BÀI 3 một số PT LƯỢNG GIÁC THƯỜNG gặp

BÀI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP MỤC TIÊU Kiến thức - Nhận biết dạng phương trình lượng giác thường gặp cách giải - Biết áp dụng công thức nghiệm phương trình lượng giác Kỹ -Vận dụng phương pháp giải phương trình phù hợp vào trường hợp I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Phương trình Phương pháp giải a sin x  b cos x  c (a, b  \{0}) Để giải phương trình có dạng trên, ta thực theo bước sau Bước Kiểm tra - Nếu a  b  c phương trình vơ nghiệm - Nếu a  b  c phương trình có nghiệm, ta thực tiếp Bước Chia hai vế phương trình cho a2  b2  ta a b c sin x  cos x  (**) 2 2 a b a b a  b2 a b Đặt  cos  ;  sin  , phương trình ** trở thành a  b2 a  b2 Trang sin x.cos   cos x.sin    sin( x   )  c a  b2 c a  b2 BẢN XEM THỬ  2  x  k   18  sin x  cos x   sin  x    sin   k  3   x  7  k 2  54  2 7 2 ,x  k Vậy phương trình có nghiệm x   k k   18 54 Bài tập tự luyện dạng  Câu 1: Phương trình   3sin x  cos x  có nghiệm  x    k 2 ,k  A   x    k 2  2   x    k 2 ,k  B   x    k 2    x   k 2  ,k  C   x    k 2  x  k 2 ,k  D   x    k 2  Câu 2: Phương trình sin x  cos x  có nghiệm âm lớn   5 A B C 6 Câu 3: Nghiệm phương sin x  cos x   x  k 2 A x  k 2  k   B  k   x    k 2  C x    k 2  k     x   k 2 D  k   x     k 2   D 5   Câu 4: Số nghiệm phương trình sin x  cos x  khoảng  0;   A.0 B.1 C.2 Câu 5: Điều kiện để phương trình 3sin x  m cos x  vô nghiệm  m  4 A  B m  C m<  m  D.3 D 4  m  Câu 6: Điều kiện để phương trình m sin x  3cos x  có nghiệm A m  B 4  m  C m  34  m  4 D  m  3sin3x  cos3x  1 tương đương với phương trình sau đây?      A sin  3x     B sin  3x     6 6   Câu 7: Phương trình Trang     C sin  3x     D sin  3x    6 6   Câu 8: Trong phương trình sau phương trình có nghiệm? 1 A 3sin x  B cos x  D cot x  cot x   C 2sin x  3cos x  Câu 9: Cho phương trình cos x  sin x  đoạn 0,   Chọn câu trả lời A Phương trình có nghiệm x   3 ;x  4 3 4 C Phương trình có nghiệm x  ;x  5 12 2 D Phương trình có nghiệm x  B Phương trình có nghiệm x  Câu 10: Phương trình sin8x  cos x   sin x  cos8x  có nghiệm    x   k ,k  A  x    k      x   k ,k  C  x    k   12 Câu 11: Phương trình sau vô nghiệm? A 3sin 2x  cos2x  C sin x  cos     x   k ,k  B  x    k      x   k ,k  D  x    k   B 3sin x  4cos x  D 3sin x  cos x  3  5   Câu 12: Số nghiệm phương trình sin x  2cos x  thuộc đoạn   ;   2 A B.4 C.5 D.2 Câu 13: Phương trình cos7x  3sin x   có họ nghiệm 5 2   x  84  k ,k  A   x  11  k 2  84 5 2   x  84  k ,k  B   x  11  k 2  84  2   x  84  k ,k  C   x    k 2  84  x  D  x   5 x 2 k 84 ,k  11 2 k 84 Câu 14: Phương trình sin x  cos x  có nghiệm dương nhỏ 2 5 A B C  D.0   Câu 15: Phương trình tan x  sin x  cos x   2cos x    có nghiệm dương nhỏ cos x   Trang A  B  C  D.0 Câu 16: Nghiệm phương trình sin x  cos x  1 với k   x    k 2 B   x     k 2  A x  k 2 C x      x   k 2 D   x     k 2   k 2 Câu 17: Để phương trình 2sin x  sin x cos x  cos x  m có nghiệm giá trị m A m   10 B m   10  10  10  10 D m 2 Câu 18: Phương trình cos 2x  sin x 1  có số họ nghiệm A B C D.0   Câu 19: Phương trình tan x  sin x  cos x   2cos x    có họ nghiệm cos x   C m  A x   k C x     k ,k   B x  ,k   D x      k , k   k  ,k  Câu 20: Cho phương trình tan x  3cot x  sin x  cos x Với k  nghiệm phương trình      x    k 2  x    k A  B   x  4  k 2  x  4  k 2   9 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT    x   k 2 C   x  4  k 2     x  12  k 2 D   x  4  k 2  1-C 2-A 3-B 4-B 5-D 6-D 7-C 8-C 9-B 10-C 11-D 12-B 13-A 14-A 15-A 16-B 17-D 18-B 19-A 20-B Câu Phương