Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 9 năm học 2016-2017, biên soạn bởi Phòng Giáo dục và Đào tạo Thanh Thủy có kèm theo đáp án và hướng dẫn chấm bài thi. Để nắm chi tiết nội dung mời các bạn cùng tham khảo đề thi.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC: 2016 - 2017 MƠN:TỐN Thời gian: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề Đề thi có: 02 trang I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời Câu 1: Với x ≥ 1, giá trị rút gọn biểu thức: A = A B 2x − x + 2x − - C x − 2x − là: D Câu 2: x0 = 20 + 14 + 20 − 14 nghiệm phương trình nào: A x3 - 3x2 + x - 20 = C x2 + 5x + = B x3 + 3x2 - x - 20 = D x2 - 3x - = Câu 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, khoảng cách hai điểm A(-2; 1) B(4; 9) là: A 68 B 10 C 104 D Đáp án khác Câu 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, để đường thẳng y = 2x - 5; y = x + y = ax - 12 đồng quy điểm giá trị a là: A B C - D Câu 5: Cho đường thẳng (d): y = -x + điểm M(0; -1) Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) là: A 1,4 B C Câu 6: Giá trị lớn hàm số y = A B D 1,5 + 4x − x là: C D Câu 7: Biết phương trình 3x2 - 4x + mx = (m tham số) có nghiệm nguyên dương bé Khi giá trị m là: A - B C - Câu 8: Số nghiệm phương trình: A B D 2x − 4x + = x - là: C D Đáp án khác Câu 9: Cho tam giác ABC có AB = 10cm; AC = 15cm Một đường thẳng qua M thuộc cạnh AB song song với BC, cắt AC N, cho AN = BM, độ dài đoạn AM là: A 3cm B 6cm C 5cm D 4cm µ = 2B µ ; AC = 9cm; BC = 12cm Độ dài đoạn AB là: Câu 10: Cho tam giác ABC có A A 7cm B 16cm C 8cm D Đáp án khác µ = 1200 Độ dài đường phân giác Câu 11: Cho tam giác ABC có AB = 3cm; AC = 6cm; A AD tam giác ABC là: A cm B 2cm C 3cm D cm Câu 12: Một tam giác vng có tỉ số hai cạnh góc vng , tỉ số hai hình chiếu hai cạnh góc vng cạnh huyền là: A B Aµ C D Câu 13: Cho tam giác ABC vuông A có AC = 21cm, cosC = A B C 21 35 D Khi tanB = 35 21 Câu 14: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cạnh a là: A a B a C a D a 3 Câu 15: Cho đường tròn (O), hai dây AB CD song song với nhau, biết AB = 3cm; CD = 4cm, khoảng cách hai dây 3,5cm Bán kính đường trịn (O) là: A 1,5cm B 2cm C 2,5cm D 3cm Câu 16: Trong hộp có 100 viên bi, bao gồm 25 viên màu xanh, 30 viên màu đỏ, 35 viên màu vàng, 10 viên lại bi màu nâu màu tím Lấy ngẫu nhiên số viên bi hộp Hỏi phải lấy viên bi để số chắn có viên bi màu vàng A 71 viên B 90 viên C 65 viên D Đáp án khác II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) Câu 1: (3,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên x để giá trị biểu thức x2 + 3x + số phương b) Cho số dương x, y, z thoả mãn điều kiện xyz = 100 Tính giá trị biểu thức: A= y x + xy + x + 10 yz + y + + 10 z xz + 10 z + 10 Câu 2: (3,5 điểm) a) Giải phương trình: 5x3 + 6x2 + 12x + = b) Giải phương trình: x − 20 + x + 15 = Câu 3: (4,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường thẳng xy không giao Kẻ OH ⊥ xy H Lấy điểm A thuộc xy Từ A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B tiếp điểm) Qua B kẻ đường thẳng vng góc với AO cắt AO K cắt