SKKN một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải bài toán liên quan đến khảo sát hàm số

Giải pháp 2: Giúp học sinh có kỹ năng tránh một số sai lầm khi giải toán liên quan đến khảo sát 8 2.3.2.3 Giải pháp 3: Chia bài toán thành các dạng theo hàm số và đưa ra cách giải đối v

2.3.2.1 Giải pháp 1: Đưa sơ đồ tư duy vào để học sinh nhớ

kiến thức cơ bản và phương pháp một cách hệ thống

5

2.3.2.2 Giải pháp 2: Giúp học sinh có kỹ năng tránh một số

sai lầm khi giải toán liên quan đến khảo sát

8

2.3.2.3 Giải pháp 3: Chia bài toán thành các dạng theo

hàm số và đưa ra cách giải đối với từng dạng.

Trong quá trình dạy giải tích lớp 12 tôi thấy học sinh rất lúng túng khi giải bàitoán liên quan đến khảo sát, đứng trước một bài toán liên quan đến khảo sát họcsinh không biết bắt đầu từ đâu, dùng phương pháp nào để làm, đặc biệt là bàitoán có chứ tham số bên cạch đó học sinh còn mắc một số sai lầm mà khôngphát hiện ra, nhầm lẫn giưa kiến thức về đồng biến, nghịch biến và cực trị.

Trong thực tế đa số học sinh giải bài toán liên quan đến khảo sát một cách hết sức máy móc

Qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi nhận thấy rất rõ yếu điểm này củahọc sinh vì vậy tôi mạnh dạn đề xuất sáng kiến. “Một số giải pháp giúp học sinh có kỹ năng giải bài toán liên quan đến khảo sát”.

2 Giải quyết vấn đề

2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề

Trong quá trình giảng dạy lớp 12 với chương trình sách giáo khoa mới vớiviệc tiếp cận với bài toán tính tích phân đặc biệt bài tập sách giáo khoa nhiềuhọc sinh chỉ làm những bài đơn giản, những học sinh yếu còn không biết xácđịnh các phương pháp cho một bài toán đơn giản Do vậy tôi chia dạng bài tập

và với mỗi dạng đưa ra các bài toán tổng quát từ dễ đến khó và phương phápgiải

Để đáp ứng được việc thay đổi chương trình sách giáo khoa cần thay đổiphương pháp giảng dạy Đặc biệt là đổi mới phương pháp giải bài tập hay

phương pháp giải toán

Ở trường phổ thông đối với học sinh có thể xem việc giải là hình thứcchủ yếu của của hoạt động toán học

Trong dạy toán mỗi bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khácnhau, có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ để làm việc với nội dung mới, để củng cố, kiểm tra

Ở mỗi thời điểm cụ thể nào đó mỗi bài tập chứa đựng tường minh hay ẩntàng những chức năng khác nhau, các chức năng này đều hướng tới chức năngdạy học

Tìm được một lời giải hay của một bài toán, tức là đã khai thác những đặcđiểm riêng của bài toán, điều đó làm cho học sinh biết được sự quyến rũ của sựsáng tạo cùng niềm vui thắng lợi.

Khi thực hiện giải toán cần đảm bảo: lời giải không có sai lầm, lập luậnphải có căn cứ chính xác, lời giải phải đầy đủ ngoài ra cần lời giải ngắn gọn,đơn giản nhất cách trình bày rõ ràng hợp lý

Khi thực hiện giải toán việc quan trọng là phương pháp tìm tòi lời giảitrước hết:

Tìm hiểu nội dung bài toán tức là tìm hiểu về giả thiết, kết luận, hình vẽminh hoạ

Bài toán thuộc dạng toán nào (chứng minh hay tìm tòi, tính toán)

Những kiến thức cơ bản cần áp dụng (các định lý, các khái niệm, các điềukiện tương tương, các phương pháp)

Xây dựng chương trình giải cần xác định rõ các bước tiến hành…… Thực hiện chương trình giải là trình bày bài giải theo các bước đã đặt rachú ý sai lầm thường gặp trong tính toán, biến đổi

Kiểm tra chương trình giải

Trong mỗi bài, mỗi chương sử dụng bản đồ tư duy để tổng hợp các kiếnthức học sinh dễ nhớ dễ hiểu

