SKKN: Vận dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số dạng toán về phương trình chứa tham số trong chương trình Đại số 10

Nghiên cứu để làm rõ nội dung của phương pháp điều kiện cần và đủ, trên cơ sở đó vận dụng vào việc giải các bài toán về phương trình chứa tham số trong phạm vi chương trình Đại số 10. Nhằm nâng cao chất lượng dạy học chủ đề phương trình chứa tham số ở lớp 10. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến “Vận dụng phương pháp điều kiện cần và đủ để giải một số dạng toán về phương trình chứa tham số trong chương trình Đại số 10”.

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ 10 MỤC LỤC Trang Mục lục Mở đầu Chương Cơ sở lí luận thực tiễn 1.1.Các toán phương trình chứa tham số đại số 10 1.2.Đặc điểm toán phương trình chứa tham số đại số 10 1.3 Phương pháp điều kiện cần đủ .5 Chương Vận dụng phương pháp điều kiện cần đủ để giải số dạng tốn phương trình chứa tham số 2.1 Một số kiến thức liên quan .6 2.1.1 Bất đẳng thức tam giác 2.1.2 Bất đẳng thức Bunhiacopski cho số > , > ú , ú .6 2.2 Hệ thống tập giải phương pháp điều kiện cần đủ 2.2.1 Tính đối xứng biểu thức có mặt tốn việc xác định điều kiện cần 2.2.2 Sử dụng điểm thuận lợi để xác định điều kiện cần 13 2.2.3 Một số phương pháp khác để tìm điều kiện cần 17 Kết luận …………………………………………………………………… …22 Tài liệu tham khảo……………………………………………………………… 24 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Đất nước ta đà phát triển hội nhập Để đáp ứng nhu cầu cơng nghiệp hố-hiện đại hoá đất nước, với phát triển khoa học-công nghệ, giáo dục-đào tạo xem quốc sách hàng đầu, nhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực bồi dưỡng nhân tài Trong chương trình giáo dục trung học phổ thơng, mơn tốn chiếm vị trí đặc biệt quan trọng mơn học, sở nhiều mơn học khác Mơn tốn có khả to lớn giúp học sinh phát triển lực phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh tư biện chứng, tư trừu tượng, tư logic… Phương trình đặc biệt phương trình chứa tham số chiếm khối lượng không nhỏ chương trình tốn phổ thơng chương trình đại số 10 Vì vậy, việc đưa phương pháp cụ thể để giải dạng toán nội dung cần thiết Có nhiều tài liệu nghiên cứu nội dung song trình bày tổng hợp nhiều phương pháp nên mức độ phương pháp thực chưa làm sâu Phương pháp điều kiện cần đủ có lẽ quen thuộc giáo viên, sinh viên ngành toán song nhiều học sinh cấp III vấn đề mẻ Tuy nhiên, phương pháp điều kiện cần đủ lại tỏ hiệu việc giải toán phương trình chứa tham số Bằng phương pháp này, học sinh vận dụng vào giải tốn phương trình chứa tham số cách đơn giản dễ hiểu, số phương trình đặc biệt đề cập đến phần sau Xuất phát từ vị trí tính hiệu phương pháp điều kiện cần đủ kỹ giải tốn học sinh, tơi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “ Vận dụng phương pháp điều kiện cần đủ để giải số dạng toán