PHUONG TRINH HPT va BPT MU VA LOGARIT

PH ƯƠ NG TRÌNH LÔGARIT. 1.[r]

LUỸ THỪA VÀ LÔGARIT

PHƯƠNG TRÌNH, BPT VÀ HPT MŨ VÀ LƠGARIT

I CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA LUỸ THỪA 1 Các ñịnh nghĩa:

a) Luỹ thừa với số mũ nguyên:

• Nguyên dương: Cho a∈ℝ *

n∈ℤ+, ta có:

a =a, n

a =a a a a

n thừa số

• Số mũ nguyên âm: Cho a≠0 n∈ℤ−, ta có: a0 =1, an 1n a−

=

b) Luỹ thừa với số mũ hữu tỉ: Cho a>0 r∈ℚ Giả sử r m n

= , đó m∈ℤ, 2≤ ∈n ℤ+ Khi đó:

m n

r n m

a =a = a

GHI NHỚ: 1) Khi xét luỹ thừa với số mũ số mũ nguyên âm cơ số a≠0 2) Khi xét luỹ thừa với số mũ khơng ngun số a>0

2 Các tính chất luỹ thừa:

• a am n =an m+ •

m

n m n

a a a

−

= • ( )m n m n

a =a

•( )ab n =a bn n •

n n

n

a a

b b

 

=

    3 Các tính chất bậc n:

Với a, b không âm, số nguyên dương m, n số nguyên p, q tuỳ ý, ta có:

•n n n

ab= a b • ( 0)

n n

n

a a

b b = b >

• ( ) ( 0)

p

n p n

a = a a> •m n mn

a = a

• Nếu p q

n =m ( 0)

n p m q

a = a a> ðặc biệt: n mn m a = a

II CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA LƠGARIT 1 Các định nghĩa:

• Lơgarit số a b: Kí hiệu: logab (0< ≠a 1,b>0) Ta có: logab= ⇔α aα =b

Ta có: logb=lgb=log10b

• Lơgarit tự nhiên b: Là lơgarit cơ số e của số dương b Kí hiệu: ln b Ta có: lnb=logeb

CHÚ Ý: 1) Khơng có lơgarit số số âm aα > ∀ ∈0 α ℝ 2) Cơ số lôgarit phải dương khác

3) Từđịnh nghĩa lơgarit, ta có:

• log 1a =0 • logaa=1

• logaab =b, ∀ ∈b ℝ • alogab =b, ∀ ∈b ℝ,b>0 2 Các tính chất lơgarit:

a) Quy tắc tính lơgarit: Với 0< ≠a 1 b, c >0 , ta có:

• loga( )bc =logab+logac

• loga loga loga b

b c

c

 

= −

 

  •

1

loga logab b= −

•logab logab, ( )

α =α α∈ℝ

•log n log ( *)

a b =n ab n∈ℤ+ b) ðổi cơ số của lôgarit: Với 0< ≠a 1, 0< ≠b 1 c >0 , ta có:

• log log

log a b

a c c

b

= hay logab.logbc=logac

• log

log a

b b

a

= hay logab.logba=1

• logaα c 1.logac α

=

III HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT 1 Hàm số mũ:y=ax, (0< ≠a 1)

• Tập xác định : D=ℝ

• Tập giá trị : T =(0;+∞) (vì ax> ∀ ∈0, x ℝ)

•ðạo hàm: ( )x ' x.ln

a =a a ñặc biệt: ( )x ' x

e =e

( )( ) ( )

' '( ) .ln

u x u x

a =u x a a ñặc biệt: ( )( ) ( )

' '( )

u x u x

e =u x e

• Chiều biến thiên:

a > : hàm sốñồng biến ℝ < a < : hàm số nghịch biến ℝ

2 Hàm số lơgarit: y=loga x, (0< ≠a 1)

• Tập xác định : D=(0;+∞)

• Tập giá trị : T =ℝ

•ðạo hàm: (log )' ln ax

x a

= ñặc biệt: ( )lnx '

x

=

( ) '( )

log ( ) '

( ).ln a

u x u x

u x a

= ñặc biệt: (ln ( ) ') '( ) ( )

u x u x

u x

= • Chiều biến thiên:

a > : hàm sốñồng biến (0;+∞) < a < : hàm số nghịch biến (0;+∞)

•ðồ thị hàm số lơgarit :

IV PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1 Phương trình mũ

• f x( ) ( ) log

a

a = ⇔m f x = m (∀m, 0< ≠a 1)

• ( ) ( )

( ) ( )

f x g x a

a a

f x g x

< ≠



= ⇔

=

 ; •••• [ ] [ ]

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

A x

A x A x A x

f x g x

=

 

