Sáng kiến kinh nghiệm Phát triển bài Toán thành các bài Toán mới nhằm phát huy năng lực tư duy của học sinh khá, giỏi trong chương trình Toán 10 được viết với các nội dung: Lí do chọn đề tài, cơ sở lý luận và thực tiễn, tổ chức thực hiện các giải pháp, hiệu quả của đề tài, đề xuất khuyến nghị và khả năng áp dụng, tài liệu tham khảo. Mời các bạn cùng tham khảo tài liệu.
THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến: “PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN THÀNH CÁC BÀI TOÁN MỚI NHẰM PHÁT HUY NĂNG LỰC TƯ DUY CỦA HỌC SINH KHÁ, GIỎI TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN 10” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Mơn tốn Làm tài liệu cho giáo viên học sinh trung học phổ thông Tác giả: Họ tên: BÙI THỊ MẬN Nam (nữ) : Nữ Sinh ngày 10 tháng 06 năm 1984 Trình độ chun mơn: Cử nhân sư phạm Tốn Chức vụ, đơn vị công tác: Giáo viên trường THPT Nam Sách II Điện thoại: 0965705684 Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Trường THPT Nam Sách II Địa : Xã An Lâm huyện Nam Sách tỉnh Hải Dương Đơn vị áp dụng sáng kiến lần đầu: Trường THPT Nam Sách II Địa : Xã An Lâm huyện Nam Sách tỉnh Hải Dương Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: + Máy chiếu, phòng học, máy tính bỏ túi, tài liệu tham khảo + Học sinh khối trung học phổ thông Thời gian áp dụng sáng kiến lần đầu: Áp dụng từ năm học 2015-2016 TÁC GIẢ (Ký, ghi rõ họ tên) XÁC NHẬN CỦA ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN Bùi Thị Mận TĨM TẮT SÁNG KIẾN Hồn cảnh nảy sinh sáng kiến Theo định hướng đổi phương pháp dạy học trường trung học phổ thơng tích cực hóa hoạt động học tập học sinh, khơi dậy phát triển khả tự học nhằm hình thành cho học sinh tư tích cực độc lập, sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn Tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh Vì qua cơng tác giảng dạy nhiều năm mơn tốn khối lớp nói chung khối lớp 10 nói riêng, tơi nhận thấy việc phát huy tính tự giác tích cực học tập học sinh việc làm cần thiết, địi hỏi người giáo viên phải có sáng tạo giảng dạy Vì để học tốt mơn tốn, khơng phải u cầu học sinh nắm vững biết vận dụng toán mà cịn phải biết cách phát triển thành tốn có tầm suy luận cao hơn, nhằm phát triển lực tư cho học sinh Cách dạy học hướng đổi phương pháp dạy học Có tích cực hóa hoạt động học tập học sinh Khơi dạy khả tự lập, chủ động, sáng tạo học sinh Nhằm nâng cao lực phát giải vấn đề Rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức vào thực tế, tác động đến tình cảm, đem lại niềm say mê hứng thú học tập cho học sinh Vậy để có kĩ giải tập tốn phải qua q trình luyện tập Tuy rằng, khơng phải giải nhiều có kĩ Việc luyện tập có hiệu quả, biết khéo léo khai thác từ tập sang tập tương tự nhằm vận dụng tính chất rèn luyện phương pháp làm dạng tập Nếu giáo viên biết hướng cho học sinh cách học chủ động học sinh khơng khơng cịn ngại học mơn tốn mà cịn hứng thú với việc học mơn tốn Học sinh khơng cịn cảm thấy học mơn tốn gánh nặng, mà ham mê học tốn, có thành cơng người dạy tốn Xuất phát từ lý tình hình thực tế nhà trường, với mong muốn giúp học sinh học tốt để có tảng vững cho năm học sau nên chọn đề tài: “Phát triển toán thành toán nhằm phát huy lực tư học sinh khá, giỏi chương trình tốn 10” Điều kiện, thời gian, đối tượng áp dụng sáng kiến + Điều kiện áp dụng sáng kiến Sáng kiến áp dụng để giảng dạy cho học sinh trung học phổ thông, học sinh lớp 10, lớp bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinh ôn thi Đại học, Cao Đẳng + Thời gian áp dụng sáng kiến : Năm học 2015-2016 2016-2017 + Đối tượng áp dụng sáng kiến: Đối tượng mà đề tài hướng tới nghiên cứu áp dụng thực nghiệm học sinh lớp 10 Nội dung sáng kiến Trong đề tài, chọn số tốn chương trình tốn lớp 10 từ toán theo hướng thay đổi giả thiết toán để tạo số toán liên quan với toán ban đầu phương pháp giải Đề tài nghiên cứu đến kiến thức bất đẳng thức, công thức lượng giác (Đại số 10) kiến thức véctơ, tích vơ hướng hai véctơ ứng dụng, hệ thức lượng tam giác (Hình học 10) Đề tài tơi có hai nội dung : + Phần Đại số : Phần giới thiệu toán gốc chứng minh bất đẳng thức đại số Từ tốn tơi hướng dẫn học sinh khai thác phát triển thành toán chứng minh bất đẳng thức đại số chứng minh bất đẳng thức lượng giác + Phần Hình học: Tơi giới thiệu hai toán gốc hai toán đẳng thức véctơ mà học sinh thường gặp Tôi hướng dẫn học sinh chứng minh hai tốn gốc Từ tốn tơi thay đổi (thêm , bớt…) số liệu tốn từ u cầu học sinh phát biểu chứng minh thành tốn Tuy nội dung tơi đề cập