phương trình chứa tham số chương trình đại số 10” với mong muốn cung cấp cho học sinh thêm phương pháp hữu hiệu học toán giải tốn, đồng thời góp phần tích luỹ kiến thức cần thiết cho công tác giảng dạy thân Hy vọng đề tài tài liệu hữu ích cho giáo viên học sinh tham khảo việc ôn luyện thi vào trường Đại học, Cao đẳng bồi dưỡng học sinh giỏi 2 Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu để làm rõ nội dung phương pháp điều kiện cần đủ, sở vận dụng vào việc giải tốn phương trình chứa tham số phạm vi chương trình đại số 10 - Nhằm nâng cao chất lượng dạy học chủ đề phương trình chứa tham số lớp 10 Nhiệm vụ nghiên cứu - Tổng hợp kiến thức liên quan đến phương trình phục vụ cho đề tài - Trình bày phương pháp điều kiện cần đủ - Vận dụng điều kiện cần đủ để giải số dạng tốn phương trình chứa tham số Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu phương pháp điều kiện cần đủ với số tốn phương trình chứa tham số giải phương pháp điều kiện cần đủ chương trình đại số 10 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu liên quan đến phương trình chứa tham số phương pháp điều kiện cần đủ - Trên sở phân tích, tổng hợp, khái qt…rút vấn đề cần thực đề tài Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo đề tài bao gồm chương: Chương 1: Cơ sở lí luận thực tiễn đề tài Chương 2: Vận dụng phương pháp điều kiện cần đủ để giải số dạng tốn phương trình chứa tham số Chương CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Các tốn phương trình chứa tham số đại số 10 Theo sách giáo khoa đại số 10 nội dung phương trình đề cập đến bao gồm: -Phương trình bậc bậc hai ẩn -Phương trình quy phương trình bậc bậc hai -Phương trình bậc hai ẩn Trong nội dung đó, có số nội dung có lẽ khơng gây khó khăn học sinh lớp 10 Để đáp ứng phạm vi nghiên cứu yêu cầu đề tài nội dung không đề cập đến Vì vậy, đề tài tơi xin trình bày tốn phương trình chứa tham số nội dung sau: -Phương trình bậc hai ẩn -Phương trình qui phương trình bậc bậc hai Ngồi ra, đề tài tơi xin trình bày số tốn phương trình chứa tham số khơng nằm nội dung sách giáo khoa nhằm phục vụ cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinh khối lớp 10 1.2 Đặc điểm toán phương trình chứa tham số đại số 10 Trong phương trình ngồi ẩn số cịn có chữ khác mà chữ xem số phương trình gọi phương trình chứa tham số, chữ khác gọi tham số Các tốn phương trình chứa tham số đại số 10 chủ yếu phân theo dạng: Dạng 1: Giải biện luận phương trình theo giá trị tham số Dạng 2: Xác định tham số để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước Các toán đề cập đến đề tài tập trung vào dạng thứ 2, tức xác định tham số để phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước đó, chẳng hạn như, xác định tham số để phương trình có nghiệm, có nghiệm, nghiệm với x thuộc khoảng 1.3 Phương pháp điều kiện cần đủ Cho phương