= ⇔ < ≠

 =



2 Phương pháp giải:

ðưa phương trình dạng: ( ) ( ) ( ) ( )

f x g x a

a a

f x g x

< ≠



= ⇔

=



Bài mẫu: Giải phương trình: 5x2 −3x2+1 =2(5x2−1−3x2−2)(*) (*)

2

2

5 3.3 2

5

x x

x x

⇔ − = − 2 2

1 3.3 3

5

x x x

   

⇔ −  − = − 

   

2

2

5 3.3 2

5

x x

x x

⇔ − = −

2

2

1 3

5

x x

   

⇔ −  = − 

   

2

3 25

5

5

x x

⇔ =

2 3

5

3

x

   

⇔  = 

   

2

3

x x

⇔ = ⇔ = ±

Bài tập:

1) 2x2− +x 8=41 3x− 2) − − =

2

x 6x

2 16 3) 2x+2x 1− +2x 2− =3x−3x 1− +3x 2− 4) 3x x 1− 5x 2− =12 5)

10

10 15

16 0,125.8

x x

x x

+ +

− = − 6) 2

3x− =18 2x − x.3x+ 7)

5 17

7

243 2187

x x

x x

+ +

− = − 8) 2x−1−3x =3x−1−2x+2 9) 73x+9.52x =52x+9.73x

10)

3

2

2

9 2

x x

x− + = + − x− 11) 2 3x x+1=( )3 x+2 12)

1 5

1

4

2

x

x + x + x

 

  

=  

 

 

13) (0,6) 52 24 12

x

x x − =  x −

 

  14) ( ) ( ) ( )

2

1

3 2

2

x

x x

x

x

−

− −

= 15) 3.4 1.9 6.4 1.9

3

x+ x+ = x+ − x+

b) ðưa về cơ số hàm số:

ðưa phương trình dạng: [ ] ( ) [ ] ( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

A x

A x A x A x

f x g x

=

 

= ⇔ < ≠

 =



Bài mẫu: Giải phương trình: xx =x 2x−3(*) Giải: ðiều kiện: 3

2 x− > ⇔ >x

Ta có: (*)

1

2

2x x

x x −

⇔ = 1 ( )

2

x loai

x x

=  

⇔

= − >



2

x x

= 

⇔

=  Bài tập:

1) ( )

2 4

2 5 4 x 1

x − x− − = 2) (x+4)x2− +5x 6=1 3) x3x2 =( )x x 4)

5 1

2

2

1

x x

x x

+ −

   

=

   

+ +

    5) ( )

2

9 3

2

2 x 2

6) (x2− +x 1) 4−x2 = x2− +x 7) ( )

cos 2 cos

2

x

x x

x x

+

+ = +

2.2 Phương pháp ñặt ẩn số phụñưa về phương trình bậc 2, bậc 3: Bài mẫu: Giải phương trình: 32x2+ −6x 9+4.15x2+ −3x =3.52x2+ −6x 9(*)

Ta có: (*)⇔3.32(x2+ −3x 5)+4.15x2+ −3x =15.52(x2+ −3x 5) ⇔3.92(x2+ −3x 5)+4.15x2+ −3x =15.25(x2+ −3x 5)

2 3 5 3 5

9 15

3 15

25 25

x + −x x+ −x

   

⇔   +   =

   

2

2( 5)

3

3 15

5

x + −x x + −x

   

⇔   +   − =

   

ðặt

2 3 5

3

0

x x t

+ −

 

=  >

  , ta có phương trình:

3 ( )

3 15 5

3

t loai

t t

t

= −

 

+ − = ⇔

=

 Với

3

t= , ta có:

2 3 5 3 5 1

3 3

5 5

x + −x x + −x −

     

= ⇔ =

     

     

2

3

x x

⇔ + − = −

3

4 x

x x

x =



⇔ + − = ⇔ = −



Bài tập:

1) 3x+2+9x+1=4 2) 4x+3+2x+7− =17 3) 51+x2 −51−x2 =24 4) x −53− x −20=0 5) 4x−41+ x =3.2x+ x 6)

1 1

49x −35x =25x 7) 125x+50x =23x+1 8) 2.49x2 −9.14x2 +7.4x2 =0 9)

1 1

1

25x+ +3.10x −2+x =0 10) 4x+ x2−2 −5.2x− +1 x2−2 =0 11) 4x− x2−5−12.2x− −1 x2−5+ =8 0 12)

1

1

3.2 8.2

x x

x

− −

+ − + =

13)

2 3

8 20 x

x x

+

+ − = 14) 32x+4+45.6x−9.22x+2=0 15) 2 92x x−2.63x−1+42x−1.34x−2 =0 16) 8x+18x =2.27x 17)

3

6 12

x

x −

−

 

= −

 

  18)

3 3(1 )

2 x −6.2x −2 −x +12.2−x =1

19)

