Khi ®ã cã thÓ lùa chän ph¬ng ph¸p tÝnh gÝ trÞ cña biÓu thøc ®ã mét c¸ch gi¸n tiÕp... NhËn xÐt: Ta nhËn thÊy A vµ B lµ hai biÓu thøc liªn hîp cña nhau..[r]
(1)một số vấn đề cần biết thêm Căn bậc hai Chúng ta biết rằng: Trong chơng I phần Đại Số với tiêu đề bậc hai - Căn bậc ba, kiến thức nh kĩ vận dụng ĐN, HĐT phép biến đổi thức vào việc giải tập tính tốn thu gọn (Các cơng thức biến đổi bậc hai đợc nhắc lại cuối chuyên đề) Song có khơng tập chơng trình, đặc biệt tập dành cho em HS giỏi việc thực vận dụng trực tiếp kiến thức dẫn đến lời giải rờm rà, khơng ngắn gọn chí khơng giải đợc Sau số dạng tốn kèm theo cách giải loạt tập nh
d¹ng 1
Vận dụng "hệ thức Viét" để đa biểu thức có dạng S2 P dạng a b2
(Biểu thức S2 P đa đợc dạng a b2 nếu S P tổng tích hai s))
Chúng ta bắt đầu với thức có dạng S2 P Việc đa thức vỊ d¹ng
a b2 dễ dạng thực đợc nh số a b không lớn dễ
nhẩm Tuy nhiên việc tìm hai số a b nhiều trờng hợp vấn đề khơng đơn giản
XÐt bµi to¸n: Rót gän c¸c biĨu thøc sau:
a) A5 48 10 3 b) B 66536 192 14168
Biểu thức A có nhiều dấu nhng đơn giản cho HS thực rút gọn thức từ ngoài, biểu thức B có dấu nhng việc đa biểu thức 66536 192 14168 dạng bình phơng tổng (hay bình phơng hiệu)
đúng việc khó làm!
Trở lại toán ban đầu đặt đa biểu thức có dạng S2 P dạng a b2 Ta có: S2 P a b2 S2 P a b2 S2 P(a b ) 2 ab
Từ thấy coi S = (a + b) P = ab
Trên cơng vị ngời giáo viên biết hai số a b có tổng S tích P hai số a b nghiệm phơng trình bậc hai: x2 - Sx + P = 0 (Theo hệ thức Viét) Do để đa biểu thức có dạng S2 P dạng a b2 ta làm theo bớc sau:
Bớc 1: Viết thức cho dạng S2 P (chú ý phải có số đứng trớc P) Bớc 2: Lập phơng trình x2 - Sx + P = giải tìm đợc hai nghiệm x
1 = a x2= b Bớc 3: Biến đổi rút gọn thức S2 P =
( a b) a b
Chóng ta h·y cïng minh ho¹ b»ng mét viƯc rút gọn số biểu thức sau đây:
Ví dô 1) M = 10 21
Bớc 1: Căn thức cho có dạng S2 P với S = 10 P = 21
Bớc 2: Có thể nhẩm nhanh đợc hai số có tổng 10 tích 21 Bớc 3: Khi M = 10 21 ( 7 3)2 7 3
Chú ý: Trong thực hành ta cần trình bÇy bíc 3
VÝ dơ 2) N = 53 90
(2)Bíc 2: Ph¬ng tr×nh x2 - 53x + 360 = cã hai nghiƯm x
1 = 45 vµ x2 =
Bớc 3: Khi N = 53 90 53 360 ( 45 8)2 45 8 2
VÝ dô 3) Q = 65 984
Thực tơng tự ta có đợc: Q = 65 984 ( 41 24)2 41 24 41 6
