Tuyển tập đề thi học sinh giỏi toán 11 quảng bình từ 2003 2013

Câu III 2,5 điểm Cho tứ diện ABCD, đường vuông góc chung của AC và BD đi qua trung điểm BD và SABD = SBCD = 12SABC.. Chứng minh: a Đường vuông góc chung của AC và BD đi qua trung điểm củ

Trang 1

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11

Năm học 2001 - 2002

Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu I (2,5 điểm)

So sánh các số 20012002 và 20022001

Câu II (2,5 điểm)

Tìm nghiệm dương của phương trình: 22x+ 32x = 2x+ 3x+1+ x + 1

Câu III (2,5 điểm)

Cho dãy số (uk) với uk= 1

2! +

2 3!+

3 4!+ +

k (k + 1)!, ∀k ∈ N∗ Tính:

lim

n→∞pun

1 + un2 + + un2001 Câu IV (2,5 điểm)

Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có 9 cạnh đều bằng a Xác định đường vuông góc chung của A1B và B1C Từ đó, tính khoảng cách giữa A1B và B1C

——— Hết ———

—————

http://mathqb.eazy.vn

1

Trang 2

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN THPT

Tính giá trị của: cos 50− cos 310− cos 410+ cos 670+ cos 770

Cho dãy số (an) được xác định a1 = 1, an+1= an

2 +a1

n, n ≥ 1 Chứng minh biểu thức √2

a 2

n −2

là số nguyên với mọi n > 1

Cho tứ diện ABCD, đường vuông góc chung của AC và BD đi qua trung điểm BD và SABD =

SBCD = 12SABC Giả sử tồn tại điểm O trong tứ diện sao cho tổng khoảng cách từ O đến B và D bằng tổng khoảng cách từ O đến bốn mặt tứ diện Chứng minh:

a) Đường vuông góc chung của AC và BD đi qua trung điểm của AC

b) AC vuông góc với BD

Câu IV (2,0 điểm)

Gọi r, R là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC và r1 là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác có các đỉnh là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC Chứng minh r ≤√Rr1

Câu V (1,0 điểm)

Giải phương trình: x3− 3x =√x + 2

——— Hết ———

Trang 3

Năm học 2005 - 2006

Giải phương trình: 2006√

x − 2004 + 2006√

2005 − x = 1

Tìm lim

n→+∞

xtan2n πx4 +√x tan2n πx

4 + 1 . Câu III (2,5 điểm)

Cho dãy số (un) xác định như sau:

(

u1 = 0; u2 = 1; u3 = 3

un= 7un−1− 11un−2+ 5un−3; (n ≥ 4) . Tìm số hạng tổng quát un

Trong không gian cho đường thẳng d và đoạn thẳng AB không cùng thuộc một mặt phẳng Tìm điểm M trên d sao cho M A + M B có giá trị nhỏ nhất

——— Hết ———

—————

1

Trang 4

Tính các giới hạn sau:

a) L1= lim

x→0

1 − cos 3x

x2 b) L2= lim

x→+∞

3

p

x3+ 1 − x

Giải phương trình: √3

13 − x +√3

22 + x = 5

Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi của tam giác đó Chứng minh bất đẳng thức:

a2+ b2+ c2 ≥ 36

35

p2+ abc p

Cho số thực a thỏa mãn điều kiện 0 < a < 1 Ta định nghĩa dãy số (un) như sau:

i) u1 = 0

ii) un=

(

0 nếu [na] = [(n − 1)a

1 nếu [na] 6= [(n − 1)a]; n ≥ 2.

