Đề tài Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ

Vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải phương trình vô tỉ là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần [r]

Trường THCS Nguyen TAT Thanh PhÇn I: Lý nghiªn cøu 1-Cơ sở lý luận: Trong quỏ trỡnh phỏt triển ,xã hội luôn đề yêu cầu cho nghiệp đào tạo người Chính vì mà dạy toán không ngừng bổ xung và đổi để đáp ứng với đời nó và đòi hỏi xã hội Vì người giáo viên nói chung phải luôn luôn tìm tòi ,sáng tạo ,đổi phương pháp dạy học để đáp ứng với chủ trương đổi Đảng và Nhà nước đặt Trong chương trình môn toán các lớp THCS kiến thức phương trình vô tỉ không nhiều song lại quan trọng đó là tiền đề để học sinh tiếp tục häc lªn ë THPT Khi giải toán phương trình vô tỉ đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức thức, phương trình, hệ phương trình, các phộp biến đổi đại số Học sinh biết vận dụng linh hoạt , sáng tạo các kiến thức , kỹ từ đơn giản đến phức tạp “Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ ”giúp học sinh phát triển tư duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo giải toán.Đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức,thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh 2.C¬ së thùc tiÔn: Phương trình vô tỉ là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều học sinh không biết giải phương trình vô tỉ nào?có phương pháp nào? Các bài toán phương trình vô tỉ là dạng toán hay và khó, có nhiều các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, các tài liệu viết vấn đề này hạn chế chưa hệ thống thành các phương pháp định gây nhiều khó khăn việc học tập học sinh, công tác tự bồi dưỡng giáo viªn Mặt khác, việc tìm hiểu các phương pháp giải phương trình vô tỉ còn ít gi¸o viªn nghiªn cøu Vì việc nghiên cứu các phương pháp giải phương trình vô tỉ là thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, dặc biệt là chất lượng học sinh giỏi và giáo viên giỏi các trường THCS Lop7.net Trường THCS Nguyen TAT Thanh II-Mục đích nghiên cứu: + Nghiên cứu “phương pháp giải phương trình vô tỉ chương trình toán THCS” Giúp giáo viên nâng cao lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết Từ đó có phương pháp gi¶ng d¹y phÇn nµy cã hiÖu qu¶ + Nghiên cứu vấn đề này để nắm thuận lợi, khó khăn dạy học phần phương trình vô tỉ bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó định hướng nâng cao chất lượngdạy và học môn toán + Nghiên cứu vấn đề này còn giúp giáo viên có tư liệu tham khảo và dạy thành công phương trình vô tỉ III- NhiÖm vô nghiªn cøu: Nghiên cứu tình hình dạy học và học vấn đề này nhà trường Hệ thông hoá số phương pháp giải phương trình vô tỉ Tìm hiểu mức độ và kết đật triển khai đề tài Ph©n tÝch rut bµi häc kinh nghiÖm IV- Phạm vi và đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: a C¸c tµi liÖu b Giáo viên, học sinh