Bất đẳng thức, min, max và Chứng minh phương trình có nghiệm 1... Bất đẳng thức _Quách duy tuấn.[r]
(1)Bất đẳng thức _Quách tuấn Bất đẳng thức, min, max và Chứng minh phương trình có nghiệm Với a, b, c là các số thực dương CMR a b 2 b c 2 c a 2 4a b c c a b XÐt dÊu b»ng hoÆc dïng B§T Bunhiacopxki(BNA) Với a, b, c là các số dương CMR a3 b3 c3 a2 b2 c2 b c a a3 a3 x yb za Chän x, y, z cho x b b CMR với các số dương a, b, c thì 5b a 5c b 5a c abc ab 3b bc 3c ca 3a 5b a xa yb C¨n cø bËc tö 3, bËc mÉu ta t×m x, y: ab 3b Cho các số dương a, b, c CMR a2 b2 c2 abc ab bc ca XÐt dÊu b»ng vµ ¸p dông C«si Cho các số dương a, b, c thoả mãn a2 + b2 + c2 = 27 CMR a3 + b3 + c3 81 Tõ gt vµ kluËn gîi ý ta ¸p dông B§T C«si cho sè a3, a3 vµ h»ng sè k [C§ ABD_08] Cho hai số thực x, y thay đổi thoả mãn x2 + y2 = Tìm GTLN, GTNN biểu thức P = 2(x3 + y3) -3xy §Æt x + y = t, Do S2 4P nªn t [-2, 2] 7* Cho các số thực dương a và b thoả mãn ab + a + b = CMR 3a 3b ab a2 b2 b 1 a 1 a b 2 a b 2 Sdụng gt theo nhiều hướng và BĐT a b Cho x, y là các số thực dương thay đổi thoả mãn x + y Tìm GTNN P 4( x y ) x y3 Lop12.net (2) Bất đẳng thức _Quách tuấn CM 4(x3 + y3) 1, minP = -3 Cho các số thực dương x, y, z, t CMR x2 y2 z2 t 1 1 y5 z t x5 x3 y3 z t x2 1 Dù ®o¸n CT a b c víi a, b, c N* y x y 10 Víi a 0, 2a + 3b+ 6c = CMR PT ax2 + bx + c = lu«n cã Ýt nhÊt mét nghiÖm thuéc [0, 2/3] 11 Cho ba số thực dương x, y, z thoả mãn xyz = Tìm GTLN biểu thức 1 P 3 x y y z z x3 CM x3 + y3 + xy(x + y + z), maxP = 12 Cho a, b, c là các số thực dương thoả mãn a2 + b2 + c2 = Tìm a2 b2 c2 P b c bc c a ca a b ab C«si, bc (b2 + c2)/2 1 1 13 Cho x, y, z [1,3] CMR P x y z 12 x y z Tõ (x - 1)(x - 3) x AD C«si cã §PCM x 2 14 Cho ba số dương x, y, z thoả mãn x + y + z = CMR x y z 3 2 2 y z z x x y VP 3 x y z gîi ý cho ta CM x x 3 x 2 y z 1 x 15 Cho ba số dương a, b, c thoả mãn a + b + c = Tìm GTNN biểu thức a 1 a b 1 b c 1 c P bc ca ab – a = b + c vµ t¸ch ph©n thøc 4 x y x y 16 CMR 3 víi mäi x, y y x y x §Æt Èn phô hoÆc dïng C«si, nhng chó ý chØ cã §K x, y 17.[§H_B07] Cho x, y, z là các số thực dương Tìm GTNN biểu thức 2 Lop12.net (3) Bất đẳng thức _Quách tuấn x y z P x y z yz zx xy Cã nhiÒu c¸ch ¸p dông C«si, MinP = 9/2 18.[§H_D07] b a a b Cho a b > CMR a b lấy loganêpe hai vế và dùng tính đơn điệu 19.[§H_A05] 1 CMR Cho x, y, z là các số dương thoả mãn x y z 1 1 2x y z x y z x y 2z 1 1 11 1 để tách các AD B§T x y x y 4a b x y pthøc 20.[§H_B05] CMR víi mäi x R ta cã x x x 12 15 20 x x x 3 4 5 5 4 Dïng B§T C«si quay vßng 21.[§H_D05] Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = CMR x3 y3 1 y3 z3 z x3 3 xy yz zx 22 Xác định m để PT sau có nghiệm m 1 x2 1 x2 1 x4 1 x2 1 x2 2 §Æt t = x x , t [0, ] §S m [ -1, 1] 23.[§H_D04] CM phương trình sau có đúng nghiệm x5 – x2 – 2x – = 25.[§H_A03] Cho x, y, z là các số dương thoả mãn x + y + z CMR 1 y z 82 x y z Sö dông B§T vect¬ vµ xÐt dÊu b»ng B§T C«si 26 Cho x, y, z là các số dương thoả mãn xyz = CMR x2 Lop12.net (4) Bất đẳng thức _Quách tuấn x2 y2 z2 1 y 1 z 1 x ¸p dông C«si, chó ý dÊu b»ng x¶y 27 Cho a, b, c là các số dương thoả mãn a + b + c = 3/4 CMR a 3b b 3c c 3a DÊu b»ng x¶y nµo Dïng C«si cho mçi c¨n, chó ý dÊu b»ng x¶y 28 Cho x, y, z tho¶ m·n x + y + z = CMR 4x 4y 4z 3 Khi nào đẳng thức xảy a2 b2 c2 a b c 29.[ĐH Y Dược_99] CMR với abc b c a b c a Dïng C«si nhng lu ý tíi ®iÒu kiÖn cña a, b, c dïng a2 b2 c2 a b c víi mäi abc 30 CMR b2 c2 a2 c a b Dïng Bunhia hoÆc C«si quay vßng 31.