T«i cµng hoµn thiÖn h¬n trong nghÒ d¹y häc./.[r]
(1)I ĐẶT VẤN ĐÊ
“Phương trình vô ty” là một những phương trình được sử dụng nhiều
trong chương trình các lớp cuối cấpTHCS đặc biệt là các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp cũng thi tuyển sinh vào lớp 10, thi vào trường chuyên lớp chọn thì phương trình vơ ty thường xun x́t hiện.Qua thùc tiƠn d¹y häc cho thấy học sinh gặp nhiều khó khăn giải phương trình vô ty,cơ bản khó khăn lớn nhất là
việc phân tích để tìm phương pháp giải ,do nhiều nguyên nhân phần thì công cụ giải toán các em mới được trang bị ít, phần thì ở lớp giáo viên chưa chú trọng hướng dẫn các em tìm tòi lời giải một cách khoa học Khi gặp một phương trình vô ty các em chỉ xoay quanh mấy phương pháp nâng lên luỹ thừa,đưa về tích.Qua thực tế giảng dạy cũng bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi vào lớp 10 nhận thấy phương pháp giải phương trình vô ty bằng phương pháp đặt ẩn phụ đem lại hiệu quả khá cao mà không gây khó khăn lắm cho học sinh
Với mục đích góp phần mặt phương pháp: Rèn luyện tư duy, tính sáng tạo, phương pháp nhận thức toán học cho học sinh trường THCS
II GIẢI QUYẾT VẤN ĐÊ
Khi nào thì một phương trình vô tỷ giải được bằng phương pháp đặt ẩn phu
Giáo viên cho học sinh ghi nhớ điếu sau đây
Chỉ những bài toán mà giữa các đại lượng tham gia bài toán có một mối liên hệ nào đó ( được biểu diễn bởi các hệ thức toán học) mà nhờ các mối liên hệ này, các đại lượng này biểu diển được qua các đại lượng kia( hoàn toàn hoặc không hoàn toàn mới có khả dùng được ẩn phụ
Có những bài toán thì mối liên hệ này nhìn thấy rõ cũng có những bài toán thì mối liên hệ này "ẩn nấp" khá kín đáo mà ta tưởng chừng không có mối liên hệ nào, cũng có những bài toán thì qua quá trình biến đổi mới xuất hiện ẩn phụ trường hợp này người giải toán phải tinh vi theo giỏi sát mới có thời nhìn thấy ẩn phụ
Các bước để giải bài toán bằng cách đặt ẩn phu là
Bước 1: Xuất phát từ bài toán đã cho, chọn ẩn phụ thích hợp rồi chuyễn bài toán đã cho về bài toán ẩn phụ (bài toán ẩn phụ dễ giải bài toán đã cho)
Bước2: Tìm ẩn phụ rồi tìm ẩn ban đầu Da
̣ng 1 : Chuyển các bài toán một phương trình một ẩn x thành các bài toán một phương trình một ẩn t
Vi ́ d u
Giải PT : 3x2 +3x - x2 x
- =
ĐK:x hoặc x
Cho HS quan sát mối liên hệ giữa biểu thức dưới dấu và biểu thức chứa biến còn lai ta thấy x2 +x = 3(x2 +x)
Đặt x2 x
(2)<=> t1 = 1; t2 =
-1 loại
Trở lại tìm x ta giải
x x =
Vi ́ d u
Giải PT: x2 2x 2x2 4x 8 20
Nhận xét : Các biểu thức có mặt PT có mối liên hệ với vì vậy để làm xuất hiện ẩn phụ ta đưaphương trình về dạng
2x2 +4x + - 2 2x2 4x 8 48 0
Đặt 2x2 4x 8
= t
Phương trình đã cho trở thành: t2 - 2t - 48 = <=> t
1 = 8; t2 = - loại Trở lại tìm x ta giải các phương trình sau
• 2x2 4x 8
=
Vi ́ d u
GiảiPT: (5 6)x
+ (5 6) x = 10
Nhận xét: Quan sát biểu thức dưới ta thấy
(5 6) (5 6) = nên (5 6) =
5 6
Đặt (5 6)x
= t thì (5 6) x =
t Phương trình trở thành: t +
t = 10
t2 - 10t +1 = <=> t
1 = (5 6) ; t2 = (5 6)
•Với t = t1 = (5 6) thì (5 6) x = < => x =
•Với t = t2 = (5 6) thì (5 6) x = (5 6) =
5 6 =
2
(5 6)
< => x = -2
Vi ́ d u
GiảiPT: 1
2
x x x =
Đk: x
4
Đặt
4
x = t 0 => x = t2 -
