Phương trình (lượng giác) là bài toán thường xuất hiện trong các kì thi tuyển sinh, thi học sinh giỏi. Có rất nhiều phương pháp giải phương trình như dùng phép biến đổi phương trình đại số đưa về dạnh tích, dạng đa thức, dùng bất đẳng thúc, dùng tích đơn điệu của hàm số … và một số phương trình có thể giải bằng cách đưa về giải hệ phương trình.
CHƯƠNG IX: HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯ N G GIÁ C I GIẢI HỆ BẰNG PHÉP THẾ Bà i 173: ⎧2 cos x − = (1) ⎪ Giaû i hệ phương trình: ⎨ ( 2) ⎪sin 2x = ⎩ Ta coù : (1) ⇔ cos x = ⇔x=± π + k2π ( k ∈ Z ) π + k 2π thay vaø o (2), ta đượ c 3 ⎛ 2π ⎞ sin 2x = sin ⎜ + k4π ⎟ = ⎝ ⎠ π Vớ i x = − + k2π thay o (2), ta đượ c 3 ⎛ 2π ⎞ sin 2x = sin ⎜ − + k4 π ⎟ = − ≠ (loaï i ) 2 ⎝ ⎠ π Do nghiệ m hệ laø : x = + k 2π, k ∈ Vớ i Bà i 174: Cá c h 1: x= ⎧sin x + sin y = ⎪ Giaû i hệ phương trình: ⎨ π ⎪⎩ x + y = x+y x−y ⎧ ⎪⎪2 sin cos = Hệ cho ⇔ ⎨ ⎪x + y = π ⎪⎩ π x−y x−y ⎧ ⎧ ⎪⎪2.sin cos = ⎪⎪cos = ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪x + y = π ⎪x + y = π 3 ⎩⎪ ⎩⎪ π ⎧ ⎧x− y x − y = k π x = + k 2π = k π ⎧ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ (k ∈ Z ) π ⇔⎨ π π x + y = ⎪x + y = ⎪⎩ ⎪ y = − k 2π ⎪⎩ ⎪⎩ Cá c h 2: Hệ cho π π ⎧ ⎧ ⎪⎪ y = − x ⎪⎪ y = − x ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪sin x + sin ⎛⎜ π − x ⎞⎟ = ⎪ cos x + sin x = ⎪⎩ ⎝3 ⎠ ⎩⎪ 2 π ⎧ π ⎧ ⎪⎪ y = − x ⎪⎪ y = − x ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪sin ⎜⎛ π + x ⎟⎞ = ⎪ π + x = π + k 2π ⎪⎩ ⎪⎩ ⎝ ⎠ π ⎧ ⎪⎪ x = + k 2π k ∈ ⇔⎨ ⎪ y = π − k 2π ⎪⎩ Bà i 175: Giả i hệ phương trình: Cá c h 1: ⎧⎪sin x + sin y = (1) ⎨ ⎪⎩cos x + cos y = (2) x+y x−y ⎧ ⎪⎪2 sin cos = (1) ⇔⎨ Hệ cho ⎪2 cos x + y cos x − y = (2) ⎪⎩ 2 Laá y (1) chia cho (2) ta đượ c : x−y ⎛x+ y⎞ = khô n g nghiệ m củ a (1) (2) ) tg ⎜ ⎟ = ( cos ⎝ ⎠ x+ y