2x− +2x− +2x− =448 20) 2

2 x−3.2x+ +32=0 21) ( ) x+9.5x +27 5− x+5−x =64

22)

1 1

2.4x +6x =9x 23) ( 2 3) ( 2 3) 4

x x

+ + − = 24) (4+ 15) (x+ −4 15)x =62 25) (2+ 3) (x + +7 3)(2− 3) (x =4 2+ 3) 26) (7+4 3) (x −3 2− 3)x + =2

27) ( ) ( )

5− 21 x +7 5+ 21 x =2x+ 28) ( ) ( ) 3+ x+16 3− x =2x+ 29) (3+ 5) (x+ −3 5)x =7.2x 30) ( ) ( )

3 1+ x− 1− x =2x+

31) 5

6

14 98

x x

x −

 

 −  +

 

+ =

 

   

    32) ( ) ( )

cos cos

7 4

x x

+ + − =

33) ( ) ( )

2

2

1

5 1+ x x− +2+ −x x =3 1− x x− 34) 2

35) 9x+2(x−2).3x+2x− =5 36)

(3 )x 2(1 )x

x − − x+ − =

37) (x+2).4x−2+4(x+1).2x−2− =16 0 38) 8−x.2x+23−x − =x 0

Giải biện luận phương trình sau:

39) (7+3 5) (x+m 7 5− )x =2x+3 40) (5+2 6) (tanx+ −5 6)tanx =m 41) (3+2 2) (tanx+ −3 2)tanx =m

2.3 Phương pháp đặt thừa số chung đưa về phương trình tích: Bài mẫu: Giải phương trình:

2x+ + =3x 6x+2 (*) ðặt

3 x

x a b

 =  

=

 , ta có PT:

0

1

2 ( 1)( 2)

log

2 3 2

x

x

x a

a b ab a b

x b

 =

= = 



+ = + ⇔ − − = ⇔ ⇒ ⇔

=

= =

  

Bài tập:

1) 15x−3.5x+3x=3 2) 2x+1+3.22x= +6 23x

3) 2x+1+3x =6x+2 4) 4x2+x.3x+3x+1=2.x2.3x+2x+6 5) 2 62 13

2 x − +x +2 x − +x = +1 x − x+ 6) 2 3 ( )12 x − +x +2x− = +2 2x− 7) 34x−3+3x−2= +9 35x−7 8) 53 2− x2 +5x2+ −x 1= +5 51+ −x 2x2

9) 2

.2x 12 2x 2x

x + x+ = x +x + + 10) 3

.3x 27 3x

x + x=x + + x

11) x2.2x+1+2x− +3 =x2.2x− +3 4+2x−1 12) ( )7 x+1+7x2−2=7x2+ −x 4+7 2.4 Phương pháp lơgarit hóa:

Dạng 1: u x( ) log u x( ) log ( ) log (0 1)

a a a

a = ⇔m a = m⇔u x = m < ≠a

Dạng 2: ( ) ( ) ( ) ( )

log log ( ) ( ) log b (0 , 1)

u x v x u x v x

a a a

a =b ⇔ a = b ⇔u x =v x <a b≠

Bài mẫu: Giải phương trình:

1

5 500 x

x x −

= (*)

Ta có (*)

3( 1) 3

3 3

2

5 5 log log

x x x

x x x x x x

− − −

−  − 

⇔ = ⇔ = ⇔  =

 

2

3

(x 3) log x (x 3) log x x log

x x

−  

⇔ − + = ⇔ −  + = ⇔ = ∨ = −

 

Bài tập:

1) 3x2−4=325.125x 2) 83( 2) 36.3

x

x

x+ = + 3) 2x2−2x.3x=1,5

4) 6x x =2.92x 5) 3 8 36

x

x x+ = 6)

3 1

5

x

x− x+ =

7) tan4 16002

x

2.5 Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số mũ: Dạng 1: ( ) ( ) ( ) ( )

1

u x u x u x u x

n

a +a + +a =b với 0<a bk, ≠1; Max a ,a , ,a{ n}<b Dạng 2: ( ) ( ) ( ) ( )

1

u x u x u x u x

n

a +a + +a =b với 0<a bk, ≠1; Min a ,a , ,a{ 1 2 n}>b Bài mẫu:

Bài 1: Giải phương trình: 32 1 2

x

x

+ = (*)

Ta có (*) 32 1 2

x

x x

⇔ + =

( )

2

x x

f x    

⇔ =  +  =

   

Do 32

x y= 

  ( )12 x

y= giảm nên ( ) ( )1

2

x x f x =  +

  giảm

Vậy: + Nếu x=2, ta có : ( )

2 2

3

3

(2)

