MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ... Tìm m để hàm số có cực trị.[r]
(1)MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ.
Bài 1/ Cho hàm số1 2
x m x
y
a Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu ; b Tìm quỹ tích điểm cực đại
HDGiải: a/ Hàm số có cực trị m > b/ Ta có: D
2
1 2 2(1 )
C CD CD CD CD CD
m
x m y x x x x
m
Vậy quĩ tích điểm cực đại
là phần đường thẳng y = 4x – ứng với x < Bài 2/ Cho hàm số:
1
x x x
y (C)
a Tìm m để (Dm): y mx cắt (C) hai điểm phân biệt mà hai điểm thuộc nhánh b Tìm quỹ tích trung điểm I MN
HDGiải: a/ Phương trình:
2 1
1
1
x x
mx m x m x
x
có nghiệm x = nên để hai giao điểm
cùng nhánh thì: m m/( 1) 1 1/(m1) 0 m 1.
b/ Ta có:
2
/ 2( 1) 1/ /(2 1) /(2 1) ( 1) /(2 1)
I I I I I I I I I I
x m m m x x y mx x x x x x Vậy quỹ tích trung điểm I MN nhánh bên phải đths
2
2
2
x x
y
x
Bài 3/ Cho hàm số: yx x m xm
Cm2 3
Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường thẳng (D) có phương trình
2
x
y .
HD Giải: Ta có: y' 3x2 6x m2
Để hs có cực trị ' 3m2 0 3m Gọi I trung điểm
đoạn thẳng nối hai điểm cực trị xI 1 Do pt đt qua hai điểm cực trị
2
2
( 3)
3 I
m
y m x m y m m Để điểm cực trị đths đx qua (D) thì:
2
2
( 3)
0
0; 1.1/ /
m m
m m
m m
Bài 4/ Cho hàm số
1
x m mx x
y Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm hai phía đường thẳng
1
9x y
HDGiải: Đặt F(x,y)= 9x-7y-1 Hàm số có hai điểm cực trị là: A( -2; m – ) B( 4; m + ) Để hai điểm cực trị nằm hai phía đt thì: F(A).F(B)<0 ( - 7m – 21 )( – 7m ) < 3 m9 /
Bài 5/ Cho hàm số y x3 3x
(1)
a) Chứng minh m thay đổi, đường thẳng (D): ym
x1
2 cắt đồ thị (1) điểm A cố địnhb) Tìm m để đường thẳng cắt (1) điểm A, B, C khác cho tiếp tuyến B C vng góc với
HDGiải: a/ Xét pt: x3 3x m x( 1) 2 (x 1)(x2 x 2 m) 0
Như m thay đổi (D) ln cắt
đths(1) điểm A( - 1; ) cố định
b/ Để (D) cắt đths(1) điểm phân biệt pt x2 x 2 m 0
(*) phải có hai nghiệm phân biệt khác – 1;
đó m > - 9/4 m0 Khi x xB, C hồnh độ B,C nghiệm (*) Ta có: xB xC 1&x xB C m
Để tiếp tuyến B C vng góc với
2 2 2
'( ) '( ) 9(B C B 1)( C 1) ( B C) ( B C) B C ( 2) 2( 2) 9( ) y x y x x x x x x x x x m m m m
1 2 / m
(thỏa mãn đk) Đó gt m cần tìm
(2)Bài 6/ Cho hàm số
x x x
y
2
(C) tìm đường thẳng x =1 Những điểm M cho từ M kẻ hai tiếp tuyến tới (C) mà hai tiếp tuyến vng góc với
HDGiải: Giả sử M(1;b) pt đt (D) qua M là: y = k(x – 1) + b Để (D) tiếp tuyến (C) pt sau phải có nghiệm kép:
2
2
3
( 1) ( 1) ( )
x x
k x b k x b k x
x
( pt khơng có nghiệm với x = )
21& 8( 1) 2( 1) ( 3) 0(*)
k k b k k b k b k b
Để qua M kẻ
hai tiếp tuyến tới (C) vng góc với pt (*) phải có hai nghiệm có tích -1
(b 3) b
(TMĐK) Vậy đt x = có điểm TMYCBT M(1; 3 7)
Bài 7/ Cho hàm số: y x4 x2
C
Tìm điểm thuộc Oy mà từ kẻ ba tiếp tuyến tới (C)
HDGiải: Gọi M(0; )b Oy ptđt (D) qua M y = kx + b Để (D) tt (C) hpt sau phải có nghiệm:
Bài 8/ Cho hàm số: m
x mx x y
2
a Tìm m để hàm số có cực trị Khi viết phương trình
đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu
b Xác định m để đồ thị cắt trục hoành hai điểm phân biệt tiếp tuyến hai điểm vng góc với
HDGiải: a/ Ta có: y' (x2 2mx m2 8) /(x m)2
Để hs có cực trị pt y’ = phải có hai nghiệm phân biệt
khác m
' 2m m
(vì pt y’ = có hai nghiệm phân biệt khác m ) Hai nghiệm pt y’ =
, ; ,
CD CT CD CD CT CT
x x y x m y x m Vậy pt đt qua điểm CĐ điểm CT y = 2x + m.