trình chứa tham số N 2, = (I) với ∈ , ∈ biến, tham số, , miền 2, xét , Phương pháp điều kiện cần đủ chia làm bước: Bước (Điều kiện cần): Giả sử (I) thỏa mãn tính chất P mà đầu địi hỏi Dựa vào tính chất P, hàm số N 2, miền xét ta tìm điều kiện ràng buộc Điều kiện điều kiện cần để tốn cho có tính chất P Khi ∈ ⊂ chứa giá trị để làm cho tốn thỏa mãn tính chất P Nếu ∉ ứng với , (I) khơng có tính chất P Nghĩa giá trị cần tìm chứa tập Trong tập có giá trị khơng làm cho tốn thỏa mãn tính chất P nên để loại giá trị ta cần đến bước thứ 2, bước: điều kiện đủ Bước (Điều kiện đủ): Giả sử ∈ Ta cần tìm xem giá trị giá trị làm cho (I) thỏa mãn tính chất P Khi ta có điều kiện đủ để (I) thỏa mãn tính chất P Nếu tập hữu hạn giá trị ta thay giá trị , giải tốn để xem có thỏa mãn tính chất P hay khơng, thỏa mãn nhận cịn khơng loại Nếu khoảng hay đoạn giá trị ta dựa vào đặc trưng tốn số kiến thức liên quan lí thuyết phương trình để giải chúng Kết phép giải loại giá trị khơng thích hợp Chương VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ 2.1 Một số kiến thức liên quan 2.1.1 Bất đẳng thức tam giác |> + ú| ≤ |>| + |ú| Với >, ú ∈ ℝ ta ln có: Dấu “=” xảy >ú ≥ 2.1.2 Bất đẳng thức Bunhiacopski cho số > , > ú , ú Với số > , > ú , ú ta có: > ú + > ú Dấu “=” xảy = ≤ > + > ú + ú 2.2 Hệ thống tập giải phương pháp điều kiện cần đủ 2.2.1 Tính đối xứng biểu thức có mặt tốn việc xác định điều kiện cần Trong phần tơi xin trình bày tốn có chung u cầu tìm tham số để phương trình cho có nghiệm Các phương trình đưa có đặc điểm chung nghiệm phương trình − nghiệm phương trình Lợi dụng đặc điểm mà ta có phương pháp chung để giải tốn sau: Giả sử phương trình có nghiệm lúc cịn có nghiệm khác − , tính nghiệm nên nghiệm phải nhau, từ ta tính Thế vào phương trình đầu để tìm tham số Sau ngược tham số tìm vào phương trình đầu để giải Nếu ứng với tham số mà phương trình khơng thỏa mãn tính nghiệm ta loại giá trị tham số Những giá trị tham số cịn lại kết cần tìm tốn Một số toán sau giải phương pháp trên: Bài tốn 1: Tìm để phương trình sau có nghiệm √4 − + √2 + = Giải: Tập xác định (1) Điều kiện cần: (1) = − 5; Giả sử phương trình cho có nghiệm = Vì = nghiệm nên ta có 4− + + 5= −1− + 5+ 4− −1− = Điều có nghĩa = − − nghiệm phương trình cho Để đảm bảo tính nghiệm = − − Thay = = − vào (1) ta Điều kiện đủ: Giả sử = 3√2 = − = 3√2 Lúc (1) trở thành √4 − + √5 + = 3√2 Theo bất đẳng thức Bunhiscopski ta có: √4 − + √2 + ≤ + √4 − + √5 + ≤ 3√2 Dấu “=” xảy √4 − = √5 + − + + = 18 4− = 5+ 2= − Do phương trình có nghiệm = − Tóm lại, Nhận xét: = 3√2 điều kiện cần đủ để (1) có nghiệm Trong lời giải này, điểm khó có lẽ việc nhận = − − nghiệm phương trình cho, thực cơng việc không đơn giản, phải tiếp xúc với nhiều tập dạng hình thành kỹ Bài tốn 2: Tìm >, ú, cho phương trình sau có nghiệm |2 − >| + |2 − ú| = Giải: (2) Điều