CMR phương trình có hai nghiệm trái dấu b... Chứng minh tam giác OAB vuông.[r]
Trang 1Page | 1
ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ 2 MÔN TOÁN 9
ĐẠI SỐ
1
P
x
a Rút gọn P
b Tính P khi 2 3
2
x
c So sánh P với 1
2
4
P
x
a Rút gọn P
b Tìm x để P 0
c Tìm x để P 1
d Tìm m để có các giá trị của x thõa mãn P x( 3) x m( 4) 2 x 1 m
Bài 3 : Cho biểu thức 1 4 : 1 2 1 2
D
a Rút gọn D
b Tìm x để D2 D
c Tìm x để 1
4
D
P
a Rút gọn P
b Tính P biết 4
4 2 3
x
c Tìm x nguyên để P nguyên
d Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 5 : Cho biểu thức M x 4 x 4 x 4 x 4 với x 4
a Rút gọn M
b Tìm x để M 4
Bài 6 : Cho biểu thức 2 2 1
M
a Rút gọn M
b So sánh M với 1
Trang 2Page | 2
c Tìm x để 1
2
M
B
a Rút gọn B
b Tính giá trị của B khi x 27 10 2 18 8 2
c Chứng minh 1
3
B
1
P
x
a Rút gọn P
b Tìm x để P 2
c Tìm x để P nhận giá trị nguyên
Bài 9 : Quãng đường AB dài 60km Một người đi từ A đến B với vận tốc xác định Khi đi từ B về
A người ấy đi với vận tốc lớn hơn vận tốc lúc đi mỗi giờ là 5km Vì vậy thời gian về ít hơn thời gian đi là 1h Tính vận tốc của người đó khi đi từ A đến B
Bài 10 : Một cano xuôi dòng một khúc sông 72km sau đó chạy ngược dòng đó 54km hết tất cả 6h
Tính vận tốc thật của cano biết vận tốc dòng nước là 3km/h
Bài 11 : Một đội sản xuất phải làm 1000 sản phẩm trong một thời gian quy định Nhờ tăng năng
suất lao động, mỗi ngày đội làm thêm được 100 sản phẩm so với kế hoạch Vì vậy chẳng những đã làm vượt mức kế hoạch 80 sản phẩm mà còn hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so với quy định Tính số sản phẩm phải làm trong một ngày theo kế hoạch
Bài 12 : Hai vòi nước chảy vào một bể không có nước thì sau 2h55p thì đầy bể Nếu để chảy một
mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thức 2 là 2h Tính thời gian mỗi vòi chảy đầy bể
Bài 13 : Theo kế hoạch hai tổ sản xuất phải làm được 900 chi tiết máy trong một thời gian quy
định Do cải tiến kỹ thuật tổ 1 đã vượt mức 15%, tổ 2 vượt mức 10% so với kế hoạch nên hai tổ sản xuất được 1010 chi tiết máy Hỏi theo kế hoạch mỗi tổ sản xuất phải làm bao nhiêu chi tiết máy ?
Bài 14 : Một mảnh vườn hình chữ nhật trước đây có chu vi là 24m Nay người ta mở rộng chiều
dài thêm 5m, chiều rộng thêm 3m Do đó diện tích mảnh vườn tăng thêm 255m2 Tính chiều dài
và chiều rộng của mảnh vườn lúc trước
Bài 15 : Giải các hệ phương trình
a
2
1 5
x y
b 5 (1 3) 1
x y
c
2 5
1
1 3 2
5
d
2
3
1 1 3
1
1 1
Trang 3Page | 3
e ( 3)( 6)
( 2)( 2)
300 ( 1)( 2) 357
xy
g
3
2 6
Bài 16 : Cho hệ phương trình 2
a Giải hệ với m 2
b Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất ( ; )x y thỏa mãn x y 1
Bài 17 : Cho phương trình x2 2(m 1)x 8(m 1) 0
a Giải phương trình với m 1
b Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m
c CM biểu thức A x1(8 x2) x2(8 x1)không phụ thuộc vào m
Bài 18 : Cho phương trình x2 (m 1)x m2 m 2 0
a CMR phương trình có hai nghiệm trái dấu
b Tìm m để A x12 x22 nhỏ nhất
c Tìm hệ thức giữa x x1; 2 độc lập với m
d Tìm m để phương trình có nghiệm x12 x22 6x x1 2 20
Bài 19 : Cho phương trình 3x2 (3k 2)x (3k 1) 0
a Giải phương trình khi k 1
b Tìm k để phương trình có nghiệm kép
c Tìm k để phương trình có hai nghiệm cùng dương
d Tìm k để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 3x1 5x2 6
Bài 20 : Cho phương trình x2 2(m 1)x 2m 4 0
a Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng nhỏ hơn 1
c Tìm m để phương trình có ít nhất 1 nghiệm dương
d Gọi x x1; 2 là hai nghiệm của phương trình Chứng minh 2 2
3
