BÀI 2 PT QUY về PT bậc NHẤT, bậc HAI

BÀI PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT - BẬC HAI MỤC TIÊU: Kiến thức - Củng cố cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai - Nắm vững cách giải biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai - Nắm vững cách giải số phương trình quy phương trình bậc hàm số bậc hai Kĩ - Giải biện luận phương trình bậc nhất, bậc hai - Giải phương trình đưa phương trình bậc nhất, bậc hai: Phương trình phân thức, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình vơ tỉ, - Giải tốn thực tế cách lập phương trình bậc nhất, bậc hai I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Giải biện luận phương trình dạng ax  b  (1) b a  : (1) có nghiệm x  a Khi đó, phương trình ax  b  gọi phương trình bậc ẩn x a  0; b  (1) vô nghiệm a  0; b  (1) nghiệm với x Phương trình bậc hai ẩn ax2  bx  c  0(a  0) (2)   b2  4ac gọi biệt thức phương trình (2)   (2) có hai nghiệm phân biệt x12    (2) có nghiệm kép x   b   2a b 2a   (2) vơ nghiệm Phương trình ax2  bx  c  0(a  0) có nghiệm   '  Định lí Vi-ét b  x1  x2    a Nếu phương trình bậc hai ax2  bx  c  0(a  0) có hai nghiệm x1 , x2  c x , x   a Đảo lại: Nếu hai số u v có tổng u  v  S tích u.v  P u, v nghiệm phương trình x  Sx  P  Chú ý: Định lí Vi-ét áp dụng phương trình bậc hai có nghiệm SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Trang CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Giải biện luận phương trình bậc Phương pháp giải Phương trình ax  b  có nghiệm a  ; vô nghiệm a  0, b  có vơ số nghiệm a  b  Ví dụ: Giải biện luận phương trình (m  1) x   m  Hướng dẫn giải Phương trình tương đương với  m 1 x  m – +) Với m 1   m  phương trình trở thành x  1 Suy phương trình vơ nghiệm +) Với m    m  1, phương trình tương đương với x  m2 m 1 Kết luận: Vậy m  phương trình vơ nghiệm; m  phương trình có nghiệm x  m2 m 1 Ví dụ mẫu Ví dụ Giải biện luận phương trình (m 1)2 x  (3m  7) x   m với m tham số Hướng dẫn giải Phương trình tương đương với   (m  1)2  3m   x   m  m2  m  x   m m  +) Xét m2  m      m  2 Khi m  phương trình trở thành x  Phương trình vơ nghiệm Khi m  2 phương trình trở thành 0x  Phương trình nghiệm với x m  +) Xét m2  m      m  2 Trang Khi phương trình tương đương với x  m2  m m6 m3 Kết luận: Vậy với m  phương trình vơ nghiệm; m  2 phương trình nghiệm với xe IR; m  m  2 phương trình có nghiệm x  m3 Ví dụ Tìm m để phương trình  m2  m  x  x  m2  có nghiệm m  1 A  m  Hướng dẫn giải m  B  m  m  1 C  m  2 m  D  m  2 Ta có  m2  m  x  x  m2    m2  m   x  m2  m  1 Phương trình có nghiệm khivà a  hay m2  m     m  Vậy với m  1 m  phương trình có nghiệm Chọn A Ví dụ Tìm m để đồ thị hai hàm số y  (m 1) x2  3m2 x  m y  (m 1) x2 12x  không cắt A m  B m  2 C m  1 Hướng dẫn giải Đồ thị hai hàm số không cắt phương trình (m 1) x2  3m2 x  m  (m 1) x2 12x  vô nghiệm hay D m    m2  x   m vô nghiệm m2   m  2    m  2 m  2  m  Vậy m  2 giá trị cần tìm Chọn B Bài tập tự luyện dạng Câu Cho phương trình