rộng tập dạng phong phú song khn khổ thời gian có hạn nên tơi nêu số tốn điển hình xếp theo trình tự từ đơn giản đến phức tạp Điểm kết nghiên cứu tính thực tiễn tính hệ thống, khơng áp đặt rập khn máy móc mà học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải tốn lạ, tốn khó Bên cạnh lại địi hỏi học sinh phát huy tính tự lực, khả tư duy, sáng tạo, để nhận biết dạng để tìm hướng giải từ phát triển thành toán Đề tài bắt đầu nghiên cứu từ năm học 2014-2015 bắt đầu áp dụng vào giảng dạy năm học 2015-2016 Trong q trình nghiên cứu mình, tơi ln tìm tịi ln tham khảo ý kiến đồng nghiệp nhằm hoàn thiện nội dung đề tài Tơi thấy, đề tài làm tài liệu tham khảo giảng dạy cho thầy cô dạy mơn Tốn trường trung học phổ thơng Đề tài tài liệu tham khảo bổ ích cho em thi học sinh khá, giỏi, khối 10 em học sinh thi THPT Quốc gia Khi đề tài áp dụng triển khai vào thực tiễn, thấy có tác dụng lớn đến tư cách nhìn em mơn tốn khác trước nhiều Khẳng định giá trị, kết đạt sáng kiến - Đề tài góp phần nâng cao chất lượng mơn tốn trung học phổ thơng Kích thích tính tị mị, khả ham thích học tập mơn, dần hình thành khả tư sáng tạo tự giác học tốt mơn tốn học sinh - Đề tài giúp em hiểu cách sâu sắc toán chương trình tốn lớp 10 việc nghiên cứu toán theo chiều hướng khác Từ hồn thiện cho học sinh tư sáng tạo, khả trình bày tốn quan trọng hướng cho em nhìn nhận tốn theo nhiều chiều hướng - Hình thành óc thẩm mỹ, linh hoạt, nhạy bén, tích cực tư học tập hoạt động khác - Dần hình thành em tình cảm người, với khoa học, với đất nước, đến tích cực sáng tạo học tập đời sống - Qua đề tài này, thân thấy với cách chủ động tự nêu vấn đề giải vấn đề có giúp đỡ giáo viên giúp học sinh có hứng thú học giúp học sinh có thói quen suy nghĩ giải tốn nhiều góc độ khác thơng qua toán đơn giản tư khái qt hóa để làm tốn khó hơn, tổng quát - Từ giúp em học sinh hình thành tư biết tự phát triển tư học mơn tốn nói chung, mơn hình học nói riêng Vấn đề giúp học sinh giải toán hơn, sáng tạo - Từ việc khai thác phát triển toán có nhiều tốn hay hình thành, góp phần làm cho kho tàng toán học ngày phong phú Đề xuất kiến nghị để thực áp dụng, mở rộng sáng kiến Sáng kiến kinh nghiệm áp dụng vào giảng dạy cho đối tượng học sinh giỏi khối lớp 10, lớp bồi dưỡng học sinh giỏi, lớp ôn thi đại học Để áp dụng sáng kiến, đòi hỏi người giáo viên cần tăng cường đầu tư dạy học bồi dưỡng lực tư cho học sinh thông qua việc phát triển toán thành toán Đối với cấp quản lý, nên động viên, khuyến khích giáo viên tích cực viết áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy; với sáng kiến tiêu biểu nên tổ chức nhân rộng, phổ biến cho giáo viên học tập áp dụng vào trình giảng dạy MƠ TẢ SÁNG KIẾN HỒN CẢNH NẢY SINH SÁNG KIẾN Mơn tốn mơn khoa học tự nhiên Nó đóng vai trị quan trọng thực tiễn sống, liên quan mật thiết với môn học khác, làm tảng cho môn khoa học tự nhiên khác Vì việc giảng dạy mơn Tốn trường Trung học phổ thơng nói chung mơn Tốn lớp 10 nói riêng vấn đề quan trọng Vì thế, để đáp ứng nhu cầu giảng dạy theo chuẩn kiến thức, kỹ phân hóa theo lực học sinh giáo viên phải có đầu tư nhiều để đưa phương pháp dạy học cho phù hợp Trong thực tế, việc đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực sáng tạo học sinh Bên cạnh việc đổi phương pháp dạy việc đổi phương pháp học học sinh quan trọng Nó góp phần làm cho học sinh tăng khả tư duy, tìm tịi sáng tạo, q trình lĩnh hội kiến thức đạt hiệu Dạy học không đơn truyền đạt kiến thức cho học sinh mà đòi hỏi phải xây dựng cho em phương pháp, “con đường đi” tự tìm đến “cái đích” khoa học Trong tác phẩm tiếng “Giải tốn nào?” Pơlia cho rằng: Ví dịng sơng bắt nguồn từ suối nhỏ, tốn dù khó đến đâu có nguồn gốc từ tốn đơn giản, có quen thuộc Vì q trình tìm tịi lời giải tốn, việc tìm hiểu xuất xứ chúng giúp tìm chìa khóa để giải chúng Đặc biệt, phát tốn có nguồn gốc từ tốn sách giáo khoa tình trở nên thú vị Trong q trình giảng dạy mơn tốn trường Trung học phổ thông thấy, kì thi đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi có tốn tưởng chừng khó tìm hiểu lời giải lại toán mở rộng vận dụng từ toán sách giáo khoa Do để giúp em học sinh hiểu cách sâu sắc tốn chương trình tốn trung học phổ thơng tốn lớp 10 việc nghiên cứu toán theo chiều khác nhau, từ hồn thiện tư sáng tạo, khả trình bày tốn quan trọng hướng cho em nhìn nhận tốn theo nhiều chiều hướng, mạnh dạn chọn đề tài: “Phát triển toán thành toán nhằm phát huy lực tư học sinh khá, giỏi chương trình tốn 10” CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ Việc đổi phương pháp dạy học từ cách dạy thụ động, cách dạy phát huy tính tích cực, độc lập, chủ động, sáng tạo học sinh mà ta định hướng “Dạy học tập trung vào học sinh” Người giáo viên đóng vai trị chủ chốt, tổ chức, dẫn dắt hoạt động, tổ chức cho học sinh học tập hoạt động hoạt động tự giác, tích cực độc lập sáng tạo lực giải vấn đề, rèn luyện kĩ vận dụng vào thực tiễn, tác động tình cảm, mang lại niềm tin, hứng thú học tập cho học sinh Để phát triển “Tư sáng tạo cho học sinh” thông qua việc dạy luyện tập phần luyện tập đề tài chia làm hai phần Phần phần Đại số dùng ôn tập bất đẳng thức, hệ thức lượng tam giác công thức lượng giác Phần phần Hình học dùng ơn tập véctơ phép toán véctơ Quán triệt quan điểm dạy học theo hướng “Phát huy tính tích cực tự giác, thói quen nghiên cứu khoa học học sinh” việc hướng dẫn học sinh có thói quen khai thác, nhìn nhận vấn đề nhiều khía cạnh khác có tác dụng tốt việc phát triển tư logic, độc lập sáng tạo cho học sinh Rèn luyện cho học sinh số phương pháp giải toán đại số, hình học như: - Phương pháp phân tích tổng hợp - Phương pháp so sánh - Phương pháp tổng qt hóa Khi giải tốn, ngồi u cầu đọc kỹ đầu bài, phân tích giả thiết tốn, học sinh cần phải ý đến nhiều yếu tố khác như: nhận dạng toán, nội dung kiến thức liên quan đến toán đặt ra, tìm mối liên hệ tốn cho với tốn biết cách giải, trình bày tốn cho xác lơgic có giải nhiều tốn mà khơng gặp phải khó khăn Trong kì thi, học sinh thường gặp tập khó nhiều so với tập sách giáo khoa Thực tế, phần lớn toán thuộc dạng tốn mà em biết cách giải, tốn tạo từ toán ban đầu mà ta gọi tốn Bài tốn tốn hồn tồn mới, mở rộng, đào sâu tốn biết Thực tế khó tạo tốn hồn tồn khơng có quan hệ nội dung phương pháp với tốn biết để tạo toán từ toán ban đầu thường có đường sau: Lập tốn tương tự Lập toán đảo Thêm số yếu tố đặc biệt hóa Bớt số yếu tố khái quát hóa Thay đổi số yếu tố 3.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ 3.1 Thực trạng phần chung Qua thực tiễn giảng dạy nhận thấy tập sách giáo khoa hệ thống tập bản, nhằm củng cố kiến thức cho học sinh sau học lí thuyết Bài tập sách giáo khoa chứa đựng nội dung kiến thức quan trọng, qua mở rộng, xây dựng hệ thống toán Như xem phần lí thuyết tập sách giáo khoa kiến thức sở để vận dụng giải vấn đề trình học Tốn Tuy nhiên dạy học theo hướng cịn tồn số thực trạng sau: Đối với học sinh: + Tình trạng phổ biến học sinh nắm kiến thức “mơ màng” Rất nhiều học sinh bộc lộ yếu kém, hạn chế lực tư sáng tạo: Nhìn đối tượng toán học cách rời rạc, chưa thấy mối liên hệ yếu tố toán học, thường yếu việc chuyển đổi ngôn ngữ để quy lạ quen, không linh hoạt điều chỉnh hướng suy nghĩ gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập khn, áp dụng cách máy móc kinh nghiệm có vào hồn cảnh mới, điều kiện chứa đựng yếu tố thay đổi, học sinh chưa có tính độc đáo tìm lời giải tốn Do việc kiến tạo nên hệ thống tri thức tri thức cũ bị hạn chế + Đa số học sinh thường có thói quen giải xong tốn xem hồn thành cơng việc giao dừng lại đó, có em học sinh biết chủ động, khai thác, tìm tịi, suy nghĩ, vận dụng để giải số tốn khác Vì đứng trước tốn mới, tốn chưa có thuật giải hay toán nâng cao học sinh thường có tâm lí sợ ngại, thiếu tự tin vào khả mình, lúng túng chưa biết cách chọn lọc kiến thức liên kết kiến thức cũ để giải vấn đề có liên quan Do ảnh hưởng lớn đến việc phát giải vấn đề, hạn chế đến việc phát triển tư học sinh Đối với giáo viên: Do thời gian học tập học sinh lớp hạn chế so với khối lượng tri thức cần truyền đạt Kế hoạch dạy học phải theo phân phối chương trình nên dạy học mơn Tốn lớp 10 theo hướng phát vận dụng toán gốc liên quan nhiều thời gian dẫn đến việc khơng thể hồn thành giảng Do đó: + Hầu hết giáo viên phương pháp dạy học cịn nặng thuyết trình, chưa phát huy hết lực chủ động, tích cực sáng tạo học sinh Nhiều giáo viên tập trung hướng dẫn yêu cầu học sinh làm tập giao sách giáo khoa mà chưa quan tâm nhiều đến việc phát nguồn gốc toán hay việc phát triển, mở rộng tổng quát toán + Thường sau tiết lý thuyết đến tiết tập, giáo viên tập trung chữa tập cách túy, chưa tìm cách xây dựng chuỗi tập nhằm củng cố, khắc sâu lý thuyết học Nhiều giáo viên chưa thực quan tâm để giúp học sinh làm bật lên mối quan hệ tập với tập khác, kiến thức học với kiến thức trước Khi dạy xong chương giáo viên thường không hệ thống dấu hiệu để nhận biết đối tượng toán học nằm rải rác chương + Khi học sinh giải toán giáo viên thường lịng với lời giải mà chưa khuyến khích em tìm toán tương tự, toán tổng quát hoặt đặt biệt hóa tốn để tìm tốn Đối với sách giáo khoa nay: Lượng kiến thức đưa có phần dàn trải, khái niệm, định lí chủ yếu giới thiệu để ứng dụng, không chứng minh Dẫn đến việc coi nhẹ vấn đề hình thành khái niệm, định lí Vì cịn tình trạng số giáo viên dành thời gian rèn luyện tư duy, tạo hứng thú kích thích tự tìm tòi nghiên cứu mà chủ yếu để học sinh thừa nhận khái niệm, định lí, đưa quy tắc yêu cầu vận dụng giải tập, điều ảnh hưởng không nhỏ đến chất lượng học tập học sinh Do vậy, việc rèn luyện phát triển lực tư cho học sinh nói chung lực tư sáng tạo cho học sinh phổ thông qua dạy học theo đường phát vận dụng yêu cầu cần thiết 3.2 Thực trạng cụ thể 3.2.1 Ưu điểm Trong q trình dạy mơn toán lớp 10 đặc biệt áp dụng đề tài này, nhận thấy giúp học sinh cảm thấy thích thú, say mê học mơn tốn Hơn học sinh phát huy khả tư duy, sáng tạo giải dạng tốn 3.2.2 Hạn chế Qua tìm hiểu, khảo sát tơi thấy học sinh cịn số hạn chế sau: - Học sinh lười học làm tập nên dẫn đến hổng kiến thức, việc vận dụng vào làm tập gặp nhiều khó khăn Nên việc suy nghĩ để 10 Bằng việc đặt học sinh đứng trước khó khăn, thử thách sau em giải khó khăn trước (giải Bài tốn gốc1) học sinh phát mối liên hệ tìm tốn sau đây: uuur uuur r Bài tốn 1: Cho đoạn thẳng AB có M trung điểm CMR: MA MB Như thông qua việc dẫn dắt, gợi mở mà học sinh dễ dàng nhận thấy mối liên hệ hai toán Tuy để rèn luyện tư sáng tạo, tìm tịi phát vấn đề tiếp tục đặt vấn đề, dẫn dắt, gợi mở để học sinh tìm tốn khác Trong thực tiễn dạy học đặt vấn đề: Giả thiết Bài tốn1 viết dạng M điểm thuộc đoạn AB thoả mãn MA = MB Thay đổi giả thiết để có toán mới? Câu trả lời mong đợi học sinh việc tìm tốn sau: Bài tốn 2: Cho đoạn thẳng AB, M điểm thuộc đoạn AB cho MA=kMB (k số thực) CMR MA k MB 0 (Với toán k = 1) Thơng qua việc phát triển tốn gốc để học sinh phát tốn liên quan khơng giúp cho học sinh củng cố, khắc sâu khái niệm vectơ – khơng mà cịn giúp học sinh hình thành thói quen tư tích cực, khơng ngừng phát tìm tịi Tơi tiếp tục đặt vấn đề: Quay trở lại với ví dụ ban uuuu r uuur đầu, ta gọi I trung điểm AM em có điều gì? ( AM IM ) Từ tơi giúp học sinh tìm toán mới: Bài toán 3: Cho tam giác ABC, M trung điểm BC, I trung điểm AM Chứng minh IA IB IC 0 Tổng quát toán ta có: Bài tốn 4: Cho tam giác ABC, M điểm thuộc BC, I điểm thuộc đoạn AM thoả mãn MB = kMC, IA = hIM CMR : (k 1) IA h IB hk IC 0 26 Tùy theo đối tượng học sinh mà giáo viên phát triển, mở rộng toán gốc mức độ khác Đối với đối tượng học sinh giỏi để phát triển tư sáng tạo cho họ cần thiết học sinh phải khuyến khích, yêu cầu định hướng để học sinh tìm tốn nâng cao có liên quan đến toán gốc Chẳng hạn từ Bài toán gốc tiếp tục khai thác theo hướng tìm điểm chia cạnh AB, BC theo tỷ số khác để có tốn nâng cao mới: Bài tốn 5: (Bài toán nâng cao): Cho tam giác ABC, M điểm thuộc AB, N điểm thuộc đoạn BC thoả mãn MA = kMB CN = kNB Gọi G giao điểm AN CM Chứng minh rằng: GA k GB GC 0 Nếu xem đoạn thẳng AB toán trường hợp riêng đa giác ta có tốn mới: Bài toán 6: Cho đa giác A1 A2 … An có tâm O Chứng minh uuur uuuur uuuur r OA1 OA2 OAn Như từ đẳng thức vectơ ta khai thác thành toán mức độ khó nâng cao dần Nếu dừng lại tốn ban đầu thật đáng tiếc, bỏ phí hệ thống tập cần phải khai thác Hơn việc dừng lại tốn, khơng đặt u cầu để học sinh tìm cách phát triển tốn vơ hình chung kìm hãm tư sáng tạo học sinh Trong ví dụ nêu việc phát triển, vận dụng tốn gốc tơi khéo léo áp dụng thực tiễn dạy học chắn giúp học sinh vừa củng cố, khắc sâu khái niệm vừa giúp học sinh hình thành thói quen làm việc tích cực, khơng lịng với đạt q dễ dàng Thói quen suy nghĩ, tư tích cực nhân lên suốt q trình học tập chắn học sinh có kết học tập tích cực Tơi tiếp tục hướng dẫn học sinh xét toán sau 27 4.2.2.2 Bài toán gốc Cho tam giác ABC với cạnh AB=c,BC=a,CA=b.Gọi I tâm đường uur uu r uu r r tròn nội tiếp tam giác ABC.Chứng minh : aIA + bIB + cIC = (*) (Bài 37 sách tập chương trình nâng cao) A Tơi hướng dẫn học sinh chứng minh toán B1 B' I B C A1 Cách giải 1: A' Qua C dựng đường thẳng song song với AI cắt BI tai B’;song song với uu r uuu r uur BI cắt AI A’ Ta có IC = IA ' + IB' (*) Theo định lý Talet tính chất đường phân giác ta có : uur r IB BA1 c b uu = = � IB' =- IB (1) IB' CA1 b c uuu r Tương tự : IA ' =- a uur IA (2) c uu r Từ (1)(2) thay vào (*) ta có : IC =- r uur uu r uu r r a uur b uu IA - IB � aIA + bIB + cIC = c c Cách giải 2: Ứng dụng hệ thức véc tơ Ta có: uur uu r uu r �IC uu r IC.IM + IM.IC r uur r � IM IC uur uur IM uu IC uuur IM uuu � AI = � + AI + = IM