Phương pháp giải toán khảo sát hàm số

Phương pháp giải toán khảo sát hàm số

Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 1 Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 NGUYỄN PHÚ KHÁNH -----oOo----- Phương pháp giải Toán 12 CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ PHỔ THÔNG TRUNG HỌC Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ôn thi ðại học năm 2008 2 Quà tặng cho con trai : Trần Hoàng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 LÖU HAØNH NOÄI BOÄ Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 3 Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC I. GIỚI HẠN 1. Các đònh nghóa cơ bản Đònh nghóa 1: Ta nói rằng dãy số (U n ) có giới hạn L nếu mọi số dương ε cho trước, tồn tại số tự nhiên N sao cho n N∀ > ta có n U L ε− < . Ta viết: lim n n U L →∞ = , viết tắt là lim n U L = Đònh nghóa 2: Cho hàm số f(x) xác đònh trên một khoảng I, có thể loại trừ tại điểm 0 x I∈ . Ta nói rằng f(x) có giới hạn là L (hay tiến dần tới L), khi x tiến dần tới x 0 nếu mọi dãy số: (x n ); 0 ( , , ) n n x I x x n N + ∈ ≠ ∀ ∈ sao cho 0 lim n x x = thì lim ( ) n f x L= . Ta viết lim ( ) x f x L →∞ = hay ( )f x L→ khi 0 x x→ Đònh nghóa 3: Ta nói rằng hàm số f(x) tiến dần tới vô cực khi khi x dần tới x 0 , nếu với mọi dãy số (x n ); ( 0n x x≠ ) sao cho: 0 lim n x x = thì lim ( ) n f x = ∞ ta viết 0 lim ( ) n x x f x → = ∞ hoặc ( )f x → ∞ khi 0 x x→ Đònh nghóa 4: Số L được gọi là giới hạn bên phải (hoặc bên trái) của hàm số f(x) khi x dần tới x 0 , nếu với mọi dãy số (x n ) với x n > x 0 hoặc (x n < x 0 ) sao cho lim x n = x 0 thì lim f(x n ) = L. Ta viết: 0 lim ( ) n x x f x + → = ∞ (hoặc 0 lim ( ) n x x f x − → = ∞ )  Chú ý: Điều kiện cần và đủ để 0 lim ( ) n x x f x L → = và giới hạn 0 lim ( ) n x x f x + → và 0 lim ( ) n x x f x → đều tồn tại và đều bằng L Ví dụ 1: Tìm 2 4 lim 2 x x x →∞ − 2 2 4 5 3 lim 9 2 x x x x x x →∞ + + + + − * 2 2 2 2 4 1 1 4 lim 1 4 2 2 lim 2 2 4 1 1 lim 2 2 x x x x x x x x x x x x x x →∞ →∞ →∞  −   = − −  = =   − −  =   * 2 2 2 2 2 2 1 5 4 3 4 5 3 lim lim 2 9 2 9 x x x x x x x x x x x x x x →∞ →∞   + + +   + + +   = + −   + −     Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 4 Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 2 2 2 2 2 2 2 2 1 5 1 5 4 3 4 3 5 lim lim 2 2 2 9 9 1 1 5 1 5 4 3 4 3 1 lim lim 4 2 2 9 9 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →+∞ →+∞ →−∞ →−∞  + + + + + +   = =  + − + −   =   − + + + − + + +  = = −   + − − + −   2. Các đònh lí cơ bản: Đònh lí 1: Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (với giới hạn của mẫu thức khác 0) của hai hàm số khi x x 0 (hay x ∞ ) bằng tổng, hiệu, tích, thương của các giới hạn khi x x 0 (hay x ∞ ) Đònh lí 2: Cho 3 hàm số f(x), g(x), h(x) cùng xác đònh trên một khoảng I chứa điểm x 0 (có thể trừ tại điểm x 0 ). Nếu trong khoảng đó: ( ) ( ) ( )g x f x h x ≤ ≤ và nếu 0 0 lim ( ) lim ( ) x