trình Ta có 3sin x  cos x  có nghĩa x   D  sin x  cos x   1   sin x  cos x   sin  x    2 6      x    k 2   x   k 2    6   ,k   sin  x    sin    6   x        k 2  x    k 2  6 Câu Phương trình sin x  3cos x  có nghĩa x  D Trang     Ta có sin x  cos x   sin x  cos x   sin  x     x   k  x    k 2 3 3  Vậy phương trình có nghiệm âm lớn x    với k  Câu Phương trình sin x  cos x  có nghĩa x   D  1   Ta có sin x  cos x   sin x  cos x    sin  x    4 2 2      x    k 2  x  k 2    ,k   sin  x    sin   4   x        k 2  x    k 2  4 Câu Phương trình sin x  cos x  có nghĩa x   D  1   Ta có sin x  cos x   sin x  cos x  sin  x    4 2      x    k 2  x  k 2    ,k   sin  x    sin      4   x      k 2  x   k 2  4 Theo x  (0;  )  x   Câu Phương trình 3sin x  m cos x  có nghĩa x  D  m  4 Điều kiện để phương trình có nghiệm 32  m2  52  m2  16   m  Vậy phương trình vơ nghiệm 4  m  Câu Phương trình m  sin x  3cos x  có nghĩa x   D   m  4 Điều kiện để phương trình có nghiệm m2  (3)2  52  m2  16   m  Câu Phương trình Ta có 3sin3x  cos3x  1 có nghĩa x   D  sin 3x  cos3x  1  1   sin 3x  cos3x    sin  3x     2 6  Câu Phương trình 2sin x  3cos x  có nghĩa x  D Ta có 22  32  12  12  Vậy phương trình 2sin x  3cos x  có nghiệm Câu Phương trình Ta có cos x  sin x  có nghĩa x   D  cos x  sin x      sin  x    cos x  sin x  3 2  Trang     x    k 2  x    k 2     12 ,k   sin  x    sin      3   x      k 2  x   k 2  12 5 Vì x  [0;  ] nên x  12 Câu 10 Phương trình sin8x  cos6x  3(sin x  cos8x) có nghĩa x  D Ta có sin8x  cos6x  3(sin 6x  cos8x)  sin8x  3cos8x  cos6x  3sin6x 3     sin 8x  cos8x  cos x  sin x  sin  8x    sin  x   2 2 3 6       x   x   k 2  x   k      ,k  sin  x    sin  x     3 6   8 x      x    k 2  x    k  12 Câu 11 Phương trình 3sin x  cos x  3 có nghĩa x   D  Để phương trình có nghiệm ( 3)2  (1)2  (3)2   (vô lí) Vậy phương trình 3sin x  cos x  3 vơ nghiệm Câu 12 Phương trình sin x  2cos x  có nghĩa x   D  Ta có sin 2x  2cos x   2sin x cos x  2cos x    cos x   x   k   2cos x(sin x  1)     x   k sin x   x    k 2  5 3    5   Vì x    ;  nên x   ; x   ; x   ; x  12 2  2 Vậy phương trình có nghiệm thỏa mãn đề Câu 13 Phương trình cos7x  3sin x   có nghĩa x  D Ta có cos x  sin x    cos x  sin x   2   5 k 2  x    k 2  x       84  sin  ,k   sin x  cos x   sin  x      11  k  2 6  7 x      k 2  x    84 Câu 14 Phương trình sin x  3cos x  có nghĩa x  D     Ta có sin x  cos x   sin x  cos x   sin  x     x   k  x    k 2 3 3  Trang Vậy phương trình có nghiệm dượng nhỏ x  2 với k  Câu 15   \   k  2  sin x   Ta có tan x  sin x  cos x   2cos x     cos x  sin x  cos x  cos x  cos x  cos x   Phương trình có nghĩa  cos x   x    k  D   sin x  2sin x cos2 x  cos x cos x   2cos x  1   sin x 1  2cos x   cos x cos x  2cos x    sin x cos x  cos x cos x  2cos x   cos x(sin x  cos x  2)   cos x      x   k ,k Z sin x  cos x  Vậy phương trình có nghiệm dương nhỏ x   với k  Câu 16 Phương trình sin x  cos x  1 có nghĩa x   D  1   Ta có sin x  cos x  1  sin x  cos x    sin  x     4 2 2      x     k 2  x    k 2     4  ,k   sin  x    sin 4   x        k 2  x    k 2  4 Câu 17 Phương trình 2sin x  sin x cos x  cos x  m có nghĩa x   D  1 Ta có 2sin x  sin x cos x  cos x  m  (1  cos x)  sin x  (1  cos x)  m 2  sin x  3cos x  2m  1(1)  Để phương trình (1) có nghiệm (1  2m)2    4m2  4m     10  10 m 2 Câu 18 Phương trình cos 2x  sin x 1  có nghĩa x  D Ta có cos x  sin x     2sin x  sin x   1  sin x    sin x  1  1  4   2sin x  sin x   sin x  sin x    sin x     16  sin x     sin x     4    x   k 2  Giải (1) ta có sin x   