BÀI 2 PT LƯỢNG GIÁC cơ bản

BÀI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN MỤC TIÊU Kiến thức: Nắm vững phương trình lượng giác cách giải Biết áp dụng công thức nghiệm phương trình lượng giác bản, Kỹ năng: Vận dụng để giải trường hợp mở rộng phương trình lượng giác I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình sin x  a - Nếu a  : Phương trình vơ nghiệm - Nếu a  Đặt a  sin  a  sin  , phương trình tương đương với  x    k 2 sin x  sin    (k  )  x      k 2  x    k 3600 sin x  sin    (k  ) 0  x  180    k 360  x  arc sin a  k 2 sin x  a   (k  )  x    arc sin a  k 2 Tổng quát:  f ( x)  g ( x)  k 2 sin f ( x)  sin g ( x)   (k  )  f ( x)    g ( x)  k 2 Các trường hợp đặc biệt  sin x   x    k 2 (k  )   k 2 (k  )  sin x   x  k (k  )  sin x  1  x   Phương trình cos x  a - Nếu a  1: Phương trình vơ nghiệm - Nếu a  Đặt a  cos a  cos  phương trình tương đương với cos x  cos   x    k 2 (k  ) cos x  cos   x     k 3600 (k  ) cos x  a  x   arccos a  k 2 (k  ) Tổng quát: cos f ( x)  cos g ( x)  f ( x)   g ( x)  k 2 (k  ) Các trường hợp đặc biệt  cos x   x  k 2 (k  )  cos x  1  x    k 2 (k  )   k ( k  ) Phương trình x  a Điều kiện cos x   cos x   x  Trang  tan x  tan   x    k (k  )  tan x  tan   x    k 1800 (k  )  tan x  a  x  arctan a  k (k  ) Tổng quát: tan f ( x)  tan g ( x)  f ( x)  g ( x)  k (k  ) Phương trình cot x  a Điều kiện sin x   cot x  cot   x    k (k  )  cot x  cot   x    k 1800 (k  )  cot x  a  x  arccot a  k (k  ) Tổng quát: II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1, Phương trình sin x  a Ví dụ mẫu   Ví dụ Giải phương trình 2sin  3x    (1) 4  Hướng dẫn giải (1) 1  sin  3x        sin  3x    sin  4 4  Trang        2  3x     k 2 x  k 3x    k 2   4 36    (k  )     5 2    3x      k 2 x k 3x      k 2   36   2   x  36  k (k  ) Vậy phương trình cho có nghiệm    x  k  36 2  7    Ví dụ Giải phương trình sin  3x    sin  x          Hướng dẫn giải 2  2  2  2      (2)  sin  3x    sin  x     sin  3x    sin  x           2 2  8  x   x   k 2 x  k   15   (k  ) 3x  2     x  2   k 2  x  11  k      60  8   x   15  k (k  ) Vậy phương trình cho có nghiệm   x  11  k  60 Ví dụ Tìm số nghiệm nguyên dương phương trình   sin  (3x  x  16 x  80)   4  Hướng dẫn giải    Ta có sin  (3x  x  16 x  80)    (3x  x  16 x  80)  k 4   3x  x  16 x  80  4k  x  16 x  80  3x  4k  3x  4k 3x  4k    2k  10 2 x  16 x  80  x  24 kx  16 k x    3k    2k  10 18k  90  9k    98 98  9x    2(3k  2)  Xét x  3k  3k  3k  3k  Vì x  * nên x  *  3k   Ư (98)  {1; 2; 7; 14; 49; 98} x  *  3k   Lại có  2k  10  0(k  ) - Với k  x  12 (thỏa mãn 3x  4k ) - Với k  x  (thỏa mãn 3x  4k ) - Với k  17 x  12 (khơng thỏa mãn 3x  4k ) Vậy phương trình cho có hai nghiệm nguyên dương x 4;12 Bài tập tự luyện dạng Trang Câu 1: Cho phương trình sin( x   )  m2 , m tham số Với giá trị m phương trình có m 1 nghiệm? B m   C m  D Không tồn giá trị m    x  Câu 2: Phương trình sin x  có nghiệm thỏa mãn 2 5   k 2 , k  A x  B x  6 A m   C x    k 2 , k  Câu 