Chuyên đề Hình học ồ Văn Hoàng 1 CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002 ĐẾN 2008 Phần hình học không gian. Bài 1 : A – 2002 : Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc, cho 2 đường thẳng : 1 2 1 2 : ; : 2 2 3 4 1 2 x t x y z d d y t z t 1) Viết pt mặt phẳng ( P) chứa đường thẳng d 1 và song song d 2 2) Cho điểm M ( 2 ; 1 ; 4 ) .Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng d 2 sao cho đoạn MH có độ dài nhỏ nhất. Đáp số : 1) ( P) : 2x – z = 0 2) H ( 2 ; 3 ; 3 ) Bài 2 : B – 2002: Cho hình lập phương ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 cạnh a 1)Tính theo a khoảng cách giữa 2 đường thẳng A 1 B và B 1 D. 2) Gọi M ,N , P lần lượt là các trung điểm của các cạnh BB 1 , CD , A 1 D 1 . Tính góc giữa 2 đường thẳng MP và C 1 N. Đáp số :1) 1 1 6 ( , ) 6 a d A B B D 2) Góc giữa MP và C 1 N bằng 90 0 Bài 3 : D – 2002 : 1) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc mp (ABC ) , AC = AD = 4 cm , AB = 3 cm , BC = 5 cm . Tính khoảng cách từ điểm A tới mp ( BCD ). 2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho đường thẳng mp (P ) : 2x – y + z = 0 và đường thẳng d m là giao tuyến của 2 mp ( Q ) , ( R ) có phương trình là : ( Q) : ( 2m + 1 )x + ( 1 – m )y + m – 1 = 0 ; ( R ) : mx + ( 2m + 1 )z + 4m + 2 = 0 Xác định m để đường thẳng d m song song với mp ( P ) . Đáp số : 1) 6 34 ( ,( )) 17 d A DBC 2) m = - 1 / 2 Bài 4 : A – 2003 : 1) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Tính số đo của góc phẳng nhị diện , ' ,B A C D . 2) Trong không gian với hệ tọa độ Đềcác vuông góc Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A trùng với gốc tọa độ , B ( a ; 0 ; 0 ) , D ( 0 ; a ; 0 ) , A’ ( 0; 0 ; b ) , với a và b > 0. Gọi M là trung điểm cạnh CC’ . a) Tính thể tích khối tứ diện BDA’M theo a và b. b) Xác định tỷ số a / b để mp ( A’BD ) mp( MBD ). Đáp số: 1)Số đo , ' ,B A C D =120 0 . 2)a) 2 ' 4 BDA M a b V ; b) 1 a b Bài 5 : B – 2003 : 1) Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a , góc BAD bằng 60 0 . Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’ . Chứng minh rằng 4 điểm B’ , M , D , N cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông. 2) Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm A ( 2; 0; 0) , B( 0; 0; 8) và điểm C sao cho (0;6;0) AC . Tính khoảng cách từ trung điểm I của BC đến đường thẳng OA. Đáp số : 1) Tứ giác B’MDN là hbh nên 4 điểm B’ , M , D , N đồng phẳng. 2) d ( I , OA ) = 5. Bài 6 : D – 2003 : Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d k là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( P) và ( Q) có phương trình : ( ): 3 2 0 ; ( ) : 1 0 P x ky z Q kx y z Tìm k để đường thẳng d k với mp(R) : x – y – 2z + 5 = 0. Đáp số : 1 vtcp của d k là 2 1 2 , (3 1; 1; 1 3 ) 0, . 1 u n n k k k k k Bài 7 : A – 2004 : Trong không gian Oxyz , cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A( 2 ; 0 ; 0 ) , B( 0 ; 1 ; 0) , S ( 0 ; 0 ; 2 2 ). Gọi M là trung điểm của cạnh SC. a) Tính góc và khoảng cách giũa 2 đường thẳng SA và BM. b) Giả sử đường thẳng SD cắt mặt phẳng ( ABM ) tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN Đáp số : a) Góc giũa SA và BM bằng 30 0 . Khoảng cách giũa SA và BM bằng : 2 6 / 3 b) 2 ABMB SABM SAMN V V V Bài 8 : B – 2004 : Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( - 4 ; - 2 ; 4 ) và đường thẳng d : 3 2 1 1 4 x t y t z t . Viết phương trình chính tắc của đường thẳng d’ đi qua A , cắt và vuông góc với đường thẳng d. Đáp số : 4 2 4 ': 3 2 1 x y z d Bài 9 :D – 2004 : 1)Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’. Biết A(a; 0; 0) B(-a; 0; 0) C(0; 1; 0) B’(-a; 0; b) a > 0; b > 0 a)Tính khoảng cácch giữa hai đường thẳng B’C và AC’ b)Cho a, b thay đổi nhưng luôn thoả mãn a + b = 1. Tìm a, b để khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và AC’ lớn nhất 2.Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2; 0; 1) B(1; 0; 0), C(1; 1; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z - 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P) Đáp số : 1) a) 1 1 2 2 ( , ) ab d BC AC a b b) Áp dụng BđT Cosi ta có k/c giũa 2 đt trên lớn nhất bằng 2 khi a = b = 2. 2) Phương trình mặt cầu : 2 2 2 ( 1) ( 1) 1 x y z Bài 10: A−2005:Trong không gian Oxyz cho đường thẳng 1 3 3 : 1 2 1 x y z d và mặt phẳng : 2 2 9 0 P x y z a) Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) bằng 2. b) Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình tham số của đường nằm trong mặt phẳng (P), biết đi qua điểm A và vuông góc với d. Đáp số : a) I 1 (−3; 5; 7); I 2 (3; −7; 1). b) A(0; − 1;4). Phương trình tham số của : 1 4 x t y z t Bài 11 - B 2005 Trong không gian Oxyz cho hình lăng trụ đứng ABC.A 1 B 1 C 1 với A(0; -3; 0), B(4; 0; 0), C(0; 3; 0) , B 1 (4; 0; 4) a.Tìm toạ độ các đỉnh A 1 , C 1 . Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCC 1 B 1 ). b.Gọi M là trung điểm của A 1 B 1 . Viết phương trình mặt phẳng P) đi qua hai điểm A, M và song song với BC 1 . mặt phẳng (P) cắt đường thẳng A 1 C 1 tại điểm N. Tính độ dài đoạn MN. Đáp số : a) A 1 (0;−3;4), C 1 (0;3;4), (S): 2 2 2 576 ( 3) 25 x y z b) ( P): x + 4y – 2z + 12 = 0, N ( 0 ; - 1 ; 4) MN = 17 2 Chuyên đề Hình học Hồ Văn Hoàng 2 Bài 12. D 2005 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng d 1 : 1 2 1 3 1 2 x y z và d 2 là giao tuyến của 2 mặt phẳng ( ): 2 0 ; ( ) : 3 12 0 x y z x y a.Chứng minh rằng: d 1 và d 2 song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đường thẳng d 1 và d 2 b.Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đường thẳng d 1 , d 2 lần lượt tại các điểm A, B. Tính diện tích OAB (O là gốc toạ độ) Đáp số : a) ( P) : 15x + 11y – 17z – 10 = 0. b) Ta có A ( - 5 ; 0 ;– 5 ) , B ( 12 ; 0 10 ) S OAB = 5 Bài 13- A 2006 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với A(0;0;0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), A’(0; 0;1). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. a.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A’C và MN. b.Viết phương trình mặt phẳng chứa A’C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc biết cos= 1 6 . Đáp số : a) 2 ( ' , ) 4 d A C MN b) Gọi mp ( Q ) cần tìm là : ax + by + cz + d = 0 ( 2 2 2 a +b +c >0 ) Vì (Q) chứa A’&C nên: c + d = 0 & a+b+ d = 0 c = - d = a + b Do đó ( Q) : ax + by + ( a + b)z – ( a + b ) = 0 Một VTPT của ( Q) có tọa độ là : ( a ; b ; a + b ) . Một VTPT của mp ( Oxy) có tọa độ là ( 0 ; 0 ; 1). Ta có : 2 2 2 2 1 1 cos 2 6 6 ( ) a b a b b a a b a b Với a = -2b : Chọn b = -1 a = 2 . Ta có (Q): 2x – y + z – 1 = 0 Với b = -2a : Chọn a = 1 b = - 2. Ta có (Q): x – 2y - z + 1 = 0 Bài 14- B 2006 :Trong không gian Oxyz cho điểm A(0; 1; 2) và hai đường thẳng d 1 : 1 1 2 1 1 x y z d 2 : 1 1 2 2 x t y t z t a.Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời // d 1 và d 2 . b.Tìm các điểm Md 1 , Nd 2 sao cho 3 điểm A, M, N thẳng hàng Đáp số : a) (P) : x + 3y + 5z – 13 = 0 b) M(0; 1; −1), N(0; 1; 1 ) Bài 15- D 2006 : Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai đường thẳng d 1 : 2 2 3 2 1 1 x y z d 2 : 1 1 1 1 2 1 x y z a.Tìm toạ độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường thẳng d 1 b.Viết phương trình đường thẳng qua A, với d 1 và cắt d 2 Đáp số : a)A’(−1; - 1; 4) b) Pt 1 1 3 : 1 3 5 x y z Bài 16 - A 2007 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai đường thẳng d 1 : 1 2 2 1 1 x y z và d 2 : 1 2 1 3 x t y t z a.Chứng minh rằng: d 1 và d 2 chéo nhau. b.Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y - 4z = 0 và cắt hai đường thẳng d 1 , d 2 Đáp số : b) Gọi M,N là giao điểm của d với với 2 đt đã cho M( 2 ; 0 ; - 1) , N( - 5 ; - 1 ; 3) Phương trình d : 2 1 5 1 3 7 1 4 7 1 4 x y z x y z hay Bài 17- B 2007 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 4y + 2z - 3 = 0 và mặt phẳng (P): 2x - y + 2z - 14 = 0 a.Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3. b.Tìm toạ độ điểm M thuộc mặt cầu (S) sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn nhất Đáp số : a) ( S) có tâm I( 1 ; - 2 ; - 1 ) , R = 3. Mặt phẳng ( Q) cắt ( S) theo đ tròn có bk r = 3 nên ( Q ) phải chứa tâm I của mc ( S). Mặt khác , ( Q) lại chứa trục Ox nên mp ( Q) có vtpt là , (0; 1;2) n i OI . Vậy ( Q) : y – 2z = 0. b)I d (P) ; d (S) = A,B. Nếu d(A ;P) d(B;(P)) thì d(M;(P)) lớn nhất khi M A Phương trình đường thẳng d : 1 1 1 2 1 2 x y z Tọa độ giao điểm của (d) và (S) là nghiệm của hệ phương trình : 2 2 2 ( 1) ( 2) ( 1) 9 1 1 1 2 1 2 x y z x y z A(-1; -1; -3), B(3; -3; 1). d(A ;P) = 7 d(B;(P)) = 1. Vậy M(-1; -1; -3) Bài 18 - D 2007 Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2); B(-1 2; 4) và đường thẳng : 1 2 1 1 2 x y z a.Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng (OAB). b.Tìm điểm M sao cho MA 2 + MB 2 nhỏ nhất Đáp số : a) Ptđt d : 2 2 2 1 1 x y z b) M( - 1 ; 0 ; 4 ) Bài 19 - A 2008 Trong không gian Oxyz cho điểm A(2 ;5 ;3) và đường thẳng 1 2 ( ): 2 1 2 x y z d a) Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên (d) b) Viêt phương trình mặt phẳng () chứa (d) sao cho khoảng cách từ A tới () là lớn nhất. Đáp số : a) Gọi H là hcvg của A trên d H ( 3 ; 1 ; 4 ) b) () là mp đi qua H và AH (): x – 4y – z + 3 = 0. Bài 20 - B 2008 Trong không gian Oxyz cho điểm A(0 ;1 ;2) ; B(2 ;-2 ;1) ; C(-2 ;0 ;1) . a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C b) Tìm toạ độ M thuộc mặt phẳng 2x + 2y + z - 3 = 0 sao cho MA= MB=MC. Đáp số : a) Ptmp ( ABC ) :x + 2y – 4z + 6 = 0. b) Gọi M(x; y; z) (P).Ta có : 2 2 2 M(x;y;z) (P) MA =MB =MC M(2;3;-7) hoặc M đt mp ( ABC ) tại trung điểm I (0; −1; 1) của BC. Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ : 2x+2y+z-3=0 M(2;3;-7) x y+1 z-1 = = 1 2 -4 Bài 21- D 2008 Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(3 ;3 ;0) ; B(3 ;0 ;3) ; C(0 ;3 ;3) ; D(3 ;3 ;3) a) Viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D b) Tìm toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đáp số : a)( S) : 2 2 2 3 3 3 0 x y z x y z , tâm I 3 3 3 ; ; 2 2 2 b) Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tg ABC H ( 2 ; 2 ; 2 ) . Chuyên đề Hình học ồ Văn Hoàng 1 CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002 ĐẾN 2008 Phần hình học không gian. Bài 1 : A – 2002 : Trong không gian với hệ tọa độ Đ các vuông góc, cho 2. x y z x y z A (-1 ; -1 ; -3 ), B(3; -3 ; 1). d(A ;P) = 7 d(B;(P)) = 1. Vậy M (-1 ; -1 ; -3 ) Bài 18 - D 2007 Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(1; 4; 2); B (-1 2; 4) và đường thẳng : 1. =MC M(2;3 ;-7 ) hoặc M đt mp ( ABC ) tại trung điểm I (0; −1; 1) của BC. Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ : 2x+2y+z-3=0 M(2;3 ;-7 ) x y+1 z-1 = = 1 2 -4 Bài 2 1- D 2008 Trong không