x x x g x h x L → → = = thì 0 lim x x L → = Nhờ đònh lí trên, ta chứng minh được: 0 0 sin lim lim 1 sin a a a a a a → → = = Ví dụ 2: Tính 2 2 0 sin 9 lim 3 x x x → 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 sin 9 sin 9 sin 9 sin(3 ) lim lim 3lim 3lim 3 1 3 9 3 9 3 x x x x x x x x x x x x → → → →   = = = =     Đònh lí 3: Hàm số đơn điệu tăng và bò chặn trên thì có giới hạn hàm số đơn điệu giảm và bò chặn dưới thì có giới hạn Nhờ đònh lí trên ta chứng minh được ( ) 1 0 lim 1 a a a e → + = hoặc 1 lim 1 a a e a →∞   + =     ( ) 0 ln 1 lim 1 a a a → + = và 0 1 lim 1 a a e a → − = Ví dụ 3: Tính 4 3 lim 2 x x x x + →∞ +     −   ( ) 2 2 4 1 2 lim 1 cos x x x π π − → − • Ta có: 3 5 1 2 2 x x x + = + + − • Đặt 5 5 4 6 2 a x x a = ⇒ + = + − . Khi x ∞ thì a  0 • Do vậy ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 6 5 5 1 6 6 6 5 5 0 0 0 0 3 lim lim 1 lim 1 . 1 lim 1 .lim 1 .1 2 a a a a x a a a a x a a a a a e e x + + →∞ → → → → +     = + = + + = + + = =     −     Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 5 Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 • Đặt 2 t x π = − khi 2 x π → thì t  0 và ( ) 2 2 4 x t t π π − = − − ( ) ( ) ( ) ( ) 1 sin . 1 sin ( ) 1 2 2 4 1 cos 1 sin t t t t U t x x t π π − − − − −   ⇒ − = −      Theo công thức: 0 lim ( ) t U t e → = (vì ( ) 0 1 lim 1 a a a e → + = ) Mặt khác: ( ) 0 0 sin sin 1 1 lim lim . t t t t t t t t π π π → → − = = − − − Vậy ( ) 1 2 2 4 2 1 lim 1 cos x x x e π π π − → − = BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ Dạng 1: Dạng vô đònh 0 0 . Tính các giới hạn sau: Nguyn Phỳ Khỏnh Lt Bn tho xut bn sỏch tham kho ụn thi i hc nm 2008 6 Qu tng cho con trai : Trn Hong Vit Nng nhõn ngy sinh nht 27/10 2 3 2 2 5 6 lim 4 x x x x x + 2 0 1 2 1 lim 1 cos x x x + 4 4 2 0 cos sin 1 lim 1 1 x x x x + 3 2 0 1 2 1 3 lim x x x x + + 3 3 3 0 2 1 1 lim x x x x x + + + ( ) 2 2 3 2 2 0 1 lim ln 1 x x e x x + + Daùng 2: Daùng voõ ủũnh . Tớnh caực giụựi haùn sau 2 2 3 7 8 lim 11 3 9 x x x x x + + Daùng 3: Daùng voõ ủũnh . Tớnh caực giụựi haùn sau ( ) 2 lim 16 7 4 x x x x + + ( ) 2 lim 9 7 2 3 x x x x + + + + Daùng 4: Daùng voõ ủũnh 0. hay .0 . Tớnh caực giụựi haùn sau ( ) ( ) 2 lim 2 5 2 4 3 x x x x + + ( ) 4 lim 4 . 2 x x tg x Daùng 5: Daùng voõ ủũnh 1 . Tớnh caực giụựi haùn sau ( ) 2 1 2 2 2 7 8 lim 2 2 5 x x x x x x + + Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 7 Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 => y = f(x) liên tục bên trái tại điểm x = 0 và không liên tục bên phải tại điểm đó => y = f(x) liên tục bên phải tại điểm x = 0 và không liên tục bên trái tại điểm đó II. HÀM SỐ LIÊN TỤC: 1. Một số đònh nghóa: Đònh nghóa 1: Hàm số y = f(x) gọi là liên tục tại điểm x 0 , nếu x 0 là một điểm thuộc tập xác đònh của hàm số và 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → =  Chú ý: - Nếu ta chỉ có: 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x − → = thì hàm số y = f(x) gọi là liên tục bên trái điểm x 0 - Nếu ta chỉ có 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x + → = thì hàm số y = f(x) gọi là liên tục bên phải điểm x 0 Ví dụ 1: Xét tính liên tục một bên của các hàm số sau đây tại điểm x = 0 2 2 0 ( ) 1 0 x x y f x x x + >  = =  − ≤  với với 2 0 ( ) 3 0 x x y f x x x  + ≠  = =   =  với với * 2 2 0 ( ) 1 0 x x y f x x x + >  = =  − ≤  với với Ta có: f (0) = -1 ( ) ( ) 0 0 2 0 0 lim ( ) lim 2 (0) lim ( ) lim 1 1 (0) x x x x f x x x f f x x f + + − − → → → →  = + = ≠   = − = − =   * 2 0 ( ) 3 0 x x y f x x x  + ≠  = =   =  với với Ta có: f (0) = 3 0 0 0 0 lim ( ) lim 2 3 (0) lim ( ) lim 2 1 (0) x x x x x f x f x x f x f x + + − − → → → →    = + = =        −    = + = ≠       Ví dụ 2: Cho hàm số 2 1 1 0 ( ) 0 x x y f x x A x  − −  ≠ = =   =  với với Tìm A để hàm số y = f(x) liên tục tại điểm x = 0 Điều kiện: 2 1 0 1 0 0 1 0 x x x x − ≤ <  − ≥  ⇔   < ≤ ≠   Ta có: Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 8 Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 0 0 2 1 1 1 1 1 1 lim ( ) lim lim 1 1 x x x x x x f x x x x → → → − − + + − − = = − + ( ) 2 2 0 0 2 1 1 lim lim 0 1 1 1 1 x x x x x x x → → − − − = = = − + − + Để hàm số liên tục tại 0 0 lim ( ) 0 x x A f x → = ⇔ = = Vậy nếu A = 0 thì hàm số đã cho liên tục tại x = 0 Đònh nghóa 2: - Hàm số y = f(x) gọi là liên tục trên khoảng (a,b) nếu có liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó - Hàm số y = f(x) gọi là liên tục trên đoạn [a, b] nếu có liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó và: + liên tục về bên phải điểm a + liên tục về bên trái điểm b 2. Các đònh lí quan trọng về hàm số liên tục: • Hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x 0 thì tổng, hiệu, tích, thương ( 0 ( ) 0g x ≠ ) là những hàm số liên tục tại x 0 • Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a, b) và có 1 2 1 2 ( , ) ( ) ( )x x a b f x f x< ∈ ≠ . Khi đó, với mỗi số A nằm trong khoảng (f(x 1 ), f(x 2 )) thì đều tồn tại điểm ( ) ,c a b∈ sao cho f(c) = A Đònh lí này khẳng đònh sự tồn tại, nhưng không khẳng đònh sự duy nhất của điểm c, nghóa là có thể có nhiều điểm khác nhau và khác c thuộc khoảng (a, b) nghiệm đúng f(x) = A * Hệ quả: Hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng (a, b) có giá trò âm và có cả giá trò dương trên khoảng đó, thì phương trình f(x) = 0 tồn tại ít nhất một nghiệm x = c mà ( ) ,c a b∈ Ví dụ 3: Chứng minh rằng các phương trình sau có ít nhất một nghiệm a) x 3 – 5x 2 + 6x – 1 = 0 b) x 4 – 2x 3 – 3x 2 – 5 = 0 c) 2 x + 3 x – 6 x = 0 d) ln x + x = 0 a) Đặt f(x) = x 3 – 5x 2 + 6x – 1 có (0) 1 0 (0). (1) 0 (1) 1 0 f f f f = − <  ⇒ <  = >  => Hàm số f(x) liên tục trên R nên nó liên tục trên [0, 1] => tồn tại ít nhất một số thực [ ] 0,1c∈ sao cho: f(c) = 0 => c là một nghiệm thực của phương trình đã cho b) Đặt f(x) = x 4 – 2x 3 – 3x 2 – 5 có (0) 