PHỊNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VỊNG I NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN - LỚP (Thời gian làm bài: 150 phút) Câu I (2,0 điểm) Cho biểu thức: A x2 x 1 với x 0, x x x 1 x x 1 x 1) Rút gọn A 2) Chứng tỏ rằng: A Câu II (2,0 điểm) 1) Giải phương trình: x x 15 17 2) Tìm x, y cho: 5x x y y2 Câu III (2,0 điểm) 1) Tìm số nguyên x, cho : x x p với p số nguyên tố m2 2013m 2012 2) Tìm m để hàm số bậc y x 2011 hàm số m2 2m nghịch biến Câu IV (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R), hai đường cao BE CF tam giác cắt H Kẻ đường kính AK đường tròn (O ; R), gọi I trung điểm BC a) Chứng minh AH = 2.IO b) Biết BAC 600 , tính độ dài dây BC theo R 2) Cho ABC(A 900 ) , BC = a Gọi bán kính đường trịn nội tiếp ABC r Chứng minh rằng: r 1 a Câu V (1,0 điểm) Cho x 3y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: C x y –––––––– Hết –––––––– HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG VỊNG I NĂM HỌC 2012-2013 Câu MƠN: TỐN - LỚP Nội dung Phần A A (1,0 đ) A x2 x 1 x x 1 x 1 x x 1 (2,0 điểm) 0.25 x x 0.25 x 1 x x 1 x , với x 0, x x 1 (1,0 đ) (2,0 điểm) Đặt t x 15 (t 0) t t 0.25 t TM§K t t 1 t 1 lo¹i 0.25 Vì 2 x y (1) x 1 0, x y x 0, y x 1 x y 2 Câu III 0.25 0.25 0.25 2 x x Để (1) xẩy (TM) x y y 2 Theo ra: p x x x x 1 mà x, x + số nguyên liên tiếp (2,0 điểm) 0.25 0.25 x 1 (1,0 đ) 0.25 x x 15 17 x 15 x 15 Với t x 15 x 15 x 19 (TMĐK) ĐKXĐ: x 5x x y y2 4x x x 2y x y Câu II 0.50 1 x x x x 2 1 A 0 A 3 ĐKXĐ: x 15 0.25 x 1 1 x Xét A 3 x x 3(x x 1) Do x 0, x 0.25 x 1 x x (1,0 đ) x 1 x x x x 1 x x 1 A x 1 x x 1 x Câu I Điểm nên x x 1 số chẵn p số chẵn (1,0 đ) Mặt khác p số nguyên tố nên p = 2 x x x x 1 x = x = - (TM) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.50 Để hàm y số m 2013m 2012 x 2011 m 2m biến m 2013m 2012 (1) m 2m m m m 2m (1) m 2013m 2012 m 1 m 2012 (1,0 đ) nghịch m m m 2012 m 2012 m m m 2012 m 2012 m 2012 Câu IV (3,0 điểm) 0.25 0.25 0.25 0.25 Vì B, C thuộc đường trịn đường kính A AK ABK ACK 900 E KB AB, KC AC CH AB, BH AC (gt) F O BK // CH,CK // BH H 1a BHCK hình bình hành C B (1,0 đ) I trung điểm BC (gt) I I trung điểm HK O trung điểm AK (gt) K OI đường trung bình KAH OI AH AH 2.IO OA OC OAC cân O OAC OCA KOC OAC OCA (T/c góc ngồi tam giác) KOC 2.OAC Chứng minh tương tự: KOB 2.OAB 1b KOC KOB OAC OAB BOC 2.BAC 1200 (1,0 đ) OB OC OBC cân O OCI 1800 1200 : 300 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Vì I trung điểm BC (gt) OI BC BC R Trong OIC I 900 : IC OC.cos300 R B r 1 2r a a 2r a a D a C/m AB + AC = 2r + a r O E AB AC BC A F C AB2 2AB.AC AC2 2BC2 (1,0 đ) BĐT (1) Câu V 0.25 0.25 AB2 2AB.AC AC 2AB2 2AC2 AB AC 1 (1,0 điểm) 0.25 r 1 , dấu “=” xảy ABC v/cân A a (1,0 đ) Do x 3y , đặt x 3y a với a x = + a – 3y, thay vào 0.25 0.25 biểu thức C: C 10y2 6ay 6y a 2a 0.25 1 C 10 y a 1 a 2a 10 10 10 10 C khi: 10 3 y y a y y 10 10 10 10 a a x 3y x 10 * Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa 0.50 0.25 ... DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG I NĂM HỌC 2 012 -2 013 Câu MƠN: TỐN - LỚP Nội dung Phần A A (1, 0 đ) A x2 x ? ?1 x x ? ?1 x ? ?1 x x ? ?1 (2,0 điểm) 0.25 x x 0.25 x ? ?1 x x ? ?1 x ,... 1 A 0 A 3 ĐKXĐ: x 15 0.25 x ? ?1 1 x Xét A 3 x x 3(x x 1) Do x 0, x 0.25 x ? ?1 x x (1, 0 đ) x ? ?1 x x x x ? ?1 x x ? ?1? ?? A x ? ?1? ?? x x ? ?1? ??... 1 C 10 y a 1? ?? a 2a 10 10 10 10 C khi: 10 3 y y a y y 10 10 10 10 a a x 3y x 10 * Học sinh