Baùn kính r cuûa ñöôøng troøn noäi tieáp tam giaùc ADE lôùn nhaát khi dieän tích tam giaùc ADE lôùn nhaát nghóa laø M coù vò trí chính giöõa cuûa cung nhoû BC.[r]
(1)1 PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
A TÍNH CHẤT BẤT ĐẲNG THỨC
1 Định nghóa :
• Bất đẳng thức hệ thức có dạng : A > B ⇔ A – B > hay A < B ⇔ A – B <
A ≥ B ⇔ A – B ≥ hay A ≤ B ⇔ A – B ≤ (dạng suy rộng) Trong A, B biểu thức chứa biến số hay số
2 Tính chất :
2.1 a > ⇔ a + m > b + m
2.2 Nếu m > : a > b ⇔ am > bm Neáu m < : a > b ⇔ am < bm
3 Vài tính chất khác :
3.1 Nếu a > b b < a
3.2 Nếu a > b b > c a > c
3.3 Nếu a > b c > d a + c > b + d (tính chất khơng áp dụng cho phép trừ hai đẳng thức chiều)
3.4 Neáu a > b > c > d > ac > bd 3.5 Nếu a > b ab > 1<
a b
3.6 Nếu a > b > n số nguyên dương : an > bn
3.7 Nếu a > b > n số nguyên dương : n a > n b
Ghi :
Các tính chất nêu sử dụng bất đẳng thức suy rộng
4 Vài cách thông thường để chứng minh bất đẳng thức :
• Dựa vào định nghĩa (xét hiệu hai vế) • Dùng phương pháp biến đổi tương đương • Dựa vào bất đẳng thức biết
(2)B PHƯƠNG PHÁP DỰA VAØO ĐỊNH NGHĨA
Muốn chứng minh bất đẳng thức A ≥ B ta xét hiệu A – B chứng minh A – B ≥
Lưu ý :
A2 ≥ A2 + B2 ≥
Và bất đẳng thức :
(A ± B)2 = A2 ± 2AB + B2 ≥
(A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2(AB + BC + CA) ≥
1.1
Chứng minh bất đẳng thức :
1 x4 + y4 ≥ x3y + xy3 2 x4 + y4 + ≥ 4xy
1.2
1 Cho hai số dương x, y chứng minh bất đẳng thức : x3 + y3 ≥ x2y + xy2
2 Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện : x3 + y3 = x – y
Chứng minh bất đẳng thức : x2 + xy + y2 <
1.3
Chứng minh bất đẳng thức :
a2 + b2 + ≥ ab + a + b a2 b2 c2 ab 2bc ca
4 + + ≥ + −
1.4
Chứng minh bất đẳng thức : x2 + y2 + ≥ 2(x + y) + xy
Đẳng thức xảy ?
Gợi ý :
Tách –2x thành x – 3x, đưa hiệu hai vế dạng : ⎛ − + ⎞ + ⎛ − ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
1
2
x y x
1.5
Chứng minh abc = a3 > 36 :
2
2
3 + + > + +
(3)Gợi ý : Tách
a thaønh +2
4 12
a a Đưa hiệu hai vế dạng :
− ⎛ − − ⎞ +
⎜ ⎟
⎝ ⎠
2 3
36
2 12
a b c a
a
C PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
Dùng tính chất bất đẳng thức để biến đổi bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với bất đẳng thức mà ta biết
Cần lưu ý biến đổi tương đương có điều kiện, chẳng hạn : A2 > B2 ⇔ A > B điều kiện A, B >
m > n ⇔ Am > An điều kiện A > m, n nguyên dương
1.6
Chứng minh bất đẳng thức : (a2 + b2)(x2 + y2) ≥ (ax – by)2
2 x + y + z ≥ xy+ yz+ zx (với x, y, z ≥ 0) 1.7
Chứng minh bất đẳng thức : (a6 + b6)(a4 + b4) ≤ 2(a10 + b10)
1.8
Cho ba số dương a, b, c Chứng minh : Nếu a 1<
b
+ <
+ a a c b b c Nếu a 1>
b
+ >
+ a a c b b c 1.9
Cho hai số dương a b x y≤
a b Chứng minh :
+
≤ ≤
+ x x y y a a b b 1.10
1 Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh : < <
(4)Hướng dẫn :
2
⎫ < < ⎪
+ + + + + ⎪
⎪ < < ⎬
+ + + + + ⎪
⎪ < < ⎪
+ + + + + ⎭
a a 2a
a b c b c a b c
b b 2b
a b c c a a b c
c c 2c
a b c a b a b c
⇒ < + < <
+ + +
a b c
1
b c c a a b
1.11
Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác với a ≥ b Chứng minh : a(a2 – 3ab – c2) ≤ b(b2 – 3ab – c2)
1.12
Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện x + y = Chứng minh :
⎛ ⎞
⎛ + ⎞ + ≥
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
1
1
x y
Hướng dẫn :
Trong điều kiện x > 0, y > x + y = ta coù : (x + 1)(y + 1) ≥ 9xy ⇔ xy + x + y + ≥ 9xy
⇔ ≥ 8xy ⇔ ≥ 4xy ⇔ (x + y)2 ≥ 4xy ⇔ (x – y)2 ≥
1.13
Cho a > b > hai số nguyên dương m n với m > n Chứng minh : − > −
+ +
m m n n
m m n n
a b a b
a b a b
1.14
Cho ba số dương x, y, z với x > z y > z Chứng minh :
− + − ≤
z(x z) z(y z) xy 1.15
Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện : x3 + y3 + z3 =
1 Chứng minh bất đẳng thức : ≥ −
2
3
x 2x
1 x Suy : + + >
− − −
2 2
2 2
x y z 2
1 x y z
Gợi ý :
(5)1.16
Cho xy ≥ , chứng minh bất đẳng thức : + − ≥
+ + +
1 0
1 x y xy Hướng dẫn :
Trong điều kiện xy ≥
Bất đẳng thức tương đương với :
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− + −
⎜ + + ⎟ ⎜ + + ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1
1 x xy y xy ≥ ⇔ ………… ⇔
⇔ − − ≥
+ + +
2
2
(x y) (xy 1) 0
(1 x )(1 y )(1 xy) ⇔ xy – ≥ 1.17
Cho x ≥ y ≥ z > Chứng minh :
⎛ + ⎞+ + ≤ + ⎛ + ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 1 1
y (z x) (z x)
z x y z x
Hướng dẫn :
Trong điều kiện x ≥ y ≥ z > 0, chứng minh bất đẳng thức tương đương với y2 + zx ≤ yz + xy ⇔ (y – x)(y – z) ≤
1.18
Tìm số nguyên x, y, z thỏa bất đẳng thức : x2 + y2 + z2 < xy + 3y + 2z – Hướng dẫn :
Do x, y, z số nguyên, bất đẳng thức tương đương với : x2 + y2 + z2 – xy – 3y – 2z + ≤ -1
⇔ 2 ( )
3
4
y y
x xy y z z
⎛ − + ⎞+ ⎛ − + +⎞ − + ≤
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇔ 2
3 ( 1)
2
y y
x z
⎛ − ⎞ + ⎛ − ⎞ + − ≤
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(6)D PHƯƠNG PHÁP TỔNG HỢP
Dựa vào tính chất bất đẳng thức bất đẳng thức suy diễn để tìm bất đẳng thức phải chứng minh
Ta thường dùng bổ đề sau :
A2 + B2 ≥ 2AB (A + B)2 ≥ 4AB + ⎛ + ⎞
≥ ⎜⎝ ⎟⎠
2
A B A B
2
A +
A ≥ (với A > 0) + A B
B A≥ (với AB > 0) + ≥
+
1
A B A B (với A, B > 0) … 1.19
Chứng minh bất đẳng thức :
x2 + y2 + z2 + t2 ≥ (x + y)(z + t)
1.20
Chứng minh :
1 Nếu a + b > a2 + b2 >
2 Neáu a2 + b2 ≤ a + b ≤
1.21
Chứng minh bất đẳng thức :
x4 + y4 + z4 ≥ xyz(x + y + z)
1.22
Chứng minh x2 + y2 = : - 2 ≤ x + y ≤ 2
1.23
Chứng minh : a2 + b2 + c2 = : −1
2 ≤ ab + bc + ca ≤ Hướng dẫn :
Với a2 + b2 + c2 = ta có :
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) ≥
hay
(7)Mặt khác : ⎫
+ ≥
⎪
+ ≥ ⎬
⎪
+ ≥ ⎭
2
2 2
a b 2ab
b c 2bc c a 2ca
⇒ a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
hay ab + bc + ca ≤ (2) 1.24
Cho hai số không âm a, b Chứng minh : (a + b)(ab + 1) ≥ 4ab 1.25
Cho ba số không âm x, y, z Chứng minh : (x + y)(y + z)(z + x) ≥ 8xyz 1.26
Chứng minh bất đẳng thức :
(x + y)2(y + z)2 ≥ 4xyz(x + y + z) Hướng dẫn :
(x + y)2(y + z)2 = (xy + y2 + zx + yz)2
= [(x + y + z)y + zx]2 ≥ 4(x + y + z)y.zx = 4xyz(x + y + z)
1.27
Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện : x + y + z = Chứng minh : y + z ≥ 16xyz
Hướng dẫn :
12 = [x + (y + z)]2 ≥ 4x(y + z) maø y + z >
1(y + z) ≥ 4x(y + z)2 maø (y + z)2 ≥ 4yz
y + z ≥ 4x.4yz = 16xyz 1.28
1 Cho ba số dương x, y, z Chứng minh : x y y z z x 6+ + + + + ≥
z x y
2 Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh :
+ +
+ − + − + −
2a 2b 2c
b c a c a b a b c ≥ Hướng dẫn :
(8)1.29
Cho bốn số dương x, y, z, t thỏa điều kiện : xyzt = Chứng minh x2 + y2 + z2 + t2 + x(y + z) + y(z + t) + z(t + x) + t(x + y) ≥ 12
Gợi ý :
x, y, z, t > vaø xyzt = cho zt = >0
xy ; xy + zt = xy + 1xy ≥ 1.30
Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện : 1 2+ = x y z Chứng minh bất đẳng thức : + + +
− −
x z z y
2x z 2y z ≥ Hướng dẫn :
Tính z theo x, y : z = + 2xy
x y Thế vào vế trái bất đẳng thức phải chứng minh biến đổi :
x z z y x 3y y 3x y x. .
2x z 2y z 2x 2y 2 x 2 y
+ + + +
+ = + = + + +
− −
= ⎛⎜ + ⎞⎟+ ⎛⎜ + ⎞⎟≥ + =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 x y 1 3.2 4
2 2 y x
1.31
Cho ba số dương x, y, z
1 Chứng minh bất đẳng thức : ≤ + +
xy x y
x y
2 Suy : + + ≤ + +
+ + +
1 1 x y z
1 1 1 2
x y y z z x Gợi ý :
2 = + =
+ +
1 xy
1 x y x y
x y xy
(9)1.32
1 Cho hai số dương x, y Chứng minh : + ≥ +
1
x y x y Đẳng thức xảy lúc ?
2 Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác p nửa chu vi Chứng minh :
⎛ ⎞
+ + ≥ ⎜ + + ⎟
− − − ⎝ ⎠
1 1 2 1
p a p b p c a b c
Đẳng thức xảy lúc tam giác có đặc điểm ? 1.33
Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh bất đẳng thức :
+ + > + +
+ − + − + −
1 1 1
a b c b c a c a b a b c Hướng dẫn :
Do bất đẳng thức độ dài ba cạnh tam giác, ta có : a + b – c > b + c – a > c + a – b > Nên : +
+ − + −
1
a b c b c a ≥ + − + + − =
4
a b c b c a b (1)
Tương tự : + ≥
+ − + −
1
b c a c a b c (2)
+ ≥
+ − + −
1
c a b a b c a (3) Từ (1), (2), (3) suy điều phải chứng minh 1.34
Cho hai số dương x,y thỏa điều kiện x+y =1 Chứng minh bất đẳng thức :
+ ≥
+
2
1 6
xy x y Hướng dẫn :
- Dùng bất đẳng thức : (x + y)2 ≥ 4xy tìm : ≥4
xy - Vận dụng bất đẳng thức : + ≥
+
1
a b a b (với a, b > 0) :
⎛ ⎞
+ 2 2 = +⎜ + 2 2 ⎟≥ + 2
1 1 1
(10)1.35
Cho ba số x, y, z thỏa hai điều kieän :
x + y + z = xy + yz + zx = Chứng minh số x, y, z thuộc đoạn 0;4
3 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Hướng dẫn :
x + y + z = ⇔ – x = y + z (2 – x)2 = (y + z)2 ≥ 4yz
4yz = 4[1 – x(y + z)] = 4[1 – x(2 – x)]
(2 – x)2 ≥ 4(x – 1)2 ⇔ x(3x – 4) ≤ ⇔ ≤ x ≤ 4
3 Tương tự với y z
1.36
1 Chứng minh bất đẳng thức : + ≥ ⎜⎛ + ⎞⎟
⎝ ⎠
2
2
a b a b
2
2 Vận dụng để chứng minh có x+ + y z+ = + có : x + y ≥ 2z
1.37
Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện x + y = Chứng minh :
⎛ ⎞
⎛ + ⎞ + + ≥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
1 25
x y
x y
Hướng dẫn :
Vận dụng bất đẳng thức : + ≥ ⎜⎛ + ⎞⎟
⎝ ⎠
2
2
a b a b
2
2
2
1 x y 1 x y
2 x y x y
⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤ ⎛ ⎞
+ + + ≥ + + +
⎢⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎢ ⎝ ⎠ ⎥ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
( )
1 x y x y
4 xy
⎡ + ⎤
= ⎢ + + ⎥
⎣ ⎦ =
2 1
4 xy
⎛ ⎞
+
⎜ ⎟
⎝ ⎠ (do x + y = 1) Mặt khác : (x + y)2 ≥ 4xy hay ≥ 4xy ⇒ ≥4
xy (do xy > 0) Neân : ⎜⎛ + ⎞⎟ +⎜⎛ + ⎞⎟ ≥ ( + ) =
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
2
1 1 25
x y
(11)1.38
1 Chứng minh bất đẳng thức : + + ≥ ⎜⎛ + + ⎞⎟
⎝ ⎠
2
2 2
a b c a b c
3
2 Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện x + y + z = Chứng minh : ⎛⎜ + ⎞⎟ +⎛⎜ + ⎟⎞ +⎛⎜ + ⎞⎟ ≥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
2
1 1
x y z 33
x y z
Hướng dẫn :
2 ⎛⎜ + ⎞⎟ +⎛⎜ + ⎞⎟ +⎛⎜ + ⎞⎟ ≥ ⎛⎜ + + + + + ⎞⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2
2
1 1 1 1
x y z x y z
x y z x y z
= ⎢⎡( + + +) ⎛⎜ + + ⎟⎞⎥⎤ = ⎜⎛ + + + + + + + + + ⎞⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
2
1 x y z 1 1 1 x y z x y z x y z
3 x y z x y z
= ⎡⎢ + + + +⎜⎛ + ⎟ ⎜⎞ ⎛+ + ⎞ ⎛⎟ ⎜+ + ⎟⎞⎥⎤ ≥ ( + + + + + + )
⎝ ⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
2
2
1 1 (1 1) x y y z z x 1 1 2 2
3 y x z y x z
= 1.10 332 >
1.39
1 Cho a > b > 0, so sánh hai số : A = +
+ + a
1 a a B =
+ + +
1 b b b So sánh hai số :
A = 1999+ 2001 B = 2000 1.40
Cho hai số nguyên m n với m > n Chứng minh : Nếu < x < xm < xn
2 Nếu x > xm > xn Hướng dẫn :
Đặt k = m – n >
1 Nếu < x < : < xk < 1k < xn
Nên : xn.xk < xn.1k hay xn.xm – n < xn.1k
xm < xn
2 Neáu x > :
(12)1.41
1 Chứng minh bất đẳng thức : a12 – a9 + a4 – a + >
2 Chứng minh có bất đẳng thức : y ≥ x3 + x2 + |x| +
thì có bất đẳng thức : x2 + y2 ≥
1.42
Cho –1 ≤ x ≤ số nguyên dương n, chứng minh : (1 + x)n + (1 – x)n ≤ 2n
Gợi ý :
Từ –1 ≤ x ≤ suy : ≤ +1 x
2 ≤ vaø ≤ − x
2 ≤ Neân : +⎛⎜ ⎞ ≤⎟ +
⎝ ⎠
n
1 x x
2
− −
⎛ ⎞ <
⎜ ⎟
⎝ ⎠
n
1 x x
2 …
1.43
Cho ba soá không âm thỏa điều kiện : x + y + z =
Chứng minh bất đẳng thức : 4(1 – x)(1 – y)(1 – z) ≤ x + 2y + z Đẳng thức xảy ?
