Tài liệu tham khảo - Phân tích các đề về phương trình lượng giác của đề thi đại học từ năm 2003 đến 2010 các ban A.B.D.
1 Trần Thành Minh - Phan Lưu Biên – Trần Quang Nghóa PHÂN TÍCH CÁC ĐỀ Phương trình lượng giác đề thi ĐH 2003-2010 ban A-B-D www.saosangsong.com.vn www.saosangsong.com.vn LTĐH : Chun đề PT LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Công thức cộng Công thức nhân ñoâi sin 2a = 2sin a.cos a cos(a ± b) = cos a.cosb ∓ sin a.sin b sin(a ± b) = sin a.cos b ± sin b.cos a tan(a ± b) = cos 2a = cos a − sin a = cos a − = − 2sin a tan a tan 2a = − tan a tan a ± tan b ∓ tan a.tan b Công thức nhân ba Công thứ hạ bậc + cos 2a − cos 2a ; sin a = 2 3cos a + cos 3a 3sin a − sin 3a cos3 a = ; sin a = 4 sin 3a = 3sin a − 4sin a cos a = cos 3a = 4cos a − 3cos a Áp dụng: sin x + cos x = 2.sin(x + π / 4) ; sin x − cos x = 2.sin(x − π / 4) sin x ± cos x = 2.sin(x ± π / 3) ; sin x ± cos x = 2.sin(x ± π / 6) 1 sin4x + cos4x = – 2sin2xcos2x = - sin 2x ; sin6x + cos6x = – 3sin2xcos2x = - sin 2x 3 Công thức t ính sinx ; cosx ; tanx theo t = tan(x/2) [sin(a + b) + sin(a − b)] cos a.cos b = [ cos(a + b) + cos(a − b) ] sin a.sin b = [ cos(a − b) − cos(a + b)] x 2t (t = tan ) 1+ t 1− t2 cos x = 1+ t2 2t tan x = 1− t2 sin a.cos b = sin x = Công thức biến đổi tổng thành tích Công thức biến đổi tích thành tổng a+b a −b cos 2 a+b a −b cos a − cos b = −2sin sin 2 a+b a −b sin a + sin b = 2sin cos 2 a+b a −b sin a − sin b = cos sin 2 cos a + cos b = cos Phương pháp: Sử dụng công thức lượng giác để thực phép biến đổ nhằm đưa phương trình dạng sau: www.saosangsong.com.vn ⎡ X = A + k 2π sin X = sin A ⇔ ⎢ ⎣ X = π − A + k 2π Dạng Phương trình lượng giác : cos X = cos A ⇔ ⎡ X = A + k 2π ⎢ X = − A + k 2π ⎣ tan X = tan A ⇔ X = A + kπ ( A ≠ π + mπ ) cot X = cot A ⇔ X = A + kπ ( A ≠ mπ ) Đặc biệt: • sin X = ⇔ X = k π ; sin X = ⇔ X = • π + k 2π ; sin X = − ⇔ X = − π + k 2π π + kπ ; cos X = ⇔ X = k 2π ; cos X = − ⇔ X = π + k 2π cos X = ⇔ X = Dạng Phương trình bậc hai hàm số lượng giác at2 + bt + c = với t ẩn số phụ lượng giác t = sinx , t = cosx (|t| ≤ 1), t = tanx • Giải để tìm t • Suy x Trong dạng này, ta có tiểu dạng chuẩn sau: 2.1 acosx + bsinx = c a2 + b2 tìm góc α thỏa cos α = Cách giải 1:Chia hai vế cho : cos(x + α ) = a a +b ; sin α = b a + b2 , phương trình thành c a + b2 2 • Nếu a + b ≥ c (điều kiện có nghiệm ): Gọi β góc thỏa: cos β = c a2 + b , ta : cos(x + α ) = cos β Cách giải : • x = π + k.2π nghiệm - a + c = • x ≠ π + k.2π : Đặt t = tan(x/2), sinx = Tìm t, suy nghieäm x 2t + t2 , cos x = − t2 + t2 , ta phương trình bậc theo t 2.2 asin2x + bsinx cosx + ccos2x + d = Cách giải : • x = π / + k.