Để học sinh giải các bài tập về dạng này ở các kỳ thi, người thầy phải biết tìm tòi cách dạy toán khó thường gặp, đồng thời hệ thống và trang bị cho các em một số các cách giải quyết cơ bản, qua đó giúp các em tự giải quyết và tiếp tục nghiên cứu thêm. Đồng thời phải biết vận dụng bố trí thời gian giảng dạy để ôn tập các em có hiệu quả. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến “Phương pháp tìm tham số để hàm số biền thiên trên một miền”.
Sở GD-ĐT Ninh Thuận TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG PHÁP TÌM THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ BIỀN THIÊN TRÊN MỘT MIỀN Họ tên tác giả: Ngô –Phúng Chức vụ: TTCM Tổ Toán-Tin A ĐẶT VẤN ĐỀ: T rong tốn trường phổ thơng, tốn tìm điều kiện để hàm số biến thiên khoảng cho trước thường gặp kỳ thi mà phương pháp học sinh thường sử dụng kiến thức tam thức bậc so sánh nghiệm với số thực theo chương trình cũ ,nhưng cải cách sách theo chương trình chuẩn nâng cao khơng học định lý đảo dấu tam thức bậc so sánh số thực với nghiệm phương trính bậc nên học sinh lúng túng giải khó khăn loại tốn này.Trong q trình giảng dạy nghiên cứu tài liệu,cùng học hỏi đồng nghiệp mạnh dạn trình bày “Phương pháp giải tốn tìm tham số để hàm số biến thiên miền cho trước “ B Q TRÌNH THỰC HIỆN: Để học sinh ơn tập , học sinh tiếp thu có hiệu quả, kích thích tị mị khám phá vấn đề học sinh sau tiết dạy cơng việc chuẩn bị trình lên lớp giáo viên phải chuẩn bị kỹ lưỡng tiến hành bước sau: I/ BƯỚC CHUẨN BỊ: 1/ Hệ thống tập nội dung kiến thức cần truyền đạt: - Sưu tầm toán “bài tốn tìm tham số để hàm số biến thiên miền” đặc biệt tốn có đề thi số năm trước - Chọn số tập tiêu biểu để giải phương pháp mà gặp khó khăn giải phương pháp khác - Hướng dẫn học sinh mở rộng thành nhiều toán - Chuẩn bị hệ thống tập nhà 2/ Xây dựng phương pháp giải: Bài tốn : Tìm tham số m để y = f ( x; m ) tăng giảm khoảng I Bước 1: - Tập xác định D (Ta phải có I Ì D ) - Định m để f ¢ ( x; m ) ³ hay f ¢ ( x; m ) £ "x Ỵ I -Từ f ¢ ( x; m ) ³ hay f ¢ ( x; m ) £ suy g ( x) ³ f (m) hay g ( x) £ f (m) Bước 2: Tìm giá trị lớn – nhỏ hàm số y = g ( x) tập hợp I - Lập bảng biến thiên hàm số y = g ( x) I - Từ bảng biến thiên suy giá trị lớn nhỏ - Từ suy điều kiện tham số 3/ Chọn tập mẫu giải lớp: x -2x2+mx-2 đồng biến (- ¥ ,1) Bài 2: Tìm m để hàm số y= - x3+(m-1)x2+(m+3)x-4 Bài 1: Tìm m để hàm số y= a) Nghịch biến ( 2; +¥ ) b) Đồng biến ( 0;3) mx + x - Bài 3: Tìm m để hàm số y= nghịch biến (1; +¥ ) x+2 Bài 4: Tìm m để hàm số y= x + (1 - m) x + m + đồng biến (1; +¥ ) x-m 4/ Bài tập nhà: Bài 1: Tìm m để hàm số y= -x3-3x2+mx+4 nghịch biến ( 0; +¥ ) Bài 2: Cho hàm số y = x3 - ( 2m + 1) x + (12m + 5) x + a) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng ( 2; +¥ ) b) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng ( -¥; -1) ( 2; +¥ ) x - 3x + m Bài 3: Tìm