IA + IC IA = AM + AC � � � � � MC MC � MC MC MC MC MC uur uu r (Do IC.IM IM.IC hai véc tơ đối nhau) IM 1 c = = = = A a + b a + b + c nên Mặt khác MC + IC + b + b MI AM bc M r � uuu r uuu r � uur IC uuur IM uuu c AM c � 1� I � AI = MC AM + MC AC = � �AB AB + a + b + c AC � � a + b +c � C B u u u r u u u r a +b bc c = AB + AC a + b + c ( a + b) c a +b +c uu r uuu r uuu r uu r uur uu r uur b c b c � AI = AB + AC = IB - IA + IC - IA a +b +c a + b +c a +b +c a +b +c uur uu r uu r r � aIA + bIB + cIC = ( ) ( 28 ( ) ) ( ) Tơi đặt vấn đề với học sinh: Bài tốn gốc toán liên quan đến đẳng thức vectơ tam giác Do thay đổi hình thức tốn ta có tốn khác Liên hệ hệ thức (*) công thức quen thuộc yếu tố tam giác ta có kết sau Thay đổi hình thức hệ số a,b,c: Tơi hướng dẫn học sinh thực phép biến đổi để thu hệ thức xuất phát từ hệ thức (*) + Liên ( *) � hệ với công thức r r r S uur S uu S uu IA + IB + IC = 2h a 2h b 2h c diện tích 1 S = a.h a = b.h b = c.h c 2 r uu r r uur uu IA + IB + IC = (1) hay h hb hc a a b c = = = 2R sin A sin B sin C uur uu r uu r r uur uur uur r ( *) � 2R.sin A.IA + 2R.sin B.IB + 2R.sin C.IC = hay sinA.IA+sinB.IB+sinC.IC=0 (2) + Liên hệ với định lý hàm số sin : + Liên hệ công thức : � B � C � A � C� A� B� � � � a = r� cot + cot � ; b = r cot + cot ; c = r cot + cot � � � � � � � � � � � � � � � 2� 2� 2� uur uu r uu r r � B � C � A C� A� B� � � � � cot + cot � IA + r cot + cot IB + r cot + cot IC = ( *) � r � � � � � � � � � � � � � � � � 2� 2� 2� uur � C uu r � A uu r r � B � C� A� B� � � � � � cot + cot IA + cot + cot IB + cot + cot IC � � � hay � � � � � � = (3) � � � � � � 2� 2� 2� + Liên hệ công thức a=b.cosC+c.cosB ; b=c.cosA+a.cosC ; c=a.cosB+b.cosA uur uu r uu r r ( *) � ( b.cosC+c.cosB) IA +( c.cosA+a.cosC) IB +( a.cosB+b.cosA) IC = (4) uur �2R uu r �2R uu r r �2R � � � 2R 2R 2R � � � � � �� cosC+ cosB IA + cosA+ cosC IB + cosB+ cosA IC =0 � � � � � � � � � � � � � � � � � � sinB sinC sinC sinA sinA sinB hay uur � uu r � uu r r � cosC cosB � cosA cosC � cosB cosA � � � � � � � + IA + + IB + + IC � � � � � � � � � � � = (5) � �sinC sinA � � �sinB sinC � sinA sinB � + Liên hệ công thức a = ( p - a ) sin A B C ; b = ( p - b ) sin ;c = ( p - c ) sin 2 2 Ta kết quả: 29 ( *) � ( p - a ) sin r r r A uur B uu C uu IA +( p - b) sin IB +( p - c) sin IC = 2 (6) + Gọi R1 ; R ; R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BIC; AIC; � pAIB Khi ta có a = 2R1 sin � � � � Tương tự b = 2R 2cos � B C� A - � = 2R1cos � 2� B C ; c = 2R 2cos 2 uur uu r uu r r A B C ( *) � R1cos IA + R 2cos IB + R 3cos IC = (7) 2 uu r r a uur b uu IC =IA IB + Viết hệ thức dạng sau : Gọi SIBC = Sa ;SIAC = Sb ;SIAB = Sc c c uu r r Sa uur Sb uu a Sa b Sb = ; = � IC =IA IB Ta có : c S c S Sc Sc c c uur uu r uu r r hay Sa IA +Sb IB + Sc IC = (8) Mặt khác,từ lời giải toán mở đầu ta kiến tạo kết A (8) Thật vậy: uur r S uu IB BA1 h1 2.h1.IA Sc = = = = � IB ' =- b IB IB' CA1 h 2.h IA Sb Sc (Với h1;h2 khoảng cách từ B,C lên AI) B1 I B C A1 uuu r Sa uur Tương tự IA ' =- S IA suy ra: c A' uu r r uur uu r uu r r S uur S uu IC =- a IA - b IB � Sa IA + Sb IB +Sc IC = Sc Sc Nhận xét: Điều thú vị là, khai thác từ lời giải tốn mở đầu ta thấy điểm I bất kỳ, ta có kết mở rộng sau: Bài toán : Cho tam giác ABC với cạnh AB=c,BC=a,CA=b.M điểm nằm tam giác,đặt SMBC = Sa ;SMAC = Sb ;SMAB = Sc Chứng minh : uuur uuur uuur r Sa MA+Sb MB+Sc MC=0 (1.1) uuur uuu r uuur uuur Gọi D,E,F trung điểm BC,CA,AB thay MA = MF + ME - MD; uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r MB = MD + MF - ME ; MC = MD + ME - MF ta có đẳng thức 30 B' uuur uuur uuu r r ( S-2Sa ) MD+ ( S-2Sb ) ME+ ( S-2Sc ) MF=0 (1.2) Đặc biệt hóa tốn mở đầu ta có kết sau : - M Trùng với trọng tâm G VABC ,ta kết quen thuộc uuur uuur uuur ur GA+GB+GC=O (1.3) - M trùng với trực tâm H VABC khơng vng ,ta có kết uuur uuur uuur r + tanA.HA+tanB.HB+tanC.HC=0 (1.4) (Bài 27_tr42 Sách tập hình học nâng cao 10) + a uuur b uuur c uuur r HA+ HB+ HC=0 cosA cosB cosC (1.5) - M trùng O tâm đường tròn ngoại tiếp VABC ,ta có kết sau : uuur uuur uuur r + a.cosA.OA+b.cosB.OB+c.cosC.OC=0 uuur uuur (1.6) uuur r + (tanB+tanC)OA+(tanC+tanA)OB+(tanA+tanB)OB=0 uur uur uur r + sin2A.IA+sin2B.IB+sin2C.IC=0 (1.7) (1.8) - M trùng với I1 tâm đường tròn bàng tiếp góc BAC ta có kết sau : uuur uuur uuur r + aI1A+bI1B+cI1C=0 (1.9) uuur uuur uuur r + h I1A+ h I1B+ h I1C=0 (2.0) a b c uuu r uuu r uuu r r + sinA.I1A+sinB.I1B+sinC.I1C=0 (2.1) uuur uuur uuur r - Nếu tam giác ABC đều,ta có Sa MA+Sb MB+Sc MC=0 Gọi D,E,F hình chiếu điểm M đến cạnh BC,CA,AB.