BÀI 2 số TRUNG BÌNH CỘNG số TRUNG vị mốt

BÀI 2: SỐ TRUNG BÌNH CỘNG SỐ TRUNG VỊ MỐT MỤC TIÊU Kiến thức: - Hiểu ý nghĩa số trung bình cộng, số trung vị, mốt - Nắm vững cách tính số trung bình Cơng, SỐ trung vị, mốt Kỹ năng: - Tính số trung bình cộng, số trung vị - Tìm mốt bảng phân bố tần số - Nêu ý nghĩa số trung vị mốt tìm I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Số trung bình Cho bảng thống kê số liệu (các giá trị) dấu hiệu x Tỉ số tổng tất giá trị bảng giá trị bảng số trung bình, kí hiệu x Cơng thức tính số trung bình sau: a) Đối với bảng phân bố tần số rời rạc x    n1 x1  n2 x2  nk xk   f1 x1  f2 x2  fk xk n n1; f1 (i  1;2;; k ) tần số, tần suất giá trị x ; n số liệu thống kê với n1  n2   nk  n  n C  n C  nkCk   f1C1  f2C2  fkCk n 1 2 Ci , ni , fi theo thứ tự giá trị đại diện, tần số, tần suất lớp thứ i (i  1,2,, k ) b) Đối với bảng phân bố tần số ghép lớp x  Số trung vị Sắp thứ tự giá trị thống kê theo thứ tự khơng giảm khơng tăng - Nếu có n số liệu, n lẻ  n  2k  1 Me =Xk1 , gọi trung vi - Nếu n chẵn ( n  2k ), số trung vị Me  xk  xk 1 Mốt Trong bảng phân bố tần số rời rạc, giá trị có tần số lớn gọi mốt bảng phân bố, kí hiệu M0 Chú ý - Giá trị đại diện lớp ghép thường lấy trung bình cộng giá trị đầu cuối lớp - Khi số liệu thống kê có chênh lệch lớn số trung bình cộng khơng đại diện cho số liệu Khi ta chọn số trung vị để đại diện II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Tính số trung bình bảng số liệu Phương pháp giải Sử dụng bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp, ta tính gần giá trị trung bình giá trị bảng số liệu Cách Áp dụng công thức tính số trung bình cộng Cách Tính thơng qua bảng tần số ghép lớp Ví dụ: Trong số liệu thống kê đây, người lớp, ta tính gần giá trị trung bình giá trị ta cho biết thành tích chạy 50 m học sinh lớp 10À trường THPT (đơn vị: giây Trang a) Lập bảng phân bố tần số ghép lớp bảng phân bố tần suất ghép lớp, với lớp: 60;65 ; 65;70  ; 70;75; 75;80 ; 80; 85 ; 85;90  b) Tính số trung bình mẫu số liệu Hướng dẫn giải a) Lập bảng phân bố tần số ghép lớp bảng phân bố tần suất ghép lớp Tính thơng qua bảng phân bố tần số ghép lớp n  c  n  c  ni  ci 2.62,5  5.67,5  5.87,5  75,79 x 1 2  n 35 Ví dụ mẫu Ví dụ Điều tra tuổi nghề công nhân phân xưởng người ta thu mẫu số liệu sau: Tính số trung bình mẫu số liệu Hướng dẫn giải  x  x   xn   7,25 n Ví dụ Điểm trung bình thi học kì mơn Tốn sĩ số học sinh khối 10, 11, 12 trường THPT thống kê bảng sau Số trung bình mẫu số liệu x  Trang Tính điểm trung bình học sinh tồn trường Hướng dẫn giải Ta có điểm trung bình học sinh tồn trường x  n  x  n  x3  n3 