m để hàm số y= x -1 a) Đồng biến ( 3; +¥ ) b) Nghịch biến (-2;0) Bài 4: Tìm m để hàm số y = x + mx - đồng biến khoảng ( -1; ) 3- x Dụng ý:- Không sử dụng kiến thức tam thức bậc so sánh nghiệm với số thực - Kỹ sử dụng : m ³ g ( x); "x Ỵ D Û m ³ max g ( x) xỴD m £ g ( x); "x Ỵ D Û m £ g ( x) xỴD II/ BƯỚC SOẠN GIẢNG: Bài dạy: Phương pháp giải tốn tìm tham số để hàm số biến thiên miền cho trước A/ Mục tiêu: 1/ Kiến thức: - Nắm vững định nghĩa định lý tính đơn điệu hàm số học - Vận dụng cho loại hàm số - Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số phương pháp đạo hàm 2/ Kỹ năng: - Linh hoạt tình - Kỹ tìm giá trị lớn nhỏ hàm số 3/ Tư duy: - Phân tích tổng hợp - Quan hệ biện chứng - Tính sáng tạo B/ Chuẩn bị giáo viên học sinh: 1/ Giáo viên: - Chuẩn bị phương pháp - Bài tập mẫu - Bài tập tự giải nhà 2/ Học sinh: - Nắm vững trước phương pháp tìm GTLN-GTNN hàm số - Biết lập bảng biến thiên hàm số C/ Hoạt động dạy học: I/ Kiểm tra cũ: (5 phút) Câu hỏi: Nêu phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm biến: y = f ( x) D đạo hàm Ứng dụng: Tìm giá trị nhỏ hàm số y = Giáo viên: Nhận xét chuyển qua x2 + x - ( 2; +¥ ) 2x +1 II/ Hoạt động lớp: Hoạt động thầy trò GV: Sau em biết cách tìm giá trị lớn nhất-nhỏ hàm số biến phương pháp đạo hàm Tiết học hơm giúp em tìm tham số m để hàm số biến thiên miền Bài toán 1: Nội dung ghi bảng phút Bài tốn 1: Tìm m để hàm số : y y= x3-2x2+mx-2 đồng biến (- ¥ ;1) Kiến thức bản: m ³ g ( x)"x Ỵ D Û m ³ max g ( x) xỴD m £ g ( x)"x Î D Û m £ g ( x) xÎD Bài giải: Ta có y’=x2-4x+m Để hàm số đồng biến (- ¥ ;1) Û y’ ³ , " x ẻ (- Ơ ;1) x -4x+m , " x ẻ (- Ơ ;1) m -x +4x, " x ẻ (- Ơ ;1) Û m ³ Max g(x) , " x Ỵ ( -¥;1] GV: ĐK để hàm số đồng biến (- ¥ ;1) HS: y’ ³ , " xỴ (- ¥ ;1) GV: Khi m ³ -x +4x, " x ẻ (- Ơ ;1) thi m nh th no ? HS: m ³ Tìm GTLNg(x) " x Ỵ ( -Ơ;1] : Ta cú M ax g(x) xẻ -Ơ;1 ( Thời gian ] với g(x)= -x2+4x Ta tìm max g(x) " x ẻ ( -Ơ;1] GV : Gi hc sinh giải g’(x) = -2x+4, Cho g’(x) = Û x=2 BBT x -¥ g'(x) + g(x) -¥ Vậy Max g ( x) = g(1)=3 Þ m ³ xẻ( -Ơ;1ựỳỷ phuựt KT LUN : Vi m hàm số đồng biến (- ¥ ,1) Bài tốn 2: Tìm m để hàm số: y = - x3+(m-1)x2+(m+3)x-4 Bài toán 2: a) Nghịch biến ( 2; +¥ ) b) Đồng biến ( 0;3) GV: Gọi HS giải câu a GV gợi ý HS: Dự kiến trả lời Û y’ £ " x ẻ (2,+Ơ ) -x +2(m-1)x+m+3 Ê 0; " x ẻ ( 2; +Ơ ) m(2x+1) Ê x +2x-3; " x ẻ ( 2; +Ơ ) Û m£ x + 2x - ; " xẻ ( 2; +Ơ ) , 2x + GV: Bài tốn cho trở thành Tìm giá trị nhỏ g(x)= x + 2x - vi xẻ ( 2; +Ơ ) 2x + GV: Đạo hàm g ¢( x) ? HS: Dự kiến trả lời 2x + 2x + g’(x)= (2 x + 1) GV: cho hs lập BBT kết luận GV: Nhận xét: Bài giải: Ta có y’=-x2+2(m-1)x+m+3 Để hàm số nghịch biến ( 2; +¥ ) Û y Ê 0; " x ẻ ( 2; +Ơ ) Û -x +2(m-1)x+m+3 £ 0; " x Ỵ ( 2; +¥ ) Û m(2x+1) £ x +2x-3; " x Î ( 2; +¥ ) Û m£ x + 2x - ; " xẻ ( 2; +Ơ ) , 2x + ( 2x+1>0 " xỴ ( 2; +¥ ) ) Û m £ Min g(x) ; " x ẻ [ 2; +Ơ ) Tỡm