π nghiệm a + d = • x ≠ π / + k.π : Chia hai vế cho cos2x ≠ 0, ta phương trình bậc hai theo t = tan x Giải để tìm t , suy x 2.3 asinxcosx + b(sinx ± cosx) + c = • Đặt t = sinx ± cosx = sin(x ± π / 4) => |t| ≤ Và sinxcosx = ± t2 − , ta PT bậc theo t Giải để tìm t thỏa |t| ≤ Suy nghiệm x www.saosangsong.com.vn Dạng PT lượng giác dạng tích số • Biến đổi PT dạng f(x) g(x) = • PT Ù f(x) = hay g(x) = Các ví dụ dạng 1: D2009 GPT : cos5x – 2sin3xcos2x – sinx = (1) Giải (1) Ù Ù cos5x – (sin5x + sinx) – sinx = (cơng thức biến tích thành tổng) cos5x – sin5x = 2sinx Ù Ù sin π cos x − cos Ghi chú: Biểu thức cos x − sin x = sin x 2 π ⎛π ⎞ sin x = sin x Ù sin ⎜ − x ⎟ = sin x : Dạng ⎝3 ⎠ cos5x – sin5x thuộc dạng tổng quát cosa – sina thông dụng, cần nhớ (xem công thức trang đầu) cos3x = 2(cos4x + sin3x) (1) B2009 GPT : sinx + cosxsin2x + Giải (1) Ù (sinx – 2sin3x) + cosxsin2x + Ù sinx(1 – 2sin2x) + cosxsin2x + Ù (sinxcos2x + cosxsin2x) + Ù (sin3x) + cos3x = 2cos4x cos3x = 2cos4x cos3x = 2cos4x (Thay – 2sin2x = cos2x) cos3x = 2cos4x (công thức cộng) Lại gặp biểu thức quen thuộc: sina + cosa Giải tiếp Các ví dụ dạng A2006 GPT: 2(cos6 x + sin x) − sin x cos x = (1) − 2sin x k = 0, 2, 2n Giải ĐK: sinx ≠ / (2) Thay sinx cosx = ½ sin2x cos6x + sin6x = – 3sin2xcos2x = – (¾) sin22x k = 1, 3, 2n+1 2 (1) Ù – 3/2 sin 2x - ½ sin2x = Ù 3sin 2x + sin2x – = (Dạng bậc theo t = sin2x với |t| ≤ 1) Ù sin2x = Ù x = π/4 + kπ www.saosangsong.com.vn Xét (2) : sin(π/4 + kπ) ≠ 2/2 ⎧⎪sin π / = / k = 2n Nhận xét : sin(π/4 + kπ) = ⎨ ; phương trình có nghiệm x = ⎪⎩sin(5π / 4) = − / k = 2n + 5π/4 + 2nπ (n ∈ Z ) Ghi chú: Ta giải điều kiện theo cách sau: sinx ≠ /2 Ù x ≠ π/4 + n.2π hay x ≠ 3π/4 + n.2π Do (2) Ù π/4 + kπ ≠ π/4 + n.2π π/4 + k.π ≠ 3π/4 + n.2π Ù k ≠ 2n k ≠ ½ + 2n Ù k ≠ 2n điều kiện k ≠ ½ + 2n thỏa với n, k chúng nguyên, Ù k = 2n + Cách giải tốt tùy điều kiện nghiệm B2003 GPT: cotx – tanx + 4sin2x = sin 2x Giải Chú ý cách biến đổi biểu thức cotx – tanx : cos x sin x cos x − sin x cos x (= cot x) cotx – tanx = − = = sin x cos x sin x cos x sin x cos x Phương trình thành: + 4sin x = sin x sin x Đk: sin2x ≠ Phương trình thành: cos2x + 2sin22x = Ù cos2x + 2(1 - cos22x) = Ù 2cos22x – cos2x – = (PT bậc theo t = cos2x) Ù cos2x = hay cos2x = - ½ Nhận xét cos2x = => sin2x = giá trị bị loại Cịn cos2x = – ½ => sin2x ≠ nên nhận 2π π Cuối ta : 2x = ± + k 2π x = ± + kπ 3 Nhận xét : Thêm cách giải điều kiện giá trị hàm số liên quan Đơi phương trình đưa dạng bậc theo ẩn số phụ, sau: GPT: cos2x + 2sin(4x/3 + π/2) = Giải: Phương trình tương đương với : + cos x + cos(4 x / 3) = Ù cos2x + 4cos(4x/3) – = Nhận xér 4x/3 = (2x/3) 2x = 3.