tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán 12 quảng bình từ 2003 2013

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,0 điểm) √ Giải phương trình: x3 + 3x2 + 4x + = (3x + 2) 3x + 1. Câu II (2,0 điểm) a) Cho x > 0. Tìm giá trị nhỏ biểu thức: f (x) = b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: a3 b3 b3 c3 + + c3 a3 √ ≥ 3x2 . b c c + a. x3 − a b + Câu III (2,0 điểm) Cho dãy số (un ) xác định sau: Tìm lim n→+∞ un . un+1 u1 = un+1 = u2n + un 2010 , n ∈ N∗ . Câu IV (2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD.Trên đoạn BD lấy M không trùng với B, D. Gọi E, F hình chiếu M cạnh AB, AD. Chứng minh rằng: a) CM vuông góc với EF . b) Ba đường thẳng CM, BF, CE đồng quy. Câu V (2,0 điểm) Tìm tất giá trị nguyên dương k để phương trình: x2 + y + x + y = kxy có nghiệm nguyên dương. ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2010 - 2011 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,0 điểm)   √ + xy = y x + √ √ Giải hệ phương trình: .  y x2 + − = 3x2 + √1 x Câu II (2,0 điểm) Tìm f : R → R cho: f (1) = f (xy) = f (x)f 2010 y + f (y)f 2010 x . Câu III (2,0 điểm) Chứng minh với tam giác ABC ta có: (1 + cos A)2 + (1 + cos B)2 + (1 + cos C)2 ≥ 125 64 Câu IV (2,0 điểm) Cho hình chóp tứ diện S.ABC, góc mặt bên mặt đáy ϕ. Dựng mặt phẳng (P ) qua AB đường thẳng phân giác góc ϕ cắt khối chóp thành phần. Tính tỉ số thể tích hai khối chóp đó. Câu V (2,0 điểm) Trong hội nghị có nhà toán học nam nữ. Trong hai nhà toán học nữ quen chung nhà toán học nam nhà toán học nam quen 10 nhà toán học nữ. Biết có 21 nhà toán học nữ, hỏi có nhà toán học nam. ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2003 - 2004 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm) √ Giải phương trình: log3 (2 x + 5) = log2 x. Câu II (2,5 điểm) Cho x, y, z ba số thực thỏa mãn điều kiện x2 + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = xy + yz + 2zx. Câu III (2,5 điểm) Cho dãy số (un ) xác định sau: u1 = 31 . un+1 = 12 u2n − 1, ∀n ∈ N∗ Tìm lim un . n→+∞ Câu IV (2,5 điểm) √ Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a; BC = a 2. Dựng phía hình chữ nhật nửa đường tròn đường kính AB. Gọi M điểm tùy ý nửa đường tròn vừa dựng (M không trùng với A B). Các đường thẳng M D, M C cắt AB N, L. Chứng minh AL2 + BN = AB . ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2003 - 2004 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm) 2003 1+ Tính tổng: S = n=1 1 . + n (n + 1)2 Câu II (2,5 điểm) Cho p số nguyên tố a, b số nguyên dương thỏa mãn 1 = + . Tìm tất giá p a b trị p để a b số phương ? Câu III (2,5 điểm) Không dùng máy tính bảng số, chứng minh bất đẳng thức: + sin π π > sin 14 14 cos π Câu IV (2,5 điểm) Trong không gian cho hai tia Ax, By vuông góc với nhận AB = a làm đường vuông góc chung. Trên Ax, By lấy điểm M, N di động cho AM + BN = M N (điểm M không trùng với điểm A điểm N không trùng với điểm B). Gọi I trung điểm AB H hình chiếu vuông góc I M N . Chứng minh điểm H luôn nằm cung tròn cố định M, N di động theo quy luật trên. ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2004 - 2005 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm) Tìm m để phương trình cos 2x − (2m + 1) cos x + m + = có nghiệm x ∈ π 3π . ; 2 Câu II (2,5 điểm) Trong không gian cho tam diện vuông Sxyz. Trên tia Sx, Sy, Sz lấy điểm A, B, C không trùng với S. Gọi H hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (ABC) (O; R) đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh điểm H trực tâm tam giác ABC ta có hệ thức: OH + 2.SH = R2 . Câu III (2,5 điểm) Cho a, b, c số thực không nhỏ 2. Chứng minh bất đẳng thức: logb+c a2 + logc+a b2 + loga+b c2 ≥ Câu IV (2,5 điểm) Tìm tất cặp số hữu tỷ (x; y) thỏa mãn: √ 3−3= ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn √ x 3− √ y 3. SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2004 - 2005 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: √ x + xy + y = + . x2 + y = Câu II (2,0 điểm) Tìm giới hạn: L = lim x→0 − cos x cos 2x cos 3x . x2 Câu III (2,0 điểm) √ Giải bất phương trình: 26 + 15 x √ +2 7+4 x −2 2− √ x < 1. Câu IV (2,0 điểm) Cho 2005 số thực không âm u1 , u2 , ., u2005 thỏa mãn điều kiện: a) u1 = u2005 = 2005. b) un+1 = u2n − u2n−1 + un−1 , ∀n ∈ N, ≤ n ≤ 2004. Hãy xác định u2003 . Câu V (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi P điểm nằm nửa mặt phẳng không chứa A với bờ đường thẳng BC. Chứng minh P B + AC = P C + AB AP ⊥BC. ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2005 - 2006 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm) Giải phương trình: log2005 2x2 + 2x6 + x2 + = 2x6 − x2 − 1. Câu II (2,5 điểm) Cho a, b, c ba số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca = 1. Chứng −4 minh a, b, c ∈ ; . 3 Câu III (2,5 điểm) √ Tìm giới hạn: L = lim x→0 + x2 + x 2005 − √ + x2 − x 2005 . x Câu IV (2,5 điểm) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh bất đẳng thức: √ √ √ √ √ √ a+b−c+ b+c−a+ c+a−b≤ a+ b+ c . ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2005 - 2006 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm) Cho x, y số thực liên hệ với hệ thức 36x2 + 16y − = 0. Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = y − 2x + 5. Câu II (2,5 điểm) Giải phương trình: √ x2 − 2x + + √ x2 + 2x + 10 = √ 29. Câu III (2,5 điểm) u1 = un+1 = Cho dãy số (un ) xác định sau: Tính giới hạn lim x→+∞ u1 u2 + u2 u3 + . + un un+1 u2n 2005 + un , ∀n ∈ N∗ . . Câu IV (2,5 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O). Các tiếp tuyến đường tròn (O) A C cắt tiếp tuyến đường tròn (O) B tương ứng điểm M, N . Kẻ đường cao BP tam giác ABC (điểm P nằm AC). Chứng minh đường thẳng BP phân giác góc M P N . ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2006 - 2007 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm) Giải phương trình: x −2 x+1 x+1 = 3. x Câu II (2,5 điểm) Cho số tự nhiên n ≥ 3. Lấy n số x1 , x2 , ., x2 cho số xi (i = 1, 2, ., n) nhận hai giá trị −1 thỏa mãn điều kiện x1 x2 + x2 x3 + . + xn x1 = 0. Chứng minh n bội số 4. Câu III (2,5 điểm) Cho số thực dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: a2 b2 c2 + + ≥ a + b + c. b c a Câu IV (2,5 điểm) Cho dãy số (un ) xác định sau: u1 = u2 = √ . √ un+1 = un + un−1 , ∀n ∈ N, n ≥ Tìm lim un . n→+∞ ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2006 - 2007 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm) Cho tam giác ABC. Chứng minh tan A2 , tan B2 , tan C2 theo thứ tự lập thành cấp số cộng cos A, cos B, cos C theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Câu II (2,5 điểm) Cho đa thức f (x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d, a, b, c, d số thực. Biết f (12) + f (−8) f (1) = 10; f (2) = 20; f (3) = 30. Hãy tính giá trị P = + 22. 10 Câu III (2,5 điểm) Cho số thực a, b, c ∈ [−1; 2] a+b+c = 0. Tìm giá trị lớn biểu thức P = a2 +b2 +c2 . Câu IV (2,5 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi P điểm nằm cung nhỏ BC(cung không chứa điểm A). Chứng minh P A = P B + P C. ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2007 - 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm) Giải phương trình: √ 9−x+ √ x + = 4. Câu II (2,5 điểm) Cho số tự nhiên a b (a = 0, b = 0) thỏa mãn điều kiện 2a2 + a = 3b2 + b. Chứng minh số 2a + 2b + số phương. Câu III (2,5 điểm) √ √ √ Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a2 b2 c2 P = + + a+b b+c c+a Câu IV (2,5 điểm)   u1 = 2008 2007 Cho dãy số (un ) xác định sau: un−1 +  un = un−1 Tìm lim un ? x→+∞ ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn (n ∈ N, n ≥ 2) . SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2007 - 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm) Tính tổng: S = 1+ 1 + 2+ 2 1+ 1 + + . + 2 1+ 1 + . 