[ĐH Y Dược TPHCM_98] ab Cho a, b CMR log a log b log 2 Dùng Bunhia để loại bỏ dấu 32.[§HNT_95] Cho x, y vµ x3 + y3 = CMR x2 + y2 Bunhia 33 T×m max cña U = x + 3y, biÕt x2 + xy + 4y2 = Bunhia 34 CMR mäi nghiÖm cña BPT x x còng lµ nghiÖm cña BPT x x x x 23 x 35.[§HBKHN_90] CMR víi mäi x, y, z > 0, ta cã 1 x yz xyz x yz y zx z xy 36.[§HBKHN_94] Cho x + y = CMR x4 + y4 1/8 37 T×m max cña y = sinmx.cosnx víi x /2, 2 m, n Z Bình phương,dùng Côsi để áp dụng CT sin2x+cos2x =1 m Maxy mn Lop12.net m/2 n mn n/2 (5) Bất đẳng thức _Quách tuấn a3 b3 a b 38.[§HBKHN_A00] CMR Biến đổi tương đương biến đổi và dùng Côsi 39.[§HXD_97] Cho sinx + siny + sinz = T×m min, max cña P = sin2x + sin4y + sin6z Dïng PP so s¸nh §S: minP = 0, maxP = x2 x 40.[§H KiÕn Tróc HN_98] CMR e x víi mäi x > Dùng đạo hàm hai lần 41.[§HHH TPHCM_99] Cho x, y, z 0, x + y + z CMR x y z 1 1 x2 1 y2 1 z2 1 x 1 y 1 z x vµ C«si Sdông 2 1 x 42.[§HGT TPHCM_99] Tìm a để PT sau có nghiệm x x a x lµ nghiÖm th× -x còng lµ nghiÖm §S: a = 43.[HVCNBCVT_99] 2 Tìm m để PT sau có nghiệm x x x 12 m x x PT m = f(x)g(x) CM ®îc f ®biÕn, g ®biÕn f(x)g(x) ®b/[0, 4] 44.[HVNHHN_98] T×m cña hµm sè y 1 , x 0, sin x cos x 2 C«si, miny = 2 20 x 10 x 45.[HVNH TPHCM_98] T×m max cña hµm sè y 3x x Dïng TGT, miny = 5/2, maxy = 46.[HVNHHN_A00] Cho a, b, c R vµ a + b + c = CMR 8a + 8b + 8c 2a + 2b + 2c ¸p dông C«si cho ba sè 8a, vµ 47.[§HNTHN_95] 1 xy Cho x, y > 0, x + y T×m P x y xy T¸ch, nhãm vµ dïng C«si 48.[§HNTHN_96] a b c 2 Cho a, b, c > CMR bc ca ab Lop12.net (6) Bất đẳng thức _Quách tuấn Sdông a a vµ C«si bc a (b c) 49.[§HNTHN_96] Cho x, y, z > vµ x + y + z = T×m max cña biÓu thøc P x y z x 1 y 1 z 1 maxP = 3/4 50.[§HKTQDHN_96] Cho a, b CMR 3a3 + 17b3 18ab2 51.[§HTMHN_96] CMR tan6A + tan6B + tan6C 81, víi mäi tam gi¸c ABC nhän Sdông tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC vµ C«si 52.[HVQHQT_96] x5 y5 z Cho x, y, z > 0, x + y + z = CMR y z x x5 Adông C«si ta cm cho sè , y, y, y, y y 53.[HVQHQT_97] Cho x2 + y2 + z2 = T×m min, max cña P = x + y + z + xy + yz + zx minP = -1, maxP = + 54.[HVQHQT_99] Cho x, y 0, x + y = T×m min, max cña P x y y 1 x 1 §Æt t = xy, t [0, 1/4] 55.[§HLHN_99] T×m min, max cña y = sin20x + cos20x Bổ sung các số để sdụng Côsi, chú ý dấu và hđthức sin2x + cos2x = §S: maxy = 1, miny = 1/29 56.[§H N«ng NghiÖp HN_A00] bc ac ab a 2b a c b a b c c a c 2b §Æt x = 1/a, y = 1/b, z = 1/c, minP = 3/2 57.[§HQGHN_D99] CMR víi mäi a, b, c > ta cã ab bc ca abc ab bc ca ab ab cm ab 58.[§HLHN_95] Cho a, b, c > 0, abc = T×m P Lop12.net (7) Bất đẳng thức _Quách tuấn 1 1 CMR abcd 1 a 1 b 1 c 1 d 81 b c d (Côsi) và các BĐT tương tự 1 a 1 b 1 c 1 d Cho a, b, c, d > tho¶ m·n 59.[§HAN_G98] CMR víi mäi x, y, z [0, 2], ta cã 2(x + y +z) – (xy + yz +zx) Tõ gt cã (x - 2)(y - 2)(z - 2) 60.[§HQGHN_B95] a3 a b b Cho a, b > CMR b3 a b a 61 Cho a, b, c tho¶ m·n a2009 + b2009 + c2009 = T×m max cña P = a4 + b4 + c4 Dïng C«si cho 2005 sè vµ sè a2009, maxP = 62 Cho các số thực dương x, y, z thoả mãn x + y + z = CMR xy yz zx xy z yz x zx y xy + z = xy + z(x + y + z) = (x + z)(y + z) vµ C«si 63 T×m min, max cña A sin x sin x §Æt t vµ xÐt hµm f(t) = 5t3 – 9t2 + 4, -10 f (t) 4, A 10 64.[§HQGHN_D98] 2 CMR víi mäi x, y > ta cã x y 1 2 x y x y 65.[§H Duy T©n 99] Cho x 1 víi x, y > CMR y y x 1 y y x x x y Lop12.net (8)