(2x/3), thay: • cos(4x/3) = 2cos2(2x/3) – (CT nhân 2) • cos2x = 4cos3(2x/3) – 3cos(2x/3) (CT nhân 3) www.saosangsong.com.vn ta phương trình bậc theo cos(2x/3): [4cos3(2x/3) – 3cos(2x/3)] + 4[2cos2(2x/3) – 1] – = Ù 4cos3(2x/3) + 8cos2(2x/3) – 3cos(2x/3) – = Đặt t = cos(2x/3); |t| ≤ 1: 4t3 + 8t2 – 3t – = Ù t = 1, t = - 3/2 (loại) Ù cos2x = Ù x = kπ Các ví dụ dạng (dạng tích số) Sử dụng kỹ thuật đại số phân tích nhân tử biểu thức, phép đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, dùng đẳng thức Các công thức sau thường sử dụng: • cos2x = cos2x – sin2x = (cosx + sinx)(cosx –sinx) • + sin2x = (sinx + cosx)2 • sin2x = (1 + cosx)( - cosx) B2007 GPT: 2sin22x + sin7x – = sinx Giải Phương trình tương đương với – cos4x) + (sin7x – sinx) = Ù - cos4x + 2cos4xsin3x = ⎡ cos x = Ù cos4x(2sin3x – 1) = Ù ⎢ ⎣sin x = 1/ D2003 GPT: sin2(x/2 - π/4).tan2x – cos2(x/2) = Giải Thay : sin2(x/2 - π/4) = − cos( x − π / 2) − sin x sin x − cos x + cos x = ; tan x = = ; cos ( x / 2) = , ta : 2 2 cos x − sin x − sin x − cos x + cos x − =0 − sin x Đk: sinx ≠ ±1 Đơn giản, khử mẫu, ta : (1 – cos2x) – (1 + cosx)(1 + sinx) = Ù (1 + cosx)(1 – cosx – – sinx) = ⎡ cos x = −1 Ù (1 + cosx)(cosx + sinx) = Ù ⎢ Ù ⎣ sin( x + π / 4) = ⎡ x = (2k + 1)π ⎢ x = −π / + kπ ⎣ Cả hai giá trị thoả điều kiện nên nghiệm phương trình www.saosangsong.com.vn D10 GPT: sin2x – cos2x + 3sinx – cosx – = Giải Thay sin2x = 2sinxcosx; cos2x = – 2sin2x, ta : 2sinxcosx – (1 – 2sin2x) + 3sinx – cosx – = Ù cosx(2sinx – 1) + (2sin2x + 3sinx – 2) = Chú ý biểu thức (2sin2x + 3sinx – 2) tam thức bậc theo sinx, tương tự 2x2 + 3x – , ta phân tích chúng dễ dàng bấm nghiệm phương trình 2x2 + 3x – = máy tính, x1 = - x2 = ½ , (2sin2x + 3sinx – 2) = (2sinx – 1)(sinx + 2), phương trình thành: cosx(2sinx – 1) + (2sinx – 1)(sinx + 2) = ⎡sin x = 1/ Ù (2sinx – 1)(cosx + sinx + 2) = Ù ⎢ sin( / 4) ( ) x π VN + = − ⎣ THỰC TẬP Giải phương trình sau: D2008 2sinx(1 + cos2x) + sin2x = + 2cosx D2007 (sinx/2 + cosx/2)2 + cosx = 3.D2006 cos3x + cos2x – cosx – = 4.D2005 cos4x + sin4x + cos(x - π/4)sin(3x - π/4) – 3/2 = 5.D2004 (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – sinx B2010 (sin2x + cos2x)cosx + 2cos2x – sinx = B2008 sin3x – cos3x = sinxcos2x – sin2xcosx B2006 