SKKN phát huy năng lực tư duy của học sinh thông qua khai thác và phát triển bài tập toán

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH HÀ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT HUY NĂNG LỰC TƯ DUY CỦA HỌC SINH THÔNG QUA KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TẬP TOÁN Tổ trưởng: Nguyễn Thị Mai Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THCS Nguyễn Thiếp Thạch Hà, tháng 10 năm 2016 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH HÀ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT HUY NĂNG LỰC TƯ DUY CỦA HỌC SINH THÔNG QUA KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TẬP TOÁN Họ tên: Nguyễn Thị Thanh Hoa Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THCS Nguyễn Thiếp Thạch Hà, tháng 10 năm 2016 A ĐẶT VẤN ĐỀ: I Lý chọn đề tài Ở trường phổ thơng xem việc giải tốn hình thức chủ yếu học tốn Để dạy học sinh giải tập tốn khơng đơn giúp học sinh có lời giải tốn đó, mà cần giúp học sinh cách suy nghĩ tìm tòi lời giải Đó q trình suy luận nhằm khám phá quan hệ lô gic cho (giả thiết) phải tìm (kết luận) Nhưng thực tế quy tắc suy luận, phương pháp chưa thể cách tường minh Đó nguyên nhân gây khó khăn cho học sinh giải tập Các em thường tự đúc kết tri thức, phương pháp cần thiết cho đường kinh nghiệm Để có kỹ giải tập phải qua trình luyện tập, nhiên khơng phải giải nhiều tập có kỹ Việc luyện tập hiệu biết khéo léo khai thác từ tập sang tập tương tự nhằm vận dụng tính chất, rèn luyện phương pháp Qua thực tế giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhận thấy hầu hết tốn khó phức tạp khai thác phát triển từ tốn mà ta gọi “Bài toán bản”, chúng gây khơng khó khăn cho học sinh, kể nhiều thầy cô giáo Một nguyên nhân gây nên khó khăn chưa tìm mối liên hệ toán với tốn Với trăn trở đó, tơi xin mạnh dạn nêu kinh nghiệm khai thác phát triển tập toán đại số chương trình Đại số lớp nhằm giúp em học sinh phát triển thêm lực giải toán với đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Phát huy lực tư học sinh thông qua khai thác phát triển tập toán” II Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Khai thác phát triển toán a2 – ab + b2 ≥ phạm vi chương trình bồi dưỡng Tốn lớp III Mục tiêu, nhiệm vụ nghiên cứu - Giúp học sinh giải tốt số tập chứng minh bất đẳng thức - Phát triển lực tự học, biết liên kết, mở rộng, khai thác tốn từ chủ động giải tốn góp phần phát triển lực sáng tạo tư lô gic IV Giải pháp nghiên cứu Từ khó khăn việc giải tập học sinh, đặc biệt qua trình làm thi kì thi học sinh giỏi, tơi tiến hành phân tích ngun nhân dẫn đến kết học tập chưa cao học sinh từ nghiên cứu tài liệu, đề thi học sinh giỏi năm đưa giải pháp khắc phục: - Dạy tốt kiến thức cho học sinh - Tạo thói quen cho học sinh khai thác, mở rộng, tìm tòi tốn từ tốn V Tính đề tài Để dạy phần chứng minh bất đẳng thức, so với trước dạy lí thuyết sau cho học sinh làm tập vận dụng hướng dẫn học sinh khai thác để tạo tập tốn hay từ tập quen thuộc Vì nhiều tập tưởng chừng khó lại trở nên gần gũi với em học sinh B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: I Cơ sở lý luận Học sinh làm quen với bất đẳng thức từ tiểu học dạng toán so sánh hai số, đến lớp em nghiên cứu bất đẳng thức cách hệ thống từ định nghĩa, tính chất bất đẳng thức: a) Định nghĩa: Bất đẳng