Chuyên đề Tính chia hết với số nguyên

1.Biết vận dụng tính chất chia hết của số nguyên dể chứng minh quan hệ chia hết, tìm số dư và tìm điều kiện chia hết.. Hiểu các bước phân tích bài toán, tìm hướng chứng minh 3.[r]

CHUYÊN ĐỀ TÍNH CHIA HẾT VỚI SỐ NGUYÊN

I Mục tiêu

Sau học xong chuyên đề học sinh có khả năng:

1.Biết vận dụng tính chất chia hết số nguyên dể chứng minh quan hệ chia hết, tìm số dư tìm điều kiện chia hết

2 Hiểu bước phân tích tốn, tìm hướng chứng minh Có kĩ vận dụng kiến thức trang bị để giải toán II Các tài liệu hỗ trợ:

- Bài tập nâng cao số chuyên đề toán - Toán nâng cao chuyên đề đại số - Bồi dưỡng toán

- Nâng cao phát triển toán - …

III Nội dung

1 Kiến thức cần nhớ

1 Chứng minh quan hệ chia hết

Gọi A(n) biểu thức phụ thuộc vào n (nN n Z)

a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích có thừa số m

+ Nếu m hợp số ta phân tích m thành tích thừa số đơI ngun tố chứng minh A(n) chia hết cho tất số

+ Trong k số liên tiếp tồn số bội k

b/ Khi chứng minh A(n) chia hết cho n ta xét trường hợp số dư chia m cho n

* Ví dụ1:

Giải:

Ta có 5040 = 24 32.5.7

A= n3(n2- 7)2 – 36n = n.[ n2(n2-7)2 – 36 ] = n [n.(n2-7 ) -6].[n.(n2-7 ) +6] = n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6)

Ta lại có n3-7n – = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1) =(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3)

Tương tự : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d

Do A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)

Ta thấy : A tích số nguyên liên tiếp mà số nguyên liên tiếp: - Tồn bội số (nên A )

- Tồn bội (nên A ) - Tồn hai bội (nên A )

- Tồn bội có bội (nên A 16)

Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi nguyên tố  A 5.7.9.16= 5040 Ví dụ 2: Chưng minh với số nguyên a :

a/ a3 –a chia hết cho b/ a5-a chia hết cho Giải:

a/ a3-a = (a-1)a (a+1) tích số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1)

 Cách 1:

Ta xết trường hợp số dư chia a cho - Nếu a= k (kZ) A (1)

- Nếu a= 5k 1 a2-1 = (5k21) 2 -1 = 25k2 10k A (2) - Nếu a= 5k 2 a2+1 = (5k2)2 + = 25 k220k +5 A (3) Từ (1),(2),(3) A 5, n  Z

Cách 2:

Ta có : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1) = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1)

Mà = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) (tích số nguyên liên tiếp ) 5a (a2-1)

Do a5-a

* Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a5-a tích số nguyên liên tiếp chia hết cho

Ta có:

a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1) = a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a

 a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)

Mà (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)  a5-a 5(Tính chất chia hết hiệu)

c/ Khi chứng minh tính chia hết luỹ thừa ta cịn sử dụng đẳng thức: an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ …+abn-2+ bn-1) (HĐT 8)

an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - …- abn-2+ bn-1) (HĐT 9)  Sử dụng tam giác Paxcan:

1 1 1 …

Mỗi dòng bắt đầu kết thúc

Mỗi số dòng (kể từ dòng thứ 2) số liền cộng với số bên trái số liền

a2n+1 + b2n+1 chia hết cho a + b( a-b) (a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Bội số a) (a+1)n = Bsa +1

(a-1)2n = Bsa +1 (a-1)2n+1 = Bsa -1

* VD3: CMR với số tự nhiên n, biểu thức 16n – chia hết cho 17 n số chẵn

Giải:

+ Cách 1: - Nếu n chẵn: n = 2k, kN thì:

A = 162k – = (162)k – chia hết cho 162 – 1( theo nhị thức Niu Tơn) Mà 162 – = 255 17 Vậy A 17

- Nếu n lẻ : A = 16n – = 16n + – mà n lẻ 16n + 16+1=17 (HĐT 9) A không chia hết cho 17

+Cách 2: A = 16n – = ( 17 – 1)n – = BS17 +(-1)n – (theo cơng thức Niu Tơn) - Nếu n chẵn A = BS17 + – = BS17 chia hết cho 17

- Nếu n lẻ A = BS17 – – = BS17 – Không chia hết cho 17

Vậy biểu thức 16n – chia hết cho 17 n số chẵn,  n N

d/ Ngồi cịn dùng phương pháp phản chứng, ngun lý Dirichlê để chứng minh quan hệ chia hết

 VD 4: CMR tồn bội 2003 có dạng: 2004 2004….2004 Giải: Xét 2004 số: a1 = 2004

a2 = 2004 2004 a3 = 2004 2004 2004 ………

a2004 = 2004 2004…2004 2004 nhóm 2004

Ta có: am - an = 2004 2004……2004 000…00

m-n nhóm 2004 4n hay am - an = 2004 2004……2004 104n m-n nhóm 2004

mà am - an 2003 (104n , 2003) =1 nên 2004 2004……2004 2003

m-n nhóm 2004 2 Tìm số dư

* VD1:Tìm số dư chia 2100 a/ cho b/ cho 25 Giải:

a/ Luỹ thừa sát với bội 23 = = –

Ta có : 2100 = 299= (23)33 = 2(9 – )33 = 2(BS9 -1) ( theo nhị thức Niu Tơn) = BS9 – = BS9 +

Vậy 2100 chia cho dư

b/ Luỹ thừa gần với bội 25 10 = 1024 =1025 – Ta có:

2100 =( 210)10 = ( 1025 – )10 = BS 1025 + = BS 25 +1 (theo nhị thức Niu Tơn) Vậy 2100 chia cho 25 dư

* VD2: Tìm chữ số tận 51994 viết hệ thập phân Giải:

- Cách 1: Ta có: 1994 = 4k + 54 = 625

Ta thấy số tận 0625 nâng lên luỹ thừa nguyên dương tận 0625

Do đó: 51994 = 54k+2=(54)k 52 = 25 (0625)k = 25 (…0625)= …5625 - Cách 2: Tìm số dư chia 51994 ch 10000 = 24.54

Ta thấy 54k – = (54)k – 1k chia hết cho 54 – = (52 + 1) (52 - 1) 16

51994 = BS10000 + 15625  51994 chia cho 10000 dư 15625 Vậy chữ số tận 51994 5625

3 Tìm điều kiện chia hết

* VD1: Tìm số nguyên n để giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B: A = n3 + 2n2- 3n + 2; B = n2 – n

Giải:

n3 + 2n2- 3n + n2 – n n3 – n2 n + 3n2 - 3n + 3n2 – 3n

Ta có: n3 + 2n2- 3n + = (n2 – n)(n + 3) +

2

2 n n

Do Giá trị A chia hết cho giá trị B  n2 – n Ư(2) 2 chia hết cho n(n – 1) 2 chia hết cho n Ta có bảng:

n -1 -2

n – -2 -3

n(n – 1) 2

Loại T/m T/m Loại

Vậy với n = -1, n = giá trị biểu thức A chia hết cho giá trị biểu thức B  VD 2: Tìm số nguyên n dể n5 + chia hết cho n3 +

Giải:

n5 + n3 + 1n5 + n2 – n2 + n3 + n2(n3 + 1)- ( n2 – 1)  n3 +

n(n – 1) n2 – n + Hay n2 – n n2 – n +

(n2 – n + 1) – n2 – n +  n2 – n +

Xét hai trường hợp:

+ n2 – n + =  n2 – n = n(n – 1) = n = 0, n = thử lại thấy t/m đề + n2 – n + = -  n2 – n + = , khơng có giá trị n thoả mãn

 VD 3: Tìm số tự nhiên n cho 2n - chia hết cho Giải:

Ta có luỹ thừa gần với bội 23 = = +

- Nếu n = 3k (k N) 2n - 1= 23k – = (23)k – = 8 k - 1k 8 – = Nếu n = 3k + 1(k N) 2n - = 23k+1 – = 8k – 1= 2(8k – 1) + = BS7 +

2n - không chia hết cho

- Nếu n = 3k +2(k N) 2n - = 23k+2 – 1= 4.23k – = 4( 8k – 1) + = 4.BS7 +

2n - không chia hết cho Vậy 2n - 7 n = 3k (k N) 2 Bài tập

Bài 1: Chứng minh rằng:

a/ n3 + 6n2 + 8n chia hêt ch 48 với số n chẵn b/ n4 – 10n2 + chia hết cho 384 với số n lẻ Giải

a/ n3 + 6n2 + 8n = n(n2 + 6n + 8) = n( n2 + 4n + 2n + 8) = n[n(n + 4) + 2(n + 4)] = n(n+2)(n + 4)

Với n chẵn, n = 2k ta có:

n3 + 6n2 + 8n = 2k(2k + 2)(2k + 4) = 8.k (k + 1)k + 2)

= (n – 1)(n+1)(n-3)(n+3) Với n lẻ, n = 2k +1, ta có:

n4 – 10n2 + = (2k +1 – 1)(2k + 1+1)(2k + – 3)( 2k + +3) = 2k(2k+2)(2k-2)(2k+4)= 16k(k+1)(k-1)(k+2) 16

Bài 2: Chứng minh

a/ n6 + n4 -2n2 chia hết cho 72 với số nguyên n b/ 32n – chia hết cho 72 với số nguyên dương n Giải:

Ta có: A= n6 + n4 -2n2 = n2(n4+n2 -2)= n2(n4 + 2n2 –n2 – 2)= n2[(n2 +2)- (n2 +2)] = n2(n2 + 2)(n2 – 1)

Ta lại có: 72 = 8.9 với (8,9) = Xét trường hợp:

+ Với n = 2kA = (2k)2(2k + 1) (2k -1)(4k2 +2) = 8k2(2k + 1) (2k -1)(2k2 +1) + Với n = 2k +1 A = (2k + 1)2(2k +1 – 1)2= (4k2 + 4k +1)4k2

Tương tự xét trường hợp n = 3a, n= 3a  để chứng minh A Vậy A 8.9 hay A 72

Bài 3: Cho a số nguyên tố lớn Chứng minh a2 – chia hết cho 24 Giải:

Vì a2 số nguyên tố lớn nên a lẻa2 số phương lẻ a2 chia cho dư

 a2 – chia hết cho (1)

Mặt khác a số nguyên tố lớn 3 a không chia hết cho a2 số phương khơng chia hết cho 3a2 chia cho dư  a2 – chia hết cho (2)

Mà (3,8) = (3)

Bài 4: Chứng minh rằng:

Nếu số tự nhiên a khơng chia hết cho a6 -1 chia hết cho Giải:

Bài toán trường hợp đặc biệt định lý nhỏ Phéc ma:

- Dạng 1: Nếu p số nguyên tố a số nguyên ap – a chia hết cho p

- Dạng 2: Nếu a số nguyên không chia hết cho số nguyên tố p ap-1-1 chia hết cho p Thật vậy, ta có a6 -1 = (a3 + 1) (a3 - 1)

- Nếu a = 7k 1 (k N) a3 = ( 7k  1)3 = BS7   a3 -

- Nếu a = 7k 2 (k N) a3 = ( 7k  2)3 = BS7  23 = BS7  8 a3 - - Nếu a = 7k 3 (k N) a3 = ( 7k  3)3 = BS7  33 = BS7  27 a3 + Ta ln có a3 + a3 – chia hết cho Vậy a6 – chia hết cho

