Đang tải... (xem toàn văn)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) tại giao điểm của nó với trục tung.a. Vieát phöông trình tieáp tuyeán cuûa ñoà thò haøn soá (1), bieát tieáp tuyeán ñoù ñi qua ñieåm M[r]
(1)BÀI 5: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
*** I SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ.
1 Tập xác định 2 Sự biến thiên a Chiếu biến thiên:
Tính y’
Tìm nghiệm phương trình y’=0 điểm y’ khơng xác định Xét dấu đạo hàm y’ suy chiều biến thiên hàm số
b Tìm cực trị
c Tìm giới hạn vơ cực; giới hạn +, - điểm mà hàm số khơng xác định Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang (nếu có)
d Lập bảng biến thiên 3 Đồ thị:
+ Tính thêm toạ độ số điểm đặc biệt (giao điểm đồ thị với trục toạ độ) dựa vào bảng biến thiên yếu tố xác định để vẽ đồ thị
II KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC 1 Dạng đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)
Trường hợp a > 0 a < 0
y’= có 2 nghiệm phân biệt
y’ = có nghiệm kép
y’ = vô nghiệm
(2)2 Dạng đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c (a 0)
Trường hợp a > 0 a < 0
y’= có 3 nghiệm phân biệt
y’ = có 1 nghiệm
3 Dạng đồ thị hàm số y cxax db
(c0,ad bc0)
Trường hợp Dạng đồ thị
ad – bc > 0
ad – bc < 0
III SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐƯỜNG : 1 Giao điểm hai đồ thị :
Các đồ thị hàm số y = f(x) (C1) y = g(x) (C2) cắt điểm M0(x0;y0) y0=f(x0) y0=g(x0)
Tức (x0;y0) nghiệm hệ phương trình
( ) ( )
y f x
y g x
(3)Phương trình (1) gọi phương trình hồnh độ giao điểm (C1) (C2) Số nghiệm phương trình (1) số giao điểm (C1) (C2)
2 Điều kiện để đường tiếp xúc :
Hai đường cong (C1) (C2) tiếp xúc
( ) ( ) '( ) '( )
f x g x
f x g x
(2) có nghiệm Nghiệm hệ phương trình (2) hồnh độ tiếp điểm hai đường cong
IV Dùng phép chuyển hệ trục để chứng minh đồ thị hàm số có tâm đối xứng – trục đối xứng :
Phương pháp :
1 Để chứng minh I(x0;y0) tâm đối xứng đồ thị hàm số y = f(x) (C) : + Dùng phép chuyển trục từ Oxy sang IXY công thức :
0
x X x
y Y y
+ Biến đổi phương trình (C) : y = f(x) (trong Oxy) trở thành phương trình Y=F(X) (trong IXY)
+ Chứng minh : Y=F(X) hàm số lẻ
2 Để chứng minh đường thẳng x = x0 trục đối xứng đồ thị hàm số y = f(x) (C): + Dùng công thức chuyển hệ trục từ Oxy sang IXY : x X x0
y Y
(với I(x0;0))
+ Biến đổi phương trình (C) : y = f(x) (trong Oxy) trở thành phương trình Y=F(X) (trong IXY)
+ Chứng minh : Y=F(X) hàm số chẵn Chú ý :
+ Nếu f(x) hàm số lẻ đồ thị nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng + Nếu f(x) hàm số chẵn đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng V CÁC DẠNG BÀI TẬP :
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau:
a y= x3 – 3x2 - 9x + 11 b y = -x3 – x2 + 4 c y = x3 – 3x2 +3x – d y = -x3 + 3x2 – 4x + 3 e y = x3– 3x – f y = 2x3 +3x2 – 36x – 10 g y = (1- x)(x+2)2 h y = x3 + 3x2 + 3x +5 i y =
3 3 x x x
j
2 x x x
y
k y = - x3 + 3x2 – 5x +2 l y = x3 + 4x2 + 4x Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau:
a y = -x4 + 8x2 – 1 b y = x4 – 2x2 + 2 c y= 21 23
x
x d y = - 2x2 – x4 +
e y = - x4 + 2x2 f y = x4 + 4x2 – g y = - x4 – 2x2 + 3
h y =
2 2 x x
i y =
3 10
x
x j y = (x + 2)2(x - 2)2
3 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số sau: a 12
(4)d 11 x x y e x y f x x y g x x y h 2 x x y i 1 x x y
2 Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số:
Dạng 1: Tiếp tuyến điểm M 0(x0;y0) thuộc đồ thị hàm số: Phương pháp chung:
+ Xác định:- hoành độ tiếp điểm x0 - tung độ tiếp điểm y0 - Hệ số góc: k = f/ (x
0) + Phương trình tiếp tuyến có dạng:
y=f/(x
0)(x – x0) +y0
Các dạng thường gặp :
1) Biết hoành độ tiếp điểm x0 =>y0=f(x0) f’(x0)
2)Biết tung độ tiếp điểm y0, giải pt f(x0)=y0 tìm x0 => Hệ số góc: f/ (x0) 3) Biết hệ số góc f/ (x
0); giải pt f/ (x0)=0 tìm x0 => y0 4) Tiếp tuyến song song y =ax + b
=>Hệ số góc f/ (x
0)=a giải pt tìm x0; y0 5) Tiếp tuyến vuông góc y =ax + b =>Hệ số góc f/ (x
0)=
a
, giaûi pt tìm x0; y0
6) Tiếp tuyến tạo với đường thẳng y=ax+b góc cho trước => Hệ số góc k = f/ (x 0)
=> 1k a tg
ka
D
ng 2: Ti ế p ế n qua đ i ể m M 0(x0;y0) ( khơng thuộc đths) + Lập pt đường thẳng d qua M0(x0;y0) có hệ số góc k=f/(x0) y=f/(x
0)(x – x0) +y0 + d tieáp tuyeán (C): y= f(x)
<=>hệ phương trình sau có nghiệm
/
0 0
/
( ) ( )( ) (1)
( ) (2)
f x f x x x y
k f x
+ Thế (2) vào (1) pt tìm x suy hệ số góc k =>PTTT BÀI TẬP:
Bài 1: Cho hàm số y= 1
x x
(C)
1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) giao điểm với trục tung (ĐS: y= -2x-1)