π ⇔ = + kπ π π ⇔ x + y = + k 2π ⇔ y = − x + k 2π 2 ⎛π ⎞ thay vaø o (1) ta đượ c : sin x + sin ⎜ − x + k2π ⎟ = ⎝2 ⎠ ⇔ sin x + cos x = π⎞ ⎛ ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = 4⎠ ⎝ π ⇔ x − = h 2π, h ∈ π ⎧ ⎪⎪ x = + h2π, h ∈ Do : hệ cho ⇔ ⎨ ⎪ y = π + ( k − h ) 2π, k , h ∈ ⎪⎩ ⎧A = B ⎧A + C = B + D Caù c h 2: Ta coù ⎨ ⇔⎨ ⎩C = D ⎩A − C = B − D Hệ cho ⎧⎪( sin x − cos x ) + ( sin y − cos y ) = ⇔⎨ ⎪⎩( sin x + cos x ) + ( sin y − cos y ) = 2 ⎧ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎪ sin ⎜ x − ⎟ + sin ⎜ y − ⎟ = ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⎪ sin ⎛ x + π ⎞ + sin ⎛ y + π ⎞ = 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎩ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ ⎧ ⎛ π⎞ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ x − ⎟ + sin ⎜ y − ⎟ = ⎧ ⎛ π⎞ π⎞ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎪ ⎝ ⎪sin ⎜ x − ⎟ + sin ⎜ y − ⎟ = ⎪ ⎛ π⎞ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⇔ ⎨sin ⎜ x + ⎟ = 4⎠ ⎪sin ⎛ x + π ⎞ + sin ⎛ y + π ⎞ = ⎪ ⎝ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎪ ⎛ 4⎠ 4⎠ π⎞ ⎝ ⎩⎪ ⎝ ⎪sin ⎜ y + ⎟ = 4⎠ ⎩ ⎝ ⎧ π π ⎪ x + = + k 2π ⎪ π π ⎪ ⇔ ⎨ y + = + h 2π ⎪ ⎪ ⎛ π⎞ π⎞ ⎛ ⎪sin ⎜ x − ⎟ + sin ⎜ y − ⎟ = ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎝ π ⎧ ⎪⎪ x = + k2π ⇔⎨ ⎪ y = π + h2π, h, k ∈ Z ⎪⎩ Baø i 176: ⎧⎪ tgx − tgy − tgxtgy = Giả i hệ phương trình: ⎨ ⎪⎩cos 2y + cos 2x = −1 (1) (2) Ta coù : tgx − tgy = + tgxtgy ⎧1 + tgxtgy = ⎧⎪tg ( x − y ) = ⎪ ⇔⎨ ∨ ⎨tgx − tgy = ⎪⎩1 + tgxtgy ≠ ⎪ ⎩1 + tg x = (VN) π π vớ i x, y ≠ + kπ ⇔ x − y = + kπ ( k ∈ Z ) , π π vớ i x, y ≠ + kπ ⇔ x = y + + kπ, π ⎛ ⎞ Thay o (2) ta đượ c : cos 2y + cos ⎜ 2y + + k2π ⎟ = −1 ⎝ ⎠ ⇔ cos y − s in2 y = −1 1 π⎞ ⎛ s in2 y − cos y = ⇔ sin ⎜ y − ⎟ = 2 6⎠ ⎝ π π π 5π ⇔ y − = + h 2π hay