Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số Trần Thông

Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị đó lập thành một tam giác có một góc bằng... thành một tam giác có diện tích lớn nhất.?[r]

MỖI THÁNG MỘT CHỦ ĐỀ

CHUYÊN ĐỀ:

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ

KHẢO SÁT ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Mở đầu

Hàm số khái niệm tốn học, đóng vai trị quan trọng chương trình tốn phổ thơng tảng nhiều lĩnh vực khác tốn học nói riêng khoa học tự nhiên nói chung Để bạn đọc có nhìn tổng qt hàm số, viết tháng 11/2016 hội tốn bắc trung nam tơi xin trình bày số vấn đề hàm số

Bài viết chia làm ba phần chính:

Phần 1: Giới thiệu số khái niệm tính đơn điệu, cực trị, tiệm cận… Phần 2: Trình bày sơ đồ khảo sát vẽ đồ thị số hàm số quen thuộc

Phần 3: Khái quát số dạng toán quen thuộc hàm số ứng dụng

Lưu ý bạn đọc: Trước đọc hiểu viết này, bạn đọc cần nắm vững định nghĩa, tính chất đạo hàm với bảng đạo hàm hàm số sơ cấp trình bày chi tiết chương trình tốn THPT hành

Với hệ thống tập tự luận trắc nghiệm phong phú, hi vọng viết giúp ích cho bạn đọc, đặc biệt bạn thí sinh kỳ thi THPT quốc gia tới tìm hiểu hàm số Tuy nhiều nguyên nhân khác nhau, viết không tránh khỏi khiếm khuyết, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý độc giả đề chuyên đề ngày hồn thiện Mọi ý kiến đóng góp, q độc giả vui lịng gửi địa email: thongqna@gmail.com trang cá nhân facebook: https://www.facebook.com/thong.tranvan.5203

Quảng Nam, ngày 15 tháng 11 năm 2016

PHẦN 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.Tính đơn điệu hàm số

a.Định nghĩa: Cho hàm số y f x( )xác định D, với D khoảng, đoạn nửa khoảng

1.Hàm số y f x( )được gọi đồng biến D x x1, 2D x, 1x2 f x( )1  f x( 2) 2.Hàm số y f x( )được gọi nghịch biến D x x1, 2D x, 1x2 f x( )1  f x( 2) b.Điều kiện cần để hàm số đơn điệu: Giả sử hàm số y f x( )có đạo hàm khoảng D 1.Nếu hàm số y f x( ) đồng biến D f '( )x   0, x D

2.Nếu hàm số y f x( ) nghịch biến D f '( )x   0, x D c.Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu:

1.Định lý 1. Nếu hàm số y f x( )liên tục đoạn

 

a b, có đạo hàm khoảng (a,b) tồn điểm c( , )a b cho: f b( ) f a( ) f c b'( )( a)

2.Định lý 2. Giả sử hàm số y f x( )có đạo hàm khoảng D

1.Nếu f '( )x   0, x D f '( )x 0 số hữu hạn điểm thuộc D hàm số đồng biến D

2.Nếu f '( )x   0, x D f '( )x 0chỉ số hữu hạn điểm thuộc D hàm số nghịch biến D

3.Nếu f '( )x   0, x D hàm số khơng đổi D 2.Cực trị

a.Định nghĩa: Cho hàm số y f x( )xác định DR x0D

2.x0được gọi điểm cực tiểu hàm số y f x( ) tồn (a,b) chứa điểm x0 cho ( , )a b D f x( ) f x( ),0  x ( , ) \a b

 

x0 Khi f x( )0 gọi già trị cực tiểu hàm số M x( ; ( ))0 f x0 gọi điểm cực tiểu hàm số

3.Giá trị cực đại giá trị cực tiểu gọi chung cực trị hàm số

b.Điều kiện cần để hàm số có cực trị : Giả sử hàm số y f x( )có cực trị x0.Khi đó, ( )

y f x có đạo hàm điểm x0 f x'( 0)0 c.Điều kiện đủ để hàm số có cực trị :

1.Định lý 1.(Dấu hiệu để tìm cực trị hàm số )

Giả sử hàm số y f x( )liên tục khoảng (a,b) chứa điểm x0và có đạo hàm khoảng ( ,a x0) ( , )x b0 Khi :

+ Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm x0 hàm số đạt cực tiểu x0 + Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm x0 hàm số đạt cực đại x0

2.Định lý (Dấu hiệu để tìm cực trị hàm số )

Giả sử hàm số y f x( )có đạo hàm khoảng (a,b) chứa điểm x0, f x'( 0)0và f(x) có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 Khi đó:

+ Nếu f ''(x0)0 hàm số đạt cực đại điểm x0 + Nếu f ''(x0)0 hàm số đạt cực tiểu điểm x0 3.Tiệm cận

a.Đường tiệm cận đứng

Đường thẳng (d):xx0 gọi đường tiệm cận đứng đồ thị (C) hàm số y f x( )

0 lim ( )

xx f x   xlimx0 f x( ) hoặc xlimx0 f x( )  xlimx0 f x( )  b.Đường tiệm cận ngang

Đường thẳng (d):yy0 gọi đường tiệm cận ngang đồ thị (C) hàm số y f x( ) lim ( ) 0

x f x  y xlim f x( ) y0 4.Sự tương giao

a.Giao điểm hai đồ thị Cho hàm số y f x( ) có đồ thị (C1)và hàm số yg x( ) có đồ thị

+ Hai đồ thị (C1) (C2) cắt điểm M x y( ;0 0)( ;x y0 0)là nghiệm hệ phương trình

( ) ( ) y f x y g x

    

+Hoành độ giao điểm hai đồ thị (C1) (C2)là nghiệm phương trình ( ) ( )

f x g x (1)

+Phương trình (1) gọi phương trình hoành độ giao điểm (C1) (C2) +Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C1) (C2)

b.Sự tiếp xúc hai đường cong Cho hai hàm số y f x( ) yg x( ) có đồ thị (C1) (C2) có đạo hàm điểm x0

+Hai đồ thị (C1) (C2)tiếp xúc với điểm chung M x y( ,0 0) điểm chúng có chung tiếp tuyến Khi điểm M gọi tiếp điểm

+Hai đồ thị (C1) (C2) tiếp xúc với hệ phương trình sau có nghiệm ( ) ( )

'( ) '( ) f x g x f x g x

 

 



Nghiệm hệ phương trình hoành độ tiếp điểm

PHẦN 2: SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ I.Hàm số bậc 3:yax3bx2 cx d a



0



1.Tập xác định

D



2 Sự biến thiên

2.1 Xét biến thiên hàm số

+ Tính đạo hàm

3

y  ax  bxc

+ Giải phương trình y  0 3ax22bx c 0(lưu ý phải tính nghiệm xác khơng tìm nghiệm gần đúng)

+ Xét dấu đạo hàm suy chiều biến thiên hàm số (hàm số đồng biến,nghịch biến khoảng nào?)

2.2 Tìm cực trị

Chú ý:

2.4 Lập

bảng biến thiên

Thể đầy đủ, xác giá trị bảng biến thiên

3 Đồ thị

-Giao với trục Oy:x   0 y d

 

0,d

-Giao với trục Ox:y 0 ax3bx2   cx d



x?



(trong trường hợp nghiệm lẻ bỏ qua bước này)

-Các điểm cực trị

- Một số hình dạng đồ thị hàm bậc

Nếu a>0 Nếu a<0

Phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt

* Nếu a > 

3

lim y lim (ax bx cx d) x  x     

3

lim y lim (ax bx cx d)

x  x     

* Nếu a < 

lim



y



lim



(

ax

3



bx

2



cx



d

)





x

x

lim



y



lim



(

ax

3



bx

2



cx



d

)





x

Phương trình y’ = có nghiệm

kép

Phương trình y’ = vơ nghiệm

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = x3 + 3x2 – 4 * Tập xác định:

D



R

* Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

y

'



3

x

2



6

x

Giải phương trình:

y

'



0



3

x

2



6

x



0















2

0

x

x

Dấu y’

x - -2 +

y’ + - +

- Giới hạn:











  



lim

(

3

4

)

lim

y

x

3

x

2 x

x

lim





lim



(



3



4

)





2

x

x

y

x x

- Bảng biến thiên:

x - -2 +

y’ + - +

y

-

0

-4

+

* Đồ thị:

- Giao điểm với Oy:

Cho x = y = -4

- Giao với Ox:

Cho y = giải phương trình:

x3 + 3x2 – =  

 

  

2 x x

Bảng giá trị: x -3 y -4

Ví dụ 2: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = x3 + 3x2 + 3x + * Tập xác định:

D



R

* Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên:

y

'



3

x

2



6

x



3

Giải phương trình:

y

'



0



3

x

2



6

x



3



0

 phương trình có nghiệm kép:

x

1



x

2





1

y’ > 0 với giá trị x y’(-1) = 0.  Hàm số đồng biến trên D

lim



y



lim



(

x

3



3

x

2



3

x



2

)





x

x

lim





lim



(



3



3



2

)





2

x

x

x

y

x x

- Bảng biến thiên:

x - -1 +

y’ + +

y -

1

+



* Đồ thị:

- Giao điểm đồ thị với trục tung: cho x =  y =

- Bảng giá trị x -2 -3 y -7 -Vẽ đồ thị

Ví dụ 3: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = - x3 + 3x2 - 4x +2 * Tập xác định:

D



R

* Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên:

y

'



-3x

2



6x

-

4

 y’<



x



D

 Hàm số nghịch biến D

- Hàm số khơng có cực trị -Giới hạn















  



lim

(

3

4

2

)

lim

y

x

3

x

2

x

x

x















  



lim

(

3

4

2

)

lim

y

x

3

x

2

x

x

x

- Bảng biến thiên:

x - +

y’ -

y

+

-

* Đồ thị:

- Giao điểm đồ thị với trục tung: cho x =  y =

- Bảng giá trị:

x y -2 - Vẽ đồ thị:

Bài tập luyện thi

1

y

  

x

3

3x 2

y x

 

3

3

x

2



1

y

 

x

3

6

x

2

 

9x 4

4









1 2x

y x x  

1

y x x  x

6

1

y x x 

II.Hàm số trùng phương:yax4bx2c a



0



1.Tập xác định

D



2 Sự biến thiên

2.1 Xét biến thiên hàm số

+ Tính đạo hàm

y

 

4

a x

3



2

b x

+ Giải phương trình





2

0 4a 2 2a

2a x

y x bx x x b b

x

  

          

  

(lưu ý phải

tính nghiệm xác khơng tìm nghiệm gần đúng)

+ Xét dấu đạo hàm suy chiều biến thiên hàm số(hàm số đồng biến,nghịch biến khoảng nào?)

2.2 Tìm cực trị

2.3 Tính giới hạn vô cùng (

x

 

)

Chú ý

2.4 Lập bảng biến thiên

Thể đầy đủ, xác giá trị bảng biến thiên

3 Đồ thị

* Nếu a > 

lim



y



lim



(

ax

4



bx

2



c

)





x x

* Nếu a < 

lim



y



lim



(

ax

4



bx

2



c

)





x

-Giao với trục Oy: x   0 y c

 

0, c

-Giao với trục Ox: y 0 ax4bx2  c



x?



(trong trường hợp nghiệm lẻ bỏ qua bước này)

-Các điểm cực trị

-Tìm thêm số điểm(nếu cần)

- Một số hình dạng đồ thị hàm trùng phương

a>0 a<0

Phương trình y’ = có ba nghiệm

phân biệt

Phương trình y’ = có nghiệm

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = x4 - 2x2 + 2 * Tập xác định:

D



R

* Sự biến thiên:

0

'



y



4x

3



4x



0

 4x(x2 - 1) = 0 













0

1

x

x

Bảng dấu y’:

x - -1 0 1 +

y’ - + - +

Đồ thị hàm số đồng biến khoảng: (-1;0)(1;)và nghịch biến khoảng: )

1 (0; 1) -; (- 

Hàm số đạt cực đại tại: x = 

y

CĐ



2

Hàm số đạt cực tiểu tại:

x





1



y

CT



1

Giới hạn:

lim



y



lim



(

x

4



2

x

2



2

)





x

x

lim





lim



(



2



2

)





2

x

x

y

x x

- Bảng biến thiên:

x - -1 + y’ - + - +

y

+ +

* Đồ thị:

Giao với trục tung: Cho x =  y =

Bảng giá trị: x -2 y 10 10

Ví dụ 2: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y= -2

4 x

-x2+

* Tập xác định:

D



R

* Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên:

y

'



-

2

x

3



2x



-2x(x

2



1

)

0

0

)

1

-2x(x

0

'











x



y

Ta có bảng dấu y’:

x - 0 +

y’ + -

Hàm số đồng biến (-;0) nghịch biến (0; +) Hàm số đạt cực đại x = 0

2

3





y

CĐ ; hàm số khơng có cực tiểu

Giới hạn:



















2

)

3

2

(

lim

lim

4

x

x

y

x x

Bảng biến thiên:

x - +

y’ + -

y

-

2

- * Đồ thị:

- Giao với trục tung: cho x = y=

2

Giao với trục hoành: cho y = giải phương trình: -2

4 x

-x2+

=

0

3

2

4









x

x

đặt t  x2 (t0)Ta có phương trình:

t

2



2

t



3



0

   

  

) (

loai t

t

- Bảng giá trị:

x -2

y

21 

2 21 

- Vẽ đồ thị

Bài tập luyện thi

Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau:

y

 

x

4

2

x

2

2

y

  

x

4

4

x

2



1







1

y x  x 

4









1 2x

y x x   3

2

y x  x 

6

2

2

y  x  x 

III.Hàm số biến:y ax b cx d  



1.Tập xác định D \ d

c



 

  

 

2 Sự biến thiên

+ Tính đạo hàm





2

x ad bc y

c d

  



+y không xác định d

c

 và dương âm với d x

c  

+ Hàm số đồng biến (nghịch biến) khoảng ; d

c

  

 

 và ;

d c



 

 

 

2.2 Tìm cực trị: Hàm số khơng có cực trị

2.3 Tìm tiệm cận (Tính giới hạn vơ cùng) (

x

 

) +Ta có lim lim

x x

ax b a

y

cx d c

 



 

 nên tiệm cận đứng đồ thị

+Lại có lim lim

d d

x x

c c

ax b

y

cx d

 

 

 



  

 limd limd

x x

c c

ax b

y

cx d

 

 

 



  

 nên tiệm cận ngang

đồ thị

2.4 Lập bảng biến thiên: Thể đầy đủ, xác giá trị bảng biến thiên

3 Đồ thị

-Giao với trục Oy: x y b 0,b

d d

 

     

-Giao với trục Ox: y ax b ax b x b b,

cx d a a

   

         

  

-Tìm thêm số điểm(nếu cần) -Hình dạng đồ thị

0







ad

bc

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y =

1

4

2







x

x

* Tập xác định:

D



R

\

 



1

* Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: 2 ) (

2 '

 

x

y >



x



D

 Hàm số đồng biến D - cực trị : Khơng có

- Giới hạn tiệm cận :

lim

2; lim

2

x x

y

y



 



 

đường thẳng y = -2 tiệm cận ngang đồ thị

1

lim

;lim

x x

y

y

 

 

 

   

 đường thẳng x = -1 tiệm cận đứng đồ thị

- Bảng biến thiên:

x - 1 + y’ + +

y

-2

+

-

-2

- Vẽ tiệm cận đứng: x = -1 tiệm cận ngang: y=-2

- Giao với trục tung: Cho x=0  y=-4

- Giao với trục hoành:

Cho y = 0 giải phương trình:

1

4

2







x

x

=0 x=-2

- bảng giá trị: x y -3 -8/3 Vẽ nhánh bên phải đường tiệm cận đứng nhánh lại lấy đối xứng qua tâm I(-1;-2)

Ví dụ 2: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y =

2

3





x

x

* Tập xác định:

D



R

\

 

2

* Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên:

) (

1 '

  

x

y <  Hàm số nghịch biến D - cực trị : Khơng có

- Giới hạn tiệm cận :

lim

1; lim

1

x x

y

y



 



 

đường thẳng y = -1là tiệm cận ngang đồ thị

2

lim

;lim

x x

y

y

 

 

 

 

 đường thẳng x = tiệm cận đứng đồ thị

x - + y’ - -

y -1

- +

-1 * Đồ thị:

- Vẽ tiệm cận đứng x = 2; tiệm cận ngang: y = -1 - Giao điểm đồ thị với trục tung: cho x = y =

-2

- Vẽ nhánh bên phải đường tiệm cận đứng nhánh lại lấy đối xứng qua tâm I(-1;-2)

- Giao điểm đồ thị với trục hồnh: cho y = giải phương trình:

0

2

3







x

x

x =

x -1 y -4/3 -2

Bài tập luyện thi

Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau:

1

2

x y

x  



2 y 2x x

 

3

1

x y

x  

4 2

x y

x  



5

1

y

x  



6

1

x y

x   



PHẦN 3: MỘT SỐ DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ Dạng 1: Sự đơn điệu hàm số

Bài toán 1: Xét chiều biến thiên hàm số

Bước Tìm tập xác định

Bước 2.Tính đạo hàm y.Tìm điểm mà y = y không tồn Bước 3. Lập bảng biến thiên kết luận khoảng đơn điệu hàm số Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm khoảng đơn điệu hàm số y  x3 3x21

Tập xác định: D .

2

3

y x x; 0

2 x

y x x

x Giới hạn: lim , lim

x x

y y

      Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến (0; 2); hàm số nghịch biến

(



;0)

và

(2;



)

. Ví dụ 2:Cho hàm số y x43x21 Tìm khoảng đơn điệu hàm số Tập xác định: D .

CĐ CT

2 -1

0

3 y

3

4

y x x;

0

0 6

2 x

y x x

x Giới hạn: lim , lim

x x

y y

     

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến ;

 

 

 

 

6 0;

2

 

 

 ; nghịch biến

6 ;0

 



 

 

6 ;

 



 

 .

Ví dụ 3: Cho hàm số

1

x

y

x





Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số

GIẢI

Tập xác định D \ 1

 

Đạo hàm

2

1

0,

y x D

x

Giới hạn: lim lim

x x

y y ;

1

lim ; lim

x x

y y

Bảng biến thiên

Hàm số nghịch biến khoảng



;1





1;



Hàm số khơng có cực trị

Bài tốn 2: Tìm điều kiện tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) Phương pháp giải:

Bước 1:Tính đạo hàm

CĐ CT

0

CĐ

1

y y' x

0

y y' x

1

1

Bước 2:Hàm số đồng biến (nghịch biến) y’ đương(ln âm) Từ tìm điều kiện tham số

Chú ý: Quy tắc xét dấu tam thức bậc 2: Tam thức

ax bxc âm 0 a

   

2. Tam thức ax2bxc dương 0 a

    Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số yx33mx23(2m1)x1 Tìm m để hàm số đồng biến R Tập xác định: D

Đạo hàm

' 3(2 1)

y  x  mx m

Hàm số đồng biến R y' 0, x

2

3 3(2 1) 0,

1

'

1

x mx m x

a

m m

m

     

    

     

 

Vậy m = thỏa yêu cầu tốn

Ví dụ 2: Cho hàm số ymx3(2m1)x2(m2)x2 Tìm m để hàm số ln nghịch biến Tập xác định: D

Đạo hàm

' 2(2 1)

y  mx  m x m

Trường hợp 1:

0 ' 2

m  y  x  Hàm số nghịch biến 2x   2 x 1 Suy m = không thỏa yêu càu toán

Trường hợp 2: m0

2

2

3

' (2 1) ( 2)

0

2

0 1

a m

m m m

m

m m

m m m

  

 

     

  

     

     

   

Vậy m 1 thỏa yêu cầu toán

Ví dụ 3: Cho hàm số

( 1) ( 1)

3

y m  x  m x  x Tìm m để hàm số đồng biến R

Tập xác định: D

Đạo hàm 2

' ( 1) 2( 1)

y  m  x  m x

Trường hợp 1:

1

m   m 

* m 1 y'4x 3 Hàm số đồng biến 4 3 x   x  Suy m = khơng thỏa u cầu tốn

* m  1 y'  3 m = - thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2:

1

m   m 

Hàm số đồng biến R y' 0, x

2

2

( 1) 2( 1)

1

2

1

m x m x

m

m m

m m

     

   

 

      

    

Vậy: Với m   1 m 2 thỏa mãn yêu cầu toán

Bài tốn 3: Tìm điều kiện tham số để hàm số đồng biến nghịch biến khoảng đoạn Phương pháp giải:

Bước 1:Tính đạo hàm

Chú ý:So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai với số



0

0

0

x x S

P

       

  



0

0

0

x x S

P

       

  

 x1 0 x2  P (hay ac < 0) Chú ý:

1.