sin x  sin    x  5  k 2  Giải (2) ta có sin x   x  k , k  Câu 19 Phương trình có nghĩa  cos x   x      k  D  R \   k  2  Trang sin x   Ta có tan x  sin x  cos x   2cos x     cos x  sin x  cos x  cos x  cos x  cos x    sin x  2sin x cos2 x  cos x cos x   2cos x  1   sin x 1  2cos x   cos x cos x  2cos x    sin x cos x  cos x cos x  2cos x   cos x     cos x(sin x  cos x  2)     x   k ,k  sin x  cos x  Câu 20   \ k   2 sin x cos x 3  4(sin x  cos x) Ta có tan x  3cot x  4(sin x  cos x)  cos x sin x Phương trình có nghĩa  sin x   x  k  D  sin2 x  3cos2 x  4sin x  cos x(sin x  cos x) sin x  cos x   (sin x  cos x)(sin x  cos x)  4sin x  cos x(sin x  cos x)   sin x  cos x  4sin x  cos x Trường hợp 1:     sin x  cos x   sin x  cos x   sin  x     x   k  x    k 3 3 2  Trường hợp sin x  cos x  4sin x  cos x  sin x  cos x  2sin x  cos x 2   x   k 2     sin  x    sin x   3   x  4  k 2  Dạng Phương trình bậc hai hàm số lượng giác Phương pháp giải Phương trình bậc hai hàm số lượng giác có dạng tổng quát at  bt  c  Trong đó: t hàm số sin u,cos u, tan u,cot u u  u  x  a; b; c  , a  Khi đặt ẩn phụ để giải ta phải lưu ý đến điều kiện ẩn phụ Nếu đặt +) t  sin u, t  cos u điều kiện tự | t | +) t  sin2 u, t  cos2 u điều kiện  t  +) t | sin u |, t | cos u | điều kiện  t  Khi tìm t1; t2 thoả mãn phải giải tiếp sin u  t1;sin u  t2 ; Ví dụ: Giải phương trình 2sin x  sin x   Hướng dẫn giải Đặt t  sin x, điều kiện | t | Phương trình cho trở thành Trang t  2t  t     t   Kết hợp với điều kiện | t | ta t    k 2 , (k  ) Vậy phương trình cho có nghiệm Với t  sin x   x    k 2 , (k  ) ►Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình 3sin 2 x  cos x   Hướng dẫn giải x Ta có 3sin 2 x  cos x    1  cos 2 x   cos x   cos x   3cos 2 x  cos x   cos x(3cos x  7)    3cos x   Trường hợp 1: cos x   x    k  x  Trường hợp 2: 3cos x    cos x  Vậy phương trình cho có nghiệm x    k  , (k  )  (loại) k  , (k  ) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Phương trình 2sin x  sin x   có nghiệm A k (k  ) B    k (k  ) C   k 2 (k  ) 2 Câu 2: Với k  , phương trình cos x  2cos x   có nghiệm   k 2 Câu 3: Nghiệm dương bé phương trình 2sin x  5sin x     3 A x  B x  C x  2 A x  k 2 B x  C x  D    k 2 (k  ) D Vô nghiệm D x  5 Câu 4: Xét phương trình 3cos x  2cos x   đoạn [0;3 ] Chọn câu trả lời A Phương trình có nghiệm B Phương trình có nghiệm C Phương trình có nghiệm D Phương trình vơ nghiệm Câu 5: Nghiệm phương trình 2sin x  3sin x   thỏa mãn điều kiện  x     C x  Câu 6: Nghiệm phương trình tan x  tan x       A  k , k  B   k , k  C  k 2 , k  4 Câu 7: Với k  , phương trình cos 2 x  cos x   có nghiệm A x  B x   D x  5 D k , k  Trang A x  k B x  k 2 C x     k D x   2  k 2 Câu 8: Với k  , phương trình sin x  2sin x  có nghiệm A x  k 2 B x  k C x    k 2 D x  k 2 Câu 9: Nghiệm phương trình cot 3x  cot 3x     4 k ,k  A x    arc cot  k   3      k ,k  B x     arccot  k   3    k ,k  C x    arccot  k   3    k ,k  D x    arc cot  k  Câu 10: Nghiệm âm lớn phương trình cos x  cos x   5 7  A x   B x   C x   6 Câu 11: Trong phương trình sau phương trình có nghiệm? 