Bài 21 : Cho phương trình x2 mx 2m 4 0
a Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x1 x2 3
b Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn 2x1 x2 1
Bài 22 : Cho Parabol ( ) :P y kx2 và đường thẳng ( ) :d y 3x 4
a Tìm k để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung
Trang 4Page | 4
b Tìm k để hoành độ giao điểm của (P) và (d) là x x1; 2 thỏa mãn x1 7x2 5
Bài 23 : Cho Parabol 3 2
( ) :
4
P y x và đường thẳng ( ) :d y (m 2)x 3(m 2)
a Tìm m để (P) và (d) tiếp xúc nhau Tìm tọa độ tiếp điểm
b Tìm các điểm M thuộc (P) sao cho khoảng cách từ M đến gốc tọa độ bằng 5
Bài 24 : Cho ( ) :P y x2 và ( ) :d y x 2
a Vẽ (P) và (d) trên cùng một hệ trục tọa độ
b Gọi A,B là tọa độ giao điểm của (P) và (d) Tính diện tích tam giác OAB
Bài 25 : Cho ( ) :P y x2 và đường thẳng (d) có hệ số góc là k và đi qua điểm I(0; 1)
a Viết phương trình đường thẳng (d)
b Chứng minh với mọi k thì (P) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt A,B
c Gọi hoành độ A,B lần lượt là x x1; 2 Chứng minh x1 x2 2
d Chứng minh tam giác OAB vuông Tìm k để AB có độ dài ngắn nhất
HÌNH HỌC
Bài 1 : Cho đường tròn (O) đường kính AB 2R C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN
a Chứng minh BCHK là tứ giác nội tiếp
b Tính tích AH.AK theo R
c Xác định vị trí của K để tổng KM KN KB đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất
đó
Bài 2 : Cho ( ; )O R tiếp xúc với đường thẳng d tại A Trên đường thẳng d lấy điểm H không trùng
A và AH R Qua H kẻ một đường thẳng vuông góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai điểm E và R (E nằm giữa B và H)
a Chứng minh ABE EAH và ABH EAH
b Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp
c Xác định H để AB R 3
Bài 3 : Cho đường tròn (O) có đường kính AB 2R và E là điểm bất kỳ trên đường tròn đó (E khác A,B) Đường phân giác góc AEB cắt đoạn thẳng AB tại F và cắt đường tròn (O) tại điểm thức 2 là K
a Chứng minh KAF KEA
b Gọi I là giao điểm của đường trung trực đoạn EF với OE Chứng minh đường tròn (I) bán kính IE tiếp xúc đường tròn (O) tại E và tiếp xúc với đường thẳng AB tại F
c Chứng minh MN//AB, trong đó M và N lần lượt là giao điểm thứ hai của AE,BE với đường tròn (I)
Bài 4 : Cho đường tròn ( ; )O R và điểm A nằm ngoài (O) Kẻ tiếp tuyến AB,AC với (O)
a Chứng minh ABOC nội tiếp
b Gọi E là giao điểm của BC và OA Chứng minh BE vuông góc với OA và OE OA R2
c Trên cung nhỏ BC của (O) lấy điểm K bất kỳ (K khác B,C) Tiếp tuyến tại K của đường tròn (O) cắt AB,AC theo thứ tự tại các điểm P,Q Chứng minh tam giác APQ có chu vi không đổi khi K di chuyển trên cung nhỏ BC
Trang 5Page | 5
d Đường thẳng qua O và vuông góc với OA cắt các đường thẳng AB,AC theo thứ tự tại các điểm M,N Chứng minh PM QN MN
Bài 5 : Cho đường tròn (O) có đường kính AB 2R và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A
và B) Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B và C) Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F
a Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp
b Chứng minh DADE DB DC
c Chứng minh CFD OCB Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE Chứng minh IC là tiếp tuyến của (O)
d Cho biết DF R Chứng minh tanAFB 2
Bài 6 : Cho đường tròn (O) đường kính AB 2R Gọi d d1; 2 lần lượt là hai tiếp tuyến của (O) tại hai điểm A và B Gọi I là trung điểm của OA và E là điểm thuộc đường tròn (O) (E không trùng A
và B) Đường thẳng d đi qua E và vuông góc với EI cắt hai đường thẳng d d1; 2 lần lượt tại M và N
