Đang tải... (xem toàn văn)
Câu 11: (Tham khảo 2018) Trong không gian , cho hai điểm . Đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác và vuông góc với mặt phẳng có phương trình là: A. B. C. D. Lời giải. Ta có: Gọi là đường thẳng thỏa mãn khi đó có VTCP Ta có . Gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác Áp dụng hệ thức Suy ra cho đi qua điểm Do đó đi qua có VTCP nên đường thẳng có phương trình Câu 12: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Trong không gian với hệ tọa độ , cho ba điểm , , . Gọi là điểm khác sao cho , , đôi một vuông góc nhau và là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện . Tính . A. B. C. D. Lời giải Xét trục của , ta có , do đều nên đi qua trọng tâm và có VTCP suy ra . Ta thấy , suy ra nên giả sử . Ta có Có . Ta có , do tứ diện nội tiếp mặt cầu tâm nên . Câu 13: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu và hai đường thẳng ; . Phương trình nào dưới đây là phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với và song song với , . A. B. C. D. Lời giải. Mặt cầu có tâm ; . Vecto chỉ phương của : . Vecto chỉ phương của : . Gọi là mặt phẳng cần viết phương trình. Ta có nên chọn một véc tơ pháp tuyến của là . Mặt phẳng có phương trình tổng quát dạng . Do tiếp xúc với nên . Vậy phương trình của một mặt phẳng tiếp xúc với và song song với , là . Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ , cho hai đường thẳng , và mặt phẳng Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt phẳng đi qua giao điểm của và , đồng thời vuông góc với ? A. B. C. D. Lời giải: Tọa độ giao điểm của và là Mặt phẳng cần tìm đi qua và nhận làm VTCP có phương trình Câu 15: Trong không gian cho điểm và hai đường thẳng , . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua và vuông góc với và . A. B. C. D. Lời giải +) VTCP của lần lượt là và ; +) Vì vuông góc với và nên . +) đi qua nên . Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt cầu , điểm và mặt phẳng . Gọi là đường thẳng đi qua , thuộc (P) và cắt tại 2 điểm sao cho nhỏ nhất. Biết rằng có một vectơ chỉ phương là , tính . A. B. C. D. Lời giải Nhận thấy điểm nằm bên trong mặt cầu . Để nhỏ nhất khi lớn nhất. Ta thấy . Dấu ‘=’ xảy ra khi . Suy ra và nên Suy ra . Câu 17: (Đề minh họa lần 1 2017) Trong không gian với hệ tọa độ cho điểm và đường thẳng có phương trình: . Viết phương trình đường thẳng đi qua , vuông góc và cắt . A. B. C. D. Lời giải Cách 1: Đường thẳng có véc tơ chỉ phương Gọi là mặt phẳng qua điểm và vuông góc với đường thẳng , nên nhận véc tơ chỉ phương của là vecto pháp tuyến Gọi là giao điểm của mặt phẳng và đường thẳng Vì Ta có đường thẳng đi qua và nhận vecto là véc tơ chỉ phương có dạng . Cách 2: Gọi , Đường thẳng có VTCP là Vì nên Suy ra .Ta có đường thẳng đi qua và nhận véc tơ là véc tơ chỉ phương có dạng . Câu 18: (Đề minh họa lần 1 2017) Trong không gian với hệ tọa độ , cho bốn điểm , , và . Hỏi tất cả có bao nhiêu mặt phẳng cách đều bốn điểm đó? A. mặt phẳng B. mặt phẳng C. mặt phẳng D. có vô số Lời giải Ta có: Suy ra và là 4 đỉnh của một tứ diện. Các mặt phẳng cách đều 4 đỉnh của tứ diện gồm có 7 trường hợp sau:
8 A(2; 2;1), B (− ; ; ) 3 Đường thẳng Câu 11: (Tham khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm qua tâm đường trịn nội tiếp tam giác OAB vng góc với mặt phẳng (OAB ) có phương trình là: x +1 y − z +1 x +1 y − z − = = = = −2 −2 A B 1 11 2 x+ y− z− x+ y− z+ 3= 3= 9= 9= − 2 − 2 C D Lời giải uuu r uuur OA; OB = ( 4; −8;8 ) Ta có: r u = ( 1; −2; ) Gọi d đường thẳng thỏa mãn d có VTCP Ta có OA = 3, OB = 4, AB = Gọi I ( x; y; z ) tâm đường tròn nội tiếp tam giác OAB uu r uur uur r Áp dụng hệ thức OB.IA + OA.IB + AB.IO = uuu r uur uuu r uur uur r uur uuu r uuu r ⇔ 4.(OA − OI ) + 3.(OB − OI ) + 5.IO = ⇔ OI = 4OA + 3OB ⇒ I ( 0;1;1) 12 x = t d : y = − 2t z = + 2t Suy cho t = −1 ⇒ d qua điểm M (−1;3; −1) ( ) r u M ( − 1;3; − 1) Do d qua có VTCP = (1; −2; 2) nên đường thẳng có phương trình x +1 y − z +1 = = −2 Câu 12: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A ( −2;0; ) , B ( 0; −2;0 ) C ( 0;0; −2 ) , Gọi D điểm khác O cho DA , DB , DC đôi vng góc A S = −4 I ( a; b; c ) tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Tính S = a + b + c B S = −1 C S = −2 D S = −3 Lời giải ABC ) : x + y + z + = Xét trục d ∆ABC , ta có ( , ∆ABC nên d qua trọng tâm x = − + t d : y = − +t 2 2 r G− ;− ;− ÷ z = − +t 3 có VTCP u = (1;1;1) suy ∆ DAB = ∆ DBC = ∆ DCA DA = DB = DC ⇒ D∈d Ta thấy , suy nên giả sử 2 D − + t; − + t ; − + t ÷ 3 uuur 2 uuur uuur 2 AD = + t; − + t; − + t ÷; BD = − + t; + t; − + t ÷; CD = − + t; − + t ; + t ÷ 3 3 3 3 Ta có 4 4 uuur uuur AD.BD = t = − ⇒ D − ; − ; − ÷ ⇒ uuur uuur AD.CD = t = ⇒ D 0;0;0 (loai) ( ) Có 2 I ∈ d ⇒ I − + t; − + t; − + t ÷ 3 , tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu tâm I nên Ta có IA = ID ⇒ t = Câu 13: 1 1 ⇒ I − ; − ; − ÷ ⇒ S = −1 3 3 (THPT QG 2017 Mã đề 110) Trong không gian với hệ tọa độ ( S) : ( x + 1) + ( y − 1) + ( z + 2) ∆: 2 =2 hai thẳng x y z−1 = = 1 −1 Phương trình phương trình mặt phẳng tiếp xúc với ( S) song song với d , ∆ A đường Oxyz , cho mặt cầu x− y z− d: = = −1 ; y+ z+ 3= B x + z + = C Lời giải x + y + 1= D x + z − 1= I ( −1;1− 2) R = ; r r u u d = ( 1;2; −1) ∆ = ( 1;1; −1) Vecto phương d : Vecto phương ∆ : ( P ) mặt phẳng cần viết phương trình Gọi r r r ud ,u∆ = ( −1;0; −1) n = ( 1;0;1) P ( ) Ta có nên chọn véc tơ pháp tuyến ( P ) có phương trình tổng qt dạng x + z + D = Mặt phẳng −1− + D d I ;( P ) = R ⇔ = ( P ) tiếp xúc với ( S) nên Do D = ⇔ D − = 2⇔ D = ( S) song song với d , ∆ x + z + 1= Vậy phương trình mặt phẳng tiếp xúc với Mặt cầu ( S) có tâm ( Câu 14: ) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng x = 1+ 3t d1 : y = −2 + t z = x− y + z d2 : = = −1 mặt phẳng ( P ) : 2x + 2y − 3z = Phương trình d ( P ) , đồng thời vuông góc với d2 ? phương trình mặt phẳng qua giao điểm A 2x − y + 2z − 13 = B 2x − y + 2z + 22 = C 2x − y + 2z + 13 = D 2x + y + 2z − 22 = Lời giải: Tọa độ giao điểm , d1 ( P ) A ( 4; −1;2) Mặt phẳng cần tìm qua A nhận r u2 ( 2; −1;2) làm VTCP có phương trình 2x − y + 2z − 13 = x− y+ z− ∆: = = M −1;1;3 Oxyz , Câu 15: Trong không gian cho điểm hai đường thẳng x+ y z ∆′ : = = −2 Phương trình phương trình đường thẳng qua M ( vng góc với ∆ ∆′ x = −1− t y = 1+ t z = 1+ 3t A B x = −t y = 1+ t z = 3+ t ) x = −1− t y = 1− t z = 3+ t x = −1− t y = 1+ t z = 3+ t C D Lời giải r r r r u = ( 3;2;1) v = ( 1;3; −2) u , v = ( −7;7;7) ′ ∆ , ∆ +) VTCP ; r u = ( −1;1;1) +) Vì d vng góc với ∆ ∆′ nên d M ( −1;1;3) +) d qua nên x = −1− t d : y = 1+ t z = 3+ t (S) : x2 + y2 + z2 = ; 2) Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu , điểm M (1;1 mặt phẳng (P ) : x + y + z − = Gọi ∆ đường thẳng qua M , thuộc (P) rcắt (S) điểm A , B cho AB nhỏ Biết ∆ có vectơ phương u(1; a ; b) , tính T = a− b A T = B T = −1 C T = −2 D T = Lời giải ( S) Để AB = R2 − d2(O , ∆) nhỏ Nhận thấy điểm M nằm bên mặt cầu d( O , ∆ ) lớn Ta thấy d( O , ∆ ) ≤ OM = const 1+ a+ b = Dấu ‘=’ xảy ∆ ⊥ OM a = −1 rr ⇔ r uuur u = nP = nên 1+ a+ 2b = b = Suy uOM Suy T = a− b = −1 A ( 1;0; ) Câu 17: (Đề minh họa lần 2017) Trong không gian vơi toa đ ô Oxyz cho điểm và đường thẳng d x −1 y z +1 = = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A , vuông góc và cắt d có phương trình: x −1 y z − = = 1 A x −1 y z − x −1 y z − = = = = −1 B C Lời giải x −1 y z − = = −3 D Cách 1: d: x −1 y z +1 r = = 1 có véc tơ phương u = ( 1;1; ) Đường thẳng ( P ) mặt phẳng qua điểm A vng góc với đường thẳng d , nên nhận véc tơ Gọi ( P ) :1( x − 1) + y + ( z − ) = ⇔ x + y + z − = phương d vecto pháp tuyến ( P ) đường thẳng d ⇒ B ( + t ;t ;− + 2t ) Gọi B giao điểm mặt phẳng B ∈ ( P ) ⇔ ( + t ) + t + ( −1 + 2t ) − = ⇔ t = ⇒ B ( 2;1;1) Vì uuu r AB = ( 1;1; −1) ∆ A Ta có đường thẳng qua nhận vecto véc tơ phương có dạng ∆: x −1 y z − = = 1 −1 Cách 2: d ∩ ∆ = B ⇒ B ( + t ; t ; −1 + 2t ) Gọi uuu r uu r AB = ( t ; t ; −3 + 2t ) ud = ( 1;1; ) d , Đường thẳng có VTCP uuu r uu r uuu r uu r AB ⊥ u ⇔ AB u = ⇔ t + t + ( −3 + 2t ) = ⇔ t = d d Vì d ⊥ ∆ nên Suy uuu r AB = ( 1;1; −1) Ta có đường thẳng ∆ qua véc tơ phương có dạng ∆: A ( 1; 0; ) nhận véc tơ uuu r AB = ( 1;1; −1) x −1 y z − = = 1 −1 A ( 1; −2;0 ) B ( 0; −1;1) Câu 18: (Đề minh họa lần 2017) Trong không gian vơi toa đô Oxyz , cho bốn điểm , , C ( 2;1; −1) và D ( 3;1; ) Hoi tât ca có măt