1 A 3sin x  B cos x  D x    D cot x  cot x   C 2sin x  3cos x  Câu 12: Xét phương trình 13sin x  78sin x  15  đoạn 0; 2 Lựa chọn phương án A Phương trình có nghiệm B Phương trình có nghiệm C Phương trình vô nghiệm D Cả A, B, C sai Câu 13: Phương trình 3cos x  | sin x | có nghiệm A x  C x     k (k  ) B x   k (k  ) D x  Câu 14: Xét phương trình tan x  A Phương trình có nghiệm C Phương trình có nghiệm    k (k  )  k (k  ) tan x   đoạn 0;37 Chọn câu trả lời đúng? B Phương trình có nghiệm D Phương trình có nghiệm Câu 15: Xét phương trình sin x  5sin x   đoạn 0; 27 Chọn câu trả lời đúng? A Phương trình có nghiệm B Phương trình có nghiệm C Cả A, B, D sai D Phương trình có nghiệm Câu 16: Cho x thỏa mãn phương trình sau (tan x  cot x)2  (tan x  cot x)  Giá trị biểu thức x tan x A B Câu 17: Cho x thỏa mãn phương trình sin x  sin A B 0,5 C D x  0,5 Giá trị biểu thức y  tan x C D Trang 10  tan x   sin x , khẳng định  tan x A Phương trình có họ nghiệm B Phương trình vơ nghiệm C Phương trình có họ nghiệm D Cả A, B, C sai Câu 19: Cho phương trình Câu 20: Cho phương trình sin2 x  (2m  2)sin x  cos x  (m 1)cos2 x  m  Giá trị m để phương trình có nghiệm A 2  m  B  m  C  m D m  2 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-D 2-A 3-D 4-B 5-C 6-C 7-D 8-B 9-A 10-C 11-C 12-A 13-C 14-A 15-B 16-D Câu Phương trình cos x  3sin x cos x  2sin x  có nghĩa x  Với cos x   x   17-D 18-B 19-C 20A- D  k , k   phương trình vơ nghiệm Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos x ta cos2 x  3sin x cos x  2sin x    3tan x  tan x   tan x   tan x  1  x    k   tan x  tan x   (k  )   tan x   x  k Câu  Phương trình sin x  cos x  có nghĩa cos x   x   k , k  cos x Chia hai vế phương trình cho cos x ta sin x  cos x   tan x    tan x cos x   tan x   x   k   tan x  tan x   (k  )   tan x   x  k Câu Phương trình 3cos2 4x  5sin2 4x   3sin 4x.cos4x có nghĩa x   k , k   phương trình vơ nghiệm Với cos x   x   D Với cos 4x  Chia hai vế phương trình cho cos 4x ta 3cos2 x  5sin x   sin x.cos x   tan x  1  tan x   tan x  3tan x  tan x    tan x       x    k  x    k  k  24  Câu Phương trình sin x  1 sin x  cos x  có nghĩa x  D Trang 20 1 sin x  cos2 x   sin x   sin x cos x  cos x   Với cos x   x   k , k   phương trình vơ nghiệm Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos x ta  tan x  1 sin x   sin x cos x  cos2 x   tan x   tan x      tan x  Vậy giá trị nguyên tan x 1 Câu Phương trình 2sin x  sin x  cos2 x  có nghĩa x   D  Ta có 2sin x  sin x  cos x   2sin x  2sin x cos x  cos x   Với cos x   x   k , k   phương trình vơ nghiệm Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos x ta Ta có sin x        2sin x  2sin x cos x  cos2 x   tan x  tan x    tan x  tan x   x  k  tan x  tan x    ,k   tan x   x  arctan  k Câu Phương trình  sin2 x  3sin x cos x 1  có nghĩa x  Với cos x   x   D  k , k   phương trình vơ nghiệm Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos x ta  sin2 x  3sin x cos x 1    tan2 x  tan x  1 tan2 x  1 1  x  arctan  k  tan x  2   tan x  tan x    ,k   1  1   x  arctan  k  tan x   2 Câu Phương trình sin3 x  3cos3 x  sin x.cos2 x  3sin2 x.cos x có nghĩa x  Với cos x   x   D  k , k   phương trình vơ nghiệm Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos3 x ta sin3 x  3cos3 x  sin x.cos2 x  3sin2 x.cos x  tan3 x   tan x  tan x  tan x    tan x  tan x  tan x     tan x  1  tan x   Câu Phương trình 2sin x  5sin x cos x  cos x  2 có nghĩa x  D Ta có 2sin x  5sin x cos x  cos x  2  4sin x  5.2sin x cos x  2cos x  4 2  5sin x  2cos x  4sin x    5sin x   cos x  sin x    cos x  sin x     5sin 2x  3cos x  Trang 21 Câu x x  sin x  3cos  có nghĩa x   D  2 x x  cos x 3(1  cos x)  sin x    sin x  cos x   Ta có sin  sin x  3cos   2 2 1    sin x  cos x   sin  x    4 2  Phương trình sin Có   phương trình vơ nghiệm Câu 10 Phương trình   6m sin3 x  3(2m 1)sin x   m  2 sin x.cos x   4m  3 cos x  1 có nghĩa x   D  Với m   1  8sin3 x  9sin x  5cos x   sin x  Với cos x   8sin x  9sin x  5cos x   8sin x  9sin x    (loại)  