Vẽ hình chính xác a Chứng minh EG //AB: Kẻ các đường trung tuyến CM, DN của Δ ADC chúng cắt nhau ở E Hai trung tuyến AO và CD cắt nhau tại G, nên G là trọng tâm Δ ABC.[r]
(1)PHÒNG GD & ĐT TÂN HIỆP KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP VÒNG HUYỆN Năm học: 2014-2015 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1: (2 điểm) Chứng minh rằng: 8100 + 2296 chia hết cho 17 Bài 2: (3 điểm) Cho đa thức: f (x) = – x2 – x – a) Chứng tỏ đa thức f(x) vô nghiệm b) Tính f ( √ 2− ) Bài 3: (3 điểm) 1+ x √ x x+ √x − √x × − A ¿ 1+ √ x x √ x − x +2 √ x +4 a) Rút gọn biểu thức A ( Cho biểu thức: )( ) b) Tìm điều kiện x để A > Bài 4: (3 điểm) Giải phương trình: √ x −4 +2 √2 x − 5+ √ x +4 +6 √ x −5=14 Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC Từ trung điểm D cạnh BC, kẻ đường vuông góc với đường phân giác góc A cắt AB và AC M và N Chứng minh: BM = CN Bài 6: (5 điểm) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm O đường kính BC Gọi D là trung điểm AB, E là trọng tâm tam giác ACD, G là giao điểm CD và AO Chứng minh: a) EG // AB b) OE CD c) SDAC + SBDO = SABC HẾT Đáp án- Hướng dẫn chấm đề thi chọn học sinh giỏi lớp vòng huyện (2) Năm học 2014-2015 Bài Nội dung Điểm 8100 + 2296 = (23)100 + 2296 = 2300 + 2296 = 2296 24 + 2296 = 2296 ( 24 + 1) = 2296 17 chia hết cho 17 Vậy 8100 + 2296 chia hết cho 17 a) Chứng tỏ đa thức f(x) vô nghiệm: 0,5 0,5 0,5 0,5 ( x + 12 ) − 74 ( x + 12 ) ≤ với x f (x) = – x2 – x – = – ≥ 0⇒− ( ) x+ 0,5 2 x+ − < với x ( ) ⇒ – 0,5 Vậy f (x) vô nghiệm 0,5 ¿ b ( √ 2− )=− [ ( √ 2− ) + √ −1+2 ] ¿ − [ −2 √ 2+ 1+ √ −1+2 ] ¿ − [ − √ ] =√ 2− ¿ 0,5 a) Rút gọn biểu thức A : ĐK: x ≥ ; x ≠ 0,25 1+ x √ x x+ √x − √x × − A ¿ 1+ √ x x √ x − x +2 √ x +4 ( )( ) ¿ 1+ √ x x +4 √x ¿ −√ x × − 3 1+ √ x √ x −2 x +2 √ x +4 ( )( √ ) ( (√ √ ) ( (√ ) ( (√ ) (√ ( − √ x+ x − x × b ¿ A= ( − √ x )2 √ x −2 Ta có √ x ⇔ √ x −2 =√x + A = √ x+ >0 √ x −2 ⇔ √ x −2 0,5 ) 0,5 ( 1− √ x ) x+ x +4 = x −2 × x +2 √ x + ) √ x −2 ¿ ( 1− √ x ) × 0,25 x+ − √ x ( √ x −2 x − ) × ( x+ √ x +4 x + − x +2 √ x x −2 × ( x +2 √ x + ) ( 1− x × ) ) )) ) 0,5 0,5 >0 √ x −2 >0 ⇔ √x > ⇔ x > (3) Vậy x > thì A > 0,5 Giải phương trình: √ x − +2 √2 x − 5+ √ x +4 +6 √ x −5=14 ⇔ √ x −5+2 √ x −5+1+ √ x −5+6 √2 x − 5+9=14 ĐK : x ≥ ( √ √ ) ⇔ ( √ x −5+1 ) + ( √ x −5+3 ) =14 ⇔ √ x −5+1+ √ x −5+3=14 ⇔ x −5=25 ⇔ x =15 x = 15 thỏa mãn điều kiện x Vậy x = 15 là nghiệm PT 0,5 0,5 0,5 0,5 Vẽ hình chính xác Chứng minh: BM = CN Gọi K là giao điểm MN và đường phân giác góc A Từ B kẻ đường thẳng song song với MN nó cắt AC P Δ AMN là tam giác cân A (AK vừa là đường cao vừa là đường phân giác) ⇒ AM = AN (1) BP//MN nên BP AK.Tương tự Δ ABP cân A ⇒ AB = AP (2) BM = AM – AB ; PN = AN – AP (3) Từ (1),(2),(3) suy BM = PN (4) Trong Δ BCP, D là trung điểm BC, DN// BP ⇒ N là trung điểm CP hay NP = NC (5) Từ (4),(5) ⇒ BM = CN 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 (4) Vẽ hình chính xác a) Chứng minh EG //AB: Kẻ các đường trung tuyến CM, DN Δ ADC chúng cắt E Hai trung tuyến AO và CD cắt G, nên G là trọng tâm Δ ABC Xét 0,5 0,5 CE CG = = Δ MCD, ta có: CM CD ⇒ EG // DM hay EG // AB b) Chứng minh OE CD : OD AB (Đường kính qua trung điểm D dây AB) Mà EG // AB nên EG OD (1) Δ ABC cân A ⇒ OG BC, mà BC // DN nên OG DN (2) Từ (1) và (2) suy G là trực tâm Δ ODE, đó OE DG hay OE CD 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 c) Chứng minh: SDAC + SBDO = SABC: ¿ 1 1 1 S ODC = OC× OA= × BC × OA= OA BC 2 2 OA BC , ` S ABC = =4 S ODC OA BC ¿ Vậy SABC = SODC hay SODC = SABC Ta có SDAC + SBDO = SABC – SODC = SABC – SABC = 0,5 0,5 0,5 SABC -HẾT *Lưu ý: Học sinh có thể giải theo cách khác, giải chính xác điểm tính tương ứng theo phần (5) (6)