y − = + h 2π ( h ∈ Z ) 6 6 π π ⇔ y = + hπ, h ∈ hay y = + hπ, h ∈ ( lọai) Do : 5π ⎧ = + ( k + h) π x ⎪⎪ ⇔⎨ Hệ cho ( h, k ∈ Z ) π ⎪ y = + hπ ⎪⎩ ⇔ Baø i 177: ⎧⎪cos3 x − cos x + sin y = (1) Giả i hệ phương trình ⎨ ⎪⎩sin x − sin y + cos x = (2) Lấy (1) + (2) ta đượ c : sin x + cos3 x = ⇔ sin x = − cos3 x ⇔ tg x = −1 ⇔ tgx = −1 π ⇔ x = − + kπ (k ∈ Z) Thay vaø o (1) ta đượ c : sin y = cos x − cos3 x = cos x (1 − cos2 x ) sin 2x sin x ⎞ ⎛ π⎞ ⎛ π = sin ⎜ − ⎟ sin ⎜ − + kπ ⎟ ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ ⎛ π ⎞ = − sin ⎜ − + kπ ⎟ ⎝ ⎠ = cos x sin x = ⎧ (nếu k chẵn) ⎪ ⎪ =⎨ ⎪− (nếu k lẻ) ⎪⎩ Đặt sin α = (vớ i < α < 2π ) π π ⎧ ⎧ ⎪ x = − + 2mπ, m ∈ ⎪ x = − + ( 2m + 1) π, m ∈ ⎪ ⎪ Vậ y nghiệ m hệ ⎨ ∨⎨ y h2 , h y = −α + 2hπ, h ∈ = α + π ∈ ⎪⎡ ⎪⎡ ⎢ ⎢ ⎪⎩ ⎣ y = π − α + h2π, h ∈ ⎪⎩ ⎣ y = π + α + h2π, h ∈ II GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG Bà i 178: ⎧ ⎪sin x.cos y = − Giả i hệ phương trình: ⎨ ⎪tgx.cotgy = ⎩ Điề u kiệ n : (1 ) ( 2) cos x.sin y ≠ Caù c h 1: Hệ cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⎧1 ⎪⎪ ⎡⎣sin ( x + y ) + sin ( x − y ) ⎤⎦ = − ⎨ sin x.cos y ⎪ −1 = ⎪⎩ cos x.sin y ⎧⎪sin ( x + y ) + sin ( x − y ) = −1 ⎨ ⎪⎩sin x cos y − sin y cos x = ⎧⎪sin ( x + y ) + sin ( x − y ) = −1 ⎨ ⎪⎩sin ( x − y ) = ⎧⎪sin ( x + y ) = −1 ⎨ ⎪⎩sin ( x − y ) = π ⎧ ⎪ x + y = − + k2π, k ∈ ⎨ ⎪⎩ x − y = hπ, h ∈ π π ⎧ ⎪⎪ x = − + ( 2k + h ) , k, h ∈ ⎨ ⎪ y = − π + ( 2k − h ) π , k, h ∈ ⎪⎩ (nhaän sin y cos x ≠ 0) Caù c h 2: ( 2) ⇔ sin x cos y = ⇔ sin x cos y = cos x sin y cos x sin y Thế (1) vào ( ) ta được: ⎧ ⎪⎪sin x cos y = − ⎨ ⎪cos x sin y = − ⎪⎩ ⎧⎪sin ( x + y ) = −1 ⇔⎨ ⎪⎩sin ( x − y ) = ( 3) ( 4) ( 3) + ( ) ( 3) − ( ) π ⎧ ⎪ x + y = − + k 2π, k ∈ ⇔⎨ ⎪⎩ x − y = hπ, h ∈ π π ⎧ ⎪⎪ x = − + ( 2k + h ) ⇔⎨ ( h, k ∈ Z ) ⎪ y = − π + ( 2k − h ) π ⎪⎩ III GIẢ I HỆ BẰN G Ẩ N PHỤ Bà i 179: Đặt Giả i hệ phương trình: ⎧ ⎪tgx + tgy = ⎪ ⎨ ⎪cotgx + cotgy = −2 ⎪⎩ (1) ( 2) X = tgx, Y = tgy ⎧ ⎧ 3 ⎪X + Y = ⎪X + Y = ⎪ ⎪ 3 Hệ cho thaø n h: ⎨ ⇔⎨ ⎪1 + = −2 ⎪Y + X = − ⎪⎩ X Y ⎪⎩ YX 3 ⎧ ⎧ ⎪X + Y = ⎪X + Y = ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪ XY = −1 ⎪X − X − = ⎩ ⎪⎩ ⎧X = ⎧ ⎪ ⎪X = − ⇔⎨ 3∨⎨ Y = − ⎪ ⎪Y = 3 ⎩ ⎩ Do : ⎧tgx = ⎧ ⎪ ⎪tgx = − Hệ cho : ⇔ ⎨ 3∨⎨ ⎪tgy = − ⎪tgy = 3 ⎩ ⎩ π π ⎧ ⎧ ⎪⎪ x = + k π, k ∈ ⎪⎪ x = − + k π, k ∈ ⇔⎨ ∨⎨ π ⎪ y = − + hπ, h ∈ ⎪ y = π + hπ, h ∈ ⎪⎩ ⎪⎩ Baø i 180: ⎧ ⎪sin x + sin y = Cho hệ phương trình: ⎨ ⎪⎩cos 2x + cos 2y = m a/ Giaû i hệ phương trình m = − b/ Tìm m để hệ có nghiệ m Hệ cho ⎧ ⎪sin x + sin y = ⇔⎨ ⎪(1 − sin x ) + (1 − sin2 y ) = m ⎩ ⎧ ⎪⎪sin x + sin y = ⇔⎨ ⎪sin2 x + sin y = − m ⎪⎩ ⎧ ⎪⎪sin x + sin y = ⇔⎨ ⎪( sin x + sin y )2 − sin x sin y = − m ⎪⎩ ⎧ ⎪⎪sin x + sin y = ⇔⎨ ⎪ − sin x sin y = − m ⎪⎩ ⎧ ⎪⎪sin x + sin y = ⇔⎨ ⎪sin x sin y = − + m ⎪⎩ Đặt X = sin x, Y = sin y với X , Y ≤ X, Y nghiệ m củ a hệ phương trình m t2 − t + − = ( *) a/ Khi m = − ( *) thành : 1 t− =0 2 ⇔ 2t − t − = t2 − ⇔ t =1∨ t = − ⎧sin x = ⎧ ⎪ ⎪sin x = − Vậ y hệ cho ⇔ ⎨ 1∨⎨ sin y = − ⎪⎩ ⎪⎩sin y = π ⎧ ⎧ h π ⎪⎪ x = + k 2π, k ∈ ⎪⎪ x = −(−1) + hπ, h ∈ ⇔⎨ ∨⎨ ⎪ y = −(−1) h π + hπ, h ∈ ⎪ y = π + k 2π, k ∈ ⎩⎪ ⎩⎪ m b/ Ta coù : ( *) ⇔ = −t + t + Xeù t y = − t + t + ( C ) treân D = [ −1,1] thì: y ' = −2t + y' = ⇔ t = Hệ cho có nghiệ m ⇔ ( *) có nghiệm [ -1,1] ⇔ (d ) y = m cắ t (C) tạ i điể m tiếp xúc treân [ -1,1] m ≤ ≤ 16 ⇔− ≤m≤ Caù c h khaù c ycbt ⇔ f (t ) = 8t − 4t − + 2m = có nghiệ m t , t thoû a ⇔ −1 ≤ t1 ≤ t2 ≤ ⇔− ⎧ Δ / = 28 − 16m ≥ ⎪ ⎪⎪ af (1) = + 2m ≥ ⇔ ⎨ af (−1) = + 2m ≥ ⇔ − ≤ m ≤ ⎪ S ⎪ −1 ≤ = ≤ ⎪⎩ Bà i 181: Cho hệ phương trình: a/ b/ ⎪⎧sin x + mtgy = m ⎨ ⎪⎩ tg y + m sin x = m Giả i hệ m = -4 Vớ i giá trị nà o củ a m hệ có nghiệ m Đặt X = sin x vớ i X ≤ Y = tgy (1 ) ⎪⎧ X + mY = m Hệ nh: ⎨ ( 2) ⎪⎩ Y + mX = m Laáy (1) – (2) ta đượ c : X − Y + m ( Y − X ) = ⇔ ( X − Y )( X + Y − m ) = ⇔ X = Y∨Y =m−X ⎧X = Y ⎪⎧Y = m − X Hệ nh hay ⎨ ⎨ ⎩ X + mX = m ⎩⎪ X + m ( m − X ) = m ⎪⎧ X = Y ⎪⎧ Y = m − X ⇔⎨ ∨⎨ 2 ⎩⎪ X + mX − m = ( * ) ⎩⎪ X − mX + m − m = a/Khi m = -4 ta đượ c hệ ⎧⎪ Y = −4 − X ⎧X = Y ∨⎨ ⎨ ⎩ X − 4X + = ⎪⎩ X + 4X + 20 = ( vô nghiệm ) ⎧⎪ X = ( loaïi X ≤ 1) ⇔⎨ ⎪⎩ Y = Vậ y hệ cho vô nghiệ m m = b/ Ta coù (*) ⇔ X + mX − m = với X ≤ ⇔ X = m (1 − X ) X2 ⇔ = m ( m không nghiệm *) 1−X X2 − X + 2X [ −1,1) ⇒ Z ' = ; Xé t Z = 1− X (1 − X ) Z' = ⇔ X = ∨ X = ( * *) ⎧⎪ X = Y ( X ≤ 1) có nghiệ m ⇔ m ≥ ⎨ ⎪⎩ X + mX − m = Xeù t (**): X − mX + m − m = Ta coù Δ = m − ( m − m ) = −3m + 4m Do hệ Kế t luậ n : Khi m ≥ (I) có nghiệ m nê n hệ cho có nghiệ m Khi m < (I) vô nghiệ m mà (**) cù n g vô nghiệ m (do Δ < 0) nê n hệ cho vô nghiệ m Do : Hệ có nghiệ m ⇔ m ≥ Cá c h c Hệ có nghiệ m ⇔ f (X) = X + mX − m = (*)hay Δ≥0⇔0≤m≤ g(X) = X − mX + m2 − m = (**) có nghiệ m trê n [-1,1] ⎧Δ1 = m + 4m ≥ ⎪ ⎪⎪af (1) ≥ ⇔ f ( −1) f (1) ≤ hay ⎨af (−1) ≥ ⎪ ⎪−1 ≤ S = − m ≤ ⎪⎩ 2 ⎧Δ = −3m + 4m ≥ ⎪ ⎪⎪ag (−1) = m + ≥ hay g (−1) g (1) ≤ hay ⎨ag ( 1) = (m − 1) ≥ ⎪ ⎪−1≤ S = m ≤ ⎪⎩ 2 ⎧Δ1 = m + 4m ≥ ⎪ ⇔ − 2m ≤ hay ⎨1 − 2m ≥ hay m = hay ≤ m ≤ ⎪−2 ≤ m ≤ ⎩ ⇔m≥0 IV HỆ KHÔNG MẪU MỰC Baø i 182: ⎧ π⎞ ⎛ ⎪tgx + cotgx = 2sin ⎜ y + ⎟ (1) ⎪ ⎝ ⎠ Giả i hệ phương trình: ⎨ ⎪ tgy + cotgy = 2sin ⎛ x - π ⎞ (2) ⎜ ⎟ ⎪⎩ 4⎠ ⎝ Caù c h 1: sinα cos α sin2 α + cos2 α + = = cosα sin α sin α cos α sin 2α ⎧ π⎞ ⎛ ⎪ sin 2x = sin ⎜ y + ⎟ (1) ⎝ ⎠ ⎪ Vậ y hệ cho ⇔ ⎨ ⎪ = sin ⎛ x − π ⎞ (2) ⎜ ⎟ ⎪⎩ sin 2y 4⎠ ⎝ Ta coù : tgα + cotgα= Ta coù : ⎧ π⎞ ⎛ ⎪1 = sin 2x sin ⎜ y + ⎟ (1) ⎪ ⎝ ⎠ ⇔⎨ ⎪1 = sin 2y sin ⎛ x − π ⎞ (2) ⎜ ⎟ ⎪⎩ 4⎠ ⎝ ⎧sin 2x = ⎧sin 2x = −1 ⎪ ⎪ (1) ⇔ ⎨ ∨⎨ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎪sin ⎜ y + ⎟ = ⎪sin ⎜ y + ⎟ = −1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎩ π π ⎧ ⎧ ⎪⎪ x = + kπ, k ∈ ⎪⎪ x = − + kπ, k ∈ ⇔⎨ ∨⎨ ⎪ y = π + h2π, h ∈ ⎪ y = − 3π + h2π, h ∈ ⎩⎪ ⎩⎪ 4 π ⎧ ⎪⎪ x = + kπ, k ∈ Thay ⎨ o (2) ta đượ c π ⎪ y = + h2π, h ∈ ⎪⎩ π⎞ π ⎛ sin 2y.sin ⎜ x − ⎟ = sin sin kπ = ≠ (loaï i ) 4⎠ ⎝ −π ⎧ = + kπ, k ∈ x ⎪⎪ Thay ⎨ vaø o (2) ta đượ c π ⎪y = − + h2π, h ∈ ⎪⎩ π⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 3π ⎞ ⎛ π sin 2y sin ⎜ x − ⎟ = sin ⎜ − ⎟ sin ⎜ − + kπ ⎟ 4⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ( k lẻ) ⎛ π ⎞ ⎧1 = sin ⎜ − + kπ ⎟ = ⎨ ( k chẵn) ⎝ ⎠ ⎩−1 Do hệ có nghiệ m π ⎧ ⎪⎪ x = − + ( 2m + 1) π ⎨ ⎪ y = − 3π + h2π ⎪⎩ ( m, h ∈ Z) • Cá c h 2: Do bấ t đẳ n g thứ c Cauchy tgx + cotgx ≥ daá u = xaû y ⇔ tgx = cotgx ⇔ tgx= ⇔ tgx = ±1 tgx Do : π⎞ ⎛ tgx+cotgx ≥ ≥ sin ⎜ y + ⎟ 4⎠ ⎝ Dấ u = tạ i (1) xả y ⎧tgx = ⎧tgx = −1 ⎪ ⎪ ⇔⎨ ∨⎨ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⎪sin ⎜ y + ⎟ = ⎪sin ⎜ y + ⎟ = −1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ ⎩ π π ⎧ ⎧ ⎪⎪ x = + kπ, k ∈ ⎪⎪ x = − + kπ, k ∈ (I) ∨ ⎨ (II) ⇔⎨ π π ⎪ y = + h2π, h ∈ ⎪y = − + h2π, h ∈ ⎪⎩ ⎪⎩ 4 ⎛ π⎞ thay (I) vaø o (2): tgy + cotgy=2sin ⎜ x - ⎟ ⎝ 4⎠ ta thaá y = 2sin kπ = khô n g thỏ a ⎛ π ⎞ thay (II) o (2) ta thấ y = sin ⎜ − + k π ⎟ ⎝ ⎠ thỏ a k lẻ π ⎧ ⎪⎪ x = − + ( 2m + 1) π Vậ y : hệ cho ⇔ ⎨ , m, h ∈ π ⎪y = − + 2hπ ⎪⎩ Bà i 183: Cho hệ phương trình: (1) ⎪⎧ x − y = m ⎨ ⎪⎩2 ( cos 2x + cos 2y ) − − cos m = (2) Tìm m để hệ phương trình có nghiệ m ⎧⎪ x − y = m Hệ cho ⇔ ⎨ ⎪⎩4 cos ( x + y ) cos ( x − y ) = + cos m ⎧⎪ x − y = m ⇔⎨ ⎪⎩−4 cos ( x + y ) cos m + cos m + = ⎪⎧ x − y = m ⇔⎨ 2 ⎪⎩[2 cos m − cos ( x + y )] + − cos ( x + y ) = ⎪⎧ x − y = m ⇔⎨ 2 ⎪⎩[2 cos m − cos ( x + y )] + sin ( x + y ) = ⎧x − y = m ⎪ ⇔ ⎨cos ( x + y ) = cos m ⎪ ⎩sin ( x + y ) = ⎧x − y = m ⎪ ⇔ ⎨ x + y = kπ , k ∈ ⎪cos(kπ) = cos m ⎩ Do hệ có nghiệ m ⇔ m = ± π 2π + h2π ∨ m = ± + h2π, h ∈ 3 BÀI TẬP Giả i cá c hệ phương trình sau: ⎧sin x + sin y = a/ ⎨ 2 ⎩sin x + sin y = ⎧ ⎪⎪sin x sin y = − b/⎨ ⎪cos x cos y = ⎪⎩ ⎧⎪ cos x = + cos y c/⎨ ⎩⎪ sin x = sin y ⎧ ⎪sin x cos y = d/⎨ ⎪⎩3tgx = tgy ⎧tgx + tgy + tgxtgy = f /⎨ ⎩3sin 2y − = cos 4x ⎧ ⎪⎪sin x − sin 2y = g/⎨ ⎪cos x + cos 2y = ⎩⎪ ⎧cos ( x + y ) = cos ( x − y ) ⎪ h/⎨ ⎪cos x.cos y = ⎩ ⎧sin x = cos y k/⎨ ⎩5 sin y = cos x − ⎧tgx + tgy = ⎪ l/⎨ x y ⎪⎩tg + tg = ⎧cos x cos y = m + 2.Cho hệ phương trình: ⎨ ⎩sin x sin y = 4m + 2m a/ Giả i hệ m = − ⎧⎪sin x = cos x cos y e/ ⎨ ⎪⎩cos x = sin x sin y ⎛ ⎞ b/ Tìm m để hệ có nghiệ m ⎜ ĐS − ≤ m ≤ − hay m=0 ⎟ 4 ⎝ ⎠ Tìm a để hệ sau đâ y có nghiệ m nhấ t : ⎧⎪ y + tg x = ⎨ ( ÑS a= 2) ⎪⎩ y + = ax + a + sin x Tìm m để cá c hệ sau đâ y có nghiệ m ⎧sin x cos y = m ⎪⎧cos x = m cos y a/⎨ b/⎨ ⎩sin y cos x = m ⎩⎪sin x = m cos y ( ÑS ≤ m ≤ 2) ⎛ 1- 1+ ⎞ ≤m≤ ⎜⎜ ÑS ⎟⎟ 2 ⎝ ⎠ Th.S Phạm Hồng Danh TT luyện thi đại học Vĩnh Viễn ... α + h2π, h ∈ II GIẢI HỆ BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG Bà i 178: ⎧ ⎪sin x.cos y = − Giaû i hệ phương trình: ⎨ ⎪tgx.cotgy = ⎩ Điề u kieä n : (1 ) ( 2) cos x.sin y ≠ Cá c h 1: Hệ cho ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⎧1 ⎪⎪... ⇔ − ≤ m ≤ ⎪ S ⎪ −1 ≤ = ≤ ⎪⎩ Baø i 181: Cho hệ phương trình: a/ b/ ⎪⎧sin x + mtgy = m ⎨ ⎪⎩ tg y + m sin x = m Giả i hệ m = -4 Vớ i giá trị nà o củ a m hệ có nghiệ m Đặt X = sin x vớ i X ≤ Y =... m = hay ≤ m ≤ ⎪−2 ≤ m ≤ ⎩ ⇔m≥0 IV HỆ KHÔNG MẪU MỰC Bà i 182: ⎧ π⎞ ⎛ ⎪tgx + cotgx = 2sin ⎜ y + ⎟ (1) ⎪ ⎝ ⎠ Giả i hệ phương trình: ⎨ ⎪ tgy + cotgy = 2sin ⎛ x - π ⎞ (2) ⎜ ⎟ ⎪⎩ 4⎠ ⎝ Caù c h 1: sinα