sin x     Với cos x   x   k , k   phương trình vơ nghiệm Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos3 x ta có 8sin x  9sin x  5cos x   8 tan x  tan x 1  tan x   1  tan x   tan x  tan x  tan x    tan x   x    k , k  Vậy phương trình có họ nghiệm Câu 11 Phương trình sin3 x  3cos3 x  sin x.cos2 x  3sin2 x cos x có nghĩa x  Với cos x   x   D  k , k   phương trình vơ nghiệm Với cosx  Chia hai vế phương trình cho cos x ta có sin3 x  3cos3 x  sin x.cos2 x  3sin2 x cos x  tan3 x   tan x  tan2 x    tan x   x   k   tan x  tan x  tan x     tan x  1  x    k , k     tan x    x     k     x   k Kết hợp nghiệm ta   k    x     k  Câu 12 Phương trình 2sin x  sin x   có nghĩa x  D Ta có 2sin x  sin x    2sin x  2sin x cos x   Trang 22 Với cos x   x    k , k   phương trình vơ nghiệm Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos x ta có 2sin x  2sin x cos x    tan x  tan x   tan x   3tan x  tan x   (vơ nghiệm) Câu 13 Phương trình sin2 2x  3sin 4x  3cos2 2x  có nghĩa x  D Ta có sin 2x  3sin 4x  3cos 2x   sin 2x  3sin 2x cos2x  3cos2 2x   k , k   phương trình vơ nghiệm Với cos x   x   2 2 Với cos 2x  Chia hai vế phương trình cho cos 2x ta có sin2 2x  3sin 2x cos2x  3cos2 2x   tan 2x  tan 2x    k  tan x    x    ,k  Câu 14 Phương trình sin x  3cos x  có nghĩa x   D   k , k   phương trình vơ nghiệm Với cos x   x   Với cos 4x  Chia hai vế phương trình cho cos 4x ta có sin x  3cos2 x   tan x   (Vơ lí) Vậy phương trình vơ nghiệm Câu 15 Phương trình sin x  tan x  có nghĩa cos x   x    k , k  Ta có sin 2x  2tan x   2sin x cos x  2tan x  Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos x ta có 2sin x cos x  tan x   tan x  tan x  tan x  1   tan x  1  tan x  3tan x  tan x     tan x  1  tan x  tan x  3  Câu 16 x x  sin x  cos  có nghĩa x   D  2 x x  cos x  cos x  sin x  0 Ta có 3sin  sin x  cos   2 2 Phương trình 3sin  sin x  2cos x     x     k 2  x   Vì x   0;2  với k   3   sin x  cos x  1  sin  x    1 2 6   k 2 , k  Phương trình có nghiệm thỏa mãn đề Câu 17 Phương trình cos2 x  sin 2x  có nghĩa x  D Ta có cos2 x  sin x   1  cos x   sin x   sin x  cos x   Trang 23     x    k 2  x   k  3    3  sin x  cos x   sin  x     sin   ,k     2 3  2 x    k 2  x   k  3 Vậy phương trình có họ nghiệm Câu 18   Phương trình sin  x    sin x có nghĩa x  4  D   sin x  cos x   Ta có sin  x    sin x     sin x 4    3  sin3 x  3sin x cos x  3sin x cos2 x  cos3 x  4sin x 1 Với cos x   x    k , k  sin x  2 (loại) sin x   x  k 1  sin x  4sin x    Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos x ta có 1  tan3 x  3tan x  3tan x 1  tan x 1  tan x   3tan x  3tan x  tan x    tan x  1 Vậy  tan x  tan x  3 tan x  6 Câu 19   x   k  cos x   tan x    sin x có nghĩa    Phương trình k   tan x  tan x  1  x     k  sin x 1  tan x cos x  sin x  2sin x cos x  cos x   sin x  Ta có sin x  tan x 1 cos x cos x  sin x    cos x  sin x   cos x  sin x   cos x  sin x   3 cos x  sin x  Chia hai vế phương trình  3 cho cos3 x  ta  tan x  1  tan x  tan x  1  tan x   tan x  tan x  tan x    tan x  tan x   tan x  * Do tan x  tan x   vô nghiệm nên *  tan x   x  k  k   Vậy phương trình có họ nghiệm Câu 20 Phương trình sin2 x  (2m  2)sin x  cos x  (m 1)cos2 x  m  0(1) có nghĩa x  D Với   k , k  Ta có (1)   m  Để phương trình có nghiệm m  x0 x Trang 24 Với cos x  Chia hai vế phương trình cho cos x ta có (1)  tan x  (2m  2) tan x  (m  1)  m 1  tan x    (1  m) tan x  2(m  1) tan x  (2m  1)  Để phương trình có nghiệm (m 1)2  (1  m)(2m 1)   m2  m    2  m  Dạng Phương trình lượng giác đối xứng Phương pháp giải Phương