VÝ dô 4) K = 66536 192 14168 66536 130572288 (lµm xt hiƯn sè "2")
2
( 64512 2024) 64512 2024 96 506
Bài tập đề nghị: Rút gọn thức sau:
1) 20 96 2) 110 1261 3) 65 984 4) 4,932 18, 204 5) 13 160 53 90 6) 15 6 35 12 7) 2 13 48 8) 2 12 18 128
9) 40 57 40 57 10) 8 10 5 8 10 5
11) 6 2 3 2 12 18 128 12) 15 216 33 12 6 13) 4 10 5 4 10 5 14) 14 3 24 12 3 15) 4 5 48 10 3 16) 2 21 11
17) 13 30 2 9 2 5 2
d¹ng 2
phơng pháp tính gián tiếp giá trị mét biĨu thøc
Đối với số tốn rút gọn biểu thức số có chứa bậc hai việc đ a biểu thức dấu dạng bình phơng tổng hiệu khơng thể (hoặc đa đợc dạng bình phơng tổng hiệu lời giải phức tạp, đơi dài dịng nhiều thời gian) Khi lựa chọn phơng pháp tính gí trị biểu thức cách gián tiếp Chúng ta tìm hiểu qua số ví dụ điển hình sau đây:
VÝ dơ 1) TÝnh A = 3 5 7 5 2
Nhận xét: Ta nhận thấy biểu thức 3 5 7 5 đa đợc dạng
2
( a b) nh rút gọn đợc biểu thức A cách rút gọn biểu thức thành phần A
Để ý nếu: gấp đôi biểu thức 3 5đợc ( 1)
gấp đôi biểu thức 5 đợc 14 (3 5)2
Và ta có lời giải Ví dụ nh sau:
2
2 14 ( 1) (3 5) 5 A
VËy A = 4 : 2 2
(3)NhËn xÐt: Ta nhËn thÊy biÓu thức B rút gọn cách nhân hai vế (2) với 2 (tơng tự cách giải VÝ dơ 1) Tuy nhiªn ta thÊy r»ng 2 3là
biu thc liờn hp ca nhau, tích chúng có giá trị Do ta nghĩ tới việc lập tích 2 3 2 3 cách xét luỹ thừa bậc hai biểu thức B Ta có lời giải cho Ví dụ nh sau:
Ta cã: B2 =
2
2 3 2 2 2 (2 3)(2 3) 6
Do 2 3 2 3 > nªn B > VËy B =
KL1: Nh thực thu gọn biểu thức A ta tính kA (việc xác định hệ số k tuỳ thuộc vào hạng tử căn) luỹ thừa A (việc xác định bậc luỹ thừa tuỳ thuộc vào bậc thức)
Chúng ta tiếp tục thấy đợc "lợi hại" phơng pháp luỹ thừa biểu thức cần thu gọn qua ví dụ sau:
VÝ dô TÝnh C = 32 10 10
3
§Ĩ ý thÊy 10 10
9 3
10
3
vµ 10
hai biểu thức liên hỵp cđa
C3 =
3 10 10
3 3
=
3
3 10 32 10 3 10 32 10 32 10 32 10
3 3 3 3 3 3
(VËn dơng H§T: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b))
C3 = 2 10 2 10 33 2 10 2 10 .
3 3 3 3
C (Thay 10 10
3
=
C)
C3=4 43 100. 4 6.
27
C = C
Suy ra: C3 - 6C - = (C + 2).(C2- 2C - 2) = Do C > nên C + Do ta có C2 - 2C - =
Tìm đợc C1 = 1+ (Thoả mãn C > 0); C2 = - (Loại, không thoả mãn C > 0)
VËy C = 1+
VÝ dô TÝnh D = 4 10 5 4 10 5 (3)
Ta cã: D2 =