(Trong đó, ký hiệu [x] là phần nguyên của số thực x, có nghĩa: [x] là số nguyên lớn nhất không lớn hơn x)

Tìm L = lim

n→+∞

u1+ u2+ + un

Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a Một góc dxAy = 450 chuyển động quay quanh đỉnh A Tia Ax cắt cạnh BC tại M , tia Ay cắt cạnh CD tại N Đặt BM = p, DN = q (với

0 < p < a; 0 < q < a)

a) Chứng minh a(p + q) + pq = a2

b) Tìm p và q để diện tích tứ giác AM CN đạt giá trị lớn nhất

——— Hết ———

Trang 5

Sở GD & ĐT Quảng Bình

ĐỀ CHÍNH THỨC

SBD:

KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT

NĂM HỌC: 2009 - 2010

Môn: TOÁN Thời gian làm bài 180 phút (Không kể thời gian phát đề)

2 2010q

(1 + x)2− 3 2010√

1 − x2+ 2010q

(1 − x)2 = 0

(

u1 = 1

un+1 =pun(un+ 1)(un + 2)(un+ 3) + 1 ; n = 1, 2,

n

X

i=1

1

ui+ 2 ; n = 1, 2, Tìm lim vn.

Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của AB và C0D0.

a) Chứng minh rằng 4 điểm M, N, I, J đồng phẳng.

do mặt phẳng (MNIJ) cắt hình lập phương ABCD.A0B0C0D0 có giá trị nhỏ nhất.

f (0) = f (1) Chứng minh rằng phương trình:

2010 ) có nghiệm x ∈ [0; 1].

s

a3

a3+ (b + c)3 +

s

b3

b3+ (c + a)3 +

s

c3

c3+ (a + b)3 ≥ 1.

Ghi chú: + Thí sinh không được sử dụng tài liệu và trao đổi khi làm bài

+ Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

1

Trang 6

a) Giải phương trình: sin 3x + cos 3x − 2√2 cos x +π4 + 1 = 0

b) Giải hệ phương trình:

( 2x + x+y1 +x−y1 = 163

2 x2+ y2 + 1

(x+y)2 + 1

(x−y)2 = 1009 . Câu II (2,0 điểm)

Cho dãy số (xn) thỏa mãn

x1 =√30

xn+1=p30x2

n+ 3xn+ 2011; n ∈ N∗ . Tìm lim

n→+∞

xn+1

xn . Câu III (3,0 điểm)

Cho tứ diện ABCD đều cạnh a có I là trọng tâm tam giác ABC, J là trọng tâm tam giác BCD, vẽ mặt phẳng đi qua IJ cắt AB, AC, DC, DB lần lượt tại các điểm M, N, P, Q với AM =

x, AN = y (0 < x, y < a)

a) Chứng minh M N, P Q, BC đồng quy hoặc song song và M N P Q là hình thang cân

b) Chứng minh a(x + y) = 3xy Từ đó suy ra 4a3 ≤ x + y ≤ 3a2

c) Tính diện tích tứ giác M N P Q theo a và s = x + y

Cho phương trình: ax2+ (2b + c)x + 2d + e = 0 có một nghiệm không nhỏ hơn 4 Chứng minh phương trình ax4+ bx3+ cx2+ dx + e = 0 có nghiệm

Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng:

(z + x)(z + y) +

2yz (x + y)(x + z)+

3zx (y + z)(y + x) ≥

5 3

——— Hết ———

Trang 7

Năm học 2011 - 2012

a) Giải phương trình: 2√2cos3 x −π4 − 3 cos x − sin x = 0

b) Giải hệ phương trình:

x(x + 2)(2x + y) = 9

x2+ 4x + y = 6 . Câu II (2,0 điểm)

Tính giới hạn: L = lim

x→1

2011

1 − x2011 − 2012

1 − x2012

Cho tứ diện SABC có SA = SB = SC = 1, mặt phẳng (P ) đi qua trọng tâm M của tứ diện, cắt cạnh SA, SB, SC lần lượt tại D, E, F (khác S)

a) Chứng minh rằng:−−→SM = 14

1 SD

−→

SD +SE1 −→SE +SF1 −→SF

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: SD.SE1 +SE.SF1 +SF.SD1

Cho x, y, z > 0 và xyz = 16 Chứng minh rằng:

1

x3(2y + 3z) +

1 8y3(3z + x)+

1 27z3(x + 2y) ≥

3 2 Câu V (1,0 điểm)