Đặt x=MD ;y=ME;z=MF ta : uuur uuur uuur r x MA+yMB+zMC=0 (2.2) uuur uuur uuu r uuur MD + ME + MF = MO (Bài SGK bản) uuur uuur uuu r uuu r r Thật : ( 2.2) � ( x + y + z) MO+MD.OA+ME.OB+MF.OC=0 Từ suy : uuur uuur uuur uuu r r � ( x + y + z ) MO-OA.MD-OB.ME-OC.MF=0 uuur uuur uuur uuu r � 1 � �� a.x + a.y + a.z� MO = h .aMD + h .aME + h .aMF � � � � � 2 � 3 uuur uuur uuur uuu r � ( SOBC +SOAC +SOAB ) MO = SABC MD + SABC ME + SABC MF 3 31 (2.3) Hay uuur uuur uuu r uuur MD + ME + MF = MO ( điều phải chứng minh) � - Nếu M nằm tam giác ABC, chẳng hạn M nằm góc BAC ta có kết quả: uuur uuur uuur r Sa MA+Sb MB-Sc MC=0 uur uur uur Ta thay đổi véc tơ IA , IB ,IC (2.4) 2.1 Với M,N,P trung điểm BC;CA;AB,Ta có : uur uu r uu r uur uu r uur uu r uur uu r IM = IB + IC ; IN = IC + IA ; IP = IA + IC Do : 2 ( ) ( - ( 3) � r cot � cot ) ( ) r uu r r r r A uu B uur uu C uur uu IB + IC + r cot IA + IC + r cot IA + IB = 2 ( ) ( ) ( ) r r A uur B uur C uu IM + cot IN + cot IP = 2 (2.5) (Bài 109 trang 32_200 vơ địch tốn ) uur uu r uur uur uu r uur uu r uur uu r uur uur uu r - IA = IP + IN - IM ; IB = IM + IP - IN ; IC = IM + IN - IP uur uur uu r r uur uu r uu r r � aIA + bIB + cIC = � ( b + c - a ) IM +( a + c - b) IN +( a + b - c) IP = (5) 2.2 Với D,E,F tiếp điểm cạnh BC,CA,AB với đường tròn nội tiếp tam giác A F Từ cách giải 2, ta có Ta có hệ thức: uur DC uu r DB uu r ( P - c) uu r ( P - b) uu r ID = IB + IC = IB + IC BC BC a a uur uu r uu r � aID = ( P - c) IB +( P - a ) IC , B I D E C Tương tự ta có : uu r uu r uur bIE = ( P - a ) IC +( P - c) IA ; ur uur uu r cIF = ( P - b) IA +( P - a ) IB uu r uu r ur uur uu r uu r � aID + bIE + cIF = ( 2p - b - c ) IA +( 2p - c - a ) IB +( 2p - a - b ) IC uur uu r uu r r = aIA + bIB + cIC = uur uu r ur r Như ta có : aID + bIE + cIF = uuu r uur uur r Kết hợp (*) (2.5) ta kết aAD + bBE + cCF = (3.1) (3.2) Nhận xét : Cho M nằm tam giác,gọi D’, E’, F’ hình chiếu M lên cạnh BC, CA, AB Ta có : 32 uur uur ur r aID + bIE + cIF = ID uuuur IE uuuur IF uuuur r � a .MD ' + b .ME ' + c .IMF' = MD ' ME ' MF' uuuur MD ' uuuur MD ' uuur r � a.MD ' + b ME ' + c MF' = ME ' MF' uuuur S b uuuur S c uuur r � a.MD ' + b a ME ' + c a MF' = Sb a Sc a a uuuur b uuuur c2 uuur r � MD ' + ME ' + MF' = Sa Sb Sc A E' F' M B C D' Như ta có mở rộng sau : Bài toán : Cho tam giác ABC M điểm nằm tam giác ,D,E,F hình chiếu M lên cạnh BC,CA,AB.Đặt SMBC = Sa ;SMAC = Sb ;SMAB = Sc Chứng minh rằng: r r a uuur b uuur c uuu MD + ME + MF = Sa Sb Sc (3.3) Đặc biệt : uuur uuur uuu r r Sb Sc MD + Sc Sa ME +Sa Sb MF = - Tam giác ABC ta : uuur uuur uuu r (3.4) r Hay yzMD + zx.ME + xy.MF = (Trong x,y,z khoảng cách từ M lên BC,CA,AB) - M Trùng với trọng tâm G VABC ,ta kết quả: uuu r uuu r uur r a GD + b2 GE + c GF = (3.5) - M Trùng với trực tâm H VABC không vuông,ta kết uuu r uuu r uur r cosA.HD + cosB.HE + cosC.HF = (3.6) - M trùng với O tâm đường tròn ngoại tiếp VABC : uuu r uuu r uur r tan A.OD + tan B.OE + tan C.OF = (3.7) Thông qua tốn tơi cho học sinh thấy từ tốn ban đầu (bài tốn gốc), khai thác phát triển thành toán khác 33 Muốn làm điều em phải suy nghĩ sáng tạo khai thác tốn Sau học này, tơi giao cho học sinh tập sau nhà làm: Bài tập 1: Cho tứ giác ABCD có M,N trung điểm AC, BD I uur uu r uu r uur r trung điểm MN Chứng minh rằng: IA + IB + IC + ID = Bài tập 2: Chứng minh đa giác n cạnh, tổng vectơ nối đỉnh đa giác với trung điểm cạnh không chứa đỉnh vectơkhông Bài tập 3: Cho tam giác ABC với cạnh AB=c,BC=a,CA=b.Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.Chứng minh : aIA + bIB2 + cIC2 = abc Bài tập 4: Cho tam giác ABC Gọi I,r tâm bán kính đường trịn uur uu r uu r r nội tiếp tam giác Chứng minh : arIA + brIB + crIC = Bài tập 5: Cho tam giác ABC Gọi I điểm thỏa mãn : uur uu r uu r r a IA +bIB + gIC = ( a +b+ g�0) 2 Chứng minh : aIA +bIB + gIC = abc +bga + gab ) ( a +b+ g Bài tập : Cho tam giác ABC tâm O, M điểm tam giác Hạ MD, ME, MF vng góc với cạnh BC, CA, AB Chứng minh rằng: uuur uuur uuu r uuur MD + ME + MF = MO ur Bài tập 7: Cho đa giác lồi A1 A2 An ; ei �i �n vectơ đơn vị vng góc với uuuuur Ai Ai 1 An1 �A1 hướng phía ngồi đa giác Chứng minh rằng: ur uu r uu r r A1 A2 e1 A2 A3 e2 An A1 en (Định lí Con nhím) Sau giao tập nhà , yêu cầu học sinh nhà làm để buổi sau thu chấm Kết mong đợi trước tiến hành dạy Có 28/42 học sinh hồn thiện tập cịn lại em hoàn thiện 70% số tập (còn số em lúng túng với tập tập 7) Qua buổi dạy phần hình học tơi thấy hiệu thật lớn Học sinh 34 