4 thay vào phương trình đã cho ta được:
t2 - 1
4 +
2
1 ( )
2
t =
<=> 4t2 +4t + = 0 <=> t1 = 2
2
thoả mãn ; t
2 = 2
2
< loại •Với t = t1 = 2
2
thì
x = 2
<=> x = -
2
(3)Giải PT: x3 1
= x2 + 3x -
ĐK: x
Nhận xét: Ta thấy (x - )( x2 + x +1) = x3 - 1 2(x - ) + ( x2 + x +1) = x2 + 3x -
Đưa phương trình đã cho về dạng:
1 x + x +1
x = 2(x - ) + ( x2 + x +1) để làm
xuất hiện ẩn phụ ta chia vế cho x2 + x +1 > ta được
x -
x + x +1 = 2 x -
x + x +1 +
Đặt 2x -
x + x +1 = t Phương trình trở thành: 2t
2 - t + = phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm
Vi ́ d u
Giải PT: 5x2 14x 9
- x2 x 20 = x1 (1)
ĐK: x 5
Phương trình (1) tương đương với 5x2 14x 9
= x2 x 20 + x1
Do vế không âm, bình phương vế rồi thu gọn ta được 2x2 - 5x +2 = 5 (x2 x 20)(x 1)
(2)
Nếu đặt ĐK rồi bình phương vế thì thu được phương trình bậc việc giải sẽ gặp khó khăn
Ta thấy: x2 x 20
= (x +4)(x - 5)
(x2 x 20
)(x + 1) = (x +4)(x - 5)(x + 1)
= (x + 4)(x2 - 4x - 5) Còn 2x2 - 5x +2 = 2(x2 - 4x - 5) +3(x +4) (2) <=> 2(x2 - 4x - 5) +3(x +4) = 5
x - 4x - x4
Với x 5 nên x + > chia vế của phương trình cho x +4 ta được:
2.x - 4x - 5 x - 4x - x +4 x +4
Đặt x - 4x -
x +4 = t Phương trình ẩn t có dạng : 2t
2 - 5t +3 = <=> t1 = 1; t2 =
3
Lần lượt giải các phương trình • x - 4x -
x +4 = • x - 4x -
(4)Vi ́ d u
GiảiPT: x 2 x 1 3
ĐK: x -1
x 2 x 1 3
<=>3 x 2 3 x 1
<=>x 2 (3 x 1)3
<=> (x 1)3 8(x 1) 27 x 1 30 0
Đặt x1 = t 0 phương trình đã cho trở thành
t3 8t2 27t 30 0
<=> (t -2)(t2 -6t + 15 ) = 0 <=> t =2 vì t2 -6t + 15 > 0
Với t = thì x1 = <=> x =
Dạng 2: Chuyển các bài toán một phương trình một ẩn x thành các bài toán một phương trình ẩn t hệ số vẩn còn ẩn x
Có những phương trình mà chọn được ẩn phụ thì các biểu thức chứa ẩn còn lại không biểu diển được triệt để qua ẩn phụ hoặc nếu biểu diển được thì công thức biểu diển quá phức tạp trường hợp này ta chấp nhận để phương trình ở dạng chứa ẩn phụ hệ số vẩn chứa ẩn x
Ví du8: Giải phương trình (4x - 1) x2 1
= 2x2 +2x +1
Để khử tính vô ty ta đặt x2 1
= t 1 <=> t2 = x2 +1 để làm xuất hiện t2 = x2 +1 ta
biến đổi phương trình về dạng: (4x - 1) x2 1
= 2(x2 +1) + 2x -
<=> (4x - 1)t = 2t2 + 2x - 1
<=> 2t2 - (4x - 1)t + 2x - = là phương trình ẩn t vẩn còn chứa x
= (4x - 1)2 - 8(2x - 1) = (4x - 3)2 Phương trình ẩn t có nghiệm là t =
2 (4x - 1) (4x - 3)
1
4
2 x
Trở về tìm x ta giải phương trình sau
1
x = 2x -
<=> 2
2
1
2x - 4
2
3 = (2x - 1) 3 4 0
x
x
x x x
Ví du9 Giải phương trình : x1 -1 = 3x +2 1 x+ 1 x2 (1)
ĐK: -1 x
Đặt 1 x = t => t 2 nên t2 = - x nhằm làm xuất hiện t2 = - x ta biến đổi
phương trình về dạng: (1)<=> x1 - - 2x + (1 - x) = 1 x + 1 x 1x
Với ẩn t phương trình (1) trở thành t2 - (2 + 1 x
)t - (1 +x - 1x) = (2)
(5)Ta có t = (3 1+x - 2)
2 2 1
t x
x
t x
Trở về tìm x ta giải:
• 1 x = 1x <=> x = -
5 thoả mản • 1 x = 2 1x <=> x = thoả mản
Ví du 10: Giải phương trình : 2(1- x) x2 2x 1
= x2 - 2x - (1)
ĐK:
2
( 1)( 12 36) 36 -1 x <
x x x
x 1 hoặc x 1
đặt x2 2x 1
= t => t2 =x2 + 2x - nhằm làm xuất hiện t2 =x2 + 2x -
ta biến đổi (1)<=>2(1- x) x2 2x 1
= (x2 + 2x - 1) - 4x
ta thu được phương trình ẩn t: 2(1- x)t = t2- 4x <=> t2 - 2(1- x)t - 4x =
<=> tt22x
Trở về tìm x ta giải • x2 2x 1