ax  b  Chọn mệnh đề A Nếu phương trình có nghiệm a khác B Nếu phương trình vơ nghiệm a = C Nếu phương trình vơ nghiệm b = D Nếu phương trình có nghiệm b khác Câu Phương trình  m2  m  x  m   phương trình bậc A m  B m  C m  m  Câu Khẳng định khẳng định sau A Phương trình 3x   có nghiệm x   B Phương trình x   vơ nghiệm C Phương trình x   có tập nghiệm D m  m  D Cả A, B, C Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình mx  m  vô nghiệm A m B m  0 C m  R  D m Câu Khẳng định sau sai? Trang A Khi m  phương trình (m  2) x  m2  3m   vô nghiệm B Khi m  phương trình  m  1 x  3m   có nghiệm C Khi m  phương trình x m x 3   có nghiệm x2 x D Khi m  m  phương trình  m2  2m  x  m   có nghiệm Câu Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình  m2   x  3m  vô nghiệm A m  B m  C m  2 Câu Phương trình (a  3) x  b  vô nghiệm với giá trị a, b A a  3, b tuỳ ý B a tuỳ ý, b  D m  2 C a  3, b  D a  3, b  Câu Phương trình  m2  4m  3 x  m2  3m  có nghiệm A m  B m  C m  1và m  D m  m  Câu Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [-10;10] để phương trình m   x  3m(m  3) có nghiệm nhất? A B 19 C 20 D 21 Câu 10 Gọi S tập hợp tất giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [-5;10] để phương trình   (m  1) x  3m2  x  m  có nghiệm Tổng phần tử S A 15 B 16 HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 1-B 2-D 3-D 4-A C 39 5-A 6-B D 40 7-D 8-C 9-B 10-C Câu Chọn B m   m  2   m  Phương trình cho vô nghiệm  m   m     Câu Chọn D a   a   Phương trình cho vơ nghiệm   b  b    Câu Chọn C m  Phương trình cho có nghiệm m2  4m     m  Câu Chọn B Phương trình cho có nghiệm m2    m  3 m 10;10   có 19 giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán m Câu 10 Chọn C Phương trình viết lại  3m2  m   x   m m   Phương trình cho có nghiệm 3m  m     m   Trang     5; 4; 3; 2; 1;0;2;3;4;5;6;7;8;9;10 m m 5;10 Do đó, tổng phần tử S 39 Dạng Giải biện luận phương trình bậc hai ẩn Phương pháp giải Bước Tìm biệt thức   b  4ac Bước   phương trình có hai nghiệm phân biệt   phương trình có nghiệm kép,   phương trình vơ nghiệm Ví dụ: Giải biện luận phương trình x  x  m  với m tham số Hướng dẫn giải Ta có    4m 1   4m phương trình có hai nghiệm phân biệt x  1 Với     4m   m  phương trình có nghiệm kép x  Với     4m   m  phương trình vơ nghiệm Kết luận Với     4m   m  1   4m phương trình có hai nghiệm phân biệt x  ;m  4 1 phương trình có nghiệm kép x  ; m  phương trình vơ nghiệm Ví dụ mẫu Vậy với m  Ví dụ Giải biện luận phương trình  2m2  5m   x  4mx   với m tham số Hướng dẫn giải Phương trình  2m2  5m   x  4mx    m  2 +) Trường hợp 1: 2m  5m     m    Khi m  2, phương trình trở thành x    x   Khi m   , phương trình trở thành 2x    x  1 m  2  +) Trường hợp 2: 2m  5m     m   phương trình cho phương trình bậc hai Ta có   4m2   2m2  5m    2(5m  2) Khi    2(5m  2)   m   Trang Phương trình có hai nghiệm phân biệt là: x  2m  2(5m  2) 2m2  5m  2 Khi    m   , phương trình có nghiệm kép x  5 Khi    m   , phương trình vơ nghiệm Kết luận: +) m  2 phương trình có nghiệm x = +) m   phương trình có nghiệm x = -1; 2 +) m   phương trình có nghiệm kép x=-5; + m   , m  2 m   phương trình có hai nghiệm phân biệt x 2m  2(5m  2) 2m2  5m  2 phương trình vơ nghiệm Ví dụ Tìm m để phương trình mx  x  m   có nghiệm kép? 1 A m  B m  C m   D m  1 2 Hướng dẫn giải Với m  0, phương trình trở thành phương trình bậc x    m  không thỏa mãn yêu cầu +) m   toán Với m  phương trình phương trình bậc hai nên phương trình có nghiệm kép     4m(m  1)   4m  4m    m  Vậy m  phương trình có nghiệm kép Chọn B Bài tập tự luyện dạng Câu Chọn khẳng định Phương trình x2  (2  3) x   A Có hai nghiệm trái dấu B Có hai nghiệm âm phân biệt C Có hai nghiệm dượng phân biệt D Vô nghiệm Câu Phương trình ax  bx  c  có nghiệm a  a  A a  B     b  4ac  b  a  C a  b  D    b  4ac  hai nghiệm phương trình Câu A x  (  3) x   B x2  (  3) x   C x2  (  3) x   D x2  (  3) x   Trang Câu Giả sử x1 x2 hai nghiệm phương trình x  3x  10  Giá trị tổng A 10 B  10 C 10 D 1  x1 x2 10 Câu Cho phương trình ax2  bx  c  0(a  0) (1) Hãy chọn khẳng định sai khẳng định sau A Nếu P < (1) có hai nghiệm trái dấu B Nếu P  0; S  (1) có hai nghiệm C Nếu P  0; S    (1) có hai nghiệm âm D Nếu P  0;S    (1) có hai nghiệm dương Câu Cho phương trình mx2  2(m  2) x  m   Khẳng định sau sai? A Nếu m > phương trình vơ nghiệm B Nếu  m  phương trình có hai nghiệm x  m2 4m m2 4m ;x  m m C Nếu m  phương trình có nghiệm x  D Nếu m = phương trình có nghiệm kép x  Câu Với giá trị m phương trình mx2  2(m  2) x  m   có hai nghiệm phân biệt? A m  B m  Câu Cho phương trình (m 1) x trình (1) có nghiệm kép? A m  B m  C m  m  D m   6(m 1) x  2m   (1) Với giá trị sau m phương C m   D m  1 Câu Cho phương trình ( x  1)  x  4mx    Phương trình có ba nghiệm phân biệt A m B m  C m  D m   Câu 10 Nếu biết nghiệm phương trình x2  px  q  lập phương nghiệm phương trình x  mx  n  A p  q  m3 B p  m3  3mn C p  m3  3mn D Một đáp số khác Câu 11 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình 3x2  (m  2) x  m 1  có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp đơi nghiệm cịn lại 1   2   5  A m   ;7  B m  2;   C m  0;  D m   ;1 2   5   2  Câu 12 Tìm giá trị thực tham số m để đường thẳng d : y  x  m tiếp xúc với parabol (P) : y  (m 1) x2  2mx  3m 1 với m  A m  B m  1 C m  D m  Câu 13 Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x2  2(m 1) x  m2   (m tham số) Tìm m để biểu thức P  x1 x2   x1  x2   đạt giá trị nhỏ A m  B m  C m  D m  12 Trang Câu 14 Phương trình x4  ( 65  3) x2  2(8  63)  có nghiệm? A B C D Câu 15 Cho phương trình  x  x  3  2(3  m)  x  x  3  m  6m  Tìm m để phương trình có nghiệm A m B m  C m  2 D m  HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 1-C 2-B 3-B 4-C 5-B 11-A 12-A 13-C 14-D 15-D 6-D 7-C 8-C 9-D 10-C Câu Chọn D Phương trình có nghiệm phân biệt x  4mx   có hai nghiệm phân biệt khác  4m    m 4m   Câu 10 Chọn C Gọi x1 , x2 nghiệm x2  px  q  Gọi x1 , x2 nghiệm x  mx  n  Khi x1  