học tập tích cực, chủ động, sáng tạo, linh hoạt trước toán Mong đồng nghiệp góp ý thêm cho tơi để giảng tơi hồn thiện hiệu KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC Tôi sử dụng đề tài nghiên cứu vào trình dạy học đạt kết tích cực hai mặt định tính định lượng, cụ thể sau: 5.1 Kết định tính Về ý kiến giáo viên dự thực nghiệm: - Đa số giáo viên trí với nội dung thực nghiệm, đặc biệt ủng hộ giải pháp phương thức nêu đề tài cách thức thực đề tài phù hợp với phương pháp dạy học tích cực mà Đảng nhà nước ta tiến hành thực giai đoạn Các thầy đồng tình với phương thức tổ chức dạy học định lí, khái niệm theo hướng vận dụng phát phương pháp dạy học tích cực giúp học sinh hoạt động nhiều, học tập tích cực, chủ động , sáng tạo, linh hoạt Rèn tư sáng tạo, tạo cho học sinh thói quen làm việc có tính khoa học, có tính hệ thống, biết xem xét vấn đề mối quan hệ biện chứng với Về ý kiến học sinh lớp dạy thực nghiệm: Qua quan sát phiếu điều tra sau tiết dạy thực nghiệm học sinh, rút ý kiến phản hồi từ phía em về: nội dung học; lượng kiến thức; mức độ tiếp thu học sau: + Trong tiết học em ý nghe giảng, thảo luận nhiều hơn, em hoạt động, suy nghĩ, tự bày tỏ quan điểm, tham gia vào trình phát giải vấn đề nhiều hơn; tham gia vào trình khám phá kiến tạo kiến thức dựa tảng kiến thức cũ + Khả phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tự, khái qt hóa, đặc biệt hóa, hệ thống hóa học sinh tiến Các em biết quy lạ quen, biết vận dụng kiến thức có vào tốn nâng cao cách linh hoạt, nhuần nhuyễn Vì sau tiết học theo hướng phát vận dụng tốn gốc có liên quan, phần lớn em khơng cịn lo sợ, thiếu tự tin giải 35 tốn khó chưa có thuật giải Điều giúp cho việc tự nghiên cứu, tự học nhà có hiệu Kết định lượng Sau vận dụng sáng kiến vào giảng dạy, bồi dưỡng cho học sinh lớp 10A năm học 2016-2017, điều tra thu kết cụ thể sau: Lớp 10A Sĩ số Số học sinh tự học 42 (có tính tư duy) 30 (71%) Số học sinh tự học (chưa phát huy tính tư duy) 12 (29%) Như so với chưa áp dụng đề tài, số học sinh tự học có tư giải tốn tăng lên đáng kể, số học sinh tự học chưa có tư giải tốn giảm rõ rệt Và kết mà mong đợi trước áp dụng đề tài Trong thực tế giảng dạy toán khối 10 năm đặc biệt học sinh lớp 10A (lớp có nhiều học sinh khá, giỏi) việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán, với cách làm bước đầu mang lại hiệu cao việc rèn luyện lực tu giải toán cho học sinh Cụ thể đa số em học sinh thực có hứng thú học tốn, độc lập tìm tịi nhiều cách giải khác mà không cần gợi ý giáo viên Các em lại cần gợi ý số trường hợp, song khả nhìn nhận cải thiện đáng kể Qua đề tài sáng kiến kinh nghiệm này, mong muốn em có tư sáng tạo giải toán khác ĐIỀU KIỆN ĐỂ SÁNG KIẾN ĐƯỢC NHÂN RỘNG Tơi thiết nghĩ đề tài áp dụng để giảng dạy phù hợp cho đối tượng học sinh giỏi, vận dụng cho việc dạy khóa ngoại khóa tiết luyện tập, dạy chuyên đề, dạy bồi dưỡng học sinh giỏi Đề tài sử dụng để dạy làm tài liệu tham khảo tốt cho học sinh ôn thi ĐH – CĐ, thi THPT Quốc Gia, thi học sinh giỏi, tính ứng dụng thực tiễn đề tài Tuy nhiên cần lưu ý áp dụng vào giảng dạy tùy 36 vào tiến độ chương trình khóa đối tượng học sinh để giáo viên lựa chọn hệ thống tập phương pháp giải cho phù hợp KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1- Kết luận Khi thực đề tài, đưa yêu cầu học sinh dựa vào cách học tự nghiên cứu trước nhà thảo luận nhóm nhỏ sau tơi hồn chỉnh giúp em buổi học Nhờ học sinh từ học thụ động bước đầu chủ động hình thành tri thức cách tự học Qua việc nghiêm cứu tiến hành dạy thử nghiệm đồng thời lấy ý kiến học sinh, thấy: - Bản thân nắm rõ ràng hệ thống kiến thức chương trình tốn lớp 10 Và có nhiều kinh nghiệm hướng đẫn học sinh giải toán - Học sinh hiểu rõ khắc sau kiến thức hơn, bước đầu chịu khó suy nghĩ tìm tịi khai thác, phát triển toán - Đề tài kích thích tính tị mị, khả ham thích học tập mơn, dần hình thành khả tư sáng tạo, tự giác học tốt mơn tốn Hình thành óc thẩm mỹ, linh hoạt, nhạy bén, tích cực tư duy, học tập hoạt động khác Dần hình thành em tình cảm người, với khoa học, với đất nước đến tính tích cực sáng tạo học tập đời sống Và qua đề tài này, thấy với cách chủ động tự nêu vấn đề giải vấn đề có giúp đỡ giáo viên giúp học sinh có hứng thú học giúp học sinh có thói quen suy nghĩ giải tốn nhiều góc độ khác thơng qua tốn đơn giản tư khái qt hóa để làm tốn khó hơn, tổng quát Khuyến nghị - Đối với nhà trường: Thường xuyên động viên giáo viên tích cực viết áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy Ln đề cao vai trị đổi phương