Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ I ĐẶT VẤN ĐỀ “Phương trình vô tỷ” là một những phương trình được sử dụng nhiều chương trình các lớp cuối cấpTHCS đặc biệt là các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp cũng thi tuyển sinh vào lớp 10, thi vào trường chuyên lớp chọn thì phương trình vô tỷ thường xuyên x́t hiện.Qua thùc tiƠn d¹y häc cho thÊy häc sinh gặp nhiều khó khăn giai phng trinh vụ tỷ,cơ bản khó khăn lớn nhất là việc phân tích để tìm phương pháp giải ,do nhiều nguyên nhân phần thì công cụ giải toán các em mới được trang bị ít, phần thì ở lớp giáo viên chưa chú trọng hướng dẫn các em tìm tòi lời giải một cách khoa học Khi gặp một phương trình vô tỷ các em chỉ xoay quanh mấy phương pháp nâng lên luỹ thừa,đưa về tích.Qua thực tế giảng dạy cũng bồi dưỡng học sinh giỏi, luyện thi vào lớp 10 nhận thấy phương pháp giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ đem lại hiệu quả khá cao mà không gây khó khăn lắm cho học sinh Víi mơc ®Ých gãp phần mặt phơng pháp: Rèn luyện t duy, tính sáng tạo, phng pháp nhận thức toán học cho học sinh ë trưêng THCS II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ Khi nào thì một phương trình vô tỷ giải được bằng phương pháp đặt ẩn phụ Giáo viên cho học sinh ghi nhớ điếu sau Chỉ những bài toán mà giữa các đại lượng tham gia bài toán có một mối liên hệ nào đó ( được biểu diễn bởi các hệ thức toán học) mà nhờ các mối liên hệ này, các đại lượng này biểu diển được qua các đại lượng kia( hoàn toàn hoặc không hoàn toàn mới có khả dùng được ẩn phụ Có những bài toán thì mối liên hệ này nhìn thấy rõ cũng có những bài toán thì mối liên hệ này "ẩn nấp" khá kín đáo mà ta tưởng chừng không có mối liên hệ nào, cũng có những bài toán thì qua quá trình biến đổi mới xuất hiện ẩn phụ trường hợp này người giải toán phải tinh vi theo giỏi sát mới có thời nhìn thấy ẩn phụ Các bước để giải bài toán bằng cách đặt ẩn phụ là Bước 1: Xuất phát từ bài toán đã cho, chọn ẩn phụ thích hợp rồi chuyễn bài toán đã cho về bài toán ẩn phụ (bài toán ẩn phụ dễ giải bài toán đã cho) Bước2: Tìm ẩn phụ rồi tìm ẩn ban đầu Dạng 1: Chuyển các bài toán một phương trình một ẩn x thành các bài toán một phương trình một ẩn t Ví dụ Giải PT : 3x2 +3x - - = ĐK:x hoặc x Cho HS quan sát mối liên hệ giữa biểu thức dưới dấu và biểu thức chứa biến còn lai ta thấy x2 +x = 3(x2 +x) Đặt = t thì ta có PT ẩn t 3t2 - 2t - = Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ t1 = 1; t2 = - loại Trở lại tìm x ta giải = Ví dụ Giải PT: Nhận xét : Các biểu thức có mặt PT có mối liên hệ với vì vậy để làm xuất hiện ẩn phụ ta đưaphương trình về dạng 2x2 +4x + - Đặt =t Phương trình đã cho trở thành: t2 - 2t - 48 = t1 = 8; t2 = - loại Trở lại tìm x ta giải các phương trình sau • = Ví dụ GiảiPT: + = 10 Nhận xét: Quan sát biểu thức dưới ta thấy = nên = Đặt = t thì = Phương trình trở thành: t + = 10 < => x = -2 t2 - 10t +1 = t1 = ; t2 = = < => x = •Với t = t1 = thì •Với t = t2 = thì = = = Ví dụ GiảiPT: = Đk: x Đặt = t => x = t2 - thay vào phương trình đã cho ta được: t2 - + = 4t2 +4t + = t1 = thoả mãn ; t2 = < loại •Với t = t1 = thì = x = - Ví dụ Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ Giải PT: = x2 + 3x - ĐK: x Nhận xét: Ta thấy (x - )( x2 + x +1) = x3 - 2(x - ) + ( x2 + x +1) = x2 + 3x - Đưa phương trình đã cho về dạng: = 2(x - ) + ( x2 + x +1) để làm xuất hiện ẩn phụ ta chia vế cho x2 + x +1 > ta được = + Đặt = t Phương trình trở thành: 2t2 - t + = phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm Ví dụ Giải PT: - = (1) ĐK: x Phương trình (1) tương đương với = + Do vế không âm, bình phương vế rồi thu gọn ta được 2x2 - 5x +2 = (x2 x 20)(x 1) (2) Nếu đặt ĐK rồi bình phương vế thì thu được phương trình bậc việc giải sẽ gặp khó khăn Ta thấy: = (x +4)(x - 5) ( )(x + 1) = (x +4)(x - 5)(x + 1) = (x + 4)(x2 - 4x - 5) Còn 2x2 - 5x +2 = 2(x2 - 4x - 5) +3(x +4) (2) 2(x2 - 4x - 5) +3(x +4) = Với x nên x + > chia vế của phương trình cho x +4 ta được: Đặt = t Phương trình ẩn t có dạng : 2t2 - 5t +3 = t1 = 1; t2 = Lần lượt giải các phương trình • = • = Ví dụ Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ GiảiPT: ĐK: x -1 = t phương trình đã cho trở thành Đặt (t -2)(t2 -6t + 15 ) = t =2 vì t2 -6t + 15 > Với t = thì = x = Dạng 2: Chuyển các bài toán một phương trình một ẩn x thành các bài toán một phương trình ẩn t hệ số vẩn còn ẩn x Có những phương trình mà chọn được ẩn phụ thì các biểu thức chứa ẩn còn lại không biểu diển được triệt để qua ẩn phụ hoặc nếu biểu diển được thì công thức biểu diển quá phức tạp trường hợp này ta chấp nhận để phương trình ở dạng chứa ẩn phụ hệ số vẩn chứa ẩn x Ví dụ8: Giải phương trình (4x - 1) = 2x2 +2x +1 Để khử tính vô tỷ ta đặt = t t2 = x2 +1 để làm xuất hiện t2 = x2 +1 ta biến đổi phương trình về dạng: (4x - 1) = 2(x2 +1) + 2x - (4x - 1)t = 2t2 + 2x - 2t2 - (4x - 1)t + 2x - = là phương trình ẩn t vẩn còn chứa x = (4x - 1)2 - 8(2x - 1) = (4x - 3)2 Phương trình ẩn t có nghiệm là t = Trở về tìm x ta giải phương trình sau = 2x - Ví dụ9 Giải phương trình : -1 = 3x +2 + (1) ĐK: -1 x Đặt = t => t nên t2 = - x nhằm làm xuất hiện t2 = - x ta biến đổi phương trình về dạng: (1) - - 2x + (1 - x) = + Với ẩn t phương trình (1) trở thành t2 - (2 + )t - (1 +x - ) = (2) Ta có = (2 + )2 + 8(1 +x - ) = +9(1+x) -12 =(3 - 2)2 Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ Ta có t = Trở về tìm x ta giải: • = x = - thoả mản • = x = thoả mản Ví dụ 10: Giải phương trình : 2(1- x) = x2 - 2x - (1) ĐK: hoặc đặt = t => t2 =x2 + 2x - nhằm làm xuất hiện t2 =x2 + 2x - ta biến đổi (1)2(1- x) = (x2 + 2x - 1) - 4x ta thu được phương trình ẩn t: 2(1- x)t = t2- 4x t2 - 2(1- x)t - 4x = Trở về tìm x ta giải • = • = 2x Ví dụ 11: Giải phương trình x2+ x +12 = 36 (1) x -1 Ta thấy x = không phải là nghiệm của phương trình đã cho ta xét x -1 Đặt = t => t2 = x+1 (1) x(x + 1) + 