Hướng dẫn :
Do x + y + z = 1, ta coù : – x = y + z Do ≤ y ≤ , ta coù : ≤ – y2 ≤
Từ bất đẳng thức : (a + b)2 ≥ 4ab
4(1 – x)(1 – y)(1 – z) = 4[(y + z)(1 – z)].(1 – y) ≤
≤ (y + z + – z)2.(1 – y) = (1 + y)2(1 – y) = (1 – y2)(1 + y) ≤
≤ + y = x + y + z + y = x + 2y + z Đẳng thức xảy :
2 x z
(1 y )(1 y) y x y z
− = − ⎧
⎪ − + = +
⎨
⎪ + + = ⎩
⇔ x = z =
2 ; y = 1.44
Cho x2 + y2 + z2 = , chứng minh bất đẳng thức :
xyz + 2(xy + yz + zx + x + y + z + 1) ≥
Hướng dẫn :
Trong điều kiện : x2 + y2 + z2 = biến đổi vế trái thành :
(13)xyz + xy + yz + zx + x + y + z + = (x + 1)(y + 1)(z + 1) (1) Vaø
xy + yz + zx + x + y + z + = x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx + x + y + z
= (x y z 1)2
2
+ + + (2)
Mà |x| ≤ , |y| ≤ , |z| ≤ suy điều phải chứng minh 1.45
Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác : ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Gợi ý :
a < b + c vaø a > ⇒ a2 < a(b + c) hay a2 < ab + ca
1.46
Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh bất đẳng thức : abc ≥ (a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)
Hướng dẫn :
a, b, c > 0, a + b > c, b + c > a, c + a > b
a2 ≥ a2 – (b – c)2 hay a2 ≥ (a + b – c)(c + a – b) (1)
Tương tự :
b2 ≥ (b + c – a)(a + b – c) (2) c2 = (c + a – b)(b + c – a) (3)
1.47
Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác với a ≤ b ≤ c Chứng minh bất đẳng thức : (a + b + c)2 ≤ 9bc
Hướng dẫn :
Do a ≤ b neân : (a + b + c)2 ≤ (2b + c)2
Ta chứng minh bất đẳng thức : (2b + c)2 ≤ 9bc
Xét hiệu hai vế : (2b + c)2 – 9bc = (b – c)(4b – c)
Mà b ≤ c nên b – c ≤ 0, ta cịn phải chứng minh : 4b – c ≥ Do a ≤ b nên :
4b – c = 2b + (b + b – c) ≥ 2b + (a + b - c) Mà a + b – c > nên :
(14)1.48
Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh : a2 + b2 + c2 + 2abc <
Hướng dẫn :
Trước hết chứng minh : a < 1; b < ; c < Để có :
(1 – a)(1 – b)(1 – c) > ⇔ – (a + b + c) + ab + bc + ca – abc > Mà a + b + c = 2, nên : -1 + ab + bc + ca – abc >
Vận dụng đẳng thức : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)
ab + bc + ca = (a b c) (a2 b2 c )2 a2 b2 c2
2
+ + − + + = − + +
Ta coù : -1 + - a2 b2 c2 abc
+ + − > hay – (a2 + b2 + c2) – 2abc >
(15)2 VAØI BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG
A BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
1 Định lý :
• Với hai số khơng âm a b, ta có bất đẳng thức : a b ab
2 + ≥ Đẳng thức xảy a = b
2 Hệ :
• Nếu a ≥ 0, b ≥ tổng a + b = k (hằng) tích ab lớn a = b :
max(ab) = k2
4 ⇔ a = b
Trong hình chữ nhật có chu vi hình vng có diện tích lớn
• Nếu a ≥ b, b ≥ tích ab = k (hằng) tổng a + b nhỏ a = b
min(a + b) = k ⇔ a = b
Trong hình chữ nhật có diện tích hình vng có chu vi nhỏ
3 Tổng quát :
• Với a1, a2, …, an n số khơng âm, ta có bất đẳng thức :
1 n n
1 n a a a a a a
n
+ + + ≥
Đẳng thức xảy : a1 = a2 = … = an
2.1
1 Chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm : a b ab
2 +
≥
(16)2.2
1 Cho ba số không âm a, b, c Chứng minh bất đẳng thức : (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc
2 Cho a, b, c ≥ a + b + c = 1, chứng minh bất đẳng thức : a4 + b4 + c4 ≥ abc
2.3
1 Chứng minh rằng, x > : x x 1− ≥
2 Cho x > y > 1, chứng minh bất đẳng thức : x2 y2
y x 1− + − ≥ 2.4
1 Chứng minh bất đẳng thức : 2 a
a +
+ ≥
2 Cho a ≥ b ≥ 1, chứng minh bất đẳng thức : a b b a 1− + − ≤ ab
Gợi ý :
1 2
2
a a 1
a a
+ = + +
+ + a 1− = (a 1).1− 2.5
1 Cho a, b, c ≥ -1
4 a + b + c = Chứng minh bất đẳng thức : 4a 1+ + 4b 1+ + 4c 5+ <
2 Cho a, b, c > 0, Chứng minh bất đẳng thức :
2 2
1 1 a b c
a bc b ca c ab 2abc
+ +
+ + ≤
+ + +
Hướng dẫn :
1 Lưu ý đẳng thức không xảy a2 + bc ≥ 2 a bc = 2a2 bc ⇒
2 a +bc ≤
(17)2.6
Cho ba số dương x, y, z với x > z y > z
Chứng minh bất đẳng thức : z(x z)− + z(y z)− ≤ xy Hướng dẫn :
Bình phương hai vế :
z(x – z) + z(y – z) + z(x z).z(y z)− − ≤ xy ⇔ 2z (x z)(y z)− − ≤ 2z2 + xy – yz – zx
⇔ 2z (x z)(y z)− − ≤ z2 + (x – z)(y – z)
Đây bất đẳng thức theo bất đẳng thức Cauchy với hai số dương z2
vaø (x – z)(y – z) 2.7
Gọi a, b, c ba cạnh tam giác p nửa chu vi p a b c + +
⎛ = ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Chứng minh bất đẳng thức :
(p – a)(p – b)(p – c) ≤ abc 2.8
Gọi R, r S bán kính đường trịn ngoại tiếp, bán kính đường trịn nội tiếp diện tích tam giác vng Chứng minh :
R + r ≥ 2S Hướng dẫn :
Gọi a độ dài canh huyền, b c độ dài hai cạnh góc vng R = a
2 S = (a b c)r2 + + vaø S = 12bc r = bc
a b c+ + Neân :
R + r = a bc a(a b c) 2bc a2 ab ca 2bc
2 a b c 2(a b c) 2(a b c)
+ + + + + +
+ = =
+ + + + + +
Mà theo định lí Pitago : a2 = b2 + c2 neân
R + r = b2 c2 ab ac 2bc (b c)2 a(b c)
2(a b c) 2(a b c)
+ + + + = + + +
+ + + +
(18)R + r = b c
+ ≥ bc 2S= (do S = bc ) 2.9
1 Cho ba số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức : (a + b + c) 1
a b c ⎛ + + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ≤ Vận dụng kết để chứng minh bất đẳng thức :
x y z
y z z x x y 2+ + + + + ≥ với x, y, z ba số dương
Gợi ý :
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số dương :
3 a b c abc 1 3 1 1 .
a b c a b c
⎫ + + ≥
⎪ ⎬
+ + ≥ ⎪
⎭
⇒ (a b c) 1 a b c
⎛ ⎞
+ + ⎜ + + ⎟
⎝ ⎠ ≥
2.10
1 Cho x ≥ y ≥ Chứng minh bất đẳng thức : 3x2 + 7y2 > 9xy2
2 Cho ba số không âm a, b, c Chứng minh bất đẳng thức : a3 + b3 + c3 ≥ a2 bc b ca c ab+ + Gợi ý :
1 Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm :
3x3 + 7y3 = 3x3+3y3 + 4y3 ≥ 33x 3y 4y =3 3 3xy >3xy23 233 = 9xy3
2 a3 + b3 + c3 ≥ 3abc ⇔ 2(a3 + b3 + c3) ≥ a3 + b3 + c3 + 3abc
= (a3 + abc) + (b3 + abc) + (c3 + abc)
a3 + abc ≥ 2 a abc 2a bc3 =
b3 + abc ≥ 2b2 ca c2 + abc ≥ 2c2 ab ……
(19)2.11
Chứng minh bất đẳng thức sau : 4(x2 + y2)3 ≥ 27x2y4
2 x6 y9
+ ≥ 3x2y3 – 16 (với y ≥ 0)
Gợi ý :
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : x2 + y2 = x2 + y2 y2
2 + ≥
2 2
3 x y y 2 … x6 y9
4
+ ≥ 3x2y2 – 16 ⇔ x6 + y9 + 64 ≥ 12x2y3
x6 + y9 + 64 = (x2)3 + (y3)3 + 43 ≥ 33 x y … 6 2.12
Cho ba số dương x, y, z thoả điều kiện : 1 x y z+ + + + + ≥ Chứng minh : xyz ≤
8 Gợi ý :
Điều kiện cho tương đương với : ≥ 2xyz + xy + yz + zx Vận dụng bất đẳng thức Cauchy với bốn số không âm
2.13
1 Cho n số dương : x1, x2, … ,xn Chứng minh : n
2
x x x x +x + +x ≥ n Cho ba số không âm z, y, z thoả điều kiện x + y + z =
Chứng minh : xy2z3 ≤
432 Gợi ý :
2 x + y + z = x + y y z z z
2 3 3+ + + + (=1)
(20)2.14
1 Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện x + y + z = Chứng minh : 16xyz ≤ y + z
2 Cho boán soá dương x, y, z, t thỏa điều kiện :
1 1 3
1 x y z t+ + + + + + + ≥ Chứng minh : xyzt ≤
81 Hướng dẫn :
1 = x + (y + z) ≥ x(y z)+ ⇔ ≥ 4x(y + z)
⇔ y + z ≥ 4x(y + z)2 ⇔ y + z ≥ 4x(2 yz )2 ⇔ y + z ≥ 16xyz
2 Nhaän xeùt :
1 1 1 1
1 x y z t
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
≥⎜ − ⎟ ⎜+ − ⎟ ⎜+ − ⎟
+ ⎝ + ⎠ ⎝ + ⎠ ⎝ + ⎠ = y
z t
1 y z t+ + + + + Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm :
1 y z t
1 x y z t+ ≥ + + + + + ≥ 33
yzt
(1 y)(1 z)(1 t)+ + + Tương tự, nhân theo vế bốn bất đẳng thức tìm :
1
(1 x)(1 y)(1 z)(1 t)+ + + + ≥ 81
xyzt
(1 x)(1 y)(1 z)(1 t)+ + + + xyzt ≤
(21)B BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARTZ
4 Định lí :
• Nếu (a ; b) (z ; y) hai hai số :
(ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2) hay |ax + by| ≤ (a2+b )(x2 2+y )2 Đẳng thức xảy x y
a b= (với qui ước a = x = 0, b = y = 0)
5 Tổng quát :
Nếu (a1 , a2 , … , an) vaø (x1 , x2 , … , xn) hai n số :
(a1x1 + a2x2 + … + anxn)2 ≤ (a12 + a22 + … + an2)(x12 + x22 + … + xn2)
hay |a1x1 + a2x2 + … + anxn| ≤ (a21 +a a22 + + n2)(x12+x22 + + x2n) Đẳng thức xảy n
1 n
x x x
a = a = = a (với qui ước trên) 2.15
Chứng minh bất đẳng thức : (ax + by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 + y2)
2 (ax + by + cz)2 ≤ (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2)
2.16
1 Cho hai số x, y thỏa điều kiện 4x – 6y = Chứng minh : 4x2 + 9y2 ≥ 1
8
2 Cho hai số x, y thoả điều kiện 2x + 3y = Chứng minh : 2x2 + 3y2 ≥
2.17
1 Cho a2 + b2 = x2 + y2 + z2 = Chứng minh bất đẳng thức :
|ax + by + z| ≤
2 Cho xy + yz + zx = Chứng minh bất đẳng thức : x4 + y4 + z4 ≥ 16
(22)2.18 Cho
2 ≤ x ≤ 50
3 , chứng minh bất đẳng thức :
x 1+ + 2x 3− + 50 3x 12− < 2.19
Cho ba số dương x, y, z thoả điều kiện x > z y > z Chứng minh : z(x z)− + z(y z)− ≤ xy
Gợi ý :
z(x z)− + z(y z)− = z x z− + y z z− ≤ (z y z)(x z z)+ − − + = yx
2.20
Cho x + y + z = Chứng minh bất đẳng thức : x2 + 4y2 + 9z2 ≥ 36
49 Gợi ý :
1 =
2 2
2 2
1 1
1.x 2y 3z x (2y) (3z)
2 3
⎡ ⎤
⎛ + + ⎞ ≤ +⎛ ⎞ +⎛ ⎞ ⎡ + + ⎤
⎢ ⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦
⎝ ⎠ ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦
2.21
Cho hai số x, y thỏa điều kiện : (x – 1)2 + (y – 2)2 =
Chứng minh : x + 2y ≤ 10
Hướng dẫn :
[1(x – 1)2 + 2(y – 2)2] ≤ (12 + 22)[(x – 1)2 + (y – 2)2] = 5.5
(x + 2y – 5)2 ≤ 25
x + 2y – ≤ |x + 2y – 5| ≤ x + 2y ≤ 10
2.22
Gọi x0 nghiệm phương trình bậc hai : x2 + px + q = Chứng
minh raèng :
x02 < p2 + q2 + Hướng dẫn :
x02 + px0 + q = ⇔ x02 = - (px0 + q)
(23)p2 + q2 = 40 x x 1+ >
( )( )
4
0
0
0
2
0
x x
x x 1
x x
+ −
− = = −
+ +
x02 < p2 + q2 +
2.23
Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác , đặt p = a b c + + Chứng minh :
p< p a− + p b− + p x− ≤ 3p Hướng dẫn :
- Dùng biến đổi tương đương để có : p < p a− + p b− + p c− - Dùng bất đẳng thức Schwartz để có : p a− + p b− + p c− ≤ 3p 2.24
Cho ba số dương x, y, z Chứng minh bất đẳng thức : xyz(x + y + z) ≤ x3y + y3z + z3x Hướng dẫn :
- Chứng minh bất đẳng thức tương với : x + y + z ≤ x2 y2 z2
z + x + y - Vận dụng bất đẳng thức Schwartz :
2 x z y x z y
z x y
⎛ ⎞
+ +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ≤
≤ ( ) ( ) ( )
2
2
2 2
x y z z x y
z x y
⎡⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎤
⎡ ⎤
⎢⎜ ⎟ +⎜ ⎟ +⎜⎜ ⎟⎟ ⎢⎥ + + ⎥
⎣ ⎦
⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥
⎣ ⎦
2.25
Cho a2 + b2 + c2 + d2 = Chứng minh bất đẳng thức :
(x2 + ax + b)2 + (x2 + cx + d)2 ≤ (2x2 + 1)2 Hướng dẫn :
Vận dụng bất đẳng thức Schwartz :
(x2 + ax + b)2 = (x.x + ax + b.1)2 ≤ (x2 + a2 + b2)(x2 + x2 + 1) (1)
(x2 + cx + d)2 = (x.x + cx + d.1)2 ≤ (x2 + c2 + d2)(x2 + x2 + 1) (2)
(24)C BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
6 Định lí :
• Với hai số thực a, b ta có :
1 |a + b| ≤ |a| + |b| Đẳng thức xảy : ab ≥ |a – b| ≤ |a| + |b| Đẳng thức xảy : ab ≤ Nhắc lại :
1 |a| ≥ |a| = ⇔ a =
2 -|a| ≤ a ≤ |a| - |a| = a = |a| ⇔ a = 2.26
Cho hai số thực a, b Chứng minh bất đẳng thức : |a + b| ≤ |a| + |b| Đẳng thức xảy ? |a – b| ≤ |a| + |b| Đẳng thức xảy ?
