định nghĩa đạo hàm cơ bản

GVHD: HOÀNG BÁ TRUNG GIÁO SINH: NGUYỄN VĂN HƯỚNG Ngày soạn: 09/03/2011 Ngày dạy: 14/03/2011 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM (Tiết 2) I. Mục tiêu : Qua bài học, Học sinh cần : 1. Về kiến thức : - Biết được định nghĩa đạo hàm (tại một điểm, trên một khoảng). - Biết ý nghĩa vật lí và hình học của đạo hàm 2. Về kĩ năng : - Tính được đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm đa thức bậc 2 hoặc 3 theo định nghĩa - Lập được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị - Biết tìm vận tốc tức thời của một chuyển động có phương trình S = f(x). 3. Về tư duy thái độ: - Biết đưa những kiến thức – Kỹ năng mới về kiến thức – Kỹ năng quen thuộc áp dụng vào bài tập. - Biết nhận xét và đánh giá bài làm của bạn cũng như tự đánh giá kết quả học tập của bản thân. - Chủ động phát hiện, chiếm lĩnh tri thức mới. Có tinh thần hợp tác trong học tập. II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh: 1. Giáo viên: - Chuẩn bị các câu hỏi gợi mở vấn đề, giáo án… 2. Học sinh: - Kiến thức cũ về hàm số, giới hạn của hàm số, kiến thức vật lí về vận tốc tức thời, phương trình đường thẳng… - Đã chuẩn bị bài ở nhà, SGK, giấy bút, thước . III. Phương pháp: - Vận dụng linh hoạt các PPDH nhằm giúp HS chủ động tích cực trong phát hiện, chiếm lĩnh tri thức như: trình diễn, thuyết trình, giảng giải, gợi mở vấn đề, nêu vấn đề, … - Trong đó, phương pháp chính được sử dụng là: gợi mở, phát vấn thông qua các hoạt động điều khiển tư duy, hoạt động nhóm. IV. Tiến trình bài học: 1. Ổn định lớp: Kiểm tra sĩ số,sự chuẩn bị của học sinh cho bài học: Sách, vở, dụng cụ. 2. Kiểm tra bài cũ: Câu 1. Cho hàm số f(x) = 2x + 1. Tính f(3+t) – f(3), và 0 (3 ) (3) lim t f t f t → + − GVHD: HOÀNG BÁ TRUNG GIÁO SINH: NGUYỄN VĂN HƯỚNG Câu 2. Cho hàm số ( ) 1 x f x x = − . Tính (3 ) (3)f t f+ − và 0 (3 ) (3) lim t f t f t → + − 3. Bài mới: Hoạt động 1. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM Hoạt động thành phần 1. Các bài toán dẫn tới khái niệm đạo hàm. Hoạt động của GV và HS Ghi bảng – Trình chiếu GV: nêu cho thầy công thức tính vận tốc HS: s v t = GV:vậy quãng đường mà viên bi đi từ vị trí t 0 tới vị trí t là bao nhiêu? HS: 0 0 ( ) ( )s s s s t s t∆ = − = − GV: Thời gian viên bi đi từ t 0 tới vị trí t là bao nhiêu ? HS: 0 t t t∆ = − GV: vậy vận tốc của viên bi trên cả đoạn đường đó là bao nhiêu ? giả sử viên bi chuyển động không đều thì vận tốc đó có phải là vận tốc trung bình không? HS: 0 0 ( ) ( )s t s t v t t − ∆ = − GV: bây giờ thầy muốn biết vận tốc của viên bi khi thầy vừa bắn ra tại thời điểm t 0 thì có thể làm được không? Tính cho thầy 0 ( ) ?v t = . Các em nhìn công thức 0 0 ( ) ( )s t s t v t t − ∆ = − xem khi t càng gần t 0 có phải ta càng xác định được là 0 ( )v t càng gần về v∆ đúng không ? Như vậy có phải là 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) lim t t s t s t v t t t → − = − và người ta đã thấy rằng khi mà t càng gần 0 t hay 0 t t− càng nhỏ thì vận tốc trung bình v∆ càng gần về 0 ( )v t và thể hiện được mức độ nhanh chậm của chuyển động của viên bi tại thời điểm ban đầu 0 t . Chúng ta đi tới định nghĩa sau đây. HS: Đứng dậy đọc định nghĩa. I. ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM 1. Các bài toán dẫn tới khái niệm đạo hàm a) Bài toán tìm vận tốc tức thời. Định nghĩa. Giới hạn hữu hạn (nếu có) 0 0 0 ( ) ( ) lim t t s t s t t t → − − được gọi là vận tố tức thời của chuyển đọng tại thời điểm 0 t . Đây chính là đại lượng đặc trương cho sự nhanh chậm của chuyển động tại thời điểm 0 t . b). Bài toán tìm cường độ tức thời. Định nghĩa. SGK. Nhận xét. Trong nhiều bài toán về vật lí, hóa học… đưa ta tới việc tìm giới hạn dạng 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x → − − trong đó ( )y f x= là một hàm số đã cho. Giới hạn này dẫn ta tới một khái niệm quan trọng trong toán học đó là khái niệm đạo hàm. Hoạt động thành phần 2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm GVHD: HOÀNG BÁ TRUNG GIÁO SINH: NGUYỄN VĂN HƯỚNG Hoạt động của GV và HS Ghi bảng – Trình chiếu GV: gọi một HS đứng dậy đọc định nghĩa HS: Đọc định nghĩa 2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm Định nghĩa: Cho hàm số ( )y f x= xác định trên khoảng (a;b) và 0 ( ; )x a b∈ . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) 0 0 0 ( ) ( ) lim x x f x f x x x → − − thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số ( )y f x= tại điểm 0 x và kí hiệu là 0 '( )f x ( hoặc 0 '( )y x ) tức là 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x x f x f x f x x x → − = − . Hoạt động thành phần 3. Áp dụng Hoạt động của GV và HS Ghi bảng – Trình chiếu GV: Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số 2 ( ) 2 3y f x x x= = − + tại 0 2x = HS: suy nghĩ GV: ta tính 0 ?x x− = HS: 0 2x x x− = − GV: tính 0 ( ) ( ) ?f x f x− = HS: 2 2 2 ( ) (2) 2 3 (2 2.2 3) 2f x f x x x x− = − + − − + = − GV: tính 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim x x f x f x f x x x → − = − HS: Suy nghĩ và làm ví dụ GV: Ngoài ra người ta còn đặt một đại lượng trung gian khác cho việc tính đạo hàm. Ta có chú ý sau HS: ghi chú ý Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số 2 ( ) 2 3y f x x x= = − + tại 0 2x = Ta có 0 2x = vậy 2 2 2 0 ( ) ( ) ( ) (2) 2 3 (2 2.2 3) 2f x f x f x f x x x x− = − = − + − − + = − => 0 2 0 0 2 2 2 0 ( ) ( ) 2 ( 2) '( ) lim lim lim lim 2 2 2 x x x x x f x f x x x x x f x x x x x x → → → → − − − = = = = = − − − Vậy đạo hàm của 2 ( ) 2 3y f x x x= = − + tại 0 2x = là 0 '( ) 2f x = Chú ý: Đại lượng 0 x x x∆ = − được gọi là số gia của đối số tại 0 x . Đại lượng 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( )y f x f x f x x f x∆ = − = + ∆ − được gọi là số gia tương ứng của hàm số. Như vậy 0 0 '( ) lim x y y x x ∆ → ∆ = ∆ GVHD: HOÀNG BÁ TRUNG GIÁO SINH: NGUYỄN VĂN HƯỚNG Hoạt động thành phần 4. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa Hoạt động của GV và HS Ghi bảng – Trình chiếu GV: ta có quy tắc tính đạo hàm bằng định nghĩa như sau. HS: Đứng dậy đọc quy tắc GV: Như vậy chúng ta như thể có hai cách tính đạo hàm của hàm số tại điểm x 0 nào đó nhưng thực ra chỉ là một mà thôi HS: ghi chép vào vở 3. Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa Để tính đạo hàm của hàm số ( )y f x= tại điểm 0 x bằng định nghĩa ta có quy tắc sau đây. Quy tắc Bước 1. Giả sử x∆ là số gia của đối số tại 0 x , tính 0 0 ( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ − Bước 2. Lập tỉ số y x ∆ ∆ . Bước 3. Tìm 0 lim x y x ∆ → ∆ ∆ . Hoạt động thành phần 5. Áp dụng Hoạt động của GV và HS Ghi bảng – Trình chiếu GV: Bước 1. Giả sử x ∆ là số gia của đối số tại 0 x , tính 0 0 ( ) ( )y f x x f x∆ = + ∆ − HS: 2 2 0 0 2 ( ) ( ) (1 ) 3(1 ) 4 ((1) 3.1 4)y f x x f x x x x x ∆ = + ∆ − = + ∆ − + ∆ + − − + = ∆ −∆ GV: Lập tỉ số y x ∆ ∆ . HS: 2 1 y x x x x x ∆ ∆ − ∆ = = ∆ − ∆ ∆ GV: Tìm 0 lim x y x ∆ → ∆ ∆ HS: 0 0 lim lim( 1) 1 x x y x x ∆ → ∆ → ∆ = ∆ − = − ∆ GV: các em kết luận và làm vào vở Ví dụ 2 Tính đạo hàm của hàm số 2 ( ) 3 4f x x x= − − + tại 0 1x = -/Giả sử x ∆ là số gia của đối số tại 0 1x = ta có 0 0 ( ) ( ) (1 ) (1)y f x x f x f x f∆ = + ∆ − = + ∆ − 2 2 2 (1 ) 3(1 ) 4 ((1) 3.1 4)x x x x= + ∆ − + ∆ + − − + = ∆ − ∆ -/ 2 1 y x x x x x ∆ ∆ − ∆ = = ∆ − ∆ ∆ -/ 0 0 lim lim( 1) 1 x x y x x ∆ → ∆ → ∆ = ∆ − = − ∆ Vậy '(1) 1f = − Hoạt động thành phần 6. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và sự liên tục của hàm số GVHD: HOÀNG BÁ TRUNG GIÁO SINH: NGUYỄN VĂN HƯỚNG Hoạt động của GV và HS Ghi bảng – Trình chiếu GV: các em thừa nhận định lí sau đây. HS: Ghi chép vào vở GV: Điều ngược lại của định lí là chưa chắc đúng. Các em xem ví dụ trong SGK HS: Ghi chép vào vở và xem ví dụ trong SGK 4. Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và sự liên tục của hàm số Định lí1 Nếu hàm số ( )y f x= có đạo hàm tại điểm 0 x thì nó liên tục tại điểm đó Chú ý. - Định lí trên tương đương với khẳng định: Nếu hàm số ( )y f x= gián đoạn tại điểm 0 x thì nó không có đạo hàm tại điểm đó. - Mệnh đề đảo của định lí1 là không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm chưa chắc đã có đạo hàm tại điểm đó. Hoạt động thành phần 7. Ý nghĩa hình học của đạo hàm Hoạt động của GV và HS Ghi bảng – Trình chiếu GV: Các em vẽ đồ thị của hàm sô 2 ( ) 2 x y f x= = HS: Tự vẽ hình GV:Tính '(1)f HS: '(1) 1f = GV: Vẽ đường thẳng đi qua điểm 1 (1; ) 2 M và có hệ số góc bằng '(1)f . Nêu nhận xét về vị trí tương đối của đường thẳng này với đồ thị hàm số đã cho HS: Tự vẽ. GV: treo hình 63. GV: ta thấy khi 0 x x→ thì ( ; ( ))M x f x di chuyển trên ( C ) tới điểm nào ? Vậy ta có một khái niệm mới về tương quan giữa đường thẳng và một đường cong. Treo hình 63 a) Tiếp tuyến của đường cong phẳng Định nghĩa. Giả sử cát tuyến M 0 M có vị trí giới hạn, kí hiệu là M 0 T thì M 0 T được gọi là một tiếp tuyến của ( C) tại M 0 . Điểm M 0 được gọi là tiếp điểm. Hoạt động của GV và HS Ghi bảng – Trình chiếu GVHD: HOÀNG BÁ TRUNG GIÁO SINH: NGUYỄN VĂN HƯỚNG GV: Như vậy M 0 T được gọi là một tiếp tuyến của ( C) tại M 0 . Vậy hệ số góc của tiếp tuyến này là bao nhiêu ? xác định như thế nào ? HS: Suy nghĩ GV: Chúng ta qua định lí thứ 2 xem có trả lời được câu hỏi vừa rồi không? HS: Đọc định lí 2 (SGK-151) GV: Giả sử hệ số góc của tiếp tuyến là k vậy k = ? HS: 0 '( )k f x= GV: Một em nhắc lại cho thầy về phương trình đường thẳng. HS: 0 0 ( )y y k x x− = − GV: Vậy phương trình đường thẳng đi qua 0 0 0 ( ; )M x y và có hệ số góc k. HS: 0 0 y kx kx y= − + . GV:Như vậy ta có thể thay 0 '( )k f x= để viết phương trình tiếp tuyến của của ( C) tại M 0 không ?Một em đọc cho thầy định lí 3 b) Ý nghĩa hình học của đạo hàm Cho hàm số ( )y f x= xác định trên khoảng (a;b) và có đạo hàm tại 0 ( ; )x a b∈ . Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó. Định lí 2 Đạo hàm của hàm số ( )y f x= tại điểm 0 x là hệ số góc của tiếp tuyến M 0 T của (C) tại điểm 0 0 0 ( ; ( ))M x f x Chứng minh: SGK c) Phương trình tiếp tuyến Định lí 3 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C ) của hàm số ( )y f x= tại điểm 0 0 0 ( ; ( ))M x f x là 0 0 0 '( )( )y y f x x x− = − trong đó 0 0 ( )y f x= Hoạt động thành phần 8. Áp dụng Hoạt động của GV và HS Ghi bảng – Trình chiếu GV: Ta có x 0 = ? HS: x 0 = -1 GV: Trước hết ta tính '( 1)k f= − , ta sử dụng định nghĩa để tìm. HS: học sinh tự tính, gọi đọc kết quả. '( 1) 3k f= − = GV: áp dụng định lí 3 ta viết phương trình tiếp tuyến HS: Tự viết GV: Sửa lại cho đúng lôgic Ví dụ 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 ( )y f x x= = tại điểm 0 ( 1; 1)M − − . Giải: Ta có '( 1) 3k f= − = (theo định nghĩa) và ( 1) 1y − = − . Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 ( )y f x x= = tại điểm 0 ( 1; 1)M − − với hệ số góc '( 1) 3k f= − = có dạng là: 0 0 0 '( )( ) 3( 1) 1 3 2y y f x x x y x y x− = − ⇔ = + − ⇔ = + Hoạt động thành phần 9. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm GVHD: HOÀNG BÁ TRUNG GIÁO SINH: NGUYỄN VĂN HƯỚNG Hoạt động của GV và HS Ghi bảng – Trình chiếu GV: Như trong baig toán ban đầu ta đã biết thì vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t 0 chính là đạo hàm của hàm số s = s(t) tại t 0 : v(t 0 ) = s’(t 0 ) HS: chú ý và đọc thêm SGK GV:tương tự như bài toán về cường độ dòng điện tức thời của dòng điện tại thời điểm t 0 : I(t 0 ) = Q’(t 0 ) HS: đọc SGK Ví dụ 4. Một chất điểm chuyển động có phương trình 2 3 5 1S t t= + + ( t tính theo giây, S tính bằng mét). Tính vận tốc của chất điểm đó tại thời điểm t = 1s ( v tính bằng m/s) Theo bài ta có v(t 0 ) = s’(t 0 ) với t 0 = 1 . Mà S’(1) = 11 (theo định nghĩa của đạo hàm). Nên vận tốc của chất điểm tại thời điểm t = 1s là ; v(t 0 ) = s’(t 0 ) = 11 (m/s) Hoạt động 2. Đạo hàm trên một khoảng Hoạt động của GV và HS Ghi bảng – Trình chiếu GV: như vậy chúng ta đã tính được đạo hàm của một hàm số tại một điểm x 0 nào đó. Vậy đạo hàm của một hàm số trên một khoảng thì sao ? ta tính là sao ? HS: suy nghĩ GV: một khoảng ( a;b) hỏi có bao nhiêu điểm x 0 ? HS: Có vô số GV: Vậy muốn tính đạo hàm của một hàm số trên một khoảng (a;b) ta phải tìm đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng ( a;b). HS: Suy nghĩ GV: ta đi đến định nghĩa sau. Gọi một học sinh đọc định nghĩa. II. Đạo hàm trên một khoảng Định nghĩa. Hàm số ( )y f x= được gọi là có đạo hàm trên khoảng ( ; )a b nếu nó có đạo hàm tại ( ; )x a b∀ ∈ . Khi đó ta gọi hàm số ':( ; )f a b R→ '( )x f x→ là đạo hàm của hàm số ( )y f x= trên khoảng ( ; )a b , kí hiệu là y’ hay '( )f x 4. Củng cố - phần này các em nhớ thật kĩ cho thầy cách tính đạo hàm của hàm số tại một điểm theo định nghĩa (tại một điểm, trên một khoảng). - Biết ý nghĩa vật lí và hình học của đạo hàm. - Tính được đạo hàm của hàm số lũy thừa, hàm đa thức bậc 2 hoặc 3 theo định nghĩa - Lập được phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị - Biết tìm vận tốc tức thời của một chuyển động có phương trình S = f(x). 5. Bài tập về nhà và hướng dẫn bài tập về nhà. - về nhà làm bài tập 1, 2, 3, 4, 5, 6. - Các bài 1 đến 4 dùng định nghĩa để làm, bài 5, 6 dùng định lí 2 để làm, các em về học kĩ lí thuyết và làm bài tập đầy đủ tiết tới chúng ta ôn tập . thầy định lí 3 b) Ý nghĩa hình học của đạo hàm Cho hàm số ( )y f x= xác định trên khoảng (a;b) và có đạo hàm tại 0 ( ; )x a b∈ . Gọi (C) là đồ thị của hàm số đó. Định lí 2 Đạo hàm của hàm số. tính đạo hàm của một hàm số trên một khoảng (a;b) ta phải tìm đạo hàm tại mọi điểm trên khoảng ( a;b). HS: Suy nghĩ GV: ta đi đến định nghĩa sau. Gọi một học sinh đọc định nghĩa. II. Đạo hàm. Trình chiếu GV: gọi một HS đứng dậy đọc định nghĩa HS: Đọc định nghĩa 2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm Định nghĩa: Cho hàm số ( )y f x= xác định trên khoảng (a;b) và 0 ( ; )x a b∈ . Nếu