2.2 Thực trạng của vấn đề

Đối với học sinh khi học về liên qua đến khảo sát cảm thấy rất khó vì nó

có nhiều dạng, mỡi dạng chia làm nhiều dạng nhỏ đặc biệt nó còn liên quannhiều đến kiến thức cũ như dấu tam thức, nhị thức, cách giải phương trình, bấtphương trình, tính đạo hàm Nhiều học sinh khi đứng trước một bài toánkhông biết mình phải dung các nào để giải Việc phân tích nhận dạng bài toáncho học sinh còn yếu

Khi cho học sinh giải các bài toán cụ thể học sinh lại quên phương phápngay, có khi giải sai không biết là mình làm sai

2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề

2.3.1 Giải pháp chung

Đối với đối tượng học sinh trung bình, khá, giỏi cho học sinh tự xây dựnglời giải cho bài toán tổng quát sau đó đi giải một lớp các bài toán cụ thể nhằmphát triển tư duy cho học sinh.

Đối với đối tượng học sinh yếu hướng dẫn học sinh và đưa học sinh lờigiải của bài toán tổng quát học sinh áp dụng giải lớp các bài toán cụ thể

Một bài toán tổng quát đưa ra nhiều cách giải và mỗi cách giải chỉ ra khảnăng áp dụng, chỉ ra các trường hợp có thể xảy ra

Trong quá trình tìm tòi cách giải, học sinh biết phân tích nhận dạng hoặctìm các kiến thức vận dụng Tìm các mối quan hệ giữa các yếu tố của bài toán

Có thể sử dụng hình vẽ để học sinh quan sát tìm ra hướng giải

Khi tiếp cận với bài toán cần cho học sinh hiểu và nắm vững nội dungcủa bài, gợi mở cho học sinh những bài toán quen thuộc có sử dụng phươngpháp giải Có thể là đặc điểm nhận dạng Có thể là nguyên nhân để có kết quả vàlời giải của bài toán

Thực hiện lời giải, kiểm tra quá trình phương pháp vận dụng và các kiếnthức vận dụng

Mở rộng bài toán nếu có thể, giúp học sinh phát triển tư duy Ta đưa ra các bài toán gốc sau đó giúp học sinh giải được một lớp các bài toán tưng tự với các hàm khác nhau

Đưa ra các sai lầm hay mắc phải để học sinh nhận biết và tránh mắc phảisai lầm

Dự trên nhận định trên tôi đưa ra các giải pháp sau:

Giải pháp 1: Đưa sơ đồ tư duy vào để học sinh nhớ kiến thức cơ bản và phương pháp một cách hệ thống.

Giải pháp 2: Giúp học sinh có kỹ năng tránh một số sai lầm khi giải toán lien quan đến khảo sát

Giải pháp 3: Chia tích phân thành các dạng theo hàm số và đưa ra cách giải đối với từng dạng.

2.3.2 Một số ứng dụng cụ thể

2.3.2.1 Giải pháp 1: Đưa sơ đồ tư duy vào để học sinh nhớ kiến thức cơ bản

và phương pháp một cách hệ thống

Việc sứ dụng bản đồ tư duy trong qua trình dạy học giúp cho học sinh cóthể nhớ kiến thức của một chương, của toàn cấp, của một bài một cách dễ dàng

Bản đồ tư duy giúp học sinh học được phương pháp học: Việc rèn luyện

phương pháp học tập cho học sinh không chỉ là một biện pháp nâng cao hiệuquả dạy học mà còn là mục tiêu dạy học Thực tế cho thấy một số học sinh họcrất chăm chỉ nhưng vẫn học kém, nhất là môn toán, các em này thường học bàinào biết bài đấy, học phần sau đã quên phần trước và không biết liên kết cáckiến thức với nhau, không biết vận dụng kiến thức đã học trước đó vào nhữngphần sau Phần lớn số học sinh này khi đọc sách hoặc nghe giảng trên lớp khôngbiết cách tự ghi chép để lưu thông tin, lưu kiến thức trọng tâm vào trí nhớ của

mình Sử dụng thành thạo bản đồ tư duy trong dạy học học sinh sẽ học được phương pháp học, tăng tính độc lập, chủ động, sáng tạo và phát triển tư duy.