Trong một hình vuông có diện tích bằng 2, ta dựng 3 đa giác có diện tích đều bằng 1 Chứng minh rằng trong 3 đa giác đó có ít nhất một cặp đa giác có diện tích phần chung của chúng không nhỏ hơn 13

——— Hết ———

—————

1

Trang 8

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN THPT CHUYÊN - Vòng 1

Với giá trị nào của m thì giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = 5x − x2+ |x − m| luôn luôn nhỏ hơn 7

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: f (x) = x

2003 +√2005 − x2 Câu III (2,0 điểm)

Giải phương trình: 21−x2x2 − 21−2xx2 = 1

2 −

1

x. Câu IV (2,0 điểm)

x→1

sin πx2003

πx2004 Câu V (2,0 điểm)

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 3 thì logn−1n > logn(n + 1)

——— Hết ———

Trang 9

Năm học 2003 - 2004

Tìm tất cả các cặp số thực (x; y) thỏa mãn hệ thức:

cos4x + sin4x + 1

cos4x +

1 sin4x = 8 +

sin y 2 Câu II (2,5 điểm)

Giải phương trình: 2x3− x2+√32x3− 3x + 1 = 3x + 1 +√3

x2+ 2

u1=√2

un=√2 + un−1, n ≥ 2 Tìmn→+∞lim un ? Câu IV (3,0 điểm)

Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một M là một điểm cố định ở trong miền không gian giới hạn bởi góc tam diện Oxyz, điểm M không trùng với điểm O Một mặt phẳng (P ) chuyển động luôn luôn đi qua M và cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C Xác định vị trí các điểm A, B, C sao cho tổng các độ dài OA + OB + OC có giá trị nhỏ nhất

——— Hết ———

—————

1

Trang 10

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN THPT - Vòng 1

Cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn Chứng minh rằng: tan2A + tan2B + tan2C ≥ 9 Câu II (2,0 điểm)

Với giá trị nào của m thì giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = 4x − x2+ |x − m| luôn luôn nhỏ hơn 5?

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương (x; y) của phương trình: 2(x + y) + xy = x2+ y2 Câu IV (2,0 điểm)

Cho dãy số (un) thỏa mãn các điều kiện

(

0 < un< 1

un+1(1 − un) > 14 Tìm n→+∞lim un ? Câu V (2,0 điểm)

Không sử dụng bảng số và máy tính, chứng minh rằng: 4 sin2630+15 − cos 89

0

4 sin2630 < 8

——— Hết ———

Trang 11

Năm học 2003 - 2004

Giải phương trình: sin 2x +p1 − sin22x = 2

x→0

cos π2 cos x sin (tan x) . Câu III (2,0 điểm)

Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [0; 1] thỏa mãn điều kiện f (0) = f (1) Chứng minh rằng phương trình f (x) = f x + 20041 luôn luôn có nghiệm trên đoạn [0; 1]

Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với AC và chân đường vuông góc hạ từ A đến mặt phẳng (BCD) là trực tâm của tam giác BCD Chứng minh rằng:

(BC + CD + DB)2 ≤ 6 AB2+ AD2+ AC2

——— Hết ———

—————

1

Trang 12

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN THPT CHUYÊN

Giải các phương trình sau:

a) 2x−1 = log2(2x)

b) 4log(10x)− 6log x= 2.3log(100x2)

u0 = 12

uk= uk−1+12u2k−1; k = 1, 2, , n; n ∈ N∗ Tìm L = lim

x→∞un

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

f (x, y) = x2− 2xy + 6y2− 12x + 2y + 45; x, y ∈ R Câu IV (3,0 điểm)

