Đề thi chọn HSG huyện vòng 1 Toán 9 (2012 – 2013) – Phòng GD&ĐT Bình Giang (Kèm Đ.án)

PHỊNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG I NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN - LỚP (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu I (2,0 điểm) Cho biểu thức: A  x2 x 1 với x  0, x    x x 1 x  x  1 x 1) Rút gọn A 2) Chứng tỏ rằng: A  Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: x  x  15  17 2) Tìm x, y cho: 5x  x   y   y2   Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, cho : x  x  p  với p số nguyên tố m2  2013m  2012 2) Tìm m để hàm số bậc y  x  2011 hàm số m2  2m  nghịch biến Câu IV (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R), hai đường cao BE CF tam giác cắt H Kẻ đường kính AK đường tròn (O ; R), gọi I trung điểm BC a) Chứng minh AH = 2.IO b) Biết BAC  600 , tính độ dài dây BC theo R 2) Cho ABC(A  900 ) , BC = a Gọi bán kính đường trịn nội tiếp ABC r Chứng minh rằng: r 1  a Câu V (1,0 điểm) Cho x  3y  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C  x  y –––––––– Hết –––––––– HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG VỊNG I NĂM HỌC 2012-2013 Câu MƠN: TỐN - LỚP Nội dung Phần A A (1,0 đ) A x2     x 1 x  x 1 x 1 x  x 1 (2,0 điểm)   0.25  x x  0.25 x 1 x  x 1 x , với x  0, x  x 1 (1,0 đ)  (2,0 điểm) Đặt t  x  15 (t  0)  t  t   0.25  t   TM§K    t   t  1     t  1  lo¹i  0.25  Vì   2   x  y  (1) x  1  0,  x  y   x  0, y x  1   x  y   2 Câu III 0.25 0.25 0.25 2  x   x    Để (1) xẩy   (TM)  x  y  y   2 Theo ra: p  x  x  x  x  1 mà x, x + số nguyên liên tiếp (2,0 điểm) 0.25 0.25  x 1  (1,0 đ) 0.25 x  x  15  17  x  15  x  15   Với t   x  15   x  15   x  19 (TMĐK) ĐKXĐ: x  5x  x   y   y2    4x  x   x  2y x  y  Câu II 0.50 1   x   x  x    x     2  1  A 0 A  3 ĐKXĐ: x  15  0.25 x 1 1 x Xét  A    3 x  x  3(x  x  1) Do x  0, x   0.25 x 1 x  x   (1,0 đ) x 1 x   x   x  x 1   x  x 1 A   x 1 x  x 1 x  Câu I  Điểm nên x  x  1 số chẵn  p số chẵn (1,0 đ) Mặt khác p số nguyên tố nên p = 2  x  x     x   x  1   x = x = - (TM) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.50 Để hàm y số m  2013m  2012 x  2011 m  2m  biến m  2013m  2012  (1) m  2m   m    m m  2m  (1)  m  2013m  2012    m  1 m  2012    (1,0 đ) nghịch   m    m    m  2012  m  2012     m    m     m  2012   m  2012   m  2012 Câu IV (3,0 điểm) 0.25 0.25 0.25 0.25 Vì B, C thuộc đường trịn đường kính A AK  ABK  ACK  900 E  KB  AB, KC  AC CH  AB, BH  AC (gt) F O  BK // CH,CK // BH H 1a  BHCK hình bình hành C B (1,0 đ) I trung điểm BC (gt) I  I trung điểm HK O trung điểm AK (gt) K  OI đường trung bình KAH  OI  AH  AH  2.IO OA  OC  OAC cân O  OAC  OCA KOC  OAC  OCA (T/c góc ngồi tam giác)  KOC  2.OAC Chứng minh tương tự: KOB  2.OAB 1b  KOC  KOB  OAC  OAB  BOC  2.BAC  1200 (1,0 đ) OB  OC  OBC cân O  OCI  1800  1200  :  300   0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Vì I trung điểm BC (gt)  OI  BC  BC  R Trong OIC I  900 : IC  OC.cos300  R B r 1   2r  a  a  2r  a  a D a C/m AB + AC = 2r + a r O E  AB  AC  BC A F C  AB2  2AB.AC  AC2  2BC2  (1,0 đ)  BĐT (1)  Câu V 0.25 0.25  AB2  2AB.AC  AC  2AB2  2AC2   AB  AC   1 (1,0 điểm) 0.25 r 1  , dấu “=” xảy ABC v/cân A a (1,0 đ) Do x  3y  , đặt x  3y   a với a   x = + a – 3y, thay vào 0.25 0.25 biểu thức C:  C  10y2  6ay  6y  a  2a  0.25 1   C  10  y   a  1    a  2a    10 10  10  10  C  khi: 10  3 y     y  a   y  y        10  10   10    10 a  a   x  3y   x   10 * Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa 0.50 0.25 ... DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG I NĂM HỌC 2 012 -2 013 Câu MƠN: TỐN - LỚP Nội dung Phần A A (1, 0 đ) A x2     x ? ?1 x  x ? ?1 x ? ?1 x  x ? ?1 (2,0 điểm)   0.25  x x  0.25 x ? ?1 x  x ? ?1 x ,...  1  A 0 A  3 ĐKXĐ: x  15  0.25 x ? ?1 1 x Xét  A    3 x  x  3(x  x  1) Do x  0, x   0.25 x ? ?1 x  x   (1, 0 đ) x ? ?1 x   x   x  x ? ?1   x  x ? ?1? ?? A   x ? ?1? ?? x  x ? ?1? ??... 1   C  10  y   a  1? ??    a  2a    10 10  10  10  C  khi: 10  3 y     y  a   y  y        10  10   10    10 a  a   x  3y   x   10 * Học sinh