thức hệ thức có dạng a < b (hay a > b, a ≥ b, a ≤ b) b) Tính chất: - Tính chất bắc cầu: Nếu a > b b > c a > c - Tính chất cộng hai vế với số: a > b ⇔ a + c > b + c - Tính chất nhân hai vế với số khác 0: a > b ⇔ ac > bc với c > a > b ⇔ ac < bc với c 0 y > y +x ≥ (dấu xảy x = y) ta có: x4 y4 x y x y + − − + + ≥2 y4 x4 y x y x Ta có tốn sau: Bài 7: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x4 y4 x y x y + − − + + y4 x4 y x y x Cũng từ đẳng thức x2 – xy + y2 ≥ 0, khai thác dạng khác: ( x − y) Nhận xét 8: Từ bất đẳng thức (*): x – xy + y ≥ 0, mà 2 y khác 0, ta có: ( x − xy + y ) ⇔ ( x − y)2 x2 y 2 x2 y2 ≥ với x, ≥0 x − xy + y x − xy + y ≥0 xy xy x y x y  + − 1÷  + − ÷ ≥ y x y x  ⇔  x y  x y  x y ⇔  + ÷ −  + ÷−  + ÷+ ≥  y x  y x  y x ⇔  x y x2 y 2 + −  + ÷+ ≥ y x  y x Ta có tốn sau: Bài 8: Cho x, y hai số thực khác Chứng minh rằng:  x y x2 y2 + −  + ÷+ ≥ y2 x2  y x Nhận xét 9: Từ bất đẳng thức (*): x – xy + y ≥ 0, mà y khác 0, ta có: ( x − xy + y ) ⇔ ( x + y)2 x2 y 2 ( x + y) x2 y 2 ≥ với x, ≥0 x − xy + y x + xy + y ≥0 xy xy x y x y  + − 1÷  + + ÷≥ y x y x  ⇔  x y  x y  x y ⇔  + ÷ +  + ÷−  + ÷− ≥  y x  y x  y x x2 y  x y  ⇔ + +  + ÷≥ y x  y x Ta có toán sau: Bài 9: Cho x, y hai số thực khác Chứng minh rằng: x2 y2 x y + + + ≥0 y2 x2 y x Nhận xét 10: Từ bất đẳng thức (*): x2 – xy + y2 ≥ ta có bất đẳng thức: x + xy + y ≥ (**), mà 2 (x + xy + y ) ( x − y) x2 y 2 ≥ với x, y khác 0, ta có: (x - y) ≥0 x y2 x + xy + y x − xy + y ⇔ ≥0 xy xy x y x y  + + 1÷  + − ÷≥ y x y x  ⇔  x y  x y  x y ⇔  + ÷ −  + ÷+  + ÷− ≥  y x  y x  y x ⇔ x2 y  x y  + −  + ÷≥ y2 x2  y x  ⇔ x2 y x y + ≥ + ta có toán mới: y x2 y x Bài 10: Cho a, b hai số thực khác 0, chứng minh rằng: x2 y2 x y + ≥ + y2 x2 y x Nhận xét 11: Từ bất đẳng thức (**): x + xy + y ≥ mà 2 ( x + y) x2 y 2 ≥ với x, y khác 0, ta có: (x + xy + y ) (x + y) ≥0 x y2 ⇔ x + xy + y x + xy + y ≥0 xy xy x y x y  ⇔  + + 1÷  + + ÷ ≥ y x y x   x y  x y  x y ⇔  + ÷ +  + ÷+  + ÷+ ≥  y x  y x  y x ⇔ x2 y  x y  + +  + ÷+ ≥ ta có toán mới: y2 x2  y x  Bài 11: Cho a, b hai số thực khác 0, chứng minh rằng: x2 y2  x y  + +  + ÷+ ≥ y2 x2  y x  Nhận xét 12: Nếu a, b số dương theo tốn ta có: a2 + ab + b2 > Nếu cho thêm giả thiết a + b ≥ ta có: (a + b)(a2 + ab + b2) ≥ 2(a2 + ab + b2) ⇔ a3 + b3 ≥ (a2 – 2ab + b2) + (a2 + b2) ⇔ a3 + b3 ≥ (a - b)2 + (a2 + b2) ⇔ a3 + b3 ≥ a2 + b2 Ta đến toán sau: Bài 12: Chứng minh a + b ≥ a, b> thì: a3 + b3 ≥ a2 + b2 Trên số tập khai thác từ bất đẳng thức a2 – ab + b2 ≥ Bằng cách tương tự tạo nhiều tập có nội dung phong phú IV Kết đạt Sau hướng dẫn cho học sinh cách khai thác toán nhận thấy em hứng thú học tập nói chung giải tốn nói riêng Các em thấy tầm quan trọng việc nắm vững kiến thức có nhìn sâu sắc tập Với cách tìm tòi khai thác tập toán trở nên dễ dàng với em, mơn tốn học khơng khơ khan người ta thường hay nói Từ việc khai thác sâu tốn bản, biết xâu chuỗi toán nhỏ lại với nhau, em tự tin để giải nhiều tốn khó, tự sáng tạo nhiều tập hay với bất đẳng thức mà cho chuyên đề khác Cụ thể: + 100% học sinh định hướng phương pháp giải toán tương tự 10 + Có đến 80% học sinh tự sáng tạo tốn cách thay đổi giả thiết kết luận toán + Các em có nhìn sâu sắc giải tốn, ln có thói quen tìm tòi, khai thác toán, mối liên hệ toán xét với toán