x2   p, x3  x4  m, x3.x4  n  x  x33  x1  x2  x33  x43  x1  x2   x3  x4   3x3 x4  x3  x4  Theo yêu cầu ta có   x2  x4   p  m3  3mn  p  m3  3mn Câu 11 Chọn A Phương trình có hai nghiệm phân biệt     m2  8m 16   (m  4)2   m  heo định lí Vi-ét, ta có m 1    x1.x2   x1  (m  2)   m2     x2  (m  2)  x1  x2    m 1  x1  x2    x1.x2     m m 1 2   (m  2)   2m  19m  35   (thỏa mãn)  81 m  Câu 12 Chọn A Phương trình hoành độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P) là: (m 1) x2  2mx  3m 1  2x  m  (m 1) x2  2(m 1) x  2m 1  * Để d tiếp xúc với (P) phương trình (*) có nghiệm kép Trang m  m      m   m   '  (m  1)  (m  1)(2m  1)  m(m  1)  m   Câu 13 Chọn C Ta có  '  (m  1)2   m2    2m  1 Để phương trình có hai nghiệm  '   m  (*)  x  x  2m  Theo định lý Vi-ét, ta có  2  x1.x2  m  Khi P  m2   2(2m  2)   m2  4m   (m  2)2 12  12 Dấu "=" xảy m  (thỏa mãn (*)) Câu 15 Chọn D Đặt t  x2  2x  3(t  2) Ta phương trình t  2(3  m)t  m2  6m  1  '  m2  6m   m2  6m  Suy phương trình (1) ln có hai nghiệm t1  m – t2  m m   Theo yêu cầu toán ta suy phương trình (1) có nghiệm lớn   m  m    m  m  Dạng Phương trình chứa ẩn đấu giá trị tuyệt đối Phương pháp giải Để giải phương trình chứa ẩn đấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ) ta tìm cách để khử dầu GTTĐ, cách dùng định nghĩa tính chất GTTĐ, bình phương hai vế đặt ẩn phụ Phương trình dạng |f(x)|=|g(x)| ta giải cách biến đổi tương đương sau  f ( x)  g ( x) f ( x) | g ( x) |  x-5145  f ( x)   g ( x) | f ( x) || g( x) | f ( x)  g ( x) Ví dụ: Giải phương trình | x  1| x  3x  Hướng dẫn giải  x   x  3x  | x  1| x  3x     x    x  3x       45 x   x  5x     [ 2x+1= x2 – 3x - x  x     13  x    Vậy tập nghiệm phương trình Trang    45  13   S  ;      Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình x  x   x  17 Hướng dẫn giải 17 ta có VT  0,VP  suy phương trình vơ nghiệm 17 Với x  17   x  , hai vế phương trình khơng âm nên phương trình cho tương Với x  17   x  đương với phương trình x  x   (4 x  17)   x  x    (4 x  17) 2   x2  x  x  12    x  x  12 x  22     x6  x  22   x   22   17 Đối chiếu với điều kiện x  thấy có x  x  22 thỏa mãn    Vậy phương trình có nghiệm x  x  22 Ví dụ Giải phương trình | x  |  x  x   Hướng dẫn giải Ta có | x  | 0, x  x   | x  |  x  x    x  2 x    Dấu "=" xảy   x   x  2 x  x    x   Vậy phương trình có nghiệm x  Ví dụ 3* Giải biện luận phương trình mx  2m  mx  x  Hướng dẫn giải  mx  2m  mx  x  Ta có | mx  2m || mx  x  1|   mx  2m  (mx  x  1) x  2m    (2m  1) x  2m  * Giải (1) Với 2m    m   , phương trình trở thành 0x  nên phương trình nghiệm với x Với 2m    m   , phương trình tương đương với x  1 Kết luận: +) m   phương trình cho nghiệm với x Trang 10 +) m   phương trình cho có hai nghiệm x  1 x  2m 1 Ví dụ 4* Tìm m để phương trình x  x  mx  (m  1) x  2m  x  x  mx  (m  1) x  2m  có ba nghiệm phân biệt Hướng dẫn giải Phương trình cho tương đương với x  x  1   x  1 mx  2m  1  x  1  x  (| x |  | mx  2m  1|)     x  mx  2m  *  mx  2m   x  (m  1) x   2m 1 Ta có (*)     mx  2m    x (m  1) x   2m   Nếu m = phương trình (1) vơ nghiệm phương trình ban đầu khơng thể có ba nghiệm phân biệt Nếu m  1 phương trình (2) vơ nghiệm phương trình ban đầu khơng thể có ba nghiệm phân biệt  2m   x  m 1 Nếu m  1 (*)    x   2m  m 1 Phương trình cho có ba nghiệm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1 1  2m   m   1 m    1  2m  Do đó:   1  m    m 1  1  2m  2m   m 1  m 1 m      Vậy với m  1,  ;  ;0;1 phương trình cho có ba nghiệm phân biệt   Bài tập tự luyện dạng Câu Tập nghiệm S phương trình x   3x   7  3 3 7 A S   ;  B S   ;  C S   ;    4  2 2 4 Câu Tổng nghiệm phương trình |x+2|=2|x-2| A B C  3 D S   ;   2 D 20 Câu Phương trình x –  x –1  có nghiệm? A B C D Vô số Câu Phương trình | x  1| x  3x  có nghiệm? A B C D Câu Tổng nghiệm phương trình | x  |  x  x   A B C D Trang 11 Câu Phương trình 2x –  x   có nghiệm? D Vơ số A B C Câu Tập nghiệm S phương trình 3x   – x A S  1;1 B S  1 C S  1 D S  0 C Vô nghiệm D x  Câu Phương trình – x  x   có nghiệm A x   B x  4 Câu Tổng nghiệm phương trình x  5x   x  A 12 B 6 C D 12 Câu 10 Gọi x1 , x2  x1  x2  hai nghiệm phương trình x  x   x  17 Giá trị biểu thức P  x12  x2 A P  16 B P  58 C P  28 D P  22 Câu 11 Phương trình ( x 1)  3| x 1| 2  có nghiệm? A B C Câu 12 Tổng nghiệm phương trình x  x 1  x   A B D D 2 C Câu 13 Với giá trị a phương trình x  2ax  1 có nghiệm nhất? 3 3 D a  a  2 A a  3 C a  a  2 B a  Câu 14 Tìm giá trị thực tham số m để phương trình | x | 1  x2  m có nghiệm A m  B m  C m  1 D Khơng có m Câu 15 Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [-5;5] để phương trình mx  2x 1  x 1 có hai nghiệm phân biệt? A B HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM D 11 C 10 1-A 2-D 3-A 4-D 5-B 11-C 12-B 13-D 14-D 15-B 6-D 7-A 8-C 9-B 10-C Câu Chọn B  | x  | | x  |  x  x   Ta có    2x  x   Trang 12  x   2 x    Dấu "=" xảy     x   x  2 x  x        x   Câu Chọn C Trường hợp 1: x  2 4 Phương trình trở thành  x  x    3x  4  x  (loại) Trường hợp 2: 2  x  Phương trình trở thành:  x  2x    x  4 (loại) Trường hợp 3: x  Phương trình trở thành x   x    3x   x  (loại) Vậy S   Câu Chọn B  x    x  4  Phương trình   2 2  x  x    ( x  4)  x  x    ( x  4)   x  4   x  4 x   x  2 x           x  x     x  4   x  2   x2  x   x   x  x  8 x  x    x  4     x  4 Vậy tổng nghiệm   2   4  6 Câu 10 Chọn C  17 4 x  17  x   Phương trình   2   x  x   (4 x  17)  x  x  52  (4 x  17)   17  17 x  x   17   x  x    x        x  22  x  x  12  x  22     x  x  12   x     x  22     x   22 Vậy P    22   28 Câu 11 Chọn C Đặt t  x  (t  0) Phương trình trở thành t  3t    t  t  • Với t  ta có | x  1|  x   1  x  2 x  • Với t  ta có | x  1|  x   2  x  3 x  Trang 13 Vậy phương trình có bốn nghiệm x  3, x  2, x  0, x  Câu 12 Chọn B Phương trình tương đương với 4x2  4x | 2x 1| 1  Đặt t | x  1|,(t  0) Suy t  x  x   x  x  t  t  1 Phương trình trở thành t   t    t  t     t  Kết hợp với điều kiện t  có t  thỏa mãn  x   2x 1  2  Với t  , ta