 

,

 

x I

f x m x I m f x



    

2.

 

,

 

x I

f x m x I m f x



    

3.

 

, max

 

x I

f x m x I m f x



    

4.

 

, max

 

x I

f x m x I m f x



    

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Tìm m để hàm số

( 1) 3( 2)

3

y mx  m x  m x đồng biến khoảng (2;)

Tập xác định: D

Đạo hàm

' 2( 1) 3( 2)

y mx  m x m

Trường hợp 1: m 0 y'2x   6 x 3 nên không thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m0

Điều kiện toán thỏa

' 0, 2( 1) 3( 2) 0,

y    x mx  m x m   x

2

2

,

2

x

m x

x x

 

   

  Xét hàm số

2

2 2

2 12

( ) '( )

2 ( 3)

x x x

g x g x

x x x x

   

  

   

3 '( )

3

x g x

x

     

  

Bảng biến thiên

x  3 6 3 6  g’(x) + - - +

2 ( )

g(x)

2

3 0

6

 

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy điều kiện toán thỏa m

Ví dụ 2: Tìm m để hàm số (1 ) (2 1)

3

y mx   m x  m x nghịch biến [1; 5]

Tập xác định: D

Đạo hàm

' 2(1 )

y mx   m x m

Trường hợp 1: ' 1

m y  x    x nên không thỏa yêu cầu toán Trường hợp 2: m0

Hàm số nghịch biến [1; 5]

' 2(1 ) 0, [1;5]

y mx   m x m   x

2

2

( ), [1;5]

6

x

m g x x

x x



     

  [1;5]ax ( ) m m g x

 

Ta có:

2

2

1 21

(n)

2( 5) 2

'( )

( 2) 1 21

(l) x

x x g x

x x

x

    

  

  

    

  

Lại có

 

1 1; 21 11;

 

5 11

2 3

g  g   a g 

 

Suy [1;5]

11 max ( )

3 g x 

Vậy

[1;5]

11 max ( )

3

m g x  thỏa yêu cầu toán

Tập xác định: D

Đạo hàm

'

y  x  xm

Ta có y'3x26xm có  9 3m

+ Nếu m ≥ thìy   0, x R; hàm số đồng biến  m ≥ không thoả mãn

+ Nếu m < y 0 có nghiệm phân biệtx x1, 2(x1x2) Hàm số nghịch biến đoạn



x x1; 2



với độ dàil x1x2

Áp dụng định lý vi-ét đảo: 1 2 2; 1 2

m x x   x x 

Hàm số (1) nghịch biến đoạn có độ dài  x1x2 1  (x1x2)24x x1 21 

9

m

Bài tập tương tự

Bài 1: Cho hàm số 1( 1) ( 1)

y m  x  m x  x Tìm m để hàm số nghịch biến R Bài 2: Cho hàm số 2

3

yx  x mx m Tìm m để hàm số nghịch biến

 

1,3 Dạng 2: Bài toán cực trị

Bài tốn 1:Tìm cực trị hàm số Phương pháp giải toán:

Bước Tìm tập xác định

Bước 2.Tính đạo hàm y Giải phương trình y 0 (tìm điểm dừng) Giả sử có n nghiệm 1; 2; ; n

x x x

Bước 3. Lập bảng biến thiên kết luận cực trị hàm số Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm cực trị hàm số y  x3 3x21

Tập xác định: D .

2

3

y x x; 0

2 x

y x x

x Giới hạn: lim , lim

x x

y y

Bảng biến thiên:

Hàm số đạt cực đại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT 1.

Ví dụ 2:Cho hàm số y x43x21 Tìm khoảng đơn điệu cực trị hàm số

Tập xác định: D .

3

4x 6x

y ;

0

0 6

2 x

y x x

x Giới hạn: lim , lim

xy  xy 

Bảng biến thiên

Hàm số đạt cực đại

x  , , Hàm số đạt cực tiểu x = 0, yCT 1 Bài tốn 2:Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

Phương pháp giải tốn:

Bước Tìm tập xác định

Bước 2.Tính đạo hàm y

Bước Hàm số có cực trị phương trình y 0 có nghiệm Từ suy điều kiện tham số

Chú ý: Đối với cực trị hàm số bậc 3yax3bx2cxd ta thường sử dụng định lý viét định lý dấu tam thức bậc để tìm tìm điều kiện tham số m

Chú ý: Một số tính chất đặc biệt cực trị hàm số trùng phươngyax4bx2c CĐ

CT

2 -1

0

3 y

y' x

CĐ CT

0

CĐ

1

y y' x

0

Xét hàm số yax4bx2c a



0



R Tính đạo hàm

y

 

4

a x

3



2

b x

Giải phương trình





2

0 4a 2 2a

2a x

y x bx x x b b

x

  

          

   Đồ thị hàm số

yax bx ccó ba điểm cực trị phân biệt y’=0 có ba điểm phân

biệt hay phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác ab0 (*) Với điều kiện (*) ,đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A

 

0,c ,

2 ,

2

b b

B c

a a

   

 

 

  ,

2 ,

2

b b

C c

a a

  



 

 

 

Khi

4 16 b ab AB AC

a



  và BC 2b

a





Sau đậy số tính chất thường gặp điểm cực trị

1) Điều kiện để ba cực trị A,B,C tạo thành ba đỉnh ta giác vng

Vì AB=AC nên tam giác ABC cân A suy ABC tam giác vuông ABC900 hay tam giác ABC vng cân A.Khi

2

2

BCAB BC  AB

2

3

2

8

2.

8

0

16

b

b

ab

b

a

a

a



 









Tính chất 1.Đồ thị hàm số yax4bx2ccó ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông ab0 b38a0

2)Điều kiện để ba cực trị A,B,C tạo thành ba đỉnh tam giác Ta có ABC tam giác AB ACBC AC2 BC2



4

8

2

3

24

0

2

16

b

ab

b

b

a

a

a

Tính chất 2.Đồ thị hàm số yax4bx2ccó ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác ab0và

24

b  a

3) Điều kiện để ba cực trị A,B,C tạo thành ba đỉnh tam giác cân có góc  cho trước Trường hợp 

90 



Khi ABC tam giác tù Vì tam giác ABC cân A nên ABC Áp dụng định lí cơsin vào tam giác ABC ta có









2 2

2

4

3

2

.

.cos

2

2

.

.cos

2

8

2.

(1 cos )

16

16

8

(1 cos )

8

8

cos

0

BC

AB

AC

AB AC

BC

AB

AB AC

b

b

ab

a

a

a

b

a

b

a

b

a

























 





 

















Trường hợp  90 

 (trường hợp trình bày tính chất 1) Trường hợp 

90 



+)Ta có B C  A180 2,suy cosAcos(180 2 )  cos  Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABC có









2 2

2

4

3

2

.

.cos 2

2

2

.

.cos 2

2

8

2.

(1 cos )

16

16

8

(1 cos )

8

8

cos 2

0

BC

AB

AC

AB AC

BC

AB

AB AC

b

b

ab

a

a

a

b

a

b

a

b

a

























 





 

















+ Nếu A tương tự trường hợp 1, ta có b38a



b38a



cos 20

Tính chất 3.Đồ thị hàm số yax4bx2ccó ba điểm cực trị A,B,C tạo thành ba đỉnh tam giác cân cân có góc  cho trước ab0

Hoặc b38a0  90

Hoặc b38a



b38a



cos 20nếu  90

4) Điều kiện để ba cực trị A,B,C thỏa mãn BC=OA (với O gốc tọa độ) Ta có BC OA BC2 OA2 2b c2 2b ac2

a

        

Tính chất 4. Đồ thị hàm số yax4bx2ccó ba điểm cực trị A,B,C thảo mãn điều kiện =OA (với O gốc tọa độ) ab0 2bac2 0

5) Điều kiện để ba cực trị A,B,C tạo thành ba đỉnh tam giác tính diện tích tam giác

Gọi H giao điểm BC với trục Oy AH đường cao tam giác ABC Khi

0, c

b H

a

 



 

  Suy

2

4

b b

AH

a a



 

Vậy

2

3

1

2

.

.

2

4

32

ABC

b b

b

S

a

a

a





 

Tính chất 5. Đồ thị hàm số yax4bx2ccó ba cực trị A,B,C tạo thành ba đỉnh tam giác có diện tích S cho trước ab0

5 32

b S

a

 

6) Điều kiện để ba cực trị A,B,C tạo thành ba đỉnh tam giác tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC

Gọi R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC H giao điểm BC với trục Oy Khi

2 0, c

4

b H

a

 



 

 .Suy

2

4

b b

AH

a a



 

Từ tam giác vng AHC ,ta có : sinACH AH AH

AC AB

 

Áp dụng định lí Sin vào tam giác ABC

2

4

2

16 sin

a

AB AB b ab

R

AH a b

ACH



   suy

3

b a

R

a b

Tính chất 6. Đồ thị hàm số yax4bx2ccó ba cực trị A,B,C tạo thành ba đỉnh tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp R ab0

3

b a

R

a b

  Lưu ý :Các tính chất khơng thừa nhận q trình giải tập Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số yx3mx27x3 có cực trị

Ta có: y'3x22mx7 Hàm số có CĐ, CT  y 0 có nghiệm phân biệt x x1, 2 'm221 0  m 21 (*)

vậy m 21 hàm số yx3mx27x3 có cực trị

Ví dụ 2: Tìm m để đồ thị hàm số yx33mx23(m21)x m 34m1 có hai điểm cực trị

A, B cho OAB vuông O Ta có: y3x26mx3(m21);

Suy y x m y m

x m y m

1

0

1

             

 A m( 1;m3), B m( 1;m1)  OA(m1;m3), OB(m1;m1) Mà OAB vuông O  OAOB 0  m m m

m

2

2

2   

     



Ví dụ 3: Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số yx4(3m1)x23 có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cân cho độ dài cạnh đáy

3 lần độ dài cạnh bên

Ta có: y'4x32(3m1)x; y' x 0,x2 3m

2 

    

Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị y 0 có nghiệm phân biệt m

3    (*) Ba điểm cực trị là:

A(0; 3) ;B m m

3 (3 1)

;

2

     



 

 ;

m m

C

2

3 (3 1)

;

2

     

 

 

 

ABC

 cân A;BC 2AB m m m

3

4

3 (3 1)

9.4

2 16

 

     

       m

3

Ví dụ 4: Với giá trị m đồ thị hàm số yx42mx22m m có điểm cực đại điểm cực tiểu, đồng thời điểm cực đại điểm cực tiểu lập thành tam giác có diện tích

S4

Ta có y x mx x

g x x m

2

0

' 4

( )

 

    

  



Hàm số có cực trị y' 0 có nghiệm phân biệtg   m m 0 (*)

Với điều kiện (*), phương trình y0có nghiệm x1  m x; 20;x3 m Hàm số đạt cực trị tại x x x1; 2; 3 Gọi A(0;2m m 4);B



m m; 4m22m C

 

;  m m; 4m22m



điểm cực trị (Cm)

Ta có: AB2AC2m4m BC; 24mABC cân đỉnh A

Gọi M trung điểm BCM(0;m4m22 )m AM m2 m2

Vì ABC cân A nên AM đường cao, đó:

ABC

S AM BC m m m m m

5

2 2 5

1

4 16 16

2

         

Vậy m516

Ví dụ 5: Cho hàm số yx33x2mx2 (m tham số) có đồ thị (Cm) Xác định m để (Cm) có điểm cực đại cực tiểu cách đường thẳng y x

Ta có: y'3x26x m

Hàm số có CĐ, CT  y' 3x26x m 0 có nghiệm phân biệt x x1; 2

' 9 3m 0 m 3 (*) Gọi hai điểm cực trị A x



1;y1

 

;B x2;y2



Thực phép chia y cho y ta được: y 1x y' 2m x m

3 3

     

        

     

 y1 y x1 2m x1 m;y2 y x2 2m x2 m

3 3

) )

3

(      (     

 



 



 

 Phương trình đường thẳng qua điểm cực trị :y 2m x m

3

 

    

Các điểm cực trị cách đường thẳng y  x xảy trường hợp:

TH1: Đường thẳng qua điểm cực trị song song trùng với đường thẳng y x

m

m

2

2

3    2

 (không thỏa (*))

TH2: Trung điểm I AB nằm đường thẳng y x 1









I I

x m m

x x x x

m

y m y y

m x

x 2 2 1 2 2 1 2

3

2

1 2

1

2

0

3

2

   

      

   

   

 



 

        

  



      



Vậy giá trị cần tìm m là: m0

Ví dụ 6: Cho hàm số yx42(m2 m 1)x2 m Tìm m để đồ thị (C) có khoảng cách hai điểm cực tiểu ngắn

Ta có y 4x34(m2 m 1)x;

x y

x m2 m

0

1  

   

   



Khoảng cách điểm cực tiểu: d = m m m

2

2

2

 

      

 

 mind  m = 1

2.

Bài tốn 3: Tìm điều kiện để hàm số đạt cực trị

x

Phương pháp giải toán:

Bước Tìm tập xác định

Bước 2.Tính đạo hàm , y y 

Bước 3.Từ điều kiện cần y x

 

0 0 y

 

x0 để tìm tham số

Bước Thử lại kết luận

Chú ý: Trong trường hợp tốn u cầu tìm điều kiện để hàm số đạt cực tiểu (cực đại)

x

khi y x

 

0 0;y

 

x0 0(tương ứng y x

 

0 0;y

 

x0 0 ) Sau tìm tham số cần kiểm tra lại trước kết luận

Ví dụ 1: Cho hàm số: 2 1

y x mx m m x Tìm m để hàm số đạt cực đại điểm

x

1

Ta có y x2 2mx m2 m 1 y 2x 2m Hàm số đạt cực đại tại

x

1

2

1 3 2 0

2

1 2

y m m m m

m m

y m

Thử lại với

m

2

ta thấy hàm số 2 3

y x x x đạt cực đại tại

x

1

Vậy

m

2

hàm số đạt cực đại

x

1

.

Ví dụ 2: Cho hàm số: y x m 3x Tìm m để hàm số đạt cực tiểu điểm

x

0.

Tập xác định: D

Ta có y x m 3 y 6x 6m Hàm số đạt cực đại tại

x

0.

2

0 3 1

1

0

y m m m

m m

y m

Thử lại với

m

1

ta thấy hàm số y x3 3x2 1đạt cực đại tại

x

0.

Vậy

m

1

hàm số đạt cực đại

x

0.

Bài tập tương tự

Bài 1: Tìm m để hàm số y x3



m22 x 2



 m có cực trị Bài 2: Tìm m để hàm số yx43 xm 2m có cực trị

Bài 3: Tìm m để hàm số yx43



m1 x



2m25 có cực trị

1 Với giá trị m đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị lập thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp

2 Với giá trị m đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị

đó lập thành tam giác

3 Với giá trị m đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị

đó lập thành tam giác vuông cân

4 Với giá trị m đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị

đó lập thành tam giác có diện tích

5 Với giá trị m đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị

đó lập thành tam giác có góc

6 Với giá trị m đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời hồnh độ ba điểm

cực trị lập thành cấp số cộng

Bài 7: Cho hàm số , với tham số thực Xác định để hàm số cho đạt cực trị cho Xác định để hàm số cho đạt cực trị cho

3 Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d:

4 Tìm giá trị m để điểm cực đại, cực tiểu đồ thị hàm số cho có hồnh độ số dương

5 Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ điểm cực tiểu nhỏ

6 Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến gốc tọa độ O

7 Xác định để hàm số cho đạt cực trị cho 1 2

1

x x x  x  Bài 8: Tìm cực trị hàm số :

y

 

x

sin 2

x



2

.

Bài 9: Cho hàm số yx4mx2 m có đồ thị (Cm), m tham số Xác định m để đồ thị (Cm) hàm số cho có ba điểm cực trị

Bài 10: Cho hàm số yx36x2 9x2 (C) Viết phương trình đường thẳng qua điểm



1;1



A vng góc với đường thẳng qua hai điểm cực trị (C)

Bài 11: Cho hàm số: yx42(m2 1)x2 1 (1) Tìm giá trị tham số m để hàm số (1) có điểm cực trị thỏa mãn giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn

Bài 12: Tìm tham số để hàm số: y x3 3mx2 m2 x m đạt cực đại x

1

0 120

yx3 (1 )m x2 (2 m x m)  2 m

m x x1, 2 x1 x2

3

 

m x x1, 2 x12x21

x8y740

2

Bài 13: Tìm cực trị hàm số: y x x

Bài 14: Cho hàm số yx33mx22 (Cm) Tìm giá trị m để (Cm) có hai điểm cực trị khoảng cách từ điểm cực tiểu (Cm) đến đường thẳng

 

d :y  x

Bài 15: Tìm cực trị hàm số: y x x Bài 16: Cho hàm số

2

yx  mx  m Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cho trục Ox chia tam giác thành hai phần có diện tích

Bài 17: Cho hàm số yx33x2 (C) Tìm m để đường thẳng qua điểm cực trị đồ thị (C) tạo với đường thẳng :xmy 3 góc  biết cos

5





Bài 18: Cho hàm số ( 1) ( 2)

m

y x m x m x Tìm m để hàm số có cực trị, đồng thời điểm cực trị nằm hai phía so với trục hồnh Ox

Bài 19: Cho hàm số y x3 m x2 3m2 7m x m2 Tìm m để hàm số có điểm cực tiểu điểm có hồnh độ nhỏ

Bài 20: Cho hàm số y x3 mx2 Tìm m để hàm số có cực trị A B thỏa:

2 900 729

m AB

Bài 21: Cho hàm số

3

y x mx x m Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời khoảng cách hai điểm ngắn

Bài 22: Cho hàm số

3

y x x m x m Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị A, B cho tam giác ABO vuông cân với O gốc tọa độ

Bài 23: Cho hàm số y x3 3mx2 4m3 Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đối xứng qua đường phân giác thứ

Bài 24: Cho hàm số y (x m x) 3x m Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu thỏa: xCÐ.xCT

Bài 25: Cho hàm số 2

3

m

y mx mx m x Tìm m để hàm số có cực trị thỏa:

1 12

Bài 26: Cho hàm số

3

y x mx x m Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu, đồng thời khoảng cách hai điểm ngắn

Bài 27: Tìm mđể đồ thị hàm số y x3 3x2 C có điểm cực đại điểm cực tiểu đồ thị C nằm hai phía khác đường trịn (phía đường trịn phía ngồi đường trịn): : 2 2 4 5 1 0

m

C x y mx my m

Bài 28: Cho hàm số









2 1

yx  m x  m  m xm  (m tham số) Tìm m để (C) cắt trục hồnh điểm phân biệt A, B, C (với A điểm cố định) cho 2



k1k2



x x1 2, k k1, 2 hệ số góc tiếp tuyến (C) B, C x x1, 2 hoành độ điểm cực trị (C)

Bài 29: Cho hàm số 3

2

y x  x  mx Tìm số thực m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu



1;1



Bài 30: Cho hàm số yx42mx2m2m Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị cho mp tọa độ 0xy đường tròn qua điểm cực trị qua gốc tọa độ O

Bài 31: Cho hàm số y x4 mx2 m Tìm m để hàm số có điểm cực trị A, B, C tam giác ABC nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm

Bài 32: Cho hàm số

2

3

2 m

y x x Tìm m để hàm số có cực đại A, cực tiểu B tạo với C(– 2; 3) thành tam giác ABC

Bài 33: Tìm giá trị tham số a b; để hàm số y x4 a 3b x2 3a b đạt giá trị cực tiểu x

Bài 34: Tìm giá trị tham số a b; để hàm số 2

4

y x a b x a b có giá trị cực trị x Khi hàm số đạt cực tiểu hay cực đại

Bài 35: Chứng minh hàm số y 2x3 2m x2 6m m x đạt cực trị 1,

x x với giá trị mvà biểu thức x2 x1 không phụ thuộc vào m Bài 36: Cho





3

2 2

2

3

x

y mx  m  x m Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị với hoành

độ x x1, thỏa mãn

1

1

0

1

x  x  

Bài 38: Cho hàm số: y x3 3x2 m (Cm) Định giá trị mđể hàm số có điểm cực tiểu cho diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị (Cm)và đường thẳng qua hai điểm cực tiểu

Bài 39:Cho 2(1 sin ) (1 cos2 )

4     

 x a x a x

y Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị với hồnh độ x x1, 2 thỏa mãn x12 x22 1

Bài 40: Tìm cực trị hàm số: g x x

x

y 2cot

sin cos

3  

Bài 41: Tìm cực trị hàm số: y x x cos3x

1 cos cos

1  



Bài 42: Cho hàm số yx33mx23(m21)x m 3m (1) Chứng minh hàm số (1) ln có cự đại,cực tiểu với m.Tìm m để điểm cự trị hàm số (1) với điểm I(1;1), tạo thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp

Bài 43: Cho hàm số ( 2) 3( 1)

3 2

3    

x m x m x

y (1), m tham số Tìm m0để đồ thị hàm số (1) có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu yCĐ,yCT thỏa mãn 2yCĐyCT 4

Bài 44: Tìm m để đồ thị hàm số yx42mx22có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ làm trực tâm

Bài 45: Tìm m để đồ thị hàm số 3

3

yx  mx  m có hai điểm cự trị A B, cho tam giác

OAB có diện tích 48

Bài 46: Cho hàm số có đồ thị (Cm) Với giá trị m đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị lập thành tam giác có góc

Bài 47: Cho hàm số y  x3 3mx1 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực trị A B, cho tam giác OAB vuông O ( với O gốc tọa độ )

Bài 48: Cho hàm số 2

3 3( 1)

yx  mx  m  xm m (1) Chứng minh hàm số (1) ln có cự đại,cực tiểu với m.Tìm m để điểm cự trị hàm số (1) với điểm I(1;1), tạo thành tam giác có bán kính đường trịn ngoại tiếp

Bài 49: Tìm m để đồ thị hàm số yx42mx22có ba điểm cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ làm trực tâm

Bài 50: Tìmm để đồ thị hàm số y2x33(m1)x26mx có hai điểm cự trị A B, cho đường thẳng AB vng góc với đường thảng y x

Bài 51: Cho hàm số y2x4m x2 2m21 (1) (m tham số).Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A B C, , cho bốn điểm O,A B C, , bốn đỉnh hình thoi (với O gốc tọa độ)

Bài 52: Cho hàm số yx42(1m x2) 2 m 1(Cm).Tìm m để đồ thị (Cm) có điểm cực trị tạo

yx42mx2m2m

thành tam giác có diện tích lớn

Bài 53: Cho hàm số y 1x4 (3m 1)x2 2(m 1)

     (Cm)

Tìm m để đồ thị (Cm) có điểm cực trị tạo thành tam giác có trọng tâm gốc toạ độ O Bài 54: Cho hàm số yx42mx22m24 (Cm) (m tham số thực)

Tìm tất giá trị m để đồ thị hàm số (Cm) có điểm cực trị tạo thành tam giác cân có góc đỉnh tam giác  với

2

1

tan 

Bài 55: Cho hàm số y x4 2mx2 m1 (1).Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành tam giác cho trục Ox chia tam giác thành hai phần có diện tích

Bài 56: Cho hàm số y 1x4 (3m 1)x2 2(m 1)

     (Cm).Tìm m để đồ thị (Cm) có điểm cực trị

tạo thành tam giác có trọng tâm gốc toạ độ O

Bài 57:Tìm m để đồ thị (Cm) yx42(1m x2) 2 m có điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn

Bài 58: Cho hàm số yx42mx22 (Cm).Tìm giá trị m để (Cm) có điểm cực trị tạo

thành tam giác có đường trịn ngoại tiếp qua điểm D 9; 5

 

 

 

Bài 59: Cho hàm số yx33mx23(m21)x m 3(Cm)Chứng minh (Cm) ln có điểm cực đại điểm cực tiểu chạy đường thẳng cố định

Bài 60: Cho hàm số y 1x3 (m 1)x2 4(m 1)3

3

     (1) (m tham số thực).Tìm m để điểm cực

đại cực tiểu đồ thị (1) nằm phía (phía phía ngồi) đường trịn có phương trình (C): x2y24x 3

Dạng 3: Bài toán giá trị lớn nhỏ

 

a b, Phương pháp giải toán

Cho hàm số y f x

 

liên tục đoạn

 

a b, Để tìm giá trị lớn (max) giá trị nhỏ (min) f x

 

đoạn [a; b] ta thực bước sau:

Bước Nhận xét : Hàm số f x

 

liên tục đoạn

 

a b,

Bước 2. Giải phương trình f

 

x 0 (tìm điểm dừng) Giả sử có n nghiệm x x1; 2; ;xn thuộc đoạn

 

a b, (ta loại nghiệm nằm đoạn

 

a b, )

Bước 4. Giá trị lớn nhất, nhỏ giá trị tính giá trị tương ứng cần tìm Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f x

 

x x

  đoạn

 

1,3

Ta thấy hàm số f x

 

x x

  liên tục đoạn

 

1,3

Hơn nữa, f

 

x 42

x

   nên

 

42 2(n) 2(l) x

f x

x x

       

   Lại có

 

1 5;

 

2 4;

 

3 13

3

f  f  f 

Suy

 1,3

 

 

 1,3

 

 

max 5;

x

x f x  f   f x  f  Vậy giá trị lớn nhỏ hàm số f x

 

x

x

  đoạn

 

1,3 là Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số 2sin

sin sin

x y

x x

 

 

Đặt t = sinx, điều kiện   1 t 1.

Bài tốn quy tìm GTNN, GTLN hàm số ( ) 2 1

t f t

t t

 

  trên đoạn



1;1



Bảng biến thiên hàm số f(t) đoạn



1;1



sau:

t -1 1  f’(t) + -

f(t)

0

2

Từ có: Maxy = đạt khi: xk, Miny = khi: 2 k

 

 

Chú ý: Nếu biểu thức xác định hàm số phân chia thành nhóm số hạng chúng có mối liên hệ cho hệ thức tốn học cho phép biểu diễn chúng qua ta đưa tốn tốn đơn giản phương pháp đổi biến số Mối liên hệ nhóm số hạng biểu thức xác định hàm số ví dụ rõ ràng dễ thấy, điều giúp ta phát cách đổi biến số khơng khó khăn, nhiên có trường hợp mối liên hệ nhóm số hạng ẩn kín bên trong, địi hỏi nhiều phép biến đổi có cách nhìn tinh phát Trong phép đổi biến số cần ý cần phải tìm điều kiện cho biến để tránh khỏi sai lầm giải tốn Chẳng hạn xét lại ví dụ ta thấy:

Đặt t = sinx, ta có hàm số theo t: ( ) 2 1

t f t

t t

 

 

Ta có:

2 '

2

2 ( )

( 1)

t t

f t

t t

  

  , f ’(t) = 

2 t t

    

 ; xlim f x( )0 Bảng biến thiên hàm số f(t) như sau:

t  -2 

f’(t) - + -

f(t)



Từ BBT suy ra: m inf( ) ( 2)

t  f    ; Maxf(t) f(0)1

Từ có GTNN, GTLN hàm số ban đầu 

Theo lời giải hàm số f(x) nhận GTNN

 khi: sinx = -2, điều không xảy ra.Mặc

dù lựa chọn biến mới: t = sinx hợp lí chưa tìm điều kiện cho dẫn đến tốn tìm GTNN, GTLN hàm số theo biến số ( ) 2

1

t f t

t t

 

  không tương thích với tốn ban đầu (ngồi ví dụ xét ví dụ sau phải lưu ý điều này)

Ví dụ 3: Cho  

5

Ta có  

 

 

 

 

2

1

2 ; x :

5 ; :

x m x x P

f x

x m x x P

      

  

     



Gọi (P) đồ thị y = f(x)  (P) = (P1)  (P2) (P) có hình dạng đồ thị

sau

Hoành độ giao điểm (P1), (P2) xA = 1; xB = ; Hoành độ đỉnh (P1):

2 C

m

x  

Nhìn vào đồ thị ta xét khả sau:

 Nếu xC[xA, xB]  m[ 3, 3] Minf(x) = Minf(1), f(4)

Khi Minf(x) > 

3

(1)

(4)

m

f m

f m

   

  

 

 



 < m  (1)

 Nếu xC[xA, xB]  m[ 3, 3] Minf(x) = 1

 

2 C

m f x  f   

  =

2

10

m m

  

Khi Minf(x) > 

[ 3, 3]

3

10 13

m

m

m m

 

    



  

 (2)

Kết luận: Từ (1) (2) suy Minf(x) >  1m52 3

Bài tập tương tự

Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y x3 3x2 9x

4 đoạn

[ 1; 1]

A

B C

P2 P1

A

B C

P2 P1

A

B C

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

y

x

4

2x

2

1

đoạn [ 1; 3]

Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y x

x đoạn [ 1; 2]

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

f(x)

x

2

4x

5

đoạn [ 2; 3]

Bài 5: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

 



 



2

2

f x  x x đoạn

; 2

 

 

 

Bài 6: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x6 x2 đoạn

1;1

Bài 7: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

2

2 x y f x

x đoạn 5;

Bài 8: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y f x x2 3x 2trên đoạn

10;10

Bài 9: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x3 3x2 đoạn 2;1

Bài 10: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x 3x2 6x 9trên

1;3

Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số yx3 3x2 9x1 đoạn [– 2; 2]

Bài 12: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số :yx4 2x23 đoạn

 

0;4 Bài 13: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f x( )ex x đoạn



1;1



Bài 14: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f x( )x33x21 đoạn 1;3

2

 

 

Bài 15: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x( )(x22).e2x đoạn [–1 ; 2]

Bài 16: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số

 

   

f x x

x đoạn

 

2;5 Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

y

 

x

2ln

x

 

1;e

Bài 18: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y f x

 

x2 ln 2



 x



đoạn



1;0



Bài 19: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số 2

x y

x

 

 đoạn [0;3]

Bài 20: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

2

2

1

x x

y

x

 



 đoạn



2;0



Bài 21: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

 

ln



2



x

f x   x  x đoạn

;3

 

 

 

Bài 22: Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số y 4x2 x

Bài 23: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x( ) 4 x đoạn



1;1



Bài 24: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số ( )

1

f x x

x

  

 đoạn Bài 25: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số

4

y x  x xx

Bài 26: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số

2

1

4

x y x  x 

Bài 27: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f x( )



x22x7



ex đoạn

 

0, Bài 28: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f x( ) x ln 2



 x



đoạn

 

0,1 Bài 29: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số





2

( ) ln

x

f x   x đoạn



2,1



Bài 30: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f x( ) x2 16 x

  đoạn 1,

 

 

 

Bài 31: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f x( )4 3x2 3x 4 3x2 3x đoạn



1, 2



Bài 32: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f x( ) lnx x

  đoạn 1,1

e

 

 

 

Bài 33: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x 2x2 2x 1;2

Bài 34: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số

sin cos

y

x x

Bài 35: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y sinx cosx Bài 36: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y 2x x2

Bài 37: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

2

x y

x

Bài 38: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

x s inx+2cos

2

( ) , 0;

x

cosx+2sin

f x  x  

 

Bài 39: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y4 2x 2x2 64  x 2 6x Bài 40: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

( ) cos x, 0;

4

f x  x x  

 

Bài 41: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số ysinx(1cosx) Bài 42: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

x x

y

cos

1 sin

4

  



Bài 43: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số ( ) log 2,x 2;

f x x x e 

Bài 44: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f(x)=5cosx–cos5x, x

 

Bài 47: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

4 2

2

2 1

( )

1 1

x x x

f x

x x

     



   

Bài 48: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

) cos

(cos ) cos sin (

2 x x x x

y   

Bài 49: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số 2 cos

sin (2 cos sin ) x

y

x x x



 , với x



  Bài 50: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số

Dạng 4: Bài toán tiếp tuyến

Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến  (C): y f x

 

điểm M x



0; f x

 

0



. Phương pháp giải toán

Bước 1: Nếu cho x0 tìmy0  f x( 0).Nếu cho y0 tìm x0 nghiệm phương trình

 

0

f x  y

Bước 2: Tính yf x( ) Suy y x( 0) f x( 0)

Bước 3: Phương trình tiếp tuyến  là:y–y0  ( ).( –f x0 x x0) Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số yx33x2 (C)

a Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M

 

2;4

b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ

x c Viết phương trình (C) điểm có tung độ

Hướng dẫn

a.Ta có y 3x23

Suy hệ số góc tiếp tuyến điểm M 2; 4

 

là y ' 2

 

9 Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M y9x 14 b Điểm thuộc đồ thị hàm số có hồnh độ x0

2

 , có tung độ y0



Ta có y 3x23

Suy hệ số góc tiếp tuyến tiếp điểm 1; 2

     

1 y '

2

Phương tình tiếp tuyến (C) điểm 1; 2

     

9 13

y x

4

   c.Điểm thuộc (C) có tung độ y0 0, có hồnh độ x01 2 x021 Ta có y 3x23

Hệ số góc tiếp tuyến điểm



2; 0



y '

 

 2 9 Phương tình tiếp tuyến (C) điểm



2; 0



y9x 18 Hệ số góc tiếp tuyến điểm

 

1; y' 1

 

0

Phương tình tiếp tuyến (C) điểm

 

1; y0

Phương trình hai tiếp tuyến (C) điểm có tung độ y9x 18 y0 Ví dụ 2: Cho hàm số yx42x2 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có tung độ y8

Điểm thuộc đồ thị hàm số có tung độ y0 8, có hồnh độ x0  2 Ta có

4

y  x  x nên hệ số góc tiếp tuyến tiếp điểm

 

2;8 và



2;8



 



y ' 24, y '

 

  2 24

Suy phương tình tiếp tuyến (C) điểm

 

2;8 y24x56 điểm



2;8



  

y 24x 40

Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến  (C): y f x( ), biết  có hệ số góc k cho trước Phương pháp giải 1: Tìm toạ độ tiếp điểm

Bước 1: Gọi M x y( ; )0 0 tiếp điểm Tính f x( )0 Bước 2:  có hệ số góc k nên f(x0)k

Bước 3: Giải phương trình (1), tìm x0 tính y0 f x( )0 Từ viết phương trình  Phương pháp giải 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

Bước 1: Phương trình đường thẳng  có dạng: ykxm

Bước 2:  tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm:

 

 

 

*

f x kx m f x k

 

  





Bước 3: Giải hệ (*), tìm m Từ viết phương trình  Chú ý: Hệ số góc k tiếp tuyến  cho gián tiếp sau:

+ vng góc với đường thẳng yaxb a, 0 k a  

+  tạo với đường thẳng yaxbmột góc  tan

k a

ka 

 



Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số 1

x y

x

 

 (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) , biết hệ số góc tiếp tuyến k4

Ta có





2

y

x

 



Điểm M x ; y



0 0



thuộc đồ thị (C), có hệ số góc tiếp tuyến M y ' x

 

0 4 Khi đó, ta có:





2 01

0

1 1

4 x x

2

x

       

 02

3 x

2   Tung độ điểm M y01

2    

  01

y

2      

Vậy có hai tiếp tuyến có phương trình y4x2 y4x10

Ví dụ 2: Cho hàm số

y

 

x

4

2

x

2(C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) , biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y24x2017

Ta có

y

 

4

x

3



4

x

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y24x2017nên hệ số góc tiếp tuyến 24 Điểm M x ; y



0



thuộc (C) có hệ số góc tiếp tuyến M y ' x

 

0 24

Khi đó, ta có:









0 0 0

4x 4x 24 0 x 2 4x 8x 12  0 x 2 Lúc tung độ M

y

0



8

Phương trình tiếp tuyến (C) điểm M y24x56

Ví dụ 3: Cho hàm số

y

 

x

4

2

x

2(C) Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A B có hồnh độ a b Tìm điều kiện a b để hai tiếp tuyến (C) A B song song với

Ta có: f x'( )4x34x

Hệ số góc tiếp tuyến (C) A B kA f a'( )4a34 ,a kB  f b'( )4b34b

Tiếp tuyến A, B có phương trình là:

y f b x b( )(  ) f b( ) y f b x( )  f b( )bf b( )

Hai tiếp tuyến (C) A B song song trùng khi:

3 3

A B

k k 4a 4a = 4b 4b(a b a )( 2ab b 2 1) 0 (1) Vì A B phân biệt nên ab, (1)  a2   ab b2 0 (2) Mặt khác hai tiếp tuyến (C) A B trùng khi:

a ab b a ab b

a b

a a b b

f a af a f b bf b

2 2

4

1

( )

3

( ) ( ) ( ) ( )

 

         

  

      

   

 



Giải hệ ta nghiệm ( ; )a b  ( 1;1) ( ; )a b (1; 1) , hai nghiệm tương ứng với cùng cặp điểm đồ thị ( 1; 1)  (1; 1)

Vậy điều kiện cần đủ để hai tiếp tuyến (C) A B song song với là:

a ab b

a a b

2 1 0

1;

         

Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến  (C):y f x( ), biết  qua điểmA x( A;yA) Phương pháp giải 1: Tìm toạ độ tiếp điểm

Bước 1: Gọi M x( 0;y0) tiếp điểm Khi y0 f x( 0), (y x 0) f(x0) Bước 2: Phương trình tiếp tuyến  M: y–y0  ( ).( –f x0 x x0)

Bước 3:  qua A x( A;yA)nên: yA–y0  ( ).(f x 0 xA–x0) **

 

Bước 4: Giải phương trình (**), tìm x0 Từ viết phương trình  Phương pháp giải 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

