Tính góc hợp bởi SI với (SDC).. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA và BC. Tính độ dài đoạn vuông góc chung của:. a) SB; AD.[r]
(1)ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II TỐN 11 PHẦN GIẢI TÍCH
A-Lý thuyết
I-Giới hạn dãy số 1-Một vài giới hạn đặc biệt
a) *
k
1
lim , lim , n
n
n
b)lim qn 0 với q 1
c)lim( u )=c (c số) lim( u )=limc=c
d)Nếu *
n
lim un 0 u 0 , n lim
n
u
d)Nếu lim un lim
n
u
2-Định lý giới hạn dãy số
Nếu lim( u )=a , lim( v )=b thì:
lim un vn lim un lim vn a b
lim u vn n lim limun vn a b
* n
lim
lim , v n ;
lim n n
n n
u
u a b
v v b
lim un lim un a u , n0 ,a 0
3-Tổng CSN lùi vô hạn có cơng bội q,với q 1 :
1 n
u S
q
II-Giới hạn hàm số 1-Một số giới hạn đặc biệt
2-Định lý
0 0
1) lim ( ) lim ( ) lim ( ) x x f x L x x f x x x f x L
2)Nếu
lim , lim
x a f x L x a g x M thì:
lim lim lim
x a f x g x x a f x x a g x L M
lim
lim , M
lim x a x a
x a
f x
f x L
M
g x g x
lim lim ; 0,
x a f x x a f x L f x L
3-Quy tắc tính giới hạn vơ cực
a)Quy tắc tính giới hạn tích f(x).g(x)
0 0
) lim ( ) ; lim ) lim
) lim ( 1)
) lim
x x x x
k x
k x
k x
a c c x x
b x k Z
c x k l
d x k l
(2)0
lim ( )
xx f x
lim ( )
xx g x
lim ( ) ( )
xx f x g x
L>0 + +
- -
L<0 + -
- +
b)Quy tắc tính giới hạn thương f(x)/g(x)
0
lim ( )
xx f x
lim ( )
xx g x Dấu g(x)
0 ( ) lim
( ) x x
f x g x
L Tùy ý 0
L>0
0 + +
- -
L<0 + -
- +
III-Hàm số liên tục 1-Định nghĩa
Cho hàm số y=f(x) xác định khoảng K x thuộc K,f(x) gọi liên tục điểm
x
0
lim
x x f x f x
2-Định lý
0 0
lim ( ) lim ( ) lim ( )
x x f x L x x f x x x f x L
-Hàm đa thức liên tục R
-Hàm phân thức hữu tỉ hàm số lượng giác liên tục TXĐ
-Hàm số y=f(x) liên tục đoạn [a,b] f(a)f(b)<0 tồn điểm c thuộc khoảng (a,b) cho f(c)=0
IV-Đạo hàm 1-Định nghỉa
Cho f(x) xác định khoảng (a,b),x thuộc khoảng(a,b)
0
0
( ) ( ) '( ) lim
x x
f x f x f x
x x
Để tính đạo hàm hàm số yf x( ) điểm xo ta thực
B1: Giả sử x số gia đối số điểm xo, y f x( o x) f x( )o
B2: Lập tỉ số y
x B3: Tìm
0
lim
x
y x
2-Quy tắc tính đạo hàm
Quy tắc tính đạo hàm (u v )' u v' ' (u v )' u v' ' ( )'uv u v uv' '
'
2
' '
u u v uv
v v
(3)Đạo hàm hàm số thường gặp Đạo hàm hàm số hợp
( )' 0c
( )' 1x
1
( )'xn nxn
( )'un nun1 'u
1 ( )'
2 x
x
( )' 1 '
2
u u
u
2
1 1
'
x x
1 1
' 'u
u u
(sin )' cosx x (sin )'u u'.cosu
(cos )'x sinx (cos )'u u'.sinu
2
1 (tan )'
cos x
x
(tan )' 12 '
cos
u u
u
2
1 (cot )'
sin x
x
(cot )' 12 '
sin
u u