có | x  1|    x   2 x    Vậy tổng nghiệm  1       2 Câu 13 Chọn D 2ax  1 1  2ax    Ta có | x | 2ax  1  | x | 1  2ax   3x  1  2ax   (3  2a) x  1 (2)  3x   2ax  (3  2a) x   3    a  Giải hệ ta  a   3  a  Vậy phương trình (1) có nghiệm  a   Câu 14 Chọn D 3 Phương trình | x |2  | x | (m 1)  Đặt t | x | (t  0) , phương trình trở thành t  t  m   * Phương trình cho có nghiệm  (*) có nghiệm t  (*) có hai nghiệm t1  0; t2  Với t  nghiệm phương trình (*)  02   m    m  Thử lại, thay m  vào phương trình (*), thấy phương trình có nghiệm t  t  (không thỏa mãn) Vậy khơng có giá trị m thỏa mãn u cầu đề Câu 15 Chọn B (m  1) x  1 mx  x   x  Ta có | mx  x  1|| x  1|   mx  x   ( x  1) (m  3) x   2 Xét (1), ta có • m  1 phương trình nghiệm với x  • m  phương trình có nghiệm x  Xét (2), ta có • m  3 phương trình vơ nghiệm Trang 14 • m  phương trình có nghiệm x  m3 2  0m  3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x  0, x  m  1 m3 m3 m  3 Mà m  [5;5] m   m {5; 4; 2;0;1; 2;3; 4;5}  có giá trị m Vì Dạng Phương trình phân thức Phương pháp giải Để giải phương trình chứa ẩn mẫu ta thường - Quy đồng mẫu số (chú ý cần đặt điều kiện mẫu số khác không) - Đặt ẩn phụ 2x 1 x 1  Ví dụ: Giải phương trình 3x  x  Hướng dẫn giải  x   Điều kiện xác định:   x  Quy đồng khử mẫu phương trình, ta (2 x  1)( x  2)  ( x  1)(3x  2)  x  x  x   3x  x  3x   x  x    x  4  (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có nghiệm x  4  Ví dụ mẫu 10 50 Ví dụ Giải phương trình    x  x  (2  x)( x  3) Hướng dẫn giải  x  3 Điều kiện xác định:  x  Quy đồng khử mẫu phương trình, ta  x  10 (2  x)( x  3)  2( x  3)  10(2  x)  50  x  x  30     x  3 Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm phương trình x = 10 x 1 x 1 2x 1   Ví dụ Giải phương trình x  x  x 1 Hướng dẫn giải  x  2 Điều kiện xác định:   x  1 Quy đồng khử mẫu phương trình, ta Trang 15 ( x  1) ( x  2)  ( x  1)( x  1)( x  2)  (2 x  1)( x  2)( x  2)       x  x  ( x  2)  x  ( x  2)  (2 x  1) x    x3  x  x  x  x   x3  x  x   x3  x  x  x   x2  4x    (thỏa mãn điều kiện)  x  4 Vậy phương trình có nghiệm x  4 x =    Ví dụ Giải phương trình 2x 1 2x  2x  2x  Hướng dẫn giải 1  Điều kiện xác định: x  2;  ; 1;   2  Phương trình tương đương với 4 x  10 4 x  10      2x 1 2x  2x  2x  x  x  x  12 x  1    (4 x  10)   0  x  x  x  12 x      (4 x  10) x  x   x  12 x   x  10    (4 x  10) x  20 x  11    8 x  20 x  11    x2 (thỏa mãn điều kiện)  5    x    5  x   2 x  mx  Ví dụ Giải biện luận phương trình  2m  3 x Hướng dẫn giải Điều kiện xác định: x  Quy đồng khử mẫu phương trình, ta x  mx   (3  x)(2m  6)  x  (3m  6) x  6m  16  0(1) Vậy phương trình có nghiệm x   x2  ( x  2)( x  3m  8)     x  3m  10 Nếu 3m    m   phương trình có nghiệm kép x = (thỏa mãn) 10 11 Nếu m   , ta xét điều kiện x  : 3m    m   phương trình cho có hai nghiệm 3 phân biệt x = x  3m – Kết luận: 10 11 +) m   m   , phương trình có nghiệm x = 3 Trang 16 11 10 m   , phương trình có hai nghiệm x  x  3m – 3 Bài tập tự luyện