Bản đồ tư duy giúp học sinh học học tập một cách tích cực Một số kết

quả nghiên cứu cho thấy bộ não của con người sẽ hiểu sâu, nhớ lâu và in đậmcái mà do chính mình tự suy nghĩ, tự viết, vẽ ra theo ngôn ngữ của mình vì vậyviệc sử dụng bản đồ tư duy giúp học sinh học tập một cách tích cực, huy độngtối đa tiềm năng của bộ não Việc học sinh tự vẽ bản đồ tư duy có ưu điểm làphát huy tối đa tính sáng tạo của học sinh, phát triển năng khiếu hội họa, sởthích của học sinh, các em tự do chọn màu sắc (xanh, đỏ, vàng, tím,…), đườngnét (đậm, nhạt, thẳng, cong…), các em tự “sáng tác” nên trên mỗi bản đồ tư duythể hiện rõ cách hiểu, cách trình bày kiến thức của từng học sinh và bản đồ tưduy do các em tự thiết kế nên các em yêu quí, trân trọng “tác phẩm” của mình Trên cơ sở đó tôi đã đưa sơ đồ tư duy váo một số tiết dạy cụ thể tôi hay đưa vào

dạy ở các tiết ôn tập chương, bài tập và thường yêu cầu học sinh xây dụng bản

đồ tư duy về kiến thức trước ở nhà Sau đây tôi đưa ra một vài ví dụ về sơ đồ tưduy khi dạy học sinh có thể nắm kiến thức một cách đơn giản:

Khi bắt đầu dậy một chương giáo viên có thể giới thiệu học sinh nội dungkiến thức cơ bản của cả chương bằng sơ đồ tư duy Có thể cho học sinh chuan bịtrước theo sự hướng dẫn của giáo viên cụ thể chương khào sát hàm số có thểgiới thiệu với học sing bằng sơ đồ sau

Hướng dẫn học bằng sơ đồ tư duy giúp học sinh:

Sáng tạo hơn

Ghi nhớ tốt hơn

Có cái nhìn tổng thể về kiến thức

*Sau khi dạy xong bài , để thực hiện ôn tập tôi thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xây dựng sơ đồ tóm tắt các dạng bài tập và phương pháp giải

Sau mỗi bài học lý thuyết tôi đã hướng dẫn học sinh về nhà học theo sơ kiếnthức và các dạng bài tập

Làm như vậy học sinh có dịp ôn lại kiến thức đã học và tự sáng tạo sơ đồtheo năng lực và năng khiếu bản thân

Đặc biệt là sau học song chương I tôi câu đã yêu cầu học sinh viết sơ đồ các bài toán liên quan đến khảo sát và mỗi một học sinh đưa ra một ý tưởng

2.3.2.2.Giải pháp 2: Giúp học sinh có kỹ năng tránh một số sai lầm khi

giải toánbài toán liên quan đến khảo sat.

x2)bằng d thì ta thực hiện các bước như sau:

-TXĐ: D = R-Tính y’

-Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến (nghịch biến): (1)

-Biến đổi thành (2)-Sử dụng định lí Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo m

-Giải phương trình, đối chiếu điều kiện (1) để chọn nghiệm

Phân tích những sai lầm thông qua một số ví dụ minh họa

a Sai lầm khi xét tính đơn điệu của hàm số

Các em thường mắc phải sai lầm khi không nắm vững định nghĩa về tính đơn điệu của hàm số.

Ví dụ 1:

Xét tính đơn điệu của hàm số:   



1 ( )

Suy ra: Hàm số đồng biến trên từng khoảng (- ¥ -; 1) và ( 1;- +¥ )

Nhiều khi các em không chú ý đến các điểm tới hạn của hàm số, vì vậy việc xét dấu của đạo hàm y' sẽ bị sai.

b Sai lầm khi chứng minh bất đẳng thức

Khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức, học sinh thường mắc phải sai lầm là không nhớ chính xác định nghĩa tính đơn điệu của hàm số để vận dụng.