u
3-Phương trình tiếp tuyến
Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số y=f(x) điểm M(x ,f(x )) là: y - y =f’(x )(x - x ) (*) f’(x )là hệ số góc,y =f(x )
Dạng 1 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số yf x( ) điểm M x f x( ; ( ))0 0 Phương pháp: phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số yf x( ) điểm
0
( ; ( ))
M x f x yf x'( )(0 x x 0) f x( )0
Chú ý: +) toán yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ tiếp điểm
0
x , ta dạng toán
+) Nếu tốn u cầu viết phương trình tiếp tuyến điểm có tung độ tiếp điểm
0
y , ta giải phương trình f x( )y0 để tìm hồnh độ tiếp điểm
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x( ), biết tiếp tuyến
có hệ số góc k
Phương pháp:
B1: Tính đạo hàm hàm số y f x( )
B2: Gọi M x f x( ; ( ))0 hồnh độ tiếp điểm Giải phương trình f x( )0 k để tìm
hồnh độ tiếp điểm x0
B3: Viết phương trình tiếp tuyến dạng
4-Đạo hàm cấp hai
Đạo hàm cấp hai f’’(x) = [f’(x)]’ Đạo hàm cấp ba f’’’(x) = [f’’(x)]’ Đạo hàm cấp n f (x) = [f (x)]’
B-BÀI TẬP
Bài 1: Tính giới hạn sau a)lim6
3 n n
b)
3
3
17
lim
n n
n n
c)
3 5.4 lim
4
n n
n n
d)lim( n2 n n)
e) lim
3
n n
n n
f)
2
n +1 + 4n lim
3n - 2
Bài 2: Tính tổng
S=2 2+ 2+ 2+ +
2
(4)a) S= -10 + - 101 + 1000 100 ……… c)
1 1
5
5 25 75
n S +…… d)
1 1
9
3 27
n S +……
Bài 3: Tính giới hạn sau:
1 ) lim x x a x 2
2
) lim x x x b x 2
2
) lim x x x c x 2 ) lim x x x d x
e) limx x3 2x 3
) lim x x f x ) lim x x g x 2 ) lim x x h x 1 ) lim x
x x x
k
x
Bài 4:Xét tính liên tục hàm số:
Õu x
( ) 2
4 Õu x=2 x
n
f x x
n
Tại điểm xo =
Bài 5: Xét tính liên tục hàm số:
2
Õu x
( ) 3
4 Õu x =
x x
n
f x x
n
Trên tập xác định
của
Bµi 6 Xét tính liên tục hàm số:
2
2
( )
5 1
x x f x x x x=1 Bµi 7 Xét tính liên tục hàm số R:
2
3
( )
0
x x
f x
x x x
Bài 8a)Chứng minh phương trình 2x4+4x2+x-3=0 có hai nghiệm thuộc khoảng (-
1; )
b) chứng minh phương trình sau có hai nghiệm: 2x3 – 10x – = 0
c) Chứng minh phương trình : 1-x-sinx=0 ln có nghiệm d) Chứng minh phương trình :x3 3x 1 0
có nghiệm phân biệt
Bài 9Tìm đạo hàm hàm số sau: a) ( 3)( 2 1)
x x x x
y ; b) 2 42 5
x x
y c)
2 2 x x y
d) ( 1)( 1) x x
y e) y (1 2x2)5
g)
x x
y h) 1 x x
y i) sin3(2 1)
x
y k) y sin2(cos2x)
l) ysin 2x2 m) y(2sin22x)3 n) tan2
x
y
Bµi 10. Giải phương trình f’(x) = 0, biết
a) f(x) = 60 643 5 x x
x b) g(x)=
2 x x x
(5)f’(1) + f’(-1) = - 4f(0)
Bµi 12. Cho hàm số y f(x) 3x
1 x
(C).
