DE DAP AN HSG TOAN 8 HAYDEP

Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng.. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng.[r]

đề thi Học sinh giỏi toán 8

Năm học 2009 - 2010 Bài 1: (4 điểm)

Phân tích đa thức sau thành nhân tö: 1. x2 7x 6

 

2. x4 2010x2 2009x 2010

  

Bµi 2: (4điểm)

Giải phơng trình:

1. x2  3x2 x 1 0

2.  

2 2

2

2

2

1 1 1 1

8 x 4 x 4 x x x 4

x x x x

       

       

       

       

Bµi 3: (4điểm)

CMR với a,b,c,là sè d¬ng ,ta cã: (a + b + c)(111)9 c b a

2 Tìm d phép chia đa thøc (x2)(x4)(x6)(x8) 2010 cho ®a thøc

2 10 21

x  x .

Bµi 4: (6 ®iĨm)

Cho tam giác ABC vng A (AC > AB), đờng cao AH (HBC) Trên tia HC lấy điểm D cho HD = HA Đờng vng góc với BC D cắt AC E.

1 Chứng minh hai tam giác BEC ADC đồng dạng Tính độ dài đoạn BE theo m= AB.

2 Gọi M trung điểm đoạn BE Chứng minh hai tam giác BHM BEC đồng dạng Tính số đo góc AHM

3 Tia AM cắt BC G Chứng minh: GB HD

BC AH HC . Bài 5:(2 điểm)

Cho tứ giác ABCD có diện tích 1và O điểm nằm tứ giác.Chứng minh tổng OA2 OB2 OC2 OD2

   nhá nhÊt ABCD hình vuông và

O giao điểm hai đờng chéo.

Bài 1 Câu Nội dung Điểm

1. 4,0

1.1 (1,5 điểm)

  

2

7 6 6

x  x x  x x x x  x

x1 x6

1,0 0,5

1.2 (2,5 ®iĨm)

4 2010 2009 2010 2009 2009 2009 1

x  x  x x x  x  x  0,5

=x4 x2 1 2009(x2 x 1) (x2 1)2 x2 2009(x2 x 1)

           1,0

2 2 2

(x x 1)(x x 1) 2009(x x 1) (x x 1)(x x 2010)

             1,0

2. 4,0

2.1 x2 3x 2 x 1 0      (1)

+ NÕu x1: (1) x12  0 x1 (tháa m·n ®iỊu kiƯn x1)

+ NÕu x1: (1)  x2 4x  3 x2 x 3x1  0 x1 x 30

 x1; x3 (cả hai không bé 1, nên bị loại) Vậy: Phơng trình (1) có nghiệm x1

1,0 1,0 2.2

 

2 2

2

2

2

1 1

8 x x x x x

x x x x

       

       

       

       

(2) Điều kiện để phơng trình có nghiệm: x0

(2)  

2

2

2

2

1 1

8 x x x x x

x x x x

 

       

                

        

   

2

2

2

1

8 x x x x 16

x x

   

           

   

0

x hay x

   vµ x0

Vậy phơng trình cho có nghiệm x8

3 4.0 3.1 Ta cã:

A=(   )(111)1   1   1 b c a c c b a b c a b a c b a c b a =3 ( ) ( ) ( )

c b b c a c c a a b b a      

Mµ:  2 x y y x

(BĐT Cô-Si)

Do A32229 Vậy A9

0,5 0,5 0,5 0,5 3.2 Ta cã:

2

( ) ( 2)( 4)( 6)( 8) 2010 ( ) ( 10 16)( 10 24) 2010

P x x x x x

P x x x x x

     

     

Đặt t x 210x21 (t3;t7), biểu thức P(x) đợc viết lại: ( ) ( 5)( 3) 2010

P x  t t  =t2 2t 1995  

Do chia t2 2t 1995

  cho t ta cã sè d lµ 1995

1,0

1,0

4 6,0

4.1 + Hai tam giác ADC BEC có: Góc C chung

CD CA

CE CB (Hai tam giác vuông CDE CAB đồng

d¹ng)

Do đó, chúng dồng dạng (c.g.c) Suy ra: BEC ADC 1350

 (vì tam giác AHD vuông cân

tại H theo giả thiết) Nên AEB 450

ú tam giác ABE vuông cân A Suy ra:

2

BEAB m

1,0

1,0 0,5 4.2

Ta cã: 1

2

BM BE AD

BC  BC AC (do BECADC)

mà ADAH 2 (tam giác AHD vuông vân H)

nên 1

2 2

BM AD AH BH BH

BC  AC   AC AB BE (do ABH CBA)

Do BHM BEC (c.g.c), suy ra:   

135 45

BHM BEC  AHM 

1,0 1,0 0,5 4.3 Tam giác ABE vuông cân A, nên tia AM phân giác góc BAC

Suy ra: GB AB

GC AC , mµ    // 

AB ED AH HD

ABC DEC ED AH

AC DC   HC HC 0,5

Do đó: GB HD GB HD GB HD

GC HC  GB GC HD HC  BC AH HC 0,5

Câu5 2,0

Đặt OA= a; OB = b ; OC = c; OD = d.Ta cã: a2 b2 2ab4SAOB

T¬ng tù : b2 c2 4SBOC c2 d2 4SCOD d2 a2 4SDOA

Suy ra: 2(a2 b2 c2 d2) 4 SABCD 4

Giá trị nhỏ a b c d2 2 2 2b»ng 2khi vµ chØ a = b =c =d vµ AOB = BOC=COD =DOA =900tøc ABCD hình vuông O

l giao điểm hai đờng chéo

1,0

1,0

C D