2
4 10 10
= 4 10 4 10 (4 10 )(4 10 )
2
8 16 (10 5) 8 ( 1) 2( 1) ( 1)
Do 4 10 5 4 10 5 4 10 5 4 10 5 D < VËy C = 1 5
(4)Đặt E1 = 3 3 3 3 Tính (E1)2 tìm đợc E1 = 1
Đặt E2 = 3 3 3 3 Tính (E2)2 tìm đợc E2 = 1
Do vËy E = E1 + E2 =
VÝ dô TÝnh G = 5 17 7 5 17 7 7
Đặt G1= 5 17 7 5 17 7
Bằng phơng pháp luỹ thừa bậc hai biểu thức G1 ta tìm đợc G1 = 1 Do G =
KL2: Nh vËy thùc hiƯn thu gän biĨu thøc A = B + C ta cã thĨ tÝnh gi¸n tiếp B hoặc C B C
Bài tập đề nghị:
Bµi 1: Rút gọn thức sau:
1) 3 5 2 2) 3 5 3 5
3) 17
2
8 10 5 10 5 2 10
5) 6 18 17 6 18 17 6 18 17 6 18 17
6) 3
2 3
7)
15
1 15
4
Bµi 2: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
1 A = 20 14 2 320 14 2
B = 2 3 2
3 C =
3
26 675 26 675 26 675 26 675
4 D = 6 10 6 10
5 E = 5 13 35 13
F = 45 29 2 345 29 2
7 G = 32 10 32 10
27 27
H = 34 31 31
3 3
Bµi 3 Cho a 3 3 5 10 2 CMR a số tự nhiên
Bài 4 CMR: 49 20 49 20 3
HD: Ta cã: 49 20 (5 24)2 ( 3 2)4
Suy ra: 49 20 6 3 2
Tơng tự nh vậy, ta có: Từ ta cú PCM
dạng 3
tính giá trị biểu thức KHI BIếT GIá TRị MộT biểu thức LIÊN HỵP CđA Nã
VÝ dơ 1. Cho A = 16 2 9 2 1
x x x x Tính B = 16 2 x x 2 x x Nhận xét: Ta nhận thấy A B hai biểu thức liên hợp Tích chúng 7, số khơng đổi Do ta lập tích A.B từ có cách giải cho tốn Giải: Ta có A.B =( 16 2x x2 9 2x x2)( 16 2x x2 9 2x x2)
B = (16 2x x2) (9 2x x2) 7
(5)Một số Bài tập dạng VÝ dô 1
1.Cho 2
25 x 15 x 2 TÝnh 25 x 15 x
2.Cho 2 2
x 6x 13 x 6x 10 TÝnh x2 6x 13 x2 6x10
3. TÝnh M x2 4x 9 x2 4x 8
BiÕt x2 4x 9 x2 4x 8 12
4. Tỉng qu¸t 1: Cho M A(x) a A(x) b = c TÝnh N A(x) a A(x) b
5. Tỉng qu¸t 2: Cho M A(x) a A(x) b = c TÝnh N A(x) a A(x) b
Chú ý: A(x) a 0; A(x) b 0 nên A(x) a A(x) b ≥ A(x) a A(x) b Hay M ≥ N lập đề toán tơng tự cần ý đến ĐK : c ≥a b
c
c2 ≥ a - b để
bài tốn có tồn Đây điểm mà số GV không để ý đến thờng lập đợc đề tốn giải đợc nhiên khơng để ý đến tính logíc Tốn Ví dụ sau câu đề thi HSG số năm.
TÝnh M x2 4x 9 x2 4x 8
BiÕt N = x2 4x x2 4x
(?!!!)
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức S x 1 y2 y 1 x2
víi xy (1x2)(1y2)a
HD: TÝnh a2 - = 2 2 2
(1 )(1 ) (1 )(1 )
x y x y xy x y -
VÝ dô Cho 2
(x x 1).(y y 1) Tìm giá trị cđa biĨu thøc Ax2007 y2007
Đây dạng tập gặp nhiều lần thi chọn HSG hun hay tỉnh, đơi kì thi vào THPT