3: Số nghiệm phương trình A D x   sin x  0 đoạn [0;3 ]  cos x C B.7 D x Câu 4: Cho phương trình sin  m  9, m tham số Với giá trị m phương trình vơ nghiệm? A 3  m  B m  C m  D Không tồn giá trị m HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-B 2-B 3-D 4-C Câu m2 có nghĩa x  m 1 m2  1  m  (1) Ta có 1  sin( x   )     m   ( 2)  m  Phương trình sin( x   )   D  ,m 1 m  m2 2m   0 Giải (1) Ta có 1   m  1 m 1 m 1  m2 1   m 1   m  Giải (2) Ta có m 1 m 1 Kết hợp nghiệm ta có m   Câu Phương trình sin x  có nghĩa x   D      x   k 2 x   k 2    1  6 Do sin  nên sin x   sin x  sin    (k  ) 2  x      k 2  x  5  k 2   6 Trang     x  nên x  2 Câu sin x  có nghĩa   cos x   cos x   x  k 2  D  R \{k 2 } Phương trình  cos x sin x k   sin x   x  (k  ) Ta có  cos x  x  (2k  1) (k  ) Kết hợp với điều kiện ta có   x    k   3 5 ,x  , x  3 Do x  [0,3 ]  x  , x   , x  2 Vậy phương trình có nghiệm Câu x Phương trình sin  m2  có nghĩa x   D  x Ta có 1  sin   1  m2    10  m2  8 (vô lý) Vậy phương trình vơ nghiệm với m  Vì Dạng Phương trình cos x  b   Ví dụ Giải phương trình 2cos  x    1 6  Hướng dẫn giải   (1)  cos  x    6        cos  x    cos  x     k 2 (k  ) 6         x   k 2 x  k  x    k 2   12 24    k    5 5    2x   k 2 x  k  x     k 2   12 24  x  Vậy nghiệm phương trình  x     k 24 (k  ) 5  k 24   Ví dụ Giải phương trình cos  x    sin x  3  Hướng dẫn giải  2  cos  x     2        sin 5x  cos  x    cos   5x  3 3  2  Trang     k 2   x    x  k 2  x  42    k   x       x  k 2  x  5  2k   18   k 2   x  42  Vậy nghiệm phương trình   k    x  5  2k  18 m2 , m tham số Tìm m để phương trình cho có nghiệm Ví dụ Cho phương trình cos  x     m 1 Hướng dẫn giải m2 Phương trình cos  x     có nghĩa x   D  , m  m 1 m2  1  m  1 Ta có 1  cos  x        m    2  m  m  m2 2m   0 Giải 1 Ta có 1   m  1 m 1 m 1  m2 1   m    m  Giải  2 Ta có m 1 m 1 Kết hợp nghiệm ta có m   Vậy với m   phương trình cho có nghiệm Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Phương trình cos x   có nghiệm    x   k 2 ,k  A   x  3  k 2  3   x   k 2 ,k  B   x  3  k 2  5     x   k 2  x   k 2 ,k  ,k  C  D   x  5  k 2  x    k 2   4 x Câu 2: Phương trình cos   có nghiệm 5 5  k 2 , k   k 2 , k  A x   B x   5 5  k 4 , k   k 4 , k  C x   D x   Câu 3: Phương trình cos x  cos  15 có nghiệm Trang A x   C x   15 B x    k 2  ,k  45 Câu 4: Phương trình cos x  A x  k 2 ,k  45  k 2  ,k  D x  45  k 2 , k    k   có nghiệm ,k  B x    k 2 , k  D x      k , k    k 2 , k  2 Câu 5: Phương trình cos 2x  cos x có tập nghiệm với phương trình 3x  A sin B sin x  C sin x  D sin x    Câu 6: Số nghiệm phương cos  x    với  x  2 3  A B C D  5  Câu 7: Phương trình sinh sin  cos  x   có họ nghiệm?   