a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(2; –7)
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hồnh c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung
d) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với d: y 1x 100
e) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với : 2x + 2y – =
Bài 13: Cho hàm số y =x2 2x 3
a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có tung độ
b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho biết tiếp tuyến có hệ số góc
Bài 14 Cho hàm số f(x) 3(x 1)cosx .
a) Tính f '(x),f ''(x) b) Tính f ''( ), f '' ,f ''(1)
2
PHẦN HÌNH HỌC
I-LÝ THUYẾT
1 Véc tơ không gian:
Các phép toán véc tơ, qui tắc: qui tắc điểm,qui tắc hình bình hành, qui tắc hình hộp
Các tính chất: tính chất trung điểm, tính chất trọng tâm tam giác, trọng tâm tứ diện Ba véc tơ đồng phẳng, không đồng phẳng
2.Đường thẳng mặt phẳng vng góc:
* Góc đường thẳng, đường thẳng vng góc *.Đường thẳng vng góc với mặt phẳng:
-Góc đường thẳng mặt phẳng, áp dụng cho hình chóp, hình lăng trụ - Các tính chất lăng trụ đứng, hình chóp
- Điều kiện để đường thẳng vng góc với mặt phẳng - Liên hệ quan hệ song song quan hệ vng góc - Định lí đường vng góc
* Hai mặt phẳng vng góc:
- Góc mặt phẳng, cách xác định,áp dụng hình chóp - Điều kiện để mặt phẳng vng góc
Các hệ định lí 1, định lí 2, áp dụng cho hình chóp * Khỏang cách:
- Khỏang cách từ điểm đến đường thẳng ,1mặt phẳng : cách xác định, cách tính - Khỏang cách đường thẳng song song, mặt phẳng song song, đường thẳng mặt phảng song song
- Khỏang cách đường thẳng chéo nhau: cách tính tùy theo khả cho phép
(6)
Loại 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng, với đường thẳng: Bài 1 : Tứ diện S.ABC có SA(ABC), ABC vng B Gọi AH đường cao
SAB Chứng minh a) BC (SAB) ;b) AH (SBC)
Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O; gọi I, J trung điểm AB, BC Biết SA=SC, SB=SD Chứng minh rằng: a)SO (ABCD) b) IJ (SBD)
Bài 3 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O có SA (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vng góc điểm A lên SB, SC, SD Chứng minh a) CD (SAD), BD (SAC); b) SC (AHK) I (AHK)
c) HK (SAC), từ suy HK AI
Bài 4 Cho tứ diện ABCD có ABC DBC tam giác đều, gọi I trung điểm BC Vẽ đường cao AH AID Chứng minh rằng:
a) BC (AID); b) AH (BCD)
Bài 5 Tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Gọi H (ABC): OH
(ABC) Chứng minh rằng: a) BC (OAH);
b) H trực tâm ABC; c) 12 12 12 12
OH OA OB OC
Loại 2: Chứng minh mặt phẳng vuông góc:
Bài 6 Cho tứ diện ABCD có mặt phẳng (ABC), (ABD) vng góc với đáy (DBC) Vẽ đường cao BE, DF tam giác BCD; đường cao DK tam giác ACD Chứng minh rằng:
a) AB (BCD); b) (ABE) (DFK) vng góc (ADC)
c)Gọi O,H trực tâm BCD, ACD Cm:OH(ADC)
Bài 7 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi cạnh 2a; góc BAC = 600, SA
(ABCD) SA = a Chứng minh:
a)(SAC) (ABCD) (SAC) (SBD); b)(SBC) (SDC)