trình lượng giác đối xứng có dạng tổng quát Trong a, b, c  Để giải phương trình lượng giác đối xứng, ta làm sau   Đặt t  sin x  cos x  sin  x   4  Điều kiện: | t | Ta có (sin x  cos x)2   2sin x cos x t 1 Khi phương trình cho trở thành  sin x cos x  bt  2at  b  2c  Đây phương trình bậc hai biết cách giải Chú ý: Cách giải áp dụng cho phương trình a(sin x  cos x)  b sin x cos x  c  Đặt t  sin x  cos x  sin x cos x  1 t 2 Ví dụ: Giải phương trình sau: sin x  cos x  2sin x cos x   1 Hướng dẫn giải Đặt t  sin x  cos x(  t  2) t 1 Khi phương trình 1 trở thành  sin x cos x   t 1  t  1 t  2  1   t  t     t      Kết hợp với điều kiện   t  ta t  1  sin x  cos x  1  sin  x    1 4    x    k 2     sin  x      (k  )  4   x    k 2 Vậy phương trình có họ nghiệm Trang 25    x    k 2 (k  Z )   x    k 2 Ví dụ mẫu Ví dụ Giải phương trình sin x  cos x  14sin x cos x  1 Hướng dẫn giải Đặt t  sin x  cos x(  t  2)  sin x cos x  1 t 2 t  Khi phương trình 1 trở thành t  1  t    7t  t     t    2   x   k 2    (k  ) - Nếu t  sin x  cos x   sin  x    sin    4   x    k 2 6 - Nếu t   sin x  cos x  7   3 x   arcsin  k 2    3   sin  x     (k  ) 4   5 3  arcsin  k 2 x    Vậy phương trình cho có họ nghiệm x   k 2 ; x    k 2 ; 3 5 3  k 2 ;  arcsin  k 2 (k  ) 7 Ví dụ Giải phương trình sin sin x  cos3 x   sin x  2 Hướng dẫn giải x   arcsin (2)   (sin x  cos x)  sin x  sin x cos x  cos2 x   3sin x cos x   (sin x  cos x)(1  sin x cos x)  3sin x cos x * Đặt t  sin x  cos x(  t  2)  sin x cos x  t 1  t 1  t 1   Khi phương trình * trở thành  t 1     t  1   t  3t  3t    (t  1)  t  2t     t  1     t  1 t  1      Suy sin x  cos x  1  cos  x    1 4   x    k 2  3   cos  x    cos  (k  )  x    k 2 4    Trang 26 Vậy phương trình cho có họ nghiệm x    k 2 ; x    k 2 (k  ) Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Cho phương trình  2(sin x  cos x)  2sin x cos x 1  Đặt t  sin x  cos x , ta phương trình đây? A t  2t  B t  2t   C t  2t  D t  2t     Câu 2: Nếu (1  sin x)(1  cos x)  thi cos  x   nhận giá trị 4  2 D 2 Câu 3: Phương trình sin x  cos x  2sin 2x   có nghiệm  x  k 2  x  k  ,k  ,k  A B   x  3  k 2   x  3  k   3 C x  D Vô nghiệm  k 2 , k  Câu 4: Cho phương trình sin x  2(sin x  cos x)   Nghiệm dương nhỏ phương trình  3 5 A x  B x  C x  D x  2 Câu 5: Phương trình sin x  2(cos x  sin x)   có nghiệm   A x   k , k  B x   k 2 , k  4  C x    k , k  D Vô nghiệm A 1 B C  2(sin x  cos x)  tan x  cot x Nếu đặt t  sin x  cos x giá trị t thỏa Câu 6: Cho phương trình mãn | t | Câu 7: Cho phương trình sin x  4(sin x  cos x)   Số nghiệm phương trình thoả mãn A 1 B  x   A B Câu 8: Phương trình sau vơ nghiệm? C  D  C D B sin 2x  sin x  cos x  3sin 2x  cos2x   C sin x  cos A D 3sin x  cos x  3   Câu 9: Cho x thoả mãn phương trình sin 2x  sin x  cos x  Giá trị lớn tìm sin  x   4  A B C D Trang 27 Câu 10: Số họ nghiệm phương trình sin 2x  sin x  cos x 1  A B C Câu 11: Phương trình sau vơ nghiệm? A 4(sin x  cos x)  sin x   B 2cos2 x  cos x   D D 3sin x   C 2(sin x  cos x)  sin x   Câu 12: Nghiệm âm lớn phương trình sin x  cos x   sin x   3 A x   B x   C x   2 D x   5 Câu 13: Số nghiệm phương trình 2(sin x  cos x)  sin 2x   thoả mãn điều kiện   x  5 A B C Câu 14: Trong phương trình sau phương trình có nghiệm? 