b/ Với m2 đths ln cắt trục hồnh hai điểm phân biệt ( ac = - < ) Gọi hoành độ hai giao
điểm x x1, x1x2 m x x; 8 Để tt với đths hai giao điểm vng góc với thì:
2 2 2 2
1 2 2 2 2
1
8 (8 )(5 16) (8 ) 16
'( ) '( ) 1 2 10
( ) ( ) (2 8) (2 8)
m m m m m m
y x y x m
x m x m m m m
Bài 9/ Cho hàm số y x3 3x2 4
(C)
Tìm trục hồnh điểm mà từ kẻ ba tiếp tuyến tới đồ thị hàm số (C)
HDGiải: Gọi M a( ;0)Ox; đt (D) qua M có pt là: y = k(x - a) Để (D) tt (C) hpt sau phải có nghiệm:
3 2
3 ( ) &
x x k x a k x x
Để qua M kẻ tt tới (C) pt sau phải có nghiệm phân biệt
3
( ) 3( 1)
f x x a x ax Do f x'( ) 6 x2 6(a1)x6a0 x = x = a nên để pt f(x) = có
nghiệm phân biệt thì: fCD.fCT (a 2) (2 a1)(3a 5) 0 a ( ; 1) (5 / 3;2) (2; )
Bài10/ Cho hàm số:
1
x x y
a/ Chứng minh tiếp tuyến đths tạo với hai đường tiệm cận đoạn thẳng mà tiếp điểm trung
điểm
b/ Chứng minh tiếp tuyến đồ thị lập với hai đường tiệm cận tam giác có diện tích khơng đổi
c/ Tìm tất điểm thuộc đồ thị hàm số cho tiếp tuyến lập với hai đường tiệm cận tam giác có chu vi nhỏ
Biên soạn: GV – Phan Phú Quốc – Tổ vật lý – Trường THPT Phan Châu Trinh- Phone: 0906306896
x 1/ 1/
f’(x) + + -f(x)
4
1 & ( ); '( ) 12 2 (6 1)
(3)HDGiải: a/Do 2 '
( 1)
y x
nên pttt với đths điểm
1 ;
1
a M a
a
là:
2( )
( 1)
x a a
y
a a
Tt cắt tiệm
cận
x = y = điểm: A(1;(a3) /(a1)), (2B a1;1) suy M trung điểm AB ( tọa độ trung điểm
của AB tọa độ M )
b/ Gọi I giao hai tiệm cận Ta có IA(a3) /(a 1) / a1 ;IB(2a1) 2 a1 /
IAB
S IA IB
không đổi ( đpcm )
c/ Ta có chu vi tam giác IAB: 2 2 . 2 2 8 16 4( 1)
IAB
C IA IA IA IB IA IB IA IB Vậy chu
vi tam giác IAB có giá trị nhỏ 4( 1) IA = IB tức (a1)2 2 a 1 Như đths có
hai
điểm TMYCBT là: M1(1 2;1 2),M2(1 2;1 2) Bài 11/ Cho hàm số: ( )
2
H x
x x y
Tìm M thuộc (H) cho khoảng cách từ M đến (D): 3xy60 nhỏ HDGiải: Giả sử
( ; 1/( 2)),( 2) ( ;( )) 4( 2) 1/( 2) / 10 4( 2) 1/ / 10
M a a a a d M D a a a a
4 / 10 10 / 5 Vậy GTNN k/c từ M tới (D) 10 / 4a2 1/ a2 a1,5; 2,5 ứng với
hai điểm M1( 1,5;2,5), M2( 2,5; 2,5) Bài 12/ Cho hàm số:
1 3
x x x
y (C)
Tìm hai điểm A, B hai nhánh khác (C) cho độ dài đoạn AB ngắn HDGiải: Gọi A x y B x y( ; ), ( ; ) ( )(1 2 C x1 1 x2) Đặt
2 2
1
1 x a x, b a b, 0;AB (a b) (a b 1/a 1/ )b
2 2 2
(a b ) (1 1/ ab) 4 (2ab a b 2ab1) /a b 4(2ab1/ab2) 4(2 2) 8( 1) Dấu xảy
khi 4
1
1/ 1/ 2; 1/ a b x x
Bài 13/ Cho hàm số: 3
y x x (C) hai điểm A(0;1), B(3;7) (C) Tìm M thuộc cung AB (C) cho diện tích ΔMAB lớn
HDGiải: -Cách 1: pt đt AB là: 2x – y + = Gọi
3
( ;1 / 3) ( ; ) (9 ) / ( ) / 5(0 3) M x x x d M AB x x f x x
Ta có f x'( ) 3x2 0 x 3(0 x 3)
nên BBT hs
bên
Do đó: 13 5.2 3/ 3
MAB
MaxS ứng với M( 3;1)
-Cách 2: Diện tích ΔMAB lớn M tiếp điểm tiếp tuyến với (C) song song với AB Gọi M x y( ; )0 Tiếp tuyến (C) M song song với AB
0 0
'( ) AB 3(0 3) ( 3;1)
y x x k x x M ( ; ) 3/
d M AB
13 5.2 3/ 3
2 MAB
MaxS
- o0o -
Biên soạn: GV – Phan Phú Quốc – Tổ vật lý – Trường THPT Phan Châu Trinh- Phone: 0906306896
x 0 3 3 f’(x) + -