=
• x2 2x 1
= 2x
Ví du 11: Giải phương trình x2+ x +12 x 1
= 36 (1)
x -1 Ta thấy x = không phải là nghiệm của phương trình đã cho
ta xét 0x -1 Đặt x1 = t => t2 = x+1
(1) <=> x(x + 1) + 12 x1 - 36 =
<=>xt2 +12t - 36 = (2) là phương trình bậc hai ẩn tmà hệ số vẩn còn chứa x
,
= 36 +36x = 36(1+x) = 36t2
t 6t x
Trở về tìm x ta giải các phương trình
• t 6 6tx <=> xt + 6t = -6
<=> (x + 6) t = - vô nghiệm x + > 0,t =>(x + 6) t
• t 6t
x
<=> xt = 6t -
<=>6 = ( - x ) t Với x = không thoả mãn
Với x ta có t =
6 x
<=>
2
( 1)( 12 36) 36
1
x x x
x
(6)<=>
( 11 24)
1
x x x
x
<=> x =
Dạng 3: Chuyển các bài toán một phương trình một ẩn x thành các bài toán một hệ phương trình nhiều ẩn, hoặc phương trình nhiều ẩn
Ví du 12
Giải PT (5 ) ( 3)
5
x x x x
x x
ĐK: x Để khử tính vô ty ta đặt 5 x = t; x = u
Ta có hệ
2
2
2
0
0
2
u t u x
ut
t x
u ut t
Ví du 13
Giải PT 31 x 31 x 1
Dễ thấy 1+ x + - x = Để khử tính vô ty ta đặt
3 3 1 1
x t t x
x u u x
Ta có hệ: 3 2
1
2
t u t u
t u t tu u
1
3
t u u u <=> Ví du 14 Giải PT
3
x + 10 x2 =
ĐK: 10 x 10
Đặt
3
x = t => t nên t2 = x +
10 x = m =>0m 10 nên m2 = 10- x
Ta có hệ
2 2
5
13 ( ) 13
5
6
t m t m
t m t m mt
t m t
mt m hoặc t m
Trở về tìm x ta giải các hệ sau •Với
2
2
3 10
t x m x
• Với
2
3
2 10
t x m x
Ví du 15 Giải PT x 9
(7)Đăt
3 9
x- = m
x t
=> t
3 = x - nên m = t3 + 6 Từ (1) ta lại có t = m3 + từ đó ta có hệ:
3
t = m + m = t +
(2)
(2) 3
3 2
t = m + t = m +
t - m = m - t (t - m)(t +m +mt + 1) =
Giải hệ này ta thu được t = m = -2 Trở về tìm x ta giải hệ
•
3 9 2
x- = -2 x
=> x = là nghiệm của phương trình
Ví du 16 Giải PT 24 x
+ 12 x =
ĐK: x 12
Đặt
3
2
24 = t 24 = t 12 12 x x x m x m
ta có hệ
t +m =6 t m 36
Giải hệ này ta thu được các nghiệm (t;m) là (0;6) ; (3;3); ( -4 ; 10) Trở lại tìm x ta giải các hệ:
•
324 = 0
12 x x •
324 = 3
12 x x •
324 = -4
12 10 x x
Giải các hệ này ta được các nghiệm của phương trình là x = -24; x = 3; x = -88
Ví du 17 Giải PT x2 3x 3
+ x2 3x6 =
ĐK: vói mọi x Đặt
2
3 3
x x t
x x m
Ta có hệ 2
3 t m m t
Giải hệ nayy ta thu được t = 1; m =
Trở về tìm x ta giải hệ •
2
3 3
x x x x <=> 2
3 3
x x x x
=> x = 1; x =
Ví du 18 Giải PT 1x+ 8x + (1x)(8x) =
(8)Đặt
2
1
8
8
x t x t
x m x m
Ta thu đươc hệ:
2 9
3
t m
t m tm
Giải hệ này ta được nghiệm (t;m) là (0;3) và (3;0) Trở về tìm x ta giải các hệ sau:
•
8
x x
•
8
x x
Ta tìm được phương trình có hai nghiệm là x = - và x =
Ví du 19
Giải Phương trình:
1 2( 1) 1 x x x x x
ĐK: -1 x
Để khử tính vô ty ta đặt m = x1 ; t = 1 x
phương trình trở thành ( m - t)2 + m(m - t) +( m - t) = o <=> ( m - t)(2m - t + ) =
<=> m = t; 2m +1 = t
Với m = t thì : x1 = 1 x
<=> x =
Với 2m + = t thì: x1 + = 1 x
<=> x = 25
24
III KÕt luËn.
Trên việc làm nhỏ nhoi thân trình dạy học Khảo sát cho thấy với cách làm em hứng thú học tập hơn, tự tin em khá, giỏi biết đào sâu suy ngh , i học tọ̃p mụ̣t cách khoa h c tìm kiếm phát rao vấn đề thụ vị, h/s "hơi khá" biết tổng hợp tập dạy, xâu chuổi kiến thức để ôn tập cách khoa học
Tôi nhận việc làm đáp ứng đợc chút kiến thức kho tàng phương trình ''vụ ty" cần phải học hỏi nhiều, nhiều đồng nghiệp tài liệu… hy vọng đợc dìu dắt đồng nghiệp để Tơi hồn thiện nghề dạy học./