kiện cần: Giả sử phương trình (2) có nghiệm = Vì nghiệm (2) nên ta có |2 − >| + |2 − ú| = | >+ ú− − >| + | > + ú − Do = > + ú − nghiệm (2) Do tính nghiệm ta suy = > + ú − Thay = = Vậy |> − ú| = vào (2) ta |> − ú| = = − ú| = điều kiện cần để phương trình (2) có nghiệm Điều kiện đủ: Giả sử |> − ú| = , (2) trở thành |2 − >| + |2 − ú| = |> − ú| |2 − >| + |2 − ú| = | − ú − − > | Theo bất đẳng thức tam giác ta có: | − ú − − > | = | − ú + > − | ≤ |2 − ú| + |> − 2| = |2 − ú| + |2 − >| Dấu “=” xảy − ú > − ≥ 2− > 2− ú ≤ *Nếu > ≠ ú bất phương trình có chứa nghiệm = >, = ú nên khơng thỏa tính nghiệm *Nếu > = ú bất phương trình trở thành − > ≤ = > Do phương trình cho có nghiệm = > Từ > = ú suy = |> − ú| = Vậy điều kiện cần đủ để phương trình cho có nghiệm > = ú, = Bài tốn 3: Tìm để phương trình sau có nghiệm √3 + + √6 − − Giải: Tập xác định (3) Điều kiện cần: 3+ 6− = (3) = − 3; Giả sử phương trình có nghiệm = Do nghiệm (3) nên ta có 3+ + 3+ 3− + 6− − 3+ 6− 3− Suy = − nghiệm (3) − 6− = 3+ 3− Do tính nghiệm nên ta phải có = − 6− 3− 2 = = Thay = = Vậy √ = √ = vào (3) ta điều kiện cần để phương trình (3) có nghiệm Điều kiện đủ: Đặt √ = Giả sử , lúc (3) trở thành √3 + + √6 − − = √3 + + √6 − 3+ 6− = − Khi (3) viết lại: √ = ≥ − + 6√2 − 18 = (nghiệm = − 3√2 < nên bị loại) Với = 3√2, ta có: √3 + + √6 − = 3√2 3+ 6− = Suy = Tóm lại, − 32 + = 2= √ 3+ 6− = = 9+ (3.1) 3+ 6− = 3√2 9+ = − 3√2 + − = 18 3+ 6− =  ∈ nghiệm phương trình (3.1) = √ điều kiện cần đủ để phương trình cho có nghiệm Nhận xét: Với toán này, sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để giải khơng giải được, cơng việc khơng đơn giản đặc biệt học sinh lớp 10 Song với phương pháp điều kiện cần đủ trình bày lời giải gọn gàng dễ hiểu Điều cho thấy, số toán phương pháp điều kiện cần đủ tỏ rõ mạnh Bài tốn 4: Tìm >, ú để phương trình sau có nghiệm + >|2| + ú = Giải: (4) Điều kiện cần: Giả sử (4) có nghiệm = Nhận thấy nghiệm (4) − nghiệm (4) Do tính nghiệm nên ta phải có = − 2 = Thay = = vào (4) ta ú = Vậy ú = điều kiện cần để phương trình (4) có nghiệm Điều kiện đủ: Với ú = 0, phương trình (4) trở thành + >|2| = |2| |2| + > = Nếu > ≥ (4) có nghiệm = Nếu > < (4) ln có nghiệm = = ± > Do điều kiện cần đủ để phương trình cho có nghiệm > ≥ ú = Bài tốn 5: Tìm Giải: để phương trình sau có nghiệm √2 + = |2| + (5) Điều kiện cần: Giả sử (5) có nghiệm = Nhận thấy nghiệm phương trình (5) − nghiệm Do tính nghiệm ta suy = − 2 = Thay = = vào (5) ta Do = = điều kiện cần để (5)có nghiệm Điều kiện đủ: Với = 1, phương trình (5) trở thành √2 + = |2| + + = |2| + 2|2| = 2= + = + 2|2| + Suy = nghiệm phương trình (5) Vậy = điều kiện cần đủ để phương trình (5) có nghiệm Nhận xét: Các phương trình chứa tham số đưa phần có đặc điểm chung nghiệm phương trình cho − nghiệm Chính lợi dụng điểm với yêu cầu nghiệm toán ta tìm giá trị tham