Hướng dẫn :
1 Dùng phép biến đổi tương đương :
|a + b| ≤ |a| + |b| ⇔ (a + b)2 ≤ (|a| + |b|)2
⇔ a2 + 2ab + b2 = a2 + 2|ab| + b2 ⇔ ab ≤ |ab| (bất đẳng thức đúng)
Đẳng thức xảy : ab ≥
2 Chứng minh tương tự, đẳng thức xảy : ab ≤ 2.27
Cho |x| < |y | < Chứng minh bất đẳng thức sau : |x + y| < |1 + xy| x y
1 xy −
< − 2.28
Chứng minh bất đẳng thức sau : | x |2
1 x+ ≤ 2 x y 1xy
+ ≤ (với |x| ≥ |y| ≥ 2) 2.29
Chứng minh : -3 ≤ x | x 1| | x | | x | x x
− −
+ +
(25)3 VAØI PHƯƠNG PHÁP KHÁC ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
A PHƯƠNG PHÁP LÀM TRỘI
Dựa vào tính chât bất đẳng thức để biến đổi vế bất đẳng thức thành dạng tính tổng hay tích hữu hạn Thường :
• Để tính tổng hữu hạn ta biến đổi số hạng tổng quát dạng hiệu hai số hạng liên tiếp :
un = an – an –
Từ :
S = (a1 – a2) + (a2 – a3) + … + (an – an + 1) = a1 – an +
• Để tính tích hữu hạn ta biến đổi số hạng tổng quát dạng thương hai số hạng liên tiếp :
un = n
n a a + Từ : P = n
2 n n
a a a a a a a + a +
= • Hoặc xét tính chất hạng tử 3.1
Cho số nguyên n ≥ 1, chứng minh : 1 1
1.2 2.3+ + +n(n 1)+ <
2 1 1
1.3 3.5+ + +(2n 1)(2n 1) 2− + < Hướng dẫn :
1 1
n(n 1) n n 1+ = − +
2 1 1
(2n 1)(2n 1) 2n 2n
⎛ ⎞
= ⎜ − ⎟
(26)3.2
Cho số nguyên n ≥ 2, chứng minh : 1 + 12 12 12
2 +3 + +n < −n 12 12 2 1
2 +4 + +(2n) < −2 4n Hướng dẫn :
1 1
(n 1)n n n− = − −
2 12 12 2 12 12 12
2 (2n) 2 n
⎛ ⎞
+ + + = ⎜ + + + ⎟
⎝ ⎠
3.3
Chứng minh : 1 1001 1002+ + +2000 8> Hướng dẫn :
Ghép biểu thức vế trái thành bốn nhóm nhóm 250 hạng tử làm trội nhóm
3.4
Cho ba số x, y, z không nhỏ -
4 thỏa điều kiện x + y + z = Chứng minh : 4x 1+ + 4y 1+ + 4z 5+ <
Hướng dẫn :
4x 1+ ≤ 4x +4x 1+ = |2x + 1| = 2x + (do x ≥ - 4) 4x 1+ + 4y 1+ + 4z 1+ ≤ 2(x + y + z) + =
Lưu ý : loại trừ trường hợp xảy đẳng thức 3.5
Cho ba số nguyên n > Chứng minh bất đẳng thức :
2
1 1 1 1
n n n 2+ + + + + +n n− + > Gợi ý :
- Hạng tử nhỏ vế trái : 12 n
(27)3.6
Chứng minh với số nguyên n > 1, ta có :
1 1
2 n n 2< + + + + +n n 4+ < Hướng dẫn :
1
n 2n+ >
1 1
n 2n+ > n n 2n+ = (n hạng tử) - Chứng minh bổ đề :
1
n k 2n k 2n+ + − + < (k = ; ; …… ; k ≤ n) - Vận dụng :
1
n 2n 2n+ + < ;
1
n 2n 2n+ + − < ; …
1
2n n 2n+ + < Neân :
2 1 n 3
n n 2n 2n
⎛ + + + ⎞< =
⎜ + + ⎟
⎝ ⎠
1
n n 2+ + + + +2n 4< 3.7
Chứng minh bất đẳng thức (n số nguyên dương) :
2
1 1 1
5 13 25+ + + +n +(n 1)+ <2 Gợi ý :
n2 + (n + 1)2 = 2n2 + 2n + = 2n(n + 1) +
n2 + (n + 1)2 ≥ 2n(n + 1)
2
1 1. 1 1
n (n 1) 2n(n 1) n(n 1) n n
⎛ ⎞
< = = ⎜ − ⎟
+ + + + ⎝ + ⎠
3.8
Chứng minh với số nguyên n ≥ 1 3 .2n 1
2 2n 2n
− ≤
+ Gợi ý :
2 (2n 1)
2n 1− −
(28)B PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG
Ta giả sử bất đẳng thức phải chứng minh sai, kết hợp với giả thiết suy điều vơ lý Điều vơ lý trái với giả thiết, điều trái với điều đúng, hai điều mâu thuẫn … Từ suy bất đẳng thức phải chứng minh
3.9
Cho ba số x, y, z thuộc khoảng (0 ; 1) Chứng minh có ba bất đẳng thức sau sai :
x(1 – y) >
4 y(1 – z) >
4 z(1 – x) > 3.10
Cho bốn số x, y, z, t thỏa điều kiện : x + y = 2zt Chứng minh có hai bất đẳng thức sau :
z2 ≥ x t2 ≥ y
3.11
Cho ba số x, y, z thỏa ba điều kiện :
x + y + z > xy + yz + zx > xyz > Chứng minh ba số x, y, z số dương
Hướng dẫn :
Giả sử x ≤ từ xyz > phải có x < Nếu x < yz <
Do : xy + yz + zx > ta coù : xy + zx > -yz > (do yz < 0) hay : x(y + z) >
Mà x < nên : y + z < Do : x + y + z <
Vơ lí, x > (do x ≠ 0), tương tự : y > ; z > 3.12
Chứng minh ba số a, b, c đồng thời thoả ba bất đẳng thức :
|b – c| > |a| |c – a| > |b| |a – b| > |c|
(29)|b – c| > |a| ⇔ (b – c)2 > a2 ⇔ - (a + b – c)(c + a – b) > (1)
Tương tự :
- (b + c – a)(a + b – c) > (2) - (c + a – b)(b + c – a) > (3)
Tö (1) (2) (3) suy :
- [(a + b – c)(b + c – a)(c + a – b)]2 >
Vơ lí, khơng có ba số a, b, c đồng thời thỏa ba bất đẳng thức nêu
C PHƯƠNG PHÁP TRUY CHỨNG (QUY NẠP TOÁN HỌC)
Cho bất đẳng thức phụ thuộc vào số nguyên dương n Để chứng minh bất đẳng thức với n ≥ n0 , ta thực sau :
1 Kiểm nghiệm bất đẳng thức với n = n0
2 Giả sử bất đẳng thức với n = k (ta có giả thiết quy nạp)
3 Từ chứng minh bất đẳng thức với n = k + (thay n = k + biến đổi để áp dụng giả thiết quy nạp)
Kết luận bất đẳng thức với n ≥ n0
3.13
Cho số nguyên n ≥ 3, chứng minh bất đẳng thức : 2n > 2n +
3.14
Với số nguyên dương n bất đẳng thức sau : 2n > n2
Hướng dẫn : - Thử để thấy :
• Với n = bất đẳng thức
• Với n = 2, 3, bất đẳng thức khơng • Với n = bất đẳng thức
- Giả sử bất đẳng thức với n = k (k ∈ Z k ≥ 5) 2k > k2
- Ta chứng minh bất đẳng thức với n = k + 1, nghĩa : 2k + 1 > (k + 1)2
(30)3.15
Cho số nguyên n ≥ 2, chứng minh bất đẳng thức :
1 13
n n 2+ + + + +2n 24> 3.16
Gọi a, b, c độ dài ba cạnh tam giác vuông (a độ dài cạnh huyền) Chứng minh :
a2n ≥ b2n + c2n (n ∈ N vaø n ≥ 1)
3.17
Chứng minh với giá trị a
2 2
a + a + + a ≤ |a| + Vế trái có n dấu
3.18
Cho số nguyên n ≥ 1, chứng minh bất đẳng thức :
1 1
1 n
2 n
+ + + + <
Hướng dẫn :
Đặt E vế trái bất đẳng thức : - Với n = ta có :
1 < (bất đẳng thức đúng) - Giả sử bất đẳng thức với n = k, nghĩa :
Ek < k
- Ta phải chứng minh bất đẳng thức với n = k + nghĩa : Ek + < k 1+
Thaät vaäy :
Ek + < k +
k 1+ = k k 1k + + + Mà theo bất đẳng thức Cauchy với hai số khơng âm :
2 k k 1+ ≤ k + k + = 2k +
Ek + < 2k 1 2(k 1) k
k k
+ + = + = +
+ +
(31)4 VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM CỰC TRỊ
Coi hàm số f(x) có tập xác định D :
1 k giá trị lớn f(x) thỏa hai điều kiện : a) f(x) ≤ k (k số)
b) Có lúc f(x) = k (nghĩa có giá trị x0 x để có đẳng thức)
Kí hiệu : maxf(x) = k (taïi x = x0)
2 k giá trị nhỏ f(x) thỏa hai điều kiện : a) f(x) ≥ k (k số)
b) Có lúc f(x) = k (nghĩa có giá trị x0 x để có đẳng thức)
Kí hiệu : f(x) = k (tại x = x0)
Như muốn tìm cực trị (giá trị lớn hay nhỏ nhất) hàm số f(x) tập xác định D, ta phải thực hai bước :
• Chứng minh bất đẳng thức
• Tìm điểm D cho ứng với điểm bất đẳng thức trở thành đẳng thức
4.1
1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
A = (2x – 1)2 – 3|2x – 1| +
2 Tìm giá trị lớn biến thức :
B = -(x – 1)2 + 2(|x – 1| + 1) Hướng dẫn :
1 A = (|2x – 1| - 2)
2 + 3
4 ≥ 34 minA = 34 (tại x = 54 x = - 14) B = -(|x – 1| - 1)2 + ≤ maxB = (tại x = x = 0)
4.2
1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
A = x4 – 4x3 + 10x2 – 12x +
2 Tìm giá trị lớn biểu thức :
(32)Gợi ý :
1 A = (x2 – 2x + 3)2 = [(x – 1)2 + 2]2 ≥
2 B = [2 + (x2 – 2x)].2[1 – (x2 – 2x)] = 2 (x2 2x 1)2
4 2
⎡ − − + ⎤≤
⎢ ⎥
⎣ ⎦
4.3
1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = |x – 3| + |x – 5| Tìm số nguyên x để biểu thức :
B = |x – 2| + |x – 3| + |x – 4| + |x – 5| có giá trị nhỏ
4.4
Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + Gợi ý :
P = 2[(x
2 + y2 + + 2xy – 4x – 4y) + (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) + 4]
4.5
Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
E = xy(x – 2)(y + 6) + 12x2 – 24x + 3y2 + 18y + 36 Hướng dẫn :
E = xy(x – 2)(y + 6) + 12x(x – 2) + 3y(y + 6) + 36 = x(x – 2)[y(y + 6) + 12] + 3[y(y + 6) + 12] E = [(x – 1)2 + 2][(y + 3)2 + 3] ≥ 2.3 =
4.6
Cho hai số x, y có tổng Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x3 + y3 + xy
Hướng dẫn :
Trong điều kiện : x + y =
A = x2 + y2 maø 2(x2 + y2) ≥ (x + y)2 =
min A =
(33)4.7
Cho hai số x, y thỏa điều kiện : x2 + y2 = Tìm giá trị lớn :
A = x6 + y6 Gợi ý :
Trong điều kiện x2 + y2 = 1, biến đổi để có :
A = – 3x2y2 ≤
4.8
Cho phương trình có hai ẩn số x, y :
x2 + 3y2 + 2xy – 10x – 14y + 18 =
Tìm x, y để tổng x + y lớn ? Nhỏ ?
Gợi ý :
Đặt phương trình dạng : (x + y – 5)2 + 2(y – 1)2 – =
Neân :
9 – 2(y – 1)2 = (x + y – 5)2 ≥
(x + y – 5)2 ≤ ⇔ |x + y – 5| ≤ ⇔ ≤ x + y ≤
4.9
Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
A = 2
2
4
x x 48
x x
⎛ + ⎞ − ⎛ + ⎞ +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (với x ≠ 0) Gợi ý :
Biến đổi biểu thức dấu thành dạng :
2
2
4
x x 16
x x
⎛ + ⎞ − ⎛ + ⎞+
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =
2
2
4
x x
x x
⎛ + − ⎞ =⎛ − ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
4.10
1 Tìm giá trị lớn phân thức : A = 2 x +2x 5+ Tìm giá trị nhỏ phân thức : B = 2
4 2x x − + − 4.11
Tìm giá trị nhỏ phân thức :
(34)Gợi ý :
E = ( ) ( )
( )
2 2
2
3x 6x x 2x x 1
3
x x
− + + + + ⎛ + ⎞
= + ⎜ − ⎟
⎝ ⎠
− ≥
4.12
Tìm giá trị lớn phân thức : E = 2x22 4x x 2x
− +
− +
Gợi ý :
x2 – 2x + = (x – 1)2 + ≠
E = 2x22 4x (2x22 4x 4) 32
x 2x x 2x (x 1)
− + = − + + = + ≤ + =
− + − + − +
4.13
Tìm giá trị lớn nhỏ phân thức : A = 2x 12
x x + − + Gợi ý :
Caùch :
x2 – x + = x
2
⎛ − ⎞ +
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ≠
A = - (x 1)2 x x
−
− + ≤ A = ( )
2 2 (x 1) 3 x x
+ +
− + ≥ 23 A
3 ≤ ≤ Caùch :
x2 – x + = x
2
⎛ − ⎞ +
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ≠
Ta coù :
A(x2 – x + 1) = x2 + ⇔ (A – 1)x2 – Ax + (A – 1) =
- Nếu A = x =
- Nếu A ≠ Δ = -3A2 + 8A -
-3A2 + 8A – ≥ ⇔ 3A2 – 8A + ≤ ⇔ 2
(35)4.14
1 Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện : x + y = xy Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x + y
2 Cho a ≥ 4, tìm giá trị lớn biểu thức : B = a 2a
−
Hướng dẫn :
1 x > 0, y > : x + y ≥ xy
hay : xy ≥ xy ⇔ (xy)2 ≥ 4xy ⇔ xy ≥
A = x + y ≥ minA = (taïi x = y = 2) a ≥
B = a a (a 4).4
2a 4a 4a
−
− = − = ≤ a 4 1
2.4a − + =
maxA =
8 (taïi a = 8) 4.15
Cho hai số dương x, y có tổng Tìm giá trị nhỏ : E = 12 12
x y
⎛ ⎞
⎛ − ⎞ −
⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠
Hướng dẫn :
Trong điều kiện x, y > x + y = biến đổi E thành dạng : E =
xy +
Mặt khác x + y = xy > tìm : xy ≥ E = (tại x = y =
2) 4.16
1 Cho x > 0, tìm giá trị nhỏ cuûa : A = 8x2 x
+
(36)E = 6x + 4y 4.18
Tìm giá trị x để biểu thức :
A = (x2 2x 3)(x2 2x 9) x 2x
+ + + +
+ + (với x ≠ -1) đạt giá trị nhỏ
Gợi ý :
Biến đổi vận dụng bất đẳng thức Cauchy :
A = ( )
( )
2
2 4 2
2
(x 1) x (x 1) 10(x 1) 16 (x 1)
x
⎡ ⎤
⎡ + + ⎤ + + + + + +
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ =
+ +
=
2 16 (x 1) 10
(x 1)
+ + +
+ ≥
2
2 16
(x 1) 10 18
(x 1)
+ + =
+ Đẳng thức xảy :
(x + 1)2 =
2 16
(x 1)+ ⇔ x
x
= ⎡ ⎢ = − ⎣ 4.19
Tìm giá trị lớn biểu thức : E = |x| 1 x− (với –1 ≤ x ≤ 1) Gợi ý :
E = |x| 1 x− = x (1 x )2 − ≤ x2 (1 x ) 12
2
+ − = 4.20
Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức :
A = x+ + x− (với –1 ≤ x ≤ 1)
Gợi ý :
A2 = + x + 2 1 x− + – x = + 2 1 x− Mà theo bất đẳng thức Cauchy, :
1 + x + – x ≥ (1 x)(1 x)+ − ≥ ⇔ ≥ 1 x− ≥ ⇔ ≥ + 1 x− ≥ hay ≤ A2 ≤ ⇔ 2 ≤ A ≤
4.21
Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện : x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ :
(37)Gợi ý :
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương x, y, z : E = xyz = x + y + z ≥ 33 xyz = 3 E 3
E3 ≥ 27E ⇔ E2 ≥ 27 ⇔ E ≥ 3
4.22
Cho bốn số dương x, y, z, t thỏa điều kiện : 2x + xy + z + yzt = Tìm giá trị lớn :
E = x2y2z2t Gợi ý :
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho bốn số dương : 2x, xy, z, yzt 2x + xy + z + yzt ≥ 44 2x.xy.z.yzt
hay ≥ 4 2x y z t ⇔ 2x4 2 2y2z2t ≤
4
1
4 =256 E = x2y2z2t ≤ 1
512 4.23
Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = x100 – 10x10 + 10 Gợi ý :
P = x100 – 10x10 + 10 = x100 + – x10 +
Trong : x100 + = x100 +
9 so á1 1
⎛ ⎞
+ + +
⎜ ⎟
⎝ ≥ 10⎠ 100 10
9 soá
x 1.1 1 = 10x10
Neân :
P ≥ 10x10 – 10x10 + =
min P = (taïi |x| = 1) 4.24
Cho xy + yz + zx = 1, tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x4 + y4 + z4
Gợi ý :
Vận dụng liên tiếp hai lần bất đẳng thức Schwartz có : A = x4 + y4 + z4 ≥ 1
(38)4.25
Cho biểu thức : E = x 12 + + 2x2− +4 21 3x− Tìm điều kiện biến số x để E có nghĩa
2 Tìm giá trị lớn E giá trị tương ứng x
Hướng dẫn :
- ≤ x ≤ - ≤ x ≤ E2 = ( x 12+ + 2x2− +4 21 3x− 2)2 ≤
≤ (12 + 12 + 12)(x2 + + 2x2 – + 21 – 3x2) = 54
Neân E ≤ 54 :
max E = 54 (taïi x = ± ) 4.26
Cho boán soá x, y, z, t thỏa điều kiện :
1 1 1
x x y y z z t t
4 4
⎛ − ⎞+ ⎛ − ⎞+ ⎛ − ⎞+ ⎛ − ⎞≤
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Tìm giá trị lớn nhỏ : E = x + y + z + t
Hướng dẫn
Điều kiện cho tương đương với :
4(x2 + y2 + z2 + t2) ≤ (x + y + z + t) + (1)
Vận dụng bất đẳng thức Schwartz ta có :
(x + y + z + t)2 ≤ 4(x2 + y2 + z2 + t2) (2)
Từ (1) (2) :
(x + y + z + t)2 ≤ (x + y + z + t) +
hay
E2 ≤ E + ⇔ E2 – E – ≤ ⇔ (E + 1)(E – 2) ≤ ⇔ -1 ≤ E ≤
a) maxE = (taïi x = y = z = t = 2) b) minE = -1 (taïi x = y = z = t = -
(39)4.27
Tìm giá trị nhỏ lớn x cho thỏa hệ điều kiện :
2 2
x a b c
x a b c 13
+ + + = ⎧
⎨
+ + + =
⎩ với a, b, c tham số
Hướng dẫn :
a + b + c = – x a2 + b2 + c2 = 13 – x2
Vận dụng bất đẳng thức Schwartz ta có : (a + b + c)2 ≤ (12 + 12 + 12)(a2 + b2 + c2)
hay (7 – x)2 ≤ 3(13 – x2)
⇔ 2x2 – 7x + ≤ ⇔ (x – 1)(2x – 5) ≤ ⇔ ≤ x ≤ 5
2 a) x = a = b = c =
b) x =
2 a = b = c = 32 4.28
Cho hai số dương x, y thỏa điều kiện x + y =
Tìm giá trị nhỏ biểu thức : E = 8(x4 + y4) +
xy Hướng dẫn :
x > ; y > ; x + y =
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy :
x + y ≥ xy hay ≥ xy ⇔
xy ≥ (1) Vận dụng liên tiếp bất đẳng thức Schwartz :
12 = (x + y)2 ≤ (12 + 12)(x2 + y2) ⇔ 1
2 ≤ (x
2 + y2)
2 ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ≤ (x
2 + y2)2 ≤ (12 +12)(x4 + y4) ⇔ 1
8≤ x
4+y4 ⇔ 8(x4 + y4) ≥ (2)
Từ (1) (2) :
8(x4 + y4) + 1
xy ≥ + = Đẳng thức xảy x = y =
(40)4.29
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) biểu diễn hàm số y = f(x) = x2 điểm A(3 ; 0) Gọi M điểm thuộc (P) có hồnh độ x
0 Tính
x0 để độ dài đoạn thẳng AM nhỏ Gợi ý :
AM2 = |x
A – xM|2 + |yA – yM|2 = x04 + x02 – 6x0 +
= (x2 – 1)2 + 3(x
0 – 1)2 + ≥
min AM = (taïi x0 = ; y0 = 1)
4.30
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) biểu diễn hàm số y = f(x) = -x2
4 điểm A(0 ; -2) Gọi (d) đường thẳng qua A có hệ số góc k Chứng tỏ (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt M N Tính k để độ dài đoạn MN nhỏ
Gợi ý :
Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) :
x2 + 4kx – = Δ’ = 4k2 + ≥
Maët khaùc : MN2 = |x
M – xN|2 + |yM – yN|2 = |xM – xN|2
2
M N
M N
y y
1
x x
⎡ ⎛ − ⎞ ⎤
⎢ + ⎜ ⎟ ⎥
−
⎢ ⎝ ⎠ ⎥
⎣ ⎦
Trong :
(xM – xN)2 = (xM + xN)2 – 4xMxN = (-4k)2 – 4.(-8) = 16(k2 + 2)
vaø : M N
M N
y y k
x x
− =
−
Neân : MN2 = 16(k2 + 2)(1 + k2) ≥ 32 ⇔ MN ≥
MN = (taïi k = 0) 4.31
Cho parabol (P) biểu diễn hàm số y = f(x) = x2
4 hai điểm A B (P) có hồnh độ –2
1 Víêt phương trình đường thẳng AB
2 Tìm điểm M cung AB (P) tương ứng với x ∈ [-2 ; 4] cho tam giác MAB có diện tích lớn
(41)y = 2x + 2 Goïi M (x0 ;
2 x
4 ) tiếp điểm tiếp tuyến (d) (P) song song với AB :
x0 ∈ [-2 ; 4]
Phương trình (d) : y = 2x + k Phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) : x2 – 2x – 4k =
Do (d) tiếp xúc với (P) nên Δ’ =
1 + 4k = ⇔ k = - Phương trình tiếp tuyến (d) : y = 1x
2 −4 Tọa độ tiếp điểm M : (x0 = ; y0 =
4) Mặt khác (P) phía (d), :
2 x
4 ≥ 1 x
2 −4 ⇔ x
2 – 2x + ≥ ⇔ (x – 1)2 ≥ (Bất đẳng thức đúng)
Suy khoảng cách từ M đến AB lớn nhất, diện tích tam giác MAB lớn nhất; M có tọa độ :
M (x0 = ; y0 =
4) 4.32
1 Cho ba số dương a, b, c có tổng số Tìm a, b, c cho ab + bc + ca d0ạt giá trị lớn
2 Giả sử giá bán viên kim cương (hột xoàn) tỉ lệ với bình phương khối lượng Khi đem viên kim cương cắt thành ba phần bán với (đúng tỉ lệ trên) tổng số tiền thu tăng hay giảm trường hợp chia cắt sai biệt giá lớn :
(42)2 2 2
a b 2ab
b c 2bc c a 2ca ⎫
+ ≥
⎪
+ ≥ ⎬
⎪
+ ≥ ⎭
⇒ 2(a2 + b2 + c2) ≥ 2(ab + bc + ca)
hay a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
Mặt khác :
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) ≥ 3(ab + bc + ca)
Neân :
ab + bc + ca ≤ (a b c)2 + +
max(ab + bc + ca) = (a b c)2
+ + (taïi a = b = c)
2 Gọi S khối lượng viên kim cương bị cắt thành khối a, b, c ; A giá trị bán S; x, y, z giá bán a, b, c :
2 2 2 2 2 2
A x y z x y z A (x y z)
S a b c a b c S (a b c )
+ + − + +
= = = = =
+ + − + +
= A (x y z)2 2 2 2 A (x y z) (a b c) (a b c ) 2(ab bc ca)
− + + = − + +
+ + − + + + +
Nên giá bị giảm :
A – (x + y + z) = 2A2
S (ab + bc + ca) Mà theo kết câu (1) : ab + bc + ca ≤ (a b c)2
3 + + Neân :
A – (x + y + z) = 2A S2 2A S =
(43)• Có phương trình ta thử trực tiếp để thấy nghiệm chúng dùng tính chất bất đẳng thức để chứng minh nghiệm phương trình khơng cịn nghiệm khác • Đối với phương trình có dạng f(x)= k (hằng) mà ta chứng
minh f(x) ≥ k f(x) ≤ k nghiệm phương trình giá trị x làm cho có đẳng thức f(x) = k
• Đối với phương trình có dạng f(x) = g(x) mà ta ln có f(x) ≥ k (hằng) g(x) ≤ k nghiệm phương trình giá trị x đồng thời có đẳng thức : f(x) = k g(x) = k
• Ta vận dụng bất đẳng thức quen thuộc (Cauchy , Schwartz …) để giải phương trình
5 VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
5.1
Giải phương trình : x+3+ x−1+2 (x+3)(x−1)=4−2x Hướng dẫn :
– Điều kiện : x ≥
– Do phép thử phương trình có nghiệm : x = – Nếu x > : Vế trái > vế phải < Phương trình có nghiệm x =1
5.2
Chứng tỏ phương trình sau vơ nghiệm : x8 – x5 + x2 – x + = Hướng dẫn :
– Nếu x ≤ : x8 – x5 + x2 – x + >
– Nếu < x < : (x2 – x5) + (1 – x) + x8 >
– Nếu ≤ x : (x8 – x5) + (x2 – x) + >
5.3
(44)Hướng dẫn :
– Điều kiện để phương trình có nghĩa : x ≥
– Thay x = ta nhận thấy nghiệm phương trình – Nếu ≤ x < : Vế trái <
– Nếu x > : Vế trái > 5.4
Giải phương trình : (x2 + 10x + 8)2 = (8x + 4)(x2 + 8x + 7) Hướng dẫn :
– Phương trình viết dạng :
[(x2 + 8x + 7) + (2x + 1)]2 = 4(x2 + 8x + 7)(2x + 1)
– Do bất đẳng thức : (A + B)2 ≥ 4AB Đẳng thức xảy
khi A = B Ta coù :
[(x2 + 9x + 7) + (2x + 1)]2 ≥ 4(x2 + 8x + 7)(2x + 1)
Đẳng thức xảy :
x2 + 8x + = 2x + ⇔ x2 + 6x + = ⇔
⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − = + − = 3 3 x x 5.5
Giải phương trình :
3 19
4 2
2 + + + − + + + + = +
x x x x x x Gợi ý :
2 ) ( ) ( )
(x+ + + x− + + x+ + ≥ + +
2
(x 2) x
x (x 4)
⎧ + = ⎧ = −
⎪ ⇔
⎨ ⎨ =
− =
⎪ ⎩
⎩ ⇔ x ∈ ∅
5.6
Giaûi phương trình :
4
4 2
2 − + = y + y+
x x
Gợi ý :
2 ) (
2 + ≤ −
x
(y + 1)2 + ≥
(45)5.7
Giải phương trình : 3x2+6x 12+ + 5x 10x4 − 2+9 = – x – 2x2 Gợi ý :
2
3(x 1)+ + +9 5(x 1) 4− + ≥ + =
3 – 4x – 2x2 = – 2(x + 1)2 ≤ x = –1
5.8
Giaûi phương trình : 2
2 14 10
19
3x + x+ + x + x+ = + x−x Gợi ý :
9 ) ( 16 ) (
3
4 + + + + +
x
x ≥ + =
4 + 2x – x2 = – (x – 1)2 ≤
Phương trình vô nghiệm 5.9
Giải phương trình : (x2 – 6x + 11)(y2 + 2y + 4) = + 4z – z2 Gợi ý :
[(x – 3)2 + 2][(y + 1)2 + 3] ≥ 2.3 =
2 + 4y – z2 = – (z – 2)2 ≤
(x = ; y = –1 ; z = 2) 5.10
1 Tìm tất cặp số (x , y) thỏa phương trình : 10x2 + 5y2 – 2xy – 38x – 60y + 41 =
2 Tìm nghiệm dương phương trình : x(x + 1)2 + y(y + 1)2 = 8xy Hướng dẫn :
1 Gọi (x0 ; y0) cặp số phải tìm Viết phương trình dạng bậc hai
cuûa x :
10x02 – 2(y0 + 19)2x + (5y02 – 6y0 + 41) =
Điều kiện để phương trình có nghiệm : Δ’ ≥ Δ’ = -49y02 + 98y0 – 49 = -49(y0 – 1)2
-49(y0 – 1)2 ≥ ⇔ (y0 – 1)2 ≤ ⇔ (y0 – 1)2 = ⇔ y0 =
Tìm : x0 =
(46)(y + 1)2 ≥ 4y nên y(y + 1)2 ≥ 4y2
Ta có : x(x + 1)2 + y(y + 1)2 ≥ 4(x2 + y2)
Maø : x2 + y2 ≥ 2xy neân x(x + 1)2 + y(y + 1)2 ≥ 8xy
Đẳng thức xảy : x = y = 5.11
Giải phương trình : x + y + z = 2( x + y−1+ z−2)
Hướng dẫn :
x ≥ , y ≥ , z ≥ Vận dụng bất đẳng thức Cauchy :
⎪ ⎪ ⎭ ⎪⎪ ⎬ ⎫ − ≥ + − − ≥ + − ≥ + ) ( ) ( ) ( ) ( z z y y x x
x + y + z ≥ x +2 y−1+2 z−2
Tìm : (x = ; y = ; z = 3) 5.12
Giải phương trình : (x2 + 1)(y2 + 2)(z2 + 8) = 32xyz
Với x, y, z dương
Hướng dẫn :
⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ ≥ + ≥ + ≥ + 2 2 2 2 z z y y x x
⇒ (x2 + 1)(y2 + 2)(z2 + 8) ≥ 32xyz
(x = ; y = ; z = 2) 5.13
Giải phương trình : x2 + + + − + +x 1 x2 x 1 = x2 – x + Hướng dẫn :
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy :
2
x + − =x (x + −x 1).1 ≤ x2 x 1 + − +
2
x x ( x x 1).1
− + + = − + + ≤ x2 x 1
− + + +
Neân : x2+ − + − + +x 1 x2 x 1 ≤ x + hay x2 – x + ≤ x +
(47)5.14
Giải phương trình : x2 + 2x – = 2
) )( (x2 −x+ x− Hướng dẫn :
Do x2 – x + > neân 3x – ≥ ⇔ x ≥
3 (x2 – x + 1) + (3x – 2) ≥ 2 ( )
) (
2 − + −
x x
x
x2 – x + = 3x – ⇔ x2 – 4x + = ⇔ x = x =
5.15
Giaûi phương trình :
x2 – y2 + 2x + 4y + = 2
) )(
(x2 + x+ −y2 + y− Hướng dẫn :
Do x2 + 2x + = (x + 1)2 + > neân –y2 + 4y – ≥
(x2 + 2x + 3) + (–y2 + 4y – 2) ≥ 2
) )(
(x2 + y+ −y2 + y− x2 + 2x + = – y2 + 4y – ⇔ (x + 1)2 + = – (y – 2)2
(x = –1 ; y = 2) 5.16
Giaûi phương trình : 41+ x +41−x+41− x2 =3
Hướng dẫn : -1 ≤ x ≤
2 1 1
4 +x = + x ≤ +x +
2 1 1
4 −x = −x ≤ −x +
x x
x x
x = + − = − +
− (1 )(1 )
1
4 ≤
2 1+x + −x
4
4
41+x + 1−x + 1−x ≤ 1+ 1+x + 1−x ≤
≤ ) ( ) (
1+ +x + + −x + =
⎪⎪ ⎨ ⎧ = − = + x 1
(48)5.17
Giải phương trình : 12x2 + = 33 )
( 25x x + Hướng dẫn :
5x2 + 5x2 + (2x2 + 9) ≥ 33 2 ) (
5x x x + 5x2 = 2x2 + ⇔ x = ±
3 5.18
Giải phương trình : x−2+ 4−x= x2 −6x+11
Hướng dẫn :
2 ≤ x ≤ 4, vận dụng bất đẳng thức Schwartz :
( )2
4
2 x
x− + − ≤ (12 + 12)(x – + – x) = x
x−2 + 4− ≤ Mặt khác :
x2 – 6x + 11 = (x – 3)2 + ≥
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − − = − ) ( 2 x x x
⇔ x =
5.19
Giaûi phương trình : x+2+ 6−x= x2 −6x+13
Gợi ý : –2 ≤ x ≤
( x+2 + 6−x)2 ≤(12 +12)(x+2+6−x)=16
6 2+ − ≤
+ x
x
x2 – 6x + 13 = (x – 3)2 + ≥
⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − − = + ) ( 2 x x x ⇔ ⎩ ⎨ ⎧ = = x x
⇔ x ∈ ∅
5.20
Giải phương trình : x + 2−x2 =4y2 +4y+3
Gợi ý :
– 2≤ x≤
(49)x + 2 x− ≤
4y2 + 4y + = (2y + 1)2 + ≥
(x = ; y = -2 1) 5.21
Giải phương trình : x x 1+ − − + x x 1+ − − = Hướng dẫn :
Biến đổi vế trái (x ≥ 1)
(x 1) x 4− − − + + (x 1) x 1− − − + = ⇔ ( x 2− − ) (2 + x 3− − )2 =1
⇔ | x | | x | 1− − + − − = ⇔ | x | | 3− − + − x | 1− =
Vận dụng bất đẳng thức : |A| + |B| ≥ |A + B| (đẳng thức xảy : AB ≥ 0) Ta có :
| x | | 3− − + − x |− ≥ | x 3− − + − x | 1− = Đẳng thức xảy :
( x 3− − )( − x 1− ) ≥ ⇔ ≤ x ≤ 10 5.22
Giải phương trình :
2 2
4 4 x− + 1 4x+ + x +y −2y 3− = 4x 16 y 5− − + Hướng dẫn :
Điều kiện để phương trình có nghĩa :
4 2
4 x (1) 4x (2) x 16 (3) x y 2y (4)
⎧ − ≥ + ≥
⎪ ⎨
− ≥ + − − ≥
⎪⎩
- Từ (3) : x4 – 16 ≥ ⇔ (x2 + 4)(x2 – 4) ≥ ⇔ x2 – ≥
- Nhöng theo (1) : – x2 ≥ ⇔ x2 – ≤
- Nên : x2 – = ⇔ x = -2 x =
- Theo (2) x ≥ -
4, nên ta nhận : x =
(50)5.23
Giải hệ phương trình : ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = + xy yz x xy z 2 2
Hướng dẫn :
⎫ ≥ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ≤ ⎪⎭ Do phương trình thứ : xy
4 Do phương trình thứ hai : xy
4
neân xy = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = − = + = 1 2 x z xy ⇔ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = − = − = = = = z ; ; ; ; 1 1 y x z y x 5.24
Giải hệ phương trình : ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + − = − xy x y xy 2
Hướng dẫn :
Do |xy – 4| ≥ neân : – y2 ≥ ⇔ |y| ≤ 2
2 Do xy = x2 + > neân xy = |x|.|y| ≤ |x|.2
2 Suy :
x2 + ≤ |x|.2
2 ⇔ x2 – 2|x| + ≤ ⇔ (|x| - 2)2 = ⇔ x = x = –
(x = ; y = 2) (x = – ; y = –2 2) 5.25
Giải hệ phương trình 2x22 y22 4x 2y 3x 2y 6x 4y
⎧ + − + =
⎪ ⎨
− − − =
⎪⎩ Hướng dẫn :
2
2
2x y 4x 2y 3x 2y 6x 4y
⎧ + − + = ⎪ ⎨ − − − = ⎪⎩ ⇔ 2 2
2(x 2x 1) (y 1) 3(x 2x 1) 2(y 1)
(51)2
x 2x x 2x
⎧ − − ≤
⎪ ⎨
− − ≥
⎪⎩ ⇔ x
2 – 2x – =
Ta coù :
2
x 2x (y 1)
⎧ − − =
⎪ ⎨
+ =
⎪⎩ ⇔
x , y -1 x , y
⎡ = + =
⎢
= − = −
⎢⎣ 5.26
Giải hệ phương trình
2 2
2zx y y x 2xy 2z x 4yz 2z
⎧ + + + = ⎪ + + = ⎨ ⎪ + + = ⎩ Hướng dẫn :
- Do phương trình thứ :
2zx = -(y2 + y + 1) = - y
2 ⎡⎛ ⎞ ⎤ + + ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥
⎣ ⎦ < Neân :
z ≠ x ≠ zx < (1)
- Do phương trình thứ hai :
x(2y + 1) = -2z2 < (do z ≠ 0)
- Do phương trình thứ ba :
2z(2y + 1) = -x2 < (do x ≠ 0)
Suy : 2zx(2y + 1)2 > mà (2y + 1)2 > nên : zx > (2)
Hai điều (1) (2) mâu thuẫn nhau, hệ phương trình vô nghiệm 5.27
Giải hệ phương trình : ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = − = − = − 1 x z z y y x
Hướng dẫn :
Ta có : x = y+ nên x > , y > , z > Địa vị x, y, z nhau, nên giả sử : x ≥ y ≥ z >
(52)5.28
Tìm số nguyên dương n số dương x1, x2 ,…, xn thỏa điều kiện :
⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + + + = + + + 1 2 n n x x x x x x
Hướng dẫn :
4 = n
x x x x x x n n 1 2
1 ⎟⎟≥
⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ +
(do x + ≥2
x với x > 0) 2n ≤ ⇔ n ≤
n = ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = 2 1 x x
⇔ x1 ∈ ∅
n =
⎩ ⎨ ⎧ = = + ⇔ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + 2 1 2 2 x x x x x x x x
⇔ x1 = x2 =
5.29
Giải hệ phương trình :
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = + = + = + x z z z y y y x x 2 2 2 2
Hướng dẫn :
Hệ phương trình có nghiệm : (x = ; y = ; z = 0) Ngoài hệ cho thấy x>0 ; y>0 ; z>0 : y = x
x x x
x ≤ =
+ 2 2 2
(do1 + x2 ≥ 2x)
z ≤ y x ≤ z y ≤ x ≤ z ≤ y
(53)5.30
Giải hệ phương trình : ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + + = + + xyz z y x z y x 4
Gợi ý :
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy : ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = = = z y x 5.31
Giải hệ phương trình :
( ) ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − + − = − + − xy x y y x xy x y y x ) ( 1
Hướng dẫn :
x ≥ , y ≥ Vận dụng bất đẳng thức Cauchy :
2 ) ( )
(y− ≤ y− + = y neân
2 1 ≤ − y y xy x y y x x x y y ≤ − + − ⇔ ≤ − + − 1 1
(x = y = 2) 5.32
Giải hệ phương trình | xy | x22 2 (2x y) 36 y
⎧ = +
⎪ ⎨
− = −
⎪⎩ Hướng dẫn :
- Do phương trình thứ : x ≠ ; y ≠ - Vận dụng bất đẳng thức Cauchy :
|xy| = x2 + ≥ 2 x hay |x|.|y| ≥ 6|x| ⇔ |y| ≥ (1) 2 - Xét phương trình thứ hai, (2x – y)2 ≥ ta có :
36 – y2 ≥ ⇔ y2 ≤ 36 ⇔ |y| ≤ (2)
- Từ (1) (2) :
|y| = ⇔ y = y = -6 Nên : (2x – y)2 = ⇔ x = y
2 Vaäy :
(54)5.33
Giải hệ phương trình : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧
=
= + +
1
3 3xyz
x z z y y x
Hướng dẫn :
– Phương trình thứ cho biết x, y, z dấu
– Kết hợp với phương trình thứ hai : x > ; y > ; z > – Vận dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm: (x = y = z = 1) 5.34
Giaûi hệ phương trình : x y 93 3x y
⎧ =
⎨
+ = ⎩
Hướng dẫn :
Gọi (x0 ; y0) nghiệm có hệ phương trình
- Phương trình thứ cho biết x3 (do x
0) y dấu
- Kết hợp với phương trình thứ hai ta có x0 y0 dương
- Vận dụng bất đẳng thức Cauchy cho bốn số dương : 3x0 + y0 = x0 + x0 + x0 + y0 ≥ 44 x y 30 hay
6 ≥ 44 9 ⇔ ≥ ⇔ ≥ 12
Bất đẳng thức khơng đúng, điều cho thấy hệ phương trình vơ nghiệm
5.35
Tìm tất giá trị x, y thỏa hệ : ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧
≥ +
≤ +
1
2
y x
y x
Hướng dẫn :
Từ x4 + y2 ≤ ta có –1 ≤ x ≤ –1 ≤ y ≤
– Nếu x < phương trình thứ hai y > ( vô lý) – Nếu y < phương trình thứ hai x > (vơ lý)
– Nếu < x < < y < : ≥ x4 + y2 ≥ x5 + y3 ≥ (vô lý)
Vậy : x = x =
(55)5.36
1 Tìm tất số dương x, y thỏa hệ : 3x y x y ⎧ + ≤ ⎪
⎨
⎪ + = ⎩
2 Tìm tất số dương x, y, z thỏa hệ : 3x y z x y z 12 ⎧ + + = ⎪
⎨
⎪ + + ≤ ⎩
Hướng dẫn :
Vận dụng bất đẳng thức Schwartz : (x y)
x y
⎛ ⎞
+ +
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ≤
32 = ⎛ + ⎞ ≤⎛ + ⎞ +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎝ ⎠
⎝ ⎠
2
1 x y (x y) x y
x y ≤
Đẳng thức xảy : x y
1 x y ⎧ = ⎪ ⎨
⎪ + = ⎩
⇔ (x = ; y = 2) (x y z)
x y z
⎛ ⎞
+ + + +
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ≤ 36
62 =
2 x y z
x y z
⎛ ⎞
+ +
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ≤ (x y z)x y z
⎛ ⎞
+ + + +
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ≤ 36
Đẳng thức xảy : x y z
1 x y z 12 ⎧ = = ⎪
⎨
⎪ + + = ⎩
(56)6 VAØI BẤT ĐẲNG THỨC TRONG HÌNH HỌC PHẲNG
A BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC – QUY TẮC BA ĐIỂM
Trong tam giác ABC ta có:
• AB-AC < BC < AB + AC • ABC∧ ≥ ACB∧ ⇔ AC ≥ AB Hai tam giaùc ABC A/B/C/mà có:
AB = A/B/ AC = A/C/
: BC < B/C/ ⇔ ∧
A < ∧ A/
Với ba điểm A, B, C ta ln có : AB + BC ≥ AC
6.1
Cho tam giác ABC điểm M thuộc miền tam giác Chứng minh :
MB + MC < AB + AC
MA + MB + MC < AB + BC +AC < 2(MA + MB + MC)
6.2
Cho tứ giác ABCD có M N trung điểm cạnh đối AB CD Chứng minh : MN ≤
2 BC AD+
Cho tứ giác ABCD có cạnh AB đường chéo AC Chứng minh cạnh BC nhỏ đường chéo BD
6.3
Cho tứ giác ABCD có : AB + BD ≤ AC + CD Chứng minh : AB < AC
6.4
Cho tam giác ABC với điểm M thuộc cạnh BC (M khác B C) Chứng minh bất đẳng thức : MA BC < MB CA + MC AB
Hướng dẫn
Từ M kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC N :
(57)Vận dụng bất đẳng thức tam giác đối tam giác AMN MA < MN + NA hay MA <
BC CA MB BC
AB
MC + …
6.5
Cho tam giác ABC : phân giác góc A, B, C cắt cạnh BC, AC, AB D, E, F Chứng minh :
CF BE
1 AD
1 AC
1 BC
1 AB
1 + + < + +
Hướng dẫn
Qua B kẻ đường thẳng song song với AD cắt AC E : AE = AB Đối với tam giác cân ABE : BE < AB + AE hay BE < 2AB Đối với tam giác BCE (do AD // BF)
CE CA BE
AD = maø CE = AE + AC = AB + AC
AC AC) (AB AD BE AC AB
CA BE
AD ⇒ = +
+
= maø BE < 2AB
2AC 2AB
1 AD
1 > + …
6.6
Cho tam giác ABC có cạnh BC lớn Trên tia đối tia CB lấy CD = CA Chứng minh góc BAD góc tù
6.7
Cho tam giác ABC với trung tuyến AM Chứng minh :
– Nếu BC < 2MA góc A góc nhọn – Nếu BC = 2MA góc A góc vng – Nếu BC > 2MA góc A góc tù Phát biểu chứng minh phần đảo
6.8
Cho hình thang ABCD (AB // BD) có : ADC∧ >BCD∧ Chứng minh : AC > BD
Lược giải
Trên cạnh DC lấy điểm E cho ABED hình thang cân: AE = BD (đường chéo hình thang cân)
(58)Mặt khác tia CA nằm hai tia CB CD nên : BCD∧ >ACE∧ (3) Từ (1), (2), (3) ta có : AEC∧ >ACE∧
Nên tam giác ACE : AC > AE mà AE = BD nên AC > BD 6.9
Cho tam giác ABC (AB < AC) với phân giác BD CE góc B C Trong tam giác ABD kẻ tia AF (F thuộc AC) choDBF∧ =ACE∧ Gọi G giao điểm BF CE
Chứng minh :
CG BD CF BF = Chứng minh : BD < CE
6.10
Cho tam giác ABC (AB < AC) với trung tuyến AM, lấy điểm D thuộc đoạn thẳng AM Chứng minh :
AMB∧ >AMC∧ DBC∧ >DCB∧ Hướng dẫn
1 Xét hai tam giác MAB MAC , : MA chung, MB = MC, AB < AC neân : AMB∧ >AMC∧
2 Xét hai tam giác MDB vaø MDC, : MD chung MB = MC DMB∧ >DMC∧ nên : DB < DC
Trong tam giác DBC, : DB < DC ta coù ∧
> ∧
DCM
DBM hay DBC∧ >DCB∧ 6.11
Cho tam giác cân ABC (AB =AC) Trên tia đối tia BA lấy điểm M cạnh CA lấy điểm N cho BM = CN So sánh chu vi hai tam giác AMN ABC Nhận xét ?
6.12
Cho hình bính hành ABCD có góc A tù Kẻ hai đường chéo AC BD Chứng minh : AC < BD
(59)B ĐƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN
Từ điểm M đường thẳng (d) kẻ đường thẳng vng góc MH các đường xiên MA, MB (các điểm H, A, B thuộc (d)) :
• Đường vng góc đường ngắn :
MA ≥ MH
• Trong hai đường xiên : đường lớn (hay bằng) đường có hình chiếu (d) lớn hay (hay bằng) hình chiếu đường
MA ≥ MB ⇔ HA ≥ HB
• Trong tam giác vng cạnh huyền lớn cạnh góc vng
6.13
Cho tam giác ABC vng góc A có cạnh huyền BC = Kẻ ba trung tuyến AM, BN, CP Chứng minh : < AM + BN + CP <
6.14
Cho tam giác ABC vng góc A với đường cao AH Trên cạnh huyền BC lấy điểm M cho CM = CA Trên cạnh AB lấy điểm N cho AN = AH
Chứng minh MN vng góc với AB
Suy : Trong tam giác vuông tổng độ dài hai cạnh góc vng nhỏ tổng độ dài cạnh huyền đường cao tương ứng
6.15
Cho tam giác ABC vng góc A (AB ≤ AC) Phân giác góc A cắt cạnh BC D Kẻ BH CK vng góc với đường thẳng AD H K Chứng minh : 2AD ≤ BH + CK ≤ BC
6.16
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn có trực tâm H Chứng minh : AB + AC > HA + HB + HC
2(AB + BC + AC) > (HA + HB + HC)
Hướng dẫn
(60)MC > HC (1) NB > HB (2) Đối với tam giác AMH : AM + MH > HA (3)
Từ (1), (2), (3) : MC + NB + AM + MH > HC + HB + HA mà MH = AN
Neân : (AN + NB) + (AM + MC) > HA + HB + HC AB +AC > HA + HB + HC (4)
2 Tương tự : AC + BC > HA + HB + HC (5) BC + AB > HA + HB + HC (6) Nên : 2(AB + BC + AC) > 3(HA + HB + HC) 6.17
Cho hình vng ABCD có độ dài đường chéo Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy điểm E, F, G, H Kẻ EI vng góc với BD I EK vng góc với AC K
Gọi O giao điểm AC BD, chứng minh tứ giác EIOK hình chữ nhật, tính chu vi hình
Chứng minh chu vi tứ giác EFGH không nhỏ
6.18
Cho hai đường tròn (O ; R) (O/ ; r) cắt A B với R ≠ r Kẻ
tieáp tuyeán chung CD: C thuộc (O ; R) D thuộc (O/ ; r) Gọi I giao
điểm AB CD, qua C kẻ đường thẳng song song với AD qua D kẻ đường thẳng song song với AC chúng cắt E
Chứng minh ba điểm A, B, E thẳng hàng Chứng minh : BE > R + r
Hướng dẫn
1 Hai tam giác đồng dạng IAC ICB cho : IC2 = IA IB
Hai tam giác đồng dạng IAD IDB cho : ID2 = IA IB
Từ I trung điểm CD Hai đường chéo hình bình hành ACED cắt trung điểm đường nghĩa I Đường thẳng AB qua I, ba điểm A, B, E thẳng hàng
2 Gọi H giao điểm AB OO/ gọi M trung điểm OO/
Ta có : AB ⊥ OO/ (tại I) AB = 2AH
MI đường trung bình hình thang OCDO/: IM =
2 r R
D O
OC / +
= +
(61)Mà theo tính chất đường vng góc đường xiên : HI ≤ IM Nên : BE = 2HI ≤ IM = R + r
Đẳng thức xảy H trùng M nghĩa R =r, điều trái với giả thiết Vậy : BE < R + r
6.19
Cho tam giác ABC vuông A Đường trịn tâm O đường kính AB đường trịn tâm O/ đường kính AC cịn cắt D Gọi M điểm
chính cung nhỏ CD, tia AM cắt cung AD đường tròn tâm O N
Chứng minh ba điểm O, O/, N thẳng hàng
Chứng minh : 12 /1 2 2 OA +O A ≥ AN
C BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐƯỜNG TRỊN
Cho đường trịn tâm O đường kính AB với hai dây cung MN PQ Kẻ OH vng góc với MN (tại H) OI vng góc với PQ (tại I)
• Đường kính AB dây cung lớn
• Đối với hai dây không nhau, dây lớn có khoảng cách đến tâm nhỏ : MN > PQ ⇔ OH < OI
• Đối với hai cung nhỏ : cung lớn dây căng cung lớn : MN >q PQp ⇔: MN > PQ
6.20
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB với hai dây cung AC AD nửa đường trịn Từ điểm M nửa đường trịn kẻ MH vng góc với AC H MK vng góc với AD K
Chứng minh : HK ≤ AB
6.21
Cho đường tròn tâm O điểm M thuộc miền đường trịn Qua M kẻ dây AB vng góc với OM dây CD Kẻ bán kính OP qua M bán kính OQ vng góc với CD H Chứng minh :
(62)6.22
Cho đường tròn tâm O với hai dây AB CD : AB > CD Biết hai đường thẳng AB CD cắt điểm M miền ngồi đường trịn Gọi H K lần lược trung điểm dây AB CD
1 Chứng minh : OMH OMKn< n Chứng minh : MH > MK
6.23
Trên dây cung AB đường trịn tâm O có hai điểm C D chia dây thành ba phần : AC = CD = DB Kẻ bán kính OE qua C OF qua D
1 Chứng minh : pAE BF= p Chứng minh : AE < EF
6.24
Cho đường tròn tâm O điểm A ngồi đường trịn Kẻ hai cát tuyến ABC ADE cho BC > DE hai tiếp tuyến AF AG (F G hai tiếp điểm) biết hai điểm B F nửa mặt phẳng bờ đường thẳng OA Đường tròn tâm O bán kính OA cịn cắt hai cát tuyến ABC ADE M N, cắt hai cát tuyến AF AG P Q
1 So sánh độ dài hai đoạn thẳng : AP AQ, AM AN So sánh hai góc MAP NAQ
Lược giải
OF ⊥ AP (tại F);OG ⊥ AQ (tạiG) mà OF = OG nên : AP = AQ Kẻ OH ⊥ BC (tại H); OK ⊥ DE (tại K) mà BC > DE ( giả thiết) nên: OH < OK Đối với đường tròn lớn : OH < OK⇒ AM > AN
2 Do tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: : ∧
< ∧
OAQ OAP (1)
Hai tam giác OAM OAN có :
OA chung; OM = ON; AM > AN neân :
∧ ∧
> AON AOM
Đối với tam giác cân OAM OAN
∧ ∧
> AON
AOM , neân : OAM OAN
∧ ∧
< (2)
Từ (1) (2) : OAP∧ − OAM∧ <OAQ∧ −OAN∧ hay :
∧ ∧
(63)6.25
Cho hình vng ABCD có hai đường chéo AC BD cắt O Gọi E, F, G trung điểm CD, OB, OD
1 Chứng minh hai tam giác OAF GFE
2 Chứng minh bốn điểm A, D, E, F thuộc đường tròn , suy AE > DF
D VẬN DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
Đối với bất đẳng thức hình học , nhiều trường hợp ngồi việc sử dụng tính chất bất đẳng thức đại số ta cịn dùng bất đẳng thức đại số quen thuộc kết hợp với kiến thức hình học để chứng minh Khi cần vận dụng bất đẳng thức có dạng lạ, thiết phải chứng minh lại xem bổ đề
6.26
Cho hai hình chữ nhật có chu vi
– Hình thứ có kích thước hai cạnh a b (với a > b) – Hình thứ hai có kích thước hai cạnh c d (với c > b) Biết : a – b > c – d
Chứng minh diện tích hình thứ nhỏ diện tích hình thứ hai
6.27
Chứng minh bất đẳng thức : 3(x2 + y2 + z2) ≥ (x + y + z)2
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh : BC = a, CA = b, AB = c Gọi p nưả chu vi tam giác, chứng minh :
3p c p b p a
p− + − + − ≤ 6.28
Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh a, b, c (với a ≥ b ≥ c) Gọi , hb ,
hc ba chiều cao tương ứng với ba cạnh Chứng minh :
c h
a h b h
c h a h
b h a h
c h c h
b h b h
a h
+ + ≥ + + 6.29
(64)Gợi ý :
Vận dụng bất đẳng thức : ⎟
⎠ ⎞ ⎜
⎝
⎛ + + ≥
− + − +
− c
1 b a c p
1 b p
1 a p
1
chứng minh tập 1.32 6.30
1 Chứng minh diện tích tam giác khơng lớn nửa tích số đo hai cạnh
Cho hình chữ nhật ABCD có diện tích S Gọi M điểm miền hình chữ nhật Chứng minh : S ≤ MA MC + MB MD
Hướng dẫn
2 Lấy điểm N miền hình chữ nhật ABCD cho : NC = MA, ND = MB Hai tam giác NCD MAB nên :
S (NCD) = S (MAB)
Ta coù : S = 2[S(MCD) (+S MAB)] = 2[S(MCD) (+S NCD)]
= S(CMDN) = 2[S(CMN) (+SDMN)] Trong : S (CMN) ≤
2
1 NC MC =
1 MA MC S (DMN) ≤
2
1 ND MD =
1 MB MD Neân : S ≤ (
2
1 MA MC +
1 MB MD) hay S ≤ MA MC + MB MD 6.31
Cho tam giác ABC vng góc A với đường cao AH Trên cạnh AB lấy điểm M cạnh AC lấy điểm N cho : AM = AN = AH Đường thẳng MN cắt tia phân giác góc BAH HAC O O/ Gọi S S
1 diện tích tam giác ABC AMN
Chứng minh O O/ tâm đường trịn nội tiếp tam
giác ABH HAC
Chứng minh : S ≥ 2S1 6.32
Cho tam giác ABC vng góc A : BC = a, CA = b, AB = c với đường cao AH = h Gọi R r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác ABC
Chứng minh : b + c = (R + r) r
a
−
(65)Chứng minh :
2 h
r ≤ < 6.33
Cho tam giác ABC : cạnh BC lấy điểm D, cạnh CA lấy điểm E cạnh AB lấy điểm F (F khác A) cho : DFE∧ = 600 Chứng minh : AE BD ≤
4 AB2
Đẳng thức xẩy ?
6.34
Cho đường tròn tâm I bán kinh r nội tiếp tam giác ABC Chứng minh bất đẳng thức : IA + IB +IC ≥ 6r
6.35
Cho hình vng tam giác có diện tích Hình có chu vi lớn ?
Hướng dẫn
Gọi x cạnh hình vng ; a, b, c độ dài ba cạnh tam giác h độ dài đường cao tương ứng với cạnh a Diện tích hai hình :
S = x2 S =
2 ah
Do tính chất đường vng góc đường xiên : b ≥ h c ≥ h
Nên: b + c > 2h (do hai đẳng thức b=h c=h khơng đồng thời xẩy ra) Ta có : a+ b + c > a + 2h
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số dương a 2h a + 2h ≥ a.2h =2 4S =4 S= 4x Suy : a+ b + c > 4x
6.36
Chứng minh tam giác ABC : sin A ≤
AB.AC
BC 6.37
(66)6.38
Cho tam giác ABC có diện tích S Gọi M điểm tam giác Qua M kẻ ba đường thẳng: đường thứ song song với AB cắt BC D cắt CA E, đường thứ hai song song với BC cắt AB F cắt CA G, đường thứ ba song song với CA cắt AB H cắt BC I Gọi S1, S2,
S3 diện tích tam giác MGE, MHF MDI Chứng minh :
S = ( )2 S S
S + + S ≤ 3(S1 + S2 + S3) Hướng dẫn
1 Các tứ giác MEAH, MFBD, MICG hình bình hành Hai tam giác đồng dạng MEG ABC cho :
2
1
1 S
S EG EG (1)
S AC S AC
⎛ ⎞
=⎜ ⎟ ⇒ =
⎝ ⎠
Tương tự : S2 HM (2) AC
S = AC
GC S
S3
= (3)
Từ (1), (2), (3) :
AC AC AC GC AC AE AC EG S S S S S
S1 + + = + + = =
Neân : S1 + S2 + S3 = S hay S = ( )
2 S S
S + +
2 Vận dụng bất đẳng thức Schwartz :
S = ( )2
3 S S
S + + ≤ (12+ 12+12) (S1 + S2 + S3)
(67)7 VAØI BÀI TỐN TÌM CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC Bài tốn tìm cực trị hình học
Xét tập hợp hình có chung tính chất, ta phải tìm hình mà đại lượng hình (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích…) đạt giá trị nhỏ hay lớn Bài toán gọi tốn tìm cực trị hình học
Cách giải
Ta thường giải theo hai hướng sau : A Cách
Thay điều kiện đại lượng cần tìm cực trị điều kiện tương đương khác Từ đến việc xác định vị trí điểm đại lượng đạt cực trị (điều kiện xẩy đẳng thức)
B Caùch
Chỉ hình tập hợp hình chứng minh hình khác tập hợp có yếu tố nhỏ hay lớn yếu tố tương ứng hình
C Ghi
Trong nhiều tốn tìm cực trị hình học
– Ta cịn dùng kiến thức đại số hay diện tích
– Cũng có ta thay việc tìm giá trị lớn đại lượng việc tìm giá trị nhỏ đại lượng khác hay ngược lại
7.1
Coi tập hợp tam giác ABC vng góc A có tổng độ dài hai cạnh góc vng : AB + AC = k số Tìm tam giác có chu vi nhỏ ?
