Bất đẳng thức, min, max và chứng minh phương trình có nghiệm

Bất đẳng thức, min, max và Chứng minh phương trình có nghiệm 1... Bất đẳng thức _Quách duy tuấn.[r]

Bất đẳng thức _Quách tuấn Bất đẳng thức, min, max và Chứng minh phương trình có nghiệm Với a, b, c là các số thực dương CMR a  b 2  b  c 2  c  a 2  4a  b  c  c a b  XÐt dÊu b»ng hoÆc dïng B§T Bunhiacopxki(BNA) Với a, b, c là các số dương CMR a3 b3 c3    a2  b2  c2 b c a a3 a3  x  yb  za  Chän x, y, z cho x b b CMR với các số dương a, b, c thì 5b  a 5c  b 5a  c    abc ab  3b bc  3c ca  3a 5b  a  xa  yb  C¨n cø bËc tö 3, bËc mÉu ta t×m x, y: ab  3b Cho các số dương a, b, c CMR a2 b2 c2 abc    ab bc ca  XÐt dÊu b»ng vµ ¸p dông C«si Cho các số dương a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = 27 CMR a3 + b3 + c3  81  Tõ gt vµ kluËn gîi ý ta ¸p dông B§T C«si cho sè a3, a3 vµ h»ng sè k [C§ ABD_08] Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn x2 + y2 = Tìm GTLN, GTNN biểu thức P = 2(x3 + y3) -3xy  §Æt x + y = t, Do S2  4P nªn t  [-2, 2] 7* Cho các số thực dương a và b thoả mãn ab + a + b = CMR 3a 3b ab    a2  b2  b 1 a 1 a  b 2  a  b 2  Sdụng gt theo nhiều hướng và BĐT a  b  Cho x, y là các số thực dương thay đổi thoả mãn x + y  Tìm GTNN P  4( x  y )  x  y3 Lop12.net Bất đẳng thức _Quách tuấn  CM 4(x3 + y3)  1, minP = -3 Cho các số thực dương x, y, z, t CMR x2 y2 z2 t 1 1        y5 z t x5 x3 y3 z t x2 1  Dù ®o¸n CT a  b  c víi a, b, c  N* y x y 10 Víi a  0, 2a + 3b+ 6c = CMR PT ax2 + bx + c = lu«n cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc [0, 2/3] 11 Cho ba số thực dương x, y, z thoả mãn xyz = Tìm GTLN biểu thức 1 P   3 x  y  y  z  z  x3   CM x3 + y3 +  xy(x + y + z), maxP = 12 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a2 + b2 + c2 = Tìm a2 b2 c2 P   b  c  bc c  a  ca a  b  ab  C«si, bc  (b2 + c2)/2 1 1 13 Cho x, y, z  [1,3] CMR P   x  y  z      12 x y z  Tõ (x - 1)(x - 3)   x   AD C«si cã §PCM x 2 14 Cho ba số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = CMR x y z 3    2 2 y z z x x y  VP    3 x  y  z gîi ý cho ta CM x x 3   x 2 y z 1 x 15 Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = Tìm GTNN biểu thức a 1  a  b 1  b  c 1  c  P   bc ca ab  – a = b + c vµ t¸ch ph©n thøc 4  x y x y 16 CMR    3   víi mäi x, y  y x  y x  §Æt Èn phô hoÆc dïng C«si, nh­ng chó ý chØ cã §K x, y  17.[§H_B07] Cho x, y, z là các số thực dương Tìm GTNN biểu thức 2 Lop12.net Bất đẳng thức _Quách tuấn x  y  z  P  x    y    z     yz   zx   xy   Cã nhiÒu c¸ch ¸p dông C«si, MinP = 9/2 18.