phẳng cach bốn điểm đó? C mặt phẳng D có vơ số Lời giải uuur uuur uuur uuur uuur uuur AB = ( −1;1;1) , AC = ( 1;3; −1) , AD = ( 2;3; ) ⇒ AB; AC AD = −24 ≠ Ta có: Suy A, B , C D đỉnh tứ diện Các mặt phẳng cách đỉnh tứ diện A mặt phẳng B mặt phẳng ABCD gồm có trường hợp sau: Câu 19: (Đề tham khảo lần 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng x −1 y + z − = = −1 Phương trình phương hình hình chiếu vng góc d mặt phẳng x + = ? x = −3 x = −3 x = −3 x = −3 y = −5 − t y = −5 + 2t y = −5 + t y = −6 − t z = −3 + 4t z = + 4t z = − t z = + 4t A B C D Lời giải d: r u = ( 2; −1; ) Cách 1: Đường thẳng d qua điểm M (1; −5;3) có VTCP d Gọi ( Q) ( P) : x + = mặt phẳng chứa d vng góc với Suy mặt phẳng ( Q) ⇒ ( Q ) : y + z + 17 = r r [ n ; u ] = ( 0; 4;1) qua điểm M (1; −5;3) có VTPT P d ( P ) Phương trình hình chiếu vng góc d mặt phẳng x = −3 4 y + z + 17 = y = −6 − t z = + 4t x + = hay Cách 2: Ta có M ∈ d ⇒ M ( + 2t ; −5 − t ;3 + 4t ) Gọi M ′ hình chiếu M x = −3 d ′ : y = −5 − t ( P ) : x + = Suy M ′ ( −3; −5 − t ;3 + 4t ) Suy z = + 4t So sánh với phương án, ta chọn D đáp án Câu 20: Oxyz , cho mặt phẳng (Đề tham khảo lần 2017) Trong không gian với hệ tọa độ ( P ) : x − y + z − 35 = điểm A ( −1;3;6 ) OA ' A OA′ = 26 B OA′ = C OA′ = 46 D OA′ = 186 ( P ) , tính Gọi A ' điểm đối xứng với A qua Lời giải ( P ) nên AA′ vng góc với ( P ) + A′ đối xứng với A qua x = −1 + 6t y = − 2t z = + t +Suy phương trình đường thẳng AA′ : ( P ) ⇒ H ( −1 + 6t ;3 − t;6 + t ) +Gọi H giao điểm AA′ mặt phẳng ( P ) ⇒ ( −1 + 6t ) − ( − 2t ) + 1( + t ) − 35 = + Do H thuộc ⇔ 41t − 41 = ⇔ t = ⇒ H ( 5;1;7 ) ( P ) nên H trung điểm AA′ + A′ đối xứng với A qua ⇒ A′ ( 11; −1;8 ) ⇒ OA′ = 112 + ( −1) + 82 = 186 Câu 21: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng d2 : ( P) song x y- z- = = - - song cách hai đường thẳng d1 : x- y z = = - 1 A ( P) : x - z +1 = B ( P ) : y - z +1 = C ( P ) : x - y +1 = D ( P) : y - z - = Lời giải r A ( 2;0;0 ) u = ( −1;1;1) d Ta có: qua điểm có VTCP r d qua điểm B ( 0;1; ) có VTCP u2 = ( 2; −1; −1) ( P) Vì song song với hai đường thẳng Khi ( P) d1 d2 ( P) nên VTPT r r r n = [u1 , u2 ] = ( 0;1; −1) có dạng y − z + D = ⇒ loại đáp án A C M 0; ;1÷ ( P ) cách d1 d nên ( P ) qua trung điểm AB Lại có Do ( P ) : y − 2z +1 = A ( 0;0;1) Câu 22: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, xét điểm , B ( m;0;0 ) C ( 0; n;0 ) D ( 1;1;1) , , với m > 0; n > m + n = Biết ( ABC ) tồn mặt cầu cố định tiếp xúc với mặt phẳng mặt cầu đó? A R = Gọi B I ( 1;1;0 ) R= 2 C Lời giải R= m , n thay đổi, qua D Tính bán kính R R= D hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng (Oxy ) x y + + z =1 ( ABC ) m n Ta có: Phương trình theo đoạn chắn mặt phẳng là: Suy phương trình tổng quát ( ABC ) nx + my + mnz − mn = Mặt khác