Bước 1: Phương trình đường thẳng  qua A x( A;yA) có hệ số góc k:y–yAk x( –xA) Bước 2:  tiếp xúc với (C) hệ phương trình sau có nghiệm:

 





 



***



A A f x k x x y f x k

  

  





Bài tốn 4: Viết phương trình tiếp tuyến  (C):y f x( ), biết  cắt hai trục toạ độ A và B cho tam giác OAB vng cân có diện tích S cho trước

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi M x( 0;y0) tiếp điểm Khi đó: y0  f x( 0), (y x 0) f x( 0) Bước 2: Xử lý giả thuyết

+ OAB vuông cân   tạo với Ox góc 450 O  .(a) +SOAB  S OA OB 2S (b)

Bước 3: Giải (a) (b) tìm x0 Từ viết phương trình tiếp tuyến 

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số 1

 

x y

x

 

 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O

Gọi toạ độ tiếp điểm 

OAB cân O nên tiếp tuyến  song song với đường thẳng (vì tiếp tuyến có hệ số góc

âm) Nghĩa là: 

+ Với : (loại)

+ Với : (nhận)

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

Ví dụ 2: Cho hàm số có đồ thị (C) Gọi I giao điểm hai tiệm cận Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M cắt tiệm cận A B với chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ

Giao điểm tiệm cận Gọi M  (C)

x y0 0

( ; ) y x

x

0 2

0

( )

(2 3)



  



y x y x

x

0 2

0

( )

(2 3)



   



x y

x y

0

0

1

2

     

    

x0 1; y01 y      1 (x 1) y x

x0 2;y00 y   0 (x 2)   y x

y  x

1

  

x x y

I(1; 2) 

  

 

 

1 ;

0

PTTT M có dạng:

Toạ độ giao điểm tiếp tuyến với tiệm cận: A , B

Ta có: (đvdt)

IAB vng có diện tích khơng đổi  chu vi IAB đạt giá trị nhỏ IA= IB



Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện , .Khi chu vi

AIB =

Chú ý: Với số dương a, b thoả ab = S (khơng đổi) biểu thức P = nhỏ khi a = b.Thật vậy: P = 

.Dấu "=" xảy  a = b

Ví dụ 3: Cho hàm số 3

 

x y C x  

 Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B. Gọi I là giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ

điểm M cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ

Giả sử ,

Phương trình tiếp tuyến () với ( C) M:

Toạ độ giao điểm A, B () với hai tiệm cận là:

Ta thấy , suy M trung điểm

AB

y x x

x

x0 0

3

( )

1 ( 1)                ; x x0

(2 1;2)

IAB

S IA IB x

x0

1

2.3

2

                   

 1 3

3 1 0 0 x x x x





M1 1 3; 2 M2



1 3; 2 3



6

4 

a b  a2b2

a b  a2b2 ab 2ab(2 2) ab(2 2) S

x

M x x

x

0

0

; ,

2

  



 

  

  y x0



x0



2

1 '( )   





x

y x x

x x 0 0 ( ) 2       





x

A B x

x

0

2

2; ; 2; 2            A B M

x x x

x x

0

0 2

2

  

   A B

M

y y x

Mặt khác I(2; 2) IAB vng I nên đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích

S =

Dấu “=” xảy

Do điểm M cần tìm M(1; 1) M(3; 3)

Bài tốn 5: Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ 1, 2, 3, tiếp tuyến với đồ thị (C): yf x( )

Phương pháp giải:

Bước 1: Giả sử d ax by c:   0,M x( M;yM)d

Bước 2: Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: yk x( –xM)yM  tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm:



( ) ( ) (1)

'( ) (2)

M M

f x k x x y

f x k

  



Thế k từ (2) vào (1) ta được: f( )x ( –x xM) (f x M)yM (3) Bước 3: Số tiếp tuyến (C) vẽ từ M = Số nghiệm x (3) Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số y3xx3 (C).Tìm đường thẳng (d): y x điểm M mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C)

Gọi M m m( ; ) d PT đường thẳ ạng: yk x m(  )m

 tiếp tuyến (C)  hệ PT sau có nghiệm: x x k x m m

x k

3 ( ) (1)

3 (2)

    



 

 (*)

Thay (2) vào (1) ta được: 2x33mx24m0  m x x

3

2

3



 (**)

Từ M kẻ tiếp tuyến với (C)  (**) có nghiệm phân biệt Xét hàm số f x x

x

2 ( )

3



 Tập xác định D R

2 3

\ ;

3

 

 

 

 

x

IM x x

x x

2

2 2

0 2

0 0

2

( 2) ( 2)

2 ( 2)

           

   

   

 

x x

x x

2 0

0 2

0

1

( 2)

3 ( 2)

 

    

x x f x

x

4

2

6 24

( )

(3 4)   

 ;

x f x

x

0 ( )

2        



Dựa vào BBT, (**) có nghiệm phân biệt  m

m

2     

 Vậy: M( 2;2) M(2; 2)

Ví dụ 2: Cho hàm số yx32x2(m1)x2m(Cm) Tìm m để từ điểm M(1;2) kẻ tiếp tuyến với (Cm)

PT đường thẳng  qua M có dạng: yk x(  1) 2  tiếp tuyến (Cm)  hệ PT sau có nghiệm: x x m x m k x

x x m k

3

2

2 ( 1) ( 1)

3

       



   



 f x( )2x35x24x3(m 1) 0 (*)

Để qua M kẻ hai tiếp tuyến đến (Cm) (*) có nghiệm phân biệt Ta có f x( ) 6x2 10x f x( ) x 1;x

3

         

 Các điểm cực trị (Cm) là: A(1;4 ),m B 109; 3m

3 27

 

   

 

Do (*) có nghiệm phân biệt  A Ox m

B Ox m

4 109

81 

       

  



Bài tốn 6: Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ 1, 2, 3, tiếp tuyến với đồ thị (C): yf x( )

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi M x( M;yM) Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k: yk x( –xM)yM Bước 2:  tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm:

f x k x xM yM f x k

( ) ( ) (1)

'( ) (2)

   

 



Thế k từ (2) vào (1) ta được: f( )x ( –x xM) (f x M)yM (3)

Qua M vẽ tiếp tuyến với (C)  (3) có nghiệm phân biệt x x1, 2

Ví dụ 1: Cho hàm số y f x( ) 1mx3 (m 1)x2 (4 )m x

       có đồ thị (Cm).Tìm giá trị m

sao cho đồ thị (Cm) tồn điểm có hồnh độ âm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): x2y 3

(d) có hệ số góc

2

  tiếp tuyến có hệ số góc k2 Gọi x hồnh độ tiếp điểm thì:

f x'( ) 2 mx22(m1)x (4 )m  2 mx22(m1)x 2 3m0 (1) YCBT  (1) có nghiệm âm

+ Nếu m0 (1) 2x   2 x 1 (loại)

+ Nếu m0thì dễ thấy phương trình (1) có nghiệm x hay x= m m

2

1 



Do đĩ để (1) cĩ nghiệm âm m m hoặc m m

2

0

3

    

Vậy m 0hay m

3

 

Ví dụ 2: Cho hàm số yx3mx m 1 (Cm) Tìm m để tiếp tuyến đồ thị (Cm) điểm M có hồnh độx 1 cắt đường trịn (C) có phương trình (x2)2 (y 3)24 theo dây cung có độ dài nhỏ

Ta có: y 3x2m y   ( 1) m; y( 1) 2m2 (C) có tâm I(2;3), R = PTTT d M( 1;2 m2): y (3 m x m)  1 (3m x y m)    1

m m

m

d I d R

m m m

2

2 2

1 (3 ) (3 )

4

( , )

(3 ) (3 ) (3 )

   



    

     

Dấu "=" xảy  m2 Dó d I d( , ) đạt lớn  m2

Tiếp tuyến d cắt (C) điểm A, B cho AB ngắn  d I d( , ) đạt lớn  m2

Khi đó: PTTT d: y x 3 Bài tập luyện thi

Bài 1: Cho hàm số y f x

 

 x33x21có đồ thị C

d Viết phương trình tiếp tuyến C biết song song với đường thẳng y  9x1 e Viết phương trình tiếp tuyến C biết vng góc với đường thẳng

1

x 1

9

y

 



f Viết phương trình tiếp tuyến C biết hợp với trục 0x góc 45 độ

g Viết phương trình tiếp tuyến C điểm giao với đường thẳng y=1 Bài 2: Cho hàm số y f x

 

 x42x21có đồ thị C

a Viết phương trình tiếp tuyến C điểm có hồnh độ b Viết phương trình tiếp tuyến C điểm có tung độ c Viết phương trình tiếp tuyến C biết có hệ số góc -24

d Viết phương trình tiếp tuyến C biết song song với đường thẳng y 24x 12 e Viết phương trình tiếp tuyến C biết vng góc với đường thẳng

1

x 1

24

y





f Viết phương trình tiếp tuyến C biết hợp với trục 0x góc 45 độ

g Viết phương trình tiếp tuyến C điểm giao với đường thẳng y=-1 Bài 3: Cho hàm số

 

2 x y f x

x



 

 có đồ thị C

a Viết phương trình tiếp tuyến C điểm có hồnh độ b Viết phương trình tiếp tuyến C điểm có tung độ c Viết phương trình tiếp tuyến C biết có hệ số góc

d Viết phương trình tiếp tuyến C biết song song với đường thẳng y8x-2016 e Viết phương trình tiếp tuyến C biết vng góc với đường thẳng

18 y  x f Viết phương trình tiếp tuyến C biết hợp với trục 0x góc 45 độ

g Viết phương trình tiếp tuyến C biết cắt hai trục toạ độ A B cho tam giác OAB vuông cân

h Viết phương trình tiếp tuyến C biết cắt hai đường tiệm cận A B cho tam giác OAB vuông cân

i Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm thuộc đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng d: 3x4y 2

Bài 3:Cho hàm số 2 1

 

Bài 4: Cho hàm số

2 x y

x



 (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ

2

Bài 5: : Cho hàm số :y  x3 3x24 Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc

Bài 6: Cho hàm số: y x33x21 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm A(1;5) Gọi B giao điểm tiếp tuyến với đồ thị (C) (B  A) Tính diện tích tam giác

OAB, với O gốc tọa độ

Bài 7: Cho hàm số yx33x23x2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với trục tung

Bài 8: Cho hàm số : ( )

3

C x

x y

 

 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm có tung độ

Bài 9: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( )C hàm số y  x3 3x2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( )C điểm có hồnh độ x0 thỏa mãn phương trình y"

 

x0 12

Bài 10: : Cho hàm số

1

  

x x

y (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A giao điểm (C) với trục hoành

Bài 11: Cho hàm số yx33x24.(C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc

Bài 12: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( ) :C y 2 x điểm M có hồnh độ x0 = Bài 13: Cho hàm số

4

2

3

2

x

y  x  (C) Cho điểm M thuộc ( )C có hồnh độ xM 1 Viết phương trình tiếp tuyến ( )C M

Bài 14: Cho hàm số x y

x

 

 (C) Tìm m để đường thẳng

 

d :y2xm cắt (C) hai

điểm phân biệt tiếp tuyến (C) hai điểm song song với

Bài 16: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f x( ) x

 Biết tiếp tuyến có hệ số góc

4



Bài 17: Viết phương trình tiếp tuyến d đồ thị hàm số 1 x y

x

 

 biết d có hệ số góc –

Bài 18: Cho hàm số yx33x22 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng  có phương trình:

x



2016



0

Bài 19: Cho hàm số 1 x y

x

 

 Xác định tọa độ giao điểm đồ thị ( )C với đường thẳng

7

y x viết phương trình tiếp tuyến ( )C giao điểm

Bài 20: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số giao điểm với trục tung

Bài 21: Cho hàm sốy   x3 3x31 (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với đường thẳng d y: 2x7

Bài 22: Cho hàm số

x y

x

 

 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết hình chiếu vng góc hai điểm A(1;1), B(0;-3) lên tiếp tuyến trùng

Bài 23: Cho hàm số yx36x29x4 (C) Viết pttt với (C), biết tiếp tuyến song song với y = 9x –

Bài 24: Cho hàm số y  x3 6x29x2 (C).Viết pttt với (C), biết hoành độ tiếp điểm tiếp tuyến nghiệm pt f ''( )x 18

Bài 25: Cho hàm số y  x3 3x2 Viết pttt (C) giao điểm (C) d: y = - x – 2, biết

tiếp điểm có hồnh độ dương

Bài 26: Cho hàm số yx33x22 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) giao điểm (C) với đường thẳng d y:   x

Bài 27: Cho hàm số yx42x21 (1) Viết pttt (C) biết tiếp tuyến qua M(0;-1)

Bài 28: Cho hàm số: (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

3

4

yx  x

 



x y

2x

Bài 29: Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số yx33x2Tìm tọa độ điểm M (C) cho tiếp tuyến (C) M song song với đường thẳng (d): 9x – y - 18 =

Bài 30: Cho hàm số: y 2x

x (H) Viết phương trình tiếp tuyến (H), biết cắt đồ thị hai điểm A,B cho tam giác ABC C 2,5

Bài 31: Cho hàm số 1

 

 

1

2 m

x m

y C

x

  

 . Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị

 

Cm

giao điểm

 

Cm với trục tung, biết khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến Bài 32: Tìm mđể tiếp tuyến đồ thị C :x3 m x điểm C có xC chắn hai trục tọa độ tam giác có diện tích S 8

Bài 33: Cho hàm số Xác định tọa độ giao điểm đường thẳng Viết phương trình tiếp tuyến giao điểm

Bài 34: Tính diện tích tam giác chắn hai trục tọa độ tiếp tuyến đồ thị

: 27 26

C y x x điểm Bcó xB

Bài 35: Cho

 









: 2

3

m

C y x  m x  m x .Gọi A giao điểm

 

Cm trục Oy Tìm m để tiếp tuyến A tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích

3

Bài 36: Cho A,B,C ba điểm thẳng hàng nằm đồ thị hàm số yx33x22

 

C .Tiếp tuyến

 

C A,B,C cắt đồ thị

 

C A B C', ', ' Chứng minh A B C', ', ' thẳng hàng

Bài 37: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số

yx x  biết tạo với trục tọa độ tam giác cân

Bài 38: Cho 1

 

x

y C

x

 

 có I giao điểm hai đường tiệm cận M điểm

 

C

Tiếp tuyến

 

C M cắt đường tiệm cận điểm A,B Chứng minh M trung điểm AB diện tích tam giác IAB khơng đổi Tìm M thuộc (C) cho chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ

Bài 39: Cho 1

 

x

y C

x

 

 có I giao điểm hai đường tiệm cận M điểm

 

C Tìm

tọa độ điểm M để tiếp tuyến M vng góc với IM

4 4 1

y x x C C

1

Bài 40: Cho hàm số: x

y C

x .Viết phương trình tiếp tuyến C biết cắt hai đường tiệm cận hai điểm phân biệt A,B cho bán kính đường tròn nội tiếp tam giác OAB nhỏ

Bài 41: Cho hàm số

x y

x

 

 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến cắt hai đường tiệm cận (C) A B cho tam giác ABI có bán kính đường trịn nội tiếp 2 2, với I giao điểm hai đường tiệm cận

Bài 42: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số : 2

x y

x



 biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy A B, cho AB 2OA

Bài 43: Tìm tọa độ điểm A B, thuộc đồ thị (C) hàm số:

x y

x

  

 cho tiếp tuyến (C)

A song song tiếp tuyến (C) B AB2

Bài 44: Chứng minh đường thẳng y x m cắt đồ thị (C) hàm số

x y

x

  

 hai điểm phân biệt A B, Gọi k k1, hệ số góc tiếp tuyến (C) A B, Tìm m để k1k2 đạt giá trị lớn nhất

Bài 45: Cho hàm số: 3

y mx m x m x (Cm) Định giá trị mđể đồ thị hàm số (Cm) tồn điểm có hồnh độ âm cho tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x2y 3

Dạng 6: Sự tương giao giửa đồ thị

Bài toán 1: Biện luận số nghiệm phương trình

Phương pháp giải tốn: Dựa vào điểm đặc biệt đồ thị (thường điểm cực trị ,các đường tiệm cận) tương giao đồ thị đường thẳng nằm ngang để tìm điều kiện tham số

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Dựa vào đồ thị hàm số: y x4 4x2 tìm giá trị tham số thực m để phương trình x4 4x2 2m có hai nghiệm phân biệt

Ta có x4 4x2 2m x4 4x2 2m (*)

d: y = 2m

Dựa vào đồ thị tìm : 2m = 2m < –3 hay 1;

2

m m

Vậy

2

m

2

m phương trình x4 4x2 2m có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2: Dựa vào đồ thị hàm số:

y



x

3



6x

2



9x 1



tìm giá trị tham số thực m để phương trình

x(x 3)





m

có ba nghiệm phân biệt

Ta có

x(x 3)





m



x

3



6x

2



9x m 1

 



(*)

Suy số nghiệm pt (*) số giao điểm ( ) :C y x3 6x2 9x 1 d: y = m-1

Dựa vào đồ thị tìm :

 

1 m 3

   

0

m



4

Vậy

0 m 4





phương trình

x(x 3)





m

có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 3: Tìm k để phương trình

 

*  x3 3x2k33k2 0 có nghiệm phân biệt

Phương trình

 

* tương đương với

3

3

x  x k  k

Nếu đặt f x

 

x33x2 phương trình trở thành

 

 

f x  f k

 

* có ba nghiệm phân biệt  đường thẳng y f k

 

có ba điểm chung với đồ thị hàm số

 

y f x   4 f k

 

0

Từ đồ thị hàm số y f k

 

, ta thấy điều kiện  4 f k

 

0 tương đương với



1;3 \ 0; 2

  

k 

Bài toán 2:Sự tương giao đồ thị

Cho y f x

 

 

C1 yg x

 

 

C2 Để tìm giao điểm

 

C1

 

C2 , ta làm sau: Bước 1: Tìm hồnh độ giao điểm Hoành độ giao điểm

 

C1

 

C2 nghiệm phương trình f x

 

g x

 

 

* Phương trình

 

* gọi phương trình hồnh độ giao điểm

 

C1

Bước 2: Tìm giao điểm Nếu x0 hồnh độ giao điểm



x0;f x

 

0



(



x g x0;

 

0



) giao điểm

 

C1

 

C2

Chú ý. Để giải toán loại này, ta hay sử dụng định lý Vi-ét đảo:

Nếu x1, x2 nghiệm phương trình bậc hai ax2bx c (a0)

1

1

b x x

a c x x

a

    



   

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số có đồ thị Tìm m để cắt trục hồnh

tại điểm phân biệt có tổng bình phương hồnh độ lớn 15

cắt trục hoành điểm phân biệt có tổng bình phương hồnh độ lớn 15

 (*) có nghiệm phân biệt thỏa

Ta có: (*) 

Do đó: YCBT  có nghiệm phân biệt khác thỏa

Vậy thỏa yêu cầu tốn

Ví dụ 2: Cho hàm số , tham số thực Tìm tất giá trị tham số để đồ thị hàm số cho cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng

Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng

Phương trình có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Phương trình có nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng Đường thẳng qua điểm uốn đồ thị (C)

Vậy thỏa yêu cầu toán

3

1

3

y x mx   x m (Cm) (Cm)

m

C

( )

x3 mx2 x m

1

0

3     3 x x x

2 2

1  2 15

x x2 m x m

( 1)( (1 ) )

       x

g x x2 m x m

1

( ) (1 )

