SKKN Giải Phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ (Cực hay)

Khi gặp mụ̣t phương trình vụ tỷ các em chỉ xoay quanh mṍy phương pháp như nõng lờn luỹ thừa,đưa vờ̀ tích.Qua thực tờ́ giảng dạy cũng như bụ̀i dưỡng học sinh giỏi, luyợ̀n

I ĐẶT VẤN Đấ̀

“Phương trình vụ tỷ” là mụ̣t trong những phương trình được sử dụng nhiờ̀u trong chương trình các lớp cuụ́i cṍpTHCS đặc biợ̀t là trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cṍp cũng như thi tuyờ̉n sinh vào lớp 10, thi vào trường chuyờn lớp chọn thì phương trình vụ tỷ thường xuyờn xuṍt hiợ̀n.Qua thực tiễn dạy học cho thấy học sinh còn gặp nhiều khó khăn trong giải phương trình vụ tỷ,cơ bản khó khăn lớn nhṍt là viợ̀c phõn tích đờ̉ đi tìm phương pháp giải ,do nhiờ̀u nguyờn nhõn phõ̀n thì cụng cụ giải toán các em mới được trang bị ít, phõ̀n thì ở trờn lớp giáo viờn chưa chú trọng hướng dõ̃n các em tìm tòi lời giải mụ̣t cách khoa học Khi gặp mụ̣t phương trình vụ tỷ các em chỉ xoay quanh mṍy phương pháp như nõng lờn luỹ thừa,đưa vờ̀ tích.Qua thực tờ́ giảng dạy cũng như bụ̀i dưỡng học sinh giỏi, luyợ̀n thi vào lớp 10 tụi nhọ̃n thṍy phương pháp giải phương trình vụ tỷ bằng phương pháp đặt õ̉n phụ đem lại hiợ̀u quả khá cao mà khụng gõy khó khăn lắm cho học sinh

Với mục đích góp phần về mặt phương pháp: Rèn luyện tư duy, tính sáng tạo, phương pháp nhận thức toán học cho học sinh ở trường THCS

II GIẢI QUYấ́T VẤN Đấ̀

Khi nào thì mụ̣t phương trình vụ tỷ giải được bằng phương pháp đặt õ̉n phụ

Giáo viờn cho học sinh ghi nhớ điờ́u sau đõy

Chỉ những bài toán mà giữa các đại lượng tham gia trong bài toán có mụ̣t mụ́i liờn hợ̀ nào đó ( được biờ̉u diờ̃n bởi các hợ̀ thức toán học) mà nhờ các mụ́i liờn hợ̀ này, các đại lượng này biờ̉u diờ̉n được qua các đại lượng kia( hoàn toàn hoặc khụng hoàn toàn mới có khả năng dùng được õ̉n phụ

Có những bài toán thì mụ́i liờn hợ̀ này nhìn thṍy rõ nhưng cũng có những bài toán thì mụ́i liờn hợ̀ này "õ̉n nṍp" khá kín đáo mà ta tưởng chừng như khụng có mụ́i liờn hợ̀ nào, cũng có những bài toán thì qua quá trình biờ́n đụ̉i mới xuṍt hiợ̀n õ̉n phụ trong trường hợp này người giải toán phải tinh vi theo giỏi sát mới có thời cơ nhìn thṍy õ̉n phụ

Các bước đờ̉ giải bài toán bằng cách đặt õ̉n phụ là

Bước 1: Xuṍt phát từ bài toán đã cho, chọn õ̉n phụ thích hợp rụ̀i chuyờ̃n bài toán đã

cho vờ̀ bài toán õ̉n phụ (bài toán õ̉n phụ dờ̃ giải hơn bài toán đã cho)

Bước2: Tìm õ̉n phụ rụ̀i tìm õ̉n ban đõ̀u

Da

̣ng 1 : Chuyờ̉n các bài toán mụ̣t phương trình mụ̣t õ̉n x thành các bài toán mụ̣t phương trình mụ̣t õ̉n t

Vi

́ d ụ 1

Giải PT : 3x2 +3x - 2 - 1 = 0

ĐK:x 0 hoặc x 1

Cho HS quan sát mụ́i liờn hợ̀ giữa biờ̉u thức dưới dṍu căn và biờ̉u thức chứa biờ́n còn lai ta thṍy x2 +x = 3(x2 +x)

Đặt = t 0 thì ta có PT õ̉n t 3t2 - 2t - 1 = 0

<=> t1 = 1; t2 = - loại

Trở lại tìm x ta giải = 1

Vi

́ d ụ 2

Giải PT:

Nhận xét : Các biểu thức có mặt trong PT có mối liên hệ với nhau vì vậy để làm xuất hiện ẩn phụ ta đưaphương trình về dạng

2x2 +4x + 8 - 2

Phương trình đã cho trở thành: t2 - 2t - 48 = 0 <=> t1 = 8; t2 = - 6 loại

Trở lại tìm x ta giải các phương trình sau

Vi

́ d ụ 3

Nhận xét: Quan sát biểu thức dưới căn ta thấy

Đặt = t thì = Phương trình trở thành: t + = 10

t2 - 10t +1 = 0 <=> t1 = ; t2 =

•Với t = t1 = thì = < => x = 2

Vi

́ d ụ 4

Đk: x

Đặt = t 0 => x = t2 - thay vào phương trình đã cho ta được:

t2 - + = 2

<=> 4t2 +4t + 7 = 0

<=> t1 = thoả mãn ; t2 = < 0 loại

•Với t = t1 = thì = <=> x = 2 -

Vi

́ d ụ 5

Giải PT: = x2 + 3x - 1

ĐK: x 1

Nhận xét: Ta thấy (x - 1 )( x2 + x +1) = x3 - 1

2(x - 1 ) + ( x2 + x +1) = x2 + 3x - 1

Đưa phương trình đã cho về dạng: = 2(x - 1 ) + ( x2 + x +1) để làm xuất hiện ẩn phụ ta chia 2 vế cho x2 + x +1 > 0 ta được

Đặt = t Phương trình trở thành: 2t2 - t + 1 = 0 phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm

Vi

́ d ụ 6

ĐK: x 5

Do 2 vế không âm, bình phương 2 vế rồi thu gọn ta được

2x2 - 5x +2 = 5 (x2  x 20)(x 1) (2)

Nếu đặt ĐK rồi bình phương 2 vế thì thu được phương trình bậc 4 việc giải sẽ gặp khó khăn

Ta thấy: = (x +4)(x - 5)

( )(x + 1) = (x +4)(x - 5)(x + 1)

= (x + 4)(x2 - 4x - 5)

Còn 2x2 - 5x +2 = 2(x2 - 4x - 5) +3(x +4)

(2) <=> 2(x2 - 4x - 5) +3(x +4) = 5

Với x 5 nên x + 4 > 0 chia 2 vế của phương trình cho x +4 ta được:

2

Đặt = t Phương trình ẩn t có dạng : 2t2 - 5t +3 = 0

<=> t1 = 1; t2 =

Lần lượt giải các phương trình

́ d ụ 7

GiảiPT:

ĐK: x -1

<=>

<=>

<=>

Đặt = t 0 phương trình đã cho trở thành

<=> (t -2)(t2 -6t + 15 ) = 0

<=> t =2 vì t2 -6t + 15 > 0

Với t = 2 thì = 2 <=> x = 3

Dạng 2: Chuyển các bài toán một phương trình một ẩn x thành các bài toán một phương trình ẩn t nhưng hệ số vẩn còn ẩn x

Có những phương trình mà khi chọn được ẩn phụ thì các biểu thức chứa ẩn còn lại không biểu diển được triệt để qua ẩn phụ hoặc nếu biểu diển được thì công thức biểu diển quá phức tạp trong trường hợp này ta chấp nhận để phương trình ở dạng chứa ẩn phụ nhưng hệ số vẩn chứa ẩn x

Ví dụ8: Giải phương trình (4x - 1) = 2x2 +2x +1

Để khử tính vô tỷ ta đặt = t 1 <=> t2 = x2 +1 để làm xuất hiện t2 = x2 +1 ta biến đổi phương trình về dạng: (4x - 1) = 2(x2 +1) + 2x - 1

<=> (4x - 1)t = 2t2 + 2x - 1

<=> 2t2 - (4x - 1)t + 2x - 1 = 0 là phương trình ẩn t vẩn còn chứa x

= (4x - 1)2 - 8(2x - 1) = (4x - 3)2

Phương trình ẩn t có nghiệm là t =

Trở về tìm x ta giải phương trình sau = 2x - 1

<=>

ĐK: -1 x 1

Đặt = t => 0 t nên t2 = 1 - x nhằm làm xuất hiện t2 = 1 - x ta biến đổi phương trình về dạng: (1)<=> 4 - 2 - 2x + (1 - x) = +

Với ẩn t phương trình (1) trở thành t2 - (2 + )t - 2 (1 +x - 2 ) = 0 (2)

Ta có = (2 + )2 + 8(1 +x - 2 ) = 4 +9(1+x) -12 =(3 - 2)2

Ta có t =

Trở về tìm x ta giải:

• = <=> x = - thoả mản

• = <=> x = 0 thoả mản

Ví dụ 10: Giải phương trình : 2(1- x) = x2 - 2x - 1 (1)

đặt = t => t2 =x2 + 2x - 1 nhằm làm xuất hiện t2 =x2 + 2x - 1

ta biến đổi (1)<=>2(1- x) = (x2 + 2x - 1) - 4x

ta thu được phương trình ẩn t: 2(1- x)t = t2- 4x

<=> t2 - 2(1- x)t - 4x = 0

<=>

Trở về tìm x ta giải

Ví dụ 11: Giải phương trình x2+ x +12 = 36 (1)

x -1 Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho

ta xét 0 x -1 Đặt = t 0 => t2 = x+1

(1) <=> x(x + 1) + 12 - 36 = 0

<=>xt2 +12t - 36 = 0 (2) là phương trình bậc hai ẩn tmà hệ số vẩn còn chứa x

= 36 +36x = 36(1+x) = 36t2

Trở về tìm x ta giải các phương trình

• t <=> xt + 6t = -6

<=> (x + 6) t = - 6 vô nghiệm do x + 6 > 0,t 0 =>(x + 6) t 0

• t <=> xt = 6t - 6

<=>6 = ( 6 - x ) t

Với x = 6 không thoả mãn

Với x 6 ta có t =

<=>

<=> <=> x = 3

Dạng 3: Chuyển các bài toán một phương trình một ẩn x thành các bài toán một hệ phương trình nhiều ẩn, hoặc 1 phương trình nhiều ẩn

Ví dụ 12

Giải PT

ĐK: 3 x 5 Để khử tính vô tỷ ta đặt = t; = u

Ta có hệ

Ví dụ 13

Dễ thấy 1+ x + 1 - x = 2 Để khử tính vô tỷ ta đặt

ĐK:

Đặt = t => t nên t2 = x + 3

= m => nên m2 = 10- x

Ta có hệ

hoặc

Trở về tìm x ta giải các hệ sau

•Với

• Với

Ví dụ 15 Giải PT = ( x -3)3 + 6 (1)

Đăt => t3 = x - 9 nên m = t3 + 6

Từ (1) ta lại có t = m3 + 6 từ đó ta có hệ: (2)

(2)

Giải hệ này ta thu được t = m = -2

Trở về tìm x ta giải hệ

• => x = 1 là nghiệm của phương trình

ĐK: x 12

Giải hệ này ta thu được các nghiệm (t;m) là (0;6) ; (3;3); ( -4 ; 10)

Trở lại tìm x ta giải các hệ:

•

•

•

Giải các hệ này ta được các nghiệm của phương trình là x = -24; x = 3; x = -88

ĐK: vói mọi x

Đặt Ta có hệ Giải hệ nayy ta thu được t = 1; m = 2 Trở về tìm x ta giải hệ

ĐK -1 x 8

Đặt

Ta thu đươc hợ̀:

Giải hợ̀ này ta được nghiợ̀m (t;m) là (0;3) và (3;0)

Trở vờ̀ tìm x ta giải các hợ̀ sau:

•

•

Ta tìm được phương trình có hai nghiợ̀m là x = - 1 và x = 8

Ví dụ 19

Giải Phương trình:

ĐK: -1 x 1

Đờ̉ khử tính vụ tỷ ta đặt m = ; t =

phương trình trở thành ( m - t)2 + m(m - t) +( m - t) = o

<=> ( m - t)(2m - t + 1 ) = 0

<=> m = t; 2m +1 = t

Với m = t thì : =

<=> x = 0

Với 2m + 1 = t thì: 2 + 1 =

<=> x =

III Kết luận.

quá trình dạy học Khảo sát cho thấy với cách làm này các em hứng thú học tập hơn, tự tin hơn các em khá, giỏi đã biết đào sâu suy nghĩ, học tọ̃p mụ̣t cách khoa học tìm kiếm phát hiện ra những vấn

đề rất thụ vị, những h/s "hơi khá" đã biết tổng hợp các bài tập cùng dạy, xâu chuổi các kiến thức để ôn tập một cách khoa học

Tôi nhận ra rằng những việc làm của tôi mới chỉ đáp ứng đợc một chút kiến thức trong kho tàng phương trình ''vụ tỷ" bởi vậy tôi cần phải học hỏi nhiều, rất nhiều ở đồng nghiệp ở tài liệu… hy vọng

đợc sự dìu dắt của đồng nghiệp để Tôi càng hoàn thiện hơn trong nghề dạy học./

Tháng 4 năm 2010