6,4.610  6,8.540  7,2.520 x 1 2   6,8 n1  n2  n2 1670 Ví dụ Cho mẫu số liệu thống kê {8,10,12,14,16} Số trung bình mẫu số liệu A 12 B 14 Hướng dẫn giải Số trung bình mẫu số liệu C 13 x D 12,5  10  12  14  16  12 Chọn A Ví dụ Điều tra chiều cao học sinh khối lớp 10 , ta có kết sau: Số trung bình A 155,46 B 155,12 C 154,98 D 154,75 Hướng dẫn giải Số trung bình mẫu số liệu n  c  n  c  n6  c6 x 1 2 n 5.151  18.153  40.155  26.157  8.159  3.161  100  155,46 Chọn A Ví dụ Nghiên cứu cân nặng trẻ sơ sinh thuộc nhóm có bố khơng hút thuốc nhóm có bố nghiện thuốc tỉnh A , ta có kết sau (đơn vị: kg) Nhóm trẻ có bố khơng hút thuốc lá: Trang Nhóm trẻ có bố nghiện hút thuốc lá: Nhóm trẻ có cân nặng trung bình lớn hơn? Hướng dẫn giải Số trung bình cân nặng nhóm trẻ có bố không hút thuốc x  x  nn x  3,65 n Số trung bình cân nặng nhóm trẻ có bố hút thuốc y  y  yn y  3,13 n Ta thấy cân nặng trung bình nhóm trẻ có bố không nghiện thuốc lớn cân nặng trung bình nhóm trẻ có bố nghiện hút thuốc Bài tập tự luyện dạng Câu Có 100 học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi Toản (thang điểm 20) Kết sau: Số trung bình 15,20 A B 15, 21 C 15,23 D 15,25 Câu Sản lượng lúa (đơn vị tạ) 40 ruộng thí nghiệm có diện tích trình bày bảng số liệu sau: Sản lượng trung bình 40 ruộng A 22,1 tạ B 22,2 tạ C 22,3 tạ Câu Điều tra chiều cao 100 học sinh khối lớp 10 , ta có kết sau: D 22, 4 tạ Số trung bình Trang A 155,46 B 155,12 C 154,98 D 154,75 Câu Giá bán 60 mặt hàng cửa hàng thống kê bảng tần số ghép lớp sau (đơn vị nghìn đồng) Tính số trung bình bảng số liệu Câu Để cấp chứng Anh văn trung tâm ngoại ngữ, học viên phải trải qua lần kiểm tra trắc nghiệm, thang điểm lần kiểm tra 100 phải đạt điểm trung bình từ 70 điểm trở lên Qua lần thi Minh đạt điểm trung bình 64,5 điểm Hỏi lần kiểm tra cuối Minh phải đạt điểm để cấp chứng chỉ? Câu Tiền lãi (nghìn đồng) 30 ngày khảo sát quầy bán báo cho bảng sau a) Hãy lập bảng phân bố tần số tần suất theo lớp sau: 29,5; 40,5 , 40,5; 51,5 , 51,5; 62,5 , 62,5; 73,5 , 73,5; 84,5 , 84,5; 95,5 b) Tính số trung bình cộng ĐÁP ÁN 1-C 2-A 3-A HƯỚNG DẪN GIẢI TỰ LUẬN Câu Từ bảng tần số ghép lớp, ta thêm cột tần suất ghép lớp: Lớp Tần số Tần suất (%) [40 ; 49] 5% [50 ; 59] 10% [60 ; 69] 19 32% [70 ; 79] 23 38% [80 ; 89] 15% 60 100% Ta có số trung bình x  f1  c1  f2  c2  f2  cx  69,3 Câu a) Bảng phân bố tần số - tần suất ghép lớp Trang Lớp tiền lãi ( nghìn đồng) [29,5 ; 40,5) Tần số (n) Tần suất (%) 10 [40,5 ; 51,5) 16,7 [51,5 ; 62,5) 23,3 [62,5 ; 73,5) 20 [73,5 ; 84,5) 16,7 [84,5 ; 95,5] 13,3 N = 30 100% b) Ta lập bảng giá trị đại diện tương ứng với bảng phân