pháp giảng dạy để phát triển, bồi dưỡng lực tư cho học sinh.Tôi mong đồng 37 nghiệp áp dụng vào dạy cho khối lớp khác nhằm thu hút em học sinh niềm đam mê học tập mơn tốn Phổ biến tới toàn thể giáo viên nhà trường biết nội dung sáng kiến hay, đề tài có nhiều ứng dụng thực tế giảng dạy Tăng thời gian luyện tập toán nâng cao, toán tổng hợp tiết luyện tập, tiết tự chọn theo phân phối chương trình, buổi học ơn tập, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi trường Trong dạy học, giáo viên cần bám sát chuẩn kiến thức kĩ năng, nhấn mạnh kiến thức trọng tâm Trong q trình dạy, sau dạng tốn giáo viên cần cung cấp cho học sinh toán có liên quan để học sinh luyện tập, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh thấy liên hệ tốn với để từ hình thành kĩ luyện cho học sinh tư tốn học như: trừu tượng hóa, khái qt hóa, tượng tự hóa - Đối với cấp lãnh đạo cấp trên: Sở GD&ĐT thường xuyên bồi dưỡng cho giáo viên kĩ xây dựng thực đề tài sáng kiến Với sáng kiến có chất lượng nên tiến hành phổ biến tới giáo viên tồn tỉnh nhằm giúp giáo viên có điều kiện tiếp cận với nhiều sáng kiến hay đồng nghiệp để học hỏi kinh nghiệm Đề tài thân tơi đồng nghiệp đơn vị thí điểm em có học lực từ trở lên Kết thu khả quan, em học tập cách say mê hứng thú Một số em đạt thành tích tốt qua đợt thi học sinh giỏi vừa qua Dù cẩn thận chuyên tâm nghiên cứu, thời gian hồn thiện sáng kiến có hạn nên khơng tránh khỏi sai sót Rất mong đồng nghiệp quan tâm đóng góp ý kiến để đề tài tốt ứng dụng thực tiễn dạy học đạt hiệu cao Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, bạn đồng nghiệp tổ Toán – tin góp ý giúp đỡ tơi hồn thành sáng kiến Tôi xin chân thành cảm ơn ! Hải Dương, ngày 23 tháng 03 năm 2017 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO Rèn luyện khả sáng tạo tốn học trường phổ thơng, Hồng Chúng (1969), Nxb Giáo dục, Hà Nội Đại số 10, Trần văn Hạo (Tổng chủ biên), Vũ Tuấn(Chủ biên), Doãn Minh Cường,Đỗ Mạnh Hùng, Nguyễn Tiến Tài,Nxb Giáo dục Việt Nam Hình học 10, Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên), Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), Nguyễn Văn Đoành, Trần Đức Huyên, Nxb Giáo dục Bài tập đại số 10, Vũ Tuấn(chủ biên), Đoàn Minh Cường, Trần Văn Hạo, Đỗ Mạnh Hùng, Phạm Phu, Nguyễn Tiến Tài, Nxb Giáo dục, Hà Nội Phương pháp dạy học mơn Tốn, Nguyễn Bá Kim (2002), Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội Giải toán nào, Polya G (1997), Nxb Giáo dục, Hà Nội Toán học suy luận có lí, Polya.G (1995), Nxb Giáo dục, Hà Nội “Bồi dưỡng học sinh giỏi THPT lực huy động kiến thức giải tốn”, Đào Tam (2000), Tạp chí Nghiên cứu Giáo dục Phương pháp dạy học hình học trường trung học phổ thông, Đào 11 Tam (2005), Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội Một số phương pháp chọn lọc giải tốn sơ cấp, Phan Đức Chính (2000), Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội Các giảng luyện thi mơn tốn, Phan Đức Chính (2001), Nhà xuất 12 Giáo dục Đổi phương pháp dạy học, chương trình sách giáo khoa, Trần 14 Bá Hoành (2007), Nxb Đại học Sư phạm, Hà Nội Ngồi đề tài cịn tham khảo đề thi, tạp chí, số tài liệu 10 lấy từ số websise mạng internet MỤC LỤC Nội dung 39 Trang THƠNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN TĨM TẮT SÁNG KIẾN MƠ TẢ SÁNG KIẾN 1.Hồn cảnh nảy sinh sáng kiến 2.Cơ sở lý luận vấn đề 3.Thực trạng vấn đề 4.Các giải pháp, biện pháp thực 4.1 Điều tra 4.2 Quá trình thực 4.2.1 Phần đại số 4.2.1.1 Bài toán gốc 4.2.1.2 Vận dụng khai thác bất đẳng thức ( x y)( y z )( z x) �8 xyz 4.2.1.3 Vận dụng khai thác bất đẳng thức abc �(b c a )(c a b)(a b c) (a,b,c cạnh tam giác) 4.2.1.3 Vận dụng khai thác bất đẳng thức abc �(b c a)(c a b)(a b c) (a,b,c số thực dương) 4.2.2 Phần hình học 4.2.2.1 Bài tốn gốc 4.2.2.2 Bài toán gốc Kết đạt Điều kiện để sáng kiến nhân rộng KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 6 11 11 12 13 13 15 17 18 24 24 27 34 35 36 38 ... trình bày toán quan trọng hướng cho em nhìn nhận tốn theo nhiều chiều hướng, tơi mạnh dạn chọn đề tài: ? ?Phát triển toán thành toán nhằm phát huy lực tư học sinh khá, giỏi chương trình tốn 10? ?? CƠ... điều tra học sinh lớp 10 năm học 2014-2015 nhận thấy sau: Lớp 10B Sĩ số 40 Số học sinh tự học Số học sinh tự học (chưa phát (có tư duy) 11 HS (27.5 %) huy tính tư duy) 29HS (72.5 %) CÁC GIẢI... bồi dưỡng cho học sinh lớp 10A năm học 2016-2017, điều tra thu kết cụ thể sau: Lớp 10A Sĩ số Số học sinh tự học 42 (có tính tư duy) 30 (71%) Số học sinh tự học (chưa phát huy tính tư duy) 12 (29%)