Cho lăng trụ đứng OAB.O1A1B1 có đáy là tam giác vuông cân tại O, OA = OB = a, AA1 =

a√2 Gọi M là trung điểm của OA

a) Xác định thiết diện giữa lăng trụ và mặt phẳng (P ) đi qua M , vuông góc với A1B

b) Tính diện tích thiết diện vừa tìm được theo a

——— Hết ———

Trang 13

Năm học 2007 - 2008

) Giải phương trình: sin 2x sin 4x + 2 3 sin x − 4sin3x + 1 = 0

Tìm tất cả các tam giác ABC sao cho biểu thức P = sinA2 sinB2 2008q

sinC2 đạt giá trị lớn nhất Câu III (2,0 điểm)

Cho 10 tấm thẻ được đánh số theo thứ tự 1,2,3, ,10 (mỗi thẻ đánh một số ) Có bao nhiêu cách chọn ra một số các tấm thẻ (ít nhất là một ) sao cho tất cả các số viết trên những tấm thẻ này đều lớn hơn hoặc bằng số tấm thẻ được chọn ?

Cho dãy số (un) xác định bởi công thức:

u1= 2008

un+1= u2

n− 4013un+ 20072; n ≥ 1 . a) Chứng minh un≥ n + 2007, ∀n ∈ N∗

b) Dãy số (un) được xác định như sau:

xn= 1

u1− 2006+

1

u2− 2006 + +

1

un− 2006, ∀n ∈ N∗ Tìm lim

n→+∞xn

Cho tứ diện ABCD có độ dài các cạnh AB, CD lớn hơn 1 và độ dài các cạnh còn lại nhỏ hơn hoặc bằng 1 Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD); F, K lần lượt là hình chiếu của

A, B trên đường thẳng CD

a) Chứng minh AF ≤

q

1 −CD42 b) Tính độ dài các cạnh của tứ diện ABCD khi tích P = AH.BK.CD đạt giá trị lớn nhất

——— Hết ———

—————

1

Trang 14

) Giải phương trình: 3 cos x − sin 2x =√3 cos 2x +√3 sin x

Tìm tất cả các tam giác ABC sao cho biểu thức P = cos A cos B2008√cos C đạt giá trị lớn nhất Câu III (2,0 điểm)

Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ta thiết lập các số tự nhiên gồm hai chữ số khác nhau rồi viết mỗi số vào những phiếu giống nhau (mỗi phiếu chỉ ghi một số ), bỏ tất cả các phiếu vào trong một hộp Lấy ngẫu nhiên hai phiếu từ hộp đó Tính xác suất để trong hai phiếu lấy ra có ít nhất một phiếu mà số ghi trên phiếu đó chia hết cho 4

Cho dãy số (un) xác định bởi công thức:

(

u1 = 2008

un+1= 20081 2007un+u20082007

n

; n ≥ 1

Tìm lim

n→+∞un

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Một mặt phẳng (P ) cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại 4 điểm phân biệt K, L, M, N

a) Chứng minh SKSA + SMSC = SBSL +SDSN

b) Chứng minh tứ giác KLM N là hình bình hành khi và chỉ khi mặt phẳng (P ) song song hoặc trùng với mặt phẳng (ABCD)

——— Hết ———

Trang 15

Năm học 2002 - 2003

Tính tổng: S =

n

X

k=1

k

2k Câu II (2,0 điểm)

x→π3

sin 3x

1 − 2 cos x.

Chứng minh rằng, nếu các góc A, B, C của tam giác ABC thỏa mãn điều kiện: cos 2A+cos 2B + cos 2C ≥ −1 thì sin A + sin B + sin C ≤ 1 +√2

Cho tam giác AN C đều cạnh a Qua A kẻ đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) M

là một điểm di động trên d và H lag trực tâm của tam giác M BC

a) Chứng minh đường thẳng Hy vuông gióc với mặt phẳng (M BC) luôn luôn đi qua một điểm

cố định khi M chạy trên d

b) Gọi giao điểm của Hy và d là N Chứng minh rằng tích AM.AN là một đại lượng không đổi (khi M di chuyển trên d nhưng không trùng với A)

c) Với vị trí nào của M trên d thì mặt cầu ngoại tiếp tứ diện M N BC có bán kính nhỏ nhất ?

——— Hết ———

—————

1

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	1,8 MB