bố câu a Lớp tiền lãi Tần số Giá trị đại diện  ci  [29,5 ; 40,5) 35 [40,5 ; 51,5) 46 [51,5 ; 62,5) 57 [62,5 ; 73,5) 68 [73,5 ; 84,5) 79 [84,5 ; 95,5] 90 Số trung bình cộng x  c1  n1  c2  n2  ck  nk  63, N Dạng Tính số trung vị mốt bảng số liệu Phương pháp giải • Sắp xếp phần tử bảng theo thứ tự khơng giảm sau chọn số trung vị Me , theo định nghĩa • Dựa vào bảng phân bố tần số ta chọn giá trị có tần số lớn làm mốt Kí hiệu M0 Một mẫu số liệu có nhiều mốt Ví dụ mẫu Ví dụ Một nhà nghiên cứu ghi lại tuổi 30 bệnh nhân Kết thu mẫu số liệu sau: a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất b) Tính số trung bình c) Tìm mốt Hướng dẫn giải a) Bảng phân bố tần số - tần suất Trang x1 , n1  x2  n2  xk  nk  16,8 N c) Trong bảng ta thấy giá trị có tần số lớn 15 18 b) Ta có số trung bình x  Vậy mẫu số liệu có hai mốt M0(1)  15; M0(2)  18 Ví dụ Cho số liệu thống kê sản lượng chè thu năm (kg/sào) thi 20 hộ gia đình a) Lập bảng phân bố tần số - tần suất b) Tìm số trung bình, trung vị, mốt Hướng dẫn giải a) Bảng phân bố tần số - tần suất: b) Số trung bình (1.111  3.112  4.113  5.114  4.115  2.116  1.117)  113,9 20 Sắp xếp bảng theo thứ tự khơng giảm Do kích thước mẫu N  20 số chẵn nên số trung vị trung bình cộng hai giá trị đứng thứ x N N  10 vaø   11 Đó giá trị 114 114 2 Vậy Me  114 Do giá trị 114 có tần số lớn nên ta có M0  114 Ví dụ Các giá trị xuất nhiều mẫu số liệu gọi A Mốt B Số trung bình Trang C Số trung vị D độ lệch chuẩn Hướng dẫn giải Chọn A Ví dụ Người ta xác định cân nặng 10 học sinh xếp thứ tự tăng dần Số trung vị 10 học sinh A Khối lượng học sinh thứ năm B Khối lượng học sinh thứ sáu C Khơng tìm trung vị D Khối lượng trung bình em thứ năm thứ sáu Hướng dẫn giải Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu Bảng phân phối thực nghiệm đo chiều cao 50 lim a) Tính chiều cao trung bình 50 lim b) Tìm trung vị mốt mẫu số liệu Câu Để khảo sát kết thi tuyển sinh mơn Tốn kì thi tuyển sinh đại học năm vừa qua trường A , người điều tra chọn mẫu gồm 100 học sinh tham gia kì thi tuyển sinh Điểm mơn Tốn (thang điểm 10 ) học sinh cho bảng phân bố tần số sau đây: a) Tìm mốt, số trung vị b) Tìm số trung bình Câu Có tài liệu tuổi nghề cơng nhận hai tổ xí nghiệp khí sau: Trong tổ, tính tuổi nghề bình quân, số mốt số trung vị? Câu Kết kiểm tra mơn tốn 36 học sinh cho mẫu số liệu sau: a) Lập bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp (chính xác chữ số thập phân sau dấu phẩy) sử dụng lớp sau:  0;2  ; 2;  ; 4;6  ; 6;8 ; 8;10  b) Tính số trung bình, trung vị mốt bảng số liệu Câu Cho mẫu số liệu gồm bốn số tự nhiên khác khác , biết số trung bình số