 + + + f ( x + 1) x − bn x − b1 x − b2 ≥ 2n Bài 5: Cho tứ diện ABCD có cạnh xuất phát từ A đơi vng góc với Gọi a cạnh lớn xuất phát từ A r bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện Chứng minh rằng: ( ) a ≥ 3+ r © Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT ĐỀ THI NĂM HỌC 2003 - 2004 Ngày thi: 23 tháng 11 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Giải phương trình sau: + − x (1 − x ) − (1 + x ) = + − x2 Bài 2: a Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ ( x + y + z ) biết: y + yz + z = − x b Tìm số nguyên a, b, c thỏa mãn bất đẳng thức: a + b + c + < ab + 3b + 2c Bài 3: Trong tam giác ABC ta dựng đường phân giác AA ', BB ', CC ' ; giao điểm A ', B ', C ' thuộc cạnh BC , CA, AB Các giao điểm lập thành tam giác A ' B ' C ' Chứng minh rằng: S A ' B 'C ' 2abc = S ABC ( a + b )( b + c )( c + a ) Bài 4: Cho Ζ tập số nguyên Cho hàm f : Ζ → Ζ thỏa mãn điều kiện: ( i ) : f ( −1) = f (1) ( ii ) : f ( x ) + f ( y ) = f ( x + xy ) + f ( y − xy ) với x, y ∈ Ζ a Chứng minh f ( − n ) = f ( n ) , ∀n ∈ Ν b Tìm tất hàm f có tính chất nói © Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT ĐỀ THI NĂM HỌC 2004 - 2005 Ngày thi: 14 tháng 11 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Với số thực x, y, z tùy ý, ta đặt: S = x + y + z ; P = xy + yz + zx ; Q = xyz a Chứng minh: x3 + y + z = S − 3SP + 3Q b Hãy biểu diễn x + y + z theo S , P Q Bài 2: Tìm đa thức f ( x ) có tất hệ số số nguyên không âm nhỏ thỏa mãn f ( ) = 2004 Bài 3: Cho hai hình vng ABCD ABEF có cạnh AB cạnh chung Hai mặt phẳng ( ABCD ) ( ABEF ) vng góc với Tìm vị trí đường vng góc chung hai đường thẳng AE BD Bài 4: Với số nguyên dương a = a1a2 ak , k ∈ Ν * , ta đặt: T ( a ) = a1 + a2 + + ak ( tổng chữ số a ) Dãy số { xn } , n ∈ Ν * xác định sau: x = (T ( 2004 ) )2004 2004 xn = (T ( xn −1 ) ) Chứng minh dãy { xn } , n ∈ Ν * bị chặn Bài 5: Tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Cho AB = c; BC = a; CA = b Chọn I điểm tam giác ABC ; gọi x, y, z khoảng cách từ I đến cạnh BC , CA, AB Chứng minh: x+ y+ z≤ a + b2 + c 2R © Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT ĐỀ THI NĂM HỌC 2005 - 2006 Ngày thi: tháng 10 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Tính tổng: S = t an10 t an20 + t an20 t an30 + + t an20040 t an20050 Bài 2: a Cho P ( x ) đa thức với hệ số nguyên cho: P ( a ) = P ( b ) = P ( c ) = với a, b, c số ngun đơi khác Chứng minh phương trình P ( x ) = khơng có nghiệm ngun b Tìm đa thức f ( x ) bậc cho f ( x ) − chia hết cho ( x − 1) f ( x ) chia hết cho x3 Bài 3: a Tổng số nguyên dương 2310 Chứng minh tích hai số khơng chia hết cho 2310 b Tìm nghiệm nguyên ( x, y ) phương trình y = x + y + ( x + 1) y + x Bài 4: a Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O ) Các đường thẳng vẽ qua A, B, C đôi song song, cắt đường tròn ( O ) điểm A1 , B , C1 ( khác với A, B, C ) Chứng minh trực tâm tam giác A1 BC , B1CA, C1 AB thẳng hàng b