Bài 5: Chứng minh rằng:

Nếu n lập phương số tự nhiên (n-1)n(n + 1) chia hết cho 504 Giải:

Ta có 504 = 32 7.8 7,8,9 nguyên tố đơi Vì n lập phương số tự nhiên nên đặt n = a3

Cần chứng minh A=(a3-1)a3(a3 + 1) chia hết cho 504 Ta có: + Nếu a chẵn a3 chia hết cho

Nếu a lẻ a3-1và a3 + hai số chẵn liên tiếp(a3-1) (a3 + 1) chi hết cho Vậy A , 19 9a nN (1)

+ Nếu a a3 7  A

Nếu a không chia hết cho a6 – 7(a3-1) (a3 + 1) 7(Định lí Phéc ma) Vậy A ,  nN (2)

+ Nếu a a3 9 A

Nếu a không chia hấe cho  a = 3k 1 a3 = ( 3k  3)3= BS91 a3 – = BS9+1 –

Vậy A ,  nN (3)

Từ (1), (2), (3) A ,  nN

Bài 6: Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức sau số nguyên tố: a/ 12n2 – 5n – 25

b/ 8n2 + 10n +3 c/ 3

4

n  n

Giải:

a/ Phân tích thành nhân tử: 12n2 – 5n – 25 = 12n2 +15n – 20n – 25 = 3n(4n + 5) – 5(4n +5) = (4n +5)(3n –5)

Do 12n2 – 5n – 25 số nguyên tố 4n +5 > nên 3n – >

Ta lại có: 3n – < 4n +5(vì n  0) nên để 12n2 – 5n – 25 số ngưyên tố thừa số nhỏ phải hay 3n – =  n =

Khi đó, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 số nguyên tố

Vậy với n = giá trị biểu thức 12n2 – 5n – 25 số nguyên tố 13 b/ 8n2 + 10n +3 = (2n – 1)(4n + 3)

Biến đổi tương tự ta n = Khi đó, 8n2 + 10n +3 số nguyên tố c/ A = 3

4

n  n

Do A số tự nhiên nên n(n + 3)

Hai số n n + chẵn Vậy n , n + chia hết cho - Nếu n = A = 0, khơng số nguyên tố

- Nếu n = A = 7, số nguyên tố

-Nếu n = 4k với kZ, k > A = k(4k + 3) tích hai thừa số lớn nên A hợp số - Nếu n + = A = 1, khơng số nguyên tố

- Nếu n + = 4k với kZ, k > A = k(4k - 3) tích hai thừa số lớn nên A hợp số

Vậy với n = 3

4

Bài 7: Đố vui: Năm sinh hai bạn

Một ngày thập kỷ cuối kỷ XX, nhườ khách đến thăm trường gặp hai học sinh Người khách hỏi:

- Có lẽ hai em tuổi nhau? Bạn Mai trả lời:

- Không, em bạn em tuổi Nhưng tổng chữ số năm sinh chúng em số chẵn

- Vậy em sinh năm 1979 1980, không? Người khách suy luận nào?

Giải:

Chữ số tận năm sinh hai bạn phảI trường hợp ngựoc lại tổng chữ số năm sinh hai bạn 1, số chẵn

Gọi năm sinh Mai 19 9a +9+a+9 = 19 + a Muốn tổng số chẵn a{1; 3; 5; 7; 9} Hiển nhiên Mai sinh năm 1959 1999 Vậy Mai sinh năm 1979, bạn Mai sinh năm 1980

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyếnsinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh

nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹnăng sư phạmđến từcác trường Đại học

trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG:Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, NgữVăn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS

lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ởtrường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩncùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn

phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, NgữVăn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia