Chuyên đề Tính chia hết với số nguyên

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai CHUYÊN ĐỀ TÍNH CHIA HẾT VỚI SỐ NGUYÊN I Mục tiêu Sau học xong chuyên đề học sinh có khả năng: 1.Biết vận dụng tính chất chia hết số nguyên dể chứng minh quan hệ chia hết, tìm số dư tìm điều kiện chia hết Hiểu bước phân tích toán, tìm hướng chứng minh Có kĩ vận dụng kiến thức trang bị để giải toán II Các tài liệu hỗ trợ: - Bài tập nâng cao số chuyên đề toán - Toán nâng cao chuyên đề đại số - Bồi dưỡng toán - Nâng cao phát triển toán -… III Nội dung Kiến thức cần nhớ Chứng minh quan hệ chia hết Gọi A(n) biểu thức phụ thuộc vào n (n  N n  Z) a/ Để chứng minh A(n) chia hết cho m ta phân tích A(n) thành tích có thừa số m + Nếu m hợp số ta phân tích m thành tích thừa số đôI nguyên tố chứng minh A(n) chia hết cho tất số + Trong k số liên tiếp tồn số bội k b/ Khi chứng minh A(n) chia hết cho n ta xét trường hợp số dư chia m cho n * Ví dụ1: C/minh A=n3(n2- 7)2 – 36n chia hết cho 5040 với số tự nhiên n W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Giải: Ta có 5040 = 24 32.5.7 A= n3(n2- 7)2 – 36n = n.[ n2(n2-7)2 – 36 ] = n [n.(n2-7 ) -6].[n.(n2-7 ) +6] = n.(n3-7n – 6).(n3-7n +6) Ta lại có n3-7n – = n3 + n2 –n2 –n – 6n -6 = n2.(n+1)- n (n+1) -6(n+1) =(n+1)(n2-n-6)= (n+1 )(n+2) (n-3) Tương tự : n3-7n+6 = (n-1) (n-2)(n+3) d Do A= (n-3)(n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3) Ta thấy : A tích số nguyên liên tiếp mà số nguyên liên tiếp: - Tồn bội số (nên A ) - Tồn bội (nên A ) - Tồn hai bội (nên A ) - Tồn bội có bội (nên A 16) Vậy A chia hết cho 5, 7,9,16 đôi nguyên tố  A 5.7.9.16= 5040 Ví dụ 2: Chưng minh với số nguyên a : a/ a3 –a chia hết cho b/ a5-a chia hết cho Giải: a/ a3-a = (a-1)a (a+1) tích số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1)  Cách 1: Ta xết trường hợp số dư chia a cho - Nếu a= k (k  Z) A (1) - Nếu a= 5k  a2-1 = (5k2  1) -1 = 25k2  10k  A (2) - Nếu a= 5k  a2+1 = (5k  2)2 + = 25 k2  20k +5  A (3) Từ (1),(2),(3)  A 5,  n  Z Cách 2: Phân tích A thành tổng hai số hạng chia hết cho : + Một số hạng tích số nguyên liên tiếp + Một số hạng chứa thừa số W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Ta có : a5-a = a( a2-1) (a2+1) = a(a2-1)(a2-4 +5) = a(a2-1) (a2-4) + 5a(a2-1) = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2)- 5a (a2-1) Mà = a(a-1)(a+1) (a+2)(a-2) (tích số nguyên liên tiếp ) 5a (a2-1) Do a5-a * Cách 3: Dựa vào cách 2: Chứng minh hiệu a5-a tích số nguyên liên tiếp chia hết cho Ta có: a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) = a5-a – (a2- 4)a(a2-1) = a5-a - (a3- 4a)(a2-1) = a5-a - a5 + a3 +4a3 - 4a = 5a3 – 5a  a5-a – (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2) Mà (a-2)(a-1)a(a+1)(a+2)  a5-a 5(Tính chất chia hết hiệu) c/ Khi chứng minh tính chia hết luỹ thừa ta sử dụng đẳng thức: an – bn = (a – b)( an-1 + an-2b+ an-3b2+ …+abn-2+ bn-1) an + bn = (a + b)( an-1 - an-2b+ an-3b2 - …- abn-2+ bn-1) (HĐT 8) (HĐT 9)  Sử dụng tam giác Paxcan: 1 1 1 3 1 … Mỗi dòng bắt đầu kết thúc Mỗi số dòng (kể từ dòng thứ 2) số liền cộng với số bên trái số liền Do đó: Với  a, b  Z, n  N: an – bn chia hết cho a – b( a  b) W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai a2n+1 + b2n+1 chia hết cho a + b( a  -b) (a+b)n = Bsa +bn ( BSa:Bội số a) (a+1)n = Bsa +1 (a-1)2n = Bsa +1 (a-1)2n+1 = Bsa -1 * VD3: CMR với số tự nhiên n, biểu thức 16n – chia hết cho 17 n số chẵn Giải: + Cách 1: - Nếu n chẵn: n = 2k, k  N thì: A = 162k – = (162)k – chia hết cho 162 – 1( theo nhị thức Niu Tơn) Mà 162 – = 255 17 Vậy A 17 - Nếu n lẻ : A = 16n – = 16n + – mà n lẻ 16n + 16+1=17 (HĐT 9)  A không chia hết cho 17 +Cách 2: A = 16n – = ( 17 – 1)n – = BS17 +(-1)n – (theo công thức Niu Tơn) - Nếu n chẵn A = BS17 + – = BS17 chia hết cho 17 - Nếu n lẻ A = BS17 – – = BS17 – Không chia hết cho 17 Vậy biểu thức 16n – chia hết cho 17 n số chẵn,  n  N d/ Ngoài dùng