5 0 ( 2). (0) 0 ( 2) 15 0 f f f f = − <  ⇒ − <  − = >  => Hàm số f(x) liên tục trên R nên nó liên tục trên [-2, 0] => tồn tại ít nhất số thực [ ] 2,0c∈ − sao cho f (c) = 0 => c là một nghiệm thực của phương trình đã cho Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 9 Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 c) Đặt f(x) = 2 x + 3 x – 6 x có (0) 1 0 (0). (1) 0 (1) 1 0 f f f f = >  ⇒ <  = − <  => Hàm số f(x) liên tục trên R nên nó liên tục trên [0, 1] => tồn tại ít nhất số thực [ ] 0,1c∈ sao cho f(c) = 0 => c là 1 nghiệm thực của phương trình đã cho d) Đặt f(x) = ln x + x có (1) 1 0 1 . (1) 0 1 1 1 0 f f f f e e e = >     ⇒ <      = − + <         => Hàm số f(x) liên tục trên ( ) 0,+∞ nên nó liên tục trên đoạn 1 ,1 e       => tồn tại ít nhất số thực 1 ,1c e   ∈     sao cho f (c) = 0 => c là một nghiệm thực của phương trình đã cho Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt Bản thảo xuất bản sách tham khảo ơn thi ðại học năm 2008 10 Q tặng cho con trai : Trần Hồng Việt – ðà Nẵng nhân ngày sinh nhật 27/10 ĐẠO HÀM I. ĐẠO HÀM 1. Đònh nghóa: Hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a, b) và lấy ( ) 0 ,x a b∈ . Nếu tồn tại giới hạn 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x → − − hoặc ( ) 0 0 0 0 ( ) lim lim x x f x x f x y x x ∆ → ∆ → + ∆ − ∆ = ∆ ∆ thì ta gọi giới hạn đó là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x 0 , kí hiệu 0 0 '( ) lim x y f x x ∆ → ∆ = ∆  Chú ý: 1/ Dùng khái niệm số gia của hàm số ( y∆ ) thì tính đặc trưng của hàm số liên tục y = f(x) tại điểm x 0 được nêu: Hàm số y = f(x) xác đònh trên khoảng (a, b) và liên tục tại điểm ( ) 0 ,x a b∈ khi và chỉ khi 0 lim 0 x y ∆ → ∆ = 2/ Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x 0 thì nó liên tục tại điểm đó. Đảo lại: Nếu một hàm số liên tục tại điểm x 0 có thể không có đạo hàm tại điểm đó Ví dụ 1: Chứng minh rằng hàm số y = |x| liên tục tại điểm x = 0 nhưng không có đạo hàm tại điểm đó Thật vậy, ta có: ( ) 0 (0) ( )y f x f f x x∆ = + ∆ − = ∆ = ∆ 0 0 lim lim 0 x x y x ∆ → ∆ → ∆ = ∆ = => hàm số liên tục tại điểm x = 0 Nhưng: 0 0 0 0 0 0 '(0 ) lim lim lim 1 '(0 ) lim lim lim 1 x x x x x x x y x f x x x x y x f x x x − − − + + + − ∆ → ∆ → ∆ → + ∆ → ∆ → ∆ → ∆ ∆ −∆ = = = = − ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ = = = = ∆ ∆ ∆ => '(0 ) '(0 )f f − + ≠ nên hàm số cho không có đạo hàm tại điểm x = 0 Ví dụ 2: Cho hàm số 2 0 0 ( ) x x x y f x ax b x x  ≤  = =  + >   với với Tìm a và b để hàm số liên tục và có đạo hàm tại x = x 0 * Muốn hàm số liên tục tại điểm x = x 0 , ta có: 0 0 0 lim ( ) lim ( ) ( ) x x x x f x f x f x − + → → = = Ta có: ( ) 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 2 2 0 ( ) lim ( ) lim lim ( ) lim x x x x x x x x f x x f x ax b ax b ax b x f x x x + + − − → → → →   =  = + = + ⇒ + =    = =  (1) * Để hàm số có đạo hàm tại điểm x = x 0 , ta có 0 0 '( ) '( )f x f x + − =