12 - 36 = xt2 +12t - 36 = (2) là phương trình bậc hai ẩn tmà hệ số vẩn còn chứa x = 36 +36x = 36(1+x) = 36t2 Trở về tìm x ta giải các phương trình • t xt + 6t = -6 (x + 6) t = - vô nghiệm x + > 0,t =>(x + 6) t • t xt = 6t - 6 = ( - x ) t Với x = không thoả mãn Với x ta có t = Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ x = Dạng 3: Chuyển các bài toán một phương trình một ẩn x thành các bài toán một hệ phương trình nhiều ẩn, hoặc phương trình nhiều ẩn Ví dụ 12 Giải PT ĐK: x Để khử tính vô tỷ ta đặt = t; = u Ta có hệ Ví dụ 13 Giải PT Dễ thấy 1+ x + - x = Để khử tính vô tỷ ta đặt Ta có hệ: Ví dụ 14 Giải PT + = ĐK: Đặt = t => t nên t2 = x + = m => nên m2 = 10- x Ta có hệ hoặc Trở về tìm x ta giải các hệ sau •Với • Với Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 15 Giải PT = ( x -3)3 + (1) Đăt => t3 = x - nên m = t3 + Từ (1) ta lại có t = m3 + từ đó ta có hệ: (2) (2) Giải hệ này ta thu được t = m = -2 Trở về tìm x ta giải hệ • => x = là nghiệm của phương trình Ví dụ 16 Giải PT + = ĐK: x 12 Đặt ta có hệ Giải hệ này ta thu được các nghiệm (t;m) là (0;6) ; (3;3); ( -4 ; 10) Trở lại tìm x ta giải các hệ: • • • Giải các hệ này ta được các nghiệm của phương trình là x = -24; x = 3; x = -88 Ví dụ 17 Giải PT + = ĐK: vói mọi x Đặt Ta có hệ Giải hệ nayy ta thu được t = 1; m = Trở về tìm x ta giải hệ • => x = 1; x = Ví dụ 18 Giải PT + + = ĐK -1 x Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ Đặt Ta thu đươc hệ: Giải hệ này ta được nghiệm (t;m) là (0;3) và (3;0) Trở về tìm x ta giải các hệ sau: • • Ta tìm được phương trình có hai nghiệm là x = - và x = Ví dụ 19 Giải Phương trình: ĐK: -1 x Để khử tính vô tỷ ta đặt m = ; t = phương trình trở thành ( m - t)2 + m(m - t) +( m - t) = o ( m - t)(2m - t + ) = m = t; 2m +1 = t Với m = t thì : = x = Với 2m + = t thì: + = x = III Kết luận Trên việc làm nhỏ nhoi thân trình dạy học Khảo sát cho thấy với cách làm em hứng thú học tập hơn, t tin hn em khá, giỏi đà biết đào sâu suy nghi, hoc tõp mụt cach khoa hoc tìm kiếm phát vấn đề thụ vị, h/s "hơi khá" đà biết tổng hợp tập dạy, xâu chuổi kiến thức để ôn tập cách khoa học Tôi nhận việc làm đáp ứng đợc chút kiÕn thøc kho tµng phương trình ''vơ tỷ" bëi cần phải học hỏi nhiều, nhiều đồng nghiệp tài liệu hy vọng đợc dìu dắt đồng nghiệp để Tôi hoàn thiện nghỊ d¹y häc./ Tháng năm 2010 Hướng dẫn học sinh giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ ... được = + Đặt = t Phương trình trở thành: 2t2 - t + = phương trình này vô nghiệm nên phương trình đã cho vô nghiệm Ví dụ Giải PT: - = (1) ĐK: x Phương trình (1) tương... sinh giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp đặt ẩn phụ x = Dạng 3: Chuyển các bài toán một phương trình một ẩn x thành các bài toán một hệ phương trình... với = + Do vế không âm, bình phương vế rồi thu gọn ta được 2x2 - 5x +2 = (x2 x 20)(x 1) (2) Nếu đặt ĐK rồi bình phương vế thì thu được phương trình bậc việc giải sẽ