1 A 3sin x  B cos x  C 2(sin x  cos x)  sin 2x   D D cot x  cot x   2(sin x  cos x)  m   có nghiệm A m  B Khơng có giá trị m C m  D  m  Câu 16: Phương trình 3(sin x  cos x)  sin x  3 có nghiệm   x    k 2   ,k  A x    k , k  B   x    k 2 Câu 15: Điều kiện để phương trình  D Vơ nghiệm  k 2 , k  Câu 17: Nghiệm phương trình 2(sin x  cos x)  sin x   thỏa mãn điều kiện  x   C x   A x  3 B x   C x   D x     Câu 18: Từ phương trình sin x  cos3 x   sin x ta tìm cos  x   có giá trị 4  2 C  D 2 Câu 19: Có giá trị nguyên tham số m để phương trình sin x cos x  sin x  cos x  m  có nghiệm? A B C D Câu 20: Giá trị m để phương trình m(sin x  cos x)  sin x  có nghiệm B  A 1 B m D Cả A, B, C sai A Khơng có giá trị m C m  1 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT 1-C 2-D 3-A 4-C 11-A 12-C 13-D 14-C 5-A 6-B 7-B 8-D 9-B 10-B 15-D 16-B 17-A 18-B 19-C 20-B Trang 28 Câu Phương trình  2(sin x  cos x)  2sin x cos x   1 có nghĩa x   D  Đặt t  sin x  cos x, | t | Ta có sin x cos x  t 1  (1)  t  2t  Câu Phương trình (1  sin x)(1  cos x)  có nghĩa x  D Ta có (1  sin x)(1  cos x)   cos x  sin x  sin x cos x  1  Đặt t  sin x  cos x, | t | Ta có sin x cos x   t  t 1 (1)  t  2t     t  3 Do | t | nên t      Với t  , ta có t  sin x  cos x  cos  x     cos  x    4 4   Câu Phương trình sin x  cos x  2sin 2x   có nghĩa x   D  Ta có sin x  cos x  2sin x    sin x  cos x  4sin x cos x 1  1  Đặt t  sin x  cos x, | t |  t  1 1 t2 2  (1)  t  1  t     2t  t     Ta có sin x cos x  t   Do | t | nên t  1      Với t  1 ,ta có t  sin x  cos x  sin  x    1  sin  x      sin 4 4       x     k 2  x  k 2  ,k   x        k 2  x  3  k 2  4 Câu Phương trình sin x  2(sin x  cos x)   có nghĩa x  D Ta có sin 2x  2(sin x  cos x)    2(sin x  cos x)  2sin x cos x   1 1 t2  (1)  2t  1  t     t  2t    t  1   Đặt t  sin x  cos x, | t | Ta có sin x cos x       Với t  1 ta có t  sin x  cos x  sin  x    1  sin  x      sin 4 4   Trang 29     x     k 2  x  k 2  ,k      x      k 2  x   k 2  4 Vậy nghiệm dương nhỏ phương trình x  3 Câu Phương trình sin x  2(cos x  sin x)   có nghĩa x  D Ta có sin 2x  2(cos x  sin x) 1   2sin x cos x  2(sin x  cos x) 1  1   Đặt t  sin x  cos x, | t | Ta có sin x cos x  1 t2 t   (1)   t  2t    t  2t    t  2 Do | t | nên t  Với t  , ta có       t  sin x  cos x  sin  x     sin  x     x   k  x   k , k  4 4 4   Câu    cos x   x   k xk Phương trình 2(sin x  cos x)  tan x  cot x có nghĩa   2 sin x   x  k 2(sin x  cos x)  tan x  cot x sin x cos x  2(sin x  cos x)    2(sin x  cos x)  1 cos x sin x sin x cos x Ta có t 1 Đặt t  sin x  cos x, | t | ta có sin x cos x  2  (1)  2t   2t  2t   0(t  1)  t  t 1 Câu sin x  4(sin x  cos x)   Phương trình có nghĩa   x  D  Ta có sin 2x  4(sin x  cos x)    4(sin x  cos x)  2sin x cos x   1 Đặt t  sin x  cos x, | t | t 1 Ta có sin x cos x   (1)  4t 1 t    t  4t    t  (loại) Vậy phương trình vơ nghiệm hay khơng có nghiệm thỏa mãn  x   Câu Phương trình 3sin x  cos x  3 có nghĩa x   D  2 Ta có ( 3)  (1)  (3) Vậy phương trình vơ nghiệm Câu Phương trình sin 2x  sin x  cos x  có nghĩa x   D  Ta có sin x  sin x  cos x   sin x  cos x  2sin x cos x 1  1 Trang 30  1 t2 t   (1)  t   t    t  t    t  Đặt 3sin x  cos x  3 Ta có sin x cos x      Với t  ta có t  sin x  cos x  sin  x     sin  x    4 4       Với t  0, ta có t  sin x  cos x  sin  x     sin  x    4 4     Vậy giá trị lớn sin  x    4  Câu 10 Phương trình sin 2x  sin x  cos x 1  có nghĩa x   D  Ta có sin x  sin x  cos x 1   sin x  cos x  2sin x cos x 1  1   Đặt t  sin x  cos x, | t | Ta Có sin x cos x  t  1  (1)  t  1  t     t  t    t  1 t2      Với t  1, ta có t  1, ta có t  sin x  cos x  sin  x    1  sin  x      sin 4 4       x     k 2  x  k 2  ,k   x        k 2  x  3  k 2  4 Với t  ,       ta có t  sin x  cos x  sin  x     sin  x     x   k  x   k , k  Vậy 4 4 4   phương trình có họ nghiệm Câu 11 Phương