2 4 4

f =  + = + = =VP

  ⇒ x=2 một nghiệm PT + Nếu x >2, ta có: f x( )< f(2)= ∀ >1 x ⇒ PT vô nghiệm

+ Nếu x<2, ta có: f x( )> f(2)= ∀ <1 x ⇒ PT vơ nghiệm Vậy PT có nghiệm nhất x =

Bài 2: Giải phương trình: (4 15) (4 15) ( )2

x x x

+ + − = (*)

Ta có: PT(*) ( ) 15 15

2 2

x x

f x  +   − 

⇔ =  +  =

   

Ta có : 15 2

+ > ; 15

0

2 −

< < nên 15 2

x y= + 

  tăng,

4 15 2

x y= − 

  giảm

Xét khả năng: + Nếu x≥0 thì:

0

4 15 15 15

( )

2 2 2

x x

f x = +  + −  > +  + =

     

+ Nếu x≤0 thì:

0

4 15 15 15

( )

2 2 2

x x

f x = +  + −  > + −  =

     

Vậy phương trình cho vơ nghiệm

Bài 3: Giải phương trình: 2009sin2x−2009cos2x =cos2x(*)

Ta có: PT(*) sin2 os2 2 sin2 os2

2009 x 2009c x cos x- sin x 2009 x sin x 2009c x cos x

⇔ − = ⇔ + = +

ðặt f u( )=2009u+u⇒ f(u) tăng, nên :(*) 2 (sin ) (cos )

f x f x

⇔ =

2 2

sin cos cos sin ,

4

x x x x cox x x π kπ k Z

⇔ = ⇔ − = ⇔ = ⇔ = + ∈

Bài tập:

1) 4 92 7

x

x = +

2) 3 4 52

x

x− =

4) 82 32 2 39

x x

x

− − = 5) 2x+3x+6x =(0,7)x+1 6) 15.2x+4.7x =2,35.10x−6.5x−4.3x 7) 2 5 292

x

x+ x = 8) (2− 3) (x+ +2 3)x =4x 9) ( ) ( ) ( )

6 2− x+ 17 12 3− x+ 34 24 3− x =1 10) ( 3− 2) (x+ 3+ 2) ( )x = x 11) x+xlog 32 =xlog 52 12) x+xlog 32 =xlog 72 −2

13)

(3 )x 2(1 )x

x − − x+ − = 14) x.2x =x(3− +x) 2(2x−1) 15) 8−x.2x+2−x =0 16) (x+2)4x−2+4(x+1)2x−2−16=0 17) 3.25x−2+(3x−10)5x+2+ − =3 x 0 18) 2x+ +3x 5x=10x

2.6 Phương pháp ñánh giá:

Sử dụng BðT Cơsi, Bunhiacopxki Bernoulli đểđánh giá

• BðT Cơsi: Cho a1, , , ., a2 a3 an ≥0 Khi ñó:

1

n n

n

a a a a

a a a a n

+ + + + ≥

dấu “ =” xảy a1 =a2 =a3 = = an ≥0

• BðT Bunhiacopxki:

( )2 ( 2 2)( 2 2)

1.1 2.2 n.n n n

a b +a b + +a b ≤ a +a + +a b + + +b b

dấu “ =” xảy a1 =b1; a2 =b2; ; an =bn

• BðT Bernoulli: Cho t>0 Khi đó:

(1 ) 1

(1 ) 1

t t

t t

α α

α α α

α α

 + − ≥ ∀ ≤ ∨ ≥ 



+ − ≤ ∀ ≤ ≤



dấu “ =” xảy α = hoặc α = Bài tập:

1) 3x+2x =3x+2 2) 3x+5x =6x+2 3) 4x + +5x 6x =12x+3 4) 4x +2x =4x+2 5) 27x =(6x2−4x+1).9x

6) 2 2

8 8

x x

x

x x x x x x x x +

 − + + − −  + − + − − −  =

   

   

V BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ 1 Bất phương trình mũ

( ) ( )

f x g x a >a

0

( ) ( ) ( ) ( )

a

f x g x

a

f x g x

 < <  

<

 

⇔ >

 

>

 

[ ]

0

( 1) ( ) ( )

a

a f x g x

>



⇔

− − >

 2 Phương pháp giải:

a) Phương pháp ñưa về một cơ số: 1)

1

1 1

4 32

4

x x

x x

−

+ ≤ − 2)

4) ( ) ( ) 1

1

5

x x

x − −

+

+ ≤ − 5) ( 2 1) (1 2 1)

x x

x +

−

+ ≤ − 6) ( ) ( )

3

1

10 10

x x

x x

+ +

− +

+ ≤ −

7) 2 2

3x + +3x ≤2.5x+ 8) 72 1

3

3

x x

   

>

   

    9)

2

2 x− +2 x− −2 x− >2−x+2−x−2 −x

10)

8x≥6.9x− 11)

6

2 1

1

2

x− x + −x

   

<

   

    12)