 

      



g x( )0 x x1, 2 x12x2214

m

 

m x x x

y 33 9  m

m



3

   

x x x m



3

x  x  x m

 y m

11 11

m m

Ví dụ 3: Cho hàm số Viết phương trình đường thẳng d qua điểm cắt đồ thị (C) hai điểm M, N cho I là trung điểm đoạn MN

Phương trình đường thẳng

d cắt (C) điểm phân biệt M, N có nghiệm phân biệt khác

 có nghiệm phân biệt khác



Mặt khác: I trung điểm MN với

Phương trình đường thẳng cần tìm với

Ví dụ 4: Cho hàm số có đồ thị (C) Định m để đường thẳng cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt

PT hoành độ giao điểm (C) (d):

 

(d) cắt (C) ba điểm phân biệt  PT có nghiệm phân biệt khác  Bài toán 3:Bài toán điểm đồ thị

1) Khoảng cách hai điểm A, B: AB = (xBxA)2(yByA)2

2) Khoảng cách từ điểm M x y( 0; 0) đến đường thẳng : ax by c  0:

d M d ax by c a b 0 2

( , )  



Đặc biệt: + Nếu : xa d M( , )  x0a + Nếu : yb d M( , )  y0b

+ Tổng khoảng cách từ M đến trục toạ độ là: x0  y0

1 x y

x

 

 I( 1;1)





: 1

d yk x 

1



   



x

kx k

x 1

2

( ) 2   4

f x kx kx k 1

0

4 0

( 1) 



      

    

k

k k

f

2

M N I

x x    x   k

1

ykx k k0

yx36x29x6

d y mx m

( ) :  2 4

x36x29x 6 mx2m4

x x2 x m

( 2)( 4  1 )0 x

g x x2 x m

2

( )

 

     



3) Diện tích tam giác ABC: S = 1AB AC .sinA AB AC2



AB AC



2

2 2 

4) Các điểm A, B đối xứng qua điểm I  IA IB 0  A B I

A B I

x x x

y y y

2

  

  



5) Các điểm A, B đối xứng qua đường thẳng   AB I

 

 

 

 (I trung điểm AB)

Đặc biệt: + A, B đối xứng qua trục Ox  B A

B A

x x y y

 

   

+ A, B đối xứng qua trục Ox  B A

B A

x x y y

 

   

6) Khoảng cách đường thẳng  với đường cong (C) khoảng cách nhỏ điểm M   điểm N  (C)

7) Điểm M x y( ; ) gọi có toạ độ nguyên x y, số nguyên Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số (C) Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua tâm M(–1; 3)

Gọi , điểm đối xứng với A qua điểm





Vậy điểm cần tìm là:

Ví dụ 2: Cho hàm số Tìm (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(–3; 0) N(–1; –1)

 Phương trình MN:

3

y  x x





A x y0; 0 B M( 1;3) B



 2 x0;6y0



A B, ( )C y x x

y x x

3

0 0

3

0 0

3

6 ( ) 3( )

    

 

        











x30 x0 x0 x0 x02 x0

6 2 2 12

               

x0  1 y00



1; 0





1;6



x y

x

2

 



Phương trình đường thẳng (d)  MN có dạng: Phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d):

 (1)

(d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B  (2)

Khi với nghiệm (1)

Trung điểm AB  (theo định lý Vi-et) A, B đối xứng qua MN  I MN 

Suy (1)   A(0; –4), B(2; 0)

Ví dụ 3: Cho hàm số Tìm đồ thị (C) hai điểm B, C thuộc hai nhánh cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A với A(2; 0)

Ta có Gọi với

Gọi H, K hình chiếu B, C lên trục Ox

Ta có:

và:

Hay:

Vậy

Ví dụ 4: Cho hàm số (C) Tìm điểm đồ thị hàm số cho chúng đối xứng qua đường thẳng d:

Gọi thuộc (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng d

y2xm

x x m x   

 x mx m x

2

2    4 (  1)

m2– – 32 0m

 

A x( ;21 x1m B x), ( 2;2x2m) x x1, 2

x x

I 2;x1 x2 m

2          m m I ;      

 m 4

x

x x

x

2

2

2         x y x   C y x ( ) :

1  

 B b b C c c

2

; , ;

1

 

 

   

   

    b 1 c

ABAC BAC; 900CAK BAH 900CAKACKBAH ACK



AH CK

BHA CKA ABH CAK

HB AK

90   

     



b b c c c b 2 1 2                 

B( 1;1), C(3;3)

3

3

y  x x

x y

2 –  2



1; 1

 

; 2; 2



M x y N x y

H K

B

A

I trung điểm AB nên , ta có

Có:

Lại có:

- Xét

- Xét vơ nghiệm

Vậy điểm cần tìm là 7; ; 7;

2 2 2

   

  

   

   

   

Ví dụ 5: Cho hàm số y 1x3 x2 3x

3

   

Gọi A, B giao điểm (C) với trục Ox Chứng minh đồ thị (C) tồn hai điểm nhìn đoạn AB góc vng

 PT hồnh độ giao điểm (C) với trục hoành: x x x x x

1

3 3            A( 5;0), (1;0) B Gọi M a;1a3 a2 3a ( ),C M A B,

3

 

    

 

 

 AM a 5;1a3 a2 3a

3

 

     

 , BM a a a a

3 1; 3          

AMBMAM BM 0  (a 5)(a 1) 1(a 5) (2 a 1)4

     

 1(a 1) (3 a 5)

     a42a312a214a 4 (* )

1 2;

2

x x y y I   

  Id



 



1 2

1 3 2

2

2 2

x x x x

y y          x x 





3



 

 



1 2 2 2

1 2

3

1                   x x

x x x x x x x x x x

x x x x



1

 

.1 1



.2

MN  d x x  y y 



 





2



2

2 1 2 1 2

7

7

2  x x  x x x x x x  x x x x 

1

x x 

7 ; 2 x x     2 2 1 2

2

1 2

1 x x x x x x

x x x x

Đặt ya42a312a214a 4 0, có tập xác định D = R

y 4a36a212a14; y 0 có nghiệm thực a0 y0 2043

2 16

    

Dựa vào BBT ta suy (*) ln có nghiệm khác –5

Vậy tồn điểm thuộc (C) nhìn đoạn AB góc vng

Ví dụ 6: Cho hàm số yx42x21.Tìm toạ độ hai điểm P, Q thuộc (C) cho đường thẳng PQ song song với trục hoành khoảng cách từ điểm cực đại (C) đến đường thẳng PQ

Điểm cực đại (C) A(0;1) PT đường thẳng PQ có dạng: ym m( 0)

Vì d A PQ( , )8 nên m9 Khi hồnh độ điểm P, Q nghiệm phương trình:

x42x2    8 x 2

Vậy: P( 2;9), (2;9) Q P(2;9), ( 2;9)Q Bài tập luyện thi

Bài 1: Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình x33x2 1 m Bài 2: Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình x42x2 m Bài 3: Biện luận theo tham số m số nghiệm phương trình

1

x

m x

  

Bài 4: Tìm m để phương trình x33x2  m có nghiệm phân biệt Bài 5: Tìm m để phương trình



2x2



m x



1



vơ nghiệm

Bài 6: Tìm m để phương trình x4 2x2 m2 có nghiệm phân biệt Bài 7: Cho hàm số y 1x4 2x2

4

   Tìm m để phương trình x48x2 m có nghiệm phân biệt

Bài 8: Dựa vào đồ thị, tìm m để phương trình

2

x  x   m có nghiệm phân biệt Bài 9: Cho hàm số: y x3 3x2 có đồ thị ( )C Dựa vào đồ thị ( )C , tìm điều kiện tham số k để phương trình sau có nghiệm phân biệt: x3 3x2 k

Bài 10: Cho hàm số y x32(m2)x2 (8 )m x m có đồ thị (Cm) đường thẳng

:

d y  x m Tìm m để d cắt (Cm) điểm phân biệt có hồnh độ x1, x2 , x3 thỏa mãn:

2 2

1 20

Bài 11: Cho hàm số y x33x21 (C) Tìm m để đường thẳng d y: mx1 cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt

Bài 12: Cho hàm số yx3(m1)x2(m1)x1 (1) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số (1) cắt trục Ox điểm có hồnh độ thuộc đoạn 1;

2

 

 

 

Bài 13: : Cho hàm số









2 1

yx  m x  m  m x m  (m tham số) Tìm m để (C) cắt trục hoành điểm phân biệt A, B, C (với A điểm cố định) cho 2



k1k2



x x1 2, k k1, 2 hệ số góc tiếp tuyến (C) B, C x x1, 2 hoành độ điểm cực trị (C)

Bài 14: Cho hàm số y =2 1 x x



 có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng : 2y3x m 0 cắt đồ thị

(C) hai điểm phân biệt A, B cho độ dài 4AB2 = 13 Bài 15:Cho hàm số

1 x y

x

 

 Viết phương trình đường thẳng d song song với d’ : x + y + 2=

sao cho d cắt (C) hai điểm phân biệt A,B diện tích tam giác IAB (I giao điểm hai đường tiệm cận)

Bài 16: Cho hàm số

x y

x

 

 Tìm m để phương trình y x 2m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt

Bài 17: Cho hàm số

2

y x  x , có đồ thị (C) Gọi (dk) đường thẳng qua A(0; –1) có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng dk cắt (C) điểm phân biệt, hai điểm có hồnh độ dương

Bài 18: Cho hàm số 2 x y

x

 

 Tìm

m

để đường thẳng y x m cắt (C) hai điểm phân biệt

A, B cho AB Bài 19: Cho hàm số

1

x y

x

 

 (C).Lập phương trình đường thẳng qua M 0, 11 cắt (C) hai điểm A,B cho S OAB 2S OMB

Bài 20: Tìm giá trị m để đường thẳng

d y

:

  

x m

cắt đồ thị

 

x

y C

x

 

 hai điểm

Bài 21: Cho hàm số

x y

x

 

 có đồ thị (C) Gọi (d) đường thẳng qua H(3; 3) có hệ số góc

k Tìm k để (d) cắt (C) điểm phân biệt M, N cho tam giác MAN vuông A(2; 1) Bài 22: Cho hàm số

2 x y

x

 

 Tìm m để đường thẳng

d y

:

 

x m

cắt đồ thị (C) hai điểm

phân biệt A, B cho AB

Bài 23: Cho hàm số y  x3 3x22

 

C Tìm m để đường thẳng d y: m



2 x



cắt (C) điểm phân biệt A

 

2; , ,B C cho tích hệ số góc tiếp tuyến với (C) B, C đạt giá trị nhỏ

Bài 24: Cho hàm số 1



1





2



1

 

3

y x  m x  m x . Tìm m để hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B đồng thời hai điểm cực trị với điểm 3;7

2 D 

  gốc tọa độ O tạo thành hình

bình hành OADB

Bài 25: Cho hàm số y  x3 3x2

 

C . Gọi (d) đường thẳng qua điểm I

 

0; có hệ số góc m Tìm m để (d) cắt (C) điểm phân biệt I, A, B Chứng minh I trung điểm AB

Bài 26: Cho hàm số 2

 

-1 x

y C

x



 . Tìm m để đường thẳng

d y

:

 

x m

cắt (C) hai điểm A, B phân biệt cho trọng tâm G tam giác OAB cách d khoảng (O gốc tọa độ)

Bài 27: Cho hàm số 1

 

x

y C

x

 

 . Tìm tất giá trị m để đường thẳng ymx2 cắt

đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB vuông gốc tọa độ O

Bài 28: Cho hàm số có đồ thị Gọi đường thẳng qua điểm có hệ số góc Tìm tham số để cắt điểm phân biệt A, B cho I trung điểm đoạn thẳng AB

Bài 29: Cho hàm số: y x3 3(m 1)x2 2(m2 4m 1)x (m m 1) (Cm) Định giá trị mđể hàm số cắtOxtại điểm phân biệt có hồnh độ lớn

Bài 30: Cho Tìm m để cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ thỏa mãn điều kiện:

2

1 x y

x C I 2,

m m C

3

1

:

3

m

C y x mx x m Cm

1, ,2

Bài 31: Cho hàm số:

2

x y

x C CMR d: y x m cắt C điểm P Q thuộc

2 nhánh khác đồ thị Tìmmđể OPQ vng O

Bài 32: Cho hàm số:

1 x

y C

x đường thẳng d y m x Tìm m để d cắt C hai điểm phân biệt A,B cho bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác OAB 2

Bài 33: Cho hàm số: x

y C

x đường thẳng d y m x Tìm m để d cắt C hai điểm phân biệt A,B cho 2

3

AB  IA với I giao điểm hai đường tiệm cận C

Bài 34: Cho hàm số: x

y C

x .Viết phương trình tiếp tuyến C biết cắt hai đường tiệm cận hai điểm phân biệt A,B cho bán kính đường trịn nội tiếp tam giác OAB nhỏ

Bài 35: Cho hàm số

x y

x

 

 Gọi (d) đường thẳng qua M

 

2;0 có hệ số góc k Tìm k để (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B cho M nằm A, B MA2MB

Bài 36: Cho hàm số

x y

x

 

 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến cắt hai đường tiệm cận (C) A B cho tam giác ABI có bán kính đường trịn nội tiếp 2 2, với I giao điểm hai đường tiệm cận

Bài 37: Cho hàm số 1

x y

x

 

 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm I(0;1) cắt đồ thị ( )C hai điểm phân biệt A B, cho diện tích tam giác OAB (O gốc tọa độ) Bài 38: Tìm kđể đường thẳng d y: kx2k1 cắt đồ thị hàm số (C):

2

x y

x

 

 hai điểm phân biệt A B, cho khoảng cách từ A B đến trục hoành nhau.

Bài 39: Tìm m để đồ thị hàm số

2 (1 )

yx  x  m xm cắt trục Ox taị điểm phân biệt có hồnh độ x x x1, 2, 3 lớn

2

Bài 41: Cho hàm số Tìm để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ thỏa mãn điều kiện

Bài 42: Cho hàm số Chứng minh đường thẳng qua điểm với hệ số góc cắt đồ thị hàm số ba điểm phân biệt I, A, B, đồng thời I trung điểm đoạn thẳng AB

Bài 43: Cho hàm số có đồ thị Cm , điểm , đường thẳng d có phương trình Tìm giá trị m để đường thẳng dcắt Cm điểm A 0,2 , ,B C cho tam giác MBC có diện tí c

h

Bài 44: Cho hàm số:y x3 3(m 1)x2 2(m2 4m 1)x (m m 1) (Cm) Định giá trị mđể hàm số cắtOxtại điểm phân biệt có hồnh độ lớn

Bài 45: Cho hàm số:

3 3 x

y x C đường thẳng Tìm mđể C d y: m x( 3) có giao điểm A, B, C với A cố định OA OC, BC 42

Bài 46: Cho hàm số y = mx36x29mx3 (1) Xác định m để đường thẳng d: y = 4x cắt đồ thị hàm số (1) điểm phân biệt A(0,– 3), B, C thỏa điều kiện B nằm A C đồng thời AC = 3AB

Bài 47: Tìm m để đồ thị (C) hàm số ymx3x22x8m Cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ thỏa x >

Bài 48: Cho (C) đồ thị hầm số yx4(3m1)x2m2 Tìm m để (C) cắt trục hồnh bốn điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng

Bài 49: Tìm tham số thực m để

 

d qua A 1; 0

 

có hệ số góc m cắt

 

C : x y

x

 

 hai điểm M,N thuộc hai nhánh

 

C (M thuộc nhánh trái , N thuộc nhánh phải )sao cho AN 2AM

Bài 50: Cho hàm số

2

x y

x

 

 có đồ thị

 

C Tìm tất giá trị tham số m để đường

thẳng

 

d : y x mcắt đồ thị

 

C điểm phân biệt A, B cho OA2 OB2 37

 

Dạng 7: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

3 2 1 1

y x x m x m m

1, ,2

x x x x12 x22 x23

3 3 4

y x x C

1,2

I k k C

3 2 3 1 2

y x mx m x M 3,1

2

Để vẽ đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta sử dụng ba nguyên tắc sau đây:

Nguyên tắc 1. (về phân chia đồ thị hàm số) Đồ thị hàm số

là hợp n đồ thị hàm số y fk

 

x với xDk (k 1, 2,,n)

Nguyên tắc 2. (về đổi dấu hàm số) Đồ thị hàm số y f x

 

, xD đồ thị hàm số y f x

 

, xD đối xứng qua Ox

Nguyên tắc 3. (về đồ thị hàm chẵn) Đồ thị hàm chẵn nhận Oy làm trục đối xứng Hai trường hợp hay gặp:

-Đồ thị hàm số y f

 

x

Vì

 

 

 

y f x

f x f x x

   

  

 hàm chẳn nên đồ thị hàm số y f

 

x gồm hai phần:

+) Phần phần đồ thị hàm số y f x

 

nằm bên phải Oy; +) Phần đối xứng với phần qua Oy

-Đồ thị hàm số y f x

 

Vì

 

   

   

,

,

f x f x f x

f x f x

 

 

 

 nên đồ thị hàm số y f x

 

gồm hai phần: +) Phần phần Đồ thị hàm số y f x

 

nằm phía trục hoành;

+) Phần đối xứng với phần Đồ thị hàm số y f x

 

phía trục hồnh qua trục hồnh

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Vẽ đồ thị hàm số

 

 

 

 

1

2

, ,

,

n n

f x x D f x x D y f x

f x x D

 



 

  



 

1) 1

 

1 x f x

x

 



 

C1 ; 2) 2

 

1 x f x

x

 



 

C2 ; 3) 3

 

1 x f x

x

 



 

C3 ; 4) 4

 

1 x f x

x

 



 

C4 ; 5) 5

 

1

x f x

x

 



 

C5 Giải Trước hết, ta vẽ đồ thị

 

C hàm số

 

1 x f x

x

 

 (hình 0);

1)Ta có

 

 

 

 

 

 

1

0

f x khi f x f x f x

f x khi f x

 

  

 

 Do đồ thị

 

C gồm hai phần (hình 1): 1  Phần 1: phần đồ thị

 

C nằm Ox ;

 Phần 2: đối xứng với phần đồ thị

 

C nằm Ox qua Ox

2)Ta có f2

 

x  f

 

x hàm chẵn, đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng Lại có f2

 

x  f x

 

với x0 Do đồ thị

 

C gồm hai phần (hình 2): 2

 Phần 1: phần đồ thị

 

C nằm bên phải Oy;

 Phần 2: đối xứng với phần qua Oy

3)Ta có

 

 

 

 

 

 

2

3

2

0

f x khi f x f x f x

f x khi f x

 

  

 

 Do đồ thị

 

C gồm hai phần (hình 3): 3  Phần 1: phần đồ thị

 

C nằm Ox ; 2

 Phần 2: đối xứng với phần đồ thị

 

C nằm Ox qua Ox 2

4)Ta có

 

 

 

1

f x khi x f x

f x khi x

 

 

 

 Do đồ thị

 

C gồm hai phần (hình 4): 4  Phần 1: phần đồ thị

 

C ứng với x1;

5)Ta có

 

 

 

1

f x khi x f x

f x khi x

  

 

  

 Do đồ thị

 

C gồm hai phần (hình 5): 5  Phần 1: phần đồ thị

 

C ứng với x 1;

 Phần 2: đối xứng với phần đồ thị

 