a Chứng minh tứ giác AMEI nội tiếp
b Chứng minh ENI EBI và MIN 900
c Chứng minh AM BN AI BI
d Gọi F là điểm chính giữa cung AB không chứa E của đường tròn (O) Hãy tính diện tích tam giác MIN theo R khi ba điểm E,I,F thẳng hàng
Bài 7 : Cho ( ; )O R đường kính AB Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H Gọi K là hình chiếu của H trên AB
a Chứng minh tứ giác CBKH nội tiếp
b Chứng minh ACM ACK
c Trên đoạn BM lấy điểm E sao cho BE AM Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C
d Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A Cho P là một điểm nằm trên d sao cho P nằm cùng phía với C đối với đường thẳng AB và AP MB
R
MA Chứng minh đường thẳng PB đi qua
trung điểm của đoạn thẳng HK
Bài 8 : Cho (O) và điểm A nằm ngoài (O) Kẻ 2 tiếp tuyến AM,AN với (O) (M,N là các tiếp
điểm) Một đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C ( AB AC, d không
đi qua tâm )
a Chứng minh tứ giác AMON nội tiếp
b Chứng minh AN2 AB AC Tính độ dài đoạn thẳng BC khi AB 4cm,AN 6cm
c Gọi I là trung điểm của BC Đường thẳng NI cắt (O) tại điểm thứ hai T Chứng minh
MT//AC
d Hai tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau ở K Chứng minh K thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi và thỏa mãn điều kiện đề bài
Bài 9 : Cho ( ; )O R có đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN của ( ; )O R (M khác A,B) Tiếp tuyến của ( ; )O R tại B cắt các đường thẳng AM,AN lần lượt tại các điểm Q,P
a Chứng minh tứ giác AMBN là hình chữ nhật
b Chứng minh 4 điểm M,N,P,Q cùng thuộc một đường tròn
c Gọi E là trung điểm của BQ Đường thẳng vuông góc với OE tại O cắt PQ tại điểm F Chứng minh F là trung điểm của BP và ME//NF
d Khi đường kính MN quay quanh tâm O và thỏa mãn điều kiện đề bài Xác định vị trí của đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất
Trang 6Page | 6
Bài 10 : Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB Lấy điểm C trên đoạn OA (C khác A và O)
Đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB cắt nửa đường tròn tại K Gọi M là điểm bất kỳ trên cung KB (M khác K và B) Đường thẳng CK cắt các đường thẳng AM,BM lần lượt tại H và D Đường thẳng BH cắt nửa đường tròn tại điểm thứ hai N
a Chứng minh tứ giác ACMD nội tiếp
b Chứng minh CACB CH CD
c Chứng minh ba điểm A,N,D thẳng hàng và tiếp tuyến tại N của nửa đường tròn đi qua trung điểm của DH
d Khi M do động trên cung KB Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
Bài 11 : Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB với (O) (B là
tiếp điểm) và đường kính BC Trên đoạn CO lấy điểm I (I khác C và O) Đường thẳng AI cắt (O) tại hai điểm D và E (D nằm giữa A và E) Gọi H là trung điểm của đoạn DE
a Chứng minh bốn điểm A,B,O,H cùng thuộc một đường tròn
b Chứng minh AB BD
c Đường thẳng d đi qua E song song với AO, d cắt BC tại điểm K Chứng minh HK//DC
d Tia CD cắt AO tại điểm P, tia EO cắt BP tại điểm F Chứng minh tứ giác BECF là hình chữ nhật
Bài 12 : Cho (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M,N lần lượt là điểm chính giữa của cung
nhỏ AB và cung nhỏ BC Hai dây AN và CM cắt nhau tại điểm I Dây MN cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại các điểm H và K
a Chứng minh bốn điểm C,N,K,I cùng thuộc một đường tròn
b Chứng minh NB2 NK NM
c Chứng minh tứ giác BHIK là hình thoi
d Gọi P,Q lần lượt là tâm của các đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK và E
là trung điểm của PQ Vẽ đường kính ND của đường tròn (O) Chứng minh 3 điểm D,E,K thẳng hàng