khá giỏi trường THCS Gia Sơn Ph¹m vi nghiªn cøu: Các phương pháp để giải phương trình vô tỉ thường gặp THCS V- Phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu tài liệu Phương pháp điều tra, khảo sát Phương pháp thử nghiệm Phương pháp ttổng kết kinh nghiệm VI- Gi¶ thuyÕt khoa häc: Nâng cao chất lượng dạy và học và sau nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiÖm, gióp cho gi¸o viªn d¹y cã hiÖu qu¶ cao h¬n, häc sinh ham thÝch häc d¹ng to¸n nµy h¬n Lop7.net Trường THCS Nguyen TAT Thanh PHÇN II: Néi dung A- Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ: * Khái niệm: Phương trình vô tỉ là phương trình đại số chứa ẩn dấu thức (ở đây tôi đề cập đến phương trình mà ẩn nằm dấu bËc hai vµ c¨n bËc ba) * Phương trình vô tỉ phong phú và đa dạng, hướng chung để giải phương trình vô tỉ là làm cho phương trình chuyển dạng hữu tỉ I-Phương pháp nâng lên luỹ thừa: KiÕn thøc vËn dông: + (A  B)2 = A2  2AB + B2 + (A  B)3 = A3  3A2B + 3AB2  B3  f ( x)   f ( x)  g ( x)   g ( x)    f ( x)  g ( x) + + A  m  A  m3 VÝ dô: Ví dụ 1: Giải phương trình sau:  x   x (1) Gi¶i §iÒu kiÖn c¨n cã nghÜa: x   x (2) (1)  x   x  (3) Víi ®iÒu kiÖn x   (3)  2x - = (x-2)2 (4) (5)  2x   x  4x   x  6x   Gi¶i ta ®­îc x1=1 kh«ng tho¶ m·n (4) x2 = thoả mãn (2) và (4) nghiệm phương trình: x = Ví dụ 2: Giải phương trình: x   x   x  (1) Lop7.net Trường THCS Nguyen TAT Thanh x   Phương trình (1) có nghĩa:  5 x    x  (2) 3 x    (1)  x   3x   x  Hai vế dương, bình phương hai vế ta x   x   x   (3 x  2)(5 x  1)   x  15 x  13 x  2  x   2 4(15 x  13 x  2)  (2  x) (3) Gi¶i (3) ta ®­îc: x  kh«ng tho¶ m·n (1) Vậy phương trình vô nghiệm Ví dụ 3:Giải phương trình x   x   (1) Gi¶i §iÒu kiÖn: x  (2) Viết PT (1) dạng x   x   (3) Hai vế (3) không âm, bình phương hai vế ta x 1  x  1 x   2 x2  x    x    x  tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (2) Vậy phương trình có nghiệm x= L­u ý: + Nếu để (1) bình phương ta phải đặt ĐK x+1  x  (Đk này luôn đúng) + Nếu biến đổi (1) thành x   x   bình phương hai vế ta phải đặt ĐK x 1   x  Ví dụ 4: Giải phương trình: x     x Gi¶i: Lop7.net (1) Trường THCS Nguyen TAT Thanh (1)  x    x   (3 x    x )   ( x  1)(7  x)  Gi¶i (1)  ( x  1)(7  x)   x1  1; x  Là nghiệm phương trình Chó ý: - Khi bình phương hai vế phương trình cần chú ý điều kiện hai vế cùng dương.Trước lên luỹ thừa cần biến đổi phương trình dạng thuận lợi để hạn chế các trường hợp có lời giải ngắn gọn VÝ dô5: Gi¶i pt: x  x   x  (1) Gi¶i: ( x  2)  x   x2 +x 8 NÕu x  th× x   x   x  NÕu x < th×  x  x  v« nghiÖm KÕt luËn : x=5 lµ nghiÖm cña pt 4- Bài tập tương tự: Giải các pt sử dụng phép bình phương 1/ x2-4x =8 x  (x=4+2 ) 2/ x  x  + x  =2x+2 3/ x2  4/ x  - x  = x  - x  10 7 + x  =x (x=2) x x (x=-1) Sử dụng phép lập phương: 1/ x  + x  = x  2/ x  + x  = 5x (x=4; 2) (x=0;  3/ x  + 3x  = x  (x=- 1) 4/  x +  x =1 (x= 28 