2007 20082 Câu II (2,5 điểm) Tìm giá trị a để hệ phương trình sau có nghiệm nhất:   3x − a y + = 1 = a2  x+y+ y + y2 + Câu III (2,5 điểm) Cho hàm số f : R → R thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: i) f (x + y) ≤ f (x) + f (y) ; ∀x, y ∈ R; j) lim f (x) x = 1; ∀ ∈ R. x→0 Chứng minh hàm số f (x) có đạo hàm R tìm hàm số f (x). Câu IV (2,5 điểm) √ Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2a, BC = a 2. Dựng phía hình chữ nhật nửa đường tròn đường kính AB. Gọi M điểm tùy ý nửa đường tròn vừa dựng (M không trùng với A B). Các đường thẳng M D, M C cắt AB N, L. Chứng minh rằng: AL2 + BN = AB . ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2008 - 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm) √ Giải phương trình: 2009 (x + 1)2 + 2009 − x2 + 2009 (1 − x)2 = 0. Câu II (2,5 điểm) cos π2 cos x . x→0 sin (tan x) Tính giới hạn: L = lim Câu III (2,0 điểm) Cho dãy số (un ) xác định sau: a) un > 0; ∀ ∈ N∗ ; b) u1 = 1; √ c) un+1 = 1+u2n −1 ; ∀n un ∈ N∗ . Chứng minh rằng: u1 + u2 + . + un ≥ + π 1− n−1 . Câu IV (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang (AB||CD), SA = 2a vuông góc với đáy, AB = BC = CD = a. Gọi M, N, P hình chiếu vuông góc A SB, SC, SD. a) Chứng minh A, M, N, P đồng phẳng tứ giác AM N P nội tiếp đường tròn. b) Tính diện tích tứ giác AM N P theo a. ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2008 - 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm) √ Giải hệ phương trình: √ x2 + 2x + 22 − y = y + 2y + √ . y + 2y + 22 − x = x2 + 2x + Câu II (2,5 điểm) Cho số nguyên dương a, b, c, d tổng số chia cho số lại có thương số nguyên khác 1. Chứng minh số a, b, c, d tồn số nhau. Câu III (2,5 điểm) 2009 Cho hàm số f (x) liên tục đoạn [0; 1], có đạo hàm khoảng (0; 1) f (0) = f (1) = 2007 . Chứng minh tồn số c ∈ (0; 1) cho 2007f (c) − 2008f (c) = 2009, (trong f (c) đạo hàm hàm số f (x) c). Câu IV (2,5 điểm) Cho điểm A, B, C, D có điểm A, B cố định C, D thay đổi cho A, B, C, D nằm đường tròn; AC BD hai đường thẳng cố định vuông góc với điểm không trùng với điểm A, B, C, D. Chứng minh trung điểm CD nằm đường cố định. ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2009 - 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (3,0 điểm) Giải phương trình: 2008x + 2010x = 4016x + 2. Câu II (2,0 điểm) Cho dãy số (xn ) thỏa mãn < xn < xn+1 (1 − xn ) ≥ Chứng minh lim xn = . n→∞ , ∀n ∈ N∗ . Câu III (3,0 điểm) Cho số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng: 1+ x + 1+ y + 1+ z ≥ 768 Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC D chân đường cao hạ từ A. Gọi d đường thẳng qua D nằm mặt phẳng chứa tam giác ABC, E F điểm nằm đường thẳng d cho AE⊥BE, AF ⊥CF E, F không trùng D. Gọi M, N điểm tương ứng BC EF . Chứng minh AN ⊥N M . ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2009 - 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (3,0 điểm)  2009 + 3x − + ln x2 − x + = y  x 2009 y + 3y − + ln y − y + = z . Giải hệ phương trình:  2009 z + 3z − + ln z − z + = x Câu II (2,0 điểm) Hàm số f (x) xác định với x thỏa mãn điều kiện sau: f (1) = 2010 (a − b) f (a + b) − (a + b) f (a − b) = 4ab a2 − b2 Tìm hàm số f (x). Câu III (3,0 điểm) Chứng minh abc (số tự nhiên có chữ số hệ thập phân) số nguyên tố phương trình ax2 + bx + c = nghiệm hữu tỷ. Câu IV (2,0 điểm) Cho đường thẳng d1 , d2 , d3 , d4 đôi song song ba đường thẳng nằm mặt phẳng. Một mặt phẳng (P ) cắt chúng theo thứ tự A, B, C, D. Một mặt phẳng (P ) cắt chúng theo thứ tự A , B , C , D cho D ≡ D . Chứng minh hai khối tứ diện D ABC DA B C tích nhau. ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2011 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (3,0 điểm) Giải phương trình sau: π π = sin 2x sin x + . a) sin 3x − √ √4 b) 3x + 9x2 + − (x + 1) + x2 + 2x + = 0. Câu II (2,0 điểm) Cho dãy số (un ) xác định sau Tính lim n→+∞ u1 = un+1 2011 , ∀n ∈ N∗ . un = + un u2011 u2011 u2011 . + + . + n u2 u3 un+1 Câu III (2,0 điểm) Cho a, b, c > thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P = a3 + b3 + 4c3 Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC cố định nội tiếp đường tròn (O). Điểm P di động cung BC không chứa A (P không trùng B, C). Gọi M, N hình chiếu vuông góc A đường thẳng P B, P C. a) Chứng minh đường thẳng M N qua điểm cố định. b) Xác định vị trí điểm P cho AM.P B + AN.P C đạt giá trị lớn nhất. Câu V (1,0 điểm) Cho x, y số nguyên dương thỏa mãn x3 + x số nguyên dương. Chứng minh tồn xy − số nguyên dương z cho x + y + z = xyz. ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2011 - 2012 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,0 điểm) Tìm giới hạn sau: √ x2 + 2011 − 5x − 2011 a) lim . x→0 √ x − cos x cos 2x b) lim . x→0 x sin x Câu II (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: x3 + xy = y + y √ . 3x + + y + = Câu III (2,0 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng: a2 + b2 − c2 + b2 + c2 − a2 + c2 + a2 − b2 ≤ Câu IV (2,5 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, mặt bên tạo với mặt đáy góc có số đo α. Mặt phẳng qua AC vuông góc với mặt phẳng (SAD) cắt đường thẳng SD I. Gọi V thể tích khối chóp S.ABCD V1 thể tích khối chóp D.ACI. a) Chứng minh đường thẳng SD vuông góc với mặt phẳng (ACI). V1 b) Tính tỷ số theo α. V − V1 Câu V (1,5 điểm) Một số gọi số thú vị số có chữ số đôi khác thành lập từ tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} số chia hết cho 1111. Hỏi có số thú vị thế. ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2012 - 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm) Giải phương trình: x4n + √ x2n + 2012 = 2012, (n ∈ N∗ ). Câu II (2,5 điểm) Cho dãy số (un ) xác định công thức: u1 = un+1 = 2un + u2n (n ∈ N∗ ) . Tính lim un ? Câu III (1,5 điểm) Cho số thực dương x, y, z, chứng minh rằng: 36 1 + + ≥ . 2 x y z + x y + y z + z x2 Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có M trung điểm cạnh BC, N chân đường phân giác góc BAC. Đường thẳng vuông góc với N A N cắt đường thẳng AB, AM P, Q theo thứ tự đó. Đường thẳng vuông góc với AB P cắt AN O. Chứng minh OQ vuông góc với BC. Câu V (1,5 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: √ √ √ x + = y + z. ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2012 - 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm)   x − 3x2 + 5x + = 4y y − 3y + 5y + = 4z . Giải hệ phương trình:  z − 3z + 5z + = 4x Câu II (2,0 điểm) Cho x, y thỏa mãn x2 + y = 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức: M = x2 (x + 2) + y (y + 2) + 3(x + y)(xy − 4) Câu III (1,5 điểm) Tìm tất hàm số f : N∗ → N∗ thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: 1) Với n, m ∈ N∗ : n < m ⇔ f (n) < f (m). 2) f (2n) = f (n) + n với n ∈ N∗ . 3) Nếu f (n) số phương n số phương. Câu IV (2,5 điểm) Cho tứ diện ABCD có độ dài cạnh 1. Gọi M, N trung điểm DB, AC. Trên đường thẳng AB lấy điểm P , đường thẳng DN lấy điểm Q cho P Q song song với CM . Tính độ dài P Q thể tích khối tứ diện AM N P . Câu V (1,5 điểm) Cho đa giác n cạnh (n ≥ 8). Tính số tứ giác có cạnh đường chéo đa giác cho. ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn [...]