số Khi dạy học phần cho học sinh lớp 10, giáo viên thực theo trình tự sau: -Giới thiệu phương pháp cho học sinh -Trình bày đặc điểm chung dạng tốn giới thiệu -Đưa ví dụ cụ thể, hướng dẫn học sinh tìm lời giải theo phương pháp nêu, cụ thể: + Giả sử nghiệm phương trình, yêu cầu học sinh tìm nghiệm khác phương trình mà biểu thị theo + Từ tính nghiệm, gợi ý cho học sinh tìm cách tính + Thay ngược giá trị lại phương trình đầu, yêu cầu học sinh xác định giá trị tham số + Đối với giá trị tham số cho học sinh giải phương trình để loại giá trị tham số khơng thỏa mãn Chú ý rằng, điểm khó dạy học phần cho học sinh thấy nghiệm phương trình − nghiệm Giáo viên cần làm rõ để học sinh xác định số 2.2.2 Sử dụng điểm thuận lợi để xác định điều kiện cần Trong phần này, xin giới thiệu tốn phương trình chứa tham số có dấu hiệu sau đây: tốn địi hỏi xác định giá trị tham số làm cho phương trình thỏa mãn với giá trị biến số thuộc miền cho trước Với loại toán này, phương pháp giải chúng sau: Vì phương trình cho ∀2 ∈ , nên vài giá trị cụ thể tập , ta giá trị tham số mà chắn chứa giá trị tham số cần tìm Từ giá trị tham số tìm bước ta lại vào phương trình ban đầu xem có thỏa mãn u cầu tốn khơng, từ để loại giá trị tham số không thỏa mãn Tất nhiên khó nên chọn từ tập giá trị để thay vào phương trình ban đầu? Câu trả lời khơng có qui tắc để chọn cả, nhiên giá trị chọn phải cho thuận lợi đến việc giải toán Việc chọn giá trị thường dựa trực giác kinh nghiệm tích lũy được, trực giác kinh nghiệm đương nhiên không tự dưng mà có, mà phải rèn luyện đúc rút thơng qua việc giải toán Mong qua toán trình bày phần giúp học sinh vận dụng tốt phương pháp vào việc học tốn Sau số tốn giải phương pháp vừa nêu trên: Bài toán 6: Tìm > cho phương trình sau có tập nghiệm − 1; + ∞ Giải: |2 − >| − |2 + 1| = (6) Điều kiện cần: Giả sử phương trình cho có tập nghiệm − 1; + ∞ Do − 1; + ∞ tập nghiệm (6) nên rõ ràng = − nghiệm Thay = − vào (6) ta |> + 1| = > = ∨ > = − Vậy điều kiện cần để phương trình cho có tập nghiệm − 1; + ∞ > = > = − Điều kiện đủ: * Với > = 1, phương trình cho trở thành |2 − 1| − |2 + 1| = (6.1) Nhận thấy = không thỏa mãn (6.1) nên khơng nghiệm (6.1), tập nghiệm (6.1) − 1; + ∞ Suy > = không thỏa mãn điều kiện tốn * Với > = − 3, phương trình cho trở thành (6.2) Nếu < − (6.2)⇔ − − − − − = − = (không thỏa mãn) |2 + 3| − |2 + 1| = Nếu − ≤ < − (6.2) Nếu ≥ − (6.2) 2+ 3− −2 − = 2+ − 2+ = Vậy tập nghiệm (6.2) − 1; + ∞ = − (không thỏa) = (thỏa ∀2 ≥ − 1) Tóm lại > = − điều kiện cần đủ để phương trình (6) có tập nghiệm − 1; + ∞ Tìm >, ú để phương trình sau ∀2 ∈ ℝ Bài toán 7: >√2 + − √2 + ú2 + = Giải: (7) Điều kiện cần: Giả sử phương trình (7) ∀2 ∈ ℝ Khi (7) nói chung phải = = Thay = = vào phương trình (7) ta có hệ >− 1= >√2 − √ú + = >= √ú + = >√2 = √2 Do > = 1, ú = điều kiện cần toán >= ú= Điều kiện đủ: Với > = 1, ú = rõ ràng (7) thỏa mãn ∀2 ∈ ℝ Vậy điều kiện cần đủ để (7) ∀2 ∈ ℝ > = ú = Bài toán 8: Tìm Giải: để phương trình sau nghiệm ∀2 ∈ 0; √22 − = 1− + + 2− (8) Điều kiện cần: Giả sử phương trình (8) nghiệm ∀2 ∈ 0; , điều cho phép ta suy = nghiệm (8) Thay = vào phương trình (8) ta √1 − = = Đây điều kiện cần tốn Điều kiện đủ: Với = dễ nhận thấy phương trình (8) thỏa mãn ∀2 mà bậc hai có nghĩa, tức thỏa mãn ∀2 ∈ 0; Vậy = điều kiện cần đủ để phương trình (8) nghiệm ∀2 ∈ 0; Bài tốn 9: Tìm để phương trình sau nghiệm ∀2 ≥ √2 − 22 + Giải: − + 3= 2− (9) Điều kiện cần: Giả sử phương trình (9) nghiệm ∀2 ≥ 1, điều có nghĩa = nghiệm (9) Thay = vào (9) ta √ − + 2= − − − − + 2≥ + 2= − + 2= Như vậy, m = điều kiện cần toán − + + = Điều kiện đủ: Với m = 1, phương trình (9) trở thành √2 − 22 + = − 2− Rõ ràng "x ³ (9.1) thỏa mãn = 2− |2 − 1| = − (9.1) Do m = phương trình (9.1) nghiệm "x ³ Tóm lại, điều kiện cần đủ để phương trình (9) nghiệm "x ³ m = Nhận xét: Khi dạy học dạng tập phương pháp điều kiện cần đủ cho học sinh lớp 10 muốn đạt kết tốt, giáo viên cần phải lưu ý đến điểm sau: +Dạy kỹ phương pháp giải dạng tập cho học sinh (có kèm theo ví dụ) +Dạy tập từ dễ tới khó nhằm tạo tính kích thích học tập học sinh +Giáo viên cần cung cấp cho học sinh thật nhiều tập để học sinh có điều kiện rèn luyện Hình thành cho học sinh kỹ giải dạng tập phương pháp điều kiện cần đủ chuyện hai giáo viên cần phải tiến hành từ từ, bước, khơng nóng vội Tơi nghĩ điều ý nhiều tạo điều kiện thuận lợi cho học sinh việc hình thành kỹ Do giáo viên cần đặc biệt lưu tâm 2.2.3 Một số phương pháp khác để tìm điều kiện cần Phương pháp điều kiện cần đủ thường tỏ phương pháp hiệu để giải dạng tốn sau: -Tìm tham số để phương trình có nghiệm -Tìm tham số để phương trình nghiệm ∀2 ∈ cho trước -Tìm tham số để phương trình có nghiệm Ở phần trước làm quen với dạng toán đầu Ở phần tập chủ yếu tập trung vào dạng thứ Nhìn chung tập phần có phần phức tạp phần trước sau tìm điều kiện cần thường không đến điều kiện đủ mà muốn tìm đáp số tốn ta cần thắt chặt “đầu nút” điều kiện cần (ở phần trước phần lớn toán đưa sau tìm điều kiện cần ta thường có kết tốn) Đối với tốn đưa phần nói chung khơng có phương pháp giải cụ thể cả, tất dựa kiến thức học phương trình khả suy luận để giải Bởi cơng việc giải tốn địi hỏi tính tư người học cao Sau số toán minh họa cho ý nói trên: để phương trình sau có nghiệm nghiệm khơng âm Bài tốn 10: Tìm − 2− Giải: = (10) Điều kiện cần: Để phương trình (10) có nghiệm nghiệm khơng âm điều kiện cần (10) phải có nghiệm, tức là: Δ≥ 1+ ≥ ≥ − Đây điều kiện cần toán Điều kiện đủ: Giả sử ≥ − * Xét > Lúc phương trình (10) có nghiệm trái dấu nên dĩ nhiên khơng thỏa mãn u cầu tốn * Xét − ≤ ≤ Ta có phương trình (10) có nghiệm theo Với − ≤ = √ ≤ ≤ + = √ > ≤ suy √1 + ≤ 1, Như trường hợp nghiệm (10) không