A họ nghiệm B họ nghiệm C họ nghiệm D họ nghiệm HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-B 2-D 3-B 4-A 5-A 6-C 7-C C x  Câu Phương trình cos x   có nghĩa x  Ta có 2cos x    cos x  D  2 3   x   k 2 3   3  (k  ) Do cos  nên cos x   cos x  cos 2  x  3  k 2  Câu x Phương trình cos   có nghĩa x   D  R x x  Ta có 2cos    cos  2 Do cos x 5 5 5  x   cos  cos x  k 4 (k  ) nên cos   6 2 Câu Phương trình cos3x  cos120 có nghĩa x  Do cos120  cos  15 DR nên cos 3x  cos120  cos 3x  cos  15 Trang    k 2  3x  15  k 2  x  45    (k  ) 3x    k 2  x    k 2   15 45 Câu Phương trình cos x  có nghĩa x   D  R  cos x  Ta có cos x     cos x   Xét cos x  2  2    cos x  cos  x    k 2 (k  ) 4  3 3  cos x  cos x  k 2 (k  ) 4  k (k  ) Kết hợp nghiệm ta x   Câu Phương trình cos x  cos x có nghĩa x   D  Xét cos x   x  x  k 2  x  k 2 k 2 x (k  ) ; Ta có cos x  cos x   k   x   x  k 2  x  3  3x 3x k sin 0  k  x  (k  ) 2 sin x   x   sin x   x  sin x   x   k 2 (k  )    k 2  x   k 2  x  Vậy phương trình sin    k (k  )  k ( k  ) 3x  có tập nghiệm với phương trình cos 2x  cos x Câu Phương trình   cos  x    có nghĩa x  3  D   x    k 2        12  x     k 2   Ta có cos  x     cos  x    3 3    x   7  k 2  12 23 17 ;x  Do  x  2 nên x  12 12 Vậy phương trình có nghiệm thỏa mãn  x  2 Câu Trang  5  Phương trình sin  cos  x   có nghĩa x    D   5 cos  x   k 2     5   5   Vì sin  nên sin  cos  x    sin  cos  x   sin 6      5 cos  x  5  k 2    cos  x    10 cos  x   k  10 (vì 1  cos  x  )   cos  x    cos  x   k   cos  x  7   10 1 Ta có cos  x    x   arccos  k 2 (k  ) 10 10   cos  x   cos   x    k 2 (k  )  x    2k (k  ) 3 7 7 7 cos  x    x   arccos  k 2 (k  )  x   arccos  2k (k  ) 10 10  10 Vậy phương trình có họ nghiệm Dạng Phương trình tan x  m Ví dụ mẫu   Ví dụ Giải phương trình 3tan  x    1 4  Hướng dẫn giải     k  Điều kiện cos  5x     5x    k  x   ,k  4 20  1  tan  5x     5x          tan  x    tan  4 4   k  x    12  k  x   Vậy phương trình cho có nghiệm x    60  60 k k   ,k  ,k      Ví dụ Giải phương trình tan  x    cot x   4  Hướng dẫn giải     3 k     cos  x    2 x    k x  Điều kiện     4  k;  sin x  x    x        k   , k    tan   x   x    x  k  x   4 4  2   k ,  k   Vậy phương trình cho có nghiệm x    2  tan  x     Trang Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Nghiệm phương trình tan  x  150   với 900  x  2700 A x  2100 B x  1350 C x  600 D x  1200 tan x   có nghiệm    A x   k , k  B x    k 2 , k  C x   k , k  3 Câu 3: Phương trình tan x  có nghiệm   A x    k , k  B x    k , k  C Vô nghiệm 3    Câu 4: Nghiệm phương trình tan x   tan khoảng  ;   2  Câu 2: Phương trình A 4 B 2 C D x   D x  3 D   Câu 5: Phương trình tan  sin x   có họ nghiệm? 4  A họ nghiệm B họ nghiệm C.Vơ nghiệm Câu 6: Phương trình lượng giác A x  k 3  k , k   k , k  2 D họ nghiệm   tan   x    có nghiệm 4   ,k  B x  C x  k , k   D x   HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-A   2-D 3-B 4-A k   ,k   k , k  5-C 6-A Câu Ta có tan 450   tan  x  150   tan 450   x 150  450  k.1800  x  300  k.1800 (k  ) Với 900  x  2700  900  300  k.1800  2700  k   x  2100 Câu Phương trình Ta có  tan x   có nghĩa  cos x   x  tan x    tan x    tan x  tan   k  D    \   k  2     x    k ( k  ) 3 Câu Phương trình tan x  có nghĩa  cos x   x    k  D    \   k  2   tan x  Ta có tan x     tan x   Xét tan x   tan x  tan  x   k ( k  ) Trang 10 Xét tan x    tan x  tan Vậy x      x  k ( k  ) 3  k ( k  ) Câu Phương trình tan x   tan Ta có tan x   tan   có nghĩa  cos x   x   tan x  tan   k  D    \   k  2    x  k ( k  ) 5 4   Do x   ;   nên x  2  Câu      Ta có  sin x   cos  sin x   0, x  4 4  Phương trình xác định với x   D     tan  sin x    sin x  arctan  k  sin x  arctan  4k  4  Với k   4k   sin x  (vơ lí)  arc tan  4k  1  sin x  1 (vơ lí) Với k  1  Vậy cho phương trình vơ nghiệm Câu Phương trình   tan   x    có nghĩa 4  arc tan    k     k   cos   x     x   k  x    D \   (k  ) 2  4          Ta có tan   x     tan   x     x   k  x  k (k  ) 4 4  4  Dạng Phương trình cot x  n Ví dụ mẫu   Ví dụ Giải phương trình cot  x    1 6  Hướng dẫn giải    k  Điều kiện sin  x     x   k  x   , k  6 12  1  cot  x    2x          cot  x    k 6  k  x   k  ,k   Vậy phương trình cho có nghiệm x   k  ,k   Trang 11  4    Ví dụ Giải phương trình tan   x   2cot   x      18  Hướng dẫn giải Điều kiện   4   4    x   k cos   x     x   k       18     sin    x     x  k  x    k      18 18 18   2 x  18  k ,  k ; m    4      4    Ta có   x     x    tan   x   cot   x     18     18        x   2cot   x    3cot   x    18   18   18   2  cot     5    cot   x     x   k  x    k ,  k  18 18  18  5  k ,  k   Vậy phương trình cho có nghiệm x   18 Bài tập tự luyện dạng  Câu 1: Phương trình 3cot x   có nghiệm A x  C x      k , k  B x   k 2 , k  D Vô nghiệm  k , k  3   Câu 2: Cho phương trình cot  x    m  4, m tham số Với giá trị m phương trình   vơ nghiệm? A m  2 B 2  m  C  m  D Không tồn giá trị m Câu 3: Phương trình cot x.cot x 1  có nghiệm A x  C x     k , k    x   k  ,k  B   x  5  k   k , k  D x   k  ,k  HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-B 2-D 3-B Câu Phương trình 3cot x   có nghĩa  sin x   x  k  D  Ta có 3cot x    cot x  \{k }(k  )    cot x  cot  x   k (k  ) 3 Trang 12 Câu 3   Tập giá trị y  cot  x    nên với m phương trình ln có nghiệm   Vậy khơng tồn giá trị m để phương trình vơ nghiệm Câu sin x   x  k k  x Phương trình cot x  cot 2x 1  có nghĩa    x  k sin x  Tập xác định D  k   \ x     Ta có cot x  cot x   cos x cos x cos x  2sin x  2sin x  1   1  1  2 sin x sin x sin x 2sin x cos x 2sin x 2sin x    sin x  sin sin x    1  cot x  cot x       sin x     2sin x sin x  1 sin x  sin      x   k 2   Nếu sin x  sin    x  5  k 2    x  k 2    Nếu sin x  sin  x  7  k 2     x   k (k  ) Kết hợp nghiệm ta có   x  5  k  Trang 13 ...  cos  x     k 2? ?? (k  ) 6         x   k 2? ?? x  k  x    k 2? ??   12 24    k    5 5    2x   k 2? ?? x  k  x     k 2? ??   12 24  x  Vậy nghiệm...    k 2? ??   x    x  k 2? ??  x  42    k   x       x  k 2? ??  x  5  2k   18   k 2? ??   x  42  Vậy nghiệm phương trình   k    x  5  2k  18 m? ?2 , m tham...  k 2? ?? ,k  A   x  3  k 2? ??  3   x   k 2? ?? ,k  B   x  3  k 2? ??  5     x   k 2? ??  x   k 2? ?? ,k  ,k  C  D   x  5  k 2? ??  x    k 2? ??   4 x Câu 2: Phương