2

3

log log

2 x x <400

13) lg 2 lg 5

3 x+ <3 x+ −2 14) ( )

2

2

4x +2x+1x−x>1 15) ( )2 3x x

x+ − + >

16) (x2− +8x 16)x−6 <1 17) x−1x2− +5x 6<1 18) ( ) ( )

3

2 1 1 1 5

x x

x x

x x x x

+ −

− +

− + > − +

19) ( )

2 2

3

2 1 1 x x

x − ≤ x − + 20)

1

lgx.lg 1

x x< 21) x2lgx≥10 22) xlog2 x ≥2

b) Phương pháp đặt ẩn số phụđưa về phương trình bậc 2, bậc 3: 1) 2.49x2 −9.14x2 +7.4x2 ≥0 2) 2 2 2

25x x− + +9 x x− + ≥34.15 x x− 3) 10 5 x− − x− −4.5x− <5+ x− 4) 2 2

4x − +2 x − >52+4x − 5) 3 22 122 0

x x+ − x+ − <

6) 4

8.3 x+ x +9+ x ≥9 x

7) 4

3x −8.3x+ x+ −9.9 x+ >0 8)

2

0 x x

x −

− + ≤

− 9) 1

1

2−x +1+2x− −1<3(2x− +2−x) 10) 9x − + > −3x 3x 11) 13x− ≤5 2(13x+12)− 13x+5 12) 2(5x+ −4) 5x− ≤3 5x+3

13) (26 15 3+ ) (x+2 7+4 3) (x−2 2− 3)x<1

c) Phương pháp đặt thừa số chung đưa về phương trình tích:

1) 4x2+x+21−x2 ≥2( )x+12 +1 2) 4x2+x.3 x+31+ x <2x2.3 x+2x+6

3) 2

4x+8 2−x > +4 (x −x)2x+x.2x+ 2−x 4) 2

2 5− x−3x +2x>2 3x x 5− x−3x +4x 3x

5) 2 2

.2 x 9( 2).2x ( 2)2 x 2x 16

x + x+ + x ≤ +x + x + x+

d) Phương pháp dùng tính đơn điệu của hàm số mũ: 1) 2x+1+3x+1<6x−1 2)

1

5 29

2 10

x x    

+ >

   

    3)

1

6 10

2

x

x x

+

− > −

4)

2 2

x

x x

− − + ≤

− 5)

2

3

x

x x

− + − ≥

− 6)

1

2 5.3

x x

x x

+ +

− <

− 7)

2

3

8

3

x x

x x

+  

> + 

−   8)

2 1 2 2

4x +x.2+x +3.2x >x 2x +8x+12

e) Bất phương trình mũ chứa tham số: Bài 1: Tìm m để BPT sau có nghiệm:

a) sin2 s2 sin2

2 x+3co x≥m.3 x b) 49x−5.7x+ ≤m 0 c) 4x−m.2x+(m+ ≤3) 0

Bài 2: Tìm m ñể BPT sau:

a) Nghiệm ñúng ∀ ∈x : .4m x+(m−1).2x+2+(m− >1) 0

ℝ

c) Nghiệm ñúng

0 : .2x (2 1).(3 5)x (3 5)x

x m + m

∀ ≤ + + − + + <

d) Nghiệm ñúng 1: .92 (2 1).622 .422 0

2

x x x x x x

x m + m − m −

∀ ≥ − + + ≤

VI PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

1 Phương pháp ñưa số:

ðưa phương trình dạng: log ( ) log ( )

( ) ( )

a a

a

f x g x

f x g x

< ≠



= ⇔

= >



Chú ý: Việc lựa chọn ñiều kiện f x( )>0hoặc g x( )>0 tùy thuộc vào ñộ phức tạp f x( ) g x( ) Bài tập:

1)

2

log (4x+ = +1) x log (2x+ −6) 2) 2 4

2 2

log (x + + +x 1) log (x − + =x 1) log (x +x + +1) log (x −x +1)

3) 3 1 9

3

log (2x −54) log (+ x+ =3) log (x−4) 4) 2 2 1

2

2 log x+log x+log x=9

5)

2

log x+log x=log 6) 3

log x+log x+lg x=6 7) 2

log log

2

x x

 

− + − =

 

  8)

3 27

3 logx x+ =2 4x+log x 9) x.log2x2+ =1 2x+2 log4 x 10) lg lg(5 4)

x

x− =

11) ( )

5 5

(x−1) log log 3+ x+ + =3 log (11.3 - 9)x 12) log3( x+ −1 x )=log9(4 x− +3 1− x)

13)

2 lg 36 lg( 3 1) lg( 6) lg lg

x − + x + x + x+ − x+ + + 14) (lg 1)x − =lg(2x+ −1) lg

15) 1(lg lg 2) lg(1 ) lg

2 x+ + + x = 16) log (4.32 6) log (92 6)

x− − x− =

17) 5 1

3

logx log x

+ −

+

= 18)

2

4

log ( 4) log ( 4)

x +x x − = x − x − 19)

2

4

log ( 3) log ( 3) x +x x − = x − x − 2 Phương pháp ñặt ẩn số phụ:

Nội dung của phương pháp: ðặt ẩn số phụ hàm số lôgarit có phương trình, đưa phương trình phương trình ñại số theo ẩn số phụ

Bài tập:

1) lg− x=3 lgx 2) 22 2 1

2

log x+3log x+log x=2 3) log25 x log5x

x

+ =

4) log (5 -1).log (2.5 - 2) 12 x 4 x = 5) log2( )2 log ( )2 log41 x

x x = 6) lg(2 1) 2 lg( 1) lg ( 1)

x

x x

+ − + =

+ −

+ −

7) log (22 x2).log 12x = 8) 3log2x+xlog 32 =6 9) (x−1)log 4(2[ x−1)] =4(x−1)3

10) (x−2)log 9(3[ x−2)] =9(x−2)3 11)

2 3 3

log (3 3) log x

x

+

+ − = 12)

2

lg 3lg

-2lg

2 10

x x

x

x = −

15)

4 lg− x+2 lg+ x = 16) log2x+ 10 log2x+ =6 0 17) log0,04x+ +1 log0,2x+ =3

18) 3log 16 logx − 16x=2 log2x 19) log 216 log2x64

x + = 20)

3

lg(lg ) lg(lgx + x − =2)

3 Phương pháp mũ hóa: log ( ) ( )

a m

a

f x m

f x a

< ≠



= ⇔

=



Bài tập:

1) log (2 x2−4 +7)x =2 2) log (2x x2− − =3x 4) 3) log (2x x2−4x+ =3) 4) logx+3(3− x2−2 +1x )=2 5) ( ( ))

2

6 2

log log

x + +x x+ +x x − x =

6)

4

2

2

1 log (9 16 )

log (3 )

x x

x

− − = + −

4 Phương pháp sử dụng cơng thức đổi số:

Cơng thức đổi số: log log log c a

c b b

a

= ; logab.logbc=logac; alogcb =blogca

Bài mẫu: GPT: ( ) ( ) ( )

2

log x− x −1 log x+ x − =1 log x− x −1 (*)

Giải: ðiều kiện

2

1

1

x x

x x

 − − >



⇔ ≥



− ≥



Với x≥1 (*) ( ) ( ) ( )

1

2 2

2

log x x log x x log x x

− −

⇔ + − + − = + −

( ) ( ) ( )

2

log x x log x x log x x

⇔ + − + − = + −

⇔log 6.log2 6(x+ x2−1 log) (3 x+ x2− =1) log6(x+ x2 −1)

log6(x x2 log 6.log) 3(x x2 1)

 

⇔ + −  + − − =

Xét ( )

( )

2

2

6

1

log 1 1

1

x

x x x x x

x x

− ≥



+ − = ⇔ + − = ⇔ ⇔ =

− = −



Xét ( ) ( ) log 26

2 3

log 6.log x+ x − = ⇔1 l og x+ x − =1 log 2⇔ +x x − =1

1(3log 26 3 log 26 ) 1

2

x −

⇔ = + ≥

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: x=1 1(3log 26 3 log 26 )

2

x= + −

Bài tập:

1) log2 x+log3x=1 2) log3x+log5x=lg15 3) log log4

4)

2

3 2

1

log log log log

4

x

x x

x

− = + 5) 16 4

2

logx x −14 log xx +40 log x x =0

6)

2

2

2

log log log

x x x+ x= 7)

2

3 ( 4 4)

log ( -14).log

x x

x x + +

− − =

8)

3

9

9

logx logx log x

x− x + x = 9)

3

3

1

.log log log

log 2x

x

x

x− = +

10) log (5 x+20).logx 5=1 11) log1 2− x(6x2−5x+ −1) log1 3− x(4x2−4x+ =1) 12) log3x+7(4x2+12x+ +9) log2x+3(6x2+23x+21)=4 13) log 16 logx2 + 2x64=3

14) logx 2.log (2 x+ =6) 15) log log2 3x=log log3 2x 16) log log2 2x=log log5 5x

17) log log4 2x+log log2 4x=2 18) log log log2 3 4x=log log log4 3 2x

19) log log4 2x+log log2 4x=2 20)log3x+log5+log7 x=log3x.log5x.log7x

5 Phương pháp ñưa phương trình mũ đơn điệu: Bài mẫu: GPT: log (2 x− =1) log5x (1) Giải: ðiều kiện:

-1

x

x x

>



⇔ >



>



ðặt:

2

log

5 (2 1) 2.2 ( )

5 5

log ( -1) -1

u u u

u

u u u u u

u

x u x

f u

x u x

= 

 =

       

⇔ ⇒ = + ⇔ + + = ⇔ = + + =

       

= =      

 

 

Ta có f u( ) giảm f(2)=1 nên f u( )= ⇔1 f u( )= f(2)⇔ =u

Với u=2, ta có

2

log 25

25 -1

log ( -1)

x x

x x

x

= =

 

 

⇔ ⇔ = >

 

=

= 

 



Vậy phương trình cho có nghiệm x = 25 Bài tập:

1) 2 3

8

log (x - - 7)x log + (x - - 8)x

+ = 2)

2

4

log (x − − =x 8) log 3x

3) log (3 x2− −3x 13)=log2x 4)

3

3

log (5+ x)=log ( x−4) 5)

2

log (1+ x)=log x 6) 2.log cot3 x=log cos2 x 7)

3

3.log (1+ x+ x)=2.log x 6 Phương pháp hàm số:

Bài 1: Giải phương trình: (x−2) log ([ 2 x− +3) log (3 x−2)]= +x

Giải: ðiều kiện: x>3

PT log (2 3) log (3 2)

x

x x

x

+

⇔ − + − =

−

ðặt: ( ) log (2 3) log (3 2) '( ) 1

( 3).ln ( 2).ln

f x x x f x x

x x

= − + − ⇒ = + > ∀ >

( )2

1

( ) '( )

2 2

x

g x g x x

x x

+ −

= ⇒ = < ∀ >

− −

Như ( )f x tăng, ( )g x giảm nên phương trình ( )f x =g x( ) có khơng q nghiệm Mặt khác ta có (5)f =g(5)=2 nên phương trình ( )f x =g x( ) có nghiệm x=5 Bài 2: Giải phương trình: log (12 + x2- 5x+ +5) log (3 x2- 5x+ =7)

Giải: ðiều kiện:

- 5

x x+ ≥

ðặt: 2

- 5 -

u= x x+ ≥ ⇒u + =x x+

Khi ta có PT: f u( )=log (12 + +u) log (3 u2+ =2)

Ta có: '( ) 22 u

(1 ).ln (2 ).ln

u f x

u u

= + > ∀ ≥

+ +

( )

f u

⇒ ñồng biến nên phương trình ( )f u =2có khơng q nghiệm Mặt khác ta có: (1)f =2 nên phương trình có nghiệm u=1

Với u=1, ta có 2- 5 2- 4

x

x x x x

x

=



+ = ⇔ + = ⇔  =

 VII BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

Phương pháp giải giống phương trình lơgarit Tuy nhiên cần lưu ý sốđiểm sau:

•••• log ( ) 1

( ) ( )

a m m

a a

f x m

f x a f x a

> < <

 

> ⇔ ∨ 

> < <

 

•••• log ( ) 1

( ) ( )

a m m

a a

f x m

f x a f x a

> < <

 

≥ ⇔ ∨ 

≥ < ≤

 

•••• log ( ) log ( ) 1

( ) ( ) 0 ( ) ( )

a a

a a

f x g x

f x g x f x g x

> < <

 

> ⇔ ∨ 

> > < <

 

•••• log ( ) log ( ) 1

( ) ( ) 0 ( ) ( )

a a

a a

f x g x

f x g x f x g x

> < <

 

≥ ⇔ ∨ 

≥ > < ≤

 

Bài tập:

1) log (3 - )x x >1 2) log x

x> −

− 3)

2

log

-

x x

x ≤

4) logx( 9−x2 − − ≥x 1) 5) log3 x−2 log9x>2 6)

3

2

3log x−4 log x>2

7) log2x64 log 216

x

+ ≥ 8)

2

2

log ( 3)

1

log ( 1) log ( 1)

x

x x x x

+ + >

− + − + 9)

5

log (1+ ≤x) log (2−x)

10) log (3 ) 1x − x > 11) log

x

x> −

− 12)

2

log

3

x

x x− ≤

16) 1 4( )

3

log log x −5 >0 17) 1( ) 5( )

5

log x −6x+ +8 log x− <4

18) 1

3

5

log log

2 x

x+ ≥ 19) logxlog9(3x−9)<1 20) log 2.logx 2x2.log 42 x>1 21) 1

3

4

log x

x+ ≥ 22) log2(x+ ≥ +3) log2(x−1) 23) 18

2 log ( 2) log ( 3)

3

x− + x− >

24) 3 1

2

log log x≥0

  25) log5 3x+4.log 1x > 26)

2 log x x x x − + ≥ + −

27) 1 3

2

log x+log x>1 28) log2x(x2−5x+ <6) 29) log3x x− 2(3− >x)

30) 2

log

2 x x x x +   − + ≥  

  31)