Bài 8 Hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD a)Chứng minh: SO (ABCD); (SAC) (SBD)
b)Một mặt phẳng () qua A song song với BD cắt SB, SC, SD B’, C’, D’ Chứng minh AC’ B’D’
Bài 9 Cho tam giác ABC cạnh a, I trung điểm BC, D điểm đối xứng với A qua I Dựng đoạn SD=
2
a vng góc với (ABC) Cminh: (SAB) (SAC); (SBC)
(SAD)
Loại 3: Góc đường thẳng ,góc đường thẳng mặt phẳnggóc mặt phẳng mặt phẳng:,:
Bài 10 Hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A, D; AD = DC = a, AB = 2a SA AB SA AD, SA =
3
a Tính góc: a) SB DC (300);
b) SD BC
Bài 11 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N, P trung điểm AB, BC, C’D’ Hăy Tính góc giữa:
a) AB’ BC’; AC’ CD’ (600 900) b) MN C’D’; BD AD’; A’P DN (600, 450, 900)
Bài 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA = a vng góc với đáy Tính góc của:
a) SC với (ABCD); b) SC với (SAB); c) SB với (SAC)
Bài 13 Cho hình vng ABCD tam giác SAB cạnh a nằm mặt phẳng vng góc Gọi I trung điểm AB
a)Chứng minh rằng: SI(ABCD) Tính góc hợp SC với (ABCD)
b)Tính khoảng cách d[B,(SAD)] Suy góc SC với (SAD)
(7)Bài 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng tâm O, cạnh a SO vng góc với đáy Gọi M, N trung điểm SA BC Biết góc MN (ABCD) 600
a) Tính MN, SO b) Tính góc MN với mặt phẳng(SBD)
Bài 16 Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đơi vng góc SA = SB = SC Gọi I, J trung điểm AB, BC Tính góc mặt phẳng: (SAJ) (SCI) (600)
Bài 17 Cho hình chóp có cạnh đáy 3a, cạnh bên 2a a) Tính góc cạnh bên mặt đáy (300)
b) Tính góc tạo mặt bên mặt đáy arctan
Bài 18 Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có tất cạnh đáy a Biết góc tạo cạnh bên mặt đáy 600 hình chiếu H A lên (A’B’C’) trùng với trung điểm
B’C’
a) Tính khoảng cách mặt đáy
b) Tính góc BC AC’; (ABB’A’) mặt đáy
Bài 19 Cho hình vng ABCD cạnh a, vẽ SA=a 3; SA(ABCD) Tính góc: a) (SAB),(ABC); b)(SBD),(ABD); c)(SAB),(SCD)
Bài 20 Cho hình vng ABCD cạnh a, tâm O; SA (ABCD) Tính SA theo a để góc [(SBC), (SCD)] = 600 (SA = a)
Bài 21 Cho hình thoi ABCD cạnh a có tâm O, vẽ SO (ABCD) SO =
a ; OB = a
Chứng minh rằng: a)ASC =900; b)(SAB)
(SAD)
Bài 22 Tứ diện ABCD có ABC đều, DBC vng cân D Biết AB = 2a, AD =a
Tính góc [(ABC),(DBC)] (300)
Loại Các toán khoảng cách:
Bài 23 Tứ diện ABCD có BCD cạnh a, AB (BCD) AB = a Tính khoảng
cách: a) d[D; (ABC)]; b) d[B; (ACD)]
Bài 24 Hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên (SAB) (ABCD) SA = SB = b Tính: a) d[S; (ABCD)]
b)Từ trung điểm I CD đến (SHC), H trung điểm AB c)d[AD;(SBC)]
Bài 25 Hình chóp S.ABCD đáy hình vng cạnh a SC = SA = SB = AD = a Gọi I, J trung điểm AD;BC
a)Chứng minh rằng: (SIJ) (SBC) b)Tính d[AD; SB]
Bài 26 Lăng trụ ABC.A’B’C’ có AA’(ABC); AA’= a, ABC vng A có BC = 2a, AB=a Tính a) d[AA’; (BCC’B’)];
b) d[A; (A’BC)] c) Chứng minh rằng: AB(ACC’A’) tính d[A’; (ABC’)]
Bài 27 Cho hình vng ABCD cạnh a Vẽ SA(ABCD), SA=a Tính độ dài đoạn vng góc chung của:
a) SB; AD b) AB; SC