trình 4(sin x  cos x)  sin x   có nghĩa x   D  Ta có 4(sin x  cos x)  sin 2x    4(sin x  cos x)  2sin x cos x   1 1 t2 Ta có sin x cos x  2  (1)  4t 1 t    t  4t    t  (loại) Vậy phương trình vơ nghiệm Câu 12 Phương trình sin x  cos x   sin x có nghĩa x   D  Ta Có sin x  cos x   sin x  sin x  cos x  sin x cos x   1  Đặt t  sin x  cos x, | t |    Đặt t  sin x  cos x, | t | Ta có sin x cos x   (1)  t  t 1 t  t 1    t  2t     t  3 Do | t | nên t  Trang 31      Với t  1, ta có t  sin x  cos x  sin  x     sin  x     sin 4 4       x    k 2  x  k 2  ,k   x    3  k 2  x    k 2  4 Vậy nghiệm âm lớn phương trình x   3 Câu 13 Phương trình 2(sin x  cos x)  sin 2x   có nghĩa x  D Ta có 2(sin x  cos x)  sin x    2(sin x  cos x)  2sin x cos x   1 t 1 Đặt t  sin x  cos x, | t | Ta có sin x cos x  2  (1)  2t   t  1    t  2t    t         Với t  2, ta có t  sin x  cos x  sin  x     sin  x     x   k 2 , k  4 4   9 17 ;x  Do x  [ ;5 ] nên x  4 Vậy có nghiệm thỏa mãn đề Câu 14 Ta có sin x   sin x    Phương trình vơ nghiệm 1 Ta có cos x   cos x    Phương trình vơ nghiệm Ta có   (1)2  4.1.5  19   Phương trình cot x  cot x   vô nghiệm Câu 15 Phương trình Ta có 2(sin x  cos x)  m   có nghĩa x  D 2(sin x  cos x)  m    m   2(sin x  cos x)  Có   sin x  cos x   2  2(sin x  cos x)   2   2(sin x  cos x)     2(sin x  cos x)     m  Câu 16 Phương trình 3(sin x  cos x)  sin x  3 có nghĩa x   D  Ta có 3(sin x  cos x)  sin x  3  3(sin x  cos x)  sin x cos x   1  Đặt t  sin x  cos x, | t | Ta có sin x cos x   t  1 t 1 t 1  (1)  3t     t  6t     2 t  5 Do | t | nên t  1 Trang 32      Với t  4, ta có t  sin x  cos x  sin  x    1  sin  x      sin 4 4        x     k 2  x    k 2  ,k   x        k 2  x    k 2  4 Câu 17 Phương trình 2(sin x  cos x)  sin x   có nghĩa x  D Ta có 2(sin x  cos x)  sin x    2(sin x  cos x)  2sin x cos x 1  1   Đặt t  sin x  cos x, | t | Ta có sin x cos x  t  t 1  (1)  2t  t    t  2t    t  2 Do | t | nên t      Với t  0, ta có t  sin x  cos x  sin  x     sin  x    4 4    x   k  x   Do x  (0;  ) nên x    k , k  3 Câu 18 Phương trình sin x  cos3 x   sin x có nghĩa x   D  Ta có sin x  cos3 x   sin x  (sin x  cos x)  sin x  sin x cos x  cos x    3sin x cos x  (sin x  cos x)(1  sin x cos x)   3sin x cos x 1  Đặt t  sin x  cos x, | t | Ta có sin x cos x    t 1  t 1 t 1  (1)  t 1     t  3t  t    t  1  2          cos  x     Với t  1 ta có t  sin x  cos x  cos  x    1  cos  x     4 4 4    Câu 19 Phương trình sin x cos x  sin x  cos x  m  1 có nghĩa x   D    Đặt t  sin x  cos x, | t | t 1 t 1 Ta có sin x cos x   (1)   t  m   2m  t  2t   (t  1)2  2m  2 Do   t    1  t 1  1   (t 1)2   2 Để phương trình có nghiệm  2m    2   Vì m  1 2  m  nên m {1;0;1} Câu 20 Phương trình m(sin x  cos x)  sin x  có nghĩa x  D Trang 33 Ta có m(sin x  cos x)  sin 2x   m(sin x  cos x)  2sin x cos x  1   Đặt t  sin x  cos x   t  t 1 Ta có sin x cos x   (1)  t  mt   2   m    Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt t1 , t2 Theo Vi-ét ta có t1t2  1 Suy ln có nghiệm thỏa mãn   t  Vậy phương trình ln có nghiệm Trang 34 ... | D   13 t   13 Ta có 3cos x  2cos x     3t  2t     t  (do | t | 1)   13 t     13 x  arccos  k 2   13  13  Với t  ,ta có cos x   (k  ) 3   13  k 2 ... trình cot 3x  cot 3x   có nghĩa  x  k t  1 Đặt t  cot 3x Ta có cot 3x  cot 3x    t  t     t  3? ?? 3? ??  k  3x   k  x   (k  ) Với t  1 , ta có cot 3x  1  cot 3x  cot... trình có nghiệm m2  (? ?3) 2  52  m2  16   m  Câu Phương trình Ta có 3sin3x  cos3x  1 có nghĩa x   D  sin 3x  cos3x  1  1   sin 3x  cos3x    sin  3x     2 6  Câu