27 ) ) Lop7.net Trường THCS Nguyen TAT Thanh II -Phương trình đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối 1/kiÕn thøc vËn dông : f (x) f ( x)  +) f ( x)  f ( x)   f (x) f ( x)  +)phương pháp giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (tự tìm hiểu ) 2-VÝ dô: Ví dụ6 :Giải phương trình : x   x x  + x   x   (1) Gi¶i: §iÒu kiÖn : x-2  hay x  (2)  ( x   2)  ( x   3)   x2 2  x  3 1 Cách 1: Chia các trường hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối Cấch 2: Sử dụng bất đẳng thức a  b  a  b , dấu “=” xảy a,b > Khi đó x 2 2  3 x 2  DÊu “=”x¶y khi:   x     x   (3)  x    x   (4) Gi¶i (4) ta ®­îc:  x  11 Tho¶ m·n (2) Vậy nghiệm phương trình (1)là :  x  11 3/ Chó ý : + Phương pháp này thường áp dụng các biểu thức dấu bậc hai viết thành bình phương biểu thức + Có phương trình cần phải biến đổi có dạng trên 4/ Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: 1) x  2x   x  2x   x  1 x  2 2) x  x2 1  x  x2 1  3) x   2x   x   2x   2 III- Phương pháp đặt ẩn phụ: Lop7.net 5    x  3 2  Trường THCS Nguyen TAT Thanh Đặt ẩn phụ đưa phương trình ẩn mới: Ví dụ 7: Giải phương trình x  x  13  x  x  (1) Gi¶i : Ta cã : §Æt:  11  x  5x    x    >0 2  x  5x   y   x  5x   y Khi đó (1)  y2 + = 4y  y2  x  5x    x  5x     5 x    5 x   Ví dụ 8: Giải phương trình: x  x   x  2 Gi¶i: §iÒu kiÖn: x  §Æt: x (2)  y0  x  y2  4 Khi đó (1) trở thành y   ( y  )    2 1 0 y   4y2  4y      2 1 y   Trường hợp y   2 1 < lo¹i  x   , tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (2) Vậy nghiệm phương trình là : x   Lop7.net (1) Trường THCS Nguyen TAT Thanh Ví dụ 9: Giải phương trình: x 1  x   x   (1) Gi¶i: §Æt: x2  y (1)  y   y    y Lập phương hai vế ta có : y  y3 y  y    y  y  (+) NÕu: y   x    x  2 (+) NÕu y  y   y  y  , v« nghiÖm Vậy nghiệm phương trình là : x = -2 Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình: a D¹ng: ax  b  r (ux  v)  dx  e (1) Víi a,u,r  §Æt u y  v  ax  b Khi đó phương trình (1) đưa dạng : u ( x  y )(ruy  rux  2ur  1)  Ví dụ 10: Giải phương trình: x  15  32 x  32 x  20 (1) Gi¶i: §iÒu kiÖn: x  15   x   15 Khi đó: (1)  x  15  2(4 x  2)  28 §Æt: y   x  15 §iÒu kiÖn: y    y  (2) (3) 1 Khi đó (2) trở thành (4x + 2)2 = 2y + 15 (4) Tõ (3) ta cã : (4y + 2)2 = 2x + 15 (5) (4 x  2)  y  15(4) Tõ (4) vµ (5) cã hÖ:  (4 y  2)  x  15(5) Trõ vÕ víi vÕ cña (4) cho (5) ta ®­îc (x- y)(8x + 8y + 9) = Lop7.net Trường THCS Nguyen TAT Thanh +) NÕu: x-y =  x  y thay vµo (5) ta ®­îc : 16x2 + 14x-11 =0  x    x   11  víi x   11 , lo¹i +) nÕu 8x + 8y + =  y  8 x  , Thay vµo (4) ta ®­îc: 64x2 + 72x-35 =0    221 x  16     221 x  16  , lo¹i Vậy nghiệm phương trình là : x1  x2    221 16 b) D¹ng: ax  b  r (ux  v)  dx  e (1) §Æt uy  v  ax  b (1) ®­a ®­îc vÒ d¹ng: u ( y  v)(rP  rPQ  rQ  1)  Trong đó: P  uy  v Q  ux  v Ví dụ 11: Giải phương trình: 3x   x  36 x  53x  25 Gi¶i (1)  3x  =(2x-3)3-x+2 (2) §Æt :2y-3= 3x   x   (2 y  3) (3) đó (2)  y  x   (2 x  3) (4) Lop7.net (1) Trường THCS Nguyen TAT Thanh 3 x   (2 y  3) Tõ (3),(4) cã hÖ :  2 y  x   (2 x  3) Trõ vÕ víi vÕ ta ®­îc : (5) ( x  y )( P  Q  PQ  1)  Trong đó : P  y  Q  2x  V×: P  Q  P.Q   Do đó :(5)  x  y x, y Thay vµo (3) ta ®­îc: (x-2)(8x -20+11)=0  x =2 ; x = 5 ; x3 = 5 c Mét sè d¹ng kh¸c: Ví dụ 12: Giải phương trình: (1) x   x 1  Gi¶i §iÒu kiÖn: x  1 §Æt: (2) x   y  x   y3 x 1  z   x 1  z2  z2  y2  Víi ®iÒu kiÖn (2) th× (1) ®­a vÒ hÖ: y  z   2 z  y  z   y  z  Gi¶i hÖ nµy ta ®­îc:  Từ đó suy ra: x = là nghiệm phương trình (1) Ví dụ 13: Giải phương trình: 1  2 x  x2 Gi¶i: §iÒu kiÖn: x     x  Lop7.net (1) Trường THCS Nguyen TAT Thanh §Æt:  x2  y   x2  y2  x  y  Ta cã hÖ: (1)  1 x  y   §Æt: x +y = S ; xy = P (1)  P  1, S  S  P     P   , S  1 S  P   1 x  +Trường hợp 1: Ta x=y=1; Trường hợp 2:  y  1  Từ đó ta x = 1; x = 1  1 x  hoÆc  y  1  lµ nghiÖm Chó ý: * Giải phương trình vô tỉ phương pháp đặt ẩn phụ giúp ta giải nhiều bài toán khó, nhiên để đặt cái gì làm ẩn phụ và có ẩn phụ thì phải biết nhận xét và tìm mối liên quan các biểu thức phương trình, liên quan các ẩn * Cần phải có kỹ giải phương trình và hệ phương trình Bµi tËp ¸p dông: 1) x  x    x  x 2) x  x   x  x   (đặt x   y  0; x  ) 3) x 1 x  x   x  (đặt x  y;1  x  ) Đặt hệ phương trình: 1- x3   2x  6x  §Æt: x   a, x  x   b 2- x   2( x  2) Lop7.net Trường THCS Nguyen TAT Thanh §Æt: x   a; x  x   b( x   37 ) x   13; x   13 3- x §Æt: x  4- 1  1  x x x 1 1  a;   b; x  x x 2  x  x 1  §Æt  x  a; x  1;2;10 5- x   4 x  13 x  (§Æt y   3x  1, x  1; 11 11  37 ; ) - x  4x   x  (§Æt x   y  2, x  1;  29 ) - x   33  (§Æt 3x   y, x  1;2) IV- Phương pháp bất đẳng thức: Chứng tỏ tập giá trị hai vế rời đó phương trình vô nghiệm: * Phương trình: f(x) = g(x) Nếu tập giá trị f(x), g(x) là: S1, S2 mà S1 giao với S2 rỗng thì phương trình vô nghiệm * Ví dụ 14: Giải phương trình: x   x   x  (1) Gi¶i §iÒu kiÖn: x  Víi ®iÒu kiÖn nµy th×: x   x  Khi đó vế trái (1) âm, còn vế phải dương đó phương trình (1) vô nghiệm 2- Sử dụng tính đối nghịch hai vế: * Phương trình F(x) = G(x) (1) Nếu: F(x)  K, dấu đẳng thức sảy x = a G(x)  K, dấu đẳng thức sảy x=b Lop7.net Trường THCS Nguyen TAT Thanh (k,a,b lµ c¸c h»ng sè) ) a = b  (1) cã nghiÖm lµ: x = a ) a  b  (1) v« nghiÖm * Ví dụ 15: Giải phương trình: 3x  x   x  10 x  14   x  x (1) Gi¶i VÕ tr¸i: 3( x  1)   5( x  1)     VÕ ph¶i: 4-2x –x2 = 5- (x+1)2  Do đó hai vế x =-1, với giá trị này hai bất đẳng thức trên là đẳng thức Vậy x = -1 là nghiệm phương trình * Ví dụ 16: Giải phương trình:  x  x   x  x  13 (1) Gi¶i Sử dụng bất đẳng thức: a1b1  a b2  a1  a 2 b1  b2 (Víi dÊu “=” x¶y a1 a  ) b1 b2 VÕ tr¸i:  x  x   12  12  x  x   DÊu “=” x¶y x=3 Vậy phương trình vô nghiệm c Sử dụng tính đơn điệu hàm số: * Ta nghiệm cụ thể và chứng minh các trường hợp