trung vị Tìm giá trị mẫu số liệu cho hiệu giá trị lớn giá trị nhỏ mẫu số liệu đạt giá trị nhỏ ĐÁP ÁN Câu 1: Trang x1 , n1  x2 n2  xk  nk  11, 6(m) n b) Kích thước mẫu 50 chẵn nên trung vị trung bình cộng hai vị trí 25 26 x x Ta có M e  25 20  12 Giá trị có tần số lớn 11 12 Mẫu số liệu có hai mốt M 0(1)  11, M 0(2)  12 a) Chiều cao trung bình 50 lim là: x  Câu 2: a) Ta có giá trị có tần số lớn nhất: M  Kích thước mẫu số chẵn nên số trung vị trung bình cộng hai số đứng 67  6,5 Vậy M e  x  n  x  n  xk  nk 0.1  1.1  10.2   6, 23 b) Ta có số trung trình cơng x  1 2 N 100 Câu +) Tổ I x  n  x  n  xk  nk  7,8 Tuổi nghề bình quân công nhân: x  1 2 N Mẫu số liệu có 11 phần tử nên số trung vị Me  x6  Giá trị có tần số lớn Vậy mốt M  +) Tổ II x1  n1  x2  n2  xk  nk  4,9 N 45  4,5 Mẫu số liệu có 10 phần tử nên số trung vị M e   x5  x6   2 Giá trị có tần số lớn Vậy mốt M0  Tuổi nghề bình quân x  Câu a) Bảng phân bố tần số tần suất ghép lớp Lớp điểm KT Tần số [0 ; 2) [2 ; 4) Tần suất 5,6% 8,3% [4 ; 6) 11,1% [6 ; 8) 21 58,3% [8 ; 10) 16,7% N = 36 100% b) Ta có số trung bình x  f1  c1  f2  c2  fk  ck  0,056.1 0,083.3   0,167.9  6.444 +) Ta có bảng xếp thứ tự không giảm mẫu số liệu: 1,5 2,5 6 6 6,5 6,5 7 7 7,5 8,5 8,5 9 9,5 6,5 7,5 5,5 6,5 7,5 5,5 7,5 Vì kích thước mẫu số chẵn nên Trang 7,5 x18  x19 6,5    6, 75 2 Giá trị có tần số lớn Vậy mốt mẫu số liệu Câu Giả sử giá trị mẫu số liệu a, b, c, d với  a  b  c  d ; a, b, c, d  Me  bc   b  c  10 Mà x  nên a  b  c  d  24  a  d  14 Ta có M e  a  b  c b     b  5, b  N  b  {2;3; 4} Ta có :  b  c  10 10  2b +) Nếu b = c = 8, mà  a  b, a   a  1, d  13 Khi giá trị mẫu số liệu 1; 2; 8; 13  a   d  13   a   d  12 Khi có hai mẫu số liệu thỏa đề có giá trị 1; 3; 7; 13 2; 3; 7; 12  a   d  13 +) Nếu b = c = 6, mà  a  b, a   a   d  12  a   d  11 Khi có ba mẫu số liệu thỏa đề có giá trị (1; 4; 6; 13), (2; 4; 6; 12) (3; 4; 6; 11) Suy với mẫu số liệu có giá trị 3; 4; 6; 11 hiệu giá trị lớn giá trị nhỏ mẫu số liệu đạt giá trị nhỏ +) Nếu b = c  , mà t  a  b, a  Trang 10 ... , n1  x2 n2  xk  nk  11, 6(m) n b) Kích thước mẫu 50 chẵn nên trung vị trung bình cộng hai vị trí 25 26 x x Ta có M e  25 20  12 Giá trị có tần số lớn 11 12 Mẫu số liệu có hai mốt M 0(1)... bảng số liệu sau: Sản lượng trung bình 40 ruộng A 22 ,1 tạ B 22 ,2 tạ C 22 ,3 tạ Câu Điều tra chiều cao 100 học sinh khối lớp 10 , ta có kết sau: D 22 , 4 tạ Số trung bình Trang A 155,46 B 155, 12 C... 6,8 n1  n2  n2 1670 Ví dụ Cho mẫu số liệu thống kê {8,10, 12, 14,16} Số trung bình mẫu số liệu A 12 B 14 Hướng dẫn giải Số trung bình mẫu số liệu C 13 x D 12, 5  10  12  14  16  12 Chọn A