âm √ ≥ Tóm lại, với ∈ − ; u cầu tốn thỏa mãn Bài tốn 11: Tìm giá trị > cho phương trình sau có nghiệm phân biệt > − − >2 + > − = (11) Giải: Điều kiện cần: * Nếu > = (11) phương trình bậc hai nên khơng thể có nghiệm phân biệt, điều kiện cần > ≠ * Nếu > ≠ (11) phương trình trùng phương nên để (11) có nghiệm phân biệt (11) phải có nghiệm = (Vì = khơng nghiệm (11) (11) vơ nghiệm có số nghiệm chẵn) Thay = vào phương trình (11) ta > − = > ≠ ta > = − > = ± 1, kết hợp với Vậy > = − điều kiện cần để phương trình (11) có nghiệm phân biệt Điều kiện đủ: Giả sử > = − 1, phương trình (11) lúc trở thành − 22 + = Phương trình có nghiệm phân biệt = 0, = − √ = √ Tóm lại, điều kiện cần đủ để (11) có nghiệm phân biệt > = − Bài toán 12: Cho phương trình 2 − 22 + √2 − 22 + − Với giá trị Giải: phương trình có nghiệm? = (12) Đặt = √2 − 22 + 3, ta có = 2− trở thành + − − 6= + ≥ √2 Lúc phương trình (12) (12.1) Bài tốn cho tương đương với tốn sau: Tìm để phương trình (12.1) có nghiệm thuộc √2; + ∞ Điều kiện cần: Viết lại (12.1): Giả sử Mà + = + ≥ √2 nghiệm phương trình (12.1), lúc ta có 2 + + = ≥ √2 + (12.2) + √2 = + √2 + ≥ + √2 Do từ (12.2) ta suy ≥ √2 − Đây điều kiện cần toán Điều kiện đủ: Giả sử ≥ √2 − Xét phương trình (12.1) ta có Δ = + 2) Nên (12.1) có nghiệm Ta thấy rằng: với √8 = √ + = ≥ √2 − + 49 ≥ = 8√2 − 16 + 49 = √ ≥ Do phương trình (12.1) có nghiệm = √ √ + 49 > (do 33 + 8√2 = 4√2 + = √2 ≥ √2 ≥ √2 − Tóm lại, với giá trị nghiệm ≥ √2 − phương trình cho ban đầu có Nhận xét: Nhìn chung tốn trình bày phần có phần phức tạp khơng có phương pháp cụ thể để tìm điều kiện cần, tìm điều kiện cần, giá trị tham số tìm thường khơng phải kết tốn mà cần phải thắt chặt “đầu nút” đến kết cuối Cơng việc địi hỏi tính kỹ thuật cao, vận dụng tốt rèn luyện tính tư cao tiếp nhận học sinh gặp khơng khó khăn Vì thế, dạy học phương pháp điều kiện cần đủ cho học sinh, giáo viên đưa khơng đưa nội dung vào, tùy theo đối tượng học sinh KẾT LUẬN Kết đạt Nội dung đề tài bao gồm chương: Chương 1: Cơ sở lí luận thực tiễn Chương 2: Vận dụng phương pháp điều kiện cần đủ để giải số dạng tốn phương trình chứa tham số Đề tài trình bày việc vận dụng phương pháp điều kiện cần đủ vào việc giải số dạng tốn phương trình chứa tham số chương trình đại số 10, tập trung chủ yếu vào dạng toán với 12 toán, dạng toán cụ thể sau: - Định tham số để phương trình có nghiệm - Định tham số để phương trình thỏa mãn với khoảng (đoạn) - Định tham số để phương trình có nghiệm Chương trình bày tốn giải phương pháp điều kiện cần đủ đầy đủ dạng tốn Thơng qua lời giải tốn chương ta thấy có số toán giải phương pháp điều kiện cần đủ tự nhiên, có đơi lúc rườm rà ngược lại có nhiều tốn giải phương pháp lại cho lời giải gọn gàng, dễ hiểu nhanh chóng, số tốn cịn thể tính độc đáo phương pháp Đặc biệt, dạy thử nghiệm nội dung cho đội tuyển học