khác ẩn không là nghiệm phương trình * Ví dụ 17: Giải phương trình: x   x   (1) Gi¶i Ta thấy x = nghiệm đúng phương trình + Víi x > th× x   1, x    vÕ tr¸i cña (1) lín h¬n + Víi -1  x  th× x   1, x    vÕ tr¸i cña (1) nhá h¬n Vậy x = là nghiệm phương trình d Sử dụng điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức không chặt * Ví dụ 18: Giải phương trình: x 4x   4x  2 x Lop7.net (1) Trường THCS Nguyen TAT Thanh Gi¶i §iÒu kiÖn: x > (2) Sử dụng bất đẳng thức: a b  2 b a Víi a,b > th× dÊu “=” x¶y vµ chØ a = b Do đó: x 4x  4x  2 x  DÊu “=” x¶y  x  x   x  4x    x  2 Tho¶ m·n (2) Vậy nghiệm phương trình là: x =  e Bµi tËp ¸p dông: 1) (x = 5) x    x  x  10 x  27 2) 3x 212 x 6  y  y  13  (x = y = 2) 3) x   x  x  (V« nghiÖm) 4) x   x   ( x  1)( x  3x  5)   x 5) 16 x3  y 1  1225 z  665 = 82 - x   y   z  665 (x = 19; y = 5; z = 1890) V- Nh÷ng chó ý: * Khi giải phương trình vô tỉ cần tránh sai lầm sau: + Không chú ý đến điều kiện có nghĩa thức + Không đặt điều kiện có nghĩa thức * Để giải phương trình vô tỉ thành thạo thì các kiến thức sau cần nắm vững + Các phép biến đổi thức + Các phép biến đổi biêủ thức đại số + Các kiến thức và phương pháp giải các phương trình và hệ phương trình + Các kiến thức bất đẳng thức Lop7.net Trường THCS Nguyen TAT Thanh PHÇN III : KÕt luËn I-Bµi häc kinh nghiÖm: Phương trình vô tỷ là dạng toán không thể thiếu chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THCS Nếu dừng lại yêu cầu sách giáo khoa thì chưa đủ, vì đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu, tìm tòi sáng tạo thường xuyên bổ xung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm vấn đề này *Để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phương pháp giải phương trình vô tỷ thì thân giáo viên phải hiểu và nắm vững phương trình vvô tỷ: các dạng phương trình vô tỷ, phân biệt khác phương trình vô tỷ với các dạng phương trình khác, đồng thời phải nắm vững các phương pháp giải phương trình vô tỷ *Qua viÖc nghiªn cøu bªn c¹nh viÖc gióp cho b¶n th©n n©ng caokiÕn thøc n©ng cao nghiệp vụ, bồi dưỡng học sinh giỏi có hiệu quả,ngoài còn giúp thân nâng cao phương pháp tự học, tự nghiên cứu để có thể tiếp tục nghiên cứu các vấn đề khác tốt h¬n suèt qu¸ tr×nh d¹y häc cña m×nh II-KÕt luËn chung: Để thực tốt công việc giảng dạy, đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh giỏi người thày phải thường xuyên học, học tập, nghiên cứu Trong quá trình giảng dạy, học sinh học tập, học sinh bồi dưỡng, đọc tài liệu tham khảo tôi đã rút số kinh nghiệm nêu trên hy vọng đề tài ‘”Một số phương pháp giải phương trình vô tỷ” làm kinh nghiệm mình để giúp học sinhtiếp thu vấn đề này, phần nào nâng cao lực tư duy, sáng tạo và rèn kỹ giải các phương trình vô tỷ cho học sinh Trong qu¸ tr×nh nghiªn cøu kh«ngh thÓ tr¸nh khái sai sãt, h¹n chÕ rrÊt mong giúp đỡ, góp ý đồng nghiệp Lop7.net