Ví dụ 2: (Bài tập 5, trang 10, sách giáo khoa giải tích 12 - ban cơ bản)

Chứng minh rằng: tanx > x, với 0;

Phân tích: Lời giải trên có vẻ đúng, nhưng sai lầm ở đây khá tinh vi (?!) Sau

khi kết luận f(x) đồng biến trên khoảng 0;

- = ³ " Î ÷

ê ø

ë , dấu "=" xảy ra chỉ tại x = 0, suy

ra hàm số f(x) đồng biến trên nửa khoảng 0;

c Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới đạo hàm

Sai lầm khi vận dụng các công thức tính đạo hàm.

Ø Sai lầm khi tính đạo hàm của hàm số tại một điểm

Các em hay mắc phải sai lầm ở dạng này là áp dụng công thức ( )u a '= a.u a-1 'u ,

¡

a Î , nhưng quên rằng nếu như a không nguyên thì công thức này chỉ đúngkhi u nhận giá trị dương

d Sai lầm khi giải các bài toán liên quan tới cực trị của hàm số

Khi sử dụng quy tắc I để xét tính đơn điệu của hàm số các em quên rằng

đó là điều kiện đủ chứ không phải là điều kiện cần.

Quy tắc:

Ÿ y'>0 , x " Î ( ; )a b Þ hàm số đồng biến trên khoảng (a;b)

Ÿ y'<0 , x " Î ( ; )a b Þ hàm số nghịch biến trên khoảng (a;b)

Điều ngược lại nói chung là không đúng (!)

Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

Điều ngược lại nói chung là không đúng (!)

Ví dụ 5: Cho hàm số y = f(x) = mx4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm

số đạt cực đại tại x = 0 ?

Một số học sinh trình bày như sau:

f '(x) = 4mx3 , f ''(x) = 12mx2

Điều kiện để hàm số đạt cực đại tại x = 0 là: '(0) 0

''(0) 0

f f

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = 0 (!)

Vậy lời giải trên sai ở đâu ???

Nhớ rằng, nếu x0 thỏa mãn 0 0

0

'( ) 0 ''( ) 0

m > 0: Ta có y ' = 4mx3 , y ' = 0 Û x = 0 Lập bảng biến thiên ta thấy x0 làđiểm cực tiểu của hàm số.

m < 0: Ta có y ' = 4mx3 , y ' = 0 Û x = 0 Lập bảng biến thiên ta thấy x0 làđiểm cực đại của hàm số

Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 khi và chỉ khi m < 0

e Sai lầm khi giải bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số

Các em thường mắc sai lầm khi không nắm vững định nghĩa giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số trên một miền D.

Ta được hàm số: g(t) = t2 + 2t - 3 = (t+1)2 - 4 ³ - 4, t " Î ¡

Vậy min ( )f x =- , khi t = - 1.4

Phân tích: Sai lầm ở đây là chuyển bài toán không tương đương Giá trị nhỏ

nhất của hàm f(x) không trùng với giá trị nhỏ nhất của hàm g(t), " Î ¡ t

Có thể thấy ngay khi t = - 1 thì không tồn tại giá trị của x để cosx 1

cosx + = - 1 (!)

Lập bảng biến thiên hàm số g(t) (với t ³ 2):

Phương trình tiếp tuyến y =- 9x - 5 là

tiếp tuyến tại A (nhận A làm tiếp điểm)

Từ đó ta có hai tiếp tuyến có phương trình: y = 4 và y = - 9x - 5.

2.3.2.3 Giải pháp 3: Chia bài toán thành các dạng theo hàm số và đưa ra cách

giải đối với từng dạng.

Bài toán 1 : Cho hàm số y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a0) Tìm m để hàm

số thỏa mãn một số tính chất sau:

Dạng 1: Để hàm số đồng biến trên R thì

'

0 ' 0,

Dạng 3: Để hàm số có độ dài khoảng đồng biến, (nghịch biến) (x1;

x2)bằng d thì ta thực hiện các bước như sau:

- Sử dụng định lí Vi-ét đưa (2) thành phương trình theo m

- Giải phương trình, đối chiếu điều kiện (1) để chọn nghiệm

Dạng 4: Để hàm số có cực trị (Cực đại, cực tiểu)  y' 0  có 2 nghiệm

phân biệt

'