cotx + sinx(1 + tanxtan(x/2)) = B2005 + sinx + cosx + sin2x + cos2x = 10 B2004 5sinx – = 3(1 – sinx).tan2x 11 A2010 (1 + sin x + cos x) sin( x + π / 4) = cos x + tan x (1 − 2sin x) cos x = (1 + 2sin x)(1 − sin x) 1 13.A2008 + = 4sin(7π / − x) sin x sin( x − 3π / 2) 12 A2009 14 A2007 (1 + sin2x)cosx + (1 + cos2x)sinx = + sin2x 15 A2005 cos23xcos2x – cos2x = www.saosangsong.com.vn 16 A2003 cotx – = cos x + sin x − sin x + tan x 17 CĐ sin x − cos x = cos x + sin x (4 cos x − 1) 18 cosx + 2sin2xcosx + = sin3x + 2(2cos22x + cos3x) GIẢI VẮN TẮT 2sinx(2cos2x) + 2sinxcosx = + 2cosx Ù 2sinxcosx(2cosx + 1) = + 2cosx Ù (2cosx + 1)(2sinxcosx – 1) = Thay + cos2x = 2cos2x: 2sinxcosx(2cosx + 1) – (2cosx + 1) = (1 + sinx) + cosx = Ù sinx + cosx = Ù sin(x + π/3) = ½ Thay cos3x = 4cos3x – 3cosx, cos2x = 2cos2x – 1, ta phương trình bậc theo cosx Thay cos4x + sin4x = – 2sin2xcos2x = – ½ sin22x , cos(x - π/4)sin(3x - π/4) = ½ [sin(4x - π/2) + sin(2x)] (CT sinacosb = ½ [sin(a+b) + sin(a – b)]) = ½ [- cos4x + sin2x] Ta : – ½ sin22x + ½ [- cos4x + sin2x] = Sau thay cos4x = – 2sin22x, ta phương trình bậc theo sin2x Biến đổi vế phải thành 2sinxcosx – sinx = sinx(2cosx – 1) Ta đưa phương trình dạng tích : (2cosx – 1)(2sinx + cosx – sinx ) = Khai triển : sin2xcosx + cos2xcosx + 2cos2x – sinx = Ù sinx(2cos2x – 1) + cos2xcosx + 2cos2x = Ù sinxcos2x + cos2xcosx + 2cos2x = Ù cos2x(sinx + cosx + 2) = (sin3x – sinxcos2x) – ( cos3x - Ù sinx(sin2x – cos2x) – cosx(cos2x – sin2x) = sin2xcosx) = Ù (cos2x – sin2x) ( cosx – sinx ) = Ù cos2x ( cosx – sinx ) = www.saosangsong.com.vn Biến đổi: + tanxtan(x/2) = = 1+ sin x.sin( x / 2) cos x.cos( x / 2) + sin x sin( x / 2) cos x = = cos x.cos( x / 2) cos x.cos( x / 2) cos x.cos( x / 2) Phương trình tương đương với cos x cos( x / 2) + sin x =2 sin x cos x.cos( x / 2) Đk: sinx.cosx ≠ cos x sin x + = Ù cos2x + sin2x = 4sinxcosx sin x cos x Ù sin2x = ½ Ù x = π/12 + kπ hay x = 5π/12 + kπ (thỏa điều kiện ) (1 + cos2x) + (sinx + cosx) + sin2x = Ù 2cos2x + (sinx + cosx) + (2sinxcosx) = Ù (2cos2x + cosx) + (sinx + 2sinxcosx) = Ù cosx(2cosx + 1) + sinx(1 + 2cosx) = Ù (2cos + 1)(cosx + sinx) = 10 5sin x − = 3(1 − sin x) Ù 5sin x − = 11 sin x − sin x sin x : phương trình bậc theo sinx với sinx ≠ ±1 + sin x (1 + sin x + cos x)( / 2)(sin x + cos x) = cos x cos x + sin x cos x Đk : cosx ≠ sinx + cosx ≠ Đơn giản, qui đồng: + sinx + cos2x = Ù 2sin2x – sinx – = ⎡sin x = => cos x = (loai) Ù ⎢ ⎣sin x = −1/ 2(nhan) 12 Đk: sinx ≠ - ½; Ù (1 – 2sinx)cosx = (1 + 2sinx)(1 – sinx) cos x − sin x cos x = 3(1 + sin x − sin x ) Ù Ù Ù cosx – sin2x = cos2x + sinx cosx – sinx = cos2x + sin2x 2.cos(x + π/3) = cos(2x - π/6) ) (dạng 1) www.saosangsong.com.vn 10 13 Thay sin(x - 3π/2) = sin(x + π/2) = cosx sin(7π/4 – x) = sin(- x - π/4) = − (sin x + cos x) , phương trình thành : 1 + = 2.