d ( I ; ( ABC ) ) = − mn m2 + n2 + m2 n2 =1 ( ) ID = = d ( I ; ( ABC ) (vì m + n = ) Nên tồn mặt cầu tâm I (là hình chiếu vng góc D lên mặt phẳng Oxy ) tiếp xúc với ( ABC ) qua D Khi R = E ( 2;1;3) Câu 1: (Tham khảo THPTQG 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm , mặt phẳng ( P) : 2x + y − z − = ( S ) : ( x − 3) + ( y − ) + ( z − ) = 36 2 mặt cầu Gọi ∆ đường ( P ) cắt ( S ) hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương trình thẳng qua E , nằm ∆ x = + 9t y = + 9t z = + 8t A Mặt cầu ( S) có tâm x = − 5t y = + 3t z = B I ( 3; 2;5 ) x = + t y = 1− t z = C Lời giải x = + 4t y = + 3t z = − 3t D bán kính R = IE = 12 + 12 + 22 = < R ⇒ điểm E nằm mặt cầu ( S ) ( P ) , A B hai giao điểm ∆ với ( S ) Gọi H hình chiếu I mặt phẳng AB ⊥ ( HIE ) ⇒ AB ⊥ IE Khi đó, AB nhỏ ⇔ AB ⊥ OE , mà AB ⊥ IH nên uur uur uur u = n ; EI = ( 5; −5; ) = ( 1; −1;0 ) Suy ra: ∆ P x = + t y = 1− t z = Vậy phương trình ∆ ( S ) có tâm I ( −2;1; ) và qua Câu 2: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) cho AB, AC , AD đôi vuông góc vơi Xét cac điểm B, C , D thuộc Thể tích khới tứ diện ABCD có gia trị lơn nhât điểm A 72 A ( 1; −2; −1) B 216 C 108 D 36 Lời giải 2 Ta có: AI = + + = 3 Dựng hình hộp chữ nhật ABEC.DFGH I là tâm mặt cầu ngoại tiếp A.BCD ⇒ I là trung điểm AG ⇒ AG = AI = 2 2 Đăt AB = x, AC = y , AD = z , ta có: AG = AB + AC + AD Co − si 2 ⇒ 108 = x + y + z ≥ 3 x y z ⇒ xyz ≤ 363 = 216 Lại có: VABCD = 1 xyz ≤ 216 = 36 6 Dâu đẳng thức xay ⇔ x = y = z = Vậy max VABCD = 36 ( S ) có tâm I ( 1;2;3) Câu 3: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) cho AB, AC , AD đôi Xét điểm B, C , D thuộc vng góc với Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn qua điểm A ( 5; −2; −1) A 256 256 C B 128 128 D Lời giải Bán kính mặt cầu R = IA = Do AB, AC , AD đơi vng góc với nên 2 2 Suy AB + AC + AD = R Áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có: R= AB + AC + AD 2 AB + AC + AD ≥ 3 AB AC AD ⇒ R ≥ 3 AB AC AD 3 ⇒ AB AC AD ≤ R = 512 256 AB AC AD ≤ 256 MaxVABCD = Đạt AB = AC = AD = Vậy ⇒ VABCD = ( S ) có tâm Câu 4: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu I ( −1;0; ) ( S ) cho AB , AC , Xét điểm B , C , D thuộc AD đơi vng góc với Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn qua điểm A A ( 0;1;1) C B D Lời giải Đặt: AD = a , AB = b , AC = c Ta có: R = IA = • AM = • b2 + c2 a b2 + a + c2 ; IM = ⇒ R = IA2 = =3 2 b + a + c ≥ 3 b a c ⇒ b a 2c AD BĐT Cosi: 1 ⇒ V = abc ≤ = 6 Câu 5: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ( S ) : ( x − 2) + ( y − 3) + ( z − ) = 2 (b ≤ 27 ĐỀ 102) và điểm + a2 + c2 ) Trong A ( 1; 2;3) ⇔ abc ≤ không gian Oxyz, cho mặt Xét cac điểm M thuộc ( S) cầu cho ( S ) , M thuộc mặt phẳng có phương trình là đường thẳng AM tiếp xúc vơi A x + y + z + 15 = C x + y + z + = B x + y + z − 15 = D x + y + z − = Lời giải ( S) I ( 2;3; ) bán kính r = ( S ) nên IM ⊥ AM ⇒ AM = AI − IM Do AM tiếp tuyến mặt cầu Mặt cầu có tâm Ta có AI = 3; IM = ⇒ AM = Gọi H tâm đường tròn tạo tiếp điểm M ta có ∆AHM đồng dạng với ∆AMI AH AM AM = ⇒ AH = = AI AI Suy AM ( α ) mặt phẳng chứa tiếp điểm M Khi ( α ) có vectơ pháp tuyến Gọi r uur n = AI = ( 1;1;1) nên phương trình có dạng x + y + z + d = 6+d d = −5 d ( A, ( α ) ) = AH ⇔ = ⇔ 6+ d =1⇔ 3 d = −7 Do ( α ) : x + y + z − = 0; ( α ) : x + y + z − = Vậy d ( I , ( α1 ) ) = > (α ) ( S ) (loại) Do nên không cắt d ( I , ( α2 ) ) = Và < (α ) ( S ) (TM) nên cắt Câu 6: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng A ( 1; −3;5 ) đường thẳng qua điểm và có vectơ phương nhon tạo d và ∆ có phương trình là A x = −1 + 2t y = − 5t z = + 11t B x = −1 + 2t y = − 5t z = −6 + 11t C r u ( 1; 2; −2 ) x = + 7t y = −3 + 5t z = + t x = + 3t d : y = −3 z = + 4t Goi ∆ là Đường phân giac góc D x = 1− t y = −3 z = + 7t Lời giải A ( 1; −3;5 ) thuộc đường thẳng d , nên giao điểm d ∆ r v ( −3; 0; −4 ) Một vectơ phương đường thẳng d Ta xét: ur r 1 2 u1 = r u u = ( 1; 2; −2 ) = ; ; − ÷ ; ur r 4 v1 = r v v = ( −3;0; −4 ) = − ;0; − ÷ ur ur ur ur u1 v1 u1.v1 > Nhận thấy , nên góc tạo hai vectơ , góc nhọn tạo d ∆ uu r ur ur = − ; 10 ; − 22 ÷ = − 15 ( 2; −5;11) w = u1 + v1 15 15 15 Ta có vectơ phương đường phân giác Ta có điểm A ( 1; −3;5) góc nhọn tạo d ∆ hay đường phân giác góc nhọn tạo d ∆ có vectơ x = −1 + 2t y = − 5t uur z = −6 + 11t w = ( 2; −5;11) phương Do có phương trình: A ( 1; 2;1) B ( 3; −1;1) C ( −1; −1;1) Câu 7: (Tham khảo 2018) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm , Gọi ( S1 ) (S ) (S ) mặt cầu có tâm A , bán kính ; hai mặt cầu có tâm (S ) B , C bán kính Hỏi có mặt phẳng tiếp xúc với ba mặt cầu , ( S ) , ( S3 ) A B C Lời giải D ( P ) tiếp xúc với ba mặt cầu cho có phương trình là: Gọi phương trình mặt phẳng ax + by + cz + d = ( đk: a + b + c > ) a + 2b + c + d =2 2 a +b +c 3a − b + c + d =1 d ( A; ( P ) ) = ⇔ 2 a + b + c −a − b + c + d d ( B; ( P ) ) = =1 2 d C ; P = ( ) ( ) a + b + c Khi ta có hệ điều kiện sau: a + 2b + c + d = a + b + c ⇔ 3a − b + c + d = a + b + c 2 −a − b + c + d = a + b + c 3a − b + c + d = − a − b + c + d ⇔ 3a − b + c + d = −a − b + c + d 3a − b + c + d = a + b − c − d Khi ta có: a = ⇔ a − b + c + d = với a = ta có 2b + c + d = b + c 2b + c + d = b + c ⇔ 4b − c − d = 2b + c + d = −b + c + d c + d = c + d = ⇒ c = d = 0, b ≠ ⇔ c + d = 4b, c = ±2 2b có mặt phẳng 3b = a + b + c 3b = a ⇔ ⇔ 2 2 2 2a = a + b + c 2a = a + b + c Với a − b + c + d = ta có b = a ⇔ c = 11 a có mặt phẳng thỏa mãn tốn.Vậy có mặt phẳng thỏa mãn toán Câu 8: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Trong không gian với hệ tọa độ A ( 3; −2;6) , B( 0;1;0) ( S) : ( x − 1) + ( y − 2) + ( z − 3) mặt cầu Oxyz , cho hai điểm = 25 Mặt phẳng ( P ) : ax + by + cz − = qua A , B cắt ( S) theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Tính T = a+ b+ c A T = B T = C T = Lời giải D T = ( S) có tâm I ( 1;2;3) bán kính R = Mặt cầu A ∈ ( P ) 3a− 2b+ 6c − = a = 2− 2c ⇔ ⇔ B∈ ( P ) b− = b = Ta có ( ) ( ) r = R2 − d I ;( P ) = 25− d I ;( P ) Bán kính đường trịn giao tuyến ( ) d I ;( P ) Bán kính đường trịn giao tuyến nhỏ lớn − 2c + + 3c − 2 a+ 2b+ 3c − = c + ( ) d I ,( P ) = 2 2 − 2c) + 22 + c2 = 5c2 − 8c + ( a + b + c Ta có −48c2 − 144c + 192 ⇒ f ′ ( c) = 2 c + 4) c + 4) ( ( 5c − 8c + f ( c) = 5c2 − 8c + 5c2 − 8c + Xét ( ) ( ) c = f ′ ( c) = ⇔ c = −4 Bảng biến thiên Vậy ( d I ;( P ) ) lớn c = 1⇒ a = 0,b = ⇒ a+ b+ c = Oxyz , cho hai điểm A ( 4;6;2) Câu 9: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Trong không gian với hệ tọa độ B( 2; − 2;0) ( P ) : x + y + z = Xét đường thẳng d thay đổi thuộc ( P ) qua mặt phẳng B , gọi H hình chiếu vng góc A d Biết d thay đổi H thuộc đường trịn cố định Tính bán kính R đường trịn A R = B R = C R = D R = Lời giải ⇒ I ( 3;2;1) Gọi I trung điểm AB 3+ + d I ;( P ) = =2 3 AB ′= R =3 S I 3;2;1 ( ) mặt cầu có tâm ( ) bán kính Gọi ( Ta có ) H ∈ ( S) Mặt khác H ∈( P) nên H ∈ ( C ) = ( S) ∩ ( P ) Bán kính đường tròn Câu 10: ( C) ( ( ) − ( 3) ) R = R′2 − d2 I ;( P ) = = (Đề tham khảo lần 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng ( P) : x − y + 2z − = mặt cầu ( S ) : x + y + z + x − y − z + = Giả sử A MN = B MN = + 2 M ∈( P) r uuuu r u ( 1;0;1) N ∈( S ) cho MN phương với vectơ khoảng cách M N lớn Tính MN Mặt phẳng ( P) có vtpt r n = ( 1; − 2;2) D MN = 14 C MN = Lời giải ( S) Mặt cầu có tâm ( I ( −1; 2; 1) bán kính r = ) r r d I ; ( P ) = > 1= r ο ( P ) không cắt ( S) Nhận thấy góc u n 45 Vì nên NH MN = = NH ο · sin 45ο Gọi H hình chiếu N NMH = 45 nên MN lớn NH lớn Điều xảy N ≡ N ′ H ≡ H ′ với N ′ giao ( P) lên ( P ) H ′ hình chiếu I lên ( P ) điểm đường thẳng d qua I , vng góc Lúc ( ) NH max = N ′H ′ = r + d I ; ( P ) = MN max = NH max =3 sin45ο S : x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 16 Câu 14 [MH-2020] Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( ) ( Tâm ( S ) có tọa độ ( −1; − 2; − 3) ( 1; 2;3) ( −1; 2; − 3) ( 1; − 2;3) A B C D Lời giải Chọn D S : x − a) Mặt cầu ( ) ( Suy ra, mặt cầu + ( y − b) + ( z − c ) = R2 ( S ) :( x − 1) 2 có tâm + ( y + ) + ( z − 3) = 16 I ( a ;b; c) có tâm 2 I ( 1; − 2;3) ( α ) : x + y − z + = Vectơ Câu 15 [MH-2020] Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (α) ? đâyuu r vectơ pháp tuyến ucủa u r ur uu r n2 = ( 3; 2; ) n3 = ( 2; − 4;1) n1 = ( 3; − 4;1) n4 = ( 3; 2; − ) A B C D Lời giải Chọn D r α ) : 3x + y − z + = n = ( 3; 2; − ) ( Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến Câu 35 [MH-2020] Trong không gian Oxyz , vectơ sau vectơ phương đường M ( 2;3; −1) N ( 4;5;3) thẳng ? ur uu r qua hai điểm uu r uu r u4 = ( 1;1;1) u3 = ( 1;1; ) u1 = ( 3; 4;1) u2 = ( 3; 4; ) A B C D Lời giải Chọn B uuuu r uuuu r uu r uu r MN = ( 2; 2; ) MN = 2.u3 u3 Ta có , suy Do vectơ phương đường thẳng MN r r a = ( 1;0;3) b = ( −2; 2;5 ) Câu 32 [MH-2020] Trong không gian Oxyz , cho vectơ Tích vơ r r r a a + b hướng 25 A B 23 C 27 D 29 Lời giải Chọn B ( ) r r a + b = ( −1; 2;8 ) Ta có r r r a a + b = ( −1) + 0.2 + 3.8 = 23 Suy r r r a a + b = 23 Vậy ( ( Câu 33 ) ) ( S ) có tâm I ( 0; 0; − 3) qua Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu M ( 4;0;0 ) điểm ( S ) Phương trình 2 x + y + ( z + 3) = 25 x + y + ( z + 3) = A B [MH-2020] x + y + ( z − 3) = 25 C x + y + ( z − 3) = D Lời giải Chọn A Phương trình mặt cầu ( S) có tâm I ( 0;0; − 3) x + y + ( z + 3) = R bán kính R là: M ∈ ( S ) ⇒ 42 + 02 + ( + 3) = R ⇔ R = 25 Ta có: x + y + ( z + 3) = 25 Vậy phương trình cần tìm là: M ( 1;1; − 1) Câu 34 [MH-2020] Trong không gian Oxyz , mặt phẳng qua điểm vng góc với x +1 y − z −1 ∆: = = 2 có phương trình đường thẳng A x + y + z + = B x − y − z = C x + y + z − = D x − y − z − = Lời giải Chọn C x + y − z −1 r ∆: = = 2 ∆ có vec-tơ phương u = ( 2; 2;1) ( α ) mặt phẳng cần tìm Gọi r ∆ ⊥ (α) u = ( 2; 2;1) (α) Có , nên vec-tơ pháp tuyến r α) M ( 1;1; − 1) u = ( 2; 2;1) ( Mặt phẳng qua điểm có vec-tơ pháp tuyến ( α ) x + y + z − = Nên phương trình M ( 2; − 2;1) Câu 13 [MH-2020] Trong khơng gian Oxyz , hình chiếu vng góc điểm mặt Oxy ( ) có tọa độ phẳng ( 2; 0;1) ( 2; − 2;0 ) ( 0; − 2;1) ( 0;0;1) A B C D Lời giải Chọn B M ( x0 ; y0 ; z0 ) ( Oxy ) điểm M ′ ( x0 ; y0 ; ) Ta có hình chiếu điểm mặt phẳng M ( 2; − 2;1) ( Oxy ) điểm M ′ ( 2; − 2;0 ) Do hình chiếu điểm mặt phẳng Câu 16 [MH-2020] Trong không gian x +1 y − z −1 d: = = −1 3 ? A P ( −1; 2;1) B Oxyz , điểm thuộc đường thẳng Q ( 1; − 2; − 1) C Lời giải N ( −1;3; ) D P ( 1; 2;1) Chọn A Thay tọa độ điểm vào phương trình đường thẳng ta thấy điểm P ( −1; 2;1) −1 + − − = = =0 P ( −1; 2;1) −1 3 Vậy điểm thuộc đường thẳng yêu cầu thỏa ... lớn − 2c + + 3c − 2 a+ 2b+ 3c − = c + ( ) d I ,( P ) = 2 2 − 2c) + 22 + c2 = 5c2 − 8c + ( a + b + c Ta có −48c2 − 144c + 1 92 ⇒ f ′ ( c) = 2 c + 4) c + 4) ( ( 5c − 8c + f ( c) = 5c2 − 8c + 5c2 −... + 2z + 22 = C 2x − y + 2z + 13 = D 2x + y + 2z − 22 = Lời giải: Tọa độ giao điểm , d1 ( P ) A ( 4; −1 ;2) Mặt phẳng cần tìm qua A nhận r u2 ( 2; −1 ;2) làm VTCP có phương trình 2x − y + 2z − 13... ( 2; 2; ) MN = 2. u3 u3 Ta có , suy Do vectơ phương đường thẳng MN r r a = ( 1;0;3) b = ( ? ?2; 2; 5 ) Câu 32 [MH -20 20] Trong không gian Oxyz , cho vectơ Tích vơ r r r a a + b hướng 25 A B 23