dạng 3x  Câu Tập nghiệm phương trình x  x 1 x 1 3  3 A S  1;  B S  {1} C S    D S  Ø 2  2 +) m   x2  10 x  x  có nghiệm? x2  5x A B C D 10 50 Câu Gọi x0 nghiệm phương trình    Mệnh đề sau đúng? x  x  (2  x)( x  3) Câu Phương trình A x0  (5; 3) B x0 [3; 1] m Câu Tập hợp nghiệm phương trình  2 A T     m B T   C x0  (1;4)   x  2m x D x0 [4; )  2(m  0) C T  D T  \{0} 2mx   có nghiệm x 1 A m   m  B m  2 3 C m  m  D m  2 Câu Phương trình x  mx   vô nghiệm? x2 1 C D Câu Có giá trị tham số m để phương trình A B Câu Biết phương trình x   xa  a có nghiệm nghiệm nghiệm nguyên Vậy x 1 nghiệm A 2 B 1 C D Câu Gọi S tập hợp giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [-3;5] để phương trình xm x2  x 1 x 1 có nghiệm Tổng giá trị phần tử tập S A 1 B C D 10 Câu Có giá trị nguyên tham số m thuộc đoạn [1;20] để phương trình x 1 m x3   có nghiệm? x2 4 x x2 A B 18 C 19 D 20 2  Câu 10 Tìm tất giá trị thực tham số m để phương trình x    x    m   có x x  hai nghiệm lớn A m  8 B 8  m  C  m  D m  8 HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM Trang 17 1-C 2-A 3-D 4-A 5-A 6-D 7-D 8-D 9-D 10-B Câu Chọn D Điều kiện: x  Phương trình trở thành x   xa  a  x  3x   x  a  ax  a x 1  x2  (2  a) x  2a   (1) Phương trình cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm khác phương trình (1) có nghiệm phân biệt có nghiệm   a  4a   a   2   a      a   2 Do   a  4a    a  1   a   • Với a   2 phương trình có nghiệm x   • Với a   2 phương trình có nghiệm x   •Với a  1 phương trình có nghiệm x  0; x  Kết hợp điều kiện x  x  Câu Chọn D x  nghiệm cần tìm phương trình m  m   x  1 xm x2     Phương trình cho có nghiệm   m   x  x 1 x      mx  m   m Vì m  , m  [3;5] nên m  S  {3; 2;1;2;3;4;5} Vậy tổng giá trị m 10 Câu Chọn D  x  2 x 1 m x3    x2 4 x x2 2 x  m  Phương trình cho có nghiệm  x   m  12 m   2   m  4 Suy có tất 20 số nguyên m thuộc đoạn 1; 20 thỏa mãn yêu cầu Câu 10 Chọn B  g ( x)  x  tx   (*)  Đặt x   t   x x   t  x  Phương trình (*) có ac  nên có hai nghiệm phân biệt trái dấu với t  Do (*) có nghiệm lớn có nghiệm Ta có x1   x2  g(1)   t 1   t  1 Mặt khác phương trình cho trở thành f (t )  t  4t  m   (**) Phương trình cho có hai nghiệm x1 , x2 , lớn (**) có hại nghiệm phân biệt t1, t2 lớn 1 , hay Trang 18  '   m    m    t1  1 t2  1  t1t2   t1  t2      m  8  t  t   2 1 Dạng Phương trình chứa ẩn dấu Phương pháp giải Để giải phương trình chứa ẩn dấu ta tìm cách để khử dấu căn, cách sau: - Nâng luỹ thừa hai vế - Phân tích thành tích - Đặt ẩn phụ Ví dụ: Giải phương trình x2  2x    x Hướng dẫn giải  x2  x    x  Điều kiện xác định:   2 x  Với điều kiện đó, phương trình tương đương với  x  1 x  x    x  x  3x      x  2 Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm phương trình x  1 x  2 Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình x  2x   Hướng dẫn giải Điều kiện xác định: x    x  x  x    x   x  * Trường hợp 1: Với x    x  4, ta có phương trình (*) vơ nghiệm VT khơng âm VP âm Trường hợp 2: Với x    