Cho tam giác ABC cạnh đơn vị dài Đường thẳng ( d ) khơng qua đỉnh tam giác Gọi α , β , γ góc ( d ) theo thứ tự với đường thẳng qua cạnh BC , CA, AB tam giác ABC Tính: M = sin α sin β sin γ + cos α cos β cos γ Bài 5: Cho dãy {un } , n nguyên dương, xác định sau: u1 = n ui Đặt S = ∑ un − un n − u u = + u i = i +1 n +1 n 2005 Tìm lim S n x →+∞ © Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT ĐỀ THI NĂM HỌC 2006 - 2007 Ngày thi: 22 tháng 10 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Tìm tổng số nguyên dương từ m đến n , kể m n ( m < n ) , suy tổng số 1000 2000 mà không chia hết cho Bài 2: Tìm tất số thực x cho k = x+2 số nguyên x + 4x + Bài 3: Chứng minh a, b, c cạnh tam giác tương ứng với đỉnh A, B, C thì: a + b − 2c b + c − 2a c + a − 2b + + ≥ C A B sin sin sin 2 Bài 4: Tìm tất đa thức dạng f ( x ) = x3 + ax + bx + c , với a, b, c số nguyên, cho a, b, c nghiệm f ( x ) 1+ x Đặt: Gn ( x ) = x + f ( x ) + f ( f ( x ) ) + + f f ( f ( x ) ) , số hạng sau f lặp Bài 5: Cho F (1) = F ( ) = 1, F ( n + ) = F ( n + 1) + F ( n ) hàm số f ( x ) = ( lại n lần Chứng minh: Gn (1) = F (1) F ( 2) + F ( 2) F ( 3) ) + + F ( n + 1) F ( n + 2) Bài 6: Từ điểm P nằm ngồi đường trịn cho trước kẻ hai tiếp tuyến tiếp xúc với đường tròn A B Chọn điểm S nằm dây cung AB Tia PS cắt cung nhỏ PR.PQ AB R cắt cung lớn AB Q Chứng minh: PS = PR + PQ Bài 7: Chứng minh số nguyên dương n tùy ý biểu diễn dạng tổng số hạng r 3s với r , s số ngun khơng âm © Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT ĐỀ THI NĂM HỌC 2007 - 2008 Ngày thi: 14 tháng 10 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: a Tìm tất số nguyên m cho phương trình x + ( m − m ) x − m3 + = có nghiệm nguyên b Giải bất phương trình: log ( ) x − + + − log ( ) +1 x ≤ Bài 2: a Giải phương trình: 4sin x − 4sin x + ( sin x + s in4x ) + = b Cho số thực x1 , x2 , , xn thỏa mãn sin x1 + 2sin x2 + + n sin xn = a , với n số nguyên dương, a số thực cho trước, ≤ a ≤ n ( n + 1) Xác định giá trị x1 , x2 , , xn cho tổng S = s in2x1 + 2s in2x2 + + n s in2xn đạt giá trị lớn tìm giá trị lớn theo a n Bài 3: a Cho số thực a, b, c thỏa abc = Chứng minh: 1 + + ≥ a ( b + c ) b6 ( c + a ) c6 ( a + b ) b Cho tam giác ABC nhọn thỏa mãn điều kiện: cot A ( cot A + cot B ) A+ B = cot − cot B Chứng minh tam giác ABC tam A+ B cot + cot B giác cân Bài 4: Cho tam giác ABC , cạnh BC , CA, AB lấy điểm A ', B ', C ' cho AA ', BB ' CC ' đồng quy điểm M Gọi S1 , S , S3 diện tích MA ' MB ' MC ' tam giác MBC , MCA, MAB đặt = x, = y, = z MA MB MC Chứng minh rằng: ( y + z − 1) S1 + ( x + z − 1) S + ( x + y − 1) S3 = © Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT Bài 5: Cho dãy {un } , n số nguyên dương, xác định sau: u1 = + un − u = , un > n +1 un Tính u n chứng minh rằng: u1 + u2 + + un ≥ + π 1 1 − n −1 Bài 6: Cho đa thức f ( x ) = x3 + ax + bx + b có nghiệm x1 , x2 , x3 đa thức g ( x ) = x3 + bx + bx + a Tính tổng: S = g ( x1 ) + g ( x2 ) + g ( x3 ) theo a, b © Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT ĐỀ THI NĂM HỌC 2008 - 2009 Ngày thi: 16 tháng 11 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: Giải phương trình: ( tan x − cot x ) = tan x + cot x − Câu 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I Gọi D trung điểm cạnh AB , E trọng tâm tam giác ADC Chứng minh AB = AC IE vng góc với CD Câu 3: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x2 − y = Câu 4: Cho dãy số { xn } , n ∈ Ν * xác định bởi: x1 = Tìm giới hạn dãy un với: xn 2008 x = + x n +1 n 2008 xn 2007 x12007 x2 2007 + + + un = x2 x3 xn +1 Câu 5: Cho n số tự nhiên, chứng minh rằng: ( C0n ) + ( C1n ) + + ( Cnn ) = C2nn 2 Câu 6: a Cho x, y, z ≥ 1 + + = Chứng minh rằng: x y z x + y + z ≥ x −1 + y −1 + z −1 b Cho đa thức f ( x ) = x3 − x − có nghiệm a, b, c Hãy tính: S= 1+ a 1+ b 1+ c + + 1− a 1− b 1− c Câu 7: Cho điểm A ( 0;3) parabol ( P ) : y = x Gọi M điểm thuộc ( P ) có hồnh độ xM = a Tìm a để độ dài AM ngắn Từ chứng tỏ đoạn AM ngắn AM vng góc với tiếp tuyến M ( P ) 10 © Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT PHỤ LỤC ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM HỌC 2008 – 2009 Ngày thi: 14 tháng 12 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: Giải phương trình: (1 + t an10 )(1 + t an20 ) (1 + t an450 ) = x Câu 2: Cho tam giác ABC có góc nhọn Gọi AH , BI , CK đường cao tam giác ABC Chứng minh rằng: S HIK = − cos A − cos B − cos C S ABC Câu 3: Cho a, b hai số nguyên Chứng minh rằng: A = ab ( a + b )( a − b ) chia hết cho 30 Câu 4: Cho hàm số f : Ν* → Ν * thỏa mãn hai điều kiện: f ( a.b ) = f ( a ) f ( b ) Trong a, b ∈ Ν*, ( a, b ) = p, q số nguyên tố f p q f p f q + = + ( ) ( ) ( ) Chứng minh rằng: f ( 2008 ) = 2008 Bài 5: Chứng minh n chẵn 2n chia hết (*) C20n + 3C22n + + 3k C22nk + + 3nC22nn Bài 6: Cho số thực a, b, c Chứng minh rằng: (a + 1)( b2 + 1)( c + 1) ≥ ( ab + bc + ca − 1) Bài 7: Cho tam giác ABC cân A Đường tròn ( C ) tiếp xúc với đường thẳng AB, AC B, C M điểm tùy ý nằm đường tròn ( C ) Gọi d1 , d , d3 khoảng cách từ M đến đường thẳng AB, AC , BC Chứng minh: d1.d = d 32 11 (*) hiểu là: C20n + 3C22n + + 3k C22nk + + 3nC22nn chia hết cho n © Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT ... P ) 10 © Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT PHỤ LỤC ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM HỌC 2008 – 2009 Ngày thi: 14 tháng 12 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: Giải phương trình:... rằng: a + 2b b + 2c c + 2a + + ≥ ab bc ca © Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT ĐỀ THI NĂM HỌC 2001 - 2002 Ngày thi: 24 tháng 11 Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Cho số thực dương a, b, c thỏa... ( x1 ) + g ( x2 ) + g ( x3 ) theo a, b © Nguyễn Đức Tuấn – Nickname: NDTuanMAT ĐỀ THI NĂM HỌC 2008 - 2009 Ngày thi: 16 tháng 11 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1: Giải phương trình: ( tan x −