Gi¶i: Tõ 2
(x x 1).(y y 1) 1
2
2
2
2
y y
1
x x y y
y y
y y
(1)
Vµ
2
2
2
2
1 x x
y y x x
x x
x x
(2)
Tõ (1) vµ (2) x x21 x2 1 x y2 1 y y2 1 y
2x = -2y x = -y x2007 = (-y)2007 = -y2007 VËy 2007 2007
Ax y = y2007 y2007=
Tæng qu¸t VD3: Cho (A A2 a ).(B B2a ) a T×m GT cđa b't': MA2 k 1 B2 k dạng 4
một số phơng pháp so sánh hai biĨu thøc chøa Cbh 1 ¸p dơng tÝnh chÊt ab a bvíi a ; b ≥
VÝ dụ 1.1: So sánh và 11
Vì < 11 nªn 9 11 VËy 3 < 11 VÝ dơ 1.2: So s¸nh
35 và 36
Vì 2.36= 72 < 35.3 = 105 nªn
35 36 VËy
2 35 <
3 36 2 §a thừa số vào dấu so sánh
(6)Ta cã 2 3 12; 2 18 Vì 12 < 18 nên 2 3 < 3 2 3 Bình phơng mõi số so sánh
Ví dụ 3.1: So sánh 2 3 3 2
Ta cã(2 3)2 12; (3 2)2 18
Vì 12 < 18 nên (2 3)2 (3 2)2.VËy 3<3 VÝ dơ 3.2: So s¸nh 5 3 vµ 6 2
Ta cã ( 5 3)2 = + 2 15 ; ( 6 2
)2 = + 12
Vì 15 > 12 nên + 15> + 12 VËy 5 3 > 6 2
(Chó ý: ë VÝ dơ 3.2 cã + = + nªn dùng pp bình phơng hai số)
4 áp dụng tÝnh chÊt a bvµ c d a c b d víi a;b;c;d ≥
(phơng pháp cộng vế với vế bất đẳng thức chiều) Ví dụ 4: So sánh 4 2 2 3
Ta cã 4 2 80 18 ; 2 3 28 12
V× 80 28; 18 12 , nªn 80 18 28 12
VËy 4 2 > 2 3
Chú ý: Phơng pháp không đợc dùng để trừ BĐT chiều
5 áp dụng tính chất a bvà c d a c b d với a;b;c;d ≥ (phơng pháp trừ vế với vế bất đẳng thức ng ợc chiều ) Ví dụ 5: So sánh 2 2 3 3
Ta cã 2 2 20 8;3 3 18 9
Vì 20 18; 8 9 , nên 20 8 18 9
VËy 2 2 > 3 3
6 ¸p dụng tính chất bắc cầu: a b và b c a c víi a;b;c ≥ Ví dụ 6: So sánh 65 1 15 8
Ta có: 65 1 > 64 7 ; 15 8 16 9 4 7 Dó 65 1 > > 15 8 Vậy 65 1 > 15 8
7 Đa hai phân số tử có mẫu dơng (hoặc mẫu) so sánh: Ví dụ 7: So sánh 2010 2008 2009 2007
Ta cã: 2010 2008 ( 2010 2008)( 2010 2008)
2010 2008 2010 2008
( 2009 2007)( 2009 2007) 2009 2007
2009 2007 2009 2007
Do 2010 2008 2009 2007 > nªn 2
2010 2008 2009 2007 VËy 2010 2008 < 2009 2007
(Chó ý: 2010 - 2009 = 2009 - 2007 = 2)
8 Giả sử biến đổi tơng đơng: Đề bài: So sánh a và b
(7)Nếu c d Đ a> b Đ; Nếu c d S a > blà S, a b
C¸ch 2: Gi¶ sư a < b……. c d
Nếu c d Đ a < b Đ; Nếu c dlà sai a < bsai, a≥ b Chú ý: Phơng pháp dùng thích hợp cho trờng hợp a b
Ví dụ 8.1: So sánh 8 3 7 2
Ta gi¶ sư 8 3 ≥ 7 2(*)
2
8 ( 2) ( 7)
10 16 10 21 16 21 (**)
B§T (**) sai nên BĐT (*) sai, ta có 8 3 < 7 2
Bài tập đề nghị.