[§H_D07] b a  a   b  Cho a  b > CMR   a     b       lấy loganêpe hai vế và dùng tính đơn điệu 19.[§H_A05] 1    CMR Cho x, y, z là các số dương thoả mãn x y z 1   1 2x  y  z x  y  z x  y  2z 1 1 11 1     để tách các  AD B§T  x  y      x y 4a b x y pthøc 20.[§H_B05] CMR víi mäi x  R ta cã x x x  12   15   20  x x x       3 4 5 5 4    Dïng B§T C«si quay vßng 21.[§H_D05] Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = CMR  x3  y3 1 y3  z3  z  x3   3 xy yz zx 22 Xác định m để PT sau có nghiệm   m 1 x2  1 x2   1 x4  1 x2  1 x2 2  §Æt t =  x   x , t  [0, ] §S m  [ -1, 1] 23.[§H_D04] CM phương trình sau có đúng nghiệm x5 – x2 – 2x – = 25.[§H_A03] Cho x, y, z là các số dương thoả mãn x + y + z  CMR 1  y   z   82 x y z  Sö dông B§T vect¬ vµ xÐt dÊu b»ng B§T C«si 26 Cho x, y, z là các số dương thoả mãn xyz = CMR x2  Lop12.net Bất đẳng thức _Quách tuấn x2 y2 z2    1 y 1 z 1 x  ¸p dông C«si, chó ý dÊu b»ng x¶y 27 Cho a, b, c là các số dương thoả mãn a + b + c = 3/4 CMR a  3b  b  3c  c  3a  DÊu b»ng x¶y nµo  Dïng C«si cho mçi c¨n, chó ý dÊu b»ng x¶y 28 Cho x, y, z tho¶ m·n x + y + z = CMR  4x   4y   4z  3 Khi nào đẳng thức xảy a2 b2 c2 a b c 29.[ĐH Y Dược_99] CMR      với abc  b c a b c a  Dïng C«si nh­ng l­u ý tíi ®iÒu kiÖn cña a, b, c  dïng a2 b2 c2 a b c      víi mäi abc  30 CMR b2 c2 a2 c a b  Dïng Bunhia hoÆc C«si quay vßng 31.[ĐH Y Dược TPHCM_98] ab Cho a, b  CMR log a  log b  log 2  Dùng Bunhia để loại bỏ dấu 32.[§HNT_95] Cho x, y  vµ x3 + y3 = CMR x2 + y2   Bunhia 33 T×m max cña U = x + 3y, biÕt x2 + xy + 4y2 =  Bunhia 34 CMR mäi nghiÖm cña BPT x   x   còng lµ nghiÖm cña BPT x  x   x  x    23 x  35.[§HBKHN_90] CMR víi mäi x, y, z > 0, ta cã 1 x yz    xyz x  yz y  zx z  xy 36.[§HBKHN_94] Cho x + y = CMR x4 + y4  1/8 37 T×m max cña y = sinmx.cosnx víi  x  /2, 2 m, n  Z  Bình phương,dùng Côsi để áp dụng CT sin2x+cos2x =1  m  Maxy    mn Lop12.net m/2  n    mn n/2 Bất đẳng thức _Quách tuấn a3  b3  a  b    38.[§HBKHN_A00] CMR    Biến đổi tương đương biến đổi và dùng Côsi 39.[§HXD_97] Cho sinx + siny + sinz = T×m min, max cña P = sin2x + sin4y + sin6z  Dïng PP so s¸nh §S: minP = 0, maxP = x2 x 40.[§H KiÕn Tróc HN_98] CMR e   x  víi mäi x >  Dùng đạo hàm hai lần 41.[§HHH TPHCM_99] Cho x, y, z  0, x + y + z  CMR x y z 1       1 x2 1 y2 1 z2 1 x 1 y 1 z x  vµ C«si  Sdông 2 1 x 42.[§HGT TPHCM_99] Tìm a để PT sau có nghiệm  x   x  a  x lµ nghiÖm th× -x còng lµ nghiÖm §S: a = 43.