phương pháp phản chứng, nguyên lý Dirichlê để chứng minh quan hệ chia hết  VD 4: CMR tồn bội 2003 có dạng: 2004 2004….2004 Giải: Xét 2004 số: a1 = 2004 a2 = 2004 2004 a3 = 2004 2004 2004 ……………………… a2004 = 2004 2004…2004 2004 nhóm 2004 Theo nguyên lý Dirichle, tồn hai số có số dư chia cho 2003 Gọi hai số am an (  n nên 3n – > Ta lại có: 3n – < 4n +5(vì n  0) nên để 12n2 – 5n – 25 số ngưyên tố thừa số nhỏ phải hay 3n – =  n = Khi đó, 12n2 – 5n – 25 = 13.1 = 13 số nguyên tố Vậy với n = giá trị biểu thức 12n2 – 5n – 25 số nguyên tố 13 b/ 8n2 + 10n +3 = (2n – 1)(4n + 3) Biến đổi tương tự ta n = Khi đó, 8n2 + 10n +3 số nguyên tố n3  3n c/ A = Do A số tự nhiên nên n(n + 3) 4 Hai số n n + chẵn Vậy n , n + chia hết cho - Nếu n = A = 0, không số nguyên tố - Nếu n = A = 7, số nguyên tố -Nếu n = 4k với k  Z, k > A = k(4k + 3) tích hai thừa số lớn nên A hợp số - Nếu n + = A = 1, không số nguyên tố - Nếu n + = 4k với k  Z, k > A = k(4k - 3) tích hai thừa số lớn nên A hợp số Vậy với n = W: www.hoc247.net n3  3n số nguyên tố F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Bài 7: Đố vui: Năm sinh hai bạn Một ngày thập kỷ cuối kỷ XX, nhườ khách đến thăm trường gặp hai học sinh Người khách hỏi: - Có lẽ hai em tuổi nhau? Bạn Mai trả lời: - Không, em bạn em tuổi Nhưng tổng chữ số năm sinh chúng em số chẵn - Vậy em sinh năm 1979 1980, không? Người khách suy luận nào? Giải: Chữ số tận năm sinh hai bạn phảI trường hợp ngựoc lại tổng chữ số năm sinh hai bạn 1, số chẵn Gọi năm sinh Mai 19a9 +9+a+9 = 19 + a Muốn tổng số chẵn a {1; 3; 5; 7; 9} Hiển nhiên Mai sinh năm 1959 1999 Vậy Mai sinh năm 1979, bạn Mai sinh năm 1980 W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai Website Hoc247.vn cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng I Luyện Thi Online Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90% - Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng - H2 khóa tảng kiến thức luyên thi môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học - H99 khóa kỹ làm luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ Xã Hội II Lớp Học Ảo VCLASS Học Online Học lớp Offline - Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh đưa đón học - Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên - Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn - Mỗi lớp từ đến 10 HS giúp tương tác dễ dàng, hỗ trợ kịp thời đảm bảo chất lượng học tập Các chương trình VCLASS: - Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia - Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn - Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao, Toán Chuyên Toán Tiếng Anh danh cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, III Uber Toán Học Học Toán Gia Sư Kèm Online - Gia sư Toán giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Giáo viên Toán Giảng viên ĐH Day kèm Toán câp độ từ Tiểu học đến ĐH hay chương trình Toán Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,… - Học sinh lựa chọn GV yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi phù hợp - Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS PH đánh giá lực khách quan qua kiểm tra độc lập - Tiết kiệm chi phí thời gian hoc linh động giải pháp mời gia sư đến nhà W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net T: 098 1821 807 ... a số nguyên tố lớn Chứng minh a2 – chia hết cho 24 Giải: Vì a2 số nguyên tố lớn nên a lẻ  a2 số phương lẻ  a2 chia cho dư  a2 – chia hết cho (1) Mặt khác a số nguyên tố lớn  a không chia hết. .. số tự nhiên a không chia hết cho a6 -1 chia hết cho Giải: Bài toán trường hợp đặc biệt định lý nhỏ Phéc ma: - Dạng 1: Nếu p số nguyên tố a số nguyên ap – a chia hết cho p - Dạng 2: Nếu a số nguyên. .. 5.7.9.16= 5040 Ví dụ 2: Chưng minh với số nguyên a : a/ a3 –a chia hết cho b/ a5-a chia hết cho Giải: a/ a3-a = (a-1)a (a+1) tích số nguyên liên tiếp nên tích chia hết cho b/ A= a5-a = a(a2-1) (a2+1)