Bài 1: So sánh
1) 20 11) 3 7 vµ 2 10 3 21) 4 7 4 7 2 số 2) 7 2 vµ 12) 8 5 vµ 7 6 22) 4 4
3) vµ 5 13) 2005 2007 vµ 2006 23) a b ; a b (a > b > 0) 4) 2 33 vµ 3 23 14) 2000 1999
vµ 2001 2000 24) a b ; a b (a > b > 0) 5) 7 15 15) 2009 2008 vµ 2011 2010 25) x 1 x ; x x1 (x 1)
6) ; 5 16) 3 3 26) n n n+1 7) 33 vµ 3 1333 17)
2005 2002 vµ 2007 2004 8) 17 45 18) a 3 b=2 1 9)
222 vµ 111
19) 2000 1999; 2001 2000
10) 23 19 và 27
20) 1 8
2 vµ
27
3 30)
5
2
Bµi 2
a*) So s¸nh S 1
1.1998 2.1997 k.(1998 k 1) 1.(1998 1)
1998
1999
HD câu a: Từ BĐT: a b 2 ab với a,b không âm 2
a b ab
a b ab
b) Cho A = + B = - Hãy so sánh A + B A B
Bµi 3 Chøng minh BĐT sau:
1) 2002 2003 2002 2003
2003 2002
2) Chøng minh r»ng 2000 2001 2002 0 3) 211 312 413 ( 11) 2
n n
HD
1
1 1
1 )
1 ( )
1 (
1
k k k
k k k
k k k
k k k
(8) 1 2 1 k k k k k k 4) 20 29 2 3 2
5) 1 1 1 1
n n n n n
n (víi giá trị dơng n)
T ú tớnh tổng:
100 99 99 100 3 2 2 S 6) a) 100
2 2
dấu
b) 6 6 30 30 30 30 9
7) a 2 a 1; a 8) 3 4x 4x12 Víi mäi x t/m·n:
4 x 9(*) a2 b2 a a2 b2 b a b a2 b2
2
( Víi a, b hai số dơng)
10)
y x y y x y x y x y x
víi x0;y0;xy 11) 2 a a a a a a a a
(a > 0& a 1) 12) 1 n
2 n
13) n n n n n
Từ suy 2004 1 2005 1006009
Bµi 4: Cho a; b; c 0 Chøng minh r»ng:
2 a b
ab
(Bất đẳng thức Côsi) 2 a b c ab bc ca
3
2
a b a b 4 a b
b a (a > 0; b > 0) d¹ng 5
mét sè toán mang tính chất dÃy số có quy lt Bµi 1: Cho biĨu thøc : Sk 21 k ; kk *
a) Chøng minh r»ng S 2009 S2010 - S4019 = 2 (nN ; n ) b) S m + n + Sm -n = Sm S n (m,n*;m n)
HD: a) Đặt a = 21 b = 2 1thì a.b = a+ b=2 2 S 2009 S2010 - S4019 = (a2009 + b2009)( a2010 + b2010) -(a4019 + b4019)
= a4019 + b4019 + a2009 .b2010 + a2010 .b2009 - a4019 - b4019
= a2009 .b2010 + a2010 .b2009 = (a.b)2009.( a2 +b2) =12009.(a+b) = 2 b) S m + n +Sm -n = am+n + bm+n + am-n + bm-n = am+n + bm+n+ anbn.( am-n + bm-n) (Do anbn =1)
= am+n + bm+n+ ambn+ anbn = (am + bm)( an+ bn) = S m S n
Chó ý: Cịng tõ c©u b ta suy S 2009 S2010 =S4019 +S1 S 2009 S2010 - S4019 = S1 = 2
Bµi 2: Cho biÓu thøc : Sn 5 4 n 5 4n
a) TÝnh S b) Chøng minh r»ng S 2n = S2n- (nN ; n 2) HD: a) = 5 4 2 5 42 20 2018
b) Đặt a = 5 4và b = 5 4 a.b = Ta cã
n
S - = (an + bn )2 - = a2n + b2n +2anbn -2 = a2n + b2n +2(ab)n -2 = a2n + b2n = S 2n
(9)Đặt An = x1n + x2n + x3n Chứng minh An số nguyên với (với n *)
(Trích đề thi HSG Tỉnh HY năm học 2009 - 2010) HD: Giải PT (1) tìm đợc x1 = 1; x2;3 = 2
Ta cã An =
n n
n
1 5 Đặt Bn =
n n
2 5
Ta cã Bn+2 =
n n
2 5
=
n n n n
(2 5) (2 5) (2 5) (2 5) (2 5).(2 5) (2 5) (2 5)
Bn+2 = 4Bn+1 + Bn (*) Ta l¹i cã B0 = 2; B1 = 4 (**)