[HVCNBCVT_99] 2   Tìm m để PT sau có nghiệm x x  x  12  m  x   x  PT m = f(x)g(x) CM ®­îc f ®biÕn, g ®biÕn  f(x)g(x) ®b/[0, 4] 44.[HVNHHN_98] T×m cña hµm sè y 1    , x   0,  sin x cos x  2  C«si, miny = 2 20 x  10 x  45.[HVNH TPHCM_98] T×m max cña hµm sè y  3x  x   Dïng TGT, miny = 5/2, maxy = 46.[HVNHHN_A00] Cho a, b, c  R vµ a + b + c = CMR 8a + 8b + 8c  2a + 2b + 2c  ¸p dông C«si cho ba sè 8a, vµ 47.[§HNTHN_95] 1   xy Cho x, y > 0, x + y  T×m P  x  y xy  T¸ch, nhãm vµ dïng C«si 48.[§HNTHN_96] a b c   2 Cho a, b, c > CMR bc ca ab Lop12.net Bất đẳng thức _Quách tuấn  Sdông a a  vµ C«si bc a (b  c) 49.[§HNTHN_96] Cho x, y, z > vµ x + y + z = T×m max cña biÓu thøc P  x y z   x 1 y 1 z 1  maxP = 3/4 50.[§HKTQDHN_96] Cho a, b  CMR 3a3 + 17b3  18ab2 51.[§HTMHN_96] CMR tan6A + tan6B + tan6C  81, víi mäi tam gi¸c ABC nhän  Sdông tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC vµ C«si 52.[HVQHQT_96] x5 y5 z Cho x, y, z > 0, x + y + z = CMR    y z x x5  Adông C«si ta cm cho sè , y, y, y, y y 53.[HVQHQT_97] Cho x2 + y2 + z2 = T×m min, max cña P = x + y + z + xy + yz + zx  minP = -1, maxP = + 54.[HVQHQT_99] Cho x, y  0, x + y = T×m min, max cña P  x y  y 1 x 1  §Æt t = xy, t  [0, 1/4] 55.[§HLHN_99] T×m min, max cña y = sin20x + cos20x  Bổ sung các số để sdụng Côsi, chú ý dấu và hđthức sin2x + cos2x = §S: maxy = 1, miny = 1/29 56.[§H N«ng NghiÖp HN_A00] bc ac ab   a 2b  a c b a  b c c a  c 2b  §Æt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c, minP = 3/2 57.[§HQGHN_D99] CMR víi mäi a, b, c > ta cã ab bc ca abc    ab bc ca ab ab   cm ab 58.[§HLHN_95] Cho a, b, c > 0, abc = T×m P  Lop12.net Bất đẳng thức _Quách tuấn 1 1     CMR abcd  1 a 1 b 1 c 1 d 81 b c d     (Côsi) và các BĐT tương tự  1 a 1 b 1 c 1 d Cho a, b, c, d > tho¶ m·n 59.[§HAN_G98] CMR víi mäi x, y, z  [0, 2], ta cã 2(x + y +z) – (xy + yz +zx)  Tõ gt cã (x - 2)(y - 2)(z - 2)  60.[§HQGHN_B95] a3 a  b    b Cho a, b > CMR  b3 a b a 61 Cho a, b, c  tho¶ m·n a2009 + b2009 + c2009 = T×m max cña P = a4 + b4 + c4  Dïng C«si cho 2005 sè vµ sè a2009, maxP = 62 Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn x + y + z = CMR xy yz zx    xy  z yz  x zx  y  xy + z = xy + z(x + y + z) = (x + z)(y + z) vµ C«si 63 T×m min, max cña A  sin x  sin x   §Æt t vµ xÐt hµm f(t) = 5t3 – 9t2 + 4, -10  f (t) 4,  A  10 64.[§HQGHN_D98] 2 CMR víi mäi x, y > ta cã x  y   1  2 x y x y 65.[§H Duy T©n 99] Cho x  1  víi x, y > CMR y   y x   1  y    y   x   x  x  y Lop12.net 