Lược giải
Chu vi tam giaùc ABC : AB + AC + BC
(68)BC2 = AB2 + AC2 = (
2
k + x)2 + (
2
k – x)2 =
2 k2
+ 2x2 ≥
2 k2
Đẳng thức xẩy : x = nghĩa AB + AC = k
Vậy tập hợp tam giác ABC vng góc A có tổng độ dài hai cạnh góc vng số tam giác vng cân có chu vi nhỏ 7.2
Cho góc nhọn xOy điểm M thuộc miền góc Một đường thẳng (d) qua M cắt tia Ox, Oy A B Xác định vị trí (d) để :
MB
MA1 + đạt giá trị lớn Lược giải
Qua O kẻ đường thẳng song song với đường thẳng (d) qua M kẻ đường thẳng song song với Ox Chúng cắt N, tứ giác OBMN hình bình hành nên : ON = MB
Gọi I giao điểm MN Oy Do M điểm cố định MN song song với Ox nên I điểm cố định
Qua I kẻ đường thẳng song song với (d) cắt OM J
Vận dụng hệ định lí Talet tam giác OMA OMN :
IJ // AM
OM OJ
MAJI = (1) IJ // NO
OM MJ
ONJI = maø ON = MB Neân :
OM MI MBJI = (2)
Từ (1), (2): IJ
OM OM OM
MJ OJ MB
1 MA
1 + = + = =
⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜
⎝ ⎛
IJ MB
1 MA
1 + =
⇒ Vaäy
MB
MA1 + đạt giá trị lớn IJ1 lớn ⇔IJ nhỏ
Do xOy < 90∧ 2 nên yOM∧ < 900 điểm I cố định, OM cố định nên : IJ
nhỏ ⇔ IJ ⊥ OM ⇔(d) ⊥ OM
7.3
(69)Lược giải
Qua O kẻ đường thẳng (d/) vng góc với OA
cắt AB AC M/ N/ Tam giác
AM/N/ cân A (do có AO vừa đường cao
vừa phân giác góc A) cho ta : AM/ =
AN/ có diện tích khơng đổi
Khơng tính tổng qt, giả sử : AM ≥ AM/ = AN/ ≥ AN
Do AO đường phân giác góc BAC nên :
AN AM ON
OM = Maø : AM ≥ AN nên : OM ≥ ON
Vậy có điểm D thuộc đoạn thẳng OM để OD = ON Hai tam giác ODM/ ONN/ có : ∧ / = ∧ /
NON
DOM (góc đối đỉnh); OD = ON; OM/ =ON/ Chúng nhau, nên có diện tích nhau, suy :
S (OMM/) ≥ S (ONN/)
S (AMN) ≥ S (AN/M/) (= không đổi)
Đẳng thức xẩy : OM = ON, tam giác AMN cân A nên trung tuyến AO đường cao, hay đường thẳng (d) vng góc với OA O
A VẬN DỤNG QUY TẮC BA ĐIỂM
• Dối với ba điểm A, B, C ta có : AB + BC ≥ AC Đẳng thức xẩy B nằm A C
7.4
Cho đường thẳng (d) hai điểm A B không thuộc (d) thuộc nửa mặt phẳng bờ (d) Xác định điểm M thuộc (d) cho MA + MB đạt giá trị nhỏ
7.5
Cho tứ giác ABCD điểm M thuộc miền tứ giác Xác định vị trí M để tổng : MA + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ ?
7.6
(70)Chứng minh MA khoảng cách nhỏ nối M với điểm (O)
Chứng minh MB khoảng cách lớn nối M với điểm (O)
7.7
Cho tam giác ABC vng góc A với đường cao AH Coi góc vng xHy : tia Hx cắt cạnh AB D tia Hy cắt cạnh AC E Xác định vị trí D E để DE có độ dài nhỏ
7.8
Cho đường tròn tâm O đường kính AB điểm C cố định nằm O A Điểm M di động đường tròn
Xác định vị trí M để độ dài CM lớn ? nhỏ ?
Hướng dẫn
CM ≤ OC + OM = OC + OB = BC (haèng)
Nên CM lớn O thuộc CM nghĩa M trùng B Mặt khác : CM ≥ OM – OC = OA – OC = AC(hằng) Nên CM nhỏ M trùng A
7.9
Trong tứ giác ABCD có :
– Độ dài hai đường chéo AC BD khơng đổi
– Góc lập hai đường chéo có số đo khơng đổi Hỏi tứ giác có chu vi nhỏ ?
Lược giải
Dựng hình bình hành ADBE BDCF AE // BD AE = BD CF // BD CF = BD tứ giác AEFC hình bình hành
Chu vi tứ giác ABCD: AB + BC + CD + DA = (AB + CD) + (BC + DA)
Mà CD = BF DA = BE (cạnh đối hình bình hành) Nên : Chu vi (ABCD) = (AB + BF) + (CB + BE)
Chu vi (ABCD) ≥ AF + CE
Chu vi tứ giác ABCD nhỏ điểm B thuộc đoạn thẳng AF thuộc đoạn thẳng CE, nên : CD // AB AD // BC
(71)B VẬN DỤNG ĐƯỜNG VNG GĨC VÀ ĐƯỜNG XIÊN
Từ điểm M không thuộc đường thẳng (d) kẻ đường vng góc MH đường xiên MA, MB với (d) (các điểm H, A, B thuộc (d)) : MA ≥ MH Đẳng thức xẩy A
truøng H
MA ≥ MB ⇔HA ≥ HB
7.10
Cho tam giác ABC vng góc A với đường cao AH Coi điểm M thuộc cạnh huyền BC, kẻ MD ME vng góc với AB AC D E Định vị trí M để đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ
7.11
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn với điểm M thuộc cạnh BC, kẻ MD ME vng góc với AB AC D E Xác định vị trí M để đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ nhất?
Hướng dẫn
Gọi O trung điểm AM, tính chất trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác vuông : OA = OD = OM = OE (= )
2 AM Tam giác cân ODE (OD = OE) coù :
∧ ∧
∧
+ =DOM MOE
DOE = (
∧ ∧
+ OAE
DAO ) =
∧
BAC (hằng) Kẻ OI vng góc với DE (tại I): DOI∧ = BAC∧ DE = 2DI Kẻ đường cao AH tam giác ABC : AM ≥ AH
DE = 2DI = 2OD.sin DOI∧ = AM sin
∧
BAC ≥ AH sin
∧
BAC (hằng) Đằng thức xẩy điểm M trùng điểm H Vậy đoạn thẳng DE có độ dài nhỏ điểm M trùng chân H đường vng góc kẻ từ A đến BC
7.12
(72)7.13
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn điểm M miền tam giác Chứng minh : BC.MA ≥ [diện tích (MAB) + diện tích (MCA)] Xác định vị trí M để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ
MA.BC + MB.CA + MC.AB
7.14
Cho đường tròn (O; R) đường thẳng (d) ngồi đường trịn Lấy điểm M (d), kẻ hai tiếp tuyến MA, MB (A, B hai tiếp điểm) Xác định vị trí M để bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MAB đạt giá trị nhỏ
Hướng dẫn
Gọi I H giao điểm MO với cung nhỏ AB dây AB, dễ thấy I tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB IH bán kính đường tròn
IH = OI – OH = R – OH
Do hệ thức lượng tam giác vuông OMA : OA2= OM.OH ⇒ OH =
OM R OM OA2 = neân IH = R –
OM R2
Kẻ OC vng góc với (d) C, tính chất đường vng góc đường xiên :
OM ≥ OC (hằng ) IH nhỏ
OM
R2 lớn ⇔ OM nhỏ nghĩa M trùng C Vậy bán kính đường trịn nội tíep tam giác MAB nhỏ M chân đường thẳng vng góc kẻ từ O đến đường thẳng (d)
C VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC TRONG ĐƯỜNG TRÒN
Cho đường trịn (O) đường kính AB dây cung MN, đường kính dây cung lớn nhất, ta ln có : MN ≤ AB
(73)7.15
Cho đường tròn tâm O điểm A miền đường tròn (A khác O) Một đường thẳng (d) qua A cắt đường tròn M N, gọi H trung điểm MN
Chứng minh điểm H thuộc đường tròn xác định
Xác định vị trí (d) để độ dài dây cung MN lớn ? nhỏ ?
7.16
Cho đường tròn (O,R)với dây cung AB cố định khơng qua O Xác định vị trí điểm M cung lớn AB để chu vi tam giác MAB lớn
Hướng dẫn
Trên tia đới tia MA lấy MC = MB Tam giác cân MBC cho ACB∧ =
2
AMB∧ (haèng)
Mà AB cố định nên C thuộc cung chứa góc có số đo
4
1 số đo pABcủa đường tròn (O ; R) dựng đoạn thẳng AB Chu vi tam giác MAB : MA + MB + AB mà độ dài AB không đổi, nên chu vi tam giác MAB lớn : (MA +MB) lớn ⇔AC lớn Nghĩa AC đường kính cung
chứa góc nói ⇔ ABC∧ = 900 Trong điều kiện : A C ∧ ∧
+ = 900 vaø
1
B B∧ ∧+ = 900 maø ∧= ∧
2
B
C
Neân : A B1
∧ = ∧
⇔ pMA MB= q
Vậy chu vi tam giác MAB lớn M có vị trí, M0 điểm
của cung lớn AB 7.17
Cho đường tròn (O; R) điểm I miền đường tròn (I khác O) Tìm đường trịn điểm M cho góc IMO có số đo lớn
7.18
Cho tam giác ABC vng góc A với điểm M thuộc cạnh AC Gọi N điểm đối xứng M qua A P điểm đối xứng M qua đường thẳng BC Xác định vị trí điểm M để đường tròn ngoại tiếp tứ giác BNCP có bán kính nhỏ
(74)M cắt (O/) N (B nằm M va N) Xác định vị trí (d) để bán kính
đường trịn ngoại tiếp tam giác AMN có độ dài lớn 7.20
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O ; R) Lấy điểm M cung nhỏ BC : kẻ MH , MI, MK vng góc với BC, CA, AB H, I, K Xác định vị trí M để :
Σ = MA + MB + MC + MH + MI + MK có giá trị nhỏ ? có giá trị lớn ?
Hướng dẫn :
Gọi a độ dài cạnh tam giác ABC, đặt : Σ1 = MA + MB + MC
Σ2 = MH + MI + MK
Trên dây MA lấy MD = MB, chứng minh : - Tam giác MBD để có : BD = MB
- Hai tam giác MBC DBA để có : MC = DA Nên :
Σ1 = MA + MB + MC = 2MA
Mặt khác :
MH = 2S( MBC) a
Δ MI = 2S( MCA) a
Δ MK = 2S( MAB)
a Δ
Σ2 =
a[S(ΔABC) + 2S(ΔMBC)] Ta coù :
Σ nhỏ M trùng B (hoặc C) lúc Σ1 Σ2 nhỏ Σ
lớn M trùng M0 (M0 điểm cung nhỏ BC) lúc
cả Σ1 Σ2 lớn
D VẬN DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
Để vận dụng bất đẳng thức đại số ta thường đặt (hay nhiều) đại lượng hình học (độ dài đoạn thẳng, số đo góc, tỉ số lượng giác góc, diện tích hình …) làm biến
(75)7.21
Cho tam giác ABC có diện tích S Trên cạnh BC, CA, AB lấy đoạn thẳng : BD = k.BC, CE = k.CA, AF = k.AB
1 Tính diện tích tam giác DEF theo S k Định k để diện tích tam giác DEF nhỏ
Hướng dẫn :
S( ABD) BD k
S BC
Δ
= = ⇒ S(ΔABD) = k.S S( AFD) AF
S( ABD) AB
Δ =
Δ = k ⇒ S(ΔAFD) = k
2.S
S(ΔDBF) = S(ΔABD) – S(ΔAFD) = k(1 – k).S S(ΔCED) = k(1 – k).S ; S(ΔAFE) = k(1 – k).S S(ΔDEF) = S – 3k(1 – k).S = S(3k2 – 3k + 1)
Maø S(3k2 – 3k + 1) = S 3 k
2
⎡ ⎛ ⎞ ⎤
− +
⎢ ⎜ ⎟ ⎥
⎝ ⎠
⎢ ⎥
⎣ ⎦ ≥ S4
min S(ΔDEF) = S
4 (taïi k = 12) 7.22
Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R điểm M đường tròn Kẻ MH vng góc với AB H Định vị trí điểm M để diện tích tam giác OMH lớn
Hướng dẫn :
OH2 + HM2 = OM2 = R2 S = 1
2OH.HM Maø : OH2 + HM2 ≥ 2OH.HM hay R2 ≥ 4S
max S = R2
4 (taïi OH = HM hay MOH ∧
= 450)
7.23
Cho tam giác nhọn ABC có cạnh BC cố định Kẻ hai đường cao AD BE, gọi H trực tâm Xác định vị trí điểm D cạnh BC để tích DA DH đạt giá trị lớn
Hướng dẫn :
(76)Maø : (DB + DC)2 ≥ 4DB.DC
hay BC 2
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ≥ DB.DC
Neân : DA.DH = DB.DC ≤ BC2
4 (hằng) Đẳng thức xảy DB = DC
max(DA.DH) = BC2
4 (tại D trung điểm BC) 7.24
Cho tam giác ABC vng A Từ điểm M miền tam giác kẻ MD, ME, MF vng góc với BC, CA, AB D, E, F Xác định vị trí M để :
MD2 + ME2 + MF2
đạt giá trị nhỏ
Hướng dẫn :
Kẻ đường cao AH đường thẳng MN ⊥ AH N Vận dụng định lí Pitago :
ME2 + MF2 = ME2 + AE2 = MA2 mà MA ≥ NA
nên : ME2 + MF2 ≥ NA2 mà MD = NH nên :
MD2 + ME2 + MF2 ≥ NH2 + NA2
2
NH NA
2
+ ≥ NH NA AH2
2
+
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
MD2 + ME2 + MF2 ≥ AH2
2 (haèng) (MD2 + ME2 + MF2) = AH2
2 (tại M trung điểm AH) 7.25
Cho tam giác nhọn ABC Từ điểm M thuộc miền tam giác kẻ MH, MI, MK vng góc với BC, CA, AB H, I, K Xác định vị trí M để :
Σ = AK2 + BH2 + CI2
nhoû nhaát
(77)Hướng dẫn :
2 2 2
2 2 2
2 2 2
AK MK MA AI MI
BH MH MB BK MK
CI MI MC CH MH
⎫
+ = = +
⎪
+ = = + ⎬
⎪
+ = = + ⎭
neân AK2 +BH2 +CI2 = AI2 +CH2 +BK2
2Σ = (AK2 + BK2) + (BH2 + CH2) + (AI2 + CI2) ≥
≥ (AK BK)2 (BH CH)2 (AI CI)2
2 2
+ + + + +
Σ ≥ AB2 BC2 CA2
+ +
minΣ = AB2 BC2 CA2
+ + (tại M tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC) 7.26
Cho tam giác nhọn ABC với ba đường cao AD, BE, CF Gọi H trực tâm, tìm giá trị nhỏ biểu thức :
Σ = AH BH CH DH EH FH+ + Hướng dẫn :
Gọi S, S1, S2 , S3 diện tích tam giác
ABC, HBC, HCA, HAB :
1
S AD
S = DH ⇒ 1
AD DH AD DH AH
S S S S S S
−
= = =
− −
⇒
1 AH S S
DH S
−
=
1
AH S S
DH S
+ =
2 BH S S
EH S
+
=
3 CH S S
FH S
+ = Neân
Σ = 2 3
2 3
S S S S S S
S S S S S S
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎛ ⎞
+ +⎜ + ⎟ ⎜+ + ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ≥ + + =
min Σ = (taïi S1 = S2 = S3 = S
3) 7.27
(78)Σ = a b c x y z+ + đạt giá trị nhỏ
Hướng dẫn :
Diện tích tam giác ABC : S =
2(ax + by + cz) Xét tích :
(ax + by + cz) a b c x y z ⎛ + + ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠ = a
2 + b2 + c2 +
ab x y bc y z ca z x
y x z y x z
⎛ + ⎞+ ⎛ + ⎞+ ⎛ + ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎟⎠
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
≥ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)2
hay
2S Σ ≥ (a + b + c)2 ⇔ Σ ≥ (a b c)2
2S + +
minΣ = (a b c)2 2S
+ + (tại M tâm đường tròn nội tiếp ΔABC) 7.28
Cho tam giác ABC vuông góc A có diện tích S Gọi M điểm thuộc cạnh huyền BC, kẻ MD ME vng góc với AB AC D E Xác định vị trí M để diện tích tứ giác ADME lớn nhất, theo S tính diện tích lớn
Hướng dẫn : S = AB.AC
2 S’ = AD.AE
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy : AB AD DB AD.DB AC AE EC AE.EC
⎫
= + ≥ ⎪
⎬
= + ≥ ⎪⎭ ⇒ AB.AC ≥ AD.DB.AE.EC
Hai tam giác vuông đồng dạng BDM MEC cho :
MD DB
CE = EM neân CE.DB = MD.EM = AE.AD Neân :
AB.AC ≥ 4 (AD.AE) = 4AD.AE 2 hay : 2S ≥ 4S’ ⇔ S’ ≤ S
(79)max S’ = S
2 (tại M trung điểm BC) 7.29
Cho hình vng ABCD cạnh a Trên cạnh CD lấy điểm E (E khác D), đặt DE = x Đường thẳng vng góc với AE A cắt đường thẳng CD F
1 Tính cạnh tam giác AEF theo a vaø x
2 Xác định vị trí E để độ dài đoạn thẳng EF nhỏ
Hướng dẫn : EF = x + a2
x AE =
2
x + AF a = a x2 a2 x
+
2 EF = x + a2 x ≥
2 a
x 2a
x =
min EF = 2a (taïi x = a hay E truøng C)
7.30
Cho tam giác ABC điểm M miền tam giác Các đường thẳng AM, BM, CM cắt BC, CA, AB D, E, F Tìm giá trị nhỏ biểu thức :
Σ = AM BM CM DM EM FM Hướng dẫn :
Gọi S, S1, S2 , S3 diện tích tam giác ABC, MBC, MCA,
MAB Kẻ đường cao AH đường thẳng MK ⊥ BC K
1
S AH AD AM MD AM 1
S MK DM DM DM
+
= = = = + ⇒
1
1 1
AM S 1 S S S S
DM S S S
− +
= − = =
3 BM S S
EM S
+
=
3 CM S S
FM S
+ =
Σ = 3 1
1
AM BM CM S. . S S S S S. .
DM EM FM S S S
+ + +
(80)min Σ = (tại M trọng tâm tam giác ABC) 7.31
Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt O Biết diện tích tam giác OAB cm2 diện tích tam giác OCD cm2 Hãy
tìm giá trị nhỏ diện tích tứ giác ABCD
Hướng dẫn :
Gọi S1, S2 , S3 , S4 diện tích tam
giác OAB, OBC, OCD, ODA Tỉ số diện tích hai tam giác có chiều cao tỉ số hai đáy ứng với chiều cao :
1
4
OB S S
OD S= = S ⇒ S2.S4 = S1.S3 Vận dụng bất đẳng thức Cauchy :
S2 + S4 ≥ S S2 4 =2 S S1 3 hay S2 + S4 ≥ 4.9 = 12
min (S2 + S4) = 12 (taïi S2 = S4 = 6)
min (S1 + S2 + S3 + S4) = + + 12 = 25 cm2
(khi S2 = S4 = cm2)
7.32
Cho hình vng ABCD cạnh a Trên hai cạnh AB AD lấy hai điểm M N cho tam giác AMN có chu vi 2a Xác định vị trí M N để tam giác AMN có diện tích lớn
Hướng dẫn :
Đặt AM = x , AN = y (0 < x, y < a) :
MN = x2+y2 x + y + x2+y2 = 2a - Vận dụng bất đẳng thức Cauchy : x + y ≥ xy
- Maët khaùc : x2 + y2 ≥ 2xy hay x2+y2 ≥ 2xy
Neân 2a = x + y + x2+y2 ≥ xy+ 2xy ⇒ xy ≤ 2a
2+ hay xy ≤
2 2a
2
⎛ ⎞
⎜ + ⎟
⎝ ⎠
Do : S = 1xy ≤ 12
2 2a
2
⎛ ⎞
⎜ + ⎟
⎝ ⎠ ( = haèng) max S =
2 1. 2a
2 2
⎛ ⎞
⎜ + ⎟
(81)Cho tam giác ABC có chu vi 2p Một đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh AB, AC M N Biết MN tiếp xúc với đường tròn nột tiếp tam giác ABC Tìm giá trị lớn độ dài đoạn thẳng MN
Hướng dẫn :
Kẻ đường cao AH tam giác ABC, gọi r bán kính đường trịn nội tiếp
Đặt BC = a , AH = h đường cao AK tam giác AMN : (h – 2r)
Do MN // BC : MN h 2r
a h
−
=
⇒ MN = a(h 2r) h −
Diện tích tam giác ABC : S 12ah S pr
⎫
= ⎪
⎬ ⎪
= ⎭
⇒ r = ah 2p Do : MN = a h 2ah a(p a)
h 2p p
⎛ − ⎞= −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
Chứng minh : p – a > 0, vận dụng bất đẳng thức Cauchy : a(p – a) ≤ a2 (p a)2
2 + −
Đẳng thức xảy a = p max MN = p
4 (taïi a = p2 ) 7.34
Cho đường trịn cố định tâm O, bán kính R = Tam giác ABC thay đổi ngoại tiếp đường tròn (O) Một đường thẳng qua O cắt AB, AC M N Xác định giá trị nhỏ diện tích tam giác AMN
(82)Hướng dẫn :
Kẻ đường cao MH tam giác AMN Diện tích tam giác AMN
S =
2AM.1 + 12AN.1 = AM AN2 +
Vận dụng bất đẳng thức Cauchy ta có : S = AM AN
2 +
≥ AM.AN ≥ 2S Neân : S2 ≥ 2S ⇔ S ≥
min S = (khi AM ⊥ AN vaø AM = AN = 2) 7.35
Cho tam giác ABC điểm M thuộc miền tam giác Gọi x, y, z khoảng cách từ M đến BC, CA, AB Xác định vị trí M để tích xyz đạt giá trị lớn
Hướng dẫn :
Đặt BC = a, CA = b, AB = c , diện tích tam giác ABC : S =
2(ax + by + cz) Vận dụng bất đẳng thức Cauchy :
ax + by + cz ≥ 33 ax.by.cz hay ax + by + cz ≥ 33abc.xyz Mà : abc số nên tích xyz lớn :
ax = by = cz
Gọi D, E, F giao điểm MA, MB, MC với BC, CA, AB ta có : S(DAB) DB
S(DAC) DC= S(DMB) DBS(DMC) DC= Neân :
DB S(DAB) S(DMB) DC S(DAC) S(DMC)= =
= S(DAB) S(DMB) S(MAB) cz S(DAC) S(DMC) S(MCA) by
− = = =
−
Suy : DB = DC hay D trung điểm BC Tương tự : E trung điểm CA, F trung điểm AB
(83)7.36
Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Trong hình chữ nhật MNPQ nội tiếp nửa đường tròn, (M, N thuộc nửa đường tròn; P, Q thuộc đường kính AB) hình có chu vi lớn ?
Hướng dẫn :
Đặt PQ = 2a, MQ = b (a, b > 0)
Aùp dụng định lí Pitago tam giác OMQ : a2 + b2 = R2
Chu vi hình chữ nhật MNPQ : 2(2a + b) Chu vi lớn : (2a + b)2 lớn
Vận dụng bất đẳng thức Schwartz : (2a + b)2 ≤ (22 + 12)(a2 + b2)
hay (2a + b)2 ≤ 5R2
Vaäy :
max 2(2a + b) = 2R (tại a = R ; b = R ) (ứng với tg AOM∧ =
2 : điểm M xác định) 7.37
Cho tam giác vuông cân ABC : AB = AC = a Trên cạnh BC, CA, AB lấy điểm D, E, F cho DEF tam giác vuông cân E Xác định vị trí D, E, F để tam giác DEF có diện tích nhỏ
Hướng dẫn :
Kẻ DH ⊥ AC H hai tam giác vuông AEF HDE Đặt : AF = HE = x AE = HD = y
thì : AB = AE + HE + HC = y + x + y hay : a = x + 2y
Diện tích tam giác vuông cân DEF : S = EF2 x2 y2
2
+ =
Vận dụng bất đẳng thức Schwartz :
a2 = (x + 2y)2 ≤ (12 + 22)(x2 + y2) hay a2 ≤ 5.2S
S ≥ a2
10 S =
2 a 10
(84)0 0 0 DEF 180∧ = −(AEF DEH) 180∧ + ∧ = −(AEF EFA) 180∧ + ∧ = −90 =90 7.38
Cho đường tròn (O ; r) Coi tam giác ABC ngoại tiếp (O ; r), kẻ tiếp tuyến song song với cạnh tam giác Các tiếp tuyến tạo với cạnh tam giác ABC ba tam giác AMN, BPQ, CRS có diện tích S1, S2, S3 Gọi S diện tích tam giác ABC Tìm giá trị lớn
nhất biểu thức :
1
S S S S + +
Hướng dẫn :
Gọi h1 h chiều cao phát xuất từ A hai tam giác đồng
dạng AMN ABC
2 2
1
S h h 2r 1 2r
S h h h
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
=⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ − ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Đặt : BC = a , CA = b , AB = c p nửa chu vi tam giác ABC
S = ah
2 S = pr Neân : 2r = ah
p
Do :
2
S 1 a
S p
⎛ ⎞
=⎜ − ⎟
⎝ ⎠ hay
S 1 a
S = −p Tương tự : S2 1 b
S = −p
S 1 c
S = −p
Neân : S1 S2 S3 3.a b c 3 2p 1
S S S p p
+ +
+ + = = − =
Vận dụng bất đẳng thức Schwartz :
( )
2
2 2
1 3
S S S 1 1 S S S
S S S S S S
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + ≤ + + + +
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠
⎝ ⎠
hay : 12 ≤ 3 S S( S3) S
+ +
⇔ S S S1 S
+ + ≥ 1 Vaäy : minS S S1
S
+ +
(85)7.39
Cho hình chữ nhật ABCD điểm E thuộc cạnh BC Phân giác góc DAE cắt BC F Xác định vị trí E để tỉ số AE
EF đạt giá trị nhỏ
Hướng dẫn :
Đặt n nDAF FAE= =α (0 < α ≤ 450), ta coù :
nAFE = α (goùc so le trong)
Góc so le AEF cân E nên : EA = EF Kẻ EH vuông góc với AF H :
AF 2HF
EF = EF = 2cosα ≥ 2cos45
0 = 2 2
2 =
do hàm cosin nghịch biến đoạn [00 ; 900]
Đẳng thức xảy : α = 450 ⇔ E trùng B
Vaäy : AF EF
⎛ ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ (tại E trùng B) 7.40
Cho tam giác ABC vuông A Coi nửa đường trịn đường kính AB AC miền ngồi tam giác ABC Qua A kẻ đường thẳng (d) cắt nửa đường trịn nói D E Xác định vị trí (d) để chu vi tứ giác BCED đạt giá trị lớn
Hướng dẫn :
Đặt nBAD = α nACE =α ,(0< <α 900)chu vi hình thang vuông BCED : Σ = BC + CE + EA + AD + DB
= BC + ACcosα + ACsinα + ABcosα + ABsinα Σ = BC + (AB + AC)(sinα + cosα)
Maø : (sinα + cosα)2 ≤ 2(sin2α + cos2α) =
Neân : sinα + cosα ≤
Do : Σ ≤ BC + (AB + AC)
Vậy chu vi hình thang BCED lớn :
sinα = cosα =
2 ⇔ α = 45
(86)7.41
Cho đoạn AB điềm I nằm hai điểm A B Trong nửa mặt phẳng bờ AB kẻ hai tia Ax By vng góc với AB Trên Ax lấy điểm C, tia vng góc với IC I cắt By D
Chứng minh : AC BD = IA IB
Ba điểm A, B, C cố định, xác định vị trí I để diện tích tứ giác ABDC đạt giá trị lớn
Lược giải
1 Hai tam giác vuông AIC BDI có : AIC BDI∧ = ∧ (góc nhọn có cạnh vuông góc )
Chúng đồng dạng nên : = ⇒
BD IA BI
AC AC BD = IA IB
2 Tứ giác ABDC có : AC// BD ( vng góc với AB) A∧ = 900
Nên hình thang vuông mà diện tích : S =
2
1 (AC + BD) AB
Trong AC, AB có độ dài khơng đổi nên diện tích hình thang ABDC lớn đáy BD lớn
max S ⇔ max BD
Mà BD = AC
.IB
IA nên : max BD ⇔ max IA IB Ta coù : (IA + IB)2 ≥ IA IB ⇒ IA IB ≤
4 AB
IB)
(IA+ = (hằng) Đẳng thức xẩy : IA = IB
Vậy I trung điểm AB hình thang vng ABDC có diện tích lớn
7.42
Cho đường tròn (O; R)và điểm A ngồi đường trịn với hai tiếp tuyến AB AC (B, C hai tiếp điểm) Một tiếp tuyến thứ ba M (M thuộc cung nhỏ BC) cắt AB AC D E Xác định vị trí M để :
Diện tích tam giác ADE lớn
Bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác ADE lớn
Hướng dẫn
(87)Maø : S (ADE) = S (ABOC) – 2S (ODE)
Trong : S (ABOC) không đổi max (ADE) ⇔ (ODE)
S (ODE)=
1 DE OM (OM = R) S (ODE)
⇔min DE ⇔M điểm
chính cung nhỏ BC Chu vi tam giác ADE : 2p = AD + DE + AE = AD + DM + EM + AE = (AD + DB) + (AE + EC) = 2AB (hằng)
Diện tích tam giác ADE : S = pr = AB.r mà AB không đổi Nên : max S ⇔ max r
Bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác ADE lớn diện tích tam giác ADE lớn nghĩa M có vị trí cung nhỏ BC 7.43
Cho ba đường trịn : (O1, R1), (O2, R2), (O, R)đơi tiếp xúc
và tiếp xúc với đường thẳng (d) R bán kính nhỏ Tìm giá trị nhỏ tích R1 R2 theo R
Hướng dẫn
Tiếp điểm M hai đường tròn (O1) (O2) nằm O1 O2
Tiếp điểm N hai đường tròn (O1) (O) nằm O1 O
Tiếp điểm P hai đường tròn (O2) (O) nằm O2 O Từ
B kẻ đường thẳng song song với O, O2 cắt OA D Tứ giác
O1O2BD hình bình hành (giả sử R1 ≥ R2)
Tính được: AB = 2 2
1
2 R R AC R R BC R R= = Maø AB = AC + BC hay R R R1R R2R
2
1 = +
Đi đến :
R R
1 R
1
2
=
+ (haèng)
(88)Ta coù :
1
R .
2
R ≤
4
2
1 R
1 R
1
⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎜ ⎝ ⎛
+ =
4
1
R ⎟
⎠ ⎞ ⎜ ⎝
⎛ =
4R1 Neân : max
1
R .
2
R =
4R1 taïi R1 =
2
R
1 ⇔ R
1 = R2 = 4R giá trị