... nhau được thành lập từ tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} và số đó chia hết cho 1111 Hỏi có bao nhiêu số thú vị như thế ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn 1 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2 012 - 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm) Giải phương trình: x4n + √ x2n + 2 012 = 2 012, (n ∈ N∗ ) Câu II... điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: √ √ √ x + 2 3 = y + z ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn 1 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2 012 - 2013 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm)  3  x − 3x2 + 5x + 1 = 4y y 3 − 3y 2 + 5y + 1 = 4z Giải hệ phương trình:  3 z − 3z 2 + 5z + 1 = 4x Câu II... minh rằng tồn xy − 1 tại số nguyên dương z sao cho x + y + z = xyz ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn 1 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2011 - 2 012 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,0 điểm) Tìm các giới hạn sau: √ x2 + 2011 5 1 − 5x − 2011 a) lim x→0 √ x 1 − cos x cos 2x b) lim x→0 x sin x Câu II... SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2008 - 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm) √ Giải hệ phương trình: √ x2 + 2x + 22 − y = y 2 + 2y + 1 √ y 2 + 2y + 22 − x = x2 + 2x + 1 Câu II (2,5 điểm) Cho 4 số nguyên dương a, b, c, d trong đó tổng của 3 số bất kỳ chia cho số còn lại đều có thương là số nguyên... Chứng minh rằng hai khối tứ diện D ABC và DA B C có thể tích bằng nhau ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn 1 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2011 - 2 012 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (3,0 điểm) Giải phương trình sau: π π = sin 2x sin x + a) sin 3x − 4 √ √4 b) 3x 2 + 9x2 + 3 − (x + 1) 2 + x2 + 2x + 4 =... đường cao hạ từ A Gọi d là đường thẳng đi qua D và nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC, E và F là các điểm nằm trên đường thẳng d sao cho AE⊥BE, AF ⊥CF và E, F không trùng D Gọi M, N là các điểm tương ứng của BC và EF Chứng minh AN ⊥N M ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn 1 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2009 - 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2)... định như sau: un−1 +  un = 2 un−1 Tìm lim un ? x→+∞ ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn 1 (n ∈ N, n ≥ 2) SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2007 - 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm) Tính tổng: S = 1+ 1 1 + 2+ 2 1 2 1+ 1 1 + 3 + + 2 2 3 1+ 1 1 2 + 20082 2007 Câu II (2,5 điểm) Tìm giá trị của... D, M C cắt AB lần lượt tại N, L Chứng minh rằng: AL2 + BN 2 = AB 2 ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn 1 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2008 - 2009 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm) √ Giải phương trình: 2 2009 (x + 1)2 + 3 2009 1 − x2 + 2009 (1 − x)2 = 0 Câu II (2,5 điểm) cos π cos x 2 x→0...SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2007 - 2008 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,5 điểm) Giải phương trình: √ 3 9−x+ √ x + 3 = 4 Câu II (2,5 điểm) Cho các số tự nhiên a và b (a = 0, b = 0) thỏa mãn... Chứng minh rằng trung điểm của CD luôn nằm trên một đường cố định ——— Hết ——— ————— http://mathqb.eazy.vn 1 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2009 - 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (3,0 điểm) Giải phương trình: 2008x + 2010x = 4016x + 2 Câu II (2,0 điểm) Cho dãy số (xn ) thỏa mãn 0 < xn < 1 xn+1 (1 − . toán học nam và nữ. Trong đó cứ hai nhà toán học nữ quen chung 6 nhà toán học nam và một nhà toán học nam quen 10 nhà toán học nữ. Biết rằng có 21 nhà toán học nữ, hỏi có bao nhiêu nhà toán học. ——— ————— http://mathqb.eazy.vn 1 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2011 - 2 012 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 1) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (3,0 điểm) Giải. ——— ————— http://mathqb.eazy.vn 1 SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 Năm học 2011 - 2 012 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN (Vòng 2) Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,0 điểm) Tìm