học, … C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Trong trình dạy học tốn, việc tìm lời giải tốn khơng mục đích mà sở để đề xuất toán Phát triển kết công việc thú vị người làm toán Từ kết đơn giản ban đầu, phát triển thông minh sáng tạo, ta đến kết bất ngờ sâu sắc Sáng kiến kinh nghiệm hoàn thành nhờ việc nghiên cứu từ sách tham khao, từ số đề thi Các tập đề tài xây dựng hệ thống lơgic nhằm ứng dụng từ tốn bất đẳng thức, thơng qua giúp học sinh giải tốt tập chứng minh đẳng thức số toán liên quan đồng thời phát triển tư khái quát lực sáng tạo học toán học sinh Sau triển khai dạy học theo phương pháp khai thác phát triển tập toán vào dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp năm học 20152016 thấy học sinh hứng thú phương pháp học tập Giờ em có phương pháp học toán hiệu quả, em tự tin bước vào phòng thi, 5/5 học sinh đạt học sinh giỏi cấp huyện mơn tốn với giải nhì giải ba Kiến nghị * Đối với giáo viên: + Người giáo viên phải hiểu vấn đề cách sâu sắc Vì vậy, giáo viên phải khơng ngừng nâng cao trình độ cho thân, phải ln học hỏi, tìm tòi, đào sâu suy nghĩ toán, phân dạng, xâu chuỗi khai thác toán theo hướng khác Giáo viên cần chủ động phát toán có nhiều ứng dụng tập hợp ứng dụng đó, viết thành tư liệu dành cho học sinh tham khảo Đó phương pháp mang lại hiệu cao công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán + Giáo viên cần rèn luyện cho học sinh có kỹ thường xuyên lưu ý; liên hệ toán “mới” với toán biết, giúp học sinh phát rằng, tốn khơng em nhanh chóng xếp loại tốn, từ định hướng phương pháp giải 11 + Nên tạo tập tốn đa dạng phong phú (với mục đích vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ năng, kiểm tra lực toán học, ) để phù hợp với phương pháp dạy học đổi theo hướng tích cực, độc lập, sáng tạo * Đối với học sinh: Cần tăng cường tự đọc nghiên cứu tài liệu nhằm tìm tòi xâu chuỗi tập dạng để bước đầu hình thành lực tổng hợp,khái quát từ phát triển tư sáng tạo để khai thác tập theo nhiều khía cạnh khác * Đối với cấp quản lý giáo dục: Tăng cường việc triển khai chuyên đề mang tính định hướng khai thác kiến thức để xây dựng hệ thống tập tương ứng, nhằm giúp thầy giáo em học sinh có nhìn xuyên suốt hệ thống tập chương trình Tốn phổ thơng Trên số cách khai thác phát triển tập toán từ tốn cho trước với mong muốn đóng góp phần nhỏ vào q trình đổi nội dung, phương pháp dạy học toán trường Trung học sở nhằm giúp học sinh phát triển tư tốn học cho học sinh Do trình độ có hạn kinh nghiệm chưa nhiều nên chắn đề tài có hạn chế, thiếu sót, mong đóng gớp ý kiến q thầy bạn đọc để đề tài hoàn thiện có tác dụng Tơi xin chân thành cảm ơn! 12 ... kinh nghiệm: Phát huy lực tư học sinh thông qua khai thác phát triển tập toán II Đối tư ng, phạm vi nghiên cứu Khai thác phát triển toán a2 – ab + b2 ≥ phạm vi chương trình bồi dưỡng Toán lớp III...PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THẠCH HÀ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT HUY NĂNG LỰC TƯ DUY CỦA HỌC SINH THÔNG QUA KHAI THÁC VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TẬP TOÁN Họ tên: Nguyễn Thị Thanh Hoa Chức... dụng từ toán bất đẳng thức, thơng qua giúp học sinh giải tốt tập chứng minh đẳng thức số toán liên quan đồng thời phát triển tư khái quát lực sáng tạo học toán học sinh Sau triển khai dạy học theo