GTNN g(x); " x ẻ [ 2; +Ơ ) : Ta có g’(x)= BBT: 2x + 2x + >0; " x ẻ [ 2; +Ơ ) (2 x + 1) 14 phút +¥ x g'(x) + +¥ g(x) Vậy Min g ( x) =g(2)=1 Þ m Ê [ xẻ 2;+Ơ ) GV: gi hs gii câu b gviên gợi ý Kết luận : Với m £ hàm số nghịch biến ( 2; +¥ ) b) Để hàm số đồng biến ( 0;3) Û GV: Khi m ³ Û y’ ³ 0; " x Ỵ ( 0;3) x + 2x - ; " xỴ ( 0;3) , 2x + m ³ Max g(x) hay m ³ Min g(x) " x Ỵ [ 0;3] ? HS: m ³ Max g(x) ; " x Ỵ [0;3] GV: Cho học sinh tìm Û m³ x + 2x - ; " xỴ ( 0;3) , 2x + (vì 2x+1>0; " xỴ (0,3) ) Û m ³ Max g(x) ; " x Ỵ [ 0;3] : Tìm GTLN g(x) " x Ỵ [0;3] x + 2x - Với g(x) = 2x + Max g(x); " x Î [0;3] kết luận m? BBT x -¥ + g'(x) 12 g(x) -3 12 Bài toán 3: Kết luận : GV: Tính y’ 12 Vậy Max g ( x) = g(3) = Þ m ³ 7 xỴéëê 0;3ùûú Với m ³ 12 hàm số đồng biến ( 0;3) Bài tốn 3: Tìm m để hàm số : mx + 4mx + 14 HS: y’= ( x + 2) y= GV: Hsố nghịch biến (1; +¥ ) Û ? mx + x - nghịch biến (1; +¥ ) x+2 Bài giải: Ta có y’= GV: Đặt g(x) = m£ - 14 x + 14 x Để hàm số nghịch biến (1; +¥ ) Û - 14 ; " x ẻ (1; +Ơ ) x + 14 x mx + 4mx + 14 ( x + 2) Û mx +4mx+14 £ 0; " x ẻ (1; +Ơ ) m(x +14x) Ê -14 ; " x ẻ (1; +Ơ ) m £ Ming(x) hay m £ Max g(x) ? mÊ - 14 ; " xẻ (1; +Ơ ) x + 14 x GV: Bài toán trở thành Tìm giá trị Û m £ Ming(x) ; " x Î [1; +¥ ) nhỏ g(x) [1; +Ơ ) Tỡm GTNN g(x); " xẻ [1; +Ơ ) GV: Lập bảng biến thiên g(x) 28( x + 7) Ta có g’(x) = [1; +¥ ) ( x + 14 x) 8phuùt Cho g’(x)=0 Û x=-7 HS: Lập BBT kết luận giá trị m Bảng biến thiên: cần tìm -¥ x +¥ + g'(x) +¥ g(x) - 14 15 Vậy Min g ( x) =g(1) = xẻộờở1;+Ơ ) ị mÊ -14 15 Kt luận: Với m £ Bài toán 4: GV: Hướng dẫn gọi học sinh giải tương tự toán -14 15 -14 hàm số nghịch biến 15 (1; +¥ ) Bài tốn 4: Tìm m để hàm số : y= x + (1 - m) x + m + x-m đồng biến (1; +¥ ) HS: Giải sau lớp nhận xét GV: Nêu điều kiện hàm số đồng biến Bài giải: x - 4mx + m - 2m - Ta thấy : y’= ( x - m) phút (1; +¥ ) ? Để hàm số đồng biến (1; +¥ ) ìï g ( x) = x - 4mx + m2 - 2m - 0"x ẻ (1; +Ơ ) Ûí m £1 ïỵ ì Ming ( x) ³ 0; "x ẻ [1; +Ơ ) ( *) m Ê1 î Đặt g(x) = x - 4mx + m2 - 2m - Hãy tìm Min g(x) " xẻ [1,+Ơ ) vi mÊ1 ? Tỡm GTNN g(x); " xẻ [1,+Ơ ) vi m Ê Ta cú g(x) =4(x-m) , Cho g’(x) =0 Û x=m Bảng biến thiên: x -¥ +¥ g'(x) + +¥ g(x) m2 - 6m +1 Vy Min g(x) " x ẻ [1; +Ơ ) với m £ : g(1)=m2-6m+1 ìm - m + ³ Û m £ 3- 2 m £1 ỵ ( *) Û í Kết luận , Với m £ - 2 hàm số đồng biến (1; +¥ ) II/ Củng cố dặn dò: (2 phút) - Từ phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ hàm số Bài học hôm giúp em nắm số cách tìm giá trị tham số để hàm số đồng biến hay nghịch biến miền mà không sử dụng dấu tam thức bậc - Các em phải tự thân nỗ lực rèn luyện thêm ♣♣ Bài tập nhà Bài 1: Tìm m để hàm số y= -x3-3x2+mx+4 nghịch biến ( 0; +¥ ) Bài 2: Cho hàm số y = x3 - ( 2m + 1) x + (12m + 5) x + c) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng ( 2; +¥ ) d) Tìm m để hàm số đồng biến khoảng ( -¥; -1) ( 2; +¥ ) Bài 3: Tìm