C ứng với x 1 qua Ox

Hình Hình 1

Hình 2 Hình 3 x

y

-1

-1 O

1 x

y

-1 -1

1 O

1

x y

-1

-1 O

1

x y

-1

-1 O

Hình 4 Hình 5

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình

2 x 9x 12 x m có nghiệm phân biệt

Giải.Đặt f x

 

2x39x212x Phương trình cho tương đương với f

 

x m

Trước hết ta vẽ đồ thị

 

C hàm số f x

 

2x39x212x Hàm f

 

x hàm chẵn,

 

 

f x  f x  x 0 Do đó, đồ thị

 

C hàm số ' f

 

x gồm hai phần

 Phần 1: phần

 

C nằm bên phải Oy;

 Phần 2: đối xứng với phần qua Oy

Vậy phương trình cho có 6 nghiệm phân biệt  đường thẳng ym có 6 điểm chung với

 

C '  4 m 5

x y

-1

-1 O

1 x

y

-1

-1 O

1

(C) y

x 9

5 4

3 2 1 O

y = m

-1 -2 -3

(C') y

x 9

5 4

Bài tập luyện thi

Bài 1: Vẽ đồ thị hàm số sau

1)





3

yx  x x   2) y   1 x x

3) y x23x5 4) yx23x 5 5) y x23x 5

6) 2

3

y x x x  x  7)

3

y x x  x 8) 2

3

y x x x  x 

9)

18 24 26

y x  x  x 10) 1





18 24 26

y x  x  x 

11)

18 24 26

y x  x  x  12) y181 x1



x22x26



13)

4

y x  x  14)





1

y x  x 

15) y x23



x21



16) y x 1



x3x23x3



17) y x45x24 18) y x 1



x3x24x4



19)





1 4

y x x x  x 20)





2 2

y x x  x  x

21)





2 2

y x x  x  x 22)





4

y x  x 

23)





1

y x  x  24)





2

y x  x x  x 25) y x2 x 2



x2 x 2



26) x y x 

  27)

2 x y

x



  28)

2

x y

x



  29)

2 x y

x



  30) 12

x y

x

   Bài 2: Với giá trị m, phương trình 2

2

x x  mcó nghiệm phân biệt Bài 3: Tìm k để phương trình









2

3 4 1

4

3

k x x k     

 có nghiệm phân biệt Bài 4: Từ đồ thị (C): y x3 3x suy đồ thị hàm số y  x3 3x

Bài 5: Với giá trị a phương trình sau có nghiệm phân biệt: 2 log2 a x

x   

Bài 6: Dùng đồ thị (C) hàm số y  x4 2x23 đề biện luận theo m số nghiệm phương trình: 4

2

x  x m  m Bài 7: Cho hàm số y x

x

3

2  

 (C) Dựa vào đồ thị C) , tìm giá trị m để phương trình

x x m ( x x

6 4

sin cos  sin cos )có nghiệm đoạn 0;2



 

 

 

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1. Hàm số y  x3 mx2m đồng biến (1;2) m thuộc tập sau đây: A



3;



B



;3



C  ; 

 

3

2 D ;

 

 

 

3

2. Hàm số    

1

3 m

y x  m x  m x đồng biến



2;



m thuộc tập sau đây:

A m ; 

2

3 B m ;

      

 

2

2 C m ;

 

  

 

2

3 D m  



; 1



3. Trong hàm số sau, hàm số đồng biến khoảng



 1;



A

3

3x x

y x  B ylnx C yex22x D 4 3 y  x x 4. Hàm số yx42x21 đồng biến khoảng sau đây:

A.( ; 1); (0;1) B ( 1; 0); (0;1) C ( 1; 0); (1; ) D Đồng biến R 5. Hàm số 2

3

y x  x  x đồng biến trên:

A



2;



B

 

1 3; C



;1

 

 3;



D

 

1 3; 6. Hàm số y x 2 4x nghịch biến trên:

A



3 4;



B

 

2 3; C



3;



D

 

2 4; 7. Cho hàm số y mx x m

mx

  



1 (với m tham số) Giá trị m để hàm số đồng biến khoảng



0;



là:

A m

 

1 2; B m 5 5



;



C m

 

0 1; D m

 

0 1; 8. Cho hàm số f x( ) x

x

 

 

3

1 Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề đúng:

A f x( ) tăng



;1 1

 

; ;



B f x( ) giảm



;1 1

 

; ;



C f x( ) đồng biến R D f x( ) liên tục

9. Hàm số y xlnx nghịch biến trên:

A



e;



B



0 4;



C



4;



D

 

0;e 10.Trong hàm số sau, hàm số nghịch biến :

A ycosx B y  x3 2x210x C y  x4 x21 D y x x

 



11.Trong hàm số sau, hàm số nghịch biến khoảng (1; 3): A y2x34x26x9

3 B y x  x

2

1

2

2

C y x x x

  



2 1

1 D

x y x   

12. Hàm số

2 x y x 

 đồng biến khoảng

A (;1)và (1;2) B (;1)và (2;) C.(0;1) (1;2) D (;1)và (1;) 13.Hàm số sau hàm số đồng biến R?

A x y x 

 B





2

1

y x   x C

1 x y

x



 D y = tanx 14.Cho hàm số y 4x 1

x

  

 khoảng (I) ;

2

  

 

  (II)

3 ;

  

 

  (III)

1 1;

2

  

 

  (IV)

1 ;      

Hàm số đồng biến khoảng

A.(I) (II) B (II) (III) C (III) (IV) D.(IV) (I)

15.Cho hàm số

3   

 x mx x

y giá trị m hàm số ln đồng biến tập xác định

A.1m1 B.m< -1 m> C.- < m < D m >2 16.Hàm số y=

m x mx

 1

A luôn đồng biến với m B luôn đồng biến m0

C luôn đồng biến m >1 D.đồng biến khoảng xác định

17.Cho hàm số

3 4 x

y x x   Nhận định

A Nghịch biến R B Nghịch biến khoảng



;1



đồng biến khoảng



1;



C Đồng biến R D Đồng biến khoảng



;1



nghịch biến khoảng



1;



18.Giá trị m để hàm số y =

3

x3 – 2mx2 + (m + 3)x – + m đồng biến R là: A.m1 B

4  

m C

3 

 m D

19.Xác định m để hàm số y =



1





3



1     

 x m x m x nghịch biến R?

A.m1hoặc m2 B 1m2 C 2m1 D m2hoặc m1 20.Tìm m để hàm số y =

2   x mx

giảm khoảng xác định nó? A

2 

m B 

m C 

m D 

m

21.Hàm số y =

1 2    x m mx x

đồng biến khoảng xác định khi: A.m1 B m1 C m1 D m1 22.Hàm số y =

m x mx

 1

nghịch biến khoảng ( - ; 0) :

A.m > B 1m0 C m < - D m > 23.Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d đồng biến R nào?

A          , 0 , ac b a c b a

C          , 0 , ac b a c b a B         , ac b c b a

D          , 0 ac b a c b a 24.Tìm m lớn để hàm số y =



4 3



3

1    

x m mx

x đồng biến R

A.m =3 B m = C m = D m=4 25.Hàm số y = 2xx2 nghịch biến khoảng:

A       ;

B 

     ;

1 C



2;



D



1;2



26.Hàm số sau hàm số đồng biến R?

A





2

1

y x   x B

2 x y x 

 C

x y

x 

 D y=tanx

27.Cho hàm số x

yx (x0) Hoành độ điểm cực tiểu đồ thị hàm số là:

A x

e



B x1 C x e D x e

28.Cho hàm số yx42x21 (C) Tiếp tuyến (C) điểm cực đại có phương trình là: A x0 B y0 C y1 D y 2

29.Cho hàm số

   

x

y  m x  m x m

2

2

3 Để hàm số đạt cực trị

1

x , x2 thỏa mãn

1 2

A 2 m B m

 

3

2

2 C m2 m6 D m

30.Giả sử hàm số 3

yx  x mxm nghịch biến khoảng có độ dài Khi đó, giá trị m là:

A

2 B.

2 C.

4 D

3 31. Giả sử hàm số sin

2sin x y

x m

 

 đồng biến khoảng ,

2  

 

 

  Khi đó, giá trị m thõa

mản toán là:

A.m 3 B m 2 C m0 D m 2

32.Cho hàm số yax3bx2cxd giả sử có cực trị Mệnh đề A Cả phương án sai B Hàm số có cực tiểu

C Hàm số có hai cực đại D Hàm số có cực đại

33.Cho hàm số yxn  c xn, c0, n2 Hoành độ điểm cực tiểu đồ thị hàm số là:

A c1 B 2c C

2

c

D

c

34.Cho đường cong yx33x2 Gọi  đường thẳng nối liền cực đại cực tiểu Mệnh đề

A  qua điểm M(-1; -2) B  qua điểm M(1; -2) C song song với trục hoành D  không qua gốc toạ độ 35.Cho hàm số yx4x3x2 x Mệnh đề

A Hàm số luôn nghịch biến  x B Đồ thị hàm số có điểm cực trị C Cả phương án sai D Hàm số luôn đồng biến  x

36.Cho hàm số y x Mệnh đề

A Cả hai phương án B Cả ba phương án sai C Hàm số đạt giá trị nhỏ R x0 D Hàm số đạt cực tiểu x0 37.Tìm m để hàm số sau có cực trị: f x( ) x mx

mx

 



1

A B C D 39.Số điểm cực trị đồ thị hàm số y 1x3 x

3 là:

A B C D

40.Số điểm cực trị đồ thị hàm số yx4100 là:

A B C D

41.Đồ thi hàm số sau có điểm cực trị

A y2x44x21 B yx42x21 C.yx42x21 D y  x4 2x21 42.Đồ thi hàm số

2

2

x mx y

x m

 



 đạt cực đại x = :

A.Không tồn m B m = -1 C m = D m 1 43.Hàm số

3

yx  x mx đạt cực tiểu x = :

A m0 B m0 C.m0 D m0

44.Cho hàm số

4

1

x x

y x

  

 Hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 Tích x1.x2

A -4 B.-5 C -1 D -2

45.Hàm số

2

2

y x  x  đạt cực đại x

A  B C. D

46.Khẳng định sau đồ thị hàm số

2

2

1

x x

y

x

   

 :

A xCD  1 B yCT  4 C.yCDyCT 0 D xCDxCT 3 47.Cho hàm số



2 1



3

y x m x  m x Mệnh đề sau sai?

A  m hàm số có hai điểm cực trị B.Hàm số ln ln có cực đại cực tiểu C  m hàm số có cực đại cực tiểu D  m hàm số có cực trị

48.Cho hàm số

2

2

3

x

y  x  x Toạ độ điểm cực đại hàm số A (-1;2) B (3;2

3 ) C (1;-2) D.(1;2)

49.Trong mệnh đề sau, tìm mệnh đề sai: A Hàm số 1

2

y x x

   

 khơng có cực trị;

B Hàm số 1

y x x

  

C Hàm số y = –x3 + 3x2 – có cực đại cực tiểu; D Hàm số y = x3 + 3x + có cực trị;

50.Hàm số

3

1

x x

y

x

  

 có giá trị cực đại

A.3 B -5 C.-1 D 51.Hàm số f(x)x4 6x2 8x1 có điểm cực trị

A.0 B C D

52.Hàm số y2x33



m1



x26



m1



x1 có cực đại cực tiểu nằm khoảng



2,3



Khi đó, giá trị m

A.m

 

1,3 B m

 

1, C m

 

3, D m

   

1,3  3, 53.Hàm số yasinx b cosxx



0 x 2



đạt cực trị ,

3

x x Khi đó, tổng có giá trị là:

A.3 B

3  C 1 D 1

54.Hàm số yasinx b cosxx



0 x 2



có hai cực trị thõa mãn giá trị cực tiểu đạt giá trị lớn Khi đó, giá trị m là:

A.m3 B m1 C m 1 D m0

55.Hàm số yx33



m1



x29x m có hai cực trị x x1, 2 thõa mãn x1x2 2 Khi đó, giá trị m là:

A.m    3, 3

 

  1 3,1 B.m 



1,3



C m    1, 3

 

 1,1 3 D.m   



, 3

 

 1 3,



56.Hàm số





3

y x  x mx m có hai cực trị x x1, 2 lớn giá trị tham số m Khi đó, giá trị m là:

A.m 2 B.m 2 C

m  D.m0 m 2 57.Đồ thị hàm số yx42



m1



x2m có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vng Khi đó, giá trị m là:

A.m0 B m1 C m2 D m 1 58.Hàm số có cực tiểu mà khơng có cực đại

A.y x x

  B.y 3 cosxcos 2x C.y x2 x D.



x3



x 59.Hàm số có hai cực trị thõa mãn giá trị cực tiểu lớn giá trị cực đại A.yx43x22 B.y  x3 3x1 C

2 x y

x

 

 D

1 x y

x

 

A

3

yx  x  B

3

4

x x

y x

  

 C

2

y x x  D.ycosxcos 2x 61.Đồ thị hàm số yx3x2ax b có điểm cực tiểu A

 

1, Giá trị biểu thức a2b là: A.0 B.4 C.5 D.-5

62.Cho hàm số y4x3mx23x đạt cực trị x x1, 2 chox14x2 0 Giá trị m thõa mãn yêu cầu toán là:

A.m0 B

m  C

2

m  D

2 m 

63. Giả sử hàm số f x

 

ax4bx2c a



0



có cực trị Khẳng định A.Đồ thị hàm số f x

 

có ba điểm cực trị B.Đồ thị hàm số f x

 

có năm điểm cực trị C.Đồ thị hàm số f

 

x có năm điểm cực trị D.Đồ thị hàm số f

 

x có ba điểm cực trị 64.Giả sử đồ thị hàm số f x

 

ax3bx2 cx d a



0



có điểm cực trị nằm hai phía trục Oy Khẳng định

A.Đồ thị hàm số f x

 

có ba điểm cực trị B.Đồ thị hàm số f x

 

có năm điểm cực trị C.Đồ thị hàm số f

 

x có năm điểm cực trị D.Đồ thị hàm số f

 

x có ba điểm cực trị 65.Cho hàm số y f x

 

xác định miền D x0D Mệnh đề A.Hàm số đạt giá trị lớn x0 đạt cực đại x0

B.Hàm số đạt giá trị nhỏ x0 đạt cực tiểu x0 C.Hàm số đạt cực đại x0 f

 

x0 0 f

 

x0 0

D Hàm số đạt cực tiểu x0 tồn h0 cho  

 

 

0

0 ,

min

xxh xh f x  f x

66.Cho hàm số y f x

 

xác định miền D x0D Mệnh đề A.Hàm số đạt cực trị x0 tồn h0sao cho

0 ,0 

 

0 ,0 

 

max

x x h x h xxh xh f x     f x B.Hàm số đạt cực đại x0 tồn h0 cho

 0 

 

 

,

max

xxh xh f x  f x C.Hàm số đạt cực đại x0 với h0 ta có

 0 

 

 

,

max

xxh xh f x  f x D.Hàm số đạt cực tiểu x0 với h0 ta có  

 

 

0

0 ,

min

xxh xh f x  f x

67.Giả sử hàm số f x

 

ax4bx2c a



0



có cực trị cho giá trị cực tiểu yCT 0,giá trị cực đạiyCD 0 Đồ thị hàm số y f x

 

có số điểm cực trị là:

A.2 B.3 C.4 D.5

A.7 B.3 C.4 D.5

69.Giả sử hàm số f x

 

ax4bx2c a



0



có cực trị cho giá trị cực tiểu yCT 0 Đồ thị hàm số y f x

 

có số điểm cực trị là:

A.2 B.3 C.4 D.5

70.Giả sử hàm số f x

 

ax3bx2 cx d a



0



khơng có cực trị Khẳng định

A.Đồ thị hàm số f x

 

có ba điểm cực trị B.Đồ thị hàm số f x

 

có điểm cực trị C.Đồ thị hàm số f

 

x có năm điểm cực trị D.Đồ thị hàm số f

 

x có ba điểm cực trị 71.Cho hàm số y f x

 

liên tục tập xác định D

 

a b, ,



ab



Hai số thực phân biệt

 

1, ,

x x  a b thỏa mãn f x

 

1  f x

 

, x



x1h x, 1h



và f x

 

2  f x

 

, x



x2h x, 2h



với h đủ bé Khẳng định

A.Giá trị lớn hàm số là, giá trị nhỏ hàm số

B.Điểm



x f x1,

 

1



điểm cực đại hàm số, điểm



x f x2,

 

2



là điểm cực tiểu hàm số C.Hàm số có tối đa hai cực trị

D.Hàm số đạt cực đại x1 , đạt cực tiểu x2

72.Hàm số f x

 

liên tục có đạo hàm f

  

x x x1

 

2016 x2



2017 Đồ thị hàm số có số điểm cực trị là:

A.1 B.2 C.3 D.4

73.Đồ thị hàm số

 

3 ,

,

x x x f x

x x

  

  



 có số điểm cực trị là:

A.1 B.2 C.3 D.0

74.Hàm số f x

 

x3bx c đạt cực trị tạix x1, 2 Nhận xét A x x1 b B x x1 c C x1x2  b D x1x2  c

75.Gọi A,B,C điểm cực trị đồ thị hàm số y2x44x21 Tam giác ABC có diện tích là:

A.4 B.2 C.1 D.3

2

76.Hàm số f x

 

2x33 2



m1



x26m m



1



x1đạt cực trị x x1, 2sao cho x1x2 1 Khi đó, giá trị m thõa mãn yêu cầu toán là:

A.m0 B m0 C.m5 D.m

77.Hàm số f x

 

2x33 2



m1



x26m m



1



x1đạt cực trị x x1, 2 Khi m thay đổi, điểm cực đại di động đường cong

78.Đồ thị hàm số

 

2 ,

2 ,

3 5,

x x x

f x x x

x x

  



        

có số điểm cực trị là:

A.1 B.2 C.3 D.0

79.Hàm số f x

 

2x33



m1



x26



m2



x1đạt cực trị x x1, 2sao cho x1x2 2 Khi đó, giá trị m thõa mãn yêu cầu toán là:

A.m1 B.m2 C m 1 D m 2

80.Giả sử hàm số f x

 

ax4bx2c a



0



có cực trị Khi đó, giá trị a b thỏa mãn yêu cầu

A.a0,b0 B a0, 0b C a0,b0 D a0, 0b 81.Giả sử đồ thị hàm số y 1x3 mx2 x m (Cm)

3

     có có điểm cực trị khoảng cách điểm cực trị nhỏ Khi đó, giá trị m :

A m1 B m0 C

m  D m 1 82.Nhận xét nói tích chất điểm cực trị hàm số

3

3

y  x x 

A.Các điểm cực đại cực tiểu với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông O B.Các điểm cực đại cực tiểu với gốc tọa độ O tạo thành tam

C Các điểm cực đại cực tiểu đối xứng với qua gốc tọa độ O D.Các điểm cực đại cực tiểu đối xứng với qua trục Oy 83.Cho hàm số: 2 1

3

y x mx m m x Để hàm số đạt cực đại điểm

x

1

giá trị m là:

A.m0 B m1 C m 1 D m2

84.Số giá trị nguyên m để hàm số ymln(x 2) x2x có điểm cực trị trái dấu là:

A.0 B.1 C.2 D.3

85.Cho hàm số y f x

  

 x a



x b



x c



có đồ thị (C) với a b c, ,  vàa b c Hàm số có hai điểm cực trị có hồnh độx x1, 2 với x1x2 Khi khẳng định ? A.x1x2 a B a  x1 b x2c C c x1 x2 D.x1 b x2

86.Hàm số f x

 

  x3



m3



x2m m



2



x2đạt cực trị x x1, 2sao cho





1

x x  x x   Khi đó, giá trị m thõa mãn yêu cầu toán là:

A 3

2 m

   B m12 m2 C.m2 D m12 87.Hàm số f x

 

  x sinx đạt cực tiểu

A





x   k k B





C





x   k  k D





x  k  k 88.Hàm số f x

 

 xlnx đạt cực tiểu

A.0 B.1 C 12

e D

2 e

 89.Giá trị cực đạiyCD hàm số

1

y x x là: A.yCD B

2 CD

y  C yCD  1 D yCD 1

90.Giả sử hàm số ymx32 xm 23x 1 có cực đại cực tiểu Khi đó, giá trị m thõa mãn yêu cầu toán là:

A.0 m

  B m C

0 m m

     

D m >

91.Giả sử hàm số ymx4



m1



x2 1 2mchỉ có cực trị Khi đó, giá trị m thõa mãn yêu cầu toán là:

A.m1 B.m0 C.0 m D m m

    

92.Giả sử hàm số





3

2

x x

3 x

y m  m  m  đạt cực tiểu x = Khi đó, giá trị m thõa mãn yêu cầu toán là:

A.m1 B m2 C m3 D.khơng tồn m 93.Số điểm cực trị có tung độ dương đồ thị hàm số yx4x21là:

A.1 B.2 C.3 D.4

94.Cho hàm số yx42x22 Khoảng cách hai điểm cực trị hàm số :

A B C D

95.Để hàm số yx36x23



m2



x m 6 có cực trị hai điểm x1 x cho 2

1

x   x giá trị m :

A.m1 B.m1 C.m 1 D.m 1

96.Giả sử hàm số y (m2 5m)x36mx2 6x5 đạt cực trị x Khi đó, giá trị m thõa mãn yêu cầu toán là:

A.m1 B.m 1 C.m1 D.m2

A.9 B.4 C.1 D.1 98.Đồ thị hàm số f x

 

 x 2x21 có số điểm cực trị là:

A.0 B.1 C.2 D.3

99.Tọa độ điểm cực trị đồ thị hàm số f x

 

 3x2x3 là:

A.

 

0,1

 

2,3 B

 

0,3

 

2,1 C

 

0,3

 

1, D

 

0,

 

2,

100. Hàm số

 





2

3

f x  x mx  m  x m đạt cực trị x x1, 2sao cho 3

1 26

x x  Khi đó, giá trị m thõa mãn yêu cầu toán là:

A.m 1 B m0 C m1 D m2

101. Hàm số f x

 

 2x33 2



m1



x26m m



1



x5m7đạt cực trị 1,

x x cho xCD3xCT 1 Khi đó, giá trị m thõa mãn yêu cầu toán là: A.m 1 B m0 C m 1 D m2 102. Hàm số

 



1





3



3

f x  x  m x  m  m x đạt cực trị x x1, 2sao cho biểu thức x x1 22



x1x2



đạt giá trị nhỏ Khi đó, giá trị m thõa mãn u cầu tốn là:

A.m 4 B m0 C m4 D m 1 103. Xét hàm số f x

 

xác định,liên tuc x có bảng biến thiên:

x - -1 +

y’ - + - +

y

+ +

Mệnh đề sai

A.Hàm số đạt cực đại x0 B Hàm số đạt cực tiểu x1 C.Đồ thị hàm số có điểm cực trị D Đồ thị hàm số có điểm cực đại 104.Đồ thị hàm số yex



x23x5



có số điểm cực trị là:

A.2 B.3 C.4 D.5

105.Tiệm cận đứng đồ thị hàm số

2

1

1

x

y

x





A.x1 B.y1 C.x2 D.y2 106.Tiệm cận ngang đồ thị hàm số

2

1

1

x

y

x







A.x1 B.y1 C.x2 D.y2 107.Cho hàm số

2 x y x  

 Mệnh đề sau

A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang

y B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng y C Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x1 108.Số đường tiệm cận đồ thị hàm số

4 x y x  

 là:

A.1 B.2 C.3 D.4

109.Đồ thị hàm số x y

x



 có tiệm cận đứng tiệm cận ngang xa yb

Khi đó, giá trị biểu thức a b ab  là:

A.2 B.1 C.3 D.0

110.Gọi a,b,c số tiệm cận đồ thị hàm số

2 , ,

2

x

y x x y y x

x



    



Nhận xét

A ab B ac C a c b D a c b 111.Số tiệm cận đồ thị hàm số

2

2

9

x

y

x







là:

A.1 B.2 C.3 D.4

112.Số tiệm cận đồ thị hàm số 2 2 x x y x x   

  là:

A.1 B.2 C.3 D.4

113.Số tiệm cận đồ thị hàm số y

x



 là:

A.1 B.2 C.3 D.4

114.Cho hàm số

2

2

2 x x y x x   

  Mệnh đề sau

A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang x2 B Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng y2 C Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng D Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng

1, x x

115.Số tìm cận đồ thị hàm số

2 7 6

1

x x

y

x là:

116.Đồ thị hàm số

y

2

x

2

m

1

x

m









có tiệm cận đứng đồ thị hàm số qua điểm M( 3; 1)

Giá trị m là:

A.1 B.3 C.-3 D.-1

117.Đồ thị hàm số

3

2

1

mx

x

y

x







có tiệm cận đứng x 1 Giá trị m là:

A.m2 B m 2 C m2 D m 2 118.Đồ thị hàm số

2

2

2

1

1

x

m

y

mx









có tiệm cận đứng đồ thị hàm số qua điểm M

 

1,1

Giá trị m là:

A.m1 B m2 C m1 D m1 119.Cho hàm số f x

 

có lim

 

lim

 

x f x xf x  Mệnh đề A.Đồ thị hàm số f x

 

có tiệm cận ngang x2

B.Đồ thị hàm số f x

 

có tiệm cận đứng x2 C.Đồ thị hàm số f x

 

có tiệm cận ngang y2 D.Đồ thị hàm số f x

 

có tiệm cận đứng y2 120.Cho hàm số f x

 

có

 

 

2

lim , lim

x x

f x f x

 

      Mệnh đề A Đồ thị hàm số f x

 

có tiệm cận ngang x2

B Đồ thị hàm số f x

 

có tiệm cận đứng x2 C Đồ thị hàm số f x

 

có tiệm cận ngang y2 D Đồ thị hàm số f x

 

có tiệm cận đứng y2

121.Cho hàm số f x

 

liên tục có lim

 

3, lim

 

x f x  x f x  Đồ thị hàm số có số tiệm cận là:

A.2 B.3 C.4 D.5

122.Cho hàm số f x

 

liên tục \ có

 

lim

 

3, lim

 

xf x  xf x  Đồ thị hàm số có số tiệm cận ngang là:

A.2 B.3 C.1 D.5

123. Giả sử đồ thị hàm số

2

mx y

x

 

 có tiệm cận đứng Khi đó, giá trị m là:

A

m B

3

m  C

2

m D

2 m 124.Giả sử đồ thị hàm số

2

6

2 mx x y

x

  

A

m B

2

m C m0 D m0

125.Giả sử đồ thị hàm số

3 mx y x x  

  có tiệm cận đứng tiệm cận ngang Khi đó,

giá trị m là:

A.m1,m8 B 1,

m m C m 1,m8 D 1, m m 

126. Số tiệm cận đồ thị hàm số

1, , 1 x x y x x x là:

A.1 B.2 C.3 D.4

127.Số tiệm cận đồ thị hàm số

3 1 x y x là:

A.1 B.2 C.3 D.4

128.Số tiệm cận ngang đồ thị hàm số 2

1

x y

x là:

A.1 B.2 C.3 D.4

129.Cho hàm số

3

yx  x , chọn phương án phương án sau: A

 2;0  2;0 maxy 2, miny

    B  2;0  2;0

maxy 4, miny     C

 2;0  2;0 maxy 4, miny

     D  2;0  2;0 maxy 2, miny

    

130.Cho hàm số yx33x22 Chọn phương án phương án sau A

 1;1  1;1 maxy 0, miny

     B  1;1  1;1 maxy 2, miny

   

C

 1;1  1;1 maxy 2, miny

     D  1;1  1;1

maxy 2, miny

    

131.Giá trị lớn hàm số x x

y   là:

A B C.2 D.1

132.Giá trị lớn hàm số y x 2cosx đoạn

    ;

0  là:

A B C

4   D  133.Giá trị nhỏ hàm số y sin3xcos2xsinx2 khoảng 

A.23

27 B

1

27 C.5 D.1

134.Giá trị nhỏ hàm số

x x y

  

1

đoạn

 

2,3 là:

A.0 B.-2 C.1 D.-5

135.Giá trị lớn hàm số

1

  

x x x

y đoạn

 

0,3

A.0 B.1 C.2 D.3

136.Giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y f x

 

sin2x2cosx2 :

A.4 B.3 c.4 D.1

137.Giá trị lớn hàm số f x( )(x1) (42  x) m25m đoạn [2;5] 8, giá trị m là:

A. m = m = B. m = m = C. m = m = -4 D. m = -1 m = 138.Cho hàm số ( ) 2

1

ax b f x

x

 

 có giá trị lớn giá trị nhỏ -1 Khi đó, khẳng định sau

A 2

a b  B 2

10

a b  C 2

13

a b  D 2 25 a b  139.Một chủ hộ kinh doanh có 50 phịng trọ cho th Biết giá cho th tháng 2,000,000đ/1 phịng trọ, khơng có phòng trống Nếu tăng giá phòng trọ thêm 50,000đ/tháng, có phịng bị bỏ trống Hỏi chủ hộ kinh doanh cho thuê với giá để có thu nhập tháng cao

A 2,200,000đ B 2,250,000đ C 2,300,000đ D 2,500,000đ 140.Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ, nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ diện tích tồn phần phần hình trụ nhỏ bán kính đáy gần số

A.0.6 B.0,7 C.0,8 D.0,5

141.Người ta cắt tờ giấy hình vng cạnh để gấp thành hình chóp tứ giác cho bốn đỉnh hình vng dán lại thành đỉnh hình chóp Tính cạnh đáy khối chóp để thể tích lớn

A.4 B.2 C.2 D.1

Thể tích lớn khối tứ diện tạo là: A

3 36 a

B 24 a

C 54 a

D 48 a

143.Gọi M N giá trị cực đại giá trị cực tiểu hàm số y x3 3x Lúc đó, tổng

2

M

3

N

A.2 B.-2 C.4 D.-4

144.Cho hàm số f x( ) sin4x cos2x Tổng giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số là: A

4

 B

4

 C.2 D.0

145.Một hành lang hai nhà có hình dạng lăng trụ đứng hình vẽ Hai mặt bên ABB’A ACC’A’ hai kính hình chữ nhật dài 20m, rộng 5m Gọi x (mét) độ dài cạnh BC Tìm x để lăng trụ tích lớn

A B.5 C.2 D.3

146.Một công ty chuyên sản xuất container muốn thiết kế thùng gỗ đừng hàng bên dạng hình hộp chữ nhật khơng nắp, đáy hình vng, tích 62,

5m Hỏi cạnh hình hộp cạnh đáy để tổng diện tích xung quanh diện tích mặt đáy nhỏ

A Cạnh bên 2,5m cạnh đáy 5m B Cạnh bên 4m cạnh đáy 10 m

A C

D B

E F

G H

C' B'

A'

x A

C

C Cạnh bên 3m, cạnh đáy 30

6 D Cạnh bên 5m,cạnh đáy

2

147.Một giáo viên đau đầu việc lương thấp phân vân xem có nên tạm dừng niềm đam mê với chữ để chuyển hẳn sang kinh doanh đồ uống trà sữa hay không Ước tính giá ly trà sữa 20(ngàn đồng) trung bình hàng tháng có khoảng 1000 lượt khách tới uống nước quán,trung bình khách lại trả thêm 10(ngàn đồng) tiền bánh tráng trộn để ăn kèm Nay nguời giáo viên muốn tăng thêm ly trà sữa 5(ngàn đồng) khoảng 100 khách tổng số trung bình Hỏi giá ly trà sữa

148.nên để tổng thu nhập lớn (giả sử tổng thu chưa trừ vốn) A Giảm 15 ngàn đồng B Tăng ngàn đồng C Giữ nguyên không tăng giá D Tăng thêm 2,5 ngàn đồng

149.Gọi M N, giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số : yxlnxxln

 

1,5 Giá trị M,N là: A M 0,N

e



  B M 1,N

e



  C 0,

2

M N

e



  D M 1,N e



 

150.Do nhu cầu sử dụng, người ta cần tạo lăng trụ đứng có đáy hình vng cạnh a chiều cao h, tích

1m Với a, h để đỡ tốn nhiêu vật liệu A.a1,h1 B 1,

2

a h C a2,h2 D 1,

3

a h 151.Người tacần xây hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật khơng nắp tích

3

500m

3 Đáy hồ hình chữ nhật có chiều dài gấp đơi chiều rộng Giá thuê nhân công để xây hồ

là 500.000 đồng/m2 Hãy xác định kích thước hồ nước cho chi phí th nhân cơng thấp Chi phí ?

A 74 triệu đồng B 75 triệu đồng C 76 triệu đồng D 77 triệu đồng 152.Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB,ABADBC2 Giá trị góc

ADC BCD

   để hình thang có diện tích lớn ?

A.300 B 450 C 600 D 900

153.Số có ánh sáng mặt trời TPHCM năm khơng nhuận cho

4 sin ( 60) 10 178

y x với x 365 số ngày năm Ngày 25/5 năm số có ánh sáng mặt trời TPHCM gần với số ?

A.2h B.12h C.13h30 D.14h

A

B

154.Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số yx64 1



x2



3 đoạn [-1; 1] Khi đó, giá trị M

m là:

A.4 B

9 C

14

9 D.9

155.Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y sinx cosx Khi M m bằng:

A.2 B  C D

156.Một đường dây đẫn điện nối từ nhà máy điện A đến đảo C Khoảng cách ngắn từ C đến B 1km Khoảng cách ngắn từ A đến B 4km Mổi km dây dẫn đặt mặt đất tốn chi phí 3000 triệu đồng, cịn đặt nước 5000 triệu đồng.S vị trị nằm bờ cho chi phí lắp đặt đường dây dẫn điện từ A sang C thấp Vị trí S cách A km ?

A,1 B C

4 D 13

4

157.Một ảnh hình chử nhật cao 1,4m đặt độ cao 1,8m so với tầm mắt (tính từ mép ảnh) Để nhìn rỏ hình cần phải chọn vị trí đứng cho góc nhìn lớn Vị trí cách màng ảnh m?

A.2,4 B.1,4 C.3,2 D.0,4

A

16

2

3

34



B 34 16



C

16 D

34 16 159.Chi phí nguyên liệu tàu chở hàng chi làm hai phần Trong phần thứ phụ thuộc vào vận tốc 480 ngàn đồng/ giờ, phần thứ hai tỷ lệ với lập phương vận tốc, vận tốc chi phí phần thứ hai 30 ngàn đồng/giờ Vận tốc để tổng chi phí nguyên liệu 1km đường nhỏ là:

A.15km/h B.30km/h C.50km/h D.10km/h

160.Với đĩa tròn thép trắng, người ta muốn làm phểu cách cắt hình quạt đĩa trịn gấp phần cịn lại thành hình nón.Cung trịn hình quạt bị cắt phải độ để thể tích hình quạt lớn nhất.(13)

A

65 B

295 C

125 D

57

161.Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định trạm trung chuyển C xây dựng đường từ C đến cảng D Biết vận tốc đường sắt v1 đường v2



v1v2



Hãy xác định phương án chọn vị trí điểm C cho thời gian chuyển hàng từ cảng A đến cảng D ngắn

A.C cách A khoảng v l h

v

 B.C cách A khoảng v l h

v



C C cách A khoảng v l h

v

 D C cách A khoảng v l h

v

 162.Cần phải xây dựng hố ga hình hộp chử nhật tích

 

3

V m Hãy xác định kích thước đáy để chi phí vật liệu xây dựng thấp biết k cho trước tỷ số chiều cao hố chiều rộng đáy

A.Chiều dài 2

k

y V

k



 , chiều rộng

2 ( 1)

kV x

k

 

B Chiều dài

2 ( 1)

kV y

k



 , chiều rộng

V

k

2

1

k

C Chiều dài ( 1)

k k V

y  , chiều rộng

2 ( 1)

kV x

k

 

D Chiều dài ( 1)

k k V

y  , chiều rộng

2 ( 1)

kV x

k

 

163.Hai tàu cách hải lý Cả hai tàu khởi hành lúc, tàu chạy theo hướng nam với vận tốc hải lý/giờ; tàu lại chạy theo hướng vị trí tàu thứ với vận tốc hải lý/giờ Thời điểm mà khoảng cách giửa hai tàu lớn là:

A.16

17 B

1

17 C

6

17 D

7 17 164.Cần phải dùng thuyền để vượt sang bờ đối diện dòng sông chảy siết với vận tốc nước chảy vnc lớn vận tốc thuyền vt Hướng thuyền phải để độ dời dòng chảy gây thấp tức hướng di chuyển hợp với phương ngang góc thỏa:

A.cos nc t v

v

  B cos t

nc v v

  C sin nc

t v

v

  D sin t

A sin sin

v v 

  B 21

sin sin

v v 

  C 2

sin sin

v v v 





 D

2 sin

sin

v v v 

   166.Hãy xác định độ dài cánh tay nâng cần cẩu bánh dùng để xây dựng tịa nhà có chiều cao H chiều rộng 2l (Biết cần cẩu thỏa mãn u cầu sau đây: xê xích cần cẩu góc nghiêng tay nâng để cho điểm cuối tay nâng chiếu xuống theo phương thẳng đứng trùng với trung điểm bề rộng Ta giả sử nhà xây dựng miếng đất rộng,cần cẩu di chuyển thoải mái)

A





2

3 l 1 H h 1

AC H h l

H h l



   

        



   

B





2

3 l 1 H h 1

AC H h l

H h l



   

        



   

C

2

3 l 1 H h 1

AC

H h l



   

        

   

D





2

3 l 1 H h 1

AC H h l

H h l



   

        



   

167.Cấu tạo hộp diêm gồm nắp, hai đáy, bốn mặt bên hai đầu hình vẽ Gọi

A.x y z: : 3 : : B x y z: : 4 : : C x y z: : 2 : : D x y z: : 3 : :

168.Cần làm cửa số mà phía hình bán nguyệt, phía hình chử nhật có chu vi a(m) (a chu vi cửa sổ tức chu vi hình bán nguyệt cộng với chu vi hình chử nhật trừ độ dài cạnh hình chử nhật dây cung hình bán nguyệt ) Kích thước hình chử nhật để diện tích cửa sổ lớn là:

A Chiều cao





4

a

, chiều rộng





4

a

2

B Chiều cao





4

a

, chiều rộng





4

a

C Chiều cao





4

a

2

, chiều rộng





4

a

2

D Chiều cao





4

a

2

, chiều rộng





4

a

169.Tiếp tuyến đồ thi hàm số

x y

2

 điểm A(

; 1) có phương trình là: A 2x2y 1 B 2x2y 1 C 2x2y 3 D

2x2y 3

170.Số đường thẳng qua điểm A (0;3) tiếp xúc với đồ thi hàm số yx42x23là:

A.0 B.1 C.2 D.3

171.Cho hàm số 2 3

y x  x  x Tiếp tuyến điểm uốn đồ thị hàm số ,có phương trình là:

A 11

3

y  x B

3

y  x C 11

3

y x D

3 y x 172.Tiếp tuyến đồ thị hàm số

3

x y

x

 

 giao điểm đồ thị với trục hồnh có phương

trình: A 1

4

y x B y  4x C 1

4

y  x D 1

4

y  x

A.-3 B.3 C.4 D.0 174.Cho hàm số

3

1    x x

y Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ nghiêm phương trình y’’ = là:

A

3    x

y B

3   x

y C

3    x

y D y x

3  175.Cho đường cong yx3 3x2 3x1 có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung là:

A y 8x1 B y3x1 C y 3x1 D y 3x1 176.Gọi M giao điểm đồ thị hàm số

2 x y

x

 

 với trục Oy Phương trình tiếp tuyến với

đồ thị điểm M là: Chọn A

2

y  x B

2

y x C

2

y  x D

2

y x 177.Hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số

4

4

x x

y   điểm có hồnh độ x0 = - bằng:

A -2 B C D Đáp số khác 178.Tiếp tuyến đồ thị hàm số

1 y

x



 điểm có hồnh đo x0 = - có phương trình là:

A y = - x - B y = - x + C y = x -1 D y = x + 179.Cho đồ thị hàm số

2

yx  x  x có đồ thị ( C ) Gọi x1, x2 hoành độ điểm M, N ( C ), mà tiếp tuyến ( C ) vng góc với đường thẳng y  x 2017 Khi

2 x

x  : A

3 B 

C

3 D -1 180.Tiếp tuyến đồ thị hàm số

3

3

3 x

y  x  có hệ số góc k = - ,có phương trình là: A y +16 = - 9(x + 3) B y – 16 = - 9(x – 3) C y – 16 = - 9(x +3) D y = - 9(x + 3)

181.Số tiếp tuyến qua điểm A ( ; - 6) đồ thị hàm số

3

yx  x là:

A B C D 182. Tiếp tuyến điểm cực tiểu hàm số

3

1   

 x x x

y Mệnh đề

183. Cho hàm số yx3 3x2 3 có đồ thị (C) Số tiếp tuyến (C) vng góc với đường thẳng 2017

9   x

y là:

A B C D 184.H

185.Số đường thẳng qua điểm A(2 ; 0) tiếp xúc với đồ thị hàm số yx4 2x2 là: A B C D

186.Cho hàm số: 1

 

x y C x   

 Phương trình tiếp tuyến ( )C điểm có hồnh độ là:

1 :

3

A d y x :

B d y x : 1

C d y  x 1 3 D y x 187.Gọi ( ) :

1 x

M C y

x 

 

 có tung độ Tiếp tuyến ( )C M cắt trục tọa độ ,

Ox Oy A B Diện tích tam giác OAB là: A.121

6 B

119 C 123 D 125 188.Hệ số góc tiếp tuyến đồ hàm số

1 x y x  

 giao điểm đồ thị hàm số với

trục tung

A.-2 B.2 C.1 D.-1

189.Đường thẳng y3xm tiếp tuyến đường cong yx32 m

A -1 B C -2 D -3 190.M điểm thuộc đồ thị hàm số

1   x x

y , biết tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm M tạo với hai trục tọa độ tam giác có diện tích

4

Tọa độ M là:

A M

 

0;0 và M

 

1;1 B M

 

1;1 vàM



2;4



C 

            ; 2 ; M và

M D

 



      ; 1 ;

1 và M M

191.Cho hàm số yx33x22 có đồ thị ( )C Đường thẳng sau tiếp tuyến ( )C có hệ số góc nhỏ nhất?

A y  3x B y  x C y  5x 10 D y  3x 192.Cho hàm số 2

3

y  x  x  x có đồ thị ( )C Trong tiếp tuyến với ( )C , tiếp tuyến có hệ số góc lớn bằng:

193.Cho hàm số

1 x x y

x

  

 có đồ thị ( )C Phương trình tiếp tuyến ( )C qua điểm ( 1; 0)

A  là: A

4

y x B 3( 1)

4

y x C y3(x1) D y3x1 194.Qua điểm A(0; 2) kẻ tiếp tuyến với đồ thị ( )C hàm số

4

2

yx  x  ?

A.0 B.1 C.2 D.3

195.Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số 1 x y

x

 

 song song với đường thẳng : 2x y

    là:

A 2x  y B 2x  y C 2x y D 2x  y

196. Cho đường cong ( ) :C yx44x22 điểm A(0; )a Nếu qua A kẻ tiếp tuyến với ( )C a phải thoả mãn điều kiện:

A. 10

a B 2 10 a

  C. 10

3 a a

     

D.a2

197.Giả sử để tiếp tuyến đồ thị hàm số yx3mx m 1tại điểm có hồnh độ cắt đường tròn (x 2)2 (y 3)2

5

    theo dây cung có độ dài nhỏ Khi giá trị m :

A.m1

m B

m m2 C

m m2 D m1 m2

198.Cho hàm số y x x

 

 Tiếp tuyến đồ thị hàm số M cắt hai đường tiệm cận lần

lượt hai điểm A va B Khi MA kMB , giá trị k bằng:

A.1 B.2 C.1

2 D

3 199.Số đường tiếp tuyến vẽ từ M



 1; 9



đến

 

C :y4x36x21 là:

A.0 B.1 C.2 D.3

200.Cho hàm số 2 3

   

y x x x (1) Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) song song với đường thẳng y3x1có dạng yax b ( với a,b tối giản ) Giá trị S=a+b là: A 29

3

 B 20

3

 C.20

3 D

19 

201.Đồ thị hàm số f x( )x3+ax2 bx c cắt trục tung điểm có tung độ tiếp xúc với đường thẳng y1 điểm có hồnh độ x 1 Hệ số a,b,c là:

202.Đồ thị hàm số

1 ax b y

x



  cắt trục tung điểm A(0;1) tiếp tuyến A có hệ số góc -3 Giá trị a,b là:

A.a4,b1 B a2,b 1 C a4,b 1 D a 4,b 1 203.Cho hàm số

1 x y

x

 

 có đồ thị

 

C Các cặp tiếp tuyến song song

 

C cho khoảng

cách chúng lớn là:

A y  x 3 y  x 3 B y   x 3 y   x 3 C y  x 3 y  x 3 D y  x 3 y  x 3

204.Số tiếp tuyến đến đồ thị hàm số y=

9 17

x  x  x qua A(-2 ;5) :

A.1 B.2 C.3 D.4

205.Cho hàm số Tọa độ điểm M cho khoảng cách từ điểm tới tiếp tuyến (C) M lớn là:

A ( 3;7 3); (1 3;7 3)

2

M  M  

B (1 2; 2); (1 3; 2)

2

M    M   

C M(1 3; 3);  M(1 3; 3) 

D ;

206.Cho hàm số x y

x

 

 đồ thị (C) Tiếp tuyến d điểm M thuộc (C) cắt tiệm cận đứng

tiệm cận ngang A, B cho cos 17 

BAI ,với I giao tiệm cận Tọa độ M là: A 5; , 3;

2

   

   

   

M M B 5; , 3;

2

   

   

   

M M

C 0;3 , 4;5

2

           

M M D 0; , 4;

2

     

   

   

M M

207.Cho hàm số yx42x21

 

C Điểm MOy cho từ M vẽ tiếp tuyến với (C) Tọa độ M là:

A M



0; 2



B M



0; 1



C M

 

0; D M

 

0;1 208.Cho hàm số

1 x y

x

 

 có đồ thị

 

C Tiếp tuyến đồ thị ( )C cắt trục hoành, trục tung

lần lượt hai điểm phân biệt A B, Tam giác OAB có cạnh huyền gấp lần cạnh góc vng phương trình tuyến tuyến là:

2 1 x y

x

 

 I( 1; 2)



; 3



(I) y 2x; (II) y 2x1; (III) 11

2

y  x ; (IV)

2

y  x

A Chỉ có (II), (III), (IV) B (I), (II), (III), (IV) C Chỉ có (I), (II), D Chỉ có (III), (IV),

209.Biết đường thẳngy x cắt đồ thị hàm số yx33x2 ba điểm có tọa độ



x y1, 1

 

, x y2, 2

 

, x y3, 3



.Khi đó, giá trị biểu thức x y1 1x y2 2x y3 3 là:

A 12 B C D

210.Cho đồ thị ( ) : x C y

x

 

 đường thẳng d y:  x m Khi d cắt ( )C điểm phân biệt

và tiếp tuyến với ( )C hai điểm song song với giá trị mlà:

A.m1 B.m2 C.m 1 D.m 2 211. Tìm m để đường thẳng (d): y = mx – 2m + cắt đồ thị (C) hàm số

3

6 12

yx  x  x ba điểm phân biệt

A m 3 B m > C m < D m1 212.Đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số

3

y  x x điểm phân biệt : A 0 m B.m < - C 0 m D -2< m < 213.Cho hàm số yx4 2x2 4 Tìm m để phương trình: x2(x2 2)3m có hai nghiệm phân biệt? Chọn câu

A m3m2 B m3 C m3m2 D m2

214.Cho hàm số yx36x2 9x1 Tìm m để phương trình: x(x 3)2 m1 có ba nghiệm phân biệt? Chọn câu

A m1 B 1m5 C m3m2 D m5 215.Cho hàm số yx3 8x Số giao điểm đồ thị hàm số cới trục hoành là: Chọn câu

A B C D 216.Số giao điểm đường cong y x3 2x2 x1 đường thẳng y = – 2x là: A B C D 217.Gọi M N giao điểm đường cong

2

  

x x

y đường thẳng y = x + Khi hồnh độ trung điểm I đoạn MN bằng: Chọn câu

A B C

 D

218.Số giao điểm đồ thị hàm số

3

1

x x

y

x

  

 trục hoành là:

219.Gọi A



x y0, 0



giao điểm đồ thị hàm số x x y x   

 đường thẳng y x

Khi đó, giá trị x0y0 là:

A.-1 B.1 C.3 D.-3

220.Tọa độ giao điểm đồ thị hàm số 2 x y x  

 đường thẳng y x là:

A.



1, , 0, 2

 





B



 1, , 3,1

  

C



 1, , 0, 2

 





D



1, , 3,1

  

221.Phương trình x33x  1 m có ba nghiệm phân biệt khi:

A.m1 B 1 m m     

 C.m1 D.  1 m

222.Phương trình 4x33x m có hai nghiệm phân biệt khi: A 1 m m     

 B

1 m m    

 C

2 m m     

 D

0 m m       223.Phương trình

4

x x m

     có ba nghiệm phân biệt khi:

A.1 m B.  1 m C.  3 m D.1 m 224.Đồ thị hàm số yx3 



3 m x



cắt trục hoành ba điểm phân biệt khi: A.m3 B.3m C.m1 D.1m

225.Giả sử đồ thị hàm số yx32x2 



1 m x m



 cắt trục hồnh ba điểm phân biệt có hồnh độ x x x1, 2, 3 thỏa mãn x12 x22 x324 Khi đó, giá trị m là:

A.m 



,1



B 1,1 \ 0

 

m  

  C

1 ,1 m  

  D

1 ,1 m 

  226.Đồ thị hàm số

1

yx mx  m cắt trục hoành ba điểm phân biệt khi: A m  



,1

  

2,3 B m    



, 3

 

1,



C m    



, 1

 

1,



D m 



,0

 

 1,



227.Đồ thị hàm số yx3mx22m cắt trục hoành ba điểm phân biệt khi: A.m0 B 6

2 m

   C 6

2 m

   D 7

2 m

  

228.Giả sử đồ thị hàm số yx33x29xm cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ 1, 2,

x x x tạo thành cấp số cộng Khi đó, giá trị m là:

A.m1 B.m12 C.m2 D m11

229.Giả sử đồ thị hàm số yx3



2m1



x29x cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ x x x1, 2, 3 tạo thành cấp số cộng Khi đó, khoảng chứa giá trị m là:

230.Giả sử đồ thị hàm số yx3 



5 m x



2 



6 5m x



6m cắt trục hoành ba điểm phân biệt có hồnh độ x x x1, 2, 3 tạo thành cấp số nhân Khi đó, số giá trị m thỏa mãn yêu cầu toán là:

A.1 B.2 C D

231.Đồ thị

 

C hàm số y  x3 6x2 cắt đường thẳng

 

d :ymx m 1 ba điểm phân biệt A,B,C cho tổng hệ số góc tiếp tuyến

 

C A,B,C -6 Giá trị m thỏa mãn đề

A.m 3 B.m 1 C.m1 D m2 232.Đồ thị hàm số

1 x y x  

 cắt đường thẳng y  x m hai điểm phân biệt khi:

A.m 2 B m 2 C 2   m 2 D m 2 233.Giả sử đồ thị hàm số

1 x y x  

 cắt đường thẳng y  x m hai điểm phân biệt A,B

cho tiếp tuyến A B song song với Giá trị m là:

A.m1 B m 2 C m2 D m0

234.Cho đồ thị

 

C hàm số y  x3 6x2 đường thẳng

 

d :ymx Đường thẳng

 

d

cắt

 

C ba điểm phân biệt khi: A 9, \ 1

 

4 m  

  B

 

9

, \

4 m  

  C

 

3 , \

2 m  

  D

 

3 , \

2 m  

  235.Đồ thị

 

C hàm số

2 x y x  

 cắt đường thẳng

 

d :y  2x m hai điểm phân biệt A,B thỏa mãn biểu thức 2018 2018

1

k k đạt giá trị nhỏ (lần lượt hệ số góc tiếp tuyến đồ thị

 

C A,B) Giá trị m là:

A.m2 B m 2 C m 3 D m 1 236.Đồ thị hàm số

1 x y x  

 cắt đường thẳng

1

y  xm hai điểm phân biệt nằm hai phía trục tung khi:

A.m1 B m2 C m3 D m4

237.Đồ thị

 

C hàm số yx3



2m1



x2 m cắt đường thẳng

 

d :y2mx m 1 ba điểm phân biệt Giá trị m thỏa mãn đề

A m m       B

m  C

m D

4 m

238.Đồ thị

 

C hàm số x y x  

A

m B

2

m C

2

m D

2 m 239.Đồ thị

 

C hàm số 2

1 x y x  

 cắt đường thẳng

 

d :y2x m hai điểm phân biệt A,B cho độ dài đoạn thẳng AB Giá trị m là:

A.m 3 B m 2 C 10 m m        D m m        240.Đồ thị

 

C hàm số

1 x y x  

 cắt đường thẳng

 

d :y x m hai điểm phân biệt A,B

sao cho độ dài đoạn thẳng OAB vuông cân (với O gốc tọa độ) Giá trị m là: A.m 1 B m 2 C

3

m D

3 m  241.Đồ thị

 

C hàm số

1 x y x  

 cắt đường thẳng

 

d :y x m hai điểm phân biệt A,B

sao cho độ dài đoạn thẳng AB OA OB vuông cân (với O gốc tọa độ) Giá trị m là: A.m 1 B m 2 C

1 m m        D m m        242.Đồ thị

 

C hàm số

1 x y x  

 cắt đường thẳng

 

d :y  x m hai điểm phân biệt A,B cho tiếp tuyến đồ thị

 

C A B song song với Giá trị m là:

A.m1 B m2 C m 1 D m 2

243.Đồ thị hàm số y  x4 2mx2 m m2 cắt trục hoành bốn điểm phân biệt khi:

A 1

2 m

    B m

  C m

   D

2 m

  

244.Đường thẳng

 

d :y 1 cắt đồ thị hàm số yx4



3m2



x23m trục hoành bốn điểm phân biệt có hồnh độ x x x x1, 2, 3, thỏa mãn

2 2

1 4

x x x x x x x x  Giá trị m là: A.m4 B m 4 C

9

m D

9 m  245.Đồ thị hàm số

4

y  x x  m cắt trục hoành bốn điểm A,B,C,D phân biệt có hồnh độ tăng dần AD2BC Giá trị m là:

A 1

2 m

    B m

  C m

   D

2 m

246.Tiếp tuyến đồ thị hàm số

 

:



1



m

C y x  m x m điểm có hồnh độ cắt đồ thị

 

Cm ba điểm A,B,C cho BC4 Giá trị m là:

A.m4 B m0 C m1 D m 1 247.Đường thẳng

 

:

3

d ymx cắt đồ thị hàm số 2

3

y x  x  x ba điểm A,B,C A điểm cố định diện tích tam giác OBC gấp lần diện tích tam giác OAB Giá trị

m là: A

4

m B

4

m  C

9

m D

9 m 

248.Đường thẳng

 

d qua M

 

2,0 có hệ số góc k cắt đồ thị hàm số x y x  

 hai điểm

A,B MA 2MB Giá trị k là: A

4

k  B

4

k  C

3

k  D

3 k  

249.M điểm thuộc đồ thị hàm số 1 x y x  

 cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng

bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang Tọa độ điểm M là: A

 

 

2,1 4,3 M M  

 B





 

0, 4,3 M M     C





 

0, 3, M M   

 D

 

 

2,1 3, M M    250.M điểm thuộc đồ thị hàm số

1 x y x  

 cho khoảng cách từ M đến tiệm cận

ngang lần khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng Số điểm M thỏa mãn yêu cầu toán là:

A.1 B C D

251.M,N điểm thuộc đồ thị hàm số

3

yx  x  đối xứng với qua I



2,18



Số cặp điểm M,N thỏa mãn yêu cầu toán là:

A.1 B C D

252.Đồ thị hàm số yx4mx2 1 m qua điểm cố định có tọa độ là: A.



1,0 , 1,0

  

B

   

0,1 , 1,0 C



2,1 ,

 

2,3



D

   

2,1 , 0,1

253.Số điểm có tọa độ nghiêng đồ thị hàm số x y x    là:

A.4 B C D

254.M điểm thuộc đồ thị hàm số

4

A.1 B C

2 D

1 255.Cho hàm số yx36x29x1 1

 

và mệnh đề:

(1) Hàm số

 

1 liên tục (2) Hàm số đạt cực đại x3

(3) Giá trị cực đại hàm số

 

1 yCD  1

(4) Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm x1 có hệ số góc k0 (5) Đường thẳng y 1 cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt Số mệnh đề mệnh đề là:

A.2 B.3 C.4 D.5

256.Cho hàm số yx44x23 1

 

và mệnh đề: (1) Hàm số

 

1 có cực trị

(2) Đồ thị hàm số

 

1 cắt trục hoành điểm (3) Tập giá trị hàm số

 

1 T

(4) Đồ thị hàm số

 

1 có tiệm cận đứng

(5) Tiếp tuyến đồ thị hàm số

 

1 điểm có hồnh độ song song với đường thẳng y  4x

Các mệnh đề mệnh đề là:

A.(1),(3),(5) B (1),(3),(4) C (2),(3),(5) D (1),(2),(5)

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyếnsinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạmđến từcác trường Đại học

trường chuyên danh tiếng

I.

Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây

dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên

khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II.

Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS

lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường đạt điểm tốt

ở kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho

học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần

Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩncùng đơi HLV đạt

thành tích cao HSG Quốc Gia

III.

Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham

khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, NgữVăn, Tin Học Tiếng Anh

V

ữ

ng vàng n

ề

n t

ảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

https://www.facebook.com/thong.tranvan.5203.