Tõ (*) vµ (**) Bn víi mäi n *.VËy An số nguyên với (với n *)
Bài 4: Giả sử phơng trình ax2 + bx + c = (1) cã nghiƯm ph©n biƯt x 1;x2 Đặt Sn = x1n+x2n (n nguyên dơng)
a) CMR aSn + + bSn+ + cSn = b) ¸p dơng: TÝnh gtr cđa: A=
5
2
5
HD: a Đk để (1) có hai nghiệm b2 - 4ac ≥ 0
Ta cã: aSn + + bSn+ + cSn = a(x1n+2+x2n+2) + b(x1n+1+x2n+1) + c(x1n+x2n) = (ax1n+2+ bx1n+1+ cx1n) + (ax2n+2+ bx2n+1+ c+x2n)
= x1n(ax12+ bx1+ cx1) + x2n(ax22+ bx2+ cx2) = x1n + x2n =
(Do x1 x2 nghiệm (1) nên ax12+ bx1+ cx1= ax22+ bx2+ cx2 = 0) b Đặt S5 =
5
1 1 th× S1 =
1
1 1 2; S2 =
2
1 1 12 - Ph¬ng tr×nh bËc hai Èn x nhËn x1 1 5;x2 1 5lµm nghiƯm lµ: x2 - 2x - = (a =1; b = -2; c = -4)
- Theo câu a ta có 1.S 3+ (-2)S2 + (-4)S1 = Do S1 = S2 = 12 nên ta tìm đợc S3 = 32 - Tơng tự có: 1.S + (-2)S3 + (-4)S2 = Với S2 = 12; S3 = 32, tìm đợc S4 = 114
- có : 1.S + (-2)S4 + (-4)S3 = Với S3 = 32, S4 = 114, Tìm đợc S = 356 Vậy A = S / 32= …
d¹ng 6: mét số tập khác
Bài 1. Cho a nghiệm dơng phơng trình 4x2 + 2 x - 2 = Tính giá trị của biểu thøc
4
a +1 A =
a + a +1 - a (Trích đề thi HSG Tỉnh HY 2009 - 2010) HD: a nghiệm dơng phơng trình 4x2 + 2 x - 2 = 0
4a2 + 2 a - 2 =
2 a 2a a
a ; a
8 2
Ta cã:
4
a +1 A =
a + a +1 - a =
8
2
8 2 2 2
2
4 1- 2a + a a 1- a a 1- a
A = a + a +1 + a +
Bài 2. Cho phơng trình x2 + x - = Cmr phtrình có hai nghiệm trái dấu Gọi x nghiệm âm phơng trình HÃy tính giá trị biểu thức: 1 1
1 10x 13 x
x
P
Bài Tính giá trị biểu thức 3 2 2009
3
x x
A víi 2
5 14
38 17
3
x
HD: *Biến đổi mẫu số: M = 5 14 5 5 3 52 5 3 5 3 M = *Biến đổi ts: T3 =
17 38 5 2 3 17 38 17 38 17 52 382 1
(10)VËy x =
3
thay vµo biĨu thøc A ta cã:
2009
3 2009
2009 2
1 1
3 2
3 3
A
VËy A=32009
Bµi 4: Cmr gtr cđa biĨu thøc sau ko pth vµo x (x > 0):
3
4
2 x
A x
9 5 x
HD: 6 2 6 4 2 4
*TÝnh: 3 3; 5 (A = 1)
phô lôc
1 Các công thức biến đổi bậc hai 1)
A = A
2) AB = A B (Víi A ≥ vµ B ≥ 0) 3) A A
B B (Víi A ≥ vµ B > 0)
4)
A B = A B (Víi B ≥ 0)
5)
A B = A B (Víi A vµ B ≥ 0)
A B = - A B (Víi A < vµ B ≥ 0)
6) A 1 AB
B B (Víi AB vµ B 0)
7) A A B
B
B (Víi B > 0)
8) 2
C C( A B)
A B
A B (Víi A ≥ vµ A B
2)
9)
C C( A B )
A B
A B (Víi A ≥ 0, B ≥ vµ A B)
Chú ý: Công thức thức phức tạp: A B = A + A - B2 A - A - B2
2
2 Một số kiến thức bổ sung thờng dùng Bẩy HĐT đáng nhớ (lớp 8):
1 (A+B)2 = A2+2AB+B2 (1)
2 (A-B) = A2-2AB+B2 (2)
3 A2-B2 = (A-B)(A+B) (3)
4 (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3 = A3+ B3 +3AB (A + B) (4) (A-B)3 = A3-3A2B +3AB2-B3 = A3+ B3 - 3AB (A - B) (5) A3+B3 =(A+B)(A2 +AB +B2) (6) A3+B3 = (A+B)(A2 +AB +B2) (7) Các HĐT thờng dïng ë líp 9
1 2
2 ab b a b
a (1)
2 a b a b a b (2)