Bài 2: Cho hàm số y= -x3+3x2+9x+2 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm có hồnh độ x0, biết f//(x
0) =-6 (ĐS: y= 9x+6) Bài 3: Cho hàm số y=1
3
(5)2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm có hồnh độ nghiệm phương trình f//(x) =0 (ĐS: y= 4x+6 y=-4x+3)
Bài 4: Cho hàm số y=1 4 6
3x 2x x (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm có hồnh độ nghiệm phương trình f//(x) =0
(ĐS: y= 17 145
4 x 24
)
Bài 5: Cho hàm số y= x3-3x+1 (C) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm có hồnh độ nghiệm phương trình f//(x) =0 (ĐS: y= -3x+1)
Bài 6: Cho hàm số y= x3-3x+1 (C) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) qua điểm A 2;
(ĐS: y= -3x+1 y=-1) Bài 7: Cho hàm số y= x3-3x2 +4
1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm có hồnh độ (ĐS: y= -3x+5)
Bài 8: Cho hàm số y= 3x
3-x2 (C) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) qua điểm A (3;0) (ĐS: y= 3x-9 y=0)
Bài 7: Cho hàm số y= 1
x x
(C)
1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C), biết tiếp tuyến qua điểm A (-1;3) (ĐS: y= 13
4x )
Bài 8: Cho hàm số y= x3- 6x2 + 9x (C) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm có hồnh độ nghiệm phương trình f//(x) =0 (ĐS: y= -3x+8)
Bài 9: Cho hàm số y=
2
x
x
(C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C), điểm A (0;3) (ĐS: y= 5x+3)
Bài 10: Cho hàm số y= -x3-+3x2 -2 (C) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm có hồnh độ nghiệm phương trình f//(x) =0 (ĐS: y= 3x-3)
Bài 11: Cho hàm số y=
2
x x
(C) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm A (1;-7) (ĐS: y= 13
4x )
(6)1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm A (2;4) (ĐS: y= 9x- 14)
Bài 13: Cho hàm số y= x4-2x2
1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm có hồnh độ -2 (ĐS: y= -24x-40)
Bài 14: Cho hàm số y= x3-3x2 +1
1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm có hồnh độ (ĐS: y= 9x-26)
Bài 15: Cho hàm số y =
x x
(C) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) giao điểm (C) với trục tung (ĐS: y=
4x 2)
Bài 16: Cho hàm số y= x4-2x2 +1 (C) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) điểm cực đại (C) (ĐS: y= 1)
Bài 17: Cho hàm số y= x3 +3x2 -1
1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) biết tiếp tuyến song song với
đường thẳng y=9x+2009 (ĐS: y= 9x -6 y=9x +26 ) Bài 18: Cho hàm số y = 2x3+3x2-5
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm A(1; -4) Bài 19: Cho hàm số y = 4x3-6x2+1 (1)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (1)
2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàn số (1), biết tiếp tuyến qua điểm M(-1;-9) (ĐS: y=24x+15 y=15 21
4 x ) Bài 21: Cho hàm số y = 1
3x 3-1
2x
2-2x-3
3 có đồ thị (C ) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d; y=4x+2 (ĐS:y=4x-26
3 y=4x+ 73
6 ) Bài 22: (Dự bị Khối B- 2003)
Cho hàm số y =2 1
x x
có đồ thị (C)
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)
b) Gọi I giao điểm hai đường tiệm cận (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C)tại M vng góc với đường thẳng IM
(7)Cho hàm số y = x+1
x có đồ thị (C)
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua điểm M(-1;7) Bài 24: (Dự bị Khối D- 2004)
Cho hàm số y =
x x
x
(1) có đồ thị (C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)
b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng x-3y+3=0
Bài 25: (Dự bị Khối D- 2008) Cho hàm số y =
2
x x
(C)
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)
b) Lập phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua giao điểm tiệm cận đứng trục Ox
Bài 26: (Dự bị Khối D- 2008) Cho hàm số y = xx13
(C)
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C)
b) Cho điểm M0(x0;y0) thuộc (C) Tiếp tuyến (C) M0 cắt tiệm cận (C) điểm A B Chứng minh M0 truntg điểm đoạn AB
Bài 27: (Dự bị1 Khối B- 2007) Cho hàm số y = –2x3 + 6x2 – 5 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)
2 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua A(–1, –13) Bài 28: (Dự bị Khối B- 2007)
Cho hàm số y x 2mx
(Cm)
1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số với m =
2 Tìm m để đồ thị (Cm) có cực đại điểm A cho tiếp tuyến với (Cm) A cắt trục oy B mà OBA vuông cân
Bài 29: (Dự bị Khối D - 2007) Cho hàm số y xx1
(C)
1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số
2 Viết phương trình tiếp tuyến d (C) cho d hai tiệm cận (C) cắt tạo thành tam giác cân
Bài 30: (Cao đẳng khoái A-B-D 2007) Cho hàm số y = x3 -3x2 +2 (C)
1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C)