sinh giỏi nhiều em cịn tỏ thích thú tiếp nhận phương pháp độc đáo em Tuy nhiên, nói từ trước, phương pháp điều kiện cần đủ khơng phải “chiếc chìa khóa vàng” để mở cửa tốn mà thực có hiệu số dạng toán định nên xem phương pháp phương pháp bổ trợ mà Tôi tin tưởng người học vận dụng tốt phương pháp việc giải tốn phương trình chứa tham số thuận lợi nhiều Với kết làm đề tài, hy vọng đề tài tài liệu tốt cho giáo viên học sinh việc bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi mơn tốn vào trường Đại học, Cao đẳng 2 Một số hạn chế - Số lượng tốn trình bày đề tài ít, số tốn trình bày cịn rườm rà - Phương pháp trình bày đề tài phù hợp vói số dạng tốn định, khơng phải phương pháp tổng quát Cụ thể phù hợp với dạng toán thứ thứ hai chương đề tài - Việc sử dụng phương pháp đưa lại hiệu tốt học sinh có học lực trở lên nên khơng áp dụng cách rộng rãi Kiến nghị đề xuất - Phương pháp trình bày đề tài phù hợp với học sinh có mức học lực từ trở lên nên xem tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh việc bồi dưỡng học sinh giỏi luyện thi vào trường Đại học, Cao đẳng, không nên giảng dạy đại trà cho tất học sinh - Xuất phát từ tâm nguyện người giáo viên ngày giảng dạy cho học sinh thân u mình, tơi mong muốn đề tài tơi đánh giá cần phổ biến cách rộng rãi để tài liệu đến tay giáo viên học sinh yêu thích mơn tốn TÀI LIỆU THAM KHẢO Lương Mậu Dũng-Lê Mậu Thống, Nâng cao đại số 10-tự luận trắc nghiệm, Nhà xuất Thanh Hoá, 2007 Phan Huy Khải, Toán nâng cao cho học sinh THPT-Đại số, tập 1, Nhà xuất Hà Nội, 2001 Phan Huy Khải, Phương trình bất phương trình đại số, Nhà xuất khoa học Tự nhiên Công nghệ, 2009 Nguyễn Bá Kim-Đinh Nho Chương-Nguyễn Mạnh Cảng-Vũ Dương ThụyNguyễn Văn Thường, Phương pháp dạy học mơn tốn-Phần 2: Dạy học nội dung bản, Nhà xuất giáo dục, 1994 Đoàn Quỳnh-Nguyễn Huy Đoan, Đại số 10(nâng cao), Nhà xuất giáo dục, 2008 Ngô Hữu Tâm-Nguyễn Thị Ngoạn-Võ Văn Thơng, Đại số giải tích-Tài liệu luyện thi Đại học mơn tốn, Nhà xuất TPHCM, 2007 Huỳnh Công Thái, Các chuyên đề đại số nâng cao-Bất phương trình, hệ bất phương trình, Nhà xuất Đại học Quốc gia TPHCM, 2007 Tuyển tập theo chuyên đề Toán học Tuổi trẻ, Nhà xuất giáo dục, 2007  ... dụng phương pháp điều kiện cần đủ để giải số dạng tốn phương trình chứa tham số Đề tài trình bày việc vận dụng phương pháp điều kiện cần đủ vào việc giải số dạng toán phương trình chứa tham số chương. .. tiễn đề tài Chương 2: Vận dụng phương pháp điều kiện cần đủ để giải số dạng toán phương trình chứa tham số Chương CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Các tốn phương trình chứa tham số đại số 10 Theo... pháp điều kiện cần đủ với số toán phương trình chứa tham số giải phương pháp điều kiện cần đủ chương trình đại số 10 Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu liên quan đến phương trình chứa tham