Gián án nguyên hàm cơ bản

BẢNG ĐẠO HÀM CƠ BẢN Hàm sơ cấp Hàm số hợp u = u(x) ( ) ( ) ' ' 0 ; 1C x= = ( ) ' 1 x x α α α − = ' 2 1 1 x x   = −  ÷   ( ) ' 1 x 2 x = ( ) ' 1 ' u u .u α α α − = ' ' 2 1 u u u   = −  ÷   ( ) ' ' u u 2 u = ( ) ' x x e e = ( ) ' x x a a ln a= ( ) ' u u ' e e .u = ( ) ' u ' u a u .a ln a= ( ) ' 1 ln x x = ( ) ' a 1 log x x ln a = ( ) ' ' u ln u u = ( ) ' ' a u log u u ln a = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' 2 2 ' 2 2 sin cos cos sin 1 tan 1 tan cos 1 cot 1 cot sin x x x x x x x x x x = = − = = + = − = − + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' ' ' ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 sin .cos cos .sin ' tan 1 tan . cos ' cot 1 cot . sin u u u u u u u u u u u u u u u u = = − = = + = − = − + - 1 - §. NGUYÊN HÀM 1. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ NGUYÊN HÀM 1.1 Nguyên hàm của hàm tổng bằng tổng các nguyên hàm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx+ = + ò ò ò 1.2 Nguyên hàm của hàm hiệu bằng hiệu các nguyên hàm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx- = - ò ò ò • Chú ý: Có thể mở rộng cho nhiều hàm với tổng và hiệu kết hợp tùy ý. 1.3 Nguyên hàm của hàm bội bằng bội của nguyên hàm: . ( ) . ( )k f x dx k f x dx= ò ò (với k là hằng số) 1.4 Nguyên hàm không phụ thuộc kí hiệu biến số, tức là: ( ) ( ) ( ) . f x dx f u du f t dt= = = ò ò ò 2. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM CƠ BẢN Ghi chú: Kí hiệu ò đọc là nguyên hàm và C là hằng số Tên hàm Nguyên hàm của các hàm sơ cấp cơ bản Nguyên hàm của các hàm mở rộng tương ứng Hàm hằng kdx kx C= + ò ( k là hằng số) ………. Hàm lũy thừa ( 1) ( 1) x x dx C a a a + = + + ò ( ) ( ) ( 1) 1 . ( 1) ax b ax b dx C a a a a + + + = + + ò Hàm phân thức 1 lndx x C x = + ò ( ln x là logarit cơ số e) • 1 1 .lndx ax b C ax b a = + + + ò • '( ) ln ( ) ( ) u x dx u x C u x = + ò Hàm mũ ln x x a a dx C a = + ò ………. x x e dx e C= + ò 1 ( ) .( ) ax b ax b e dx e C a + + = + ò Hàm lượng giác sin cosxdx x C=- + ò ( ) ( ) 1 sin .cosax b dx ax b C a + =- + + ò cos sinxdx x C= + ò ( ) ( ) 1 cos .sinax b dx ax b C a + = + + ò ( ) 2 2 1 1 tan tan cos dx x dx x C x = + = + ò ò ………. ( ) 2 2 1 1 cot cot sin dx x dx x C x = + =- + ò ò ………. - 2 - 3. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM • Do đó: ( ) 2 2 1 2 3 2 x dx u du+ = ò ò 3 1 6 u C= + 3 1 (2 1) 6 x C= + + 3.1.2 Phương pháp đổi biến số nghịch: (Dùng cho tích phân) • Bước 1: Đặt x = x(t) là hàm của t … 3.2 Phương pháp nguyên hàm từng phần: (Dùng cho hàm tích phức tạp) Tính ( )f x dx ò bằng cách đặt thêm hai ẩn u và v để chuyển về ( ) ( ) ( ) ( ) .u dv u v v du= - ò ò • Đặt: ( ) ( ) ( ) . . ' . . . u du dx dv dx v dx ì = =Þ ï ï ï í ï = = =Þ ï ï î ò • Do đó: ( )f x dx udv= ò ò ( ) ( ) ( ) .u v v du= - ò = …… ☺Tính ln ?x xdx = ò Giải: • Đặt: ( ) 2 1 ln ln ' 2 u x du x dx dx x x dv xdx v xdx ì ï ï = = =Þ ï ï ï í ï ï = = =Þ ï ï ï î ò • Do đó: lnx xdx ò udv= ò (Theo cách đặt nên có) ( ) ( ) ( ) .u v v du= - ò (Theo định lý có) ( ) 2 2 1 ln . . 2 2 x x x dx x æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ = - ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø ò (Thay u, v và du vào) ( ) 2 1 ln . 2 2 x x xdx æ ö ÷ ç ÷ = - ç ÷ ç ÷ ç è ø ò (Rút gọn) ( ) 2 2 1 ln . . 2 2 2 x x x C æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ = - + ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ ç ç è ø è ø - 3 - . ò 2. BẢNG NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM CƠ BẢN Ghi chú: Kí hiệu ò đọc là nguyên hàm và C là hằng số Tên hàm Nguyên hàm của các hàm sơ cấp cơ bản Nguyên hàm của. = = + = − = − + - 1 - §. NGUYÊN HÀM 1. CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN VỀ NGUYÊN HÀM 1.1 Nguyên hàm của hàm tổng bằng tổng các nguyên hàm: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x