[r]
(1)TRƯỜNG THCS VINH THANH
Sở GD&ĐT Thanh Hoá Kỳ thi tuyển sinh THPT chuyên Lam Sơn 2006 Đề thi thức Mơn thi: Tốn (dùng cho thí sinh thi vào chun Tin) Thời gian làm bài: 150 phút, không k thi gian giao
Câu (2 điểm): Cho
2005 2003
1
7
1
3
1
A .
1 Rót gän A
2 Lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên vµ nhËn x=A lµ nghiƯm
Giải :
1 Ta cã
1 2005
1
2005 2003
7 5 3
2 2005 2003
7
5
3
A
2 Phơng trình bậc hai có hệ số nguyên nhận x=A nghiệm 2x+1= 2005, hay 4x2+4x-2004=0, hay x2+x-501=0.
Câu (2 điểm):
Giải phơng trình sau:
1
5
2
x x
x x
x x
2 2(x2+x+1)2-7(x-1)2=13(x3-1). Giải :
1 §iỊu kiƯn: x≠0
2 20 1
x
Đặt t= x
x
x2
, phơng trình trở thµnh t2+4t+3=0, suy t=-1 vµ t=-3
Víi t=-1, suy x1 Víi t=-3, suy x 1, x=-5
Cả nghiệm thoả mãn điều kin trờn
2 Đặt v=x2+x+1 u=x-1, phơng trình trë thµnh 2v2-7u2=13uv.
Do v>0 với x, chia hai vế cho v2 ta đợc:
v u v
u
13
2
2
Lại đặt v u
t , ta có phơng trình 7t2+13t-2=0 Suy ,
1 t
t ,
- Víi
t , suy
7 1
2
x x
x
, giải phơng trình ta đợc x=2 x=4 - Với t 2, suy
1
2
x x
x
, giải phơng trình ta đợc
2 ,
1
x
x
Cả nghiệm thoả mãn điều kiện bi toỏn Cõu (1,5 im):
Tìm giá trị m cho tổng bình phơng nghiệm phơng trình
2
2
x m m m
x nhận giá trị nhỏ
Giải :
Điều kiện m m2-4m>0, suy m<0 m>4
GV: ĐỖ KIM THẠCH ST
(2)TRƯỜNG THCS VINH THANH
Ta có =m2+8>0 với m, nên phơng trình lu«n cã hai nghiƯm x
1, x2 Ta cã
B=x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=m2-2m+4=(m-1)2+3
B>3, dÊu b»ng x¶y m=1 (loại điều kiện) Xét m<0, ta có B>4, có dÊu b»ng m=0
XÐt m>4, suy B>12, cã dÊu b»ng m=4, vËy B nhá nhÊt b»ng m = Câu (1 điểm):
Cho x, y hai số dơng thoả mÃn x+y=1 Chứng minh r»ng
25
1 2
y y x
x Khi xảy dÊu b»ng Giải :
- Từ bất đẳng thức (a-b)2>0, suy
2
2
2
2
b a b
a
, dấu xảy a=b áp dơng víi
y y b x x
a 1, 1 ta đợc
4 25
4
1
1 1
1
1
2
2
y xy
y x x y
y x
x
Do 4
xy , dÊu b»ng x¶y x=y= 2
1 Câu (2 điểm):
Cho tam giỏc ABC Trên cạnh AB AC lần lợt lấy điểm D E cho BD=AE Gọi K giao điểm BE CD
1 Chøng minh DKE+DAE=1800.
2 Chøng minh nÕu 3BD=AB th× AK vu«ng gãc víi DC
Giải :
F
K A
B C
D
E
1 Ta có tam giác ABE tam giác BCD b»ng (cgc) VËy AEB=BDC,
vËy suy AEB+ADK=1800.
2 Theo ý 1, tø gi¸c ADKE néi tiếp Gọi F trung điểm AD,
AF=FD=DB=AE, chứng tỏ tam giác AED vuông E, suy AKD=900, suy AKDC
C©u (1,5 ®iĨm):
Cho tam giác ABC cố định có diện tích S Trên cạnh AB, BC CA lần lợt lấy điểm M, N, P cho k
PA CP NC BN MB AM
Tìm k để diện tích tam giác MNP nhỏ Tìm giá trị nhỏ
Giải :
GV: ĐỖ KIM THẠCH ST
(3)TRƯỜNG THCS VINH THANH
A
B C
M
N
P
Goi S1, S2, S3 lần lợt diệntích tam
giác AMP, BMN, CPN S diƯn tÝch tam gi¸c ABC
Ta cã
AC AB
AP AM S
S
1
Theo gi¶ thiÕt ta cã
1
k k MB AM
AM k
MB AM
, vËy
1
k k AB AM
, t-¬ng tù,
1
k AC AP
, vËy 2
) (
k k S
S
T¬ng tù
2
) (
k k S
S
, 2
) (
k k S
S
L¹i cã diƯn tÝch tam gi¸c MNP=S-(S1+S2+S3)=
2
) (
3
k k
S VËy diƯn tÝch tam gi¸c MNP nhá nhÊt ( 1)2
3 k
k
lín nhÊt L¹i cã (k+1)2>4k, suy
1 12 k
k
, dÊu b»ng x¶y k=1, M, N, P trung điểm cạnh AB, BC, CA diện tích tam giác MNP bé vµ b»ng
4 S
GV: ĐỖ KIM THẠCH ST