(sin x + cos x) sin x cos x Ù (sinx + cosx)(1 – 2 sinxcosx) = Đk : sinxcosx ≠ ⎡sin( x + π / 4) = Ù ⎢ (thỏa điều kiện) ⎢sin x = ⎢⎣ 14 Khai triển nhóm : (cosx + sinx) + sinxcosx(sinx + cosx) = (sinx + cosx)2 Ù (sinx + cosx)( + sinxcosx – sinx – cosx) = Ù (sinx + cosx)(1 – sinx)(1 – cosx) = (dạng 3) 15 (1 + cos6x)cos2x – (1 + cos2x) = (CT hạ bậc) Ù cos6xcos2x – = Ù cos8x + cos4x – = (CT biến tích thành tổng) Ù 2cos24x + cos4x – = (PT bậc theo cos4x) cos x cos x − sin x −1 = + sin x − sin x cos x sin x sin x 1+ cos x cos x − sin x cos x − sin x Ù = cos x + sin x(sin x − cos x) sin x cos x + sin x Đk: sinx ≠ cosx + sinx ≠ PT thành cosx – sinx = (cosx – sinx) cosxsinx + sin2x(sinx – cosx) Ù (cosx – sinx)(1 – cosxsinx + sin2x) = ⎡cos x − sin x = (1) Ù ⎢ ⎣1 − cos x sin x + sin x = (2) (1) Ù x = π/4 + kπ (thỏa điều kiện) (2) Ù – ½ sin2x + sin2x = Vì vế trái dương (sin2x ≤ )nên (2) VN Hoặc nhận phương trình dạng 2.2.: asin2x + bsinx cosx + ccos2x + d = : chia hai vế cho cos2x , ta : (1 + tan2x) – tanx + tan2x = Ù 2tan2x – tanx + = (VN) 16 17 Khai triển nhóm lại: (sin4x + sin2x) – (cos4x + cos2x) = 4sin2xcosx Ù 2sin3xcosx – cos3x.cosx = 4sin2xcosx (CT biến tổng thành tích) Ù 2cosx(sin3x – cos3x – 2sin2x) = www.saosangsong.com.vn 11 ⎡cos x = (1) Ù ⎢ ⎣sin x − cos x = 2sin x (2) (1) Ù x = π/2 + kπ (2) Ù Sin(3x - π/3) = sin2x 18 Khai triển nhóm lại : cosx + 2sin2xcosx + = Ù - 4cos22x = sin3x + 2(2cos22x + cos3x) sin3x + cosx(2cos2x - 1) – (2sinxcosx)sinx Ù 2(- cos4x) = sin3x + cosx(cos2x) – (sin2x)sinx Ù cos(4x + π) = sin x + cos x 2 Ù cos(4x + π) = cos(3x - π/3) www.saosangsong.com.vn ... dụng công thức lượng giác để thực phép biến đổ nhằm đưa phương trình dạng sau: www.saosangsong.com.vn ⎡ X = A + k 2π sin X = sin A ⇔ ⎢ ⎣ X = π − A + k 2π Dạng Phương trình lượng giác : cos X =... ⇔ X = k 2π ; cos X = − ⇔ X = π + k 2π cos X = ⇔ X = Dạng Phương trình bậc hai hàm số lượng giác at2 + bt + c = với t ẩn số phụ lượng giác t = sinx , t = cosx (|t| ≤ 1), t = tanx • Giải để... 3/2 (loại) Ù cos2x = Ù x = kπ Các ví dụ dạng (dạng tích số) Sử dụng kỹ thuật đại số phân tích nhân tử biểu thức, phép đặt nhân tử chung, nhóm số hạng, dùng đẳng thức Các công thức sau thường sử