3

1

log log

2 x x x + −   >   +

  32)

2

2

log x+log x≤0 33)

2 16

1 log 2.log

log x x x > − 34)

3 3

log x−4 log x+ ≥9 log x−3

35) 21 2 ( 16 4)

2

log x+4 log x < log− x 36) 6log26x+xlog6x ≤12 37)

3

2

2 log 2x log x x

x − − >

38) ( ) ( )

2

2

log 2x−1 log 2x+ − > −2

39) ( ) ( )

2

2

5 11

2

log 11 log 11

0

2

x x x x

x x

− − − − −

≥

− −

VIII HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LƠGARIT

1 Hệ phương trình, bất phương trình mũ

1 ỵ í ì = + = + 2 y x y x ïỵ ï í ì = + = + -1

4 2

y x y x ỵ í ì = + = 200 y x y y ïỵ ï í ì = -= x y y x ïỵ ï í ì = = -+ 128

3x y

y x ïỵ ï í ì = = y x y x 243 81 27 ïỵ ï í ì = = + + 64 12 64 64 y x y x ï ï í ì = = + + 27 28 3 y x y x ïỵ ï í ì = = 45 75 x y y x 10 ïỵ ï í ì = -= -7 77 2 y x y x 11 ï ï ỵ ïï í ì -= -= + 3 11 2 y x y x 12 ïỵ ï í ì = -= -0 49 16 y x y x 13 ïỵ ï í ì = + = + -18 3 y y x x 14 ïỵ ï í ì = + + + = + 2 2 y y x x 15 ïỵ ï í ì = + = + + + ) ( 2 y y x y x 16 ïỵ ï í ì -= -+ -= -3 2 2 y x x x y y x 17 ïỵ ï í ì = + = + + + + 3 17 2 2 y x y x 18 ( ) ïỵ ï í ì = = 2 324 x x y y 19 ïỵ ï í ì = = -ữ ứ ỗ ố ổ -+ 3 y x y x x y x y 20 ỵ í ì -³ + £ + 2 22 y x y 21 ( ) ( ) ïỵ ï í ì = -+ + = 12 3 2 log

log3

2 Hệ phương trình, bất phương trình lơgarit ỵ í ì = = + ) ( log

3 xy

y x ỵ í ì = -+ + = + 20 log log

log4 4

y x y x ïỵ ï í ì = -= + 20 log log y x x y y x ïỵ ï í ì = = + -2 log 1152 ) (

5 x y

y x ỵ í ì = + = + log log ) ( log 2 y x y x ïỵ ï í ì = + = + log log 81 2 y x y x ïỵ ï í ì = = lg lg ) ( ) ( lg lg y x y x ï ỵ ï í ì = = log log 2 y x xy

9 (( ))

ỵ í ì = + = + log 2 log y x y x y x

10 ( )

( ) ïỵ ï í ì = + = -0 log log y x y x xy xy 11 ( ) ỵ í ì = + =

+ 23

log log y y x x 12 ïỵ ï í ì = + = + 12 log log y x y x x y

15 ( ) ( )

ỵ í ì = -= -+ 1 log log 2 y x y x y x 16 ïỵ ï í ì = + = + 28 lg lg x y x y 17 ïỵ ï í ì = + + + = + + -+ -+ ) ( log ) ( log ) ( log ) ( log 1 ) ( x y x y y x y x 18 ïỵ ï í ì = -= + + + log ) log ( y x y x

x xy x y

19 ( ) ïỵ ï í ì = + = -1 log log ) ( log

5 xy x y

y x xy xy 20 ï ï ợ ùù ỡ = ữ ứ ỗ ố æ -+ = -4 log log log x x y x y x y âg 21 ( ) ïỵ ï í ì = -= log log log x y y x x x y y y 22 ( ) ( ) ï ỵ ï í ì = + + = + log log log log 2 5 2 y x y x y x 23 ï ỵ ï í ì = + -= log log log log 2 2 2 y x y x xy 24 ï ỵ ï í ì = + + = + + = + + log log log log log log log log log 16 9 4 y x z x z y z y x 25 ïỵ ï í ì > + + -< -0 3 log log 2 2 x x x x x

26 ( ) ( )

ỵ í ì + < + + > + + -12 log log log ) ( log 2 x x x x x 35 ïỵ ï í ì -= -= x x y x 2 2 log log log log log 36 ïỵ ï í ì + = = -+1 2 log log 15 log y y y x x x 37 ïỵ ï í ì = + -= + 10 lg log log log log log 4 y x y x

38 ( )

ïỵ ï í ì + = = log log log 2 y y x xy x y x y 13 ( ) ïỵ ï í ì -+ = lg lg lg 81 x y x y x 14 ïỵ ï í ì = = + + 12 x y y x y ü y x