0 0





  

 y a

Dạng 5: Để hàm số không có cực trị (Cực đại, cực tiểu)  y' 0  cónghiệm kép hoặc vô nghiệm

'

0 0





  

 y a

Lưu Ý: Hàm số luôn có cực trị  phương trình y’ = 0 luôn có 2 nghiệm phânbiệt m   y' 0, m

Dạng 6: Để hàm số đạt cực đại tại x = A f A f"( ) 0'( ) 0A 





Dạng 10: Để hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với đường thẳng (d):

Phương pháp: Hiển nhiên y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2, khi đó 2 điểmcực trị là M (x ;y )&M (x ;y )1 1 1 2 2 2 .

1 Nếu (d) là trục Oy thì ycbt  x 1  0 x  2

2 Nếu (d) là đường thẳng x = k thì ycbt  x 1  k x  2

3 Nếu (d) là đường thẳng ax + by + c = 0 thì

ycbt  (ax by c)(ax    by  c) 0 

4/ Nếu đường tròn (C) thì tương tự trường hợp 3

Dạng 11: Để hàm số có 2 cực trị nằm về 2 phía đối với đường thẳng (d):

Phương pháp: Hiển nhiên y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2, khi đó 2 điểmcực trị là M (x ;y )&M (x ;y )1 1 1 2 2 2 .

1 Nếu (d) là trục Oy thì 1 2

1 2

x x 0 ycbt

ycbt  (ax by c)(ax    by  c) 0 

4 Nếu đường tròn (C) thì tương tự trường hợp 3

Dạng 12: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số, ta

thực hiện các bước sau:

- TXĐ:D .

- Đạo hàm: y’ = f’(x); y’ = 0 (*)

- Hàm số có cực đại, cực tiểu  Pt(*) có hai nghiệm phân biệt 0

'( ) 0

Ax '( ) ( ) Ax

Dạng 13: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của hàm số, ta

thực hiện các bước sau:



00'

'

A

b g

2 2

- Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu (1)

- Lập phương trình đường thẳng ( ) đi qua 2 điểm cực trị

- Gọi I(x ;y )I I là trung điểm đoạn nối hai điểm cực trị.

8 Để hàm số y = f(x) có hai cực trị nằm bên phải trục tung:

'

00

10 Để hàm số y = f(x) có cực trị tiếp xúc với trục hoành:  y CĐ.y CT 0

Bài toán 2 Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) PTTT tại M x y( ; ) ( ) 0 0  C có

dạng: yf x'( )( 0 x x 0 ) y0

*Dạng 1: Tiếp tuyến thường gặp:

PTTT của (C) tại điểm có hoành độ x 0 :

PTTT của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b:

- Thay (2) vào (1) ta được: f(x) = f’(x)(x - x0) + y0 (3)

 Số nghiệm của phương trình (3) là số tiếp tuyến kẻ từ A tới (C)

Vậy để từ A kẻ được n tiếp tuyến tới đồ thị (C) (3) có n nghiệm phân biệt 

điểm A(nếu có).

* Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số y = f(x) (C) đi qua điểm A(x 0 ; y 0 )

Phương pháp:

- Gọi phương trình đường thẳng đi qua A(x0; y0) và có hệ số góc k có dạng (d): y

- Thay (2) vào (1) ta được: f(x) = f’(x)(x - x0) + y0 (3)

k f '(x ), ta tìm được tiếp tuyến.

2.4 Hiệu quả của sang kiến

Kết quả kháo sát 2 lớp 12A1 và 12A3 năm học 2013-2014 khi chưa

áp dụng giải pháp tôi đã nghiên cứu bài kiểm tra có kết quả như sau

Sau dó tôi đã bắt đầu nghiên cứu và đưa vào áp dụng thì kết quả như sau:

Đựơc phân tích kỹ, chi tiết cho các đối tượng học sinh qua các tiết ôn tập, tăng tiết Kết quả bài kiểm tra 1 tiết chương I trên các đối tượng lớp 12A3 (27 học sinh) ; 12A1 (27học sinh) như sau.

Sau khi thực hiện sáng kiến học sinh học tập rất tích cực và hứng thú đặcbiệt là khi giải bài toán tích phân các em tính tích phân rất thận trọng và hiểu