x  4, ta có hai vế khơng âm nên phương trình (*) tương đương với x  x   ( x  4)2  x  10 x  21    x  Đối chiếu với điều kiện x  điều kiện xác định, suy có x = thỏa mãn Vậy phương trình có nghiệm x =7 Ghi nhớ: Cách giải phương trình dạng f ( x)  g ( x) : f ( x)  g ( x)  g ( x)    f ( x)  [ g ( x)] Ví dụ Giải phương trình Hướng dẫn giải 2x 1  x2  3x 1  Điều kiện xác định phương trình x    x  Ta có 2x 1  x2  3x 1   2x 1  x2  3x 1 Trang 19   x  3x     x  3x     2 2 x    x  x  ( x  1) x  x    x 1   2       x  x    x  3x   x      x 1   x 1   x  2 x2  x          Đối chiếu với điều kiện x  , ta x  x   nghiệm phương trình Vậy phương trình có nghiệm x  x   Ví dụ Giải phương trình x  3x   Hướng dẫn giải  3x   Điều kiện xác định   x  x       x   x   Phương trình tương đương với   2 x  x   x   x        x  x  x  x  x     2   x     2 3x   x   x  x   x x    x  1  x      Vậy phương trình có nghiệm x = x = Bài tập tự luyện dạng    Câu Số nghiệm phương trình A  B C B S  6 Câu Tập nghiệm S phương trình A S  6;2 B S  2 Câu Tập nghiệm phương trình A S  1; 4 A S  2 A B x2  3x   C S  {3; 6) 2x   x  C S  6 D S   D S  4 C S   C S  0;1 x  x  12  x2 x 1 C  Câu Với giá trị tham số a phương trình x  5x  A a  D S   x2  4x   x2 x2 B S  1 Câu Số nghiệm phương trình D x2  5x  x 2 x2 B S  1 Câu Tập nghiệm phương trình  x  x  3x   Câu Tập nghiệm S phương trình A S  3  B  a  C a   D S  5 D x  a  có hai nghiệm phân biệt? D Khơng có a Trang 20 x  2(m  1) x  6m   x  (1) Giá trị m để phương trình (1) có nghiệm x2 A m  B m  C m  D m  m  Câu Cho Câu Tìm tất giá trị m để phương trình m  x  x  mx  có nghiệm dương 2 x A  m  B  m   C   m  3mx  x  5m  Câu 10 Cho phương trình (1)  x 1  x 1 x 1 Để phương trình (1) có nghiệm, điều kiện tham số m m  1 A  m  B  C   m  m  3  D   m  m  D  m    HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 1-B 2-C 3-C 4-D 5-D 6-A 7-B 8-D 9-A 10-B Câu Chọn B Điều kiện: x  a (1)  x2  (2m  3) x  6m  0(2) x   x2  5x    Phương trình tương đương với   x  x  a   x  a Phương trình có nghiệm phân biệt  a  Câu Chọn D Điều kiện x    x  (1)  x2  (2m  3) x  6m  (2) Phương trình ln có nghiệm x  x  2m Để phương trình (1) có nghiệm 2m  2m   m  m  Câu 10 Chọn B Điều kiện x  1 Phương trình trở thành 3mx   x   2x  5m   (3m 1) x  5m  1  Phương trình (1) vơ nghiệm  Phương trình (2) vơ nghiệm phương trình (2) có nghiệm nhỏ 1 1    3m   m m    3    5m   1  3m     m    m  0m   3     5m   1  8m  0  m  0   3m    3m    Trang 21 m  Vậy phương trình có nghiệm  m   Trang 22 ... 1 )2   m2    2m  1 Để phương trình có hai nghiệm  '   m  (*)  x  x  2m  Theo định lý Vi-ét, ta có  2  x1.x2  m  Khi P  m2   2( 2m  2)   m2  4m   (m  2) 2  12   12. .. trình trở thành 2x    x  1 m  ? ?2  +) Trường hợp 2: 2m  5m     m   phương trình cho phương trình bậc hai Ta có   4m2   2m2  5m    ? ?2( 5m  2) Khi    ? ?2( 5m  2)   m ...  x  x    x        x  22  x  x  12  x  22     x  x  12   x     x  22     x   22 Vậy P    22   28 Câu 11 Chọn C Đặt t  x  (t  0) Phương