đường tròn C a) Chứng minh rằng: AC tiếp tuyến đường tròn (O) b) Chứng minh rằng: Khi A di động đường thẳng xy dây BC qua điểm cố định Câu 4: (1,5 điểm) Cho x, y, z số dương thoả mãn xyz = Tìm giá trị lớn biểu thức A = 1 + 3 + 3 x + y +1 y + z +1 z + x +1 PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN A Một số chỳ ý chấm Đáp án dựa vào lời giải sơ lược cách giải Thí sinh giải cách khác mà tổ chấm cho điểm phần ứng với thang điểm hướng dẫn chấm B Đáp án thang điểm I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm) Mỗi câu trả lời cho 0,5 điểm Câu Đáp án C A,D B D B C II PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm) B,C A D 10 A 11 B 12 B 13 A 14 D 15 C 16 D Câu 1: (3,0 điểm) Nội dung a) Với x ∈ N ta có: x + 2x + ≤ x + 3x + < x2 + 4x + Điểm hay (x + 1)2 ≤ x2 + 3x + < (x + 2)2 Do để x2 + 3x + số phương x2 + 3x + = (x + 1)2 x2 + 3x + = x2 + 2x + 0,5 0,5 x = 0,5 Vậy với x = giá trị biểu thức x2 + 3x + số phương b) Vì x, y, z số dương nên từ xyz = 100 => xyz = 10 Thay vào biểu thức cho ta được: 0,25 A= = = x + xy + x + xyz x ( x y + + yz ) + y + + yz + y + yz = =1 + y + yz + y yz + y + y yz + y + y yz + y + + + + xyz z xz + xyz z + xyz ( xz yz xz + yz + y yz + yz + y 0,75 ) 0,5 Câu 2: (3,5 điểm) Nội dung Điểm a) Ta có: 5x + 6x + 12x + = 4x3 + (x3 + 3.x2.2 + 3.22.x + 23) = 0,5 (x + 2)3 = - 4x3 x + = - x (1 + ).x = - −2 −2 x = Vậy pt cho có nghiệm x = 1+ 1+ b) ĐK: x ≥ - 15 Đặt a = x − 20 ; b = x + 15 (b ≥ 0) a + b = Ta có: a − b = −35 Tìm được: a = 1; b = Suy ra: x = 21 Vậy pt cho có nghiệm x = 21 Câu 3: (4,0 điểm) Nội dung 0,5 0,25 0,25 0,5 0,5 0,5 Điểm a) Chứng minh: V ACO = V ABO (c.g.c) => AC ⊥ OC mà OC = R 1,0 1,0 => AC tiếp tuyến đường tròn (O; R) b) Gọi I giao điểm BC OH - Chứng minh: V OIK V OAH đồng dạng 0,5 OK OI = => => OI.OH = OK.OA (1) OH OA - Xét V ABO vng B, đường cao BK ta có: OK.OA = OB (2) Từ (1) (2) suy ra: OI.OH = OB2 => OI = 0,5 2 OB R = (không đổi) OH OH 0,5 0,5 => I cố định Vậy A di động đường thẳng xy dây BC ln qua điểm I cố định Câu 4: (1,5 điểm) Nội dung Ta chứng minh BĐT: a3 + b3 ≥ ab(a + b) với a, b > (*) 0,5 Điểm Thật (*) a3 + b3 - a2b - ab2 ≥ a2(a - b) - b2(a - b) ≥ (a - b)(a2 - b2) ≥ 0,25 (a - b)2.(a + b) ≥ (do a, b > 0) Dấu "=" xảy a = b Áp dụng (*) có: x3 + y3 + = x3 + y3 + xyz ≥ xy(x + y) + xyz = xy(x + y + z) > Tương tự có: y3 + z3 + ≥ yz(x + y + z) > 0,5 z3 + x3 + ≥ zx(x + y + z) > Suy ra: A ≤ 1 x+y+z + + = =1 xy(x + y + z) yz(x + y + z) zx(x + y + z) xyz(x + y + z) Vậy MaxA = đạt x = y = z = 0,5 0,25 ... + x +1 PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC 2016 - 2017 MƠN: TỐN A Một số chỳ ý chấm Đáp án dựa vào lời giải sơ lược cách giải Thí sinh giải... màu đỏ, 35 viên màu vàng, 10 viên lại bi màu nâu màu tím Lấy ngẫu nhiên số viên bi hộp Hỏi phải lấy viên bi để số chắn có viên bi màu vàng A 71 viên B 90 viên C 65 viên D Đáp án khác II PHẦN...Câu 9: Cho tam giác ABC có AB = 10cm; AC = 15cm Một đường thẳng qua M thuộc cạnh AB song song với BC, cắt AC N, cho AN = BM, độ dài đoạn AM là: A 3cm B 6cm C 5cm D 4cm µ = 2B µ ; AC = 9cm; BC