m để hàm số y= x - 3x + m x -1 a) Đồng biến (3,+¥ ) b) Nghịch biến (-2,0) x + mx - đồng biến khoảng ( -1; ) 3- x Bài 4: Tìm m để hàm số y = ♣♣ Hướng dẫn Bài tập nhà : Bài 1: m Ê Ming(x) " xẻ [0; +Ơ ) vi g(x)=3x2+6x ; Đáp số m £ Ming(x) = Bài 2: a) 12m £ Min 3x - x + 5 "x ³ ; Đáp số m £ x -1 12 b) 12m ³ Max Đáp số : 3x - x + 3x - x + "x £ -1 ; 12m £ Min "x ³ ; x -1 x -1 - £m£ 12 12 Bài 3: a) m Ê Min g(x) " xẻ [3; +Ơ ) vi g(x)= x - x + Đáp số m £ Bài 3: b) m ³ Max g(x) " xỴ [ -2; 0] ;với g(x)= x - x + Đáp số m ³ 19 Bài 4: 3m £ Min g(x) " xỴ [ -1;0] ; với g(x)= x - x + ; Đáp số m £ C ĐÁNH GIÁ HIỆU QUẢ: Với việc dạy cho học sinh tiếp cận dạng tốn “tìm tham số để hàm số biến thiên miền” thơng qua phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ hàm số cần thiết so với phương pháp khác phương pháp dễ tiếp cận giải nhiều tốn Qua giúp em tự tin bước vào kỳ thi Đặc biệt tuyển sinh đại học kỳ thi học sinh giỏi tới em Sau dạy vấn đề thời gian cho kiểm tra đánh giá thấy đạt hiệu cao kết sau: 1/ Năm học 2008 – 2009: Đề: Tìm m để hàm số y = x - mx - mx + đồng biến khoảng (0; +¥ ) Kết quả: Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu 12A6 50 29 18 12A7 48 31 15 Nhận xét: - Đa số em nắm cách giải - Một số em mắc lỗi tính tốn 2/ Năm học 2009 – 2010: Đề: Tìm m để hàm số y = mx - (m + 1) x + (5 - m) x + đồng biến khoảng (-¥;1) Kết quả: Lớp Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu 12A4 45 32 12A6 42 37 12 A11 43 35 0 Nhận xét: - Đa số em nắm cách giải - Một số em mắc lỗi tính tốn D KẾT LUẬN: Để học sinh giải tập dạng kỳ thi, người thầy phải biết tìm tịi cách dạy tốn khó thường gặp, đồng thời hệ thống trang bị cho em số cách giải bản, qua giúp em tự giải tiếp tục nghiên cứu thêm Đồng thời phải biết vận dụng bố trí thời gian giảng dạy để ơn tập em có hiệu Trên số kinh nghiệm thân, vận dụng nhiều năm cho lớp dạy vấn đề tìm tham số để hàm số biến thiên miền; ngắn gọn dễvận dụng mà thân thấy mang lại hiệu tốt Tuy nhiên, để dạy ngày hồn hảo, thân ln mong đóng góp đồng nghiệp để sáng kiến ngày hoàn thiện áp dụng có khả thi Xin chân thành cảm ơn! Đánh giá xếp loại tổ CM Phan Rang-TC, ngày 05 tháng năm 2010 Người viết Ngoâ Phuù n g Nhận xét HĐKH Trường THPT Chu Văn An Chủ tịch HĐKH Ngô Phúng ... biết cách tìm giá trị lớn nhất-nhỏ hàm số biến phương pháp đạo hàm Tiết học hôm giúp em tìm tham số m để hàm số biến thiên miền Bài toán 1: Nội dung ghi bảng phút Bài tốn 1: Tìm m để hàm số : y... cho học sinh tiếp cận dạng tốn ? ?tìm tham số để hàm số biến thiên miền? ?? thơng qua phương pháp tìm giá trị lớn nhỏ hàm số cần thiết so với phương pháp khác phương pháp dễ tiếp cận giải nhiều tốn... dạy: Phương pháp giải tốn tìm tham số để hàm số biến thiên miền cho trước A